4. ECUACIONES DE LA MÁQUINA DE...

37

4. ECUACIONES DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN

4.1. INTRODUCCIÓN

En este capítulo se formularán las ecuaciones de la máquina de inducción

simétrica, tanto las de tensión como las del par expresadas en función de las variables de

máquina. A continuación se va a establecer la transformación de dichas ecuaciones al

sistema de referencia qd0 arbitrario, de forma que será un paso directo el expresar

dichas ecuaciones en cualquier sistema de referencia sin más que acomodar la velocidad

del sistema arbitrario a la del deseado.

A continuación se va a exponer una forma cómoda de establecer las ecuaciones

para la simulación por ordenador, especialmente si lo que se busca es simular la

saturación, que también se explica en el presente capítulo, y como adaptar la curva de

saturación de vacío de una máquina de inducción para la simulación por ordenador.

4.2. ECUACIONES DE TENSIÓN

La disposición de los devanados de una máquina de inducción trifásica de 2

polos se muestra en la figura 4-1 Los devanados del estator son idénticos, distribuidos

sinusoidalmente y desplazados 120º con sN espiras equivalentes y resistencia sr . Los

devanados del rotor también, que pueden ser bobinados o de jaula de ardilla también

son idénticos, desplazados 120º y con rN espiras equivalentes. Se considera que el

entrehierro es uniforma y se asume que la distribución de los bobinados del rótor y el

estátor pueden ser aproximados mediante bobinados distribuidos senoidalmente.

Al considerar la máquina de inducción simétrica todas las resistencias de cada

fase, las inductancias mutuas, las autoinductancias serán iguales para las tres fases, tanto

del estátor como del rótor. Todas las autoinductancias del estátor se pueden expresar

como:

cscasas bsbs s ls msL L L L L (4-1)

donde msL es la inductancia de magnetización del estátor y que se puede expresar de la

siguiente manera:

2

0

2

sms

N rlL

g

(4-2)

donde r es el radio promedio del entrehierro, l la longitud axial del mismo y g su

espesor. Análogamente todas las inductancias mutuas entre fases del estator son iguales

12asbs ascs bscs msL L L L (4-3)

Haciendo el mismo razonamiento para el rótor

4 Ecuaciones de la máquina de inducción

38

c carar brbr r r lr mrL L L L L (4-4)

2

0

2

rmr

rlNL

g

(4-5)

as’

as

bscs

cs’bs’

ar’

ar

br

cr

cr’

br’

ωr

θr

eje as

eje ar

ibs

ics

ias

iar

ibr

icr

++

+

++

+

Ns

Ns

Ns Nr

Nr

Nr

rr

rrrr

rs

rs

rs

vas

vcs

vbs

var

vbr

vcr

4-1 máquina de inducción simétrica trifásica de 2 polos simplificada

Para considerar las inductancias mutuas entre el rótor y el estátor se considera el

ángulo girado por la fase a del rotor con respecto a la fase a del estator

csc

cs

cs

cos

2cos

3

2cos

3

asar bsbr r sr r

asbr bscr ar sr r

ascr bsar br sr r

L L L L

L L L L

L L L L

(4-6)

siendo:


39

0

2 2

s rsr

N rlNL

g

(4-7)

Las ecuaciones de tensión de la máquina se pueden expresar mediante las

siguientes ecuaciones:

abcs s abcs abcs

d

dt v r i λ (4-8)

abcr r abcr abcr

d

dt v r i λ (4-9)

Siendo abcsv y abcrv vectores tridimensionales con los valores de tensión de fase

a, b y c por ese orden, cada uno de ellos del estator y del rotor respectivamente.

Análogamente las intensidades y los flujos magnéticos son también vectores con la

misma distribución. En la notación el subíndice s indica variables del estator y el

subíndice r indica variables del rotor.

Las matrices rs y rr son ambas diagonales con los elementos de la diagonal

principal iguales. Así mismo, si el sistema magnético es considerado lineal los flujos

magnéticos pueden expresarse como.

· s srabcs abcs

T

abcr abcrsr r

i

i

L Lλ

λ L L (4-10)

Donde las inductancias son las siguientes:

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

ls ms ms ms

s ms ls ms ms

ms ms ls ms

L L L L

L L L L

L L L L

L (4-11)

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

lr mr mr mr

r mr lr mr mr

mr mr lr mr

L L L L

L L L L

L L L L

L (4-12)

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

r r r

sr sr r r r

r r r

L

L (4-13)


40

En estas ecuaciones Lls es la inductancia de dispersión del estator, Lms la de

magnetización también del estator, mientras que Llr y Lmr son las inductancias de

dispersión y de magnetización del rotor respectivamente. Lsr es la amplitud de la

inductancia mutua entre el rotor y el estator.

Al expresar las ecuaciones de tensión conviene referir todas las variables del

rotor al estator, mediante la relación de espiras entre los devanados de uno y de otro, de

forma que:

' rabcr abcr

s

N

Ni i (4-14)

' sabcr abcr

r

N

Nv v (4-15)

' sabcr abcr

r

N

Nλ λ (4-16)

Las inductancias mutuas y de magnetización se asocian con el mismo recorrido

de flujo, así pues, Lms, Lmr y Lsr están relacionadas. En concreto se tiene que:

sms sr

r

NL L

N (4-17)

Se puede definir también:

'

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

r r r

ssr sr ms r r r

r

r r r

NL

N

L L (4-18)

Se puede demostrar:

2

·rmr ms

s

NL L

N

(4-19)

Entonces, al referir al primario la inductancia del rotor:

2

' ·sr r

r

N

N

L L (4-20)

De la ecuación (4-12):


41

'

' '

'

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

lr ms ms ms

r ms lr ms ms

ms ms lr ms

L L L L

L L L L

L L L L

L (4-21)

siendo

2

' ·slr lr

r

NL L

N

(4-22)

a raíz de lo anterior los flujos magnéticos se pueden expresar de la siguiente forma:

'

' '' '·

s srabcs abcsT

abcr abcrsr r

L Lλ i

λ iL L (4-23)

De este modo se pueden escribir las ecuaciones de tensión de la máquina en

función de las variables referidas a los devanados del estator. Definiendo el operador p

como la diferencial con respecto al tiempo y '

rr como las resistencias del rotor referidas

al estator, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

'

' '' ' '·

s s srabcs abcsT

abcr abcrsr r r

p p

p p

r L Lv i

v iL r L (4-24)

4.3. ECUACIÓN DEL PAR ELECTROMAGNÉTICO

Cuando el acoplamiento magnético es considerado como lineal, la energía

almacenada en dicho acoplamiento viene expresada como:

' ' ' ' ' '1 1

2 2

TT T

f abcs s ls abcs abcs sr abcr abcr r lr abcrW L L i L I i i L i i L I i (4-25)

Por otro lado, la variación de la energía mecánica experimentada por un sistema

rotativo, más concretamente el rotor, viene expresada por:

m e rmdW T d (4-26)

Donde eT es el par electromagnético y rm el ángulo mecánico girado por el

rotor. Hay que tener en cuenta que todas las variables eléctricas vienen expresadas en

función del ángulo eléctrico r . Estos dos ángulos están relacionados mediante el

número de polos de la máquina P de la siguiente manera:

2

r rm

P

(4-27)


42

Así pues, la ecuación (4-26) queda:

2

m e rdW T dP

(4-28)

Por tanto, para una máquina con P polos el par electromagnético se puede

evaluar como:

,

,2

c j r

e j r

r

W iPT i

(4-29)

Dado que Ls y L’r no dependen de θr y sustituyendo Wf de la ecuación (4-25) el

par electromagnético en Newton metro queda:

' ' 2

T

e abcs sr abcr

r

PT

i L i (4-30)

Por otro lado, está la ecuación mecánica que relaciona el par con la velocidad

angular del rotor.

