408

PHƯƠNG PHÁP SỐ - Chương 2

Khoa XD DD&CN-BKĐN 4

Chương 2: BỔ TÚC CÁC THUẬT TOÁN VỀ MA TRẬN & HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Trong kỹ thuật ít khi ta tìm được nghiệm chính xác của các bài toàn dưới dạng một biểu thức giải tích. Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tính (PP tính, hay toán học tính toán) cho ta các PP gần đúng, tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình đại số, của phương trình, hệ phương trình vi phân; cách tính gần đúng các đạo hàm, vi phân, xấp xỉ các hàm phức tạp hay hàm cho dưới dạng bảng số bằng các hàm đơn giản..

1. Khái niệm về các dạng ma trận:

1.1. Khái niệm:

Trong vòng nửa thế kỷ nay, lý thuyết ma trận đã được ứng dụng vào các ngành khoa học như toán, lý, cơ học v.v.. Dạng ma trận có ưu điểm là giúp cho việc trình bày thuật toán được ngắn gọn, đơn giản. Đồng thời, do mối quan hệ chặt chẽ giữa các đại lượng liên quan, cung cấp được những thông tin đầy đủ về những điều cần biết trong lập luận tính toán và thực hành thiết kế. Mặt khác, lý thuyết ma trận rất thuận tiện cho việc lập trình để thực hiện quá trình tự động tính toán, thiết kế trên máy tính điện tử.

Ma trận được sử dụng rộng rãi trong PP số vì:

1.Kí hiệu ma trận là 1 trong những kí hiệu cô đọng và rõ ràng trong diễn toán.

2.Cho phép tổ chức 1 cách có hệ thống các số liệu, rất phù hợp với tính toán trên MTĐT.

3.Có thể nhận dạng, vận dụng, điều khiển và phân tích những mảng số liệu bằng những hệ thức toán học chặt chẽ và chính xác.

Trong thực tế ta thường gặp 1 hệ n phương trinh đại số tuyến tính với n ẩn số, ví dụ: 2 0

3 22 4

1 2

1 2 3

2 3

x xx x x

x x

− =− + − =

− + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

;

Nếu gộp các hệ số, các ẩn số và các số hạng tự do vào các mảng, ta có thể viết lại dưới dạng ma trận sau:

2 1 01 3 1

0 1 2

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

xxx

1

2

3

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= 024

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

;

Hoặc cô đọng hơn: [A] {x} = {b} hay A x⎯ →⎯

= b⎯ →⎯

;

Tổng quát: a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =+ + + =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

..

....

⇒ [A] {x} = {b};

Trong cơ học kết cấu, ta đã biết rằng giữa các thành phần nội lực và các thành phần chuyển vị của một phần tử thanh trong hệ phẳng có mối quan hệ như sau:



;..

ii

iii u

LAE

N =

;..

..

..12

22123 ii

iii

i

iii

i

iii L

IEL

IEv

LIE

Q θθ −−=

;..2

..4

..6

2121 ii

iii

i

iii

i

iii L

IEL

IEv

LIE

M θθ ++−=

;..4

..2

..6

2122 ii

iii

i

iii

i

iii L

IEL

IEv

LIE

M θθ ++−=

Trong đó: Ni - lực dọc trong phần tử i; Qi - lực cắt trong phần tử i;

M1i - mô men uốn tại đầu 1 của phần tử; M2i - mô men uốn tại đầu 2;

ui - biến dạng dọc trục của phần tử i; vi - chuyển vị thẳng tương đối (theo phương vuông góc với trục thanh) giữa 2 đầu của phần tử;

θ1i - góc xoay tại đầu 1 của phần tử; θ2i - góc xoay tại đầu 2;

Đặt

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

i

i

i

i

i

MMQN

S

2

1

gọi là vec tơ nội lực của phần tử;

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

i

i

i

i

i

vu

U

2

1

θθ

gọi là vec tơ chuyển vị của phần tử;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−=

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LIE

LAE

k

.4.2.6

.2.4.60

.6.6.120

000.

2

2

223

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

iii

iii

iii

i

efdfedddb

a

00

000

gọi là ma trận độ cứng

của phần tử;

Các hệ thức trên có thể viết lại dưới dạng ma trận: Si = ki.Ui;

Một số bài toán có thể đưa về đại số ma trận: -Phân tích trạng thái ứng suất-biến dạng trong kết cấu, vật thể; -Phân bố dòng chảy trong hệ thống thủy lực phức tạp; -Xác định biên độ dao động trong các hệ cơ học; -Phân bố dòng điện trong mạng phức tạp; -Các bài toán trường (nhiệt, thấm..); -Các bài toán về sóng và chuyển động sóng;



-Các bài toán không dừng khác; -Các bài toán về tối ưu hóa; -Các bài toán phân tích thống kê về kinh tế, xã hội..

1.2. Định nghĩa:

Ma trận là một mảng các số hoặc ký hiệu được sắp xếp thứ tự theo m hàng và n cột. Ta có các kí hiệu khác nhau:

A ≡ [A] ≡ [aij] ≡

a a a aa a a aa a a a

a a a a

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

11 12 1 1

21 22 2 1

1 2

1 2

.. ..

.. .... ..

.. .... ..

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

;

Phần tử aij nằm trên hàng thứ i và cột thứ j.

Tổng quát, MT có m hàng và n cột (mảng chữ nhật).

Kích thước (cỡ) của MT là mxn.

1.3. Các loại Ma trận cơ bản:

1.3.1. Ma trận hàng:

Ma trận chỉ có 1 hàng, cỡ 1xn (m=1)

Kí hiệu: B ≡ [B] ≡ [b1j] ≡ [b1 b2 .. bn].

Còn gọi là vectơ hàng.

1.3.2. Ma trận cột:

Ma trận chỉ có 1 cột, cỡ mx1 (n=1)

Kí hiệu: c⎯ →⎯

≡ [c] ≡ [ci1]T ≡ [c1 c2 .. cm]T ≡

cc

cm

1

2

..

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

;

Còn gọi là vectơ cột hay vectơ.

1.3.3. Ma trận vuông:

Ma trận có số hàng và số cột bằng nhau (m=n).

Cấp của ma trận vuông là số hàng (cột)

Tính toán định thức và nghịch đảo chỉ tiến hành được trên ma trận vuông.

1.3.4. Ma trận đường chéo:

Ma trận vuông có các số hạng bằng 0 trừ các số hạng trên đường chéo chính.



Kí hiệu: ⎡D⎦ ≡ ⎡d11 d22 .. dnn⎦ ≡ ⎡dii⎦

Để tiết kiệm ô nhớ, khi lưu trữ trong MTĐT ta dùng mảng 1 chiều D(I) = dii

1.3.5. Ma trận vô hướng:

Ma trận chéo nhưng các số hạng khác 0 đều bằng nhau

Kí hiệu: ⎡ a ⎦ ≡ ⎡ a a .. a ⎦ với aij = a khi i j

khi i j=⎧

⎨⎩0 #

Số vô hướng là một ma trận cấp 1 (chỉ có 1 phần tử).

1.3.6. Ma trận đơn vị: Ma trận chéo có mọi số hạng trên đường chéo chính bằng 1.

Kí hiệu: [ I ]n ≡ ⎡ 1 1 .. 1 ⎦ với iij = 10

khi i jkhi i j

=⎧⎨⎩ #

Cỡ của ma trận đơn vị thường không cần biết.

1.3.7. Ma trận rỗng:

Ma trận có mọi số hạng đều bằng 0.

Kí hiệu: [ 0 ]n

Tương tự ta có vectơ không {0}.

1.3.8. Ma trận đối xứng:

Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đường chéo chính có giá trị bằng nhau. aij = aji

Ma trận đối xứng rất hay gặp trong các bài toán kỹ thuật. Để tiết kiệm ô nhớ thường chỉ cần lưu trữ một nửa ma trận theo đường chéo chính.

1.3.9. Ma trận phản xứng:

Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đường chéo chính có giá trị đối nhau. aij = -aji

Tất nhiên, các số hạng trên đường chéo chính đều bằng 0.

1.3.10. Ma trận tam giác:

Có 2 loại:

Ma trận tam giác trên (phải): Các số hạng bên dưới (trái) đường chéo chính đều bằng 0, Kí hiệu: U (upper)

Ma trận tam giác dưới (trái): Các số hạng bên trên (phải) đường chéo chính đều bằng 0, Kí hiệu: L (lower)



Đối xứng

=0 Nửa dãi

n0 phần tử

1.3.11. Ma trận vệt (băng, dãi):

Với k đường chéo, các phần tử không nằm trên đường chéo chính và một số đường chéo đều bằng 0, trừ các phần tử khác nằm trên băng (có trục là đường chéo chính) có bề rộng là k.

Trong các bài toán cơ học ta thường gặp các loại ma trận băng đối xứng. Khi đó ta có điều kiện: aij = 0 với j > i + n0.

Trong đó chiều rộng của băng sẽ là k=2n0 +1 (n0 là số đường chéo có phần tử ≠ 0 ở một bên đường chéo chính. Khi n0 = 0 ⇒ ma trận chéo)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xxx

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

....

....

....

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

..

..

..

..

..

..

Để tiết kiệm bộ nhớ trên máy tính, các phần tử của ma trận được lưu trữ trong một ma trận chữ nhật: số hàng bằng số hàng của ma trận gốc, số cột là n0 +1. Cùng một phần tử nằm trong 2 ma trận sẽ có chung chỉ số hàng, còn chỉ số cột có quan hệ như sau: j’ = j - i + 1;

Trong đó: j’ là chỉ số cột trong ma trận chữ nhật, j là chỉ số cột trong ma trận vuông.

2. Các phép tính với ma trận:

2.1. Phép chuyển trí: [A]T

[A]T là ma trận chuyển trí của [A] nếu hàng của [A]T là cột của [A] và ngược lại.

Ta có aTij = aji

Ví dụ: Cho [A] = a b cd e f⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ sẽ có [A]T =

a db ec f

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

;

Nếu [A] có cỡ mxn thì [A]T có cỡ là nxm;

MT chuyển trí của MT đối xứng là chính nó: AT = A;

Đảo lại nếu có AT = A thì A là MT đối xứng.

Chuyển trí của MT phản xứng là MT đối: AT = -A;

Chuyển trí của MT chia khối là MT chuyển trí của các MT con đã chuyển trí:

[A] = A A AA A A

11 12 13

21 22 23

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⇒ [A]T =

A AA AA A

T T

T T

T T

11 21

12 22

13 23

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

;

0

n0 phần tử



[AT]T = A;

2.2. Phép cộng, trừ: [A] ± [B]

Điều kiện: Các ma trận phải có cùng kích thước (m x n)

Tổng (hiệu) của ma trận [A] và [B] là ma trận [C] có các số hạng: cij = aij + bij

Ví dụ: 2 3 10 1 2−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ±

1 1 22 4 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+ ++

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3 4 32 3 21 2 12 5 2

( )

( )

tong

hieu

Phép cộng và trừ có tính chất giao hoán và kết hợp:

[A] ± [B] = ± [B] + [A].

[A] + [B] ± [C] = ([A] + [B]) ± [C].

([A] ± [B])T = [A]T ± [B]T.

Cộng (trừ) hai ma trận cỡ (m x n) nói chung phải thực hiện m x n phép tính. Nếu là ma trận đặc biệt (đối xứng, băng) số phép tính có thể giảm.

2.3. Phép phân tích ma trận thừa số:

Mọi [A] đều có thể phân tích được thành tổng của, hoặc:

+Hai ma trận: một ma trận đối xứng, một ma trận phản xứng.

Cho ma trận [A], nếu ký hiệu: B1 = 12

(A + AT) (ma trận đối xứng)

B2 = 12

(A - AT) (ma trận phản xứng)

Sẽ có A = B1 + B2;

Ví dụ: 1 52 7⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

1 3535 7

..

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

0 1515 0

..−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ;

+Ba ma trận: một ma trận đường chéo, hai ma trận tam giác (trên và dưới).

A = D + L + U

Nếu A đối xứng thì LT = U, ta có A = D + L + LT

2.4. Phép nhân ma trận với 1 vô hướng λ:

Tích của [A] với vô hướng λ là 1 ma trận [C] với các phần tử đã được nhân với λ:

cij = λaij . Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ

Khi nhân với (-1) ta được ma trận đổi dấu so với ma trận xuất phát: (-1)[A] = [-A].

Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân phối và tính kết hợp:

λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); (α + β)A = αA + βA;



2.5. Phép nhân hai ma trận: [A].[B]

Điều kiện: Hai ma trận phải tương thích, nghĩa là số cột của ma trận đứng trưóc phải bằng số hàng của ma trận đứng sau.

Kí hiệu:[C]mxp = [A]mxn.[B]nxp

Qui tắc: muốn có số hạng tổng quát cij phải nhân lần lượt các số hạng của hàng thứ i của [A] với các số hạng thuộc cột thứ j của [B] rồi cộng lại:

cij = a bir rjr

n.

=∑

1 (i= 1÷ m; j= 1÷ p)

Ví dụ: 1 2 34 5 67 8 9

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

a xb yc z

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= a b c x y za b c x y za b c x y z

+ + + ++ + + ++ + + +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2 3 2 34 5 6 4 5 67 8 9 7 8 9

;

Số phép tính là m x n x p, tuy nhiên có thể rút bớt nếu không thực hiện với các số hạng rỗng, ví dụ với ma trận băng đối xứng:

2 1 0 02 1 0

2 11

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

4123

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

2 4 1 11 4 2 1 1 21 1 2 2 1 3

1 2 1 3

+ −− + + −− + + −

− +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

74

01

−⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

;

Ở đây chỉ thực hiện 10 phép tính thay cho 4x4x1 phép tính.

Tính chất của phép nhân:

2.5.1. Phép nhân không có tính giao hoán:

Nói chung A B # B A

Vì: -A có thể tương thích với B, nhưng B có thể không tương thích với A.

-Nếu cả A và B lẫn B và A đều tương thích nhưng kích thước 2 tích có thể khác nhau, ví

dụ: 12⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

[ ]3 4 = 3 46 8⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ # [ ]3 4

12⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= 11;

-Nếu cả 2 tích cùng kích thước cũng có thể khác nhau, ví dụ:

0 11 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A

1 10 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B =

0 11 1

1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C #

1 10 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

B

0 11 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A =

1 11 0

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

C;

Vậy bạn cần phân biệt thứ tự các ma trận trong phép nhân.

Trường hợp hoán vị được khi:

+Nhân MT vô hướng với MT vuông cùng cấp:

⎡ λ ⎦ [A] = [A] ⎡ λ ⎦ = [λA] ≡ λ λ λ

λ λ λ

a a a

a a a

n

n n nn nxn

11 12 1

1 2

........ ... ...

...

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

;



+Đặc biệt với MT đơn vị và MT rỗng:

[ I ] [ A ] = [ A ] [ I ] = [ A ] ; [ 0 ] [ A ] = [ A ] [ 0 ] = [ 0 ]

+Nhân 2 MT chéo cùng cấp:

⎡ aii ⎦ ⎡ bii ⎦ = ⎡ aii bii ⎦ =

a ba b

a bnn nn

11 11

22 22

...

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= ⎡ bii ⎦ ⎡ aii ⎦ ;

2.5.2. Tính kết hợp và tính phân phối:

Có thể áp dụng cho phép nhân nhưng phải chú ý thứ tự MT.

-Kết hợp: A B C = (A B) C = (A) (B C).

-Phân phối: A (B + C) = A B + A C

(A + B) C = A C + B C. (tốn bộ nhớ hơn vế 1)

α(A B) = α(A) B = A (αB).

2.5.3. Tính chất của MT tích chuyển trí:

(A B)T = BT AT ; (A B C)T = CT BT AT ; (A B C.. P Q)T = QT PT .. CT BT AT ;

(A AT)T = (AT)T (AT) = A AT . (Vậy A AT luôn đối xứng)

Nếu A đối xứng: (BT A B)T = BT AT B = BT A B. (Vậy BT A B cũng đối xứng)

Chú ý:

Trong phép nhân MT tích có thể bằng 0, nhưng chưa chắc 2 MT thành phần là MT rỗng [0].

Nhưng ngược lại, nếu 1 trong 2 MT thành phần (A hoặc B) là rỗng thì chắc chắn MT tích (AB hoặc BA) là rỗng.

Nói chung, không thể giảm ước MT một cách đơn giản như các số thường vì không có phép chia MT (AB = CB nhưng chưa chắc A = C, ngược lại thì đúng!).

2.6. Phép nghịch đảo ma trận: [A]-1

Điều kiện: 1. Ma trận vuông;

2. Không suy biến (det A # 0)

Định nghĩa: Nghịch đảo của MT vuông [A] là MT [A]-1 cùng kích thước với [A] và thỏa mãn đẳng thức: [A] [A]-1 = [A]-1 [A] = [ I ].

Tính chất:

1. Nếu A khả nghịch thì A-1 tồn tại duy nhất;

Thực vậy, nếu X là một ma trận mà: X.A = I ⇒ X.A.A-1 = I.A-1 = A-1 ⇒ X.I = A-1

Tức là X = A-1.

2. (A B)-1 = B-1 A-1; (A B .. M N)-1 = N-1 M-1 .. B-1 A-1;



Giả sử X = A B ⇒ X-1 X = X-1 A B ⇒ I = X-1 A B ⇒ I B-1 = X-1 A B B-1 ⇒ B-1 = X-1 A.

⇒ B-1 A-1 = X-1 A A-1 ⇒ B-1 A-1 = X-1.

Vậy B-1 A-1 = (A B)-1.

Với k là 1 vô hướng thì: (kA)-1 =Ak

−1;

3. (A-1 )-1 = A;

Dễ thấy: A-1 (A-1 )-1 = I ⇒ A A-1 (A-1 )-1 = A I ⇒ I (A-1 )-1 = A ⇒ (A-1 )-1 = A.

4. (AT)-1 = (A-1)T;

Ta có: (A-1)T AT = (A A-1)T = IT = I;

Vậy (A-1)T là nghịch đảo của AT hay (AT)-1 = (A-1)T;

5. Nếu A đối xứng, A-1 cũng đối xứng.

Ta có: (AT)-1 = (A-1)T.

Nếu A là ma trận đối xứng thì A-1 = (AT)-1 = (A-1)T. Vậy A-1 là ma trận đối xứng.

6. Với MT chéo giả: ⎡A11 A22 . . .Ann ⎦-1 = ⎡A-111 A-1

22 . . . A-1nn ⎦ .

Các phương pháp nghịch đảo 1 MT vuông:

1. Giải hệ n phương trình n ẩn số: [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A]-1

2. Giải bằng MT liên hợp A~

với phần phụ ĐS Aij .

3. Phương pháp Gauss (PP khử dần hệ số)

4. Phương pháp Jordan (Joocđăng)

5. Phương pháp Cholesky (Khaletxki) (phân tích thành MT tam giác)

6. Phương pháp viền quanh (đảo MT tam giác)

7. Phương pháp lặp khác..

Thuật toán và chương trình xác định MT đảo theo PP khử Gauss:

Bước 1: Cho MT A, lập MT đơn vị E (ta có A A-1 = E)

Bước 2: Tiến hành quá trình khử Gauss đối với MT A, đồng thời thực hiện các thao tác tương tự với MT E. Kết quả nhận được MT đảo A-1 từ MT E. (Thuật toán khử Gauss xem phần giải hệ phương trình đại số tuyến tính)



2.7. Ma trận biến đổi toạ độ:

Trong các bài toán cơ học, ta thường có nhu cầu xác định các đặc trưng cơ học của các phần tử hoặc của hệ kết cấu (nội lực, tải trọng, chuyển vị..) trong các hệ toạ độ khác nhau cũng như biến đổi toạ độ của chúng từ hệ toạ độ này sang một hệ toạ độ khác.

Giả sử có vectơ A và 2 hệ toạ độ 3 chiều: hệ toạ độ chuẩn (chung, toàn cục) XG,YG,ZG và hệ toạ độ cục bộ (riêng) xL,yL,zL. Toạ độ của vectơ A trên hệ XG,YG,ZG là AxG, AyG, AzG, và trên hệ xL,yL,zL là AxL, AyL, AzL.

Định nghĩa côsin định hướng giữa 2 hệ toạ như sau:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

)1.23(;,cos;,cos;,cos;,cos;,cos;,cos;,cos;,cos;,cos

333231

232221

131211

−=========

GLGLGL

GLGLGL

GLGLGL

ZZYZXZZYYYXYZXYXXX

λλλλλλλλλ

Ta có công thức chuyển trục toạ độ như sau:

)2.23(;...;...;...

333231

232221

131211

−++=++=++=

zGyGxGzL

zGyGxGyL

zGyGxGxL

AAAAAAAAAAAA

λλλλλλλλλ

Hay hệ thức ma trận giữa AxL, AyL, AzL và AxG, AyG, AzG như sau:

)3.23(;.

333231

232221

131211

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zG

yG

xG

zL

yL

xL

AAA

AAA

λλλλλλλλλ

hay AL = T.AG; (3-2.3a)

Tương tự ta có hệ thức ma trận giữa AxG, AyG, AzG và AxL, AyL, AzL:

)4.23(;.

332313

322212

312111

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zL

yL

xL

zG

yG

xG

AAA

AAA

λλλλλλλλλ

hay AG = TT.AL; (3-2.4a)

Ma trận T gọi là ma trận biến đổi toạ độ giữa 2 hệ toạ độ xL,yL,zL và XG,YG,ZG.

Thế (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: AG = TT. T.AG; ⇒ TT. T = I ;

Nghĩa là TT là nghịch đảo của T. Hay TT = T-1; Ta gọi T là ma trận trực giao.

A

XG

YG

ZG

AxG

AyG

AzG

xL

yL

zL

AyL

AzL

AxL



3. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính:

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

n n nn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

...

........ .....

...

⇒ [A] {x} = {b};

Trong thực tế ma trận hệ số A có thể là:

+Ma trận đầy đủ, không đối xứng.

+Ma trận băng.

+Ma trận đối xứng.

3.1. Phương pháp khử Gauss (khử ẩn liên tiếp):

Thực chất của phương pháp Gauss là khử dần các phần tử của ma trận hệ số để cuối cùng có được một ma trận tam giác trên. Quá trình thực hiện được chia làm nhiều vòng, ở mỗi vòng được bắt đầu với hàng thứ 2 của ma trận, lấy hàng đó trừ đi hàng thứ nhất nhân với phần tử đầu tiên của hàng đó và chia cho phần tử đầu tiên của hàng thứ nhất. Và sau mỗi vòng bậc của ma trận cần biến đổi giảm đi 1.

Để đơn giản ta trình bày PP giải cho hệ 4 phương trình sau (và việc mở rộng cho n tùy ý là hoàn toàn tương tự):

a x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x b

11 1 12 2 13 3 14 4 1

21 1 22 2 23 3 24 4 2

31 1 32 2 33 3 34 4 3

41 1 42 2 43 3 44 4 4

+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

; (3-3.1)

Sau vòng thứ nhất (giả sử a11 # 0, nếu a11=0 thì có thể đổi vị trí ẩn số và thứ tự phương trình để có a11#0), ma trận hệ số có cột thứ nhất chỉ còn phần tử a11:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)1(44

)1(43

)1(42

)1(34

)1(33

)1(32

)1(24

)1(23

)1(22

14131211

000

aaaaaaaaaaaaa

Sau vòng thứ hai (biến đổi ma trận với các phần tử a(1)ij với i=3..n, j=3..n), có được ma trận hệ

số:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)2(44

)2(43

)2(34

)2(33

)1(24

)1(23

)1(22

14131211

0000

0

aaaaaaaaaaa

Và sau vòng thứ ba:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)3(44

)2(34

)2(33

)1(24

)1(23

)1(22

14131211

00000

0

aaaaaaaaaa

Hệ phương trình (3-3.1) trở thành hệ phương trình đại số tuyến tính có ma trận hệ số là ma trận tam giác.

