4 Metode Simplex
Transcript of 4 Metode Simplex
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
1/90
*METODE SIMPLEX
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
2/90
*LINEAR PROGRAMMINGSIMPLEX METHOD
*Simplex Method- An algebraic, iterative method to solve linear programming problems.
*The simplex method requires that the problem isexpressed as a standard LP problem. This implies that
all the constraints are expressed as equations byadding slac variables. (Variable yang mewakili tingkatpengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan) S1 , S2, S3,……Sm
*The method uses !aussian elimination "s#eep outmethod$ to solve the linear simultaneous equations
generated in the process.
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
3/90
*Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan
prosedur aljabar yang bersifatiteratif yang bergerak selangkah
demi selangkah, dimulai dari
suatu titik ekstrem pada daerahfisibel menuju ke titik ekstrem
yang optimum
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
4/90
*Berikut ini diberikan pengertian dari beberapa
terminologi dasar yang banyak digunakan dalam
membicarakan metode simpleks :Maks atau Min : Z = c1x1 c!x! """ cnxn
Berdasarkan : a11x1a1!x!"""a1nxn = b1
a!1x1a!!x!"""a!nxn = b!
"
"
"
am1x1am!x!"""amnxn = bm xi # $ % i = 1,!,""",n &
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
5/90
*Maka pembatas dari model tersebut
dapat dituliskan ke dalam bentuksystem persamaan '( = b
*)erhatikan suatu system '( = b dari
m persamaan linier dalam n *ariable%n+m&"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
6/90
* Definisi
*Solusi Basis Solusi basis untuk '( = b adalah solusi dimana terdapatsebanyakbanyaknya m *ariabel berharga bukan nol"
-ntuk mendapatkan solusi basis dari '( = b maka sebanyak%nm& *ariabel harus dinolkan" .ariabel*ariabel yang
dinolkan ini disebut *ariabel nonbasis %/B.&" Selanjutnya,
dapatkan harga dari n%nm& = m *ariabel lainnya yangmemenuhi '( = b, yang disebut *ariabel basis %B.&"
* Solusi Basis 0isibel ika seluruh *ariabel pada suatu solusi basis berharga
nonnegatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel %B0S&
* Solusi 0isibel 2itik 3kstrem
4ang dimaksud dengan solusi fisibel titik ekstrem atau titiksudut ialah solusi fisibel yang tidak terletak pada segmengaris yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
7/90
* Ada tiga sifat pokok titik ekstrem ini, ait! "
Sifat 1 : jika hanya ada satu solusi optimum,
maka pasti ada satu titik ekstrem, atau jika solusi
optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua
titik ekstrem yang berdekatan" Sifat 2 : hanya ada sejumlah terbatas titik
ekstrem pada setiap persoalan"
Sifat 3 : jika suatu titik ekstrem memberikan
harga 5 yang lebih baik dari yang lainnya, maka
pasti solusi itu merupakan solusi optimum
Sifat # ini men$adi dasar dari metode simp%eks&
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
8/90
*Prosed!r MetodeSimp%eks "
1" 6angkah inisialisasi : mulai dari suatu titikekstrem %$,$&
!" 6angkah iteratif : bergerak menuju titikekstrem berdekatan yang lebih baik"
6angkah ini diulangi sebanyak diperlukan"
7" 'turan penghentian : memberhentikan
langkah ke! apabila telah sampai pada titikekstrem yang terbaik %titik optimum&"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
9/90
Sebagai ringkasan dari ide metode
simpleks ini ialah bah8a metode ini selaludimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan
selalu bergerak melalui titik sudut fisibel
yang berdekatan, menguji masingmasing
titik mengenai optimalitasnya sebelum
bergerak pada titik lainnya"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
10/90
* 'lgoritma Simpleks untuk )ersoalan Maksimasi
-ntuk menyelesaikan persoalan 6) dengan tujuan
maksimasi menggunakan metode simpleks dilakukandengan langkahlangkah berikut ini :
1" 9on*ersikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar"!" ari solusi basis fisibel"
7" ika seluruh /B. mempunyai koefisien nonnegatif%artinya berharga positif atau nol& pada baris fungsi
tujuan, maka B0S sudah optimal" ika pada baris fungsi
tujuan masih ada *ariabel dengan koefisien negatif,
pilihlah salah satu *ariabel yang mempunyai koefisien
paling negatif pada baris itu" .ariabel ini akan memasukistatus *ariabel basis, karena itu *ariabel ini disebut
sebagai *ariabel yang masuk basis %entering *ariabel;3.&"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
11/90
" 9embali ke langkah 7"
'atatan " $ika ditem!kan %e(i) dari sat! (aris ang
memp!nai rasio positif terke*i%, pi%i)%a) sa%a) sat!&'ara ini tidak akan mempngar!)i )asi% per)it!nganak)ir&
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
12/90
* -ntuk menyelesaikan persoalan 6)dengan fungsi tujuan meminimumkan Z,
ada dua cara yang dapat dilakukan,yaitu :1" Mengubah fungsi tujuan dan
persamaannya, kemudianmenyelesaikannya sebagai persoalan
maksimasi"!" Memodifikasi langkah 7 sehinggamenjadi :
* ika seluruh /B. pada baris fungsi tujuanmempunyai koefisien yang berharga
nonpositif, maka B0S sudah optimal" ikapada baris fungsi tujuan masih ada*ariabel dengan koefisien positif, pilihlahsalah satu *ariabel yang berharga palingpositif pada baris fungsi tujuan itu untukmenjadi 3."