2 r

e L

dT J T

P dt

(4-31)

Donde J es la inercia del rotor y de la carga aplicada en kg·m2 y TL es el par

correspondiente a la carga aplicada, siendo esta última positiva cuando es una carga

resistente.

4.4. ECUACIONES DE TENSIÓN EN EL SISTEMA DE REFERENCIA

ARBITRARIO

Aplicando la teoría de sistemas de referencia desarrollada en el capítulo anterior

se extraen directamente las ecuaciones de tensión en el sistema de referencia arbitrario.

En concreto las ecuaciones vienen dadas por:

0

0 0

qd s

qd s s qd s dqs

d

dt

λv r i λ (4-32)

'

0' ' '

0 0

qd r

qd r r qd r r dqr

d

dt

λv r i λ (4-33)

Donde:

0

ds

dqs qs

λ (4-34)


43

'

' '

0

dr

dqr qr

λ (4-35)

Para completar el conjunto de ecuaciones son necesarias las expresiones de los

flujos magnéticos. Transformando la ecuación (4-23) se obtiene:

1 1'

0

'' 1 1' '0

s s s s sr r qd sabcs

T

qd rabcr r sr s r r r

K L K K L K iλ

iλ K L K K L K (4-36)

Estando definidas Ls, L’sr y L’r en las ecuaciones (4-11), (4-18) y (4-21)

respectivamente. Sabiendo además que cuando la matriz de inductancias es simétrica la

transformación resultante es una matriz diagonal, resultan las siguientes ecuaciones.

1

0 0

0 0

0 0

ls

s s s ls

ls

L M

L M

L

K L K (4-37)

'

1' '

'

0 0

0 0

0 0

lr

r r r lr

lr

L M

L M

L

K L K (4-38)

Donde

3

2msM L (4-39)

Además, es fácil demostrar que:

1 1' '

0 0

0 0

0 0 0

T

s sr r r sr s

M

M

K L K K L K (4-40)

Se pueden expresar ahora las ecuaciones en forma expandida:

qs

qs s qs ds

dv r i

dt

(4-41)

dsds s ds qs

dv r i

dt

(4-42)

00 0

ss s s

dv r i

dt

(4-43)

'

' ' ' ' qr

qr r qr r dr

dv r i

dt

(4-44)


44

'

' ' ' ' drdr r dr r qr

dv r i

dt

(4-45)

'

' ' ' 00 0

rr r r

dv r i

dt

(4-46)

Sustituyendo también las expresiones de las inductancias en las ecuaciones

correspondientes a los flujos magnéticos, las ecuaciones de los mismos quedan de la

siguiente manera:

'

qs ls qs qs qrL i M i i (4-47)

'

ds ls ds ds drL i M i i (4-48)

0 0s ls sL i (4-49)

' ' ' '

qr lr qr qs qrL i M i i (4-50)

' ' '

dr lr dr ds drL i M i i (4-51)

' ' '

0 0s lr rL i (4-52)

Estas 12 ecuaciones sugieren el siguiente circuito equivalente de la figura 4-2.

rs (ω-ωr)λ’dr

M

Lls L’lr

ωλqs (ω-ωr)λ’qr

M

Lls L’lr

L’lr

ωλds r’r

rs r’r

rs r’r

Lls

+

-

vqs

+

-

v’qr

+

-

vds

+

-

v’dr

+

-

v0s

+

-

v’0r

iqs

ids

i0s

i’qr

i’dr

i’0r

4-2 Circuito equivalente en sistema de referencia arbitrario de una maquina de inducción simétrica

trifásica


45

Dado que los parámetros suelen venir expresados en ohmios o en por unidad de

una impedancia base, puede ser conveniente expresar las ecuaciones en términos de

impedancias. Así pues, sustituyendo en las ecuaciones anteriores los flujos por flujos

por segundo y las inductancias por reactancias divididas por la velocidad angular base

se obtiene lo siguiente

1 qs

qs s qs ds

b b

dv r i

dt

(4-53)

1 ds

ds s ds qs

b b

dv r i

dt

(4-54)

00 0

1 ss s s

b

dv r i

dt

(4-55)

'

' ' ' ' 1

qrrqr r qr dr

b b

dv r i

dt

(4-56)

'

' ' ' ' 1 drr

dr r dr qr

b b

dv r i

dt

(4-57)

'

' ' ' 00 0

1 rr r r

b

dv r i

dt

(4-58)

'( )qs ls qs M qs qrX i X i i (4-59)

'

ds ls ds M ds drX i X i i (4-60)

0 0s ls sX i (4-61)

' ' ' '

qr lr qr M qs qrX i X i i (4-62)

' ' ' '

dr lr dr M ds drX i X i i (4-63)

' ' '

0 0r lr rX i (4-64)

Las ecuaciones de tensión están escritas en función de flujos e intensidades, pero

las intensidades y los flujos están directamente relacionados, por tanto, no todas estas

variables pueden ser escogidas como variables de estado. A la hora de resolver estas

ecuaciones mediante métodos numéricos resulta mucho más cómodo expresar las

ecuaciones de tensión solamente en función de los flujos magnéticos, ya que se puede

apreciar fácilmente que cada ecuación de tensión únicamente tendrá un término

diferencial, mientras que si son elegidas como variables independientes las intensidades

resultarán dos términos diferenciales en cada ecuación. Debido a este razonamiento es

conveniente expresar las ecuaciones de tensión en función de los flujos magnéticos.


46

'

'

0

'''

'

'''0

'

'

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

s lr M s M

b

s lr M s M

qs b

ds s

s ls

qrr ls Mr M

b

b

r

dr

rr ls Mr M r

r

lr

r X X r X

D D

r X X r X

v D D

v r

v X

v r X Xr Xv D D

vr X Xr X

D D

r

X

0 0

' '

' '

' '

0 0

1

qs qs

ds ds

s s

qr qrb

dr dr

r r

d

dt

(4-65)

' '

ls lr M ls lrD X X X X X (4-66)

4.5. ECUACIÓN DEL PAR EN EL SISTEMA DE REFERENCIA

ARBITRARIO

Para obtener la ecuación del par electromagnético en el sistema de referencia

arbitrario lo único que hay que hacer es incluir las ecuaciones de transformación en la

ecuación (4-30)

1 1' '

0 0 2

T

e s qd s sr r qd r

r

PT

K i L K i (4-67)

Calculando la derivada parcial de '

srL

'

2 2

3 3

2 2 2

3 3 3

2 2

3 3

r r r

sr r r r

r

r r r

sen sen sen

M sen sen sen

sen sen sen

L (4-68)

