4. ukuran gejala pusat
-
Upload
farhatunisa-muzafarasia -
Category
Education
-
view
2.023 -
download
2
Transcript of 4. ukuran gejala pusat
1
UKURAN GEJALA PUSATUKURAN GEJALA PUSAT
2
Ukuran2 Statistik
Nilai Sentral
Rata2 yang sering digunakan
Rata- rata Hitung
Rata- rata Ukur
Median
Desil
Persentil
Kuartil
Rata2 Tertimbang
Rata2 Harmonis
Rata2 yang jarang digunakan
Modus
3
Dalam metode Statistik, ukuran gejala pusat (ukuran nilai sentral, ukuran lokasi) meru-pakan nilai yang digunakan sebagai nilai yang mewakili (representatip) dari data yang dipelajari.
Pengertian : rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dan memusat dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.
4
Rata – rata Hitung (/ )
Rata-rata hitung diformulasikan sebagai nilai dari hasil pembagian penjumlahan semua data dengan banyaknya data.
Sifat-sifat:• Mudah dihitung• Baik digunakan untuk data yang tidak mempunyai
nilai ekstrim• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata
distribusi frekuensi tertutup• Tidak dapat digunakan bagi data kualitatip
x
5
UD :
GD :
n
fxx i
in
ufxx ii .
.0
n
xx
6
Median (Me)
• Median dapat dikatakan sebagai rata-rata letak, karena memberikan keterangan melalui nilai yang terletak di tengah-tengah dari sederetan nilai yang telah disusun. Susunan ini dapat dimulai dari data terkecil ke data terbesar atau sebaliknya.
• Secara teoritis median membagi jumlah observasi ke dalam dua bagian yang sama secara sederhana.
7
Median (Me)
Sifat-sifat:
• Median cocok dipakai untuk data yang mengandung nilai ekstrim.
• Dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dari distribusi tertutup maupun terbuka.
• Dapat pula digunakan untuk menentukan rata-rata dari data kualitatif.
8
UD :
Me = ½ ( n + 1 )
Me = ½ ( n )
GD :
Me = ½ ( n )
if
FnLM
MeMee .2
1
9
Jika ingin diperluas, maka dapat pula dihitung nilai Kuartil, Desil dan Persentil.
Sebagaimana model yang dirumuskan dalam Me,
Kuartil, observasi dibagi kedalam 4 bagian sama,
Desil , observasi dibagi kedalam 10 bagian sama,
Persentil, observasi dibagi kedalam 100 bagian sama
10
1. Kuartil (Quartile / Qj, Kj)
UD:
Qj = j/4 (n + 1) j : 1, 2 dan 3
GD:
LetakQj = j/4 n
if
FnLQ
Qj
j
Qjj ..4
11
2. Desil (Desile / Dj)
UD:
Dj = j/10 (n + 1) j : 1, 2, … , 9
GD:
LetakDj = j/10 n
if
FnLDj
Dj
j
Dj ..10
12
3. Persentil (Percentile / Pj)
UD:
Pj = j/100 (n + 1) j : 1, 2, … , 99
GD:
LetakPj = j/100 n
if
FnLP
Pj
j
Pjj ..100
13
Modus (Mo)
• Nilai dari data/observasi yang memiliki frekuensi tertinggi disebut Modus. Bila sebuah distribusi memiliki sebuah modus disebut uni modal, bermodus dua disebut bimodal dan lebih dari itu dinyatakan sebagai multi modal.
14
Modus (Mo)
Sifat-sifat:
• Baik digunakan untuk menghitung rata-rata.
• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari distribusi frekuensi terbuka atau tertutup.
• Dapat digunakan untuk menghitung data kualitatip.
15
UD: Mo merupakan nilai yang paling sering
muncul
GD :
idd
dLM Moo .
21
1
16
Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :
a. Mudah dihitung.
b. Mudah dan sederhana guna diinterpretasikan hasilnya.
c. Mengikut sertakan semua nilai-nilai observasi dalam proses menghitungnya.
17
Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :
d. Tidak mudah dipengaruhi oleh nilai-nilai observasi ekstrim.
e. Fluktuasi dari sampel ke sampel relatif sedikit.
f. Dapat dimanipulir secara matematis
18
Sebenarnya , Me dan Mo memiliki keenam ciri di atas dalam intensitas yang berlainan,
• Me lebih memiliki ciri-ciri a dan b dari pada dan Mo
• lebih memiliki ciri-ciri e dan f dari pada Me dan Mo
f adalah kelebihan dari dibanding Me dan Mo pada pelbagai analisa Statistik terutama metode penaksiran dan pengujian hipotesa.
x
x
x
x
19
Tetapi bila:
a. Distribusi Frekuensi memiliki kelas
terbuka
b. Memiliki beberapa nilai observasi yang
ekstrim
c. Hasil observasi adalah data kualitatif
x
20
Maka Me dan Mo akan dapat digunakan.