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
13/90
*9asus 9husus dalam
)enggunaan 'lgoritma Simpleks
* ?egenerasi 9asus ini terjadi apabila satu atau lebih *ariabel basis berharga
nol %b=$& sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisamenjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya"9ejadian ini disebut cycling atau circling.
* Solusi @ptimum Banyak Suatu persoalan dapat memiliki lebih dari satu solusi optimum"
9asus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsipembatas, dimana paling sedikit salah satu dari *ariabelnonbasis %pada persamaan 5 pada iterasi terakhir& mempunyaikoefisien berharga nol" 'kibatnya 8alaupun *ariabel tersebutdinaikkan harganya %dijadikan *ariabel basis&, harga Z tetaptidak berubah" 9arena itu solusisolusi optimumyang lain inibiasanya dapat diidentifikasi dengan cara menunjukkan iterasiiterasi tambahan pada metode simpleksnya, dimana *ariabel*ariabel nonbasis yang berkoefisien nol itu selalu dipilih untukmenjadi entering *ariabel"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
14/90
* Solusi 2ak 2erbatas 9asus ini terjadi apabila ruang solusi tidak
terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapatmeningkat %untuk maksimasi& atau menurun%untuk minimasi& secara tidak terbatas" 'pabilapersoalannya berdimensi dua dapat diselesaikansecara grafis" 'kan tetapi, jika persoalan yangdihadapi berdimensi tiga atau lebih, maka untukmendeteksi apakah solusinya terbatas atau tidak,
dilakukan dengan cara :
)erhatikan koefisienkoefisien pembatas dari
*ariabel nonbasis pada suatu iterasi" ika
koefisienkoefisien tersebut berharga negatif atau
nol berarti solusinya tak terbatas"
ika koefisien fungsi tujuan *ariabel tersebut
berharga negatif %untuk maksimasi& atau positif
%untuk minimasi&, maka nilai fungsi tujuannya
tidak terbatas"
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
15/90
Slack Variables
• Inequality constrains can be converte toequalities by introucing !slack variables"
• #isal$
%1&2%2&3%3&'%' ≤ 2, bisa itulis sebagai
%1&2%2&3%3&'%'&S 2
engan s ≥ * (slack variable)
• +tau$
%1&2%2&3%3&'%' ≥ 2, bisa itulis sebagai
%1&2%2&3%3&'%' S 2
engan s ≥ * (slack variable)
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
16/90
Objective function- .1 %1 & .2 %2 & .3 %3 & .' %' & /////////////& .n %n
Constraints 1)/ a11 %1 & a12 %2 & a13 %3 & /////////& a1n %n 0 b1 2)/ a
21
%1
& a22
%2
& a23
%3
& /////////& a1n
%n
0 b2
3)/ a31 %1 & a32 %2 & a33 %3 & /////////& a3n %n 0 b3 ')/ a'1 %1 & a'2 %2 & a'3 %3 & /////////& a'n %n 0 b'
/ / / / / / / m)/ am1 %1 & am2 %2 & am3 %3 &/////////& amn %n 0 bm
%i * , i 1,2,3…//n b ≥* , 1,2,…,m
% ≡ variables c ≡ obective parameters
a ≡ constraints parametersb ≡ rig4t 4an sie value o5 constraints
Langkah penyelesaian (1)
1. %epresent the LP problem in standard &orm
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
17/90
Langkah penyelesaian (2)
dengan z adalah nilai dari fungsi tujuan
'. (yataan persamaan &ungsi tu)uan dalam bentu
*. %ubah semua pertidasamaan batasan "all inequality constrains$ e dalam bentu persamaan batasan "equality constrains$ dengan memasuan variable Slac
+. Susun persamaan &ungsi tu)uan dan persamaan batasan e dalam tabel simplex.
;0=−∑ j
j jc z χ
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
18/90
Lanah .