Multiplicando esta derivada parcial por 1

r

K y utilizando las siguientes

relaciones trigonométricas:

2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 2cosx seny cos x sen y cos x sen y sen x y

(4-69)


47

2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 2senx seny sen x sen y sen x sen y cos x y

(4-70)

2 2

03 3

sen sen sen

(4-71)

Se llega a lo siguiente:

1'

0

2 2 0

3 3

2 2 0

3 3

sr r

r

sen cos

M sen cos

sen cos

L K (4-72)

Premultiplicando por 1

T

s

K :

1 1'

0 1 03

1 0 02

0 0 0

T

s sr r

r

M

K L K (4-73)

Por tanto, la ecuación del par en función de las variables qd0 del sistema de

referencia arbitrario queda de la siguiente manera:

' '3( )

2 2e qs dr ds qr

PT M i i i i

(4-74)

Ahora bien, a la hora de resolver las ecuaciones mediante cálculo numérico,

como ya se ha visto, resulta más conveniente utilizar los flujos como variables de estado

de las ecuaciones por la simplicidad de cálculo que introducen. Así pues, conviene

expresar el par en función de los flujos. Convirtiendo las intensidades en flujos

mediante las ecuaciones (4-59) a (4-64).

' '3

( ) 2 2

me qs dr ds qr

b

XPT

D

(4-75)

Donde D viene definido mediante la ecuación (4-66).

4.6. CÁLCULOS POR UNIDAD

La resolución de las ecuaciones de la máquina de inducción conduce a un

problema de cálculo numérico mal condicionado. Esto se debe a que las tensiones son

del orden de 220V en el mejor de los casos, encontrando inductancias del orden de mH,

es decir numéricamente 8 órdenes de magnitud inferior, por no hablar de la potencia que

puede llegar a tener órdenes de magnitud de MW. Es por tanto conveniente a la hora de


48

realizar los cálculos numéricos expresar las cantidades en por unidad, de forma que el

problema esté matemáticamente mejor condicionado.

Normalmente para fijar los parámetros tomaremos la potencia nominal como

potencia base y la tensión de alimentación nominal de fase la tensión de base para los

cálculos. Se puede expresar la potencia base como:

( ) ( )3B B abc B abcP V I (4-76)

Por tanto, es posible calcular la intensidad de base, así mismo se puede expresar

la impedancia base como:

23

B abc B abc

B

BB abc

V VZ

I P (4-77)

Todas las tensiones se pueden convertir a por unidad sin más que dividirlas por

la tensión base, así mismo ocurre con las intensidades, dividiendo por la intensidad base

y con las resistencias y reactancias, que se dividen por la impedancia base. Dado que los

flujos por segundo se expresan en voltios, estos son convertidos a por unidad dividiendo

por la tensión base.

Si se convierten las ecuaciones de tensión y de flujo a por unidad se puede

comprobar que estas no cambian en su forma. Pero las ecuaciones del par y de la

potencia sí se ven modificada al convertirla a por unidad.

Una expresión del par base puede ser:

2

BB

b

PT

P

(4-78)

Donde b es la frecuencia base de la máquina. Hay que tener en cuenta que el

par base no es el par nominal de la máquina. Ahora, si se divide la ecuación del par

(4-75) por el par base y convirtiendo los flujos a por unidad, se obtiene la siguiente

ecuación:

' '1( )

2

me qs dr ds qr

XT

D

(4-79)

Con todas las variables expresadas en el sistema internacional, la inercia se

expresa en kg·m2. Al convertir la ecuación a por unidad la inercia vendrá expresada en

segundos. Esto se observa en la ecuación (4-31), donde el término del par de inercia es:

2 r

I

dT J

P dt

(4-80)

Al dividir por el par de base y normalizar con la velocidad angular base se llega

a lo siguiente:


49

2b

rI

B b

JdP

TT dt

(4-81)

Definiendo la constante de inercia expresada en segundos como:

2 2 1 2 1 2

2 2

b b

B B

J JH

P T P P

(4-82)

Quedando la ecuación (4-31) que relaciona la velocidad angular del rotor con el

par, expresada en variables por unidad, de la siguiente forma:

2 re L

b

dT H T

dt

(4-83)

Para la potencia activa, al dividir ésta por la potencia base, la ecuación resulta

como sigue

0 023

2 3

qs qs ds ds s s

B B B

v i v i v iP t

P V I

(4-84)

Por tanto, cuando se usen variables por unidad la ecuación de la potencia debe

ser:

0 0

12

2qs qs ds ds s sP t v i v i v i (4-85)

Análogamente para la potencia reactiva

1

2ds qs qs dsiQ it v v (4-86)

4.7. ECUACIONES PARA SIMULACIÓN POR ORDENADOR.

Todo lo explicado hasta ahora supone que el circuito magnético que siguen los

flujos es lineal, lo cual no es del todo cierto. A la hora de considerar el arranque del

motor de inducción se alcanzan unas corrientes muy elevadas, que pueden llegar a ser

del orden de varias veces la intensidad nominal, en este punto los flujos magnéticos

pueden alcanzar valores muy altos, dando lugar a la saturación del núcleo.

Hay una forma de establecer las ecuaciones de la máquina de inducción que

resulta más conveniente para la simulación por ordenador y que, entre otras cosas,

permite introducir efectos como la saturación de una forma sencilla. Esta forma se

obtiene a partir de las ecuaciones (4-59) a (4-64):

1

( )qs qs mq

ls

iX

(4-87)


50

1

ds ds md

ls

iX

(4-88)

0 0

1s s

ls

iX

(4-89)

' '

'

1qr qr mq

lr

iX

(4-90)

' '

'

1dr dr md

lr

iX

(4-91)

' '

0 0'

1r r

lr

iX

(4-92)

En las ecuaciones anteriores mq y md vienen dados por:

'( )mq M qs qrX i i (4-93)

'( )md M ds drX i i (4-94)

Ahora, se pueden plantear las ecuaciones diferenciales de tensión únicamente en

función de los flujos magnéticos como:

qs sb qs ds mq qs

b ls

d rv

dt X

(4-95)

ds sb ds qs md ds

b ls

d rv

dt X

(4-96)

00 0

s sb s s

ls

d rv

dt X

(4-97)

'

' ' '

'

qr r rb qr dr mq qr

b lr

d rv

dt X

(4-98)

'

' ' '

'

dr r rb dr qr md dr

b lr

d rv

dt X

(4-99)

'

' '00 0'

rrb r r

lr

d rv

dt X

(4-100)

Se pueden expresar las ecuaciones (4-93) y (4-94) en función de los flujos

magnéticos:


51

'

'

qs qr

mq aq

ls lr

XX X

(4-101)

'

'

ds drmd ad

ls lr

XX X

(4-102)

Siendo:

1

'

1 1 1aq ad

M ls lr

X XX X X

(4-103)

El par electromagnético, expresado de forma que no dependa de XM en por

unidad viene dado por la expresión

2 2

ds qs qs ds qr dr dr qr

e

i i i iT

(4-104)

Y sustituyendo los valores de las intensidades el par queda:

'2 2

qs md ds mq dr mq qr md

e

ls lr

TX X

(4-105)

Por otro lado, la ecuación diferencial que relaciona el par con la velocidad del

rotor es:

2

bre L

dT T

dt H

(4-106)

4.8. SIMULACIONES DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN

4.8.1. ARRANQUE EN VACÍO

Una vez establecidas las ecuaciones de la máquina de inducción se puede

comprobar cómo resultarían distintas simulaciones por ordenador. Para ello se han

utilizado las herramientas descritas en el Capítulo 7.