Tổng quát: như vậy sau khi thực hiện n-1 vòng tính như trên đối với ma trận hệ số A và ma trận các số hạng tự do B, ta có được hệ phương trình:



)2.33(;.......00

......00..0..

)1(

)2(1

)1(2

1

1

2

1

)1(

)2(1

)2(11

)1(2

)1(12

)1(22

1111211

−

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−−

−−−

−

−

nn

nn

n

nnnn

nnn

nnn

nn

nn

bb

bb

xx

xx

aaa

aaaaaaa

Các phần tử của các ma trận A và B trong mỗi vòng tính (gọi k là chỉ số thứ tự của vòng lặp đang thực hiện) được biến đổi theo các công thức sau:

;. )1(

)1()1()1()(

−

−−− −= k

ss

kisk

sjk

ijk

ij aa

aaa

;. )1(

)1()1()1()(

−

−−− −= k

ss

kisk

sk

ik

i aa

bbb

;,,2,1,;1,,2,1 nkkjink KK ++=−=

Từ đó ta được giá trị các ẩn:

;)1(

)1(

−

−

= nnn

nn

n ab

x

( )

;.

)2(11

)2(1

)2(1

1 −−−

−−

−−

−

−= n

nn

nn

nnn

nn a

xabx

;1,,3,2;.

)1(1

)1()1(

K−−=−

= −+=

−− ∑nnj

a

xabx j

jj

n

jrr

jrj

jj

j

3.1.1. Trường hợp ma trận hệ số đối xứng:

Trường hợp ma trận hệ số đối xứng cách tính toán thực hiện tương tự, ngoài ra do tính chất đối xứng aij = aji nên ở vòng thứ k theo (3-3.3) ta có:

;. )1(

)1()1()1()(

−

−−− −= k

ss

kisk

sjk

ijk

ij aaaaa

;. )1(

)1()1()1()(

−

−−− −= k

ss

kjsk

sik

jik

ji aa

aaa

Trước phép biến đổi Gauss có aij = aji, và sau biến đổi theo các công thức trên cũng có a(k)ij =

a(k)ji, vậy trước và sau phép biến đổi Gauss các phần tử đối xứng vẫn giữ nguyên tính đối xứng.

Do đó, thuật toán khử chỉ phải tiến hành đối các phần tử từ ma trận tam giác trên. Aïp dụng công thức (3-3.3) với các phần tử từ ma trận tam giác trên (có j≥i) và aij = aji:

(3-3.3)

(3-3.4)



Miền I (i=1, .. ,n-n0)

Miền II (i=n-n0+1, .. ,n)

n0 hàng

)5.33(

,,1,,,2,1

.

.

)1(

)1()1()1()(

)1(

)1()1()1()(

−

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+=++=

−=

−=

−

−−−

−

−−−

niijnssi

aa

bbb

aa

aaa

kss

ksik

sk

ik

i

kss

ksik

sjk

ijk

ij

K

K

3.1.2. Trường hợp ma trận hệ số là ma trận dãi đối xứng:

Tương tự như trường hợp ma trận đối xứng, thuật toán khử chỉ phải tiến hành đối các phần tử từ ma trận tam giác trên, ngoài ra trong mỗi vòng phép khử chỉ làm thay đổi các phần tử trong phạm vi chiều rộng của băng (vì sau các phép biến đổi các phần tử còn lại bằng 0 hoặc không thay đổi). Vì vậy ở vòng thứ k miền tính toán được xác định như hình vẽ:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

xxx

xxxxxxxxx

xxxaxxxx

xxxx

kss

....

....

....

)1(

Aïp dụng công thức (3-3.5) với các phần tử có chỉ số hàng từ i=s+1 đến s+n0 và chỉ số cột j=i đến s+n0:

)6.33(

;,,1,;,,2,1

;1,,2,1

;.

;.

0

0

)1(

)1()1()1()(

)1(

)1()1()1()(

−

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

++=+++=

−=

−=

−=

−

−−−

−

−−−

nsiijnsssi

nkaa

bbb

aa

aaa

kss

ksik

sk

ik

i

kss

ksik

sjk

ijk

ij

K

K

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx

....

....

....

Cách tính các ẩn số được tiến hành theo 2 miền như sau:

Miền I:

;)1(

)1(

−

−

= nnn

nn

n ab

x

;.

1

ii

n

ijjiji

i a

xabx

∑+=

−=

(3-3.7)



;1,,2,1 0 +−−−= nnnni K

Miền II:

;.

0

1

ii

ni

ijjiji

i a

xabx

∑+

+=

−=

;1,,1, 00 K−−−= nnnni

3.2. Phương pháp khử Gauss với phép chia cho phần tử chính:

Tư tưởng của phương pháp này là chọn trong các hệ số aij hệ số có trị tuyệt đối lớn nhất được gọi là phần tử chính, dòng chứa phần tử chính gọi là dòng chính. Tiếp theo thực hiện việc khử ẩn với dòng chính sao cho cột chứa phần tử chính sau khi khử trừ phần tử chính còn các phần tử khác đều bằng 0. Bỏ cột và dòng chứa phần tử chính (khử đi 1 ẩn) và tiếp tục tương tự với hệ phương trình còn lại.

Việc chia cho phần tử chính làm cho giá trị tuyệt đối của phép chia là bé nhất vì vậy giảm được sai số tính toán.

3.3. Phương pháp cải tiến Jordan Gauss:

Nếu trong phương pháp chia cho phần tử chính ở mỗi bước ta không bỏ đi dòng chứa phần tử chính và những dòng đã chứa phần tử chính ở các bước trước không tham gia vào việc chọn phần tử chính trong các bước tiếp theo thì ta sẽ đưa hệ phương trình đã cho về hệ tương đương với MT hệ số dạng đường chéo.

Kết quả là ta có thể xác định giá trị của các ẩn số từ từng phương trình của hệ tương đương.

x bx b

x b

x b

n

n

n

n n n

1 1 1

2 2 1

3 3 1

1

0

0

( )

.... ...( )

( )

( )

( )

( )

= ===

= =

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

+

+

+

+

;

Ta có thể cùng một lúc thực hiện các phép tính biến đổi trên ma trận A và ma trận đơn vị I. Khi ma trận A trở thành ma trận đơn vị thì ma trận đơn vị I ban đầu trở thành nghịch đảo của ma trận A. Đây là thuật toán để tìm nghịch đảo của ma trận A.

3.4. Phương pháp căn bậc hai: (khi MT hệ số là MT đối xứng)

Nội dung của PP gồm 2 giai đoạn:

-Giai đoạn thuận:

Biễu diễn MT A dưới dạng tích hai MT chuyển trí của nhau: A = TT.T, trong đó:

T=

t t tt t

t

n

n

nn

11 12 1

22 20

0 0

...

... ... ... ......

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

, TT=

tt t

t t tn n nn

11

12 22

1 2

0 00

...

... ... ... ......

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

;

(3-3.8)



Nhân TT với T rồi đồng nhất với các phần tử của A ta được:

t11 = a11 ; t1j = at

j1

11; (j > 1) tii = a tii ki

k

i−

=

−∑ 2

1

1; (1< i ≤ n),

tij = a t t

t

ij ki kjk

i

ii

−=

−∑

1

1

; (i < j) tij = 0 ; (i > j)

Như vậy hệ PT Ax = b được chuyển thành việc giải 2 hệ tam giác:

TTy = b, Tx = y.

-Giai đoạn nghịch:

Viết lại các hệ tam giác dưới dạng tường minh:

t y bt y t y b

t y t y t y bn n nn n n

11 1 1

12 1 22 2 2

1 1 2 2

=+ =

+ + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.... ......

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−

=

=

∑−

= )1(;

;

1

1

11

11

it

ytby

tby

ii

i

kkkii

i

t x t x t x yt x t x y

t x y

n n

n n

nn n n

11 1 12 2 1 1

22 2 2 20+ + =

+ =

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

...

....... ...

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<−

=

=

∑+= )(;

;

1 nit

xtyx

ty

x

ii

n

ikkiki

i

nn

nn



Chương trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính theo PP cải tiến Jordan Gauss:

Giải HPT ĐSTT bằng PP khử Gauss

START

Nhập n, A(aij), B(bi) (i, j = 1, 2, .., n).

aii≠0 (Nếu aii=0 phải đổi vị trí ẩn số

và thứ tự phương trình)

In xi (i= 1, 2, ..n)

STOP

i = 1, 2, .., n

j = i+1, .., n

pj = aji/aii

k = i+1, .., n

ajk = ajk - pj.aik

bj = bj - pj.bi

Gọi CT con giải HPT có hệ số là MT tam giác

START

Nhập n, A(aij), B(bi) (i = 1, 2, .., n), i ≤ j ≤ n.

RETURN

Chương trình con giải HPT có ma trận hệ số là MT tam giác

S = bi

j = i+1, .., n

S = S - aij.xj

i = n-1, n-2, .., 1

ann≠0

xn = bn/ann

aii≠0

xi = S/aii Ptrình

Vô nghiệm

đúng

sai

đúng

sai



Chương 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG. 1. Thuật toán nội suy:

1.1. Giới thiệu

Trong thực tế ta thường gặp bài toán: bằng đo đạc hoặc thực nghiệm ta có được giá trị của hàm số y=f(x) tại các điểm x0, x1, x2.. xn trên đoạn [a, b] là y0, y1, y2.. yn trong khi chưa biết được biểu thức giải tích của hàm số đó. Yêu cầu xác định giá trị của hàm tại một số điểm trung gian khác. Để gải bài toán trên, ta xây dựng hàm F(x) có biểu thức đơn giản sao cho: có giá trị trùng với giá trị của hàm f(x) tại các điểm x0, x1, x2.. xn, còn tại các điểm khác trên đoạn [a. b] thì F(x) khá gần f(x). Bài toán xây dựng hàm F(x) như vậy gọi là bài toán nội suy. Hàm F(x) gọi là hàm nội suy của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Có thể có nhiều hàm F(x) thoả mãn các điều kiện của bài toán nội suy, nhưng người ta thường chọn đa thức làm hàm nội suy. Vì đa thức là loại hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc xác định giá trị của chúng cũng đơn giản. Mặt khác, nếu ta chọn hàm nội suy F(x) là đa thức bậc không quá n thì đa thức đó là duy nhất.

1.2. Thuật toán nội suy bậc nhất để tra bảng 1 chiều:

1.2.1. Bài toán:

Giả sử quan hệ giữa 2 đại lượng x và y được cho trước bởi n điểm dưới dạng bảng như sau:

Khi biết một giá trị x0 bất kỳ nào đó và x0 ∈ [xi-1, xi], ta cần xác định x y

giá trị y0 ∈ [yi-1, yi] tương ứng. x1 y1

Thuật toán: Để xác định y0, giả thuyết rằng trên đoạn đã cho quan x2 y2

hệ giữa x và y là bậc nhất. Khi đó ta có phép nội suy bậc nhất như sau: .. ..

-Giả sử giá trị tìm được của x0 trong bảng tra thỏa mãn điều kiện xi yi

xi-1 < x0 < xi . .. ..

-Cho rằng y biến đổi bậc nhất theo x trên đoạn [xi-1, xi], đồ thị biểu xn yn

diễn quan hệ x-y là đoạn thẳng AB với A(xi-1, yi-1) và B(xi, yi), điểm cần tìm C(x0, y0) được xác định dễ dàng theo quan hệ đồng dạng của các tam giác ABE và ACD:

y0 = yi-1 +CD

Mà CDBE

ADAE

= ⇒ CD = ( )y yx x

x xi i

i ii

−−

−−

−−

1

10 1 ;

⇒ y0 = yi-1 + ( )y yx x

x xi i

i ii

−−

−−

−−

1

10 1 ; (3-5.1)

y B

C

E D A

xi-1 xi x0

yi

yi-1

x O

y0



1.2.2. Chương trình:

-Đọc số liệu bảng tra vào các vectơ X(n), Y(n). Cho giá trị x0;

-Tìm vị trí của x0 trong bảng tra thỏa: xi-1 ≤ x0 ≤ xi như sau:

i:=1;

REPEAT

i:=i+1;

UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);

-Xác định y0 theo công thức trên (3-5.1).

Ghi chú: Nếu x0 <x1 có thể ngoại suy theo khoảng đầu tiên (x1, x2).

Nếu x0 >xn có thể ngoại suy theo khoảng cuối cùng (xn-1, xn).

1.3. Thuật toán nội suy bậc nhất để tra bảng 2 chiều:

1.3.1. Bài toán:

Giả sử quan hệ hàm 2 biến z=f(x,y) được cho dưới dạng bảng 2 chiều z(x,y):

y

x

y1 y2 .. .. yj-1 y0 yj .. .. yn

x1

x2

..

xi-1 zi-1,j-1 zi-1,j

x0 z1 z0 z2

xi zi,j-1 zi,j

..

xm

Biết x0 và y0, ta phải xác định giá trị z0= f(x0,y0) tương ứng theo phép nội suy bậc nhất.

-Giả sử tìm được vị trí của x0 và y0 trong bảng tra, thỏa điều kiện:

xi-1 < x0 < xi

yj-1 < y0 < yj .

-Trên cột (j-1) nội suy theo x0 để tìm được z1 (tức là z1=f(x0,yj-1):

z1 = zi-1,j-1 + ( )z zx x

x xi j i j

i ii

, ,− − −

−−

−−

−1 1 1

10 1 ; (3-5.2)

-Trên cột j nội suy theo x0 để tìm được z2 (tức là z2=f(x0,yj):

z2 = zi-1,j + ( )z zx x

x xi j i j

i ii

, ,−

−−

−

−−

1

10 1 ; (3-5.3)



-Nội suy z0 từ z1 và z2 theo y0:

z0 = z1 + ( )z zy y

y yj j

j2 1

10 1

−−

−−

− ; (3-5.4)


-Đọc số liệu bảng tra vào các vectơ X(m), Y(n) và Z(m,n). Cho giá trị x0 và y0;

-Tìm vị trí của x0 và y0 trong bảng tra thỏa điều kiện: x x xy y y

i i

j j

−

−

≤ ≤≤ ≤

⎧⎨⎩

1 0

1 0;

i:=1;

REPEAT

i:=i+1;

UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);

j:=1;

REPEAT

j:=j+1;

UNTIL (y0<=Y[j]) AND ((y0>=Y[j-1]);

-Xác định z0 theo trình tự với các công thức trên.

1.4. Xấp xỉ n+1 điểm mốc (nút) cho trước bằng đa thức bậc n:

1.4.1. Bài toán:

Quan hệ giữa hai đại lượng x và y được cho bởi n+1 điểm rời rạc (điểm mốc) bất kỳ.

Giả thuyết dạng của hàm y=f(x) là một đa thức bậc n:

y = f(x) = a0 + a1x + a2x2 +..+ anxn;

Cần xác định đa thức này, tức cần xác định các hệ số của đa thức (a0, a1, a2,.. , an) sao cho đồ thị của hàm đi qua n+1 điểm đã cho.

-Số liệu đã cho: x x1 x2 .. xi .. xn xn+1

y y1 y2 .. yi .. yn yn+1

Theo điều kiện đặt ra để đồ thị của hàm đi qua n+1 điểm mốc đã cho ta phải có:

f(x1) = a0 + a1 x1 + a2 x12 +..+ an x1

n = y1;

f(x2) = a0 + a1 x2 + a2 x22 +..+ an x2

n = y2;

.. .. ..

f(xn) = a0 + a1 xn + a2 xn 2 +..+ an xn

n = yn;

f(xn+1) = a0 + a1 xn+1 + a2 xn+1 2 +..+ an xn+1

n = yn+1;



⇒

11

1

1 12

1

2 22

2

1 12

1

x x xx x x

x x x

n

n

n n nn

..

.... ..

..+ + +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

aa

an

0

1

..

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

yy

yn

1

2

1

..

+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

; (3-5.5)

Hay An+1,n+1 X = B;

Như vậy vectơ hệ số của đa thức cần tìm chính là nghiệm của hệ PT đại số tuyến tính (3-5.5).


-Đọc số liệu tọa độ của n+1 điểm mốc vào các vectơ x(n+1), y(n+1);

-Xây dựng hệ PT(3-5.5):

FOR i:=1 TO n+1 DO

BEGIN

A[i,1]:=1;

FOR j:=2 TO n+1 DO A[i,j]:= A[i,j-1]*x[i];

B[i]:=Y[i];

END;

-Giải hệ PT An+1,n+1 X = B theo các PP đã biết.

1.5. Đa thức nội suy Lagrăng (LAGRANGE) với nút không cách đều:

1.5.1. Bài toán:

Giả sử trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm nút a ≤ x0 < x1 < x2 <.. <xn ≤ b và giá trị của hàm y=f(x) tại các điểm nút đó là yi=f(xi), i=0, 1, .., n. Yêu cầu xây dựng một đa thức bậc n:

Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + .. + an-1x + an.

Sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi, nghĩa là: Pn(xi) =yi; i= 0, 1, .., n.

Lagrăng đã xây dựng đa thức nội suy dưới dạng:

)6.53();(.)(0

−=∑=

n

jjjn xLyxP

Trong đó:

)7.53(;)(..)).((..)).((

)(..)).((..)).(()(

1110

1110 −−−−−−

−−−−−=

+−

+−

njjjjjjj

njjj xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL Như vây đa thức nội suy

Lagrăng thoả mãn các điều kiện của bài toán trên.

Thật vậy, vì Lj(x) là đa thức bậc n nên (3-5.6) là đa thức bậc n.

Ngoài ra: ⎩⎨⎧

≠=

=jikhijikhi

xL ij 01

)( nên Pn(xi) = yi; i =0, 1, .., n.

Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng là đơn giản, nhưng nếu thêm nút nội suy thì phải tính lại toàn bộ.



1.5.2. Sơ đồ khối của thuật toán:

STOP

In kết quả f(x) (f(x) = P) START

Nhập x, n, x0, x1, ..xn; y0, y1, ..yn.

P = 0

j = 0, 1, 2, .., n

G = 1

k ≠ j sai

G = G.(x - xk)/(xj - xk)

P = P + yj.G

k = 0, 1, 2, .., n

đúng



1.6. Đa thức nội suy với nút cách đều:

1.6.1. Sai phân hữu hạn:

Giả sử hàm y=f(x) có giá trị yi = f(xi) tại các nút cách đều nhau với:

xi+1 - xi = h = const; i = 0, 1, 2, .., n.

Ta định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x) như sau:

- Sai phân cấp 1: ∆yi = yi+1 - yi;

- Sai phân cấp 2: ∆2yi = ∆yi+1 - ∆yi = yi+2 - 2yi+1 + yi;

- Sai phân cấp 3: ∆3yi = ∆2yi+1 - ∆2yi = yi+3 - 3yi+2 + 3yi+1 - yi;

..

- Sai phân cấp n: ∆nyi = ∆n-1(∆yi) = ∆n-1yi+1 - ∆n-1yi;

Sai phân hữu hạn của hám số có các tính chất tương tự như các tính chất của vi phân. Giả sử cho hai hàm f(x), g(x) và hằng c, ta có:

∆(f+g) = ∆f + ∆g;

∆(c.f) = c.∆f;

∆n(xn) = n!hn; và ∆m(xn) = 0 khi m > n;

Cho đa thức bậc n:

y = a0xn + a1xn-1 + .. + an-1x + an; khi đó: ∆n(y) = a0n!hn;

1.6.2. Bảng sai phân hữu hạn:

Để xây dựng đa thức nội suy ta phải lập bảng sai phân như sau với các sai phân ∆y, ∆2y, ∆2y được tính theo (3-5.8):

x y ∆y ∆2y ∆3y

x0

x1

x2

x3

..

y0

y1

y2

y3

..

∆y0

∆y1

∆y2

∆y3

..

∆2y0

∆2y1

∆2y2

∆2y3

..

∆3y0

∆3y1

∆3y2

∆3y3

..

1.6.3. Đa thức nội suy Niutơn (Newton) tiến:

Khi cho các nút cách đều xi = x0 + i.h; i = 0, 1, 2, .., n; Niu tơn đã lập đa thức nội suy bậc n:

Pn(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0).(x - x1) + ..+ an(x - x0).. (x - xn-1);

Các hệ số ai được xác định sao cho Pn(xi) = yi: (i=0, 1, .., n)

Cho x = x0 ta được a0 = Pn(x0) = y0;

Cho x = x1 ta được ;)( 001

01

011 h

yh

yyxx

axPa n ∆

=−

=−−

=

(3-5.9)



Tương tự, cho x = xi được: )10.53(;!

0 −∆

= i

i

i hiya

Vậy đa thức nội suy có dạng:

);()..(!

..)).((!2

)(!1

)( 100

1020

2

00

0 −−−∆

++−−∆

+−∆

+= nn

n

n xxxxhnyxxxx

hyxx

hyyxP (3-5.11)

Nếu đặt hxxt 0−

= , suy ra x=x0 + t.h thì: x - xi = x - x0 - i.h = (t - i).h

Thay vào (3-5.11) được:

)12.53(;!

)1()..1(..!2

)1(.)( 002

00 −∆+−−

++∆−

+∆+= yn

ntttyttytyxP nn

Các đa thức theo (3-5.11) và (3-5.12) gọi là đa thức nội suy Niutơn tiến xuất phát từ x0 với các nút cách đều, thường dùng khi tính giá trị hàm tại x gần x0 đầu bảng sai phân.

STOP

In kết quả f(x) (f(x) = P) START

Nhập x, n, x0, h; y0, y1, ..yn.

t = (x - x0)/h

i = 0, 1, 2, .., n - 1

Di = yi+1 - yi

i = 2, 3, .., n

t = t.(t - i + 1)/i

P = P + t. D0

j = 0, 1, .., n - i

Dj = Dj+1 - Dj

P = y0 + t.D0



1.6.4. Đa thức nội suy Niutơn (Newton) lùi:

Đa thức nội suy bậc n tìm được có dạng:

Pn(x) = a0 + a1(x - xn) + a2(x - xn).(x - xn-1) + ..+ an(x - xn).. (x - x1);

Các hệ số ai (i=0, 1, .., n) được xác định sao cho Pn(xi) = yi:

Cho x = xn ta được a0 = Pn(xn) = yn;

Cho x = xn-1, yn-1 = a0 + a1.(-h) được ;11 h

ya n−∆

=

Tương tự, cho x = xi được: )13.53(;!

−∆

= −i

ini

i hiya

Với ai theo (3-5.13), đa thức nội suy có dạng:

);()..(!

..)).((!2

)(!1

)( 10

122

21 xxxx

hnyxxxx

hyxx

hyyxP nn

n

nnn

nn

nn −−∆

++−−∆

+−∆

+= −−− (3-5.14)

Đặt hxxt n−

= , suy ra x=xn + t.h thì: x - xi = x - xn + xn - xi = t.h + (n - i).h = (t + n - i).h; thay

vào (3-5.14) được:

;!

)1()..1(..!2

)1(!1

)( 022

1 yn

ntttyttytyxP nnnnn ∆

−++++∆

++∆+= −− (3-5.15)

Các đa thức theo (3-5.14) và (3-5.15) gọi là đa thức nội suy Niutơn lùi xuất phát từ xn với các nút cách đều, thường dùng khi tính giá trị hàm tại x gần xn cuối bảng sai phân.

Ưu điểm của đa thức nội suy Niutơn là không phải tính lại từ đầu nếu phải thêm nút nội suy mới.