Mo lebih memiliki ciri b, tetapi tidak begitu berarti untuk analisa Statistik kecuali bila jumlah sampelnya besar sekali.
21
Rata – rata Ukur (Gm)
Rata-rata ukur baik digunakan untuk mengu-kur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.
nM xxxxG ..................1 321
0
......2x
xG nM
22
n
xGM
log
log.......3
n
mn
GPP
1001.......4 0
23
Rata-rata Tertimbang (WM)
i
iiM W
XWW
.
24
Rata – rata Harmonis (HM)
Rata – rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data/observasi yang unit pembilangnya tetap, sedang unit penyebutnya berubah-rubah (bervariasi).
n
i i
M
X
nH
1
1
25
Soal
• Sebuah bank swasta akan mempelajari tentang banyaknya pengambilan uang lewat anjungan tunai mandiri (ATM) setiap harinya. Satu mesin ATM diambil yang berlokasi di supermarket “ABC” Bandung. Dan data dibawah ini adalah hasil pencatatan tentang banyaknya pengambilan uang lewat ATM tersebut per hari pada bulan November 2011:
26
83 64 84 72 84 54 75 59 70 61
63 80 84 73 68 52 65 90 52 77
95 36 78 61 59 84 95 47 87 60
27
28
Rata – rata Hitung (/ )
Rata-rata hitung diformulasikan sebagai nilai dari hasil pembagian penjumlahan semua data dengan banyaknya data.
Sifat-sifat:• Mudah dihitung• Baik digunakan untuk data yang tidak mempunyai
nilai ekstrim• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata
distribusi frekuensi tertutup• Tidak dapat digunakan bagi data kualitatip
x
29
UD :
GD :
n
fxx i
in
ufxx ii .
.0
n
xx
30
UD :
• Artinya : rata – rata pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, berkisar 70 kali
40,7030
112.2
n
xx
31
Cara panjang :
Cara pendek :
• Artinya : rata – rata pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, berkisar 70 kali
5,6930
085.2
n
fxx i
5,6910.30
305,79.0
i
n
fxx u
32
Median (Me)
• Median dapat dikatakan sebagai rata-rata letak, karena memberikan keterangan melalui nilai yang terletak di tengah-tengah dari sederetan nilai yang telah disusun. Susunan ini dapat dimulai dari data terkecil ke data terbesar atau sebaliknya.
• Secara teoritis median membagi jumlah observasi ke dalam dua bagian yang sama secara sederhana.
33
Median (Me)
Sifat-sifat:
• Median cocok dipakai untuk data yang mengandung nilai ekstrim.
• Dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dari distribusi tertutup maupun terbuka.
• Dapat pula digunakan untuk menentukan rata-rata dari data kualitatif.
34
UD :
Me = ½ ( n + 1 )
Me = ½ ( n )
GD :
Me = ½ ( n )
if
FnLM
MeMee .2
1
35
L Me : tepi kelas bawah kelas Me
n : jumlah nilai observasi
F : frekuensi kumulatif sebelum kelas Me
f Me : frekuensi sebenarnya kelas Me
i : besarnya interval kelas
36
UD
Me = ½ (n)
Me = ½ (30) = 15
nilainya terletak pada urutan ke 15
Me = 71
• Artinya : pada bulan November 2011 , ½ nya atau 50 % nya banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, kurang dari atau sama dengan 71 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 71 kali .
37
GD
Letak Me = ½ n
= ½ (30) = 15 di kelas ke 4
• Artinya : pada bulan November 2011 , ½ nya atau 50 % nya banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, kurang dari atau sama dengan 71 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 71 kali .
5,7010.5
12155,64.2
1
if
FnLM Mee
38
Bisa diperluas, dengan menghitung nilai Kuartil, Desil dan Persentil.
Sebagaimana model yang dirumuskan dalam Me,
Kuartil, observasi dibagi kedalam 4 bagian sama,
Desil , observasi dibagi kedalam 10 bagian sama,
Persentil, observasi dibagi kedalam 100 bagian sama
39
1. Kuartil (Quartile / Qj, Kj)
UD:
Qj = j/4 (n + 1) j : 1, 2 dan 3
GD:
LetakQj = j/4 n
if
FnLQ
Qj
j
Qjj ..4
40
UD:Qj = j/4 (n)
Q1 = 1/4 (30) = 7,5
59,5 = 60
Q3 = 3/4 (30) = 22,5
83,5 = 84
41
GD:
Letak Qj = j/4 n
Q1 = ¼ ( 30 ) = 7,5 di kelas ke 3
Q3 = ¾ ( 30 ) = 22,5 di kelas ke 5
07,5810.7
530.5,54.