Se puede comprobar cómo resultaría un arranque en vacío, partiendo del reposo

y sin excitación previa de diversas máquinas con diferentes tamaños. Para ello, se

excitará a las diferentes máquinas con la tensión nominal correspondiente y equilibrada,

sin par resistente aplicado.

Las simulaciones que se llevan a cabo corresponden a máquinas encontradas en

[5]. En concreto se usan las máquinas especificadas en la Tabla 4-1.


52

Tabla 4-1 Parámetros de máquinas

P 15 kW 45 kW 100 HP 1500 HP

V 400 V 400 V 460 V 2300 V

f 50 Hz 50 Hz 60 Hz 60 Hz

p 4 4 4 4

sR 0,27733 Ω 0,04978 Ω 0,02838 Ω 0,05202 Ω

rR 0,256 Ω 0,04267 Ω 0,13053 Ω 0,03263 Ω

lsL 3,26 mH 1,13 mH 0,45 mH 1,09 mH

lrL 3,73 mH 1,92 mH 0,45 mH 1,09 mH

mL 74,7 mH 29,43 mH 21,08 mH 57,71 mH

J 0,094 kg·m2

0.41 kg·m2 2,22 kg·m

2 22,03 kg·m

2

Las figuras 4-3 a 4-6 contienen las gráficas donde se aprecia cómo es la

evolución en el tiempo del par electromagnético de los cuatro motores arriba

mencionados durante el arranque en vacío.

4-3 Arranque en vacío motor de 15 kW. Evolución del par y la velocidad


53

4-4 Arranque en vacío motor de 45 kW. Evolución del par y la velocidad.

4-5 Arranque en vacío motor de 100 HP. Evolución del par y la velocidad.


54

4-6 Arranque en vacío motor de 1500 HP. Evolución del par y la velocidad.

A partir de estas curvas se puede calcular las características de par-velocidad,

representadas en las figuras 4-7 a 4-10.

4-7 Arranque en vacío motor de 15 kW. Característica Par-Velocidad.


55

4-8 Arranque en vacío motor de 45 kW. Característica Par-Velocidad.

4-9 Arranque en vacío motor 100 HP. Característica Par-Velocidad.


56

4-10 Arranque en vacío motor 1500 HP. Característica Par-Velocidad.

Dado que el par resistente es nulo, ni siquiera está considerado el par resistente

debido a la fricción ni otras pérdidas mecánicas, las máquinas aceleran hasta alcanzar la

velocidad de sincronismo.

4-11 Comparativa arranque vs régimen permanente, motor 100 HP.


57

Se puede apreciar en la figura 4-9 como la máquina de 100 HP no oscila

alrededor del punto de sincronismo en su aproximación sino que directamente lo

alcanza. Esto es debido a que los parámetros de la máquina (reactancias, inercia,

etcétera) hacen que con la alimentación nominal resulte un sistema sobreamortiguado.

Mientras que las otras máquinas resultan en sistemas subamortiguados. La máquina de

100 HP tiene característica par-velocidad que origina un deslizamiento nominal

relativamente alto si lo comparamos con las otras tres máquinas.

En cambio, en los motores que tiene un arranque sobreamortiguado la

característica par-velocidad es muy similar a la del régimen permanente, salvo las

variaciones alrededor de éste debidas a los transitorios eléctricos del rótor y el estátor.

Esto se aprecia claramente en la figura 4-11, en la que está representada en color rojo la

curva de régimen permanente frente a la curva en color azul que corresponde a un

arranque en vacío.

Para los motores que tienen un arranque subamortiguado, la característica de par

velocidad de arranque y la de régimen permanente se separan claramente como se

aprecia en la figura 4-12 a partir de un punto que en este caso concreto está alrededor de

la mitad de la velocidad de sincronismo, dando la característica de régimen permanente

un par electromagnético máximo más elevado que en el arranque en vacío, si bien en la

primera parte del arranque viene a coincidir el promedio del par de arranque en vacío

con el par de régimen permanente.

4-12 Comparativa arranque vs régimen permanente, motor 45 kW.

0 20 40 60 80 100 120 140 160-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

r (rad/seg)

Te (

Nm

)

Característica par-velocidad, arranque en vacío vs Régimen Permanente. 45kW 400V 50Hz


58

Se observa en las gráficas que recién aplicada la tensión de alimentación esta

oscilación viene a ser de la frecuencia de alimentación de la máquina y es debida a los

desequilibrios transitorios de los flujos y las corrientes del estátor. Y resulta interesante

que aunque el desequilibrio individual de cada corriente de fase depende del momento

de aplicación de la tensión, es decir el ángulo de las tensiones de fase, el par resultante

no tiene esa dependencia y sigue la misma curva exacta cualquiera que sea el ángulo de

las tensiones de alimentación en el momento de la conexión.

En todos los casos la impedancia de entrada en el momento del arranque es

básicamente la resistencia y la reactancia de dispersión estatórica en serie con la

resistencia y la reactancia de dispersión rotórica. Esto conduce a unas corrientes muy

elevadas cuando la velocidad es baja, del orden de hasta diez veces la nominal o incluso

mayores. Es necesario por tanto disponer de dispositivos de arranque que permitan

reducir las tensiones de alimentación al poner en marcha máquinas de grandes

potencias, de forma que se reduzcan asimismo las puntas de corriente durante el

arranque.

Las intensidades de fase vendrán dadas para el motor de 15 kW por las curvas de

las figuras 4-13 y 4-14. Este motor de 15kW tiene una intensidad nominal de unos 22A

eficaces, y en la gráfica se observa como las intensidades del estátor alcanzan picos de

hasta 200A durante el arranque, para al final alcanzar un régimen permanente en el cual

la intensidad alcanza el valor para mantener las pérdidas óhmicas más la excitación del

campo magnético generados en el primario. También se aprecia como la envolvente de

las senoidales de las intensidades varía durante el transitorio.

4-13 Intensidades estatóricas en el arranque en vacío de un motor de 15 kW.


59

4-14 Intensidades rotóricas en el arranque en vacío de un motor de 15 kW.

Si se analizan las intensidades del rotor se aprecia como al acercarse a la

velocidad de sincronismo la frecuencia fundamental de las ondas decrece, como es de

esperar ya que dicha frecuencia depende directamente del deslizamiento de la máquina.

Por otro lado, cuando la máquina alcanza la velocidad de sincronismo las intensidades

de las tres fases decaen hasta hacerse cero ya que la resistencia equivalente del circuito

del rótor crece en proporción inversa al deslizamiento de la máquina hasta hacerse

infinita en el punto de sincronismo.

4-15 Intensidades estatóricas en el arranque en vacío de un motor de 45 kW.


