4.1 Cismin Ağırlığı 714.2 Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 72

Örnekler 754.3 Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 78

Örnekler 804.4 Bileşik Plak ve Teller 82

Örnekler 834.5 PappusGuldinus Teoremleri 84

Örnekler 874.6 Üç Boyutlu Cisimlerde Ağırlık Merkezi 89

Örnekler 93 PROBLEMLER 94

Ünlü Fransız matematikçisidir. Güneş sisteminin kararlılığı üstüne araştırmalarıyla bilinir. 1773 de yörüngelerin dışmerkezlik ve eğikliklerinin küplerinden yararlanarak gezegenlerin Güneşten uzaklıklarının ortalamasının değişmediğini kanıtladı. 1787 de Ay’ın ivmesinin yer yörüngesinin dışmerkezliğine bağlı olduğunu belirledi. Doğada karşılaşılan belirli fiziksel olayların gerçekleşme olasılıklarının matematiksel olarak hesaplanmasına ilişkin çeşitli yöntemler ortaya attı. Kütle çekimi yasasını uygula-yarak ve matematiksel olarak geliştirerek gezegenlerle uyduların devinimlerinin ve bu devinimleri etkileyen gel-gitlerin hesaplanmasını sağladı. Metre sisteminin oluşturul-ması çalışmalarına katıldı. Esnek görüşleri nedeniyle, politikayla da ilgilendi, Napoléon döneminde içişleri bakanlığı, senato başkan yardımcılığı yaptı. 1806 da imparatorluk kontu unvanını aldı. 1814 de Napoléon’un düşürülmesi yönünde oy kullandı ve XVIII. Louis’yi destekledi, kral da onu marki unvanı ile ödüllendirdi.

Pierre-Simon LAPLACE (1749-1827)

4.1. CİSMİN AĞIRLIĞI

Gerçek anlamda tek bir noktaya etkiyen bir tekil kuvvete uygulamada rastlamak pek mümkün değildir. O nedenle çözümü araştırılan bir prob-lemde eğer tekil kuvvet kullanılıyorsa bu ya bir idealleştirme ya da bir yaklaşıklıktır. Biz mühendisler bazen bir fizik probleme etkiyen yayılı kuvvetlere ait toplam etkiyi bir bütün olarak görmek isteyebiliriz. O zaman yayılı kuvvetleri tek bir bileşke altında toplar ve bunları kuvvet merkezi dediğimiz tek bir noktaya indirgeriz. Tabii bu sırada cevaplan-ması gereken en önemli soru “Paralel kuvvetlerin bileşkesinin etki nok-tası olan kuvvet merkezi nasıl hesaplanır?”. Yayılı kuvvetlere en basit örnek cismin ağırlığıdır. Böyle bir durumda kuvvet merkezinden anlaşıl-ması gereken cismin ağırlık merkezidir. Şimdi konuya girmeden önce bazı önemli tanımlar verelim.

Şöyle ki, cismin boyutları yanında çok küçük olacak biçimde seçilen bir hacme etkiyen yayılı kuvvetlerin toplamı, o hacmin ağırlık merkezinde tek bir tekil kuvvetle tanımlanabilir. Bu durumda genel olarak yükler yayılı kuvvetlerdir ve etkidikleri bölge içindeki değişimlerine bakılarak şiddetleri hesaplanırlar.

Yoğunluk: Genellikle ile gösterilen yoğunluk, kütlesi m , hacmi V bir cisimde, tanım gereği,

mV

= (4.1)

birim hacmin kütlesidir ve SI birim sistemi içinde birimi 3[kg/m ] dür. Yoğunluk her bir malzemenin kendisine özgü bir fiziksel özelliği olup, belli bir sıcaklık için sabit bir değerdir.

72 STATİK

Özgül Ağırlık: Genellikle ile gösterilir ve tanım gereği,

g = (4.2)

birim hacmin ağırlığıdır ve SI birim sistemi içinde birimi 3[N/m ] dür. Burada 29.81 m/sng @ yer çekimi ivmesidir.

Cismin Ağırlığı: Dünyanın bir cisme uyguladığı yer çekimi kuvvetine o cismin ağırlığı denir. Bu kuvvet, Şekil (4.1) de görüldüğü gibi cismin üzerine yayılmış çok sayıdaki paralel diferansiyel kuvvet d dW=-W k nın bileşkesi olacağından, cismin toplam ağırlığı W=-W k da, cismin ağırlığının şiddetini ifade eden büyüklük,

dV

W W= ò (4.3)

biçiminde hesaplanır. Eğer cismin hacmi V ve özgül ağırlığı belli ise, o zaman homojen bir cismin ağırlığı,

dV

W V= ò (4.4)

biçiminde de hesaplanabilir. Homojen bir cisimde sabit = olacağın-dan, özgül ağırlık (4.4) de integral dışına çıkartılmıştır.

