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LICEO SCIENTIFICO “GIUSEPPE MERCALLI” – NAPOLI

PROVA DI SELEZIONE INTERNA PER IL IV CERTAMEN NAZIONALE

DI MATEMATICA “RENATO CACCIOPPOLI”

12 FEBBRAIO 2014

I

Quesito n.1

Indicati con O e A i punti di ordinata nulla della parabola di equazione 21 22

y x x= − +

Si conduca la tangente p alla curva in O e la retta q passante per A e di coefficiente angolare -‐4. Condotta infine la retta r di equazione y=t con t<2, siano, C il punto che r ha in comune con p. D quello che r ha in comune con q ed E, F i punti che r ha in comune con la curva (con ascissa di E< ascissa di F ). Calcolare il limite del rapporto CE:FD al tendere di t a zero.

Quesito n.2

Dire se il prolungamento continuo della funzione di variabile reale 𝑓 𝑥 = !"#! !"!!!

nel punto 𝑥 = 1 è derivabile in tale punto.

Quesito n.3 Una torre è circondata da un lago rotondo; l’angolo di elevazione della sua cima è di 60° da un qualsiasi punto della riva del lago. A mezzogiorno l’ombra della torre è lunga 15,3 m di là della riva, mentre quando il sole giunge a ovest l’ombra è di 40,4 m oltre la riva e gli estremi delle due ombre distano 125,5 m. Calcolare l’altezza della torre e l’altezza del sole a ovest.

Quesito n.4




12 FEBBRAIO 2014

II

Quesito n.5

Il medico francese Claude Perrault (visse nel 1600), anatomista e architetto, fratello di Charles Perrault, il creatore di Cenerentola, Cappuccetto Rosso, Il gatto con gli stivali, divenne famoso in campo matematico in quanto un giorno, giocherellando con il suo orologio da taschino, lo piazzò in mezzo al tavolo e cominciò a tirare l’estremità della catena lungo il bordo del tavolo. E si domandò: qual è la forma della curva che il mio bell’orologio sta descrivendo? Non riuscendo a venirne a capo, passò la richiesta all’amico Leibniz e ad altri matematici. Leibniz non tardò a riconoscere che la curva cercata è caratterizzata dalla proprietà che per essa è costante il segmento di ogni tangente compreso tra il punto di contatto e l’intersezione con una retta fissa. Rappresenta il problema in un opportuno sistema di assi cartesiani e determina il coefficiente angolare della retta tangente alla curva.

Quesito n.6

Date le parabole di equazione 𝑦 = 𝑥! + 2𝑥 + 3 e 𝑦 = 3𝑥! + 4𝑥 − 10 quali sono le equazioni delle tangenti comuni?

Quesito n.7

Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele. La porzione di piano compresa fra il semicerchio costruito, esternamente al triangolo, sull’ipotenusa e il quarto di cerchio di centro A compreso tra i raggi AB e AC è detta lunula di Ippocrate. Provare che essa è equivalente al triangolo ABC

Quesito n.8

Determinare i triangoli rettangoli, con i lati interi, tali che il perimetro coincida con l’area.




12 FEBBRAIO 2014

III

SOLUZIONI




12 FEBBRAIO 2014

IV

Soluzione quesito n.1

Indicati con O e A i punti di ordinata nulla della parabola di equazione 21 22

y x x= − +

Si conduca la tangente p alla curva in O e la retta q passante per A e di coefficiente angolare -‐4. Condotta infine la retta r di equazione y=t con t<2, siano, C il punto che r ha in comune con p. D quello che r ha in comune con q ed E, F i punti che r ha in comune con la curva (con ascissa di E< ascissa di F ). Calcolare il limite del rapporto CE:FD al tendere di t a zero.

21 22

y x x= − + V(2;2) O(0;0) A(4;0)

La retta p : y=2x La retta q : y=-‐4x+16

I punti richiesti dal problema sono: ;2tC t⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

16 ;tD tt−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 4 2 ;E t t− −

( )2 4 2 ;F t t+ −

Il limite da calcolare è il seguente: 0

2 4 22lim

4 2 4 24

t

tt

t t→

− − −

− − − − da cui:

0

8 2 4 4 2lim

8 4 4 2t

t t

t t→

− − −

− − −,

passando alla razionalizzazione del primo e secondo membro si ottiene: 0

4lim 0

16t

tt→

=+




12 FEBBRAIO 2014

V


Dire se il prolungamento continuo della funzione di variabile reale 𝑓 𝑥 = !"#! !"