Trong nhiều trường hợp mặc dù đã biết biểu thức giải tích của hàm f(x) nhưng vì nó quá phức tạp nên việc tính toán giá trị hàm tại các điểm mất nhiều công sức. Để cho việc tính toán đơn giản hơn, ta cũng tính giá trị hàm ở n+1 điểm thuộc đoạn [a,b] rồi xây dựng hàm nội suy có biểu thức đơn giản hơn. Việc thay thế hàm f(x) bằng hàm nội suy như vậy gọi là xấp xỉ hàm.

1.7. Xấp xỉ hàm bằng PP bình phương bé nhất:

1.7.1. Giới thiệu:

Phương pháp xấp xỉ hàm bằng đa thức như trên có một số nhượïc điểm sau:

- Nếu nhiều nút nội suy thì bặc của đa thức là rất lớn gây khó khăn cho tính toán cũng như diễn giải.

- Các điểm nội suy xác định bằng thực nghiệm nên nói chung độ chính xác không cao, vì vây đa thức nội suy cần đi qua các nút (yi = f(xi)) là chưa thật hợp lý.

- Nếu hàm f(x) là các hàm tuần hoàn thì nội suy bằng đa thức nguyên là không phù hợp. Trong trường hợp này nên chọn hàm xấp xỉ là đa thức lượng giác.



Nội dung của PP bình phương bé nhất là chọn hàm xấp xỉ P(x) thuộc một lớp hàm nào đó đơn giản hơn f(x). Hàm P(x) sẽ phụ thuộc một số tham số, các tham số này được xác định sao cho

sai số bình phương [ ]∑=

−=n

iii xPxfS

1

2)()( là bé nhất.

1.7.2. Hàm xấp xỉ phụ thuộc các tham số một cách tuyến tính:

1.7.2.1. Trường hợp P(x) = ax + b:

Chọn P(x) = ax + b;

Khi đó thay f(xi) = yi và P(xi) = axi + b vào công thức tính sai số bình phương S ta có:

[ ]∑=

−−=n

iii bxayS

1

2. ; Trong đó xi, yi (i = 1, 2, .., n) đã biết, S phụ thuộc a, b.

Để S bé nhất thì a, b phải thoả hệ phương trình: ;bS;

aS 00 =

∂∂

=∂∂

Hay: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

∑∑∑∑∑

;.;.2

ii

iiii

ynbxayxxbxa

1.7.2.2. Trường hợp P(x) = ax2 + bx + c:

Sai số bình phương S sẽ là: [ ]∑=

−−−=n

iiii cxbxayS

1

22 .. ;

Để S bé nhất thì a, b, c phải thoả hệ phương trình: ;cS;

bS;

aS 000 =

∂∂

=∂∂

=∂∂

Hay: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

;.;.;.

2

23

2234

iii

iiiii

iiiii

yncxbxaxyxcxbxaxyxcxbxa

1.7.2.3. Trường hợp P(x) = a + b.cosx + c.sinx:

Khi đó: [ ]∑=

−−−=n

iiii xcxbayS

1

2sin.cos.. ;

Các tham số a, b, c được xác định từ hệ phương trình: ;cS;

bS;

aS 000 =

∂∂

=∂∂

=∂∂

Hay: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++

=++

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

;sinsincossinsin;cos.cossincoscos

;sincos.

2

2

iiiiii

iiiiii

iii

xyxcxxbxaxyxxcxbxa

yxcxbna



2. Giải phương trình đại số và siêu việt bằng phương pháp gần đúng:

2.1. Giới thiệu: Để xác định tất cả các nghiệm có thể có của PT f(x) =0 trên đoạn [a,b] ta thực hiện 2 bước:

2.1.1. Bước 1- Tách nghiệm: Hay còn gọi là bước phân ly nghiệm: xác định trên đoạn [a,b] thành những đoạn đủ nhỏ sao cho trên mỗi đoạn con ấy chỉ tồn tại 1 nghiệm duy nhất. Đây là công việc khó khăn nhất và thường không có công thức để xác định miền chứa nghiệm chung cho mọi phương trình mà phụ thuộc vào từng lớp các bài toán riêng biệt. Để tìm xấp xỉ ban đầu của nghiệm có thể theo các cách sau:

1. Khảo sát hàm y=f(x) trên đoạn [a,b]: PP này dựa trên định lý “nếu hàm f(x) liên tục và đơn điệu (có đạo hàm không đổi dấu) trên [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì phương trình f(x) = 0 tồn tại một nghiệm duy nhất thuộc (a, b)”. PP này ít dùng vì PT siêu việt thường có tính chất biến thiên phức tạp.

2. Vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên đoạn [a,b] bằng một chương trình (viết bằng NN lập trình nào đó, ví dụ Pascal), sau đó xác định các đoạn con có chứa nghiệm dựa vào đồ thị. Nếu đồ thị của hàm y=f(x) khó vẽ thì có thể thay phương trình f(x) = 0 bằng phương trình tương đương h(x) = g(x), rồi vẽ đồ thị của các hàm y = h(x) và y=g(x). Hoành độ của giao của hai đồ thị là nghiệm cần tìm. PP này cũng ít dùng vì khả năng tự động hóa không cao.

3. Chia đoạn [a,b] thành các đoạn con dx đủ bé và lần lược xét sự tồn tại nghiệm trên các đoạn đó (phần tách nghiệm dưới đây sẽ giới thiệu PP này)

2.1.2. Bước 2- Chính xác hóa nghiệm: Trên những đoạn tồn tại nghiệm ta tiến hành lặp để tìm nghiệm gần đúng của PT với độ chính xác ε0 cho trước.

2.2. Tách nghiệm: Chia đoạn [a,b] thành những đoạn đủ bé, xét đoạn con bất kỳ có hoành độ các điểm đầu là x1

và x2, f(x) liên tục và đơn điệu trên [x1,x2]. Ta thấy rằng nếu: -f(x1). f(x2) > 0 thì không tồn tại nghiệm trên [x1,x2]. -f(x1). f(x2) < 0 thì tồn tại nghiệm trên [x1,x2]. -f(x1). f(x2) = 0 thì x1 là nghiệm nếu f(x1) = 0, hoặc/và x2 là nghiệm nếu f(x2) = 0;

2.3. Chính xác hóa nghiệm: Giả sử PT f(x) = 0 tồn tại duy nhất 1 nghiệm trên đoạn [x1,x2].

2.3.1. Phương pháp cát tuyến: Kẻ cát tuyến MN, MN cắt trục Ox tại x0. Ứng với x0 ta được điểm N’. Nếu f(x1). f(x0) < 0

thì nghiệm thuộc đoạn [x1,x0], ngược lại thì nghiệm thuộc đoạn [x0,x2].

Tiếp tục vẽ cát tuyến với đoạn chứa nghiệm mới (nhỏ hơn), cho đến khi x0 dần đến nghiệm của PT.

y

N N’’ N’

x0 x2 x1 f(x2)

f(x1)

x O



Kết luận: Để tìm nghiệm đạt độ chính xác ε0 cho trước ta phải thực hiện quá trình lặp trên để tìm giao điểm của các cát tuyến với trục Ox cho đến khi khoảng cách giữa 2 giao điểm liên tiếp < ε0. Công thức xác định giao điểm của cát tuyến và trục Ox:

f xf x

x xx x

( )( )

2

1

2 0

0 1=

−−

⇒ )()(

)()(

21

21120 xfxf

xfxxfxx

++

=

Chú ý: PP cát tuyến không phải bao giờ cũng thực hiện được!!

2.3.2. Phương pháp tiếp tuyến: Từ M vẽ tiếp tuyến với đồ thị, cắt trục Ox tại x0. Với x0 có điểm M’, từ M’ lại vẽ tiếp tuyến. Cứ như thế cho đến khi xác định được nghiệm của PT. PP này ít dùng với PT siêu việt phức tạp.

2.3.3. Phương pháp chia đôi khoảng nghiệm: Giả sử đoạn [x1,x2] có chứa duy nhất 1 nghiệm và f(x1). f(x2) < 0, f(x) liên tục trên [x1,x2]. Nội dung của phương pháp chia đôi thực hiện như sau:

Chia đôi đoạn chứa nghiệm [x1,x2] bởi x0 = x x1 2

2+

Nếu f(x1). f(x0) < 0 thì nghiệm thuộc đoạn [x1,x0], ngược lại thì nghiệm thuộc [x0,x2]. Lặp lại việc chia đôi khoảng chứa nghiệm mới, trong quá trình lặp nói trên x0 sẽ dần tới nghiệm của PT. Để tìm được nghiệm với độ chính xác ε0 cho trước ta lặp việc chia đôi cho đến khi ⎟ x1 - x2⎟ < ε0. Khi đó điểm giữa x0 là nghiệm của PT thỏa mãn độ chính xác ε0.

y M

NN’

x0 x2 x1 f(x0)

f(x2)

f(x1)

x O

y M

x1 < ε0 nhưng còn xa nghiệm

x O x2

y M

N

M’

x2 x1

f(x2)

f(x1)

O x0

M’x



2.3.4. Sơ đồ khối của thuật toán:

START

Nhập a, b, ε.

x = (a + b)/2

Tính f(x)

Tính f(a), f(b)

f(a).f(x) > 0

a = x b = x

đúng

|b - a| < ε

In a, b, x = (b - a)/2

STOP

sai

đúng

sai

Giải PT f(x)=0 bằng PP chia đôi

START

Nhập a, b, ε.

)()()(.)(.

afbfafbbfax

−−

=

f(a).f(x) > 0

a = x b = x

đúng

|b - a| < ε

In x

STOP

sai

đúng

sai

Giải PT f(x)=0 bằng PP dây cung



3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng bằng PP sai phân hữu hạn:

3.1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường:

3.1.1. Mở đầu:

Rất nhiều các bài toán trong kỹ thuật dẫn đến việc giải các phương trình vi phân. Tuy nhiên chỉ có một số phương trình vi phân có lời giải chính xác. Vì vậy, các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân có ý nghĩa trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

Các bài toán về phương trình vi phân thường gặp với 2 dạng: Bài toán Côsi và bài toán biên. Khi phân tích các kết cấu xây dựng, phần nhiều các yêu cầu tính toán có thể giải với dạng bài toán biên, vì vậy trong phần này sẽ xét PP giải gần đúng cho bài toán biên.

3.1.2. Bài toán biên:

Bài toán biên là dạng bài toán phương trình vi phân, với điều kiện bổ sung được cho tại nhiều hơn một điểm.

Ví dụ bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có dạng:

Tìm hàm y = y(x) trên [a, b] thỏa mãn:

y’’(x) + p(x).y’(x) + q(x).y(x) = f(x); a ≤ x ≤ b. (3-6.1)

Với điều kiện: k0.y(a)+ k1.y'(a) = α; (3-6.2)

l0.y(b)+ l1.y'(b) = β; (3-6.3)

Trong đó p(x), q(x), f(x) là các hàm đã biết;

k0, k1, l0, l1, α, β là các hằng số đã biết.

3.1.3. Giải bài toán biên tuyến tính bằng PP sai phân:

Để giải bài toán trên, ta chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm xi với

xi = x0 + i.h; i = 0, 1, .., n; x0 = a; xn = b; ;n

abh −=

Gọi tập hợp các điểm {xi} là lưới sai phân, các điểm xi là các nút của lưới. Gọi h là bước của lưới. Nếu h = const ta có lưới đều.

Giả sử có hàm y(x) là nghiệm đúng của bài toán. Mục đích của PP này là tìm giá trị gần đúng yi của y(x) tại các nút xi trên lưới sai phân. Vì vậy PP này được gọi là PP sai phân.

Ta có khai triển Taylor của hàm y(x) có dạng:

..)(!

)(..)(!2

)('')(!1

)(')()( 00

)(2

00

00

0 +−++−+−+= kk

xxk

xyxxxyxxxyxyxy

Để xác định y(x) ta cần xác định y(x0) và các đạo hàm y(k)(x0).

Khai triển trên tại xi ± h có dạng:



);(0)(!4

)('''!3

)(''!2

)('!1

)()( 4)4(432

hxyhxyhxyhxyhxyhxy iiiiii +++++=+

);(0)(!4

)('''!3

)(''!2

)('!1

)()( 4)4(432

hxyhxyhxyhxyhxyhxy iiiiii ++−+−=−

Thay giá trị của hàm y(x) và các đạo hàm của nó tại các điểm xi+1 = xi + h và xi-1 = xi – h bằng các giá trị gần đúng vào hai công thức trên:

)4.63();(0!4

'''!3

''!2

'!1

4)4(432

1 −+++++=+ hyhyhyhyhyy iiiiii

)5.63();(0!4

'''!3

''!2

'!1

4)4(432

1 −++−+−=− hyhyhyhyhyy iiiiii

Tại nút đầu i = 0, từ (3-6.4) có: );(001'0 h

hyyy +

−=

Tại nút cuối i = n, từ (3-6.5) có: );(01' hhyyy nn

n +−

= −

Lấy (3-6.4) trừ (3-6.5) theo vế, được: );(0.2

211' hhyyy ii

i +−

= −+

Lấy (3-6.4) cộng (3-6.5) theo vế, được: );(0.2 22

11'' hh

yyyy iiii +

+−= −+

Xét tại nút x=xi, đặt p(xi) = pi, q(xi) = qi, f(xi) = fi. Thay giá trị các hàm và các đạo hàm vào các phương trình vi phân, được:

)6.63()1,,..2,1(;.2

.2 112

11 −−==+−

++− −+−+ nifyq

hyyp

hyyy

iiiii

iiii

)7.63(;. 01100 −=

−+ α

hyykyk

)8.63(;. 110 −=

−+ − β

hyylyl nn

n

Phương trình (3-6.6) có dạng: yi+1 + mi.yi + ni.yi-1 = gi; (3-6.9)

Trong đó: ;.2

.2;.2.2;

.2)2..(2 2

hpfg

hphqn

hphqm

i

ii

i

ii

i

ii +

=+−

=+

−=

Như vậy ta có được n+1 phương trình đại số tuyến tính. Giải hệ PT có thể tìm được các giá trị gần đúng của hàm y(x) tại các nút trên lưới sai phân.

3.2. Giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng:

3.2.1. Mở đầu:

Khi giải các bài toán cơ học, ta phải tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng trên miền D với các điều kiện biên khác nhau.

Phương trình vi phân độ võng cuả tấm chịu uốn:



;.2 4

4

22

4

4

4

Dq

yw

yxw

xw

=++∂∂

∂∂∂

∂∂

Trong đó q là tải trọng phân bố tác dụng trên tấm;

D là độ cứng trụ cuả tấm ;)1.(12

.2

3

µ−=

tED

µ là hệ số Pootson;

Để tính vỏ thoải, có hệ phương trình vi phân V.Z.Vlaxốp:

Dạng khai triển:

;0.2 2

2

22

2

14

4

22

4

4

4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yk

xkhE

yyxxωωϕϕϕ

);,(2 4

4

22

4

4

4

2

2

22

2

1 yxqyyxx

Dy

kx

k −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−∂∂

+∂∂ ωωωϕϕ

Hoặc viết dưới dạng toán tử:

∇2∇2ϕ + E.h∇kω = 0,

∇2kϕ - D∇2∇2ω = -q(x,y);

trong đó ϕ và ω là các hàm ứng suất và chuyển vị.

Nghiệm chính xác của các PT trên dưới dạng một tích phân hay một chuỗi. Tuy nhiên, những bài toán giải được là rất ít và đòi hỏi những kiến thức toán học nhất định. Phương hướng chủ yếu để giải các bài toán này là dùng các PP gần đúng, trong đó PP sai phân hữu hạn rất rộng rãi. Ưu điểm của PP này là tổng quát, áp dụng cho một lớp rộng các bài toán biên, trong miền có hình dáng bất kỳ với các điều kiện biên khác nhau.

Trình tự thực hiện:

- Bước thứ nhất: ròi rạc hóa miền D. Thay miền D liên tục bằng một số hữu hạn các điểm gọi là nút của lưới sai phân. Tùy bài toán cụ thể, có thể chọn các lưới sai phân khác nhau. Đơn giản nhất là lưới hình vuông, hình chữ nhật. Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán tại các điểm nút này.

- Bước hai: sai phân hóa phương trình đạo hàm riêng. Thay các đạo hàm riêng của hàm cần tìm bằng các tỉ sai phân.Như vậy ta đã chuyển phương trình đạo hàm riêng thành một hệ các phương trình đại số.

- Bước ba: sai phân hóa các điều kiện biên.Thay các điều kiện biên bằng các phương trình đại số có chứa giá trị của hàm tại các nút trên biên hay gần biên.

Tập hợp các phương trình đại số khi sai phân hóa phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên được gọi là một lược đồ sai phân.

- Bước bốn: Giải hệ PT đại số tìm giá trị của hàm tại các điểm nút. Đó là nghiệm gần đúng của bài toán.

Phải chọn lưới sai phân và xây dựng lược đồ sai phân sao cho:

- Hệ phương trình đại số có nghiệm duy nhất.



- Nghiệm gần đúng của bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính xác (khi lưới sai phân càng dày), hay nói cách khác là lược đồ sai phân phải ổn định.

- Khối lượng tính toán ít.

Sau đây ta sẽ áp dụng PP trên để giải một số bài toán phương trình sai phân đạo hàm riêng thường gặp sau:

3.2.2. Bài toán Đirichlê (Dirichlet):

Bài toán:

Tìm hàm u(x,y) trên miền D thỏa mãn phương trình:

)10.63();,(2

2

2

2

−=∂∂

+∂∂

=∆ yxfyu

xuu

Và thỏa điều kiện biên: u(x,y) = ϕ(x,y) với mọi (x,y) trên biên S của miền D, ϕ(x,y) là hàm liên tục trên S.

Nếu f(x,y) =0 thì phương trình này được gọi là phương trình Laplaxơ.

2

2

2

2

yu

xuu

∂∂

+∂∂

=∆ là toán tử Laplaxơ.

( ) 4

4

22

4

4

42 2

yu

yxu

xuuu

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∆∆=∆ là toán tử điều hòa.

Giải bài toán:

- Bước 1: rời rạc hóa miền.

Trong mặt phẳng Oxy chứa miền D ta xây dựng hai họ đường thẳng song song, nếu lưới đều ta có:

x = x0 + i.k; i = 0, ±1, ±2, ..

y = y0 + j.h; j = 0, ±1, ±2, ..

Giao điểm của các đường thẳng này gọi là nút, tập hợp các nút gọi là lưới sai phân, k là bước theo x và h là bước theo y.

Cũng có thể chia miền D bằng các lưới có khoảng cách giữa các đường thẳng không đều (tuy nhiên thường có tỷ số bước theo hai phương không đổi).

Chia các điểm nút nằm trong miền D thành 2 loại:

Mij là điểm (nút) trong nếu 4 điểm lân cận nó Mi-1,j, Mi+1,j, Mi,j-1, Mi,j+1 đều nằm trong D.

Mij là điểm (nút) biên nếu nó không phải là điểm trong.

- Bước 2: sai phân hóa Pt đạo hàm riêng.

Tương tự như khi giải PT vi phân, thay các đạo hàm riêng bằng các tỷ sai phân. Với các khoảng chia không đổi theo mỗi phương, các tỷ sai phân được biểu diễn như sau:

;2

1,1,

kzz

xz jiji −+ −≈

∂∂



;.2

21,,1,

2

2

kzzz

xz jijiji −+ +−≈

∂∂

;2

,1,1

hzz

yz jiji −+ −≈

∂∂

;.2

2,1,,1

2

2

hzzz

yz jijiji −+ +−≈

∂∂

;.2

.2.23

2,1,1,2,3

3

kzzzz

xz jijijiji −−++ −+−≈

∂∂

;.2

.2.23

,2,1,1,23

3

hzzzz

yz jijijiji −−++ −+−≈

∂∂

[ ]2,1,,1,2,421,,1,

2

2

4

4

4641.2−−++

−+ +−+−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= jijijijiji

jijiji zzzzzkk

zzzxx

z∂∂

∂∂

[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−+−+−= −−−+++ 2,1,,1,,1,,1,2,4 224221

jijijijijijijijiji zzzzzzzzzk

[ ]jijijijijijijiji zzzzz

hhzzz

yyz

,2,1,,1,242,1,,1

2

2

4

4

4641.2−−++

−+ +−+−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=∂∂

∂∂

Với các đạo hàm hỗn hợp, có thể viết theo trình tự sau:

;⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

∂ +

m

m

n

n

n

n

m

m

nm

nm

xz

yyz

xyxz

Tức là đầu tiên lấy đạo hàm riêng theo một hướng, rồi từ đạo hàm đó lấy tiếp đạo hàm riêng theo hướng kia. Vậy:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−+−−+++ 1,11,11,11,1

2

.21

.21

jijijiji zzzzkhx

zyyx

z∂∂

∂∂

∂∂∂

= kh

zzzz jijijiji

.41,11,11,11,1 −−+−−+++ +−−

;

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

2

2

22

4

xz

yyxz

∂∂

∂∂

∂∂∂

[ ]1,11,1,1,1,,11,11,1,122 224221−−−−+−++−+++ +−+−+−+− jijijijijijijijiji zzzzzzzzz

khThay các giá trị

gần đúng của các đạo hàm riêng vào phương trinh (3-6.10) ta được phương trình sai phân:

;.2.2

2,1,,1

21,,1,

ijjijijijijiji f

huuu

kuuu

=+−

++− −+−+ (3-6.11)

Trong đó fij = f(xj, yi);

j-1 j-2 j j+1 j+2

i+1

i i+1,j

i,j

i-1,j i-1

i-2

i+2

k k k

h

h

h

y

x



3.2.3. Xấp xỉ các điều kiện biên:

Nếu miền D là chữ nhật ta sẽ chọn lưới sao cho biên S nằm trên lưới. Khi đó giá trị của hàm tại các điểm trên biên fij = đã biết.

Nếu miền D là miền bất kỳ với biên là đường cong thì giá trị của hàm tại các nút biên được tính theo giá trị của hàm tại các điểm trong và điều kiện biên nội suy tuyến tính:

;.

1

'1

huhu

u ABA +

+=

δδ

;.

2

'2

huhu

u CDC −

−=

δδ (3-6.12)

Trong đó A’, C’ là những điểm nằm trên biên S;

δ1 = AA’; δ2 = CC’;

uA’ = ϕ(A’); uC’ = ϕ(C’);

3.2.4. Giải hệ phương trình tìm nghiệm:

Tập hợp tất cả các phương trình (3-6.11), (3-6.12) của các điểm lưới lập thành một hệ PT ĐSTT. Giải HPT này ta sẽ tìm được giá trị của hàm u(x,y) tại các điểm lưới.

Nếu miền D là hình chữ nhật và h = k thì hệ phương trình này đơn giản nhất. Khi đó (3-6.11) có dạng: ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 - 4ui,j = h2.fij

D C C’

B A A’ δ1

δ2

h



Chương 4: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU.

1. Khái niệm chung:

Trong mấy chục năm gần đây, diễn ra nhiều thay đổi quan trọng về phương hướng nghiên cứu trong lĩnh vực tính toán kết cấu. Sự phát triển và áp dụng rộng rãi MTĐT đã làm thay đổi sâu sắc trong cách xem xét và sử dụng các PP tính kết cấu.

Từ chỗ việc tính toán kết cấu được thực hiện bằng các công cụ thô sơ, trong đó mỗi bài toán được xem xét như một trường hợp riêng rẽ theo đặc tính của nó và giải theo các phương pháp thích hợp, người ta chuyển sang sử dụng MTĐT, trong đó bao gồm việc chọn thuật toán tổng quát, lập các chương trình mang tính tự động hóa và hệ thống hóa cao để có thể áp dụng cho một lớp rộng các bài toán có chung một số tính chất chủ yếu.