• #a6imi7e -'%1&%2 (*)
• 8atasan$
%1
&2%2
≤ '* (1)
'%1 &3%2 ≤ 12* (2)
.9:;9< $ Perusahaan barang tembikar
Langah ' dan *
=ungsi tuuan - '%1
%2
* (*)
%1 &2%2 & S1 '* (1)
'%1 &3%2 & S2 12* (2)
Langkah penyelesaian (3)
8atasan
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
19/90
Langkah penyelesaian (4)
Langah + Menyusun table Simplex a#al"terasi/$
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
20/90
Langkah penyelesaian (&)
Langah 0 Setelah data tersusun dalam tabel simplex a#al,lauan iterasi sehingga dihasilan titi optimal
/1/ #enentukan entering variable $
?icari variabel yang paling sensiti5 ter4aap 5ungsi tuuan (ma6 -)/
– ?ari tabel (baris -) terli4at ba4wa nilai absolut koe5isien %2terbesar yaitu ll, ai ipili4 %2 sebagai entering variable/
@olom %2 isebut pivot column (A.)/ 8ila paa tabel sua4 tiak
mempunyai lagi koeffisien yang bernilai negatif paa baris5ungsi tuuan, maka tabel ini tiak bisa lagi i optimalkan(sua4 optimal)/
– Selanutnya 4itung nilai ratio, :ilai kolom >aw (A>)
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
21/90
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >atio- %1 %2 S1 S2
*$ "/$ -+ -0 / / /
%1 "$ / ' / +/ '/
%2 "'$ / + * / '/ +/
Langkah penyelesaian
Aivotcolumn
atio 4*+2 , 2*-ini-u-
Aivotelement
Aivot>aw
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
22/90
Langkah penyelesaian
&.3. e-buat table si-ple/ ke0ua
• 8agi semua element paa Aivot >aw (A>) engan AivotBlement/ ?i4asilkan element pivot raw baru/
• Cantila4 basic variable paa baris itu engan Variable yangterapat iatas pivot column
'teration
asic!ariable
"#t..oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
23/90
Langkah penyelesaian
• aw) engan cara $
$ -+ -0 / / /
2 / -',0 -0 -',0 / -//
$ -,0 / ',0 / //
Blement baris baru (Blement baris lama) D (koe55isien paa
pivot column) 6 (nilai element baru pivot raw)
&enghitung nilai baru element baris dari '
Blement baris lama
6 element baru pivot raw
Blement baris baru
oeffisienpa0a C
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
24/90
%2 / + * / '/
2 / ,0 * ,0 / 3/
%2 / ',0 / -,0 3/
&enghitung nilai baru element baris dari S2
Blement baris lama
3 6 element baru pivot raw
Blement baris baru
oeffisienpa0a C
Langkah penyelesaian
?i4asilkan tabel simple6 2
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
25/90
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
26/90
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >atio
- %1 %2S1 S2
1$ "/$ -,0 / ',0 / //
2 "$ / /,0 /,0 / '/ +/
%2 "'$ / ',0 / -,0 3/ '+
Langkah penyelesaian
Aivotcolumn
atio *+25& ,
24-ini-u-
Aivotelement
Aivot>aw
Eangka4 /1 an /2
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
27/90
Langkah &.3. e-buat table si-ple/ ketiga
• 8agi semua element paa Aivot >aw (A>) engan AivotBlement/ ?i4asilkan element pivot raw baru/
• Cantila4 basic variable paa baris itu engan Variable yangterapat iatas pivot column
'teration
asic!ariable
"#t..oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
28/90
Langkah penyelesaian
• aw) engan cara $
$ -,0 / ',0 / //
1 / -,0 / /,4 -/,3 -*3
$ / / ,3 /,3 *3
Blement baris baru (Blement baris lama) D (koe55isien paa
pivot column) 6 (nilai element baru pivot raw)
&enghitung nilai baru element baris dari '
Blement baris lama
1, 6 element baru pivot raw
Blement baris baru
oeffisienpa0a C
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
29/90
Langkah penyelesaian
2 / /,0 /,0 / '/
1 / /,0 / -/,* /,' '
2 / / /,5 -/,' 5
&enghitung nilai baru element baris dari X 2
Blement baris lama
*, 6 element baru pivot raw
Blement baris baru
oeffisienpa0a C
?i4asilkan tabel simple6 3
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
30/90
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
31/90
'teration
asic!ariable
"#t/.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
32/90
* SIMPLEX METHOD
1. ila a0a 0ua atau lebih variabel non basis -e-punyaikoefisien negatif terbesar yang sa-a5 -aka pe-ilihanentering variable 0apat 0ijalankan secara bebas.
ana yang lebih cepat -encapai opti-al ti0ak 0apat0ipre0iksi.
6ontoh =ungsi tuuan paa conto4 pabrik tembikar iruba4 menai
• #a6imi7e -'%1&'%2 (*)
• 8atasan$
%1 &2%2 ≤ '* (1)'%1 &3%2 ≤ 12* (2)
Selanutnya isusun tabel simple6 awal
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
33/90
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
34/90
%'L" "67O8
2. ila a0a 0ua atau lebih variabel basis -e-punyai nilai96'O -ini-u- yang sa-a5 -aka pe-ilihan leavingvariable 0apat 0ijalankan secara bebas.
ana yang lebih cepat -encapai opti-al ti0ak 0apat0ipre0iksi.