!!! nel punto

𝑥 = 1 è derivabile in tale punto.




12 FEBBRAIO 2014

VI


Una torre è circondata da un lago rotondo; l’angolo di elevazione della sua cima è di 60° da un qualsiasi punto della riva del lago. A mezzogiorno l’ombra della torre è lunga 15,3 m di là della riva, mentre quando il sole giunge a ovest l’ombra è di 40,4 m oltre la riva e gli estremi delle due ombre distano 125,5 m. Calcolare l’altezza della torre e l’altezza del sole a ovest.

Chiamiamo h l'altezza della torre, r il raggio dello stagno. alfa l'angolo di elevazione pari a 59°20'. Allora:

ℎ = 𝑟 𝑡𝑔 ∝

da cui

𝑟 =ℎ

𝑡𝑔 ∝

Sia s la lunghezza dell'ombra a mezzogiorno e t la lunghezza dell'ombra quando il sole è a ovest (al tramonto). Dev'essere (dai dati):

𝑠 = 𝑟 + 15,3 = 15,3 +ℎ

𝑡𝑔 ∝

𝑡 = 𝑟 + 40,4 = 40,4 +ℎ

𝑡𝑔 ∝

Per il teorema di Pitagora (essendo il sole a sud) dev’essere:

𝑠! + 𝑡! = 125,5 !




12 FEBBRAIO 2014

VII

E sostituendo le espressioni di s e di t si ottiene un′equazione in h (o in r):

𝑟! + 55,7𝑟 − 6942 = 0

che dà come soluzione positiva r = 60. Ma ℎ = 𝑟 𝑡𝑔 ∝ quindi: ℎ ≅ 101,19 Per quanto riguarda l'altezza del sole si deve determinare l’angolo con il quale si vede il sole rispetto all’orizzonte.




12 FEBBRAIO 2014

VIII


a) Se si pone uguale a l la misura del lato del quadrato, poiché AP e AQ sono bisettrici rispettivamente degli angoli BAT ˆ e DAT ˆ , nel triangolo rettangolo ABP sono noti il cateto

lAB = e xBAP =ˆ , nel triangolo rettangolo ADQ sono noti lAD = e

xxQAD −=−=4

)22(21ˆ ππ .

Si ha quindi: ltgxlBPBCCP −=−= )4( xltglDQCDCQ −−=−=π da cui

tgxtgxxtg

tgxtgxxtgtgxtgx

tgxtgxtgx

tgxtg

tgxtgtgx

l

xltgxlltgxl

ATCQCPxf

+

++−=

+

+−−−+=

=+

−−−=

+

−−−=

−−+−=

+=

112

1122

112

41

42)

4(

)(

22

π

ππ

b) Se si applicano le formule parametriche con tgx al posto di 2xtg si ha

xtg

tgxxsen 212)2(+

= xtgxtgx 2

2

11)2cos(+

−= da cui:




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IX

)(1

1222

122

112122

111

12

11

12

21)2cos()2()2cos()2(2

22

22

2

2

2

2

2

2

2

xftgx

xtgtgxtgx

xtgtgx

xtgxtgtgxxtgtgx

xtgxtg

xtgtgx

xtgxtg

xtgtgx

xxsenxxsen

=+

−+=

+

−+⋅=

=++−+

−+⋅=

++

−+

+

+

−+

+⋅=

++

+⋅

La verifica può essere effettuata anche geometricamente. Nel quadrilatero ABPT gli angoli TAB ˆ e TPB ˆ sono supplementari, perché gli angoli PBA ˆ e PTA ˆ sono retti, quindi xQPCxTPB 2ˆ2ˆ =→−= π .

Nel triangolo CPQ si ha: )2cos( xPQCP = e )2( xsenPQCQ = da cui: [ ].)2cos()2( xxsenPQCQCP +=+

Inoltre, per le proprietà della bisettrice di un angolo si ha PBPT ≅ e QDQT ≅ e risulta: )(2 CQCPlCQlCPlQDPBQTPTPQ +−=−+−=+=+= .