Ağırlık Merkezi: Ağırlık kuvveti W nin cisim içindeki etki noktası M ye verilen addır ve bu noktanın koordinatları kitapta ),,( MMM zyx biçimin-de tanımlanacaktır (Bakınız Şekil 4.1).

4.2. DÜZLEMSEL ALANLARDA AĞIRLIK MERKEZİ

(İNTEGRASYON YÖNTEMİ) İki boyutlu cisimler plaklar ve teller diye iki sınıfa ayrılabilir. Şimdi önce plakları ele alalım. Kalınlığı t sabit= ve özgül ağırlığı sabit = olan Şekil (4.2) deki homojen düzlem plaktaki hacim elemanı dV nin dife-ransiyel ağırlığı d dW=-W k integre edilirse, ( , )x y düzlemindeki pla-ğın toplam ağırlığı dW=-òW k elde edilir. Şu halde, plak ağırlık mer-kezi ),(M MM yx nin koordinatları,

d

dV

M

V

x Wx

W=òò

ve d

dV

M

V

y Wy

W=òò

(4.5)

biçiminde hesaplanır. Şekil (4.2) deki düzlemsel homojen plakta:

Plağın alanı : dA

A A= ò (4.6)

4. AĞIRLIK MERKEZİ 73

Diferansiyel hacim elemanı : d dV t A= (4.7) Diferansiyel hacmin ağırlığı : d dW t A= (4.8)

(4.5) ifadeleri daha da sadeleştirilebilir. Şöyle ki, (4.5) de (4.8) yerleş-tirilip, pay ve paydadaki sabitt = sadeleştirilirse,

►

d

d

d

d

AM

A

AM

A

x Ax

A

y Ay

A

=

=

òòòò

(4.9)

elde edilir. (4.9) da alanın eksenlere göre birinci dereceden momentleri,

► dxA

S y A= ò ve dy AS x A= ò

sırası ile x ve y eksenlerine göre alanın statik momenti olarak adlandırılır.

ALANIN AĞIRLIK MERKEZİ: Keyfi bir eğrinin çevrelediği alanın ağırlık merkezi hesabında integrasyon kaçınılmazdır. Şekil (4.3a) daki Kartezyen koordinatlarda diferansiyel alan elemanı,

d d dA x y= (4.10)

olurken, Şekil (4.3b) deki kutupsal koordinatlar kullanıldığında diferan-siyel alan elemanı,

d d dA r r = (4.11)

olur. Bunlar (4.9) de yerleştirilirse, ifadeler çift katlı integrallere dönüşür. Şu bir gerçek ki, çift katlı integrasyon yerine uygun bir tek katlı integras-yon kullanılabilirse, bu işlemlerde bir sadelik sağlayacaktır. Bu amaçla çoğu kez dA elemanı ince bir şerit şeklinde alınarak çift katlı intergralden tek katlı integrale geçilebilir. Problemin yapısına bağlı olarak farklı mate-matik adımlar izlenerek genellikle uygun bir tek katlı integrale geçiş yapılabilir. Şimdi sırayla bu matematik adımları görelim.

Kartezyen Koordinat Takımı: Şekil (4.4a) da ( )y y x= eğrisi ve bu eğri ile x ekseni arasında düşey konumda yerleştirilmiş diferansiyel şerit ele-manı Ad görülüyor. Şerit elemanı eğriye keyfi P ( , )x y noktasında temas etmektedir. Burada,

74 STATİK

ÇİZELGE (4.1): Bazı geometrik şekillerin ağırlık merkezi ile alanları.

GEOMETRİ xM yM Alan

üçgen 13 h 12 bh

1/4 daire 43

r

43

r

21

4 r

1/2 daire 0 43

r

212 r

1/4 elips 43

a

43

b

14 ab

1/2 elips 0 43

b

12 ab

Parabol parçası

( )( )

12

na

n+

+

( )( )

14 2n

hn+

+

( )1ah

n+

( )( )

12 4n

an+

+

( )( )

12 1n

hn+

+

( )( )

1n ah

n+

Daire dilimi

2 sin3

r

0 2r