6ontoh batasan (1) paa conto4 pabrik tembikar iruba4 menai
• #a6imi7e -'%1&%2 (*)
• 8atasan$
%1 &2%2 ≤ '* (1)4X 1 4X 2 ≤ 0 (2)
Selanutnya isusun tabel simple6 awal
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
35/90
%'L" "67O8
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >atio- %1 %2 S1 S2
*$ "/$ -+ -0 / / /%1 "$ / ' / +/ 2*
%2 "'$ / + + / 5/ '/
;abel simple6 awal
Aivot
column
atio-ini-u-
?ari tabel simple6 awal, tampak variable
basis S1 an S2 mempunyai nilai ratiominimum yang sama yaitu 2*/ 9le4 karenaitu paa penyelesaian awal leaving variableapat ipili4 S1 atau S2 /
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
36/90
%'L" "67O8
Aenyelesaian simple6 met4o bagi kasus yang menyimpangari bentuk stanar
?iselesaikan enganmengintrouksi slack
variable sebagai variablebasis yang 4arganyasama engan ruas kanan(positi5)
#a6imi7e $
Subect to $ ai % 0 bi (bi H * )
% *
8ila aa penyimpangan ari bentuk stanar ilakukanpenyesuaianpenyesuaian i langka4 awal/ Setela4 itu metoesimple6 iselesaikan seperti sebelumnya/
∑ χ= j
j jcz
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
37/90
%'L" "67O8
Aenekatan stanar $ ;eknik menggunakan Variablebuatan (arti5icial Variable)
#emasukkan dumm* $ariable (isebut arti5icial variable)ke alam setiap batasan (constaints) yang memerlukan/
Variable yang baru akan menai variable basis paa paapenyelesaian awal bagi batasan (constaints) yangbersangkutan
Iterasi metoe simple6 akan membuat arti5icial variable
menai nol, se4ingga ak4irnya satu persatu 4ilang/
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
38/90
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
39/90
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
40/90
%'L" "67O8
Eangka4 selanutnya memaksa nilai arti5icial variable + menainol/ ?apat ilakukan engan metoe 6eknik metoepenalty/Aaa penekatan ini 5ungsi tuuan iruba4 ulu menai $
Aaa 4asil revisi aa 3 persamaan engan variable/
+a ua variable non basis %1 an %2 yang paa penyelesaianlayak awal 4arganya */
?ari persamaan (1), (2) an (3) iapatkan nilai variable basis
%1 , 4 5 %2 , 12 0an 9 , 1:
- 3 %1 & %2 D #+
?engan # aala4 bilangan positi5 yang sangat besar ber4ingga/
Aersamaan (*) ari 5ungsi tuuan akan menai
- 3 %1 %2 & #+ *
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
41/90
%'L" "67O8
Aaa persamaan (*) yang irevisi terapat variable basis engankoe5isien #/ Variable basis 4arus i4ilangkan ari persamaan (*)/ 8aris - yang i4asilkan (revisi) ikurangi engan # kali setiapbaris batasan yang sesuai/
3 * * # *
3#3 2# * * * 1F#
8aris - pers (*)
revisi 3 2 * * 1 1F;
8aris - pers (*)baru
?isusun tabel simple6 awal/ iterasi untuk menapatkannilai optimal/ ?i4asilkan %1 2, %2 G an - 3G
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
42/90
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
43/90
%'L" "67O8
e-ilihan entering variable $ @oe5isien variable non basis
paa persamaan tuuan mempunyai bentuk 5ungsi linear (a# & b)
a 5aktor penggana
b 5aktor penamba4
@arena # sangat besar, maka b selalu kecil ibaningkan
ter4aap a#/Aaa umumnya pemili4an entering variable iasarkan paa nilaifaktor penggan0a a.