Như vậy đòi hỏi phải xây dựng được các PP tính tổng quát với các công thức được trình bày đơn giản và cô đọn

g. Các công thức này được biểu diễn bằng các ngôn ngữ phù hợp với MTĐT, mà ngôn ngữ ma trận là một trong những công cụ diễn đạt lý tưởng nhất. Mặt khác, hầu hết các MTĐT hiện nay là máy tính số, chỉ phân tích các đại lượng dưới dạng số. Do đó các PP tính số cần được nghiên cứu và áp dụng.

Trong tính toán kết cấu, người ta dùng PP tính dẫn đến việc mô tả các nghiệm của bài toán theo một tập hợp số, thường được gọi là “PP rời rạc hóa”. Thuật ngữ này về thực chất cũng có thể hiểu như thuật ngữ “PP số “.

Các PP rời rạc hóa có thể chia làm 2 nhóm chính:

1.1. Các PP rời rạc toán học:

Trong đó các nghiệm chính mô tả các hàm tương ứng được thay thế bằng các nghiệm gần đúng được biểu diễn qua các hàm xấp xỉ chứa một số hữu hạn các đại lượng số.

1.2. Các PP rời rạc vật lý:

Trong đó hệ thực được thay thế bằng mô hình vật lý gần đúng mà lời giải của nó cũng được xác định bằng một số hữu hạn các đại lượng số.

Ngày nay người ta đã xây dựng được các PP tính số mạnh có thể giải các bài toán về môi trường liên tục (trong đó bao gồm các bài toán kết cấu). Có thể kể một số PP chủ yếu sau:

1. Phương pháp sai phân hữu hạn;

2. Phương pháp sai-biến phân;

3. Phương pháp phần tử hữu hạn;

4. Phương pháp phần tử biên;

5. Lý thuyết tương đương năng lượng;

.. .. ..

Các PP kể trên được phân biệt theo bản chất của cách rời rạc hóa kết cấu liên tục. Chẳng hạn:

PP sai phân hữu hạn dựa trên sự rời rạc toán học, trong đó các đạo hàm được thay thế bằng các sai phân hữu hạn.



PP phần tử hữu hạn (PTHH) xây dựng trên cơ sở của sự rời rạc hóa vật lý, vật thể liên tục được thay thế bằng một số hữu hạn các phần tử rời rạc có mô hình đơn giản, chúng được nối với nhau ở một số điểm gọi là các nút.

Lí thuyết tương đương năng lượng cũng dựa trên cơ sở rời rạc hóa vật lý, với mô hình được dùng là các hệ thanh tương đương. Như vậy việc tính toán cuối cùng được thực hiện trên hệ thanh bằng các PP cơ học quen thuộc (PP lực, PP chuyển vị, PP hỗn hơp).

PP phần tử biên cũng thuộc nhóm rời rạc hóa vật lý. Giống như PP PTHH, PP phần tử biên tìm lời giải xấp xỉ của bài toán dưới dạng phân tích Green nghiệm của các phương trình vi phân cơ bản trên miền rời rạc hóa. Nhưng khác với PP PTHH cho các giá trị số của hàm cần tìm tại tất cả các điểm nút trên toàn miền rời rạc, PP phần tử biên cho các giá trị số của hàm cần tìm trên các biên đã được rời rạc của miền đang xét. Như vậy trong kết cấu nhiều chiều, bài toán dường như đã được đơn giản bớt một phương trong không gian, dẫn đến giảm đáng kể số ẩn.

2. Công thức ma trận của các phương trình cơ bản trong lý thuyết đàn hồi:

Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính (Lý thuyết đàn hồi tuyến tính được xây dựng trên cơ sở giả thuyết biến dạng nhỏ, lý thuyết đàn hồi phi tuyến dựa trên cơ sở giả thuyết biến dạng lớn), các mối liên hệ giữa các đại lượng cần xét đối với một vật thể đàn hồi là: chuyển vị-biến dạng, biến dạng-ứng suất, ứng suất-tải trọng. Các quan hệ đó được mô tả bằng 15 phương trình vi phân đạo hàm riêng với bài toán không gian:

a. Sáu phương trình biểu thị sự liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị,

b. Sáu phương trình biểu thị sự liên hệ giữa ứng suất và biến dạng,

c. Ba phương trình cân bằng hoặc chuyển động (tuỳ theo bài toán tĩnh hay động) biểu thị sự liên hệ giữa ứng suất và tải trọng,

Tám phương trình đối với bài toán phẳng:

a. Ba phương trình liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị.

b. Ba phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng.

c. Hai phương trình cân bằng hoặc chuyển động.

2.1. Các phương trình chuyển vị - biến dạng:

2.1.1. Bài toán không gian:

Trong hệ trục x,y,z chuyển vị của một điểm bất kỳ được xác định bởi 3 thành phần:

ux = ux(x,y,z); uy = uy(x,y,z); uz = uz(x,y,z);

Biến dạng tỷ đối theo các trục được xác định như sau:

εxx = x

ux∂∂

; εyy = y

u y

∂

∂; εzz =

zuz∂∂ ;



Liên hệ trên được biểu thị dưới dạng ma trận như sau: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zz

yy

xx

εεε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

z

y

x

00

00

00

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z

y

x

uuu

;

Biến dạng trượt tỷ đối được xác định như sau:

εxy = y

ux∂∂

+x

u y

∂

∂; εyz =

zu y

∂

∂+

yuz∂∂ ; εzx =

xuz∂∂ +

zux∂∂

;

Có dạng ma trận như sau: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zx

yz

xy

εεε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

xz

yz

xy

0

0

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z

y

x

uuu

;

Hợp nhất thành một ma trận các thành phần biến dạng :

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xyzz

yy

xx

εεεεεε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

xz

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z

y

x

uuu

;

Hay {ε} = [∇].{u};

[∇] gọi là ma trận các toán tử vi phân biểu thị phép biến đổi tuyến tính.

Và do luật đối ngẫu ta có: εxy = εyx; εyz = εzy; εzx = εxz;

2.1.2. Bài toán phẳng:

Trong mặt phẳng x,y chuyển vị của một điểm bất kỳ gồm bởi 2 thành phần:

ux = ux(x,y); uy = uy(x,y);

Biến dạng tỷ đối: εxx = x

ux∂∂

; εyy = y

u y

∂

∂; εxy =

yux∂∂

+x

u y

∂

∂;



Dạng ma trận như sau: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

yy

xx

εεε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

xy

y

x

0

0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

y

xuu

;

Hay {ε} = [∇].{u};

2.2. Các phương trình ứng suất - biến dạng:


εxx = E1 [σxx - µ(σyy + σzz)] + αT; εyy =

E1 [σyy - µ(σxx + σzz)] + αT; εzz =

E1 [σzz - µ(σxx +

σyy)] + αT;

εxy = E

)1.(2 µ+σxy =

G1σxy; εyz =

E)1.(2 µ+σyz =

G1σyz; εzx =

E)1.(2 µ+σzx =

G1σzx;

Trong đó: E là mô đun đàn hồi dọc trục;

G là mô đun đàn hồi trượt;

µ là hệ số Poisson;

α hệ số giản nở vì nhiệt;

T là độ biến thiên nhiệt độ.

Quan hệ trên được viết dưới dạng ma trận:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xyzz

yy

xx

εεεεεε

= E1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

−−−−

)1.(2000000)1.(2000000)1.(2000000100010001

µµ

µµµ

µµµµ

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xyzz

yy

xx

σσσσσσ

+αT

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

000111

;

Nếu T = 0 thì có dạng: {ε} = [D]-1.{σ};

Trong đó: [D]-1 = E1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

−−−−

)1.(2000000)1.(2000000)1.(2000000100010001

µµ

µµµ

µµµµ

;



Từ quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trên có thể suy ra biểu thức xác định ứng suất, thường được gọi là định luật Hooke tổng quát:

σxx = )21)(1( µµ −+

E [(1-µ).εxx + µ(εyy + εzz)] - )21( µ−E

αT; σxy = )1.(2 µ+

E .εxy =

G.εxy;

σyy = )21)(1( µµ −+

E [(1-µ).εyy + µ(εxx + εzz)] - )21( µ−E

αT; σyz = )1.(2 µ+

E .εyz =

G.εyz;

σzz = )21)(1( µµ −+

E [(1-µ).εzz + µ(εxx + εyy)] - )21( µ−E

αT; σzx =

)1.(2 µ+E .εzx = G.εzx;

Dạng ma trận là:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xyzz

yy

xx

σσσσσσ

=

)21)(1.(2 µµ −+E

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

)21(000000)21(000000)21(000000)1.(2220002)1.(2200022)1.(2

µµ

µµµµ

µµµµµµ

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xyzz

yy

xx

εεεεεε

+ )21(

.µ

α−

TE

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−

000111

;

Nếu T = 0 thì có dạng: {σ} = [D].{ε}; (Biểu thức này biểu thị định luật Hooke)

Ma trận vuông [D] được gọi là ma trận đàn hồi:



[D] = )21)(1.(2 µµ −+

E

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

)21(000000)21(000000)21(000000)1.(2220002)1.(2200022)1.(2

µµ

µµµµ

µµµµµµ

;

Nếu với vật liệu là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng thì ma trận [D] là đối xứng và không suy biến.

2.2.2. Bài toán phắng:

Bài toán phẳng được chia thành 2 loại là trạng thái phẳng về ứng suất và trạng thái phẳng về biến dạng.

2.2.2.1. Bài toán trạng thái phẳng về ứng suất:

Khi vật thể có dạng tấm (chiều dày nhỏ so với hai chiều còn lại), và chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm.

Kí hiệu Oxy là hệ trục nằm trong mặt phẳng của tấm và Oz là trục vuông góc với mặt phẳng tấm:

Thừa nhận các giả thiết sau: σzx = σzy = σzz = 0;

Ta có: [ ] ;..1 TE yyxxxx ασµσε +−= [ ] ;..1 T

E xxyyyy ασµσε +−=

( ) ;11.2

xyxyxy GEσσµε =

+=

Dạng ma trận: ;011

..)1.(200

0101

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

TE

xy

yy

xx

xy

yy

xxα

σσσ

µµ

µ

εεε

Các biến dạng còn lại là: εzx = εzy = 0;

( ) ( ) ;.11

1.1 TT

E yyxxyyxxzz αµµεε

µµασσµε

−+

++−−

=++−=

Như vậy εzz ≠0. Có thể bỏ qua εzz, sự gần đúng này vi phạm một số điều kiện tương thích, nhưng do chiều dày tấm rất bé kết quả đạt được vẫn đủ độ chính xác cần thiết.

Suy ra biểu thức xác định ứng suất (định luật Hooke) là:

( ) ;.1

.1 2 TEE

yyxxxx αµ

εµεµ

σ−

−+−

= ( ) ;.1

.1 2 TEE

xxyyyy αµ

εµεµ

σ−

−+−

=

;.)1.(2 xyxyyxxy GE εε

µσσ =

+==

Dạng ma trận là



: ;011

.)1(

100022022

)1.(2 2⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

TEE

xy

yy

xx

xy

yy

xxα

µεεε

µµ

µ

µσσσ

Nếu T = 0 thì có dạng: {σ} = [D].{ε};

Ma trận đàn hồi: [ ] ;100

022022

)1.(2 2⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

µµ

µ

µED

2.2.2.2. Bài toán trạng thái phẳng về biến dạng:

Khi vật thể có tiết diện ngang không đổi và chiều dài lớn hơn nhiều so với hai chiều còn lại, tải trọng tác dụng vuông góc với trục dài của vật thể. Gọi Oxy là hệ trục song song với mặt phẳng của tiết diện ngang.

Thừa nhận các giả thiết sau: uz = 0; ;0=∂

∂=

∂∂

zu

zu yx εzx = εzy = εzz = 0;

Ta có: ( )[ ] ( ) ;..1.11 TE yyxxxx αµσµσµµε ++−−+

=

( )[ ] ( ) ;..1.11 TE xxyyyy αµσµσµµε ++−−+

=

;1)1.(2xyxyyxxy GE

σσµεε =+

==

Dạng ma trận: ( ) ;011

..12000101

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

TE

xy

yy

xx

xy

yy

xxαµ

σσσ

µµµµ

µ

εεε

Nếu T = 0 thì có dạng: {ε} = [D]-1.{σ}; Với: [ ] ;2000101

11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

+=− µµ

µµµ

ED ;

Suy ra biểu thức xác định ứng suất (định luật Hooke) là:

( )[ ] ;..21

..1).21)(1(

TEEyyxxxx α

µεµεµ

µµσ

−−+−

−+=

( )[ ] ;..21

..1).21)(1(

TEExxyyyy α

µεµεµ

µµσ

−−+−

−+=

;.)1.(2 xyxyyxxy GE εε

µσσ =

+==

Các thành phần ứng suất còn lại là:



σzx = σzy = 0;

( )( ) ( ) ( ) ;.....21.21.1

. TETEEyyxxyyxxzz ασσµα

µεε

µµµσ −+=

−−+

−+=

Ta thấy σzz ≠0 và có liên hệ tuyến tính với σxx, σyy. Có thể bỏ qua σzz trong các công thức ma trận như σzx, σzy. Như vậy, dạng ma trận của ứng suất là:

;011

..21

.21000)1.(2202)1.(2

).21)(1.(2 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

TEE

xy

yy

xx

xy

yy

xx

αµ

εεε

µµµ

µµ

µµσσσ

Nếu T = 0 thì có dạng: {σ} = [D].{ε};

Ma trận đàn hồi: [ ] ;.2100

0)1.(2202)1.(2

).21)(1.(2⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−+=

µµµ

µµ

µµED

2.2.3. Bài toán một chiều:

;.1 TE xxxx ασε += εyy = εzz = εxy = εyz = εzx = 0; σxx = E.εxx - E.αT;

Có những nhận xét sau:

1. Ma trận biến dạng giảm xuống còn một phần tử là biến dạng dài tỷ đối.

2. Ma trận ứng suất giảm xuống còn một phần tử là ứng suất pháp.

3. Ma trận đàn hồi giảm xuống còn một phần tử là mô đun đàn hồi E.

4. Nghịch đảo ma trận đàn hồi [D]-1 trở thành E1 .

2.3. Các phương trình cân bằng:


Tách khỏi vật thể đang xét ra một phân tố hình hộp dx x dy xdz và thiết lập phương trình cân

bằng theo các trục, ta có: ;0=+∂∂

+∂

∂+

∂∂

xxzxyxxzyx

µσσσ

;0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂y

yzyyyx

zyxµ

σσσ

;0=+∂∂

+∂

∂+

∂∂

zzzzyzxzyx

µσσσ



Viết dưới dạng ma trận: ;000

000

000

000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

z

y

x

zx

yz

xy

zz

yy

xx

xyz

zxy

zyx

µµµ

σσσσσσ

Hay [∇]T {σ}+ {µ} = {0};

Các phương trình cân bằng trên cần phải được thoả mãn ở bất kỳ mọi điểm của vật thể, ở bên trong cũng như trên bề mặt. Những điểm nằm trên bề mặt của vật thể sẽ phải cân bằng với các ngoại lực tác dụng trên bề mặt. Sự cân bằng này được thể hiện bằng các điều kiện bề mặt như sau:

l.σxx + m.σxy + n.σxz = px;

l.σyx + m.σyy + n.σyz = py;

l.σzx + m.σzy + n.σzz = pz;

Trong đó:l, m, n là các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể đàn hồi tại điểm đang xét;

px, py, pz; là các thành phần ngoại lực theo các phương tác dụng trên một đơn vị diện tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi.


000000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

zx

yz

xyzz

yy

xx

ppp

lmnnlm

nml

σσσσσσ

Hay [L]{σ}= {p};

Trong đó [L] gọi là ma trận cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể đàn hồi.


Trong bài toán 2 chiều với hệ trục Oxy, ta có:

;0=+∂

∂+

∂∂

xxyxxyx

µσσ

;0=+∂

∂+

∂

∂y

yyyx

yxµ

σσ



Viết dưới dạng ma trận: ;00

0

0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

y

x

xy

yy

xx

xy

yxµµ

σσσ

Hay [∇]T {σ}+ {µ} = {0};

Các phương trình thể hiện điều kiện chu vi như sau: l.σxx + m.σxy = px;

l.σyx + m.σyy = py;


0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

y

x

xy

yy

xx

pp

lmml

σσσ

Hay [L]{σ}= {p};

2.4. Các phương trình tương thích:

Các biến dạng và các chuyển vị trong vật thể cần có sự thay đổi liên tục từ điểm này sang điểm khác, điều này được đảm bảo bởi các phương trình liên tục, thường đợc gọi là các phương trình tương thích.


Điều kiện liên tục gồm sáu phương trình tương thích sau:

;2

2

2

2

2

yxxyxyyyxx∂∂

∂=

∂

∂+

∂∂ εεε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂

∂−

∂

∂

∂∂

=∂∂

∂yxzxzyzxyzxyxx εεεε

212

;

;2

2

2

2

2

zyyzyzzzyy

∂∂

∂=

∂∂

+∂

∂ εεε ;

212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

−∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

zyxyzxxyzxyzyy εεεε

;2

2

2

2

2

zxzxzxxxzz∂∂

∂=

∂∂

+∂∂ εεε

;212

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂

∂−

∂∂

∂∂

=∂∂

∂xzyzyxzyxyzxzz εεεε


Trong bài toán phẳng chỉ có một phương trình tương thích sau: ;2

2

2

2

2

yxxyxyyyxx∂∂

∂=

∂

∂+

∂∂ εεε



3. Phương pháp sai phân hữu hạn:

3.1. Mở đầu:

Trong số lớn các bài toán kết cấu, người ta phải giải các PT cơ bản dưới dạng các PT vi phân hoặc PT đạo hàm riêng có bậc từ thấp đến cao. Ví dụ:

Để tính dầm chịu uốn, có phương trình vi phân: y’’ = 2

2

dxyd =

EJM ; và quan hệ giữa các thành

phần nội lực: q = 2

2

dxMd ; Q =

dxdM ;

Để tính vỏ thoải, có hệ phương trình vi phân V.Z.Vlaxôp:

Dạng khai triển:

;0.2 2

2

22

2

14

4

22

4

4

4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yk

xkhE

yyxxωωϕϕϕ

);,(2 4

4

22

4

4

4

2

2

22

2

1 yxqyyxx

Dy

kx

k −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−∂∂

+∂∂ ωωωϕϕ

Hoặc viết dưới dạng toán tử:

∇2∇2ϕ + E.h∇kw = 0,

∇2kϕ - D∇2∇2w = -q(x,y);

trong đó ϕ và w là các hàm ứng suất và chuyển vị.

Sử dụng PP sai phân hữu hạn (SPHH) để giải các PT vi phân đó, người ta biểu thị đạo hàm của PT bằng hiệu của các giá trị hàm tương ứng giữa một khoảng chia hữu hạn. Tại mỗi điểm chia của các khoảng (còn gọi là nút của lưới chia) có thể viết một PT biểu thị PT vi phân bằng SPHH. Cùng với các điều kiện biên (cũng được biểu thị bằng SPHH), người ta có thể thiết lập một hệ PT đại số cho phép xác định giá trị số của hàm cần tìm tại những điểm tính. Quá trình tính toán không đòi hỏi những hiểu biết toán học phức tạp và rất tiện với MTĐT.

3.2. Cách biểu thị đạo hàm bằng các sai phân hữu hạn:

Các đạo hàm dydx

, d ydx

2

2 được biểu diễn bằng các ∆y, ∆2y.. với các khoảng chia là h, h2..

Trong đó: ∆y, ∆2y.. được gọi là các SPHH bậc 1, bậc 2..

h, h2.. là khoảng chia hữu hạn và bình phương của khoảng chia hữu hạn..

Có thể biểu thị SPHH tại một điểm bằng 1 trong 3 cách sau:

3.2.1. Các sai phân tiến:

Tất cả các điểm tính toán được đặt theo một thứ tự tăng dần, ví dụ:

∆yn = yn+1 - yn ; (4-1)

∆2yn = ∆yn+1 - ∆yn = yn - 2yn+1 + yn+2 ; (4-2)



3.2.2. Các sai phân lùi:

Tất cả các điểm tính toán được đặt theo một thứ tự giảm dần, ví dụ: ∆yn = yn - yn-1 ; (4-3)

∆2yn = ∆yn - ∆yn-1 = yn - 2yn-1 + yn-2 ; (4-4)

3.2.3. Các sai phân trung tâm:

Sử dụng các điểm được đặt đối xứng đối với điểm đang xét, ví dụ:

∆yn = (yn+1 - yn-1) / 2 ; (4-5)

∆2yn = (∆yn+1 - ∆yn-1) / 2 = yn+1 - 2yn + yn-1 ; (4-6)

3.3. Cách biểu diễn các đạo hàm riêng bằng sai phân hữu hạn:

1. Các đạo hàm riêng của một hàm z = f(x,y) đối với 1 biến x hoặc biến y cũng biểu thị như đạo hàm thường nêu ở trên. Ví dụ trong trường hợp dùng sai phân trung tâm ta có các biểu thức dưới đây với một điểm (i,j):

;2

1,1,

kzz

xz jiji −+ −=

∂∂

;.2

21,,1,

2

2

kzzz

xz jijiji −+ +−=

∂∂

;2

,1,1

hzz

yz jiji −+ −=

∂∂

;.2

2,1,,1

2

2

hzzz

yz jijiji −+ +−=

∂∂

Trong đó: h, k là các khoảng chia theo phương y và x.

i, j là tên của vị trí các điểm tính toán (điểm (i,j) (là giao điểm của hàng thứ i và cột thứ j của lưới chia).

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−+−−+++ 1,11,11,11,1

2

.21

.21

jijijiji zzzzkhx

zyyx

z∂∂

∂∂

∂∂∂ =

khzzzz jijijiji

.41,11,11,11,1 −−+−−+++ +−−

;

(4-8)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

2

2

22

4

xz

yyxz

∂∂

∂∂

∂∂∂ =

[ ]1,11,1,1,1,,11,11,1,122 224221−−−−+−++−+++ +−+−+−+− jijijijijijijijiji zzzzzzzzz

kh (4-9)

[ ]2,1,,1,2,421,,1,

2

2

4

4

4641.2−−++

−+ +−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= jijijijiji

jijiji zzzzzkk

zzzxx

z∂∂

∂∂

(3-7)

j-1 j-2 j j+1 j+2

i+1

i

i+1,j

i,j

i-1,j i-1

i-2

i+2

k k k

h

h

h

y

x



(= [ ]2,1,,1,,1,,1,2,4 224221−−−+++ +−+−+−+− jijijijijijijijiji zzzzzzzzz

k = )

[ ]jijijijijijijiji zzzzz

hhzzz

yyz

,2,1,,1,242,1,,1

2

2

4

4

4641.2−−++

−+ +−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=∂∂

∂∂

Các hệ số của các biểu thức SPHH (4-8) và (4-9) có thể sắp xếp theo sơ đồ sau:

2. Phương trình tương thích của bài toán phẳng thỏa mãn hàm Airy có dạng:

4

4

xz

∂∂ + 2 22

4

yxz∂∂

∂ + 4

4

yz

∂∂ = 0

hoặc: ∇4F = 0; (Phương trình điều hòa kép)

Phương trình này được biểu thị dưới dạng PT SPHH trung tâm tại một điểm (i,j) bất kỳ có dạng:

Nói chung, tại mỗi điểm tính toán (i,j) người ta có thể viết một PT có dạng như trên, kết hợp với các điều kiện biên của kết cấu sẽ được một hệ PT đại số với các ẩn F.

