41 Integral Rang Kap 3
-
Upload
muhammad-daan-agung-lazuardi -
Category
Documents
-
view
76 -
download
0
Transcript of 41 Integral Rang Kap 3
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL RANGKAP TIGA Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai
berikut. bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, Bi ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ∆ ∆ ∆ ∆V x y zi i i i= , sehingga volume balok, B yaitu :
V Vii
n=
=∑ ∆
1
Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut:
( )f x y z dV f x y z VB n
i i i ii
n( , , ) lim , ,∫∫∫ ∑=
→∞ =∆
1
Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B. Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut :
g x y zf x y z x y z G
x y z B G( , , )
( , , ) ; ( , , )
; ( , , )=
∈∈ −
0
B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan :
f x y z dV g x y z dVG B
( , , ) ( , , )∫∫∫ ∫∫∫=
Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh
Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut ( ) ( )z u x y z v x y1 2= =, ,dan atau
dalam notasi himpunan, ( ) ( ){ }G z u x y z v x yz = ≤ ≤, , - dan Gxy yang merupakan
proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan :
f x y z dV f x y z dz dAG u x y
v x y
Gxy
( , , ) ( , , )( , )
( , )
∫∫∫ ∫∫∫=
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu :
1. ( ) ( ) ( ){ }G x y a x b h x y g xxy = ≤ ≤ ≤ ≤, ,
f x y z dz dA f x y z dz dy dxu x y
v x y
G u x y
v x y
h x
g x
a
b
xy
( , , ) ( , , )( , )
( , )
( , )
( , )
( )
( )
∫∫∫ ∫∫∫
=
2. ( ){ }G x y h y x g x c y dxy = ≤ ≤ ≤ ≤, ( ) ( ),
f x y z dz dA f x y z dz dx dyu x y
v x y
G u x y
v x y
h y
g y
c
d
xy
( , , ) ( , , )( , )
( , )
( , )
( , )
( )
( )
∫∫∫ ∫∫∫
=
Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G,
sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang
sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturut-turut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ. Contoh 7
Hitung integral 2010
2xyz dy dx dz
x zz /
∫∫∫
Jawab :
2 223010
2
010
2xyz dy dx dz z x y dy dx dz
x zz x zz/ /
∫∫∫ ∫∫∫=
=
Contoh 8 Hitung integral 2x dV
G∫∫∫ bila
a. ( )G x y z x y y z x= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
, , , ,0 0 4 032
b. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang x = 1 dan x = 4.
Jawab :
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
a. 2 2 26540
3 2
00
4
0
3 2
00
4x dV x dz dxdy x dz dx dy
G
xy xy
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫= =
=/ /
b. G dituliskan, ( )G x y z x y z z= ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤
, , , ,1 4 0 1 0 12 .
Jadi 2 2 2 40
1
0
1
1
4
0
1
0
1
1
42 2
x dV x dy dzdx x dy dz dxG
z z
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫= =
= −− −
π .
Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1. Contoh 9 Hitung volume bangun ruang, G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2 dan y + 4z = 8. Jawab :
G dituliskan , ( )G x y z x y x zy
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤−
, , , ,0 2 0 2 08
42 .
Volume, ( ) ( )
V dV dz dy dx dz dy dxG
x y x y
= = =
=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
− −
0
2
0
2
0
8 4
0
2
0
2
0
8 42 222430
/ /
Soal Latihan ( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut.
1. 42
0
3
2
5x dz dy dx
y
xx +
−∫∫∫
2. ( )sin x y z dx dy dzyz
+ +∫∫∫000
2π
3. dz dydxy x
0
3
1
4
0
2 +
−∫∫∫
4. 301
1
2
42
xyz dz dy dx
yx
x
x
∫∫∫−
+
−
Matematika Dasar
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
5. sinsin
xy
dx dy dzyz
z
∫∫∫
0
20
0
2π
( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral xyz dVG∫∫∫ bila :
6. ( ) ( )G x y z x y z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − −
, , , ,0 1 0 3 016
12 3 2
7. ( )G x y z x y y z= ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤
, , , ,0 4 0 2 0 32
8. ( ){ }G x y z x z y x z z= ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≤ ≤, , , ,0 3 0 4 2 0 2
9. ( ){ }G x y z x y y z z= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤, , , ,0 0 0 12
( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : 10. y = 2x
2 , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama.
11. y2 + 4z
2 = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama
12. x2 =y , z
2 = y dan y = 1
13. y = x2 + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0