.onto4 Aaa tabel awal $koe5isien %1 aala4 (3#3), untuk %2
aala4 (2#)/ =aktor penggana 3 < 2, se4ingga ipili4 1
sebagai entering variable/8ila paa koe5isien tersebut nilai 5aktor penggana sama, makapemili4an entering variable iasarkan paa faktor pena-bah b
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
44/90
Iteration
8asic
variable
Bqt/
.oe55icient o5 >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
45/90
%'L" "67O8
2. erti0aksa-aan jenis
?iruba4 menai ≤ engan cara mengalikan keua ruaspertiaksamaan engan (1)/
.onto4 $ *,G %1 & *,' %2 ≥ G menai
*,G %1 *,' %2 ≤ G
>uas kiri itamba4 slack variable
*,G %1 *,' %2 & S G
:ilai slack variable S G negati5, tiak memenu4isyarat/
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
46/90
%'L" "67O8
*,G %1 & *,' %2 D S & + G
+rti5icial variable 9 ipakai sebagai variable basis awal(+G)/ ?engan emikian S memulai sebagai variable non
basis/
?engan mengintrouksi +rti5icial variable 9 5 berartimetoe teknik uga iperlakukan isini/
3. e-ini-u-kan 0irubah -enja0i -e-aksi-u-kan yang e#uivalent
#inimi7e
Bquivalent engan
#a6imi7e
#enyelesaikanoptimal yangsama
∑
=
=n
j
j j X C Z
1
∑=
−=−n
j j j X C Z
1
)()(
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
47/90
%'L" "67O8
#inimi7e $ - *,' %1 & *, %2 (*)
Subect to $ *,3 %1 & *,1 %2 ≤ 2,K (1)
*, %1 & *, %2 G (2)
*,G %1 & *,' %2 ≥ G (3)
%1 ≥ * , %2 ≥ *
Contoh
#inimi7e $ - *,' %1 & *, %
#a6imi7e $ (-) *,' %1 *, %2 enyelesaian
#asukkan arti5icial variable +1 an +2 paa pers (2) an (3),
an terapkan metoe ;eknik #, maka
#inimi7e $ - *,' %1 & *, %2 & #+1 & #+2
#a6imi7e $ (-) *,' %1 *, %2 #+1 #+2
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
48/90
%'L" "67O8
- & *,' %1 & *, %2 & #+1 & #+2 * (*)
*,3 %1 & *,1 %2 & S1 2,K (1)
*, %1 & *, %2 & +1 G(2)
*,G %1 & *,' %2 S2 & +2 G (3)
S1, +1 an +2 aala4 variable basis untuk penyelesaian asar
awal/
%iste- persa-aan a/i-i=e (;$)
*,' *, * # * # *8aris -, pers (*) revisi
*, *, * 1 * * G
8aris -, pers (*)baru
1,1#&*,' *,J#&*, * * # * 12#
#
*,G *,' * * 1 1 G#
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
49/90
%'L" "67O8
Iteration
8asicvariable
Bquation
.oe55icient o5 >al
Aivotcolumn
Aivot>aw Bntering variable $ %1
Eeaving variable $ S1
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
50/90
Iteration
8asicvariable
Bquation
.oe55icient o5 >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
51/90
* Teori D!a%itas dan ana%isa sensiti+itas
Contoh asalah 8iet.;abel berikut memberikan gambaran umla4 mineral an vitamin yang4arus ikonsumsi ole4 pasien/ #ineral an vitamin berasal ari ua
enis makanan aging an sayuran/
@anungan #akanan @ebutu4an
minimum per 4ari?aging sayuran
#ineral 2 ' '*
Vitamin 3 2 *
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
52/90
=ormulasi moel EA $ #isal %1
umla4 aging
an %2 umla4 sayuran
• =ungsi tuuan $ #inimi7e -3%1&2,%2 (*)
• 8atasan$
2%1 &'%2 ≥ '* (1)
3%1 &2%2 ≥ * (2)%1 ≥ * , %2 ≥ *
• Sekarang pikirkan masala4 yang berbea yang masi4ber4ubungan engan masala4 yang asli (isebut primal )/
• Sebua4 ?ealer menual #ineral an Vitamin
• >estoran setempat membeli mineral an vitamin ari ealeran membuat aging an sayuran tiruan yang menganungmineral an vitamin seperti yang tertulis paa tabel
*Teori D!a%itas dan &
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
53/90
• ersoalan bagi 0ealer $ #enetapkan 4arga ual mineral anvitamin per unitnya yang ma6imum seemikian se4inggameng4asilkan 4arga aging an sayuran tiruan tiak melebi4i4arga pasar yang aa/
• ?ealer memutuskan 4arga per unit #ineral L1 an Vitamin L2
•
@ebutu4an mineral '*
4arga total '* L1
• @ebutu4an vitamin * 4arga total * L2
•
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
54/90
=ungsi tuuan $
#a6imi7e M '* L1 & * L2 (*)
8atasan
2 L1 & 3 L2 ≤ 3 (1)
' L1 & 2 L2 ≤ 2, (2)
L1 ≥ * , L2 ≥ *
Aerumusan masala4 alam bentuk moel EA
?isebut bentuk ?ual/
L1 an L2 inamakan variable ual
*Teori D!a%itas dan &
6eori 8ualitas
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
55/90
6eori 8ualitas ??..