Từ các giá trị của F tính được, ta có thể xác định nội lực và biến dạng của tất cả các điểm tính toán theo các quan hệ đã biết trong lý thuyết đàn hồi.

j-2 j-1 j j+2 j+1

h h h h

i+2

i+1

i

i-1

i-2h

h

h

h 2 -8 2

-8 20 -8

2 -8 2

1 1

1

1

x Z; 4h.k ∂∂ ∂

2zx y

=

j-1 j j+1

i+1

i

i-1

-1 0 1

0 0 0

1 0 -1

x Z; h2.k2 ∂∂ ∂

4

2 2z

x y =

j-1 j j+1

i+1

i

i-1

1 -2 1

-2 4 -2

1 -2 1

x Z; k4 4

4

xz

∂∂ = i

j-2

1

j-1

-4

j

6

j+1

-4

j+2

1 x Z; h44

4

yz

∂∂ =

j

i+1 -2

i 4

i-1 -2

i-1 -2

i+1 -2

j



3.4. Áp dụng PP SPHH để xác định mô men uốn và độ võng của một dầm đơn giản:

Nếu dầm chịu tải phân bố, mô men uốn và độ võng được biểu thị bằng PT vi phân sau:

3.4.1. Dầm có tiết diện không đổi:

d Mdx

2

2 = q; (4-10)

d ydx

2

2 = M

E J hoặc

d ydx

4

4 = q

E J; (4-11)

3.4.2. Dầm có tiết diện thay đổi:

ddx

Jd ydx

2

2

2

2.⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

qE

; (4-12)

Trong đó: M mô men uốn có chiều dương nếu làm căng thớ dưới;

q Cường độ của tải trọng phân bố có chiều dương là chiều từ dưới lên trên;

y Độ võng có chiều dương hướng lên trên;

E Mô dun đàn hồi của vật liệu;

J Mô men quán tính của tiết diện ngang của dầm.

3.4.3. Biểu thị đạo hàm bằng các sai phân hữu hạn:

Các PT vi phân này có bậc 2 hoặc bậc 4 đối với các biến (ở đây chỉ có 1 biến x) và có thể biểu thị bằng các SPHH trung tâm.

Tại điểm chia j PT (4-10) có dạng: Mj-1 - 2Mj + Mj+1 = h2.qj; (4-13)

Còn PT (4-11) có dạng: yj-1 - 2yj + yj+1 = h2. ME J

j ; (4-14)

Viết PT (4-13) và (4-14) cho tất cả các điểm tính toán, kết hợp với các điều kiện biên, ta lập được một hệ các PT đại số tuyến tính có số lượng bằng số ẩn là mô men hoặc độ võng tại tất cả các điểm tính toán.

3.4.4. Ví dụ:

Xét một dầm có nhịp L chịu tải trọng thay đổi theo luật tam giác với tung độ lớn nhất q0, hướng từ trên xuống dưới.

Dầm được chia thành 4 khoảng, điều kiện biên là M0 = M4 = 0.

Viết PT (4-13) với M tại mỗi điểm bên trong dầm (có 3 điểm):

(1) 0 - 2.M1 + M2 = -h2.q0 / 4;

(2) M1 - 2.M2 + M3 = -h2.q0 / 2;

(3) M2 - 2.M3 + 0 = -h2.q0 / 4;

Kết quả giải hệ PT ta được:

h h h h 2 3

qo

L

1 0 4



M1 = 0.625 h2.q0 = 0.0391 L2.q0 ;

M2 = h2.q0 = 0.0625 L2.q0 ;

M3 = 0.873 h2.q0 = 0.0547 L2.q0 ;

Các độ võng của dầm tại các điểm chia được xác định từ các PT dạng (4-14) với điều kiện biên y0 = y4 = 0.

- 2.y1 + y2 = h2.( 0.625 h2.q0 ) / EJ;

y1 - 2.y2 + y3 = h2.( h2.q0 ) / EJ;

y2 - 2.y3 = h2.( 0.873 h2.q0 ) / EJ;

Lời giải của hệ PT trên là:

y1 = -1.187 h4.q0 / EJ = -0.00463 L4.q0 / EJ;

y2 = -1.749 h4.q0 / EJ = -0.00682 L4.q0 / EJ;

y3 = -1.311 h4.q0 / EJ = -0.00513 L4.q0 / EJ;

Nhận xét: Kết quả tính toán ở trên chỉ là gần đúng, độ chính xác của tính toán phụ thuộc vào số khoảng chia hay trị số của khoảng cách giữa các điểm chia liên tiếp. Đánh gía sai số có thể xem thêm ở các tài liệu về toán học.

3.5. Áp dụng PP SPHH tính dầm trên nền đàn hồi:

PT sai phân cơ bản đối với dầm đặt trên nền đàn hồi có dạng:

3.5.1. Trường hợp tiết diện không đổi:

EJ d ydx

4

4 = -k.y + q; (4-15)

3.5.2. Trường hợp tiết diện thay đổi:

ddx

E Jd ydx

2

2

2

2.⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = -k.y + q; (4-16)

Trong đó: y là độ võng của dầm;

k hệ số nền;

q cường độ của tải trọng phân bố theo chiều dài của dầm;

EJ Mô dun đàn hồi và mô men quán tính của dầm.

Trường hợp dầm chịu tải trọng tập trung thì có thể dùng dạng khác của (4-15) và (4-16):

d ydx

2

2 = M

E J ; (4-17)

M mô men uốn của dầm do tải trọng ngoài và phản lực nền gây ra.

3.5.3. Biểu thị đạo hàm bằng các sai phân hữu hạn:

Dạng (4-15) viết dưới dạng PT SPHH tại một điểm chia j:

yj-2 - 4 yj-1 + 6 yj - 4 yj+1 + yj+2 = h4 (-k yj + qj) / EJ; (4-18)



Nếu đặt β = L k EJ/4 là độ cứng tương đối của dầm, (4-18) được viết lại:

yj-2 - 4 yj-1 + (6 + β4 / m4).yj - 4 yj+1 + yj+2 = h4 qj / EJ; (4-19)

Trong đó: m là khoảng chia của dầm.

Chiều dương của tải trọng qj từ dưới lên trên.

Điều kiện biên được biểu thị qua mô men và lực cắt tại các đầu mút của dầm bằng 0:

M = EJ. d ydx

2

2 = 0; Q = dMdx

= EJ. d ydx

3

3 = 0; (4-20)

Viết dưới dạng SPHH:

-Đối với đầu mút 0: y-1 - 2 y0 + y1 = 0; và -y-2 + 2 y-1 - 2 y1 + y2 = 0;

hay y-1 = 2 y0 - y1; và y-2 = 4 y0 - 4 y1 + y2; (4-21)

-Đối với đầu cuối m: ym+1 = 2 ym - ym-1; và ym+2 = 4 ym - 4 ym-1 + ym-2; (4-22)

Như vậy tại mỗi điểm chia trên dầm, ta viết 1 PT sai phân dưới dạng (4-15). Tại các điểm mút 0 và m PT có chứa các ẩn số y-2 , y-1 , ym+1 , ym+2 . Các ẩn này được thay thế theo (4-21) và (4-22). Cuối cùng ta thu được hệ PT đại số tuyến tính gồm m+1 PT với m+1 ẩn.

Sau khi xác định được các yj có thể tính tiếp mô men uốn và lực cắt tại các tiết diện chia theo quan hệ đã được viết dưới dạng sai phân là:

Mj = EJ. d ydx

2

2 = EJ (yj+1 - 2 yj + yj-1 ) / h2;

Qj = EJ. d ydx

3

3 = EJ (yj+2 - 2 yj+1 + 2 yj-1 - yj-2 ) / (2 h3) ; (4-23)

Vậy với các quan hệ (4-15), (4-19), (4-21), (4-22) và (4-23) ta có thể tính được dầm trên nền đàn hồi bất kỳ khi biết đầy đủ các yếu tố ban đầu: E, J, L, k, q (qui luật tải phân bố).

Chú ý: Với độ võng dương thì các phản lực nền là âm (đó là điều kiện liên tục giữa dầm và nền).

3.5.4. Ví dụ 1:

Xét dầm đặt trên nền đàn hồi có β = L k EJ/4 = 4 24 ; chịu tải trọng phân bố tam

giác (xem hình vẽ)

Chia dầm thành 4 đoạn:

h = L / 4; m = 4.

Theo (4-19) thiết lập các PT SPHH cho các điểm chia:

Tại điểm 0: y-2 - 4 y-1 + 8 y0 - 4 y1 + y2 = 0;

Tại điểm 1: y-1 - 4 y0 + 8 y1 - 4 y2 + y3 = h4 (-0.5q0) / EJ;

Tại điểm 2: y0 - 4 y1 + 8 y2 - 4 y3 + y4 = h4 (-1.0q0) / EJ;

Tại điểm 3: y1 - 4 y2 + 8 y3 - 4 y4 + y5 = h4 (-0.5q0) / EJ;

Tại điểm 4: y2 - 4 y3 + 8 y4 - 4 y5 + y6 = 0;

L = 4h

q0

2 1

y

0

x

43-1-2



Thay thế các điểm chia ảo (y-2, y-1, y1, y2) theo các điều kiện biên (4-21) và (4-22), hệ PT trên có dạng:

4 y0 - 4 y1 + 2 y2 = 0;

- 2 y0 + 7 y1 - 4 y2 + y3 = h4 (-0.5q0) / EJ;

y0 - 4 y1 + 8 y2 - 4 y3 + y4 = h4 (-1.0q0) / EJ;

y1 - 4 y2 + 7 y3 - 2 y4 = h4 (-0.5q0) / EJ;

2 y2 - 4 y3 + 4 y4 = 0;

Giải hệ PT ta được:

y0 = -0.0833 h4 q0 / EJ; y1 = -0.2703 h4 q0 / EJ;

y2 = -0.3750 h4 q0 / EJ; y3 = -0.2703 h4 q0 / EJ;

y4 = -0.0833 h4 q0 / EJ;

Theo các giá trị đã xác định của yj có thể tính được trị số mô men và lực cắt tại các điểm chia theo (4-23). Ví dụ tại vị trí j = 2:

M2 = h2 q0 (-0.2703 + 0.7500 - 0.2703 ) = 0.01309 L2 q0;

Q2 = EJ. d ydx

3

3 = h q0(-0.0833 + 0.5406 - 0.5406 + 0.0833) / 2 = 0 ;

3.5.5. Với dầm có TD thay đổi:

PT cơ bản (4-16) viết dưới dạng PT SPHH tại một điểm j:

Jj-1 yj-2 - 2(Jj-1 + Jj) yj-1 + (Jj-1 + 4 Jj + Jj+1 + h4 kj / E).yj - 2(Jj + Jj+1)yj+1 + Jj+1 yj+2 = h4 qj / E; (4-24)

Trong đó Jj và kj là mô men quán tính của TD dầm và hệ số nền tại điểm chia j.

Nếu xem các đầu mút của dầm là gối tự do thì điều kiện biên trong trường hợp này có dạng:

Jm+1 ym+2 - 2.Jm+1 ym+1 + (Jm+1 + Jm-1)ym + 2.Jm-1 ym-1 - Jm-1 ym-2 = 0; (4-25)

Trong đó m là chỉ số của đầu mút.

3.5.6. Với dầm chịu tải trọng tập trung:

Áp dụng PT dạng (4-17), biểu thị dưới dạng SPHH:

yj-1 - 2yj + yj+1 = h2 Mj / EJ; (4-26)

Trong đó Mj là tổng mô men do tải trọng tác dụng và phản lực nền k.yj gây ra tại TD j.

Phản lực nền là đại lượng phân bố theo một qui luật nào đó (phụ thuộc độ võng y), được thay thế bằng các lực tập trung đặt tại các điểm chia. Để dễ dàng tính toán thường phải giả thuyết trước qui luật phân bố của phản lực nền trong từng khoảng chia.

Có ba giả thuyết sau:

h h

h

2 1k.ymk.y3k.y2k.y1

R0

k.y0

0 m3..

R1R2



3.5.6.1. Biểu đồ phản lực phân bố dạng bậc thang:

Các phản lực nền được giả thuyết là không đổi trong khoảng chia h, như vậy tại mỗi điểm chia phản lực tập trung sẽ là -k.yj.h

3.5.6.2. Biểu đồ phản lực thay đổi bậc nhất trong mỗi khoảng chia:

Phản lực tập trung tương đương tại điểm chia j được xác định bằng tổng các phản lực ở đầu hai khoảng kế bên điểm đó.

Muốn vậy ta chia hình thang thành 2 tam giác và có được kết quả sau:

-Tại điểm đầu 0: R0 = -(h.k.y0 / 3 + h.k.y1 / 6)

= -h.k.(2y0 + y1) / 6;

-Tại các điểm giữa: Rj = -h.k.(yj-1 + 4yj + yj+1) / 6;

-Tại điểm cuối m: Rm = -h.k.(2ym + ym-1) / 6; (4-27)

3.5.6.3. Biểu đồ phản lực thay đổi theo luật Parabol bậc 2:

Một Parabol bậc 2 được xác định theo 3 tung độ của nó. Ví dụ theo 3 tung độ k.y0, k.y1, k.y2 của 3 điểm 0, 1, 2 kế tiếp nhau với cách khoảng là h:

(-1).Z(x) = (x-h).(x-2h). k.y0 / (2h2) - x.(x-2h). k.y1 / h2 + x.(x-h). k.y2 / (2h2); (4-28)

Z là phản lực phân bố của nền theo luật Parabol bậc 2. Với qui luật đó ta xác định được các phản lực tập trung tương đương tại các điểm chia:

R0 = ( ).h x z

hdx

h −∫0

;

R1 = x zh

dxh .

0∫ +

( ).22 h x zh

dxh

h −∫ ;

Rm = x zh

dxh .

0∫ ; (4-29)

Thay Z theo (4-28) vào (4-29) ta thu được:

R0 = -h.k (7y0 + 6y1 - y2) / 24;

Rm = -h.k (-ym-2 + 6ym-1 + 7ym) / 24; (cho các điểm biên) (4-30)

Rj = -h.k (yj-1 + 10yj + yj+1) / 12; (cho các điểm giữa) (4-31)

h h

h

2 1k.ymk.y3k.y2k.y1

R0

k.y0

0 m3..

R1R2

h h

h

2 1k.ymk.y3 k.y2 k.y1

R0

k.y0

0 m3..

R1R2



Biết được các phản lực tập trung tương đương ta hoàn toàn biểu thị mô men uốn Mj trong PT (4-26) qua các độ võng yj. Cuối cùng dẫn đến hệ PT đại số tuyến tính để xác định được yj. Và từ yj hoàn toàn có thể xác định được trị số của mô men uốn và lực cắt tại các điểm tính.

3.5.7. Ví dụ 2:

Xét một dầm có trọng lượng bản thân không đáng kể đặt trên nền đàn hồi có β = L k EJ/4 = 4; chịu tải trọng tập trung (xem hình vẽ). Giả thuyết phản lực nền phân bố theo luật Parabol bậc 2.

Theo quan hệ (4-30) và (4-31) xác định phản lực nền tập trung tương đương:

R0 = -h.k (7y0 + 6y1 - y2) / 24;

R1 = -h.k (y0 + 10y1 + y2) / 12;

R2 = -h.k (y1 + 10y2 + y3) / 12;

R3 = -h.k (y2 + 10y3 + y4) / 12;

R4 = -h.k (-y2 + 6y3 + 7y4) / 24;

Theo (4-26) viết PT SPHH cho các điểm chia:

Tại điểm 1: y0 - 2y1 + y2 = h3 R0 / EJ;

Tại điểm 2 (trái): y1 - 2y2 + y3 = h3 (2.R0 + R1 -P) / EJ;

Tại điểm 2 (phải): y1 - 2y2 + y3 = h3 (2.R4 + R3) / EJ;

Tại điểm 3: y2 - 2y3 + y4 = h3 R4 / EJ;

Và phương trình cân bằng: ΣFy = 0 ⇒ -P + R0 + R1 + R2 + R3 + R4 = 0;

Biểu thị các phản lực tương đương theo các yj, ta được hệ PT đại số tuyến tính sau:

1.2917y0 - 1.75y1 + 0.9583y2 = 0;

y0 + 3.5y1 - 3y2 + 1.5y3 = -1.5P h3 / EJ;

1.5y1 - 3y2 + 3.5y3 + y4 = 0;

0.9583y2 - 1.75y3 + 1.2917y4 = 0;

0.375y0 + 1.1667y1 + 0.9167y2 + 1.1667y3 + 0.375y4 = -P h3 / EJ;

Giải hệ trên được: y0 = -0.4773 P h3 / EJ; y1 = -0.4942 P h3 / EJ;

y2 = -0.2592 P h3 / EJ; y3 = -0.0471 P h3 / EJ; y4 = 0.1285 P h3 / EJ;

Theo các giá trị đã xác định của yj có thể tính được trị số mô men và lực cắt tại các điểm chia theo (4-23). Ví dụ tại vị trí j = 1:

M1 = EJ (y2 - 2 y1 + y0 ) / h2 = (-0.2592 + 0.9884 - 0.4773 )

= 0.2519 P.h = 0.0630 P.L;

L = 4h

β = 4; m = 4; P

2 1

y

0

x

43



3.6. Áp dụng PP SPHH tính tấm chịu uốn:

Phương trình vi phân độ võng của tấm chịu uốn:

;.2 4

4

22

4

4

4

Dq

yw

yxw

xw

=++∂∂

∂∂∂

∂∂

Trong đó q là tải trọng phân bố tác dụng trên tấm;

D là độ cứng trụ của tấm D = E t.

. ( )

3

212 1− µ;

µ là hệ số Pootson;

3.6.1. Biểu thị các vi phân bằng sai phân hữu hạn:

Với lưới sai phân được chia đều ∆x = ∆y = h.

Với điểm bất kỳ (i,j) độ võng được biểu thị dưới dạng PT SPHH với các hệ số xác định theo sơ đồ bên ta được:

wi-2,j + 2.wi-1,j-1 – 8.wi-1,j + 2.wi-1,j+1 + wi,j-2 – 8.wi,j-1 + 20.wi,j – 8.wi,j+1 + wi,j+2 + 2.wi+1,j-1 -

8.wi+1,j + 2.wi+1,j+1 + wi+2,j = h4 qDij ;

Điều kiện biên:

Với biên ngàm:-Độ võng = 0: wi,j = 0

-Góc xoay = 0: ∂∂wx

= w w

hi j i j, ,+ −−1 1

2 = 0; ⇒ wi,j+1 = wi,j-1 (wthực = wảo)

Với biên gối tựa: -Độ võng = 0: wi,j = 0

-Mô men uốn = 0:

Ta có: Mx = -D∂∂

µ∂∂

2

2

2

2w

xw

y−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0;

Vì ∂∂

2

2w

y= 0 ⇒

∂∂

2

2w

x= 0 ⇒

w w w

hi j i j i j, , ,+ −− +1 1

2

2 = 0;

Mà wi,j = 0 ⇒ wi,j+1 = -wi,j-1 (wthực = -wảo: điểm thực và điểm ảo phản xứng)

3.6.2. Ví dụ:

Tính độ võng tại điểm trung tâm của tấm hình vuông chịu tải trọng phân bố đều, biên tựa tự do.

Viết PT sai phân của độ võng tại điểm O(1,1):

w-1,1 + 2w0,0 - 8w0,1 + 2w0,2 + w1,-1 - 8w1,0 + 20w1,1 - 8w1,2 + w1,3 + 2w2,0 - 8w2,1 +2 w2,2 +

w3,1 = a2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

qD

;

Điều kiện biên gối tựa nên:

14h

w

j-2 j-1 j j+2 j+1

h h h h

i+2

i+1

i

i-1

i-2h

h

h

h 2 -8 2

-8 20 -8

2 -8 2

1 1

1

1

i,j+1 i,j-1 i,j

(i,j-1) & (i,j+1) đối xứng

i,j+1i,j-1 i,j

(i,j-1) & (i,j+1) phản xứng



w0,0 = w0,1 = w0,2 = w1,0 = w1,2 = w2,0 = w2,1 = w2,2 = 0;

Và do tính đối xứng nên:

w-1,1 = w3,1 = w1,-1 = w1,3 = -w1,1;

PT sai phân của độ võng trở thành:

20 w1,1 - 4 w3,1 = a2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

qD

⇒ w1,1 = a4

256.

qD

≈ 0.00391a qD

4;

So sánh với kết quả tính theo giải tích là 0.0041a qD

4 có sai số là ≈ 5%.

Nội lực của tấm được xác định theo quan hệ đã biết:

Mx = -D ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

2

2

yw

xw

∂∂µ

∂∂ ; My = -D ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

2

2

2

xw

yw

∂∂µ

∂∂ ; Mxy = -D.(1-µ)

∂∂ ∂

2wx y

;

Biểu thị dưới dạng SPHH cho điểm tính toán (i,j):

Mxij = -D ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

+− −+−+2

,1,,12

1,,1, .2.2h

wwwh

www jijijijijiji µ ;

Myij = -D ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−

+− −+−+2

1,,1,2

,1,,1 .2.2h

wwwh

www jijijijijiji µ ;

Mxyij = -D.(1-µ). 21,11,11,11,1

.4 hwwww jijijiji −−+−−+++ +−−

;

Với nội dung và trình tự tính toán như trên, bạn có thể tự lập các chương trình cho MTĐT để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

2

1

j=0

j= -1

h

h

2 1 i= -1 i=0

h = a/2 h

x

y



3.7. Sơ đồ khối của thuật toán:

START

Tập hợp ma trận các hệ số của PT SPHH

Tập hợp vectơ các thành phần tự do của hệ PT

Đưa điều kiện biên vào hệ PT đã tập hợp

Giải hệ phương trình

Tính M, Q tại các tiết diện chia của kết cấu

STOP

Đọc các số liệu tổng quát

Đọc các số liệu tại các điểm chia

In kết quả nội lực tính được

In kết quả giải hệ phương trình



4. Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) với mô hình chuyển vị thuần túy:

4.1. Sự rời rác hóa kết cấu liên tục:

Các PP hiện đại phân tích một vật thể đàn hồi liên tục đều dựa trên cơ sở rời rạc hóa, nghĩa là dùng một mô hình để lý tưởng hóa kết cấu thực. Mô hình được chọn cần phải thỏa mãn hai điều kiện quan trọng sau:

1.Xấp xỉ càng chính xác các tính chất hình học và đàn hồi của kết cấu thực;

2.Tránh được càng nhiều càng tốt các khó khăn về mặt toán học trong khi dùng mô hình để phân tích kết cấu.

Trong PP PTHH cách rời rạc hóa cho phép chia kết cấu đàn hồi liên tục thành một số hữu hạn bất kỳ các miền, các kết cấu con với kích thước càng nhỏ càng tốt (nhưng cũng hữu hạn). Các kết cấu con này được gọi là PTHH, chúng có thể có dạng hình học khác nhau, tính chất đàn hồi của các phần tử có thể thay đổi từ phần tử này sang phần tử khác.

Dạng hình học và số lượng các PTHH phụ thuộc không những vào khuôn khổ của bài toán, mà còn phụ thuộc vào mức độ chính xác cần phải tuân theo. Chẳng hạn, đối với bài toán không gian các PTHH có thể dạng hình chóp, hình hộp.. Còn với bài toán phẳng PTHH có thể là tam giác phẳng, chữ nhật.. Cần chú ý rằng tất cả các PTHH nêu trên đều có các cạnh thẳng (nhưng nếu dạng hình học tổng thể của kết cấu là hình cong, người ta có thể tạo ra các PTHH có các cạnh cong).

Sau khi rời rạc, kết cấu đàn hồi liên tục được thay thế bằng một lưới các PTHH. Lưới này càng mau (nghĩa là số phần tử càng nhiều, kích thước các phần tử càng bé) thì mức độ chính xác càng cao. Số phần tử càng nhiều thì số ẩn của bài toán càng lớn (là hàng trăm thậm chí hàng nghìn), đòi hỏi tốc độ và bộ nhớ của MTĐT càng lớn (yêu cầu này hiện nay không còn là vấn đề đáng ngại).