60

En el motor de 15 kW se aprecian muy bien todos estos detalles por poderse

representar las formas de onda de una forma cómoda debido a que el tiempo de la

aceleración es relativamente pequeño. En los otros tres motores que se han representado

en las características par-velocidad también se aprecian estos efectos como se puede

comprobar en las figuras 4-15 a 4-20.

4-16 Intensidades rotóricas en el arranque en vacío de un motor de 45 kW.

4-17 Intensidades estatóricas en el arranque en vacío de un motor de 100 HP.


61

4-18 Intensidades rotóricas en el arranque en vacío de un motor de 100 HP.

4-19 Intensidades estatóricas en el arranque en vacío de un motor de 1500 HP.


62

4-20 Intensidades rotóricas en el arranque en vacío de un motor de 1500 HP.

Resulta interesante ver las intensidades del rótor y el estátor en el sistema de

referencia qd0. En este caso, el utilizado ha sido el sistema de referencia síncrono, y

como ya se ha visto cuando se alcanza un régimen permanente senoidal las magnitudes

eléctricas se hacen constantes en dicho sistema de referencia.

4-21 Arranque en vacío. Intensidades estátor qd0 síncrono. Motor de 15 kW


63

En la figura 4-21 se ha representado las intensidades del estátor en el sistema de

referencia síncrono, para el motor de 15 kW, se observa como las intensidades tienen

unas variaciones, producto del transitorio de arranque hasta que se hacen constantes a lo

largo del tiempo, en el cual el régimen permanente ha sido alcanzado. Otra cosa

interesante que se ha dibujado es en la tercera gráfica de la figura 4-21, en color rojo

esta dibujado las raíces positiva y negativa de la suma de las intensidades del estátor

según los ejes q y d, y en azul la intensidad de fase a del estátor. Pues bien, la curva

coincide con la envolvente de la senoide de la intensidad de fase. En el caso de que

hubiéramos escogido otra fase el resultado habría sido el mismo. Esto es así por ser el

sistema de alimentación de tensiones equilibrado.

4-22 Arranque en vacío. Intensidades rotor qd síncrono. Motor de 15 kW.

Para el rótor la situación es la misma y la raíz de la suma del cuadrado de las

intensidades representa la envolvente de la senoides que describen las intensidades de

fase nuevamente, como se aprecia en la figura 4-22. También se aprecia como las

intensidades del eje q y d tienden a anularse a medida que la velocidad se acerca a la de

sincronismo.

En este caso concreto, las intensidades de la componente 0 del sistema de

referencia síncrono son nulas, la del estátor por ser la alimentación del sistema abc

equilibrada y la del rótor por no tener tensión de alimentación y estar desacoplada de las

otras componentes.

Como forma general, las envolventes de las tres senoides de fase, si un sistema

es equilibrado vendrá dada por.

2 2

q df f (4-107)


64

Para las otras tres máquinas el comportamiento respecto a las intensidades es

similar. La única diferencia cualitativa es la máquina de 100 HP, que nuevamente se

observa cómo no oscilan las corrientes en la aproximación al punto de sincronismo.

4-23 Arranque en vacío. Corrientes del sistema qd síncrono. Motor 45 kW

4-24 Arranque en vacío. Corrientes del sistema qd síncrono. Motor 100 HP


65

4-25 Arranque en vacío. Corrientes del sistema qd síncrono. Motor 1500 HP

Para completar el arranque en vacío se pueden observar las potencias y el factor

de potencia, cos , durante el arranque.

4-26 Arranque en vacío. Potencias. Motor de 15 kW


66

4-27 Arranque en vacío. Potencias. Motor de 45 kW

4-28 Arranque en vacío. Potencias. Motor de 100 HP


67

4-29 Arranque en vacío. Potencias. Motor de 1500 HP

En las figuras 4-26 a 4-29 se aprecia como la potencia eléctrica consumida es

relativamente alta, teniendo en cuenta que no hay par de carga aplicado. Partiendo el

factor de potencia, cos , en el momento justo de arranque de prácticamente la

unidad. Toda esta potencia en el primer momento es utilizada principalmente para

acelerar la máquina y tiene una oscilación debida a los transitorios eléctricos del estátor

de aproximadamente la frecuencia de alimentación.

Cuando alcanzan el sincronismo, la potencia consumida se limita a las pérdidas

óhmicas del estátor y se observa como el factor de potencia se hace prácticamente nulo.

En el proceso intermedio, en el que han desaparecido los transitorios eléctricos del

estátor y no se ha alcanzado la velocidad de sincronismo se observa como el factor de

potencia pasa de inductivo a capacitivo en una oscilación alrededor del punto de

equilibrio, salvo para el motor de 100 HP que es siempre inductivo.

4.8.2. CAMBIO BRUSCO DE PAR RESISTENTE

En esta simulación se han escogido dos máquinas, una de 45 kW y 50 Hz y otra

de 100 HP y 60 Hz. Los parámetros de las máquinas vienen recogidos en la Tabla 4-1.

Partiendo de una situación de régimen permanente equilibrado en vacío se ha

aplicado una carga de forma brusca equivalente al par base de cada una de las dos

máquinas (286,5 Nm con una inercia de la carga de 21,2kg·m para la máquina de 45

kW y 395.6 Nm con una inercia de 22,22kg·m para la de 100 HP). Una vez han

desaparecido los transitorios se ha retirado la carga aplicada para dejar otra vez las

máquinas en situación de vacío. La simulación se ha detenido cuando han desaparecido


68

los nuevos transitorios originados por la retirada de la carga aplicada, que son tan

asimétricos en la aplicación y la retirada de la carga debido a que al aplicar la carga o

retirarla se aplica o retira igualmente la inercia de la misma.

4-30 Cambio brusco de par. Evolución del par y la velocidad. Motor de 45 kW.

4-31 Cambio brusco de par. Evolución del par y la velocidad. Motor de 100 HP.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

200

250

300

350

400

Te (

Nm

)

Cambio brusco de par. 100HP 460V 60Hz. Par y velocidad angular del rótor.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2178

180

182

184

186

188

190

r (

rad/s

eg)

t (seg)


69

4-32 Aplicación y eliminación brusca del par resistente. Motor de 45 kW.

La característica dinámica de par frente a velocidad angular de la máquina de

45 kW viene para esta simulación viene dada por la figura 4-32. En primer lugar la

máquina está trabajando en el punto de par electromagnético 0 y velocidad angular del

rótor 157 rad/s. Cuando se aplica la carga de forma brusca se desplaza hasta el punto de

286,5 Nm de par y 154,7 rad/s de velocidad del rótor. El cambio de un punto a otro lo

hace de forma subamortiguada, como ya se vio en el arranque en vacío de esta misma

máquina, y por eso describe una curva en espiral alrededor del nuevo punto de trabajo,

indicativa de sobreoscilaciones en la aproximación al mismo. Nuevamente, cuando

retiramos el par aplicado volvemos al punto de partida de forma también

subamortiguada. La diferencia de tamaño entre las dos espirales es indicativa de que la

aproximación al punto de vacío tendrá mayor componente oscilatoria que la

aproximación al punto de 386 Nm. Esto último es debido a que la inercia de la carga

aplicada tiene influencia en la absorción de estas oscilaciones de modo que a mayor

inercia menor oscilación, aunque también aumentará el tiempo en alcanzar el nuevo

equilibrio.