8ualitas @
?alam kenyataan ternyata isetiap bentuk EA terapat 2 bentuk
1/ 8entuk I atau bentuk asli an inamakan A>I#+E
2/ 8entuk II yang ber4ubungan an inamkan ?N+Eemikian se4ingga suatu solusi ter4aap EA yang asli ugamemberikan solusi paa bentuk ual nya/
+sumsi alam teori ualitas aala4 ba4wa masala4 primalalam bentuk stanar/
#a6imi7e $
.onstraints $
∑=
=n
j j j X C Z
1
mib X a in
j jij .....,3,2,1
1
=≤∑=
0≥ j X
*Teori D!a%itas dan
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
56/90
=ungsi tuuan $
#a6imi7e M '* L1 & * L2 (*)
8atasan
2L1 & 3 L2 ≤ 3 (1)
' L1 & 2 L2 ≤ 2, (2)
L1 ≥ * , L2 ≥ *
Aerbaningan masala4 Arimal an ?ual
=ungsi tuuan $#inimi7e -3%1&2,%2 (*)
8atasan$
2%1 &'%2 ≥ '* (1)
3%1 &2%2 ≥ * (2)
%1 ≥ * , %2 ≥ *
3 ( ' . 9 L
8 A
9 L
*Teori D!a%itas dan &
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
57/90
1/ @oe5isien 5ungsi tuuan masala4 primal menai
konstanta sisi kanan masala4 ?ual2/ @onstanta sisi kanan primal menai koe5isien 5ungsi
tuuan masala4 ?ual
3/ ;ana pertiaksamaan ibalik
'/ ;uuan iuba4 ari minim7e (ma6imi7e) alam primal
menai ma6imi7e (minim7e) alam ual
/ Setiap kolom paa primal ber4ubungan engan suatubaris (kenala) alam ual/ banyaknya kenala alamualsama engan banyaknya variable primal
G/ Setiap baris kenala paa primal ber4ubungan engan
suatu kolom alam ual/ aa satu variable ual untuksetiap kenala primal
*Teori D!a%itas dan &
6eori 8ualitas
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
58/90
6eori 8ualitas ??..;abel Arimal ual untuk EA
a/i-i=e - .1 %1 & .2 %2 & .3 %3 &/////& .n %n Constraints
1)/ a11 %1 & a12 %2 & a13 %3 & /////////& a1n %n 0 b1 2)/ a21 %1 & a22 %2 & a23 %3 & /////////& a1n %n 0 b2
/ / / / ///////// /// / m)/ am1 %1 & am2 %2 & am3 %3 &/////////& amn %n 0 bm
% * , 1,2,3…//nini-i=e M b1 L1 & b2 L2 & b3 L3 &/////& bm LmConstraints
1)/ a11 L1 & a21 L2 & a31 L3 & ////////& am1 Lm ≥ .1 2)/ a12 L1 & a22 L2 & a32 L3 & ////////& am2 Lm ≥ .2
/ / / / ///////// //// n)/ a1n L1 & a2n L2 & a3n L3 & ////////& amn Lm ≥ .n
L * , i 1,2,3…//m
3 r
i - a
l
n ! a r 5 -
C o n s t r
8 A
9 L
-
v a r 5 n
c o n s t r
6eori 8ualitas
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
59/90
6eori 8ualitas ??..'9L 8A9L
#a6/ $
.onstraints
#in/ $
.onstraints
#in $ M B b
.onstraint B a C
B *
#a6 $ - C
.onstraint
a b
*
∑==
n
j j jC Z 1 χ
i
n
j jij b X a ≤∑
=1
miuntuk
o X j
....3,2,1=
≥
∑==
m
iiiY bW 1
j
m
iiij C Y a ≥∑
=1
nuntuk
oY i
....3,2,1 j =
≥
6 i 8 lit
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
60/90
6eori 8ualitas ??..
contoh
#a6/ $
.onstraints
#in/ $
.onstraints
A>I#+E ?N+E
[ ]
=
2
1 53 X
X Z
≤
18
12
4
23
20
01
2
1 X X
≥
0
0
2
1
X
X
[ ]
=
18
12
4
321 Y Y Y W
[ ] [ ]53 2320
01
321 ≥
Y Y Y
[ ] [ ]000321 ≥Y Y Y
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
61/90
6eori 8ualitas ??..
#a6/ $
.onstraints
#in/ $
.onstraints
asalah ri-al 0ual si-etris $ Semua variable ibatasi
non negati5 an semua batasan berupa pertiaksamaan
∑=
=n
j j jC Z
1
χ
i
n
j jij b X a ≤∑
=1
miuntuk
o X j
....3,2,1=
≥
∑=
= m
iiiY bW
1
j
m
iiij C Y a ≥∑
=1
nuntuk
oY i
....3,2,1 j =
≥
6eori 8ualitas
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
62/90
6eori 8ualitas ??..
contoh
#a6/ $
.onstraints
#in/ $
.onstraints
A>I#+E ?N+E
[ ]
=
2
1 53 X
X Z
≤
18
12
4
23
20
01
2
1 X X
≥
0
0
2
1
X
X
[ ]
=
18
124 321 Y Y Y W
[ ] [ ]53 2320
01
321 ≥
Y Y Y
[ ] [ ]000321 ≥Y Y Y
i li
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
63/90
6eori 8ualitas ??..