. 41
411
i
f
FnLQ
j
Q
61,8010.9
1730.5,74.
. 43
433
i
f
FnLQ
j
Q
42
• artinya, pada bulan November 2011 , 25% / 75% banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung kurang dari atau sama dengan 60 kali / 84 kali (58 kali / 81 kali). Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 60 kali / 84 kali (58 kali / 81 kali).
43
2.2.2. Desil (Desile / Dj)
UD:
Dj = j/10 (n + 1) j : 1, 2, … , 9
GD:
LetakDj = j/10 n
if
FnLDj
Dj
j
Dj ..10
44
UD:Dj = j/10 (n)
D1 = 1/10 (30) = 3
52
D9 = 9/10 (30) = 27
87,3 = 87
45
GD:
Letak Dj = j/10 n
D1 = 1/10 ( 30 ) = 3 kelas ke 2
D9 = 9/10 ( 30 ) = 27 kelas ke 6
83,4710.3
230.5,44.
. 101
1011
i
f
FnLD
j
D
5,8910.2
2630.5,84.
. 109
1099
i
f
FnLD
j
D
46
• Artinya : pada bulan November 2011, 10% banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung kurang dari atau sama dengan 52 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 52 kali
47
2.2.3. Persentil (Percentile / Pj)
UD:
Pj = j/100 (n) j : 1, 2, … , 99
GD:
LetakPj = j/100 n
if
FnLP
Pj
j
Pjj ..100
48
UD:
Pj = j/100 (n)
P45 = 45/100 (30) = 13,5
68,1
49
GD:
Letak Pj = j/100 n
P45 = 45/100 (30) = 13,5 kelas ke 4
5,6810.5
1230.5,65.
. 10045
1004545
i
f
FnLP
j
P
50
• artinya, pada bulan Januari 2010 , 45% banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung kurang dari atau sama dengan 67 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 67 kali.
51
Modus (Mo)
• Nilai dari data/observasi yang memiliki frekuensi tertinggi disebut Modus. Bila sebuah distribusi memiliki sebuah modus disebut uni modal, bermodus dua disebut bimodal dan lebih dari itu dinyatakan sebagai multi modal.
52
Modus (Mo)
Sifat-sifat:
• Baik digunakan untuk menghitung rata-rata.
• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari distribusi frekuensi terbuka atau tertutup.
• Dapat digunakan untuk menghitung data kualitatip.
53
UD: Mo merupakan nilai yang paling sering
muncul
GD :
idd
dLM Moo .
21
1
54
L Mo : tepi kelas bawah kelas M0
d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan
frekuensi sebelum kelas modus
d2 : selisih frekuensi kelas modus dengan
frekuensi sesudah kelas modus
i : besarnya interval kelas
55
UD
• Mo merupakan nilai yang paling sering muncul, dari data diperoleh sebesar
• 84
56
GD:
• Artinya : banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung pada bulan November 2011 paling banyak berkisar 78 kali / 84 kali.
13,7810.2959
595,74.
21
1
i
dd
dLM Moo
57
Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :
a. Mudah dihitung.
b. Mudah dan sederhana guna diinterpretasikan hasilnya.
c. Mengikut sertakan semua nilai-nilai observasi dalam proses menghitungnya.
58
Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :
d. Tidak mudah dipengaruhi oleh nilai-nilai observasi ekstrim.
e. Fluktuasi dari sampel ke sampel relatif sedikit.
f. Dapat dimanipulir secara matematis
59
Sebenarnya , Me dan Mo memiliki keenam ciri di atas dalam intensitas yang berlainan,
• Me lebih memiliki ciri-ciri a dan b dari pada dan Mo
• lebih memiliki ciri-ciri c, e dan f dari pada Me dan Mo
f adalah kelebihan dari dibanding Me dan Mo pada pelbagai analisa Statistik terutama metode penaksiran dan pengujian hipotesa.
x
x
x
x
60
Tetapi bila:
a. Distribusi Frekuensi memiliki kelas
terbuka
b. Memiliki beberapa nilai observasi yang
ekstrim
c. Hasil observasi adalah data kualitatif
61
Maka Me dan Mo akan dapat digunakan.
Mo lebih memiliki ciri b, tetapi tidak begitu berarti untuk analisa Statistik kecuali bila jumlah sampelnya besar sekali.