Se puede comprobar en la figura 4-33 como en el motor de 100 HP no aparecen

las curvas en forma de espiral, de modo que la dinámica de cambio de par puede ser

aproximada por la curva de régimen permanente sin perder demasiada precisión, cosa la

cual se apreciaba también en el arranque en vacío. En esta curva se parte del punto de

par nulo y velocidad del rótor 188.5 rad/s hasta llegar al par de 395,6 Nm y una

velocidad de 179 rad/s por la línea que está a la izquierda de las dos, para retornar al

punto original por la línea de la derecha.


70

4-33 Aplicación brusca de par resistente. Motor de 100 HP.

En cuanto a las corrientes del estátor y el rótor. En las figuras 4-34 y 4-35 se

aprecian las intensidades rotóricas y estatóricas de fase. En la primera se aprecia como

aumentan desde el valor de la corriente de vacío, tras un ligero transitorio producido por

la aplicación del par. Cuando es retirado el par vuelve a tener otro transitorio hasta que

alcanza el valor original.

4-34 Cambio brusco de par. Intensidades estatóricas. Motor de 45 kW


71

4-35 Cambio brusco de par. Intensidades rotóricas. Motor de 45 kW

Es interesante ver las corrientes rotóricas. En la figura 4-35 se aprecia cómo se

parte desde intensidades nulas, debidas a la resistencia infinita del secundario originada

por la velocidad de sincronismo. Tras aplicar el par aparece el ya conocido transitorio,

para una vez desaparecido este, oscilar las intensidades del rotor a la frecuencia

correspondiente a la diferencia entre la de sincronismo y la velocidad de rotación,

convertida esta última a unidades eléctricas, y no mecánicas, mediante el número de

polos de la máquina. Una vez retirado el par surge otro transitorio que acaba con las

corrientes rotóricas anuladas, como era de esperar.

En las figuras 4-36 y 4-37 están representadas las corrientes estatóricas y

rotóricas del motor de 100 HP. Se observa como los efectos son los mismos que para el

motor de 45 kW salvo que el transitorio es más suave tanto en las intensidades del rótor

como del estátor. Nuevamente se aprecian las intensidades del rotor con una frecuencia

mucho más baja que la frecuencia de alimentación y como parten de valor nulo, hasta

alcanzar el valor correspondiente por el par aplicado, para volver a anularse cuando se

retira la carga.


72

4-36 Cambio brusco de par. Intensidades estatóricas. Motor de 100 HP.

4-37 Cambio brusco de par. Intensidades rotóricas. Motor de 100 HP.

Nuevamente, se puede apreciar en las figuras 4-38 y 4-39 como si se escoge el

sistema de referencia síncrono, se puede distinguir con mucha claridad donde empiezan

y donde acaban los transitorios, sin más que echar un vistazo a las gráficas. Esto es

debido a la propiedad anteriormente comentada en el Capítulo 3 que tiene el sistema de


73

referencia síncrono, en el cual si el sistema es equilibrado y está en régimen

permanente, sus variables derivan en valores constantes.

4-38 Cambio brusco de par. Corrientes del sistema qd síncrono. Motor 45 kW.

4-39 Cambio brusco de par. Corrientes del sistema qd síncrono. Motor 100 HP.


74

Las potencias vienen representadas en las figuras 4-40 y 4-41. Se observa muy

claramente el paso desde un cos casi nulo hasta un cos en torno a 0,85 o 0,90

para los dos motores. La diferencia nuevamente estriba en que el motor de 100 HP no

tiene oscilaciones y en todo momento el cos es positivo, lo que indica que siempre

absorbe potencia.

4-40 Cambio brusco de par. Potencias. Motor de 45 kW.

4-41 Cambio brusco de par. Potencias. Motor de 100 HP.


75

4.8.3. ARRANQUE CON RESISTENCIA DE INSERCIÓN EN EL RÓTOR

Para esta simulación se escogen los motores de 45 kW y de 100 HP de la Tabla

4-1, con una modificación en el motor de 100 HP que es que la resistencia estatórica es

ahora de 0,05 Ω, la rotórica de 0,08 Ω y la inercia de 4,44 kg·m2. La razón del cambio

de valor de las resistencias y la inercia es que se aprecien de forma más clara la

influencia de la resistencia de inserción rotórica en las gráficas, ya que como se aprecia

en la figura 4-9 hay oscilaciones alrededor del punto de máximo par. De esta forma

eliminamos esas oscilaciones a costa de una mayor caída de tensión en el estátor y un

mayor tiempo de arranque.

4-42 Par electromagnético con resistencia de inserción rotórica. Motor de 45 kW.

En la figura 4-42 se aprecia la evolución del par electromagnético en el tiempo

para el motor de 45 kW sin resistencia insertada en el rótor, con una resistencia con un

valor de 0,5 veces la resistencia del rótor y con otra resistencia de valor 2 veces la del

rótor. Como era de esperar, el tiempo que se tarda en alcanzar la velocidad de

sincronismo se ve reducido a medida que aumenta la resistencia insertada, ya que se

aumenta el par a velocidades bajas del motor. Pero llaman la atención dos cosas. En

primer lugar, que el par máximo aumenta con la resistencia de inserción y en segundo

lugar que la oscilación al alcanzar el sincronismo es menor cuanto mayor es la

resistencia insertada.

El resultado del par máximo es debido a la sobreoscilación alrededor del punto

de sincronismo, y a como no se parecen la curva de arranque en vacío y la del régimen

permanente, como se ha visto en el epígrafe 4.8.1. Por tanto el que el par máximo se

mantenga para el arranque independientemente de la resistencia rotórica es un resultado

que, si bien funciona para régimen permanente, no es extrapolable al régimen dinámico.


76

En lo que se refiere al descenso en la sobreoscilación, es debido a que dicha

sobreoscilación es muy dependiente de la relación entre la resistencia del rótor y la

reactancia de dispersión, o sea con la constante de tiempo del circuito del rótor. Al

variar la resistencia del rótor varía también la constante de tiempo y se ve afectada la

oscilación al aproximarse al punto de régimen permanente.

4-43 Par electromagnético con resistencia de inserción rotórica. Motor de 100 HP.

En cambio en la figura 4-43, correspondiente al par electromagnético del motor

de 100 HP, se observa como el par máximo es aproximadamente constante

independientemente del valor de la resistencia insertada en el rótor. Esto coincide con

el valor del par máximo para régimen permanente, y es así por lo que se vio en el

epígrafe 4.8.1 acerca de la similitud entre las curvas características par-velocidad

cuando el sistema es sobreamortiguado. La realidad dice que el par máximo aumenta

muy ligeramente a medida que aumentamos el valor de la resistencia insertada del rótor.

Se aprecia también en la figura 4-43 como el tiempo de arranque es menor

cuanto mayor es la resistencia insertada en el rótor. Al igual que en el caso anterior esto

es debido a que el par medio a velocidades bajas del rotor se ve incrementado a medida

que se aumenta el valor de la resistencia añadida.