Một số ví dụ về các kết cấu liên tục được rời rạc hóa để tiến hành phân tích bằng PP PTHH:

4.2. Các loại PTHH:

Tiếp theo sau sự rời rạc hóa vật thể đàn hồi liên tục, cần đặt ra vấn đề về mối liên kết giữa các PTHH như thế nào để có thể mô hình hóa càng chính xác kết cấu ban đầu.

Đập Bê tông

Nền và móng cho phép tính đồng thời

Lợi dụng tính đối xứngTách ra 1/4 để tính



Người ta xem việc nối kết giữa các PTHH không phải được thực hiện theo toàn bộ các biên chung giữa các phần tử mà chỉ ở một số điểm cụ thể gọi là các điểm nút.

Cùng một dạng hình học như nhau có thể dùng nhiều loại PTHH. Ngoài cách phân biệt theo dạng hình học, người ta còn phân biệt PTHH theo số lượng nút và vị trí của nút:

-Loại PTHH tuyến tính có các nút chỉ được đặt tại các đỉnh của phần tử, như vậy trên mỗi cạnh chỉ có 2 nút ở 2 đầu.

-Loại PTHH bậc hai có chứa thêm một nút ở mỗi cạnh (thường nút này được đặt ở giữa mỗi cạnh).

-Người ta còn dùng loại PTHH bậc 3, trong đó mỗi cạnh có chứa 4 nút, nhưng các nút thêm vào có thể được đặt trên mặt của các PTHH trung gian.

Sự sắp xếp các nút như trên có liên hệ chặc chẽ với hàm chuyển vị được chọn cho một điểm bất kỳ của PTHH: bậc của phần tử và bậc của đa thức biểu diễn hàm chuyển vị phải phù hợp nhau để đảm bảo điều kiện tương thích giữa các phần tử có chung cạnh.

Loại phần tử hay dùng nhất là PTHH tuyến tính tam giác, cùng lúc với sự ra đời của PP PTHH (khoảng năm 1956), và cho kết quả tốt khi sử dụng để phân tích các bài toán phẳng. Loại PTHH tam giác bậc 2 được đưa ra từ năm 1965, loại phần tử này có ưu điểm về độ chính xác hơn so với phần tử tam giác tuyến tính (lời giải với các phần tử bậc 2 mau hội tụ đến kết quả chính xác hơn so với phần tử tuyến tính).

Loại phần tử chữ nhật tuyến tính được dùng cho các kết cấu có hình dáng chữ nhật. Trong các bài toán tính tấm chịu uốn dùng PTHH chữ nhật cho kết quả khả quan hơn PTHH tam giác.

4.3. Định nghiã:

Để tiếp cận với PP PTHH có hiệu quả, trước hết cần hiểu được một số khái niệm và định nghĩa sau:

4.3.1. Chuyển vị nút, vectơ chuyển vị nút: {δ}

Các điểm nút của các PTHH thường được chọn trên biên của phần tử (chủ yếu là tại các đỉnh), trường hợp đặc biệt của các phần tử bậc cao điểm nút có thể bố trí ở các cạnh hoặc bên trong phần tử (thậm chí bên ngoài phần tử).

Số lượng độ tự do của các nút là tùy thuộc từng bài toán. Tất cả độ tự do của các nút của phần tử lập thành một vectơ gọi là tham số chuyển vị nút hay vectơ chuyển vị nút {δ}.



{δ} = [δ1, δ2, δ3,.. δn]T;

Theo nghĩa rộng, các chuyển vị nút có thể gồm:

-Các chuyển vị thẳng (kể cả độ võng): u, v, w;

-Các chuyển vị xoay: θx, θy ..;

-Độ cong (các đạo hàm bậc 2): ρ ..;

Ví dụ như trong các loại PTHH sau:

4.3.2. Vectơ biến dạng: {ε}

Theo nghĩa rộng, các thành phần của {ε} có thể bao gồm:

-Biến dạng thẳng εx, εy,..;

-Biến dạng trượt (cắt) γxy, γyz,..;

-Độ cong theo các chiều ∂∂

2

2w

x, ∂∂

2

2w

y,..;

-Độ vênh do xoắn ..

4.3.3. Vectơ ứng lực nút: {F}

Là tập hợp các ứng lực tác dụng tại các nút của phần tử, bao gồm:

-Các ứng lực tương ứng với các chuyển vị thẳng (kí hiệu là vectơ đơn →) Fx, Fy..

-Các mô men uốn, xoắn tương ứng với các chuyển vị xoay (kí hiệu là vectơ kép →→) Mx, My, Mxy..

Ví dụ: Phần tử thanh không gian có ứng lực nút {F} ≡ [Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz]T tại mỗi nút;

Phần tử tam giác trong BT phẳng có vectơ ứng lực nút gồm 6 thành phần (cả 3 nút) {F} ≡ [Fx1, Fy1, Fx2, Fy2, Fx3, Fy3]T;

4.3.4. Vectơ ứng suất: {σ}

Thành phần trong vectơ ứng suất gồm:

-Ứng suất pháp σx, σy, σz;

-Ứng suất tiếp τxy, τyz, τzx;

-Các nội lực Mx, Qx ..;

-z

x

y

1 3

ω θy θx

2 4

PT chữ nhật (BT uốn) 3x4 = 12 CVnút

3

2 1 u1

v1 u2

v2

u3 v3

PT tam giác (BT phẳng) 2x3 = 6 CVnút

ux1 θx1

θz1

uz1

θy1

uy1

θz2

uz2

θy2

uy2

θx2 ux2 PT dầm không gian

6x2 = 12 CVnút



4.4. Hàm chuyển vị: {Φ}

Biểu thị trường chuyển vị bên trong phần tử.

Hàm chuyển vị (HCV) là 1 hàm xấp xỉ, tự chọn. Trong phạm vi của phần tử chuyển vị sẽ thay đổi từ điểm này sang điểm khác theo một qui luật nhất định nào đó cần tuyển chọn gần đúng theo các hàm của tọa độ x, y, z.

Thông thường trong PP PTHH trường chuyển vị được chọn dưới dạng hàm đa thức. Bậc của đa thức này cùng với số các thành phần của hàm được xác định liên hệ chặt chẽ với dạng, loại PTHH tương ứng.

Các hệ số của hàm đa thức hợp thành một vectơ các biến tổng quát. Đó là những hệ số cần tìm của đa thức được sắp xếp từ bậc nhỏ đến lớn của đa thức: {α} = [α1 α2 α3 .. αn]T;

HCV nếu lựa chọn không tốt sẽ dẫn đến kết quả tính không hội tụ về lời giải chính xác. Hàm chuyển vị cần có những đặc điểm sau:

1.HCV Φ phải chứa số lượng biến số tổng quát {α} bằng số lượng độ tự do của phần tử:

Nghĩa là kích thước của vectơ {α} bằng kích thước của {δ}.

Ví dụ 1: Phần tử tam giác chịu uốn mỗi nút có 3 độ tự do với 3 tham số chuyển vị ω, θx, θy; Vậy phần tử (cả 3 nút) có vectơ {α} cũng phải với 9 số hạng.

Đối với đa thức Φ(x,y) tốt nhất là dùng tam giác Pascal để bố trí các thừa số của đa thức:

Trường hợp phần tử tam giác chịu uốn, nếu chọn đa thức bậc 3:

Φ = ω(x,y) = α1 + α2x + α3y + α4x2 + α5xy + α6y2 + α7x3 + α8x2y + α9xy2 + α10y3;

Theo điều kiện 1 phải bỏ đi 1 hệ số biến tổng quát.

Ví dụ 2: Phần tử tam giác trong BT phẳng gồm có 2x3 = 6 chuyển vị nút. Chọn HCV là đa thức bậc 2 là phù hợp. Φ(x,y) = α1 + α2x + α3y + α4x2 + α5xy + α6y2;

Ví dụ 3: Phần tử dầm biến dạng phẳng không có lực dọc (dầm chỉ chịu lực ngang) gồm có 2x2 = 4 chuyển vị nút. Chọn đa thức Φ = y(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3;

2.HCV không chọn ưu tiên cho một hướng nào.

Chẳng hạn phần tử tam giác chịu uốn nói trên, nếu loại bỏ α2, α3, α4, α6, α7, α8, α9, α10 đều không được, vậy chỉ có thể loại bỏ α1 hoặc α5.

3.HCV phải biểu thị được tính chất tuyệt đối cứng khi phần tử chỉ có chuyển vị mà không có biến dạng.

Ví dụ: - Đa thức bậc I (3 độ tự do). - Đa thức bậc 3 đủ (10 bậc tự do).

1 x y

x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5

Bậc 0: Bậc 1: Bậc 2: Bậc 3: Bậc 4: ..



Như ví dụ trên, điều kiện này sẽ thỏa mãn nếu phần đầu của đa thức (tam thức bậc 1) được giữ lại, nghĩa là thành phần α1 + α2x + α3y biểu thị mặt phẳng đi qua 3 điểm nút đã chuyển vị do uốn.

4.HCV phải có khả năng đại diện cho mọi trạng thái về ứng suất và biến dạng.

Nếu không thỏa điều kiện này, ứng suất sẽ không hội tụ về 1 hàm liên tục. Chẳng hạn trong ví dụ trên nếu loại bỏ α2x số hạng xoắn sẽ vắng mặt vì lúc này chỉ còn:

∂∂ ∂

2wx y

= 2α8x + 2α9y; với x=0, y = 0 ∂∂

2

2w

x sẽ triệt tiêu.

5.HCV phải thỏa mãn điều kiện chập chuyển vị dọc theo biên giới giữa các phần tử tiếp giáp nhau.

Nói cách khác, các giá trị của hàm chuyển vị phải liên tục dọc đường biên, đôi khi cả vi phân bậc 1 cũng vậy.

Tuy nhiên một số phần tử mẫu đã có không thỏa mãn điều kiện này nhưng vẫn được dùng, và tất nhiên điều kiện hội tụ không đảm bảo.

Điều kiện cần và đủ để một PTHH tuyến tính tương thích là các hàm chuyển vị của nó là các đa thức bậc một, trong mỗi hàm có số số hạng bằng đúng số nút của PTHH.

Điều kiện cần và đủ để một PTHH bậc hai tương thích là hàm chuyển vị của nó là đa thức bậc hai có số số hạng chứa trong mỗi hàm bằng đúng số nút của PTHH tương ứng.

4.5. Xây dựng ma trận độ cứng-PT cơ bản của PTHH:

4.5.1. Hàm chuyển vị: {Φ}

Tự chọn HCV dưới dạng đa thức sau: {Φ} = [U] {α};

Trong đó: {α} = Vectơ hằng ẩn (biến tổng quát);

[U] = Ma trận phụ thuộc vào tọa độ chạy x, y, z..

Ví dụ: -Thanh thẳng chịu lực ngang (phần tử 1 chiều):

{Φ} ≡ y(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3 ≡ [ 1 x x2 x3 ]

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

4

3

2

1

αααα

= [U] {α};

-Tam giác trong BT phẳng (phần tử 2 chiều):

{Φ} ≡ ⎩⎨⎧

++=++=

yxvyxu

654

321

αααααα

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

yx1000

0001

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

2

1

..α

αα

= [U] {α};

-Tứ diện (phần tử 3 chiều):



{Φ} ≡ ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

wvu

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyxzyx

zyx

100000000000010000000000001

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

12

2

1

..α

αα

= [U] {α};

4.5.2. Vectơ chuyển vị nút: {δ}

{δ} = [ δ1 δ2 .. δn ]T ;

Nếu hàm chuyển vị (hoặc các vi phân riêng phần của chúng theo x, y..) được dùng để tính cho từng chuyển vị nút, ta sẽ có liên hệ giữa vectơ chuyển vị nút {δ} và biến tổng quát {α} qua các tọa độ của nút.

Ví dụ: Thanh phẳng:

Nút 1: δ1 ≡ y(x1) = α1 + α2x1 + α3x12 + α4x1

3;

δ2 ≡ ∂∂yx x1

= 0 + α2 + 2.α3x1 + 3α4x12;

Nút 2: δ3, δ3 xác định tương tự với x = x2;

Và nếu lấy x1 = 0, x2 = l thì 4 PT này sẽ đơn giản hơn.

Đối với phần tử tam giác trong BT phẳng:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

kkk

jjj

iii

yxuyxuyxu

321

321

321

ααααααααα

; ⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

kkk

jjj

iii

yxvyxvyxv

654

654

654

ααααααααα

;

Vậy tổng quát ta có liên hệ sau:

{δ} = δ

δ

1

..

n

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= [ C ] α

α

1

..

n

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= [ C ] {α};

[C] là ma trận các tọa độ cụ thể của các nút.

4.5.3. Hàm dạng: [N]

Từ phương trình trên, nếu nhân vế trái với [ C ]-1 ta có: {α} = [ C ]-1 {δ};

Thay vào HCV: {Φ} = [U] {α} = [U] [ C ]-1 {δ} = [N] {δ};

[N] = hàm dạng (thể hiện dạng của ptử khi biến dạng) phụ thuộc vào x, y và cả tọa độ các nút xi, yi..

4.5.4. Vectơ biến dạng tổng quát: {ε}

Liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút: {ε} = [B] {δ};

[B] là ma trận các toán tử vi phân, được xem như MT biến đổi chuyển vị nút thành biến dạng riêng của PTHH.



Vì thành phần của vectơ biến dạng gồm biến dạng pháp tuyến, tiếp tuyến, hoặc các độ cong uốn, xoắn.. đó là các vi phân thường hoặc vi phân riêng của các chuyển vị, nên [B] sẽ liên quan chặt chẽ với {Φ} (do đó mà hàm dạng [N] sẽ có ảnh hưởng nhiều).

4.5.5. Vectơ ứng suất tổng quát: {σ}

Quan hệ ứng suất-biến dạng của phần tử đàn hồi tuyến tính (PT Hooke tổng quát) được viết dưới dạng ma trận: {σ} = [D].{ε};

[D] là MT độ cứng của vật liệu đàn hồi, phụ thuộc các hệ số E, µ.

Nếu thay {ε} bằng hệ thức với {δ} ở trên: {σ} = [D] [B] {δ};

Trong đó tích [D] [B] gọi là ma trận ứng lực.

4.5.6. Ma trận độ cứng của phần tử: [K]

Xét một phần tử bất kỳ, tùy theo tính chất của bài toán mà các tác dụng có thể là lực thể tích µ, lực phân bố trên diện tích q, là một hệ lực tập trung P tại điểm nào đó của vật thể.

Công thức ma trận của nguyên lý công khả dĩ là:

∫V

T dV}{}{ δεσ = ∫ ΦV

T dV}{}{ δµ + ∫ ΦS

T dSq }{}{ δ + {P}T {δΦ};

Chuyển trí PT ma trận theo qui tắc thông thường:

{ } { }δε σT

VdV∫ = { } { }δ µΦ T

VdV∫ + { } { }δΦ T

Sq dS∫ + {δΦ}T {P};

Thực hiện biến phân bậc nhất đối với biến dạng {δε} và chuyển vị {δδ}, {δΦ}, ta có:

{δε} = [B] {δδ} ⇒ {δε}T = {δδ}T [B]T;

Và {δΦ} = [N] {δδ}; ⇒ {δΦ}T = {δδ}T [N]T;

Thay thế vào công thức trên, được:

{ } [ ] [ ][ ]{ }δδ δT T

VB D B dV∫ = { } [ ] { }δδ µT T

VN dV∫ + { } [ ] { }δδ T T

SN q dS∫ + {δδ}T [N]T {P};

Do biến phân {δδ} cũng như {δ} là các đại lượng không phụ thuộc vào phép tính tích phân trên, do đó PT trên có thể viết lại:

{δδ}T [ ] [ ][ ] { }B D B dVT

V∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ δ = {δδ}T [ ] { }N dVT

Vµ∫ +{δδ}T [ ] { }N q dST

S∫ + {δδ}T [N]T {P};

Hay {δδ}T [K] {δ} = {δδ}T {F}

Trong đó: [K] = [ ] [ ][ ]B D B dVT

V∫ là ma trận độ cứng của phần tử;

{F} = [N]T {P} + [ ] { }N dVT

Vµ∫ + [ ] { }N q dST

S∫ là vectơ ứng lực nút;

Với điều kiện {δδ} ≠ 0: [ K ] { δ } = { F }; Đây là phương trình cơ bản của PTHH.



Trong PT này đã dùng các ký hiệu:

[ K ] -Ma trận độ cứng của PTHH chứa các đặc trưng đàn hồi và hình học của PTHH. Nó là một MT vuông có cấp bằng số các chuyển vị nút của PTHH.

{ δ } -Vectơ các chuyển vị nút.

{ F } -Vectơ các lực tác dụng tại nút tương ứng với các chuyển vị nút - Còn gọi là các lực nút tương đương của PTHH.

Ẩn số của PT là Vectơ các chuyển vị nút {δ}. Thật vậy, [K] và {F} là các đại lượng đã biết vì các đặc trưng hình học, cơ học của PTHH được cho trước cũng như các lực tương đương ở các nút được xác định trước khi tính toán trạng thái biến dạng và ứng suất của PTHH.

Nói chung, PT với 1 phần tử chưa giải được mà quá trình tính toán sẽ tiếp tục như sau:

-Xác định MT độ cứng của tất cả các PTHH và sau đó tiến hành tập hợp các MT phần tử này thành MT độ cứng của cả kết cấu theo các qui tắc đơn giản, hệ thống và chính xác mà ta sẽ đặt ra cho từng PTHH được sử dụng cho bài toán cụ thể.

-Tính toán MT các lực nút tương đương của tất cả các PTHH và cũng tập hợp lại thành MT lực nút tương đương cho toàn kết cấu theo thứ tự đã định khi lập MT độ cứng.

-Tập hợp vectơ chuyển vị nút của cả kết cấu cũng theo thứ tự trên.

Thực hiện tất cả các bước trên ta có được PT cơ bản của PP PTHH ở mức độ kết cấu:

[ KK ] { V } = { FF }; Trong đó:

[ KK ] là MT độ cứng của toàn kết cấu, trong MT này chứa tất cả các đặc trưng cơ học và hình học của kết cấu.

{ V } Vectơ các chuyển vị nút của toàn kết cấu.

{ FF } Vectơ các lực nút tương đương của toàn kết cấu.

Ma trận [ KK ] là MT vuông suy biến, cần phải khử dạng suy biến bằng cách đưa các điều kiện biên của kết cấu vào PT cơ bản. Sau đó có thể xác định được các chuyển vị nút của kết cấu:

{ V } = [ KK* ]-1 { FF }; Trong đó [ KK* ]-1 là nghịch đảo của MT độ cứng đã được khử dạng suy biến.

Sau khi xác định được các chuyển vị nút, việc tính toán có thể được tiếp tục ở mức độ PTHH để xác định biến dạng riêng, ứng suất pháp, ứng suất chính và các phương của nó theo các quan hệ đã lập trong LT đàn hồi.

Bằng cách làm như trên, có thể rút ra một nhận xét về độ chính xác của tính toán là: kết quả tính toán về chuyển vị đạt được tốt hơn so với ứng suất. Nguyên nhân là do mô hình tính toán: trường chuyển vị thuần túy không thỏa mãn hoàn toàn các điều kiện cân bằng về ứng suất trên các biên giới chung giữa các PTHH.

Tóm tắt lại, chúng ta có thể tiến hành phân tích một kết cấu đàn hồi liên tục bằng PP PTHH với mô hình chuyển vị thuần túy theo các bước sau:



1.Chọn loại và dạng hình học của PTHH.

2.Rời rạc hóa kết cấu thực sao cho lưới các PTHH dày thưa khác nhau tùy theo từng vùng của kết cấu mà ta có mức độ quan tâm khác nhau.

3.Xác định trường của chuyển vị của PTHH thích hợp.

4.Xác định MT độ cứng, vectơ ứng lực nút tương đương đối với từng PTHH riêng.

5.Thành lập MT độ cứng của cả kết cấu đã rời rạc hóa bằng cách tập hợp tất cả các MT độ cứng của PTHH.

6.Xác định vectơ các lực nút tương đương của cả kết cấu đã rời rác bằng cách tập hợp các vectơ ứng lực nút tương đương của các PTHH.

7.Hình thành vectơ các chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu.

8.Khử dạng suy biến của MT độ cứng của toàn bộ kết cấu bằng cách đưa vào các điều kiện biên của hệ.

9.Giải PT cơ bản của PP PTHH ở mức độ kết cấu để xác định vectơ chuyển vị nút của toàn bộ hệ.

10.Xác định các chuyển vị nút của các PTHH.

11.Tính các ứng suất pháp, ứng suất chính cùng với phương của các PTHH.

Tất cả các bước nêu trên phần lớn được thực hiện tự động hóa nhờ một chương trình MTĐT. Theo trình tự trên, bạn có thể tự lập sơ đồ khối để biển diễn thuật toán.

4.6. Phần tử dầm (bài toán phẳng):

4.6.1. Sơ đồ và tọa độ:

-Độ tự do là 4 (mỗi nút 2: võng và xoay);

-Vectơ chuyển vị nút {δ} ≡ [ δ1 δ2 δ3 δ4 ]T ≡ [ y1 θ1 y2 θ2 ]T;

-Vectơ ứng lực nút {F} ≡ [ F1 F2 .. F4 ]T ≡ [ Q1 M1 Q2 M2 ]T;


{Φ} ≡ y(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3 ≡ [ 1 x x2 x3 ]

αααα

1

2

3

4

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

≡ [U] {α};

Với [U] = [ 1 x x2 x3 ]

{α} = [α1 α2 α3 α4 ]T; là tọa độ (biến) tổng quát.

y

x z

y1 ≡ δ1 θ1 ≡ δ2

M1 ≡ F1 F1 ≡ Q1

y2 ≡ δ3 θ2 ≡ δ4

M2 ≡ F4 F3 ≡ Q2

l

x

y1

Q1

Có thể kí hiệu

θ1

M1

y2

Q2

θ2

M2 x




{δ} ≡ [ δ1 δ2 δ3 δ4 ]T

Nút 1 (x = 0): δ1 ≡ y(0) = α1 + 0.α2 + 0.α3 + 0.α4;

δ2 ≡ ∂∂yx 0

= 0 + α2 + 2.0.α3 + 3.0.α4;

Nút 2 (x = l): δ3 ≡ y(l) = α1 + α2l + α3l2 + α4l3;

δ4 ≡ ∂∂yx l

= 0 + α2 + 2.α3l + 3α4l2;

Viết dưới dạng ma trận: {δ} ≡

δδδδ

1

2

3

4

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

1 0 0 00 1 0 010 1 2 3

2 3

2l l l

l l

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

αααα

1

2

3

4

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

≡ [C] {α};

Nhân với [C]-1 ta có biến tọa độ tổng quát: {α} = [ C ]-1 {δ};

Trong đó: [ C ]-1 ≡

1 0 0 00 1 0 03 2 3 1

2 1 2 12 2

3 2 3 2

− − −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

l l l l

l l l l


Thay [C]-1 vào HCV: y ≡ {Φ} = [U] {α} = [U] [ C ]-1 {δ} = [N] {δ};

Cụ thể, hàm dạng sẽ là: [N] ≡ [U] [ C ]-1 = [ 1 x x2 x3 ]

1 0 0 00 1 0 03 2 3 1

2 1 2 12 2

3 2 3 2

− − −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

l l l l

l l l l

[N] ≡ [(1 - 3 2

2xl

+ 2 3

3xl

) ⏐ (x - 2 2x

l +

xl

3

2 ) ⏐ (3 2

2xl

- 2 3

3xl

) ⏐ (-xl

2 +

xl

3

2 )]

Tính chất hàm dạng (dạng Hermite):

H1 ≡ N1 = (1 - 3 2

2xl

+ 2 3

3xl

) =1 00

khi xkhi x l

==

⎧⎨⎩

H2 ≡ N2 = (x - 2 2x

l +

xl

3

2 ) =0 00

khi xkhi x l

==

⎧⎨⎩

δ1 = δ3 = δ4 = 0

y = H2

δ2 = 1

δ2 = δ3 = δ4 = 0

y = H1 δ1 = 1



H3 ≡ N3 = (3 2

2xl

- 2 3

3xl

) =0 01

khi xkhi x l

==

⎧⎨⎩

H4 ≡ N4 = (-xl

2 +

xl

3

2 ) =0 00

khi xkhi x l

==

⎧⎨⎩

Tất cả đều là parabol bậc 3, đồ thị rất quen thuộc trong CHKC hệ thanh ngàm.