Quindi [ ] [ ])(2)2cos()2( CQCPlCQCPxxsenPQCQCP +−=+→+=+ [ ]→+ )2cos()2( xxsen [ ] [ ]→++−+=+→ )2cos()2()()2cos()2(2 xxsenCQCPxxsenlCQCP

[ ] [ ])2cos()2(1)2cos()2(2)2cos()2(2)2cos()2(1)(xxsenxxsen

ATCQCPxxsenlxxsenCQCP

++

+⋅=

+→+=++=+→

c) Se 84

2 ππ=→= xx e nel triangolo ABP si ha

1228

−=−

====lll

ABCT

ABPT

ABPBtg π

Si può ottenere lo stesso risultato con le formule di bisezione:

12

22221

4

4cos1

8−=

−=

−=

π

ππ

sentg .




12 FEBBRAIO 2014

X


Il medico francese Claude Perrault (visse nel 1600), anatomista e architetto, fratello di Charles Perrault, il creatore di Cenerentola, Cappuccetto Rosso, Il gatto con gli stivali, divenne famoso in campo matematico in quanto un giorno, giocherellando con il suo orologio da taschino, lo piazzò in mezzo al tavolo e cominciò a tirare l’estremità della catena lungo il bordo del tavolo. E si domandò: qual è la forma della curva che il mio bell’orologio sta descrivendo? Non riuscendo a venirne a capo, passò la richiesta all’amico Leibniz e ad altri matematici. Leibniz non tardò a riconoscere che la curva cercata è caratterizzata dalla proprietà che per essa è costante il segmento di ogni tangente compreso tra il punto di contatto e l’intersezione con una retta fissa. Rappresenta il problema in un opportuno sistema di assi cartesiani e determina il coefficiente angolare della retta tangente alla curva.

Consideriamo un sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale e consideriamo come retta fissa l’asse x, detto P il generico punto d’intersezione tra la tangente e la curva e A il punto d’intersezione tra la tangente e l’asse x le coordinate di P e A saranno 𝑃𝑞 − 𝑦!𝑚 ;𝑦! 𝑒 𝐴 −

𝑞𝑚 ; 0

ponendo la distanza tra P ed A uguale alla costante a si ottiene

𝑞 − 𝑦!𝑚 −

𝑞𝑚

!+ 𝑦! = 𝑎

Da cui

𝑦!! +𝑚!𝑦!!

𝑚! = 𝑎

𝑦!! +𝑚!𝑦!! = 𝑎!𝑚! 𝑚! 𝑦!! − 𝑎! = −𝑦!!




12 FEBBRAIO 2014

XI

𝑚 = ±𝑦!

𝑎! − 𝑦!!

Approfondimento Considerando la retta fissa coincidente con l’asse y si ha

𝑚 = ±𝑎! − 𝑥!!

𝑥!!

L’equazione della curva si ottiene risolvendo l’equazione differenziale

𝑑𝑦𝑑𝑥

=𝑎! − 𝑥!

𝑥!




12 FEBBRAIO 2014

XII


Date le parabole di equazione 𝑦 = 𝑥! + 2𝑥 + 3 e 𝑦 = 3𝑥! + 4𝑥 − 10 quali sono le equazioni delle tangenti comuni?




12 FEBBRAIO 2014

XIII


Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele. La porzione di piano compresa fra il semicerchio costruito, esternamente al triangolo, sull’ipotenusa e il quarto di cerchio di centro A compreso tra i raggi AB e AC è detta lunula di Ippocrate. Provare che essa è equivalente al triangolo ABC

S= area del triangolo

2

2aS = avendo posto AB=AC= a

1S = area della quarta parte del cerchio di raggio a 2

114

S aπ=

2S = area del semicerchio di diametro CB 2

221 2 12 2 4

aS aπ π⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

LS = area della lunula 2

2 1 2LaS S S S= + − = c.v.d.




12 FEBBRAIO 2014

XIV


Determinare i triangoli rettangoli, con i lati interi, tali che il perimetro coincida con l’area.

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