En cualquier caso en las figuras 4-44 y 4-45 está representada la velocidad

angular para cada uno de los arranques con diferentes resistencias insertadas para el

motor de 45 kW y el de 100 HP respectivamente.


77

4-44 Velocidad del rótor con resistencia de inserción rotórica. Motor de 45 kW.

4-45 Velocidad del rótor con resistencia de inserción rotórica. Motor de100 HP.


78

4-46 Envolvente intensidades estátor. Arranque con resistencia. Motor 45 kW.

4-47 Envolvente intensidades estátor. Arranque con resistencia. Motor 100 HP.


79

Para observar el efecto que tiene en las intensidades del estátor durante el

arranque la inserción de la resistencia se representan en las figuras 4-46 y 4-47 las

envolventes de las senoides que forman las intensidades. Ya se ha visto que esto es

posible hacerlo cuando el sistema es equilibrado, siendo de esta forma el caso que se

está tratando.

En la figura 4-46 se aprecia como para el motor de 45 kW la intensidad tiene una

amplitud promedio aproximadamente igual, independientemente de la resistencia

insertada, durante el arranque. En cambio, se aprecia como la amplitud de las

intensidades pueden alcanzar mayores valores a medida que la resistencia insertada es

mayor. En cambio, como es de esperar el primer pico de intensidad es inferior para una

mayor resistencia insertada, tal y como se aprecia en la ampliación de la figura 4-48.

Si se observa la figura 4-47, se aprecia claramente como las intensidades de fase

del estátor tienen una amplitud inferior para una mayor resistencia insertada y en

cambio el par es mayor como ya se ha visto. También se ha representado en la figura

4-49 una ampliación del instante inicial del arranque para apreciar mejor como de la

misma manera la intensidad en el momento justo del arranque es inferior para una

mayor resistencia insertada.

4-48 Envolvente intensidades estátor. Arranque con resistencia. Motor 45 kW.


80

4-49 Envolvente intensidades estátor. Arranque con resistencia. Motor 100 HP.

En definitiva, con la resistencia insertada en el rótor, se consiguen varios efectos.

En primer lugar desplazar el par máximo a un punto de menor deslizamiento de forma

que el par de arranque aumente y por tanto, como segundo efecto derivado, disminuya

el tiempo de arranque. En tercer lugar, reducir la intensidad en el arranque. Como

contrapartida, el deslizamiento para un par determinado es mayor, ya que se ha

desplazado el máximo de la curva hacia el arranque. La solución consiste en arrancar

con una resistencia insertada y cortocircuitar cuando se alcance cierto valor de

velocidad del rotor o de tiempo pasado de arranque.

4.8.4. ARRANQUE ESTRELLA-TRIÁNGULO

Si se dispone de un motor con los seis bornes del estátor accesibles es posible

hacer una secuencia de arranque en estrella-triángulo que permita reducir las altas

intensidades durante la aceleración del rótor.

El método, como es bien sabido, se basa en arrancar con la tensión de fase

aplicada para posteriormente conmutar a la tensión de línea, siendo la tensión de la

segunda 3 veces la tensión de la primera. A cambio, el arrancar con una tensión

inferior se producirá un menor par, que debe ser tenido en cuenta cuando el arranque del

motor se realiza con una carga ya aplicada.

El esquema de conexión para el arranque estrella-triángulo está representado en

la figura 4-50, hay que tener presente que en la conmutación no sólo hay un cambio de

amplitud en la tensión aplicada, sino que además hay un cambio en la fase, dado que la


81

tensión entre las fases AB es la tensión de fase A adelantada 30º y multiplicada por 3

cuando las tensiones siguen el régimen permanente senoidal equilibrado.

A

B

C

U

X

V

Y

Z

W

4-50 Esquema arranque estrella-triángulo.

Lo que se va a simular es precisamente esto, para los dos motores de 45 kW y

100 HP de la Tabla 4-1. De forma que se aplicara en primer lugar la tensión nominal

dividida por 3 para, una vez transcurrido un tiempo t, aplicar la tensión nominal con

el desfase correspondiente.

4-51 Arranque Y-Δ. Evolución del par y la velocidad. Motor de 45 kW.


82

4-52 Arranque Y-Δ. Evolución del par y la velocidad. Motor de 100 HP.

En las figuras 4-51 y 4-52 están representadas las aceleraciones de los dos

motores con el arranque en estrella-triángulo (representados en color rojo)

comparándose con el arranque directo (en color azul). Se aprecia cómo se reduce

significativamente el par, en torno a la tercera parte aproximadamente, y por

consiguiente se ve aumentado el tiempo de arranque.

Se observa también en las figuras que al conectarse la configuración en

triángulo, aparece un par oscilatorio alrededor del punto de sincronismo. Este par es

oscilatorio, aunque la máquina no tenga el carácter subamortiguado del arranque, caso

del motor de 100 HP, y es debido al transitorio que origina la variación de fase y

amplitud de los flujos electromagnéticos, producido por el cambio brusco de fase y

amplitud en la tensión de alimentación.

Si se analizan las envolventes de las intensidades de fase de cada uno de los dos

motores para el arranque estrella-triángulo y se comparan con las del arranque directo se

aprecia la característica que hace interesante este tipo de configuración de arranque. Las

intensidades del estator se ven reducidas en un 40% aproximadamente, o dicho de otro

modo, en el arranque directo en configuración triángulo las corrientes son

aproximadamente 3 veces las corrientes de arranque en configuración estrella. Esto se

cumple tanto para el promedio de las corrientes de arranque de los motores como para

los picos de intensidades, tanto en el momento justo del arranque como en el paso de

configuración estrella a triángulo. Por otro lado, y como era de esperar por la reducción

del par electromagnético, en la configuración en estrella siendo la intensidad menor es

más prolongada en el tiempo. Además al realizar el cambio de configuración el

transitorio originado da como resultado unas intensidades altas, aunque de poca


83

duración, del mismo orden que las del arranque. Estas gráficas están representadas en

las figuras 4-53 y 4-54.

4-53 Arranque Y-Δ. Amplitud intensidades del estátor. Motor de 45 kW.

4-54 Arranque Y-Δ. Amplitud intensidades del estátor. Motor de 100 HP.


84

4.8.5. CORTOCIRCUITO TRIFÁSICO EN BORNAS

Partiendo de una situación de régimen permanente equilibrado, con un par

resistente igual al par base de la máquina, se va a aplicar un cortocircuito trifásico en

bornes de los dos motores de 100 HP y de 45 kW de la Tabla 4-1. Se va a mantener el

cortocircuito aplicado durante doce ciclos completos de red y se va a restaurar la

alimentación normal posteriormente. La inercia de la carga es de 4kg·m2 para el motor

de 45 kW y de 8 kg·m2 para el motor de 100 HP

4-55 Cortocircuito trifásico. Evolución del par y la velocidad. Motor 45 kW.

En la figura 4-55 se observa como el motor de 45 kW tiene un carácter

oscilatorio en el transitorio eléctrico del momento de producirse el cortocircuito,

mientras que en la figura 4-56 correspondiente al motor de 100 HP no es así. Lo que se

aprecia es que en el primer momento del corto aparece en ambos casos un par

electromagnético negativo, o de freno, que llevan a los motores a frenarse bruscamente.

También se ve como en el motor de 100 HP hasta que el transitorio desaparece el par

electromagnético sigue siendo negativo, mientras que en el motor de 45 kW es oscilante

alrededor de cero. En ambos casos el par electromagnético evoluciona tendiendo a

anularse.

Cuando se elimina el corto, doce ciclos completos después, al recuperar de

forma brusca la tensión nominal aparece un nuevo transitorio que, en un primer

momento provoca un par negativo, también de freno, para posteriormente crear un para

oscilante de media positivo que acelera el rótor del motor. Nuevamente se acelera el

motor hasta la velocidad de operación correspondiente al par resistente aplicado con el

mismo carácter subamortiguado o sobreamortiguado que tenga la máquina según sus

parámetros. De hecho se observa en la máquina de 45 kW que oscila alrededor del

punto de trabajo, mientras que el motor de 100 HP se aproxima sin sobrepasar el valor

de la velocidad de trabajo correspondiente al par en ningún momento.


85

4-56 Cortocircuito trifásico. Evolución del par y la velocidad. Motor 100 HP.

4-57 Cortocircuito trifásico. Intensidades del estátor. Motor 45 kW.


86

4-58 Cortocircuito trifásico. Intensidades del estátor. Motor 100 HP.

Las corrientes del estátor vienen representadas en las figuras 4-57 y 4-58 y en

ellas se aprecia como al ocurrir el corto pueden aparecer corrientes casi del orden de las

del arranque, producidas por la descarga del campo magnético.

En la representación de las intensidades, junto con la intensidad de fase a se ha

representado en color rojo la envolvente de las senoides de fase, dada por la raíz

cuadrada de la suma de las intensidades según los ejes q y d del sistema de referencia

utilizado, de forma que se aprecie la máxima corriente que puede aparecer tanto en el

cortocircuito como en la reconexión.

4.8.6. CORTOCIRCUITO MONOFÁSICO.

La herramienta del cambio de sistema de referencia permite calcular como serían

las corrientes en caso de un cortocircuito monofásico.

La simulación es igual que la explicada en el epígrafe 4.8.5, con la salvedad de

que el cortocircuito se va a realizar entre la fase a y el neutro. La duración sigue siendo

de doce ciclos completos y las máquinas son las descritas de 45 kW y 100 HP con las

cargas referidas.

En las gráficas 4-59 y 4-60 está representada las evoluciones del la velocidad del

rótor y del par. Se observa como durante el transcurso del cortocircuito, el par que

aparece es oscilante, pero de media no nula, con una evolución de la amplitud de la

oscilación decreciente en el tiempo. Que la velocidad del rotor decrezca es debido a que

los pares resistentes aplicados son superiores a los pares electromagnéticos medios que

generan las máquinas.


87

4-59 Cortocircuito monofásico. Evolución del par y la velocidad. Motor de 45 kW.

4-60 Cortocircuito monofásico. Evolución del par y la velocidad. Motor de 100 HP.


88

Se aprecia como la velocidad del rótor en ambos casos además de ser

decreciente en media es oscilante también. Provocado este hecho por el carácter

oscilatorio del par electromagnético generado.

4-61 cortocircuito monofásico. Intensidades del estátor. Motor de 45 kW.

4-62 Cortocircuito monofásico. Intensidades del estátor. Motor de 100 HP.


89

Al echar un vistazo a las corrientes del estátor en las figuras 4-61 y 4-62 se ve

que durante el fallo monofásico estas aumentan de valor enormemente, pero es que

además si se examina las corrientes del sistema de referencia qd0 síncrono se observa

como el desequilibrio se ve reflejado en que el valor de la componente 0 deja de ser

nula, así como en que las componentes q y d tienen una oscilación de frecuencia doble

que la de alimentación.

4-63 Cortocircuito monofásico. Intensidades qd0 del estátor. Motor de 45 kW.

4-64 Cortocircuito monofásico. Intensidades qd0 del estátor. Motor de 100 HP.


90

4-65 Cortocircuito monofásico. Potencias. Motor de 45 kW.

4-66 Cortocircuito monofásico. Potencias. Motor de 100 HP.

Al examinar la potencia consumida por el motor se ve que durante el corto es

oscilante, con una media de consumo del orden de la que estaba consumiendo antes de

dicho cortocircuito. Por tanto, al tener un par electromagnético medio inferior habrá


91

unas mayores pérdidas óhmicas, como se deduce también por el valor de las corrientes

del estátor.

4.8.7. GENERACIÓN CON ALIMENTACIÓN ROTÓRICA

Todas las simulaciones que se han hecho hasta ahora han sido con la máquina de

inducción como motor y sin alimentación en el rótor. Cabe la posibilidad de alimentar el

rotor si la máquina es de anillos rozantes en vez de ser de jaula de ardilla, con el fin de

compensar la potencia reactiva, de forma que incluso se puede generar o consumir

potencia reactiva en función de las necesidades. La tensión de alimentación del rótor en

este caso suele ser muy pequeña, del orden de un 1% de la tensión de alimentación del

estátor.

Lógicamente la tensión de alimentación del rótor deberá de ser en cada instante a

la frecuencia de las intensidades del mismo. Es decir, la frecuencia de las tensiones

aplicadas al rótor deben ser la frecuencia de las aplicadas al estator menos la velocidad

de giro del rótor multiplicada por el número de pares de polos de la máquina.

M

4-67 Esquema de alimentación rotórica.

La potencia reactiva dependerá del ángulo relativo de desfase entre las tensiones

del rótor y las del estátor cuando estas son llevadas a una referencia común como el

sistema de referencia síncrono, así como de la tensión de alimentación del primero. De

esta forma cuando se alcanza el régimen permanente en el sistema de referencia

síncrono, tomando como origen del sistema de forma que la tensión del estátor no tenga

componente según el eje d, las tensiones vienen dadas por

cos

0 sen

qs s qr r

ds dr r

v V v V

v v V

(4-108)

Se va a proceder a simular para tres valores distintos de δ (0, -90º y 90º) el

arranque de la máquina de 1500 HP dado en la Tabla 4-1, con un par generador aplicado

igual al par base de la máquina, una tensión de alimentación del 1% de la del estátor y

referida, por supuesto, al estátor.


92

4-68 Generación con alimentación rotórica. Par y velocidad. Motor de 1500 HP.

4-69 Generación con alimentación rotórica. Potencias. Motor de 1500 HP

En la figura 4-68 está representada la evolución del par electromagnético y la

velocidad del motor de 1500 HP para los tres ángulos mencionados. Se ve como el

ángulo influye en la sobreoscilación de la máquina alrededor del punto de régimen

permanente y en el par medio aplicado durante el arranque. La velocidad se ha ampliado


93

para mostrar de forma más clara que dependiendo del ángulo que se aplique está tendrá

un valor distinto.

En las potencias representadas en la figura 4-69 se puede apreciar como en los

tres casos en el arranque, a pesar de tener un par de generación, la potencia media es

positiva y, por tanto, consumida en vez de generada. El valor de la potencia durante

arranque es cualitativamente el mismo en los tres