#+S+E+< A>I#+E>N+S@+:+:
@oe5isien ari
%1 %2 / / %n
L1 a11 a12 a13 / a1n 0 b1
L2 a21 a22 a23 / a2n 0 b2
L3 a31 a32 a33 / a3n 0 b3
/ / / / / / /
/ / / / / / /
Lm am1 am2 am3 / amn 0 bm
/
.1 .2 .3 / .n
@oe5isien 5ungsi tuuan (ma6/)
;+8BE A>I#+E ?N+E
@ o e 5 5 i s i e n
5 u n g s i
t u 2 u a n
( # i n
/ )
# + S + E + <
? N + E
@ o e 5 i s i e n a
r i
> N + S
@ + : + :
i li
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
64/90
6eori 8ualitas ??..
%1 %2
L1 2 ' ≥ '*
L2 3 2 ≥ *0 0
3 2,
.onto4 ;+8BE A>I#+E ?N+E
=ungsi tuuan $ #inimi7e -3%1&2,%2 (*)
8atasan$
2%1 &'%2 ≥ '* (1)
3%1 &2%2 ≥ * (2)
%1 ≥ * , %2 ≥ *
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
65/90
6 i 8 lit
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
66/90
6eori 8ualitas ??..
I#+E ?N+E
a/i-i=e ini-i=e
it4 constraint type ?ual var/ Li 0*
it4 constraint 0 type ?ual var/ Li *
it4 constraint type Li unrestricte
% * t4 constraint type
% 0 * t4 constraint 0type
% unrestricte t4 constraint type
6 i 8 lit
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
67/90
6eori 8ualitas ??..
I#+E ?N+E
ini-i=e a/i-i=e
it4 constraint ≥ type ?ual var/ Li ≥ *
it4 constraint 0 type ?ual var/ Li 0 *
it4 constraint type Li unrestricte
% * t4 constraint 0 type
% 0 * t4 constraint type
% unrestricte t4 constraint type
6 i 8 lit
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
68/90
6eori 8ualitas ??..
ri-al roble-&a+ 7 K + 1& 1* + 2 + 3
subect to
+ 1& ' + 2 0 2'
2 + 1 & + 2 & 3 + 3 13
+ 1 2 + 2 & + 3
+ 2 & 2 + 3 0 1*
+ 1 *, + 2 0 * , + 3 unrestricte
8ual roble-
Min 2' 1& 13 2 & - & 1* 4
1 & 2 2 & - K
' 1 & 2 D 2 - & 4 1*
subect to
3 2 D - & 2 4 1
1 *, 2 unrestricte, 3 0 * ,L' *
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
69/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual Aroblems
1/ ?ual ari ual aala4 primal
2/ ;abel simple6 optimal yang berkaitan engan satu masala4(primal atau ual) secara langsung memberikan in5ormasilengkap tentang pemeca4an optimal untuk masala4 lainnya/
3/ Setiap pasangan pemeca4an primal an ual yang layak
:ilai tuuan alammasala4 ma6,
Q:ilai tuuan alam
masala4 min,
'/ ?alam pemeca4an optimal untuk keua masala4
:ilai tuuan alammasala4 ma6, -
:ilai tuuan alammasala4 min, M
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
70/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
.onto4 $
=ungsi tuuan $ #inimi7e - %1&2 %2 (*)
8atasan$
%1 %2 ≥ 3 (1)
2%1 &3%2 ≥ (2)%1 ≥ * , %2 ≥ *
A>I#+E
Aemeca4an A>I#+E layak $ %1 3 an %2 *
:ilai tuuan A>I#+E #inimi7e - 6 3 & 2 6 * 1
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
71/90
=ungsi tuuan $ #a6imi7e M 3L1&L2 (*)
8atasan$
L1 &2L2 0 (1)
L1 &3L2 02 (2)
L1 ≥ * , L2 ≥ *
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
?N+E
Aemeca4an ?N+E layak $ L1 3 an L2 1
:ilai tuuan ?N+E ma6imi7e M 3 6 3 & 6 1 1'
1' (:IE+I #+%) 0 1 (:IE+I #I:)
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
72/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
Aemeca4an ?ual optimal
?ari tabel simple6 ak4ir pri-al opti-al apat i4asilkansolusi 0ual opti-al/
Dilai koefisien 0ari slack atau artificial variable paabaris 5ungsi tuuan ari tabel simple6 ak4ir primal optimal-erupakan nilai 0ual opti-al yang berkesesuaian/
.onto4 $ masala4 Arimal
#a6imi7e - 2%1&%2 (*)
8atasan %1&%2 0 1* (1)
%1&3%2 0 G (2)2%1&2%2 0 F (3)
%1 ≥ * , %2 ≥ *
Aroperties o5 Arimal P ?ual
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
73/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
#asala4 ?ual $
#inimi7e M 1* L1 & G L2 & F L3 (*)
8atasan L1 & L2 & 2 L3 2 (1)
L1 & 3 L2 & 2 L3 1 (2)
L1 ≥ * , L2 ≥ * , L3 ≥ *
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $>
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
74/90
'teration
asic!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $>
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
75/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
Interpretasi ekonomi alam masala4 ?ual
C+ ?N+E (?N+E A>I.B)
#a6/ $
.onstraints
#in/ $
.onstraints
A>I#+E ?N+E
∑=
=n
j j jC Z
1
χ
i
n
1 j jij bXa =∑
=
m321i untuk oX j
....,,=≥
∑=
=m
i
iiY bW
1
j