62
Rata – rata Ukur (Gm)
Rata-rata ukur baik digunakan untuk mengu-kur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.
nnM xxxxG ..................1 321
nn
M x
xG
0
......2
63
n
xGM
log
log.......3
n
mn
GPP
1001.......4 0
64
• Sebuah Universitas sangat memperhatikan biaya riset yang dikeluarkan dalam anggaran tahunannya. Dibawah ini disajikan data biaya riset tahunan universitas “X” dalam puluhan juta rupiah pada periode 2004 – 2011.
Tahun Biaya Riset (Rp. 10.000.000,-)
2004 2005
2006 2007
200820092010
2011
140 170
180190 250
260300370
65
Berapa rata – rata kenaikan per tahun dari data tentang pengeluaran biaya riset.
Rata – rata kenaikan pengeluaran per tahun untuk biaya riset tsb sebesar 14,29%
66
nn
M x
xG
0
142857,0140
3707 MG
67
Tahun Pengeluaran d % Log x
2004
2005
2006
2007 2008
2009
2010
2011
140
170 180
190 250 260
300
370
30
10
10,
60
10
40
70
121,43
105,88
105,56
131,58
104,00
115,39
123,33
2,084326
2,024819
2,023499
2,11919
2,017033
2,062131
2,091069
14,42207
68
a.
Artinya, rata – rata kenaikan pengeluaran per tahun untuk biaya riset tsb sebesar 14,81%
%81,141008066,114
7 33,123..........88,105.43,121mG
69
Rata – rata kenaikan pengeluaran per tahun untuk biaya riset tsb sebesar 14,89%
060296,27
42207,14log
n
xGm
%89,141008937,114 mG
70
Diketahui selama 3 hari sejenis bakteri berkembang biak dari 1000 menjadi
4000. Berapa rata-rata % kenaikan
jumlah bakteri tersebut setiap hari.
71
3
030 10011001
m
t
mt
GPPGPP
1001log34log mG
1001log6021,03
1 mG
3
1001000.1000.4 mG
10015874,1 mG
72
Gm/100 = 0,5874 58,74%
rata-rata tingkat perkembangan % kenaikan bakteri selama 3 hari adalah 58,74 %
73
Rata-rata Tertimbang (WM)
i
iiM W
XWW
.
• Tabel dibawah ini memuat 5 data nilai ujian Pengantar Matematik Ekonomi dan Bisnis di semester II FE – UNPAD dan jumlah mahasiswa yang mendapat nilai tersebut
74
Nilai Jumlah Mahasiswa
61 64 67 70
73
518 42
278
75
• Hitunglah rata-rata nilai ujian Pengantar Matematik Ekonomi dan Bisnis di semester II FE – UNPAD dari data tsb
76
77
rata-rata rata-rata nilai ujian Pengantar Matematik Ekonomi dan Bisnis di semester II FE – UNPAD adalah 67,45
i
iix W
XWM
.
45,67
8......185
738........6418615
xM
Seorang mahasiswa dari PTS “TB” menempuh UAS untuk 5 mata kuliah, yaitu Metode Riset (kredit 3), Akuntansi (kredit 3), Teori Ekonomi (kredit 3), Statistik (kredit 3) dan Bahasa Inggris (kredit 2) dimana masing-masing mendapat nilai Metode Riset = B, Akuntansi = C, Teori Ekonomi = B, Statistik = A dan Bahasa Inggris = A . Coba Sdr. hitung berapa Indeks Prestasinya.
78
79
Indeks Prestasinya mahasiswa tsb adalah 3,14
i
iix W
XWM
.
23333
2)3()3(33
AABCB
M x
14,3
14
44
23333
24)3(4)3(33233
xM
80
Rata – rata Harmonis (HM)
Rata – rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data/observasi yang unit pembilangnya tetap, sedang unit penyebutnya berubah-rubah (bervariasi).
n
i i
M
X
nH
1
1
Seorang penjual membeli 5 macam larutan untuk dicampur agar diperoleh larutan baru. Untuk tiap macam telah dibeli dengan jumlah uang yang sama.
Macam I dengan harga Rp. 400,-/liter.
Macam II dengan harga Rp. 300,-/liter.
Macam III dengan harga Rp. 750,-/liter.
Macam IV dengan harga Rp. 1.000,-/liter. Dan macam V dengan harga Rp. 1.250,-/liter.
• Berapa harga rata-rata untuk tiap liter larutan.
81
82
Jadi harga rata-rata untuk tiap liter larutan adalah Rp. 557,62
n
i i
M
X
nH
1
1
6208,5575
15
250.11
000.11
7501
3001
40015
1
i
M
X
H