Vậy ta có thể kết luận rằng:

-HCV đã chọn là chuẩn xác.

-Có thể dựa vào toán học (kết hợp với ý nghĩa vật lý) trực tiếp, chọn tìm được ngay hàm dạng, là hàm rất quan trọng trong các bước tiếp theo.


Trong bài toán này lấy đặc trưng biến dạng là độ cong: {ε} ≡ 1ρ

;

Từ các công thức SBVL hoặc CHKC (hệ thanh), ta có hệ thức “cong-võng”:

1ρ

= -∂∂

2

2y

x; (Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt)

Thay PT y = [N] {δ} vào:

{ε} = - ∂∂

2

2x [N] {δ} = -

∂∂

2

2[ ]Nx

{δ} = [B] {δ};

(Nếu gọi [V]’’ là MT toán tử vi phân bậc 2 của PT hình học này, ta có thể viết:

{ε} = [V]’’ [N] {δ} = [B] {δ};

Vậy [B] = [V]’’ [N];)

Với hàm dạng [N] đã xác định ở trên, ta được:

[B] = [(62l

- 12

3x

l) ⏐ (

4l

- 6

2x

l) ⏐ (-

62l

+ 12

3x

l) ⏐ (

2l

- 6

2x

l)]:


Với đặc trưng biến dạng đã chọn, vectơ ứng suất tổng quát tương ứng là: {σ} ≡ M;

Cũng từ công thức đã biết về quan hệ mô men-độ cong: M = EJ. 1ρ

Trong bài toán này: M ≡ {σ} = EJ. 1ρ

= [D].{ε};

Với [D] ≡ EJ: Độ cứng của dầm (luôn dương);

δ1 = δ2 = δ3 = 0

y = H4

δ4 = 1

δ1 = δ2 = δ4 = 0

y = H3 δ3 = 1



4.6.7. Ma trận độ cứng của dầm: [K]

Sau khi đã có [B] và [D], thay vào công thức tổng quát tính [K]:

[K] = [ ] [ ][ ]B D B dVT

V∫ = EJ.

36 144 144

24 84 72 16 48 364 5

2

6

3 4

2

5 2 3

2

40

4 4

lx

lx

l

lx

lx

l lx

lx

ldx

l

x

− +

− + − +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∫

... ...

...

... ... ...

;

Lấy tích phân từ 0->l của tất cả các số hạng của ma trận trên, cuối cùng ta được ma trận độ cứng của phần tử dưới dạng quen thuộc:

[K] = EJl 3

12 6 12 64 6 2

12 64

2 2

2

l ll l l

ll

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

...

... ... ;

Nếu làm trực tiếp với các hàm dạng kiểu Hermiter lần lược theo các bước 4, 5, 6 ta có:

{ε} = [V] [N] {δ}; ([V] là ma trận các toán tử vi phân)

[B] = [V] [N] = [ H1’’(x) H2’’(x) H3’’(x) H4’’(x)];

Và MT độ cứng có dạng kí hiệu chưa hoàn chỉnh sau:

[K] = EJ.

( )( )

( )( )

H H H H H H H

H H H H H

H H H

H

dxl

12

1 2 1 3 1 4

22

2 3 2 4

32

3 4

42

0

'' '' '' '' '' '' ''

'' '' '' '' ''

'' '' ''

''

...

... ...

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∫ ;

Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu ta lấy hệ trục như hình vẽ:

4.6.8. Vectơ tải qui đổi (lực nút tương đương):

Với tải trọng q(x) phân bố không đều trên dầm mà theo một hàm nào đó, để qui đổi về nút ta dùng công thức tổng quát đã có: {Fq} = [ ] { ( )}N q x dST

L∫ ;

Với tải trọng q(x) phân bố hình thang (hình vẽ), thay hàm tải trọng đã cho vào công thức tổng quát, ta có:

Hàm tải trọng là: q(x) = q1 + xl

(q2-q1);

(đối xứng)

(đối xứng)

(đối xứng)

y

x z

y1 ≡ δ1 θ1 ≡ δ2

M1 ≡ F1 F1 ≡ Q1

y2 ≡ δ3 θ2 ≡ δ4

M2 ≡ F4 F3 ≡ Q2 x



Để tính vectơ tải qui đổi về các nút 1 và 2, nếu dùng trực tiếp MT hàm dạng [N] thì khá cồng kềnh (vì là các hàm Hermiter). Tốt nhất là dùng các thành phần [C]-1 và U:

[N] = [U] [C]-1 với [U] = [ 1 x x2 x3 ] sẽ đơn giản hơn.

Vậy: {Fq}≡

F QF MF QF M

1 1

2 1

3 2

4 2

≡≡≡≡

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

= [ ] { ( )}N q x dxTl

0∫ = [ ] [ ] { ( )}C U q x dxT T

l−∫ 1

0 = [C]-1T [ ] { ( )}U q x dxT

l

0∫ ;

Trong đó [C]-1T có thể đưa ra ngoài dấu tích phân vì các số hạng đều là hằng số.

Sau khi tính tích phân trên, ta được:

{Fq} =

1 03 2

0 12 1

0 03 2

0 01 1

2 3

2

2 3

2

−

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

l l

l l

l l

l l

( )

( )

( )

( )

q ql

q ql

q ql

q ql

2 1

2 1

2

2 1

3

2 1

4

2

26

312

420

+

+

+

+

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

= l

20

7 3

23

3 7

23

1 2

1 2

1 2

1 2

q q

q l ql

q q

ql

q l

+

+

+

− −

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

;

Trường hợp đặc biệt q1 = q2 = q (tải trọng phân bố đều)

Với tải trọng tập trung P tại điểm K có tọa độ x, có thể dùng hàm Hermiter không thứ nguyên,

tức là với tọa độ ξ = xl

:

{Fq} = [N]T.P = [H1(ξl).P ⏐ H2(ξl).P ⏐ H3(ξl).P ⏐ H4(ξl).P]T;

Đặc biệt khi K ở giữa dầm (ξ = 0.5), ta có:

H1(0.5l) = 12

; H2 = l8

; H3 = 12

; H4 = -l8

;

Do đó: {FP} = P Pl P Pl T

2 8 2 8−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

;

Để tiện sử dụng, đôi khi người ta dùng cả 2 đại lượng

không thứ nguyên α và β: α = xl

, β = l x

l−

= 1 - α;

Ta có: {FP} = [H1(α,β)⏐ H2(α,β)⏐ H3(α,β)⏐ H4(α,β)]T P =

= P.[ β2(1+2α) ⏐ β2αl ⏐ (1+2β)α2 ⏐ -α2βl]T;

ql /2

q.l2 /12

ql /2

- q.l2 /12 q = const

x 7q1+3q2

q1+ 2q2l/3

q2 q1

x 3q1+7q2

-2q1l/3 - q2

y

x z

P /2

P.l /8

P /2

- P.l /8 P

x

ξl

β2(1+2α)

β2αl

(1+2β)α2

-α2βl

P

x

βl αl



Với mô men tập trung M tại điểm K có tọa độ x (trong bài toán phẳng mô men này có chiều theo trục z):

Thành phần của vectơ ứng lực nút qui đổi sẽ gồm các vi phân của hàm dạng nhân với Mz:

{FM}= ∂∂x

[N ’]T.Mz = [H1’ H2’ H3’ H4’]T .Mz =

= 6 1

1 4 36 1

3 22ξ ξξ ξ

ξ ξξ ξ

( ) ( )( )

−− +

−−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥l l

T

.Mz

Đặc biệt khi Mz ở giữa dầm (ξ = 0.5), ta có: {FM} = − − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

32

14

32

14l l

T.Mz

Người ta cũng tính được theo 2 hệ số không thứ nguyên α và β.

4.6.9. Hệ tọa độ chung:

Các đại lượng của phần tử được xác định trong hệ tọa độ riêng (x, y, z) của phần tử. Khi xét chung toàn bộ kết cấu, hệ toạ độ riêng của các phần tử nói chung không trùng với hệ tọa độ chung đac chọn để biểu thị các phương trình cân bằngcủa tất cả các nút của hệ. Như vậy sẽ phát sinh yêu cầu nghiên cứu việc chuyển ma trận độ cứng của PTHH đã được biểu thị trong hệ toạ độ riêng sang hệ toạ độ mới được chọn cho cảc hệ.

Xét trong hệ tọa độ chung ( X Y Z ):

Với hệ phẳng (z ≡ Z ), Ta có:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZYX

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1000cossin0sincos

αααα

.⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyx

= [ t ]. ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyx

;

[t] gọi là ma trận chuyển giữa hệ tọa độ chung và hệ tọa độ riêng (địa phương).

Chú ý: ma trận chuyển có tính trực giao nên [ t ]T = [ t ]-1;

Với dầm có 2 nút, mỗi nút có chuyển vị thẳng theo trục y và chuyển vị xoay quanh trục z nên ma

trận chuyển tương ứng là: [T] = [ ] ;

100cos

0

0100cos

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= α

α

T ;

Và vectơ chuyển vị nút của phần tử (trong hệ tọa độ chung): {δ } = T. {δ}

Ứng lực nút chuyển về hệ tọa độ chung: { F } = [T].{ F };

PT cân bằng của PTHH được viết lại { F } = [T].([ K ] {δ}) = [T].[ K ].[T]T{δ } = [ K ].{δ };

Phương trình cơ bản của PTHH trong hệ tọa độ chung: { F } = [ K ].{δ };

Trong đó [ K ] = [T].[ K ].[T]T là ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ chung.

δ1

δ2

δ3

δ4

x α

α y

Z ≈ zx

YX

z

F1 = -3Mz/ 2l

F2 = - Mz/4

F3 = 3Mz/ 2l

F4 = - Mz/4 Mz

x

ξl (ξ=0.5)



4.6.10. Ma trận độ cứng tổng thể của hệ: [KK]

Đặt {P} là vectơ lực (tải trọng) đặt tại các nút của hệ;

Đặt {V} là vectơ chuyển vị nút của tất cả các nút của hệ, ta có liên hệ giữa chuyển vị nút của phần tử (trong hệ tọa độ chung) và chuyển vị của hệ: {δ } = [L] {V};

Trong đó [L] là ma trận để chuyển chuyển vị chung của hệ về chuyển vị của từng phần tử (xác định cho mỗi phần tử).

Nguyên lý cân bằng công khả dĩ áp dụng cho toàn hệ, ta được PT cân bằng sau:

{V}T.P + ∑{δ }T.{ F }= ∑{δ }T.[ K ].{δ };

Hay là:{V}T.{P} + ∑{V}T[L]T.{ F } = ∑{V}T[L]T.[ K ].[L] {V};

{V}T.{P} + {V}T ∑([L]T.{ F }) = {V}T ∑([L]T.[ K ].[L]){V};

Vì {V}≠0 nên có thể viết lại: {P} + ∑([L]T.{ F })= ∑([L]T.[ K ].[L]){V};

Đặt {F0} = ∑([L]T.{ F }); (Vectơ ứng lực nút của hệ cơ bản)

[KK] = ∑([L]T.[ K ].[L]); (MT độ cứng tổng thể của hệ)

PT cân bằng của toàn hệ: {P} + {F0} = [KK].{V};



4.7. Phần tử thanh phẳng:


Hệ trục tọa độ địa phương:

trục x trùng với trục của phần tử;

trục y, z theo phương 2 trục quán tính chính của tiết diện;

-Độ tự do là 6 (= 3x2);

-Vectơ chuyển vị nút {δ} ≡ [ δ1 δ2 .. δ12 ]T ≡ [ u1 u2 v1 θz1 v2 θz2]T;

-Vectơ ứng lực nút {F} ≡ [ F1 F2 .. F12 ]T

≡ [ N1 N2 Qy1 Mz1 Qy2 Mz2]T;


Kết hợp các bài toán dọc trục, uốn theo phương z, chọn hàm xấp xỉ cho chuyển vị:

⎩⎨⎧

+++=+=

;;

36

2543

21xxxv

xuαααα

αα

Vậy { } [ ]{ };....100

00001

6

2

1

6232 α

α

αα

Uxxx

xvu

x=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≡Φ


{δ} ≡ [ δ1 δ2 .. δ6 ]T

Đối với các chuyển vị dọc trục là hàm số tuyến tính ta có thể rút ngay được các số hạng tương ứng của vectơ {α} vì với x = 0 và x = l ta có:

u

u l1 1

2 1 2

== +

⎧⎨⎩

αα α

Vậy α

α

1 1

22 1

=

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

uul

ul

Đối với các chuyển vị v cũng như góc xoay θz = dxdv

, ta có thể dùng ngay kết quả của phần tử

dầm trong bài toán phẳng để có MT [C] và [C]-1:

PT thanh phẳng 3x2 = 6 CVnút

z

x

yδ1=u1 δ3=v1

δ4=θz1

δ2=u2 δ5=v2

δ6=θz2



{ } [ ]{ };.

32101

00100001

0

01

01

6

5

4

3

2

1

2

32

2

2

1

1

2

1

α

αααααα

θ

θδ C

lllll

l

v

vuu

z

z=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≡

Ma trận giả chéo này cóthể nghịch đảo bằng cách nghịch đảo các MT khối chéo đã tiến hành ở mục trước (BT phẳng):

[ ] ;

1212

132300100001

0

01101

2323

22

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

=−

llll

llll

ll

C


Trong trường hợp này ta có hàm dạng như sau:

[N] ≡ [U] [ C ]-1

Tuy nhiên, không cần phải khai triển tích của 2 MT trên, vì khi lấy vi phân để xây dựng MT [B], MT hằng [ C ]-1 sẽ được đưa ra ngoài dấu vi phân. Tương tự mục trên khi áp dụng MT các toán tử vi phân [ ] lên [N] ta có:

[B] = [ ][N] = [ ]([U] [ C ]-1) = ([ ][U]) [ C ]-1;


Trong bài toán này lấy đặc trưng biến dạng là: { }T

zx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ρεε 1 gồm chuyển vị thẳng và độ

cong theo chiều z. Và tương ứng với các đặc trưng biến dạng trên, MT các toán tử vi phân [ ] có dạng:

[ ] ;0

0

222

2

xdxd

dxd

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=∇

Lấy vi phân [ ] với MT [U], ta có: [ ][ ] ;620000000010

62xxU ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=∇



Và [ ] [ ][ ]( )[ ] ;621266412600

000011

.

622322232

1

xlx

llx

llx

llx

l

llCUB

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=∇= −


Với đặc trưng biến dạng đã chọn, vectơ ứng suất tổng quát tương ứng gồm lực dọc N và mô men

uốn Mz: ;1.

.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

zzz

x

EIM

EAN

ρ

ε

Hệ PT Hooke tổng quát là: { } [ ]{ };.1.00.

ερ

εσ D

IEAE

MN

z

x

zz

≡⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

4.7.7. Ma trận độ cứng của thanh: [K]

MT độ cứng: [K] = [ ] [ ][ ]B D B dVT

V∫ ;

Thực hiện phép nhân MT, lấy tích phân từ 0->l của tất cả các số hạng của ma trận tích.

Theo thứ tự sắp xếp lại của vectơ chuyển vị nút như sau: { }

2

1

;

2

2

2

1

1

1

NUT

NUT

vu

vu

z

z

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

θ

θδ ;

Ta được ma trận độ cứng của phần tử dưới dạng quen thuộc:

[ ] ;

46

026

0

2

120

6

2

120

00

46

0

2

120

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−

−

zIlzI

zIlzI

lzI

lzI

lzI

AAzI

lzI

lzI

A

lEK

Tùy theo thứ tự của các chuyển vị nút, ta có thể sắp xếp các số hạng sao cho tiện dụng nhất.

4.7.8. Vectơ tải qui đổi:

Với các thành phần chuyển vị dọc trục là tuyến tính, bổ sung thêm 2 hàm Hermiter:

(đối xứng)



H5(x) = 1 - xl

; H6(x) = xl

;

Với tải trọng phân bố không đều trên dầm mà theo một hàm nào đó:

Với qy(x) để qui đổi về nút ta dùng lại các công thức đã có của BT dầm phẳng để có các thành phần ứng lực nút theo các phương tương ứng F2, F3, F5, F6;

Với τ(x) ta có: ;)().(

)().(

06

05

4

1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫

∫l

l

dxxxH

dxxxH

FF

τ

τ

Trường hợp tải trọng phân bố đều: qz(x) = qz = const; τ(x) = τ = const;

Ta có: { } ;12

.2

.2.

12.

2.

2. 22 T

yyyyq

lqlqllqlqlF⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

ττ

Với các tải trọng tập trung T, Py: (xem hình vẽ) có thể dùng hàm Hermiter không thứ nguyên như sau:

{ } ;

.).().().(

.).().().(

4

3

6

2

1

5

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

lPHPHTH

lPHPHTH

F

y

y

y

y

P

ξξηξξη

;

Với mô men tập trung Mz công thức qui đổi như trong bài toán dầm phẳng:

Cụ thể là: { }

( )

( );

).23(

1.60

).341(

1.60

)..(')..('

0)..(')..('

0

3

3

3

2

1

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

+−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

z

z

z

z

z

z

z

z

M

M

Ml

M

Ml

MlHMlH

MlHMlH

F

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ


Các đại lượng của phần tử được xác định trong hệ tọa độ riêng (x, y, z) của phần tử.

Xét trong hệ tọa độ chung ( X Y Z ): [ ] ;..cossin0sincos0001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

yxz

tyxz

YXZ

αααα

y

x

z

τ(x)

qy(x)

F1 F2

F3

F4F5

F6

Py

T x

γl ηl

y

x

z

γl

x

Mz



Tương tự như dầm trong BT phẳng, ta có ma trận chuyển giữa hệ tọa độ chung và hệ tọa độ riêng

của phần tử: [ ] [ ][ ] ;

00⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tt

T ;

Trong hệ tọa độ chung:

{ F } = [T].{ F }; (vectơ ứng lực nút tương đương)

[ K ] = [T].[ K ].[T]T; (ma trận độ cứng của phần tử)




4.8. Phần tử thanh không gian:


Hệ trục tọa độ địa phương:

trục x trùng với trục của phần tử;

trục y, z theo phương 2 trục quán tính chính của tiết diện;

-Độ tự do là 12 (= 6x2);

-Vectơ chuyển vị nút {δ} ≡ [ δ1 δ2 .. δ12 ]T ≡ [ u1 u2 v1 θz1 v2 θz2 w1 θy1 w2 θy2 ϕ1 ϕ2 ]T;

-Vectơ ứng lực nút {F} ≡ [ F1 F2 .. F12 ]T

≡ [ N1 N2 Qy1 Mz1 Qy2 Mz2 Qz1 My1 Qz2 My2 Mx1 Mx2 ]T;


Kết hợp các bài toán dọc trục, uốn theo 2 chiều và xoắn, chọn hàm xấp xỉ cho chuyển vị:

u xv x x x

w x x xx

= += + + += + + +

= +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

α αα α α αα α α α

ϕ α α

1 2

3 4 52

63

7 8 92

103

11 12

;;;

;

Vậy {Φ} ≡

uvwϕ

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 3

2 3

4 12

xx x x

x x xx x

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

αα

α

1

2

12

...

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

≡ [U] {α};


{δ} ≡ [ δ1 δ2 .. δ12 ]T

Đối với các chuyển vị dọc trục và chuyển vị xoay (u và ϕ) đều là hàm số tuyến tính ta có thể rút ngay được các số hạng tương ứng của vectơ {α} vì với x = 0 và x = l ta có:

u

u l1 1

2 1 2

== +

⎧⎨⎩

αα α

và ϕ α

ϕ α α1 11

2 11 12

== +

⎧⎨⎩ l

Vậy α

α

1 1

22 1

=

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

uul

ul

và α ϕ

αϕ ϕ

11 1

122 1

=

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪ l l

Đối với các chuyển vị v và w, cũng như các góc xoay θz = dvdx

và θy = dwdx

theo 2 chiều y và z, ta

có thể dùng ngay kết quả của phần tử dầm trong bài toán phẳng để có MT [C] và [C]-1:

z

x

y

PT dầm không gian6x2 = 12 CVnút

δ1=u1 δ11=ϕ1

δ4=θz1

δ7=w1

δ8=θy1

δ3=v1

δ2=u2 δ12=ϕ2

δ6=θz2

δ9=w2

δ10=θy2

δ5=v2



{δ} ≡

uuv

v

w

w

z

z

y

y

1

21

1

2

21

1

2

2

1

2

θ

θ

θ

θϕϕ

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

1 01 0 0 0

0

1 0 0 00 1 0 010 1 2 3

0 0

0 0

1 0 0 00 1 0 010 1 2 3

0

0 0 01 01

2 3

2

2 3

2

l

l l ll l

l l ll l

l

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

αααααααααααα

1

23

4

5

67

8

9

1011

12

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

≡ [C] {α};

Ma trận giả chéo này cóthể nghịch đảo bằng cách nghịch đảo các MT khối chéo đã tiến hành ở mục trước (BT phẳng):

[C]-1 =

1 01 1 0 0 0

0

1 0 0 00 1 0 03 2 3 1

2 1 2 1

0 0

0 0

1 0 0 00 1 0 03 2 3 1

2 1 2 1

0 0 01 01 1

2 2

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

−

− − −

−

− − −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

l l

l l l l

l l l l

l l l l

l l l l

l l


Trong trường hợp này ta có hàm dạng như sau:

[N] ≡ [U] [ C ]-1

Tuy nhiên, không cần phải khai triển tích của 2 MT trên, vì khi lấy vi phân để xây dựng MT [B], MT hằng [ C ]-1 sẽ được đưa ra ngoài dấu vi phân. Tương tự mục trên khi áp dụng MT các toán tử vi phân [ ] lên [N] ta có:

[B] = [ ][N] = [ ]([U] [ C ]-1) = ([ ][U]) [ C ]-1;




Trong bài toán này lấy đặc trưng biến dạng là: {ε} = ερ ρ

γxz y

x

T1 1⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

gồm chuyển

vị thẳng, độ cong theo 2 chiều y, z và góc xoắn đơn vị.

Và tương ứng với các đặc trưng biến dạng trên, MT các toán tử vi phân [ ] có dạng:

[ ] =

ddx

ddx

ddx

ddx x

0

0

2

22

2

4 4

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

;

Lấy vi phân MT [U], ta có:

[ ][U] =

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 6 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 6 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 12

xx

x

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

;

Và [B] = ([ ][U]) [ C ]-1 =

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 06 12 4 6 6 12 2 6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1

2 3 2 2 2 3 2

4 12

l l

lx

l lx

l lx

l lx

l

l l x

** ** ** **


Với đặc trưng biến dạng đã chọn, vectơ ứng suất tổng quát tương ứng gồm lực dọc N, mô men

uốn Mz, My và mô men xoắn Mx:

N EA

M EI

M EI

M GI

x

z zz

y yy

x x x

=

=

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

.

.

.

.

ε

ρ

ργ

1

1 ;



Hệ PT Hooke tổng quát là: {σ} ≡

NMMM

z

y

x

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

EAEI

EIGI

z

y

x

0

0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

ε

ρ

ργ

x

z

y

x

1

1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

≡ [D].{ε};

4.8.7. Ma trận độ cứng của thanh: [K]

Thực hiện phép nhân và lấy tích phân, ta sẽ có MT độ cứng: [K] = [ ] [ ][ ]B D B dVT

V∫ ;

Theo thứ tự sắp xếp lại của vectơ chuyển vị nút như sau:

{δ} = u v w u v wy z

NUT

y z

NUT

T

1 1 1 1 1 1

1

2 2 2 2 2 2

2

ϕ θ θ ϕ θ θ1 244444 344444 1 244444 344444

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

;

Thực hiện phép nhân MT, lấy tích phân từ 0->l của tất cả các số hạng của ma trận tích, cuối cùng ta được ma trận độ cứng của phần tử dưới dạng quen thuộc:

[K]=El

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−−

−−

−

zIlzI

zIlzI

yIlyI

yIlyI

ExGI

ExGI

l

yI

lyI

l

yIl

zIlzI

lzI

AAzI

lzI

yIlyI

ExGI

l

yIl

zIA

40006

020006

0

406

000206

00

00000000

212

0006

0212

00

212

06

000212

0

00000

40006

0

406

00

000

212

00

212

0

Tùy theo thứ tự của các chuyển vị nút, ta có thể sắp xếp các số hạng sao cho tiện dụng nhất.

(đối xứng)



Ví dụ với hệ dầm trực giao chịu lực thẳng góc với mặt sàn (có 8 CVnút ở cả 2 nút của phần tử), ta có thể có MT độ cứng của phần tử:

[K] = El

46 12

26

46 12 6 12

0

0 0 0

0 0

2

2 2

IIl

Il

IIl

IIl

Il

Il

Il

AA A

GIEGIE

GIE

x

x x

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

;

Và nếu bỏ qua chuyển vị dọc trục, MT độ cứng sẽ còn đơn giản hơn.

4.8.8. Vectơ tải qui đổi:

Với phần tử không gian, bổ sung thêm 2 hàm Hermiter:

H5(x) = 1 - xl

; H6(x) = xl

;

Với tải trọng phân bố không đều trên dầm mà theo một hàm nào đó:

Với qy(x), qz(x) để qui đổi về nút ta dùng lại các công thức đã có của BT phẳng để có các thành phần ứng lực nút theo các phương tương ứng F2, F6, F8, F12 và F3, F5, F9, F11;

Với τ(x), m(x) ta có:

FFFF

1

7

4

10

⎧⎨⎩⎧⎨⎩

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∫

∫

∫

∫

l

l

l

l

dxxmxH

dxxmxH

dxxxH

dxxxH

06

05

06

05

)().(

)().(

)().(

)().(

τ

τ

Trường hợp tải trọng phân bố đều: qy(x) = qy = const; qz(x) = qz = const;

τ(x) = τ = const; m(x) = m = const;

z

x

y

F1 F4

F6

F3

F5

F2

F7 F10

F12

F9

F11

F8

x

z y τ(x)

qz(x) m(x)

qy(x)

(đối xứng)

(đối xứng) z

x

y

PT dầm trực giao 4x2 = 8 CVnút

δ5 -δ7

δ2 -δ1

-δ8 δ6

δ4 -δ3



Ta có: {Fq} = T

yzzyyzzy lqlqlmlqlqllqlqlmlqlql⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

12.

12.

2.

2.

2.

2.

12.

12.

2.

2.

2.

2. 2222 ττ

Với các tải trọng tập trung P: (xem hình vẽ) có thể dùng hàm Hermiter không thứ nguyên như sau:

{FP} =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

lPHlPH

PHPHTH

lPHlPH

PHPHTH

y

z

z

y

y

z

z

y

.).(.).(

0).().().(

.).(.).(

0).().().(

4

4

3

3

6

2

2

1

1

5

ξγ

γξηξγ

γξη

;

Với mô men tập trung M công thức qui đổi tổng quát với mô men uốn là:

{FM} = ∂∂x

[N]T.M = [H1’ H2’ H3’ H4’]T .M;

Với mô men xoắn là: {FM} = [H5 H6]T .M;

Cụ thể là:

{FM} =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

z

y

x

y

z

z

y

x

y

z

MlHMlHMlHMlH

MlH

MlHMlHMlHMlH

MlH

)..(')..(')..()..('

)..('0

)..(')..(')..()..('

)..('0

4

4

6

3

3

2

2

5

1

1

γξηξγ

γξηξγ

; hay {FM} =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

+−

−

+−+−−

−

+−

z

y

x

y

z

z

y

x

y

z

MM

M

Ml

Ml

MM

M

Ml

Ml

)23()23(

.

6)1(

6)1(0

)341()341(

)1(

6)1(

6)1(0

3

3

γγξξη

ξξ

γγ

γγξξ

η

ξξ

γγ

;

Pz

T

Py x

γl ξl

ηl

x

z y

γl ξl

ηl

x

z y

Mz

T

x

Mx My




Các đại lượng của phần tử được xác định trong hệ tọa độ riêng (x, y, z) của phần tử.

Xét trong hệ tọa độ chung ( X Y Z ):

Tương tự như dầm trong BT phẳng, ở đây ta có: [ T ] =

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tt

tt

000000000000

;

Trong đó: [ t ] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

'''

'''

'''

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

lllllllll

với lxx’ , lxy’ , lxz’ lần lược là cosin chỉ phương của trục x so

với các trục X , Y , Z .

Trong hệ tọa độ chung:

{ F } = [T].{ F }; (vectơ ứng lực nút tương đương)

[ K ] = [T].[ K ].[T]T; (ma trận độ cứng của phần tử)




4.9. Phần tử tuyến tính tam giác (bài toán phẳng):

4.9.1. Ma trận độ cứng của PT:

4.9.1.1. Trạng thái ứng suất phẳng:

Cho một kết cấu đàn hồi tuyến tính, trong khuôn khổ của bài toán ƯS phẳng chọn phần tử tam giác tuyến tính có trường chuyển vị như sau:

{Φ} ≡ u x yu x y

x

y

= + += + +

⎧⎨⎩

α α αα α α

1 2 3

4 5 6 =

1 0 0 00 0 0 1

x yx y

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

αα

α

1

2

6

..

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

= [U] {α};

Điều kiện tương thích được thỏa mãn vì các hàm chuyển vị là các đa thức tuyến tính với x và y, có số thành phần bằng số nút của phần tử là 3.

Để thuận tiện, chọn hệ tọa độ riêng Oxy như hình vẽ (sẽ có 3 trong 6 tọa độ của các nút của PTHH bằng 0, còn các tọa độ khác cho trên hình vẽ)

Chiều dày của phần tử không đổi bằng h = const.

Aïp dụng trường chuyển vị cho các điểm nút của PTHH, ta có:

uuuuuu

x

y

x

y

x

y

1

1

2

2

3

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=

1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 01 0 0 00 0 0 1

aa

b cb c

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

αααααα

1

2

3

4

5

6

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

= [C] {α}; hay {δ} = [C] {α};

Phương trình này được giải theo {α}, nghĩa là phải nghịch đảo MT [C]. Chúng ta dùng PP biến đổi MT [C] ban đầu về thành MT của các MT con bằng cách hoán đổi các hàng (thứ tự các hàng trong MT ban đầu được ghi lại bên cạnh):

[C]135246=

1 0 01 01

0

01 0 01 01

ab c

ab c

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

; ⇒ [C]-1= 1ac

acc c

b a b aac

c cb a b a

0 0 0 0 00 0 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 00 0 0

−− −

−− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

;

Việc nghịch đảo được đưa về với các MT vuông cấp 3. Sau khi có được MT nghịch đảo, cần thực hiện hoán vị các cột theo thứ tự đã hoán vị hàng để có được MT nghịch đảo của MT [C] ban đầu.

Ta có: {Φ} = [U] {α} = [U] [C]-1{δ}= [N] {δ};

III (b,c)

II (a,0)I (0,0)

h/2 h/2

y

O x



Khai triển phép nhân MT, ta có hàm dạng [N] = [U] [C]-1 cụ thể như sau:

[N] = 1ac

( ( ) ) ( )( ( ) ) ( )

ac ax b a y cx by ayac ax b a y cx by ay

− + − −− + − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0 0 00 0 0

Biến dạng được xác định theo các đạo hàm riêng của các trường chuyển vị theo LTĐH:

{ε} = εεε

xx

yy

xy

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

αααααα

1

2

3

4

5

6

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

= 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

[C]-1{δ}= [B] {δ};

Trong đó [B] = 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

[C]-1 = 1ac

−− −

− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

c cb a b a

b a c b c a

0 0 0 00 0 0

0

Quan hệ giữa ƯS và biến dạng của trường hợp ƯS phẳng là:

{σ} = [D].{ε}; hay σστ

xx

yy

xy

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= E

1

1 01 0

0 01

2

2− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

µ

µµ

µ

εεε

xx

yy

xy

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

;

Trong đó [D] = E

1

1 01 0

0 01

2

2− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

µ

µµ

µ gọi là MT đàn hồi;

Sau khi đã có [B] và [D], thay vào công thức tổng quát tính ma trận độ cứng của PTHH [K] (nhận xét rằng [B] và [D] là các MT không chứa biến số nào phụ thuộc dấu tích phân):

[K] = [ ] [ ][ ]B D B dVT

V∫ = [B]T [D] [B] dV

V∫ = = [B]T [D] [B].V;

Trong đó V là thể tích của PTHH đang xét: V = s.h; (s = 12

ac là diện tích của PTHH).

Nhận xét MT độ cứng [K] là 1 MT vuông đối xứng bậc 6 với các phần tử nằm trên đường chéo chính là các phần tử luôn mang dấu dương.

4.9.1.2. Trạng thái biến dạng phẳng:

Trong trường hợp khi kết cấu liên tục được phân tích trong phạm vi của trạng thái biến dạng phẳng, việc tính toán được tiến hành một cách tương tự, sử dụng các quan hệ giống như trường hợp của bài toán ƯS phẳng. Điều khác nhau dy nhất là bề dày của phần tử xét là bằng đơn vị (vật



thể có chiều dài rất lớn so với TD ngang, khi tính toán chỉ xét trên 1 đơn vị dài của vật thể), và

MT đàn hồi [D] được tính như sau: [D] = E

2 1 1 2

2 1 2 02 2 1 00 0 1 2

( )( )

( )( )

+ −

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

µ µ

µ µµ µ

µ;

Sau các phép tính toán trung gian, cuối cùng có MT độ cứng [K] của phần tử.

4.9.2. Xác định vectơ lực nút tương đương:

Trong PP PTHH công thức tổng quát của lực nút tương đương:

{F} = [N]T {P} + [ ] { }N dVT

Vµ∫ + [ ] { }N q dST

S∫ ;

Trường hợp tải trọng phân bố đều trên diện tích của phần tử qx = const, qy = const:

{F} = [ ]F F F F F Fx y x y x yT

1 1 2 2 3 3 = ac6

1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T qq

x

y

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

;

Nhận xét: 3 lực nút tương đương theo các hướng x (hoặc y) ở 3 nút của PTHH có giá trị bằng nhau và bằng 1/3 của toàn bộ tải trọng phân bố đều trên phần tử.

Trường hợp tải trọng phân bố đều trên các cạnh của phần tử:

Đặt chiều dài các cạnh là: l12 = a; l13 = b c2 2+ ; l23 = ( )a b c− +2 2

-Trên cạnh I-II: q12 = qq

x

y

12

12

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= const


1 1 2 2 3 3 = l122

1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T qq

x

y

12

12

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

;

-Trên cạnh I-III: q13 = qq

x

y

13

13

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= const


1 1 2 2 3 3 = l132

1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T qq

x

y

13

13

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

;

-Trên cạnh II-III: q23 = qq

x

y

23

23

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= const


1 1 2 2 3 3 = l232

0 0 1 0 1 00 0 0 1 0 1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

T qq

x

y

23

23

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

;

Nhận xét: cách xác định lực nút tương đương do tải trọng phân bố tác dụng trên cạnh của PTHH được thực hiện giống như xác định phân bố lực trong dầm đơn giản.

Chú ý: Phương chiều của các tải trọng tác dụng lên phần tử đang xét được xác định trong hệ tọa độ riêng đã chọn ở mục trước.



4.9.3. Phương trình cơ bản của PTHH:

Để viết và hiểu rõ ý nghĩa của phương trình cơ bản của PTHH tuyến tính tam giác, ta thực hiện như sau:

-MT độ cứng [K] của phần tử đã xác định ở mục trước được phân thành các MT con 2x2;

-Vectơ chuyển vị nút cũng được phân thành các vectơ con 2x1;

-Vectơ lực nút tương đương cũng được phân thành các vectơ con 2x1;

Với cách phân chia như vậy phương trình cơ bản của PTHH được viết như sau:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

K K K

K K K

K K K

e e e

e e e

e e e

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

{ }

{ }

{ }

u

u

u

1

2

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=

{ }

{ }

{ }

F

F

F

e

e

e

1

2

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

;

Trong đó chỉ số “e” là số thứ tự của phần tử trong hệ kết cấu, mỗi MT con có ý nghĩa như sau:

[ ]Kij biểu thị độ cứng của nút i do ảnh hưởng của các chuyển vị nút j;

{uj} biểu thị chuyển vị của j;

{Fj} là các lực nút tương đương ở nút j;

Giữa 3 loại MT này có một mối quan hệ chặt chẽ được xác định trước, mỗi MT con có một vị trí nhất định trong PT cơ bản của phần tử, vị trí đó cần được tôn trọng vì nó sẽ ảnh hưởng đến PT cơ bản của cả hệ kết cấu.


Các đại lượng của phần tử được xác định trong hệ tọa độ riêng (Oxy) của phần tử.

Xét trong hệ tọa độ chung ( O X Y ):

Hệ phẳng với 2 chuyển vị thẳng, Ta có:

XY⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

cos sinsin cos

α αα α

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

xy⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥ = [ t ].

xy⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥ ;


Chú ý: ma trận chuyển [ t ] có tính trực giao nên

[ t ]T = [ t ]-1;

Và vectơ chuyển vị nút của phần tử (trong hệ tọa độ chung): {δ } = [T]. {δ}

Hay: {δ } = [ ]

[ ][ ]

tt

t

0 00 00 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

{ }{ }{ }

uuu

1

3

2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

;

Y

O X

3 2

1

y x

O

α

α



Ứng lực nút chuyển về hệ tọa độ chung:

{ F } = [T].{ F } = [T].([ K ] {δ}) = [T].[ K ].[T]T{δ } = [ K ].{δ };





4.10. Phần tử tam giác trong bài toán uốn tấm:


-Độ tự do: 3x3= 9;

-Chuyển vị nút: {δ} = [ δ1 δ2 .. δ9 ]T = [ w1 θx1 θy1 w2 θx2 θy2 w3 θx3 θy3]T;

-Vectơ ứng lực: {F} = [ F1 F2 .. F9 ]T = [ Fz1 M x1 M y1 Fz2 M x2 M y2 Fz3 M x3 M y3]T;


Hàm chuyển vị {Φ} được chọn cho độ võng w, còn các chuyển vị xoay θx, θy suy ra từ w.

Hàm chuyển vị được chọn là hàm xấp xỉ bậc 3. Đa thức bậc 3 có 10 số hạng, phải bỏ bớt 1 số hạng để bằng số biến tổng quát {α}. Ở đây chọn giải pháp lấy α8 = α8, có trường chuyển vị như sau:

{Φ} ≡ w = α1 + α2x + α3y + α4x2 + α5xy + α6y2 + α7x3 + α8(x2y+xy2) + α9y3 =

= [1 x y x2 xy y2 x3 (x2y+xy2) y3]

αα

α

1

2

9

..

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

= [U] {α};

Đây là dạng hàm không tương thích.

Các chuyển vị xoay được xác định theo w:

θx = ∂∂wy

= α3 + α5x + 2α6y + α8(x2+2xy) + 3α9y2;

θy = -∂∂wx

= -α2 - 2α4x - α5y - 3α7x2 - α8(2xy+y2);


Aïp dụng trường chuyển vị cho các điểm nút của PTHH, ta có:

{δ} =

w

w

w

x

y

x

y

x

y

1

1

1

2

2

2

3

3

3

θθ

θθ

θθ

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=

1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 1 0 2 0 0 3 0 010 0 1 0 2 0 2 30 1 0 2 0 3 2 0

2 3

2

2

2 2 3 2 2 3

2 2

2 2

−

− − −++

− − − − − +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

a a aa a

a ab c b bc c b b c bc c

b c b bc cb c b bc c( )

ααααααααα

1

2

3

4

5

6

7

8

9

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

;

hay {δ} = [C] {α};

(b,c)

(a,0) (0,0)

3

1 2

y

O x

Z

θ1y

w1

θ1x



4.10.4. Hàm dạng: [N]

Ta có: {Φ} = [U] {α} = [U] [C]-1{δ}= [N] {δ};


Đặc trưng biến dạng là các độ cong của mặt võng, được xác định theo các đạo hàm riêng bậc 2 của trường chuyển vị theo LTĐH:

{ε} =

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∂∂∂∂∂∂ ∂

2

22

2

22

wxw

yw

x y

= 0 0 0 2 0 0 6 2 00 0 0 0 0 2 0 2 60 0 0 0 2 0 0 4 0

x yx y

x y( )+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ααααααααα

1

2

3

4

5

6

7

8

9

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= [U’’] {α};

{ε} = [U’’] [C]-1 {δ} = [B] {δ};


Mx, My, Mxy là các nội lực đơn vị tại điểm đang xét.

Quan hệ giữa nội lực đơn vị và biến dạng theo Hooke:

{σ} = MMM

x

y

xy

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

= D DD D

D

x

y

xy

1

1

00

0 0 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

.

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∂∂∂∂∂∂ ∂

2

22

2

22

wxw

yw

x y

= [D].{ε};

Đối với tấm mỏng đàn hồi trực hướng:

Dx -độ cứng uốn của tấm trực hướng theo phương x;

Dy -độ cứng uốn của tấm trực hướng theo phương y;

D1 -độ cứng uốn do biến dạng ngang của tấm trực hướng;

Dxy -độ cứng xoắn của tấm trực hướng;

Đối với tấm mỏng đàn hồi đẳng hướng: (Là trường hợp riêng của tấm trực hướng)

Dx = Dy = D = E h.( )

3

212 1− µ -độ cứng trụ của tấm uốn;

D1 = µ.D; Dxy = 1

2− µ

D;



Tất cả các đực trng trên đều được xác định với 1 đơn vị độ dài của tiết diện tấm vuông góc với các trục x, y.

4.10.7. Ma trận độ cứng của phần tử: [K ]

Sau khi đã có [B] và [D], thay vào công thức tổng quát tính ma trận độ cứng của PTHH [K]:

[K] = [ ] [ ][ ]B D B dVT

V∫ = [ ][ ] [ ' ' ] [ ][ ' ' ][ ]C U D U C dV

T T

V

− −∫ 1 1 ;

MT [C]-1 không phụ thuộc các biến số nên có thể đưa ra ngoài phép tính tích phân:

[K] = [ ][ ] [ ' ' ] [ ][ ' ' ] [ ]C U D U dV CT T

V

− −∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 1 ;

Thực hiện phép tính tích phân của tích các MT trong dấu tích phân (bạn tự thực hiện), ta có được MT độ cứng của PTHH. Kết quả cụ thể là:

[U’’]T[D][U’’] =

00 00 0 00 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0 0

44

55

64 66

74 76 77

84 85 86 87 88

94 96 97 98 99

kk

k kk k kk k k k kk k k k k

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

;

Trong đó k44 = 4 Dx; k64 = 4 D1; k74 = 12xDx;

k84 = 4(yDx+xD1); k94 = 12yD1;

k55 = 8Dxy; k85 = 16(x+y)Dxy;

k66 = 4Dy; k76 = 12xD1; k86 = 4(yD1+xDy); k96 = 12yDy;

k77 = 36x2Dx; k87 = 12x(yDx+xD1); k97 = 36xyD1;

k88 = 4y(yDx+xD1)+4x(yD1+xDy)+32(x+y)2Dxy; k98 = 12y(yD1+xDy);

k99 = 36y2Dy;

(Đối xứng)



Và [ ' '] [ ][ ' ']U D U dVT

V∫

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ∆.h

00 00 0 00 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0 0

44

55

64 66

74 76 77

84 85 86 87 88

94 96 97 98 99

kkkk

kk kkkk kk kkkk kk kk kk kkkk kk kk kk kk

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Trong đó kk44 = 4 Dx; kk64 = 4 D1; kk74 = 4Dx.(a+b); kk84 = 43

[Dx.c+D1(a+b)];

kk94 = 4D1.c;

kk55 = 8Dxy; kk85 = 163

Dxy(a+b+c);

kk66 = 4Dy; kk76 = 4D1.(a+b); kk86 = 43

[D1.c+Dy(a+b)]; kk96 = 4Dy.c;

kk77 = 6Dx(a2+b2+ab); kk87 = Dx(ac+2bc)+2D1(a2+b2+ab);

kk97 = 3D1(ac+2bc);

kk88 = 23

[Dx.c+D1(ac+2bc)+Dy(a2+b2+ab)+8Dxy(a2+b2+c2+ab+ac+2bc)];

kk98 = 2D1.c+Dy(ac+2bc); kk99 = 6Dy.c2;

4.10.8. Xác định vectơ lực nút tương đương: {F}

{F}= [ Fz1 M x1 M y1 Fz2 M x2 M y2 Fz3 M x3 M y3]T

Trong PP PTHH công thức tổng quát của lực nút tương đương:

{F} = [N]T {P} + [ ] { }N dVT

Vµ∫ + [ ] { }N q dST

S∫ ;

Tấm chịu uốn với tải trọng tập trung P và tải phân bố q(x,y) vuông góc với tấm:

{F} = [[C]-1]T[U]T .P + [ ][ ] [ ] . ( , )C U q x y dST T

S

− ∫1 ;

Trường hợp tải trọng phân bố đều q(x,y) = q = const:

(Đối xứng)



{Fq} =

FMMFMMFMM

z

x

y

z

x

y

z

x

y

1

1

1

2

2

2

3

3

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= [ ][ ]CT−1

1

3

316

112

2

61

1019

130

3 2 31

10

2 2

2

3 3 2 2

2 2

3

a b

c

a b ab

ac bc

c

a b a b ab

a b ab ac bc

c

+

+ +

+

+ − +

+ + + +

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

( )

( )

( )

( )

∆.q;


Các đại lượng của phần tử được xác định trong hệ tọa độ riêng (Oxyz) của phần tử.

Xét trong hệ tọa độ chung ( O X Y Z ):

Mỗi điểm với 1 chuyển vị thẳng (theo phương trục z ≈Z ), và 2 chuyển vị xoay theo các trục x và y, Ta có:

ZXY

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= 1 0 000

cos sinsin cos

α αα α

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

.zxy

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= [t]. zxy

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

;


MT chuyển của phầìn tử sẽ là [T] = [ ]

[ ][ ]

tt

t

0 00 00 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

;

Và vectơ chuyển vị nút của phần tử (trong hệ tọa độ chung): {δ } = [T]. {δ}

Ứng lực nút chuyển về hệ tọa độ chung:

{ F } = [T].{ F } = [T].([ K ] {δ}) = [T].[ K ].[T]T{δ } = [ K ].{δ };



3 2

1 α

α

Y

O

Z

X

y

Z≈ Z

x

O

408

Documents

Transcript of 408