m
iiij C Y a ≥∑
=1
n321 juntuk edunrestrict Yi....,,=
Aroperties o5 Arimal P ?ual
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
76/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
. j mewakili laba marginal ari kegiatan yang tingkat
kegiatannya 6 unit/
mewakili laba ari semua kegiatan
mewakili penggunaan sumber aya
Nntuk pemeca4an 9ptimal $ - M
e>akili nilai uangpenge-balian
Eu-lah (unit) su-ber i
Dilai uang per unitsu-ber i
∑=
n
1 j j jX
∑=
m
1i jijXa
∑∑==
=m
1iii
n
1 j j j Y bX
Aroperties o5 Arimal P ?ual
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
77/90
Aroperties o5 Arimal P ?ual ……//
Variable ual Li mewakili nilai per unit sumber i/
?isebut 4arga ual atau 4arga bayangan (shad%! pri#e)
i)sumberunit!i)("sumberunit(ian)(#en$emba%m
1i∑=
=$
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
78/90
Signi5icance o5 ?ual Aroblem
1/ #at4ematically very important2/ .omputationally 9ne moel (wit4 5ewer constraints) is easier to solve
3/ Bconomic interpretation o5 t4e ual variable (s4aow price)
S4aow price o5 constraint i gives t4e rate o5 c4ange int4e obective 5unction per unit c4ange in t4e >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
79/90
-) sensiti+it ana%sis is important.
• Many coefficients are estimated• Aant to kno8 the sensiti*ity of the optimal solution 8ith
respect to these coefficients"
Sensiti+it Ana%sis
2here are three kinds of such analysis:1" @bjecti*e function ranging %coefficient ranging& %tujuan;cost,
harga jual&
!" S *alue ranging %produk&
7" onstraint coefficient ranging %batasan&
Sensiti+it Ana%sis
Sensiti+it ana%sis is to ans/er t)e fo%%o/ing 0!estion"
Ho/ does t)e optima% so%!tion *)ange as a *oeffi*ientis +aried from its gi+en +a%!e.
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
80/90
* Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients4'ontin!ed5
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
81/90
Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients4'ontin!ed5
Fnitial Simplex tableau:
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >atio- %1 %2 S1 S2
$ "/$ -'/ -/ / / /
%1 "$ / 0 + / '+ 2'
%2 "'$ / ' 0 / * 132
* Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients4'ontin!ed5
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
82/90
0inal Simplex tableau:
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
83/90
g $'oeffi*ients 4'ontin!ed5
asic
!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >atio
- %1 %2 S1 S2
$ "/$ -'/ -/-9 / / /
%1 "$ / 0 + / '+ 2'
%2 "'$ / ' 0 / * 132
I5 # 2= 1* R, w4at woul 4appen to t4e coe55icients
in t4e obective 5unction row
>ow(*) are upate 5rom t4e initial tableau to $
* Range O($e*ti+e 1!n*tion 'oeffi*ients 4'ontin!ed5
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
84/90
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
85/90
g $'oeffi*ients 4'ontin!ed5
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >atio
- %1 %2 S1 S2
$ "/$ -'/- 9 -/ / / /
%1 "$ / 0 + / '+ 2'
%2 "'$ / ' 0 / * 132
.ase 2$ 8asic variableM4at 4appens i5 t4e coe55icient o5 a basic obective 5unction,#j , is c4ange by an amount o5 R
I5 # 1 2*&R, w4at woul 4appen to t4e coe55icients in t4e
obective 5unction row
>ow(*) are upate 5rom t4e initial tableau to $
* Range O($e*ti+e 1!n*tion
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
86/90
Range O($e*ti+e 1!n*tion'oeffi*ients 4'ontin!ed5
asic
!ariable
"#t.
.oe55icient o5 $ >
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
87/90
'oeffi*ients 4'ontin!ed5
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $>
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
88/90
*Range RHS 6a%!e
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >atio
- %1 %2 S1 S2
$ "/$ -'/ -/ / / /
%1 "$ / 0 + / '+ :9 (2'& 9 )
%2 "'$ / ' 0 / * 132
M4at 4appens i5 bi , is c4ange by an amount o5 RI5 b1 2'&R,
>ow(*) are upate 5rom t4e initial tableau to $
*Range RHS 6a%!e
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
89/90
g
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $>
-
8/18/2019 4 Metode Simplex
90/90
g
asic!ariab
le"#t.
.oe55icient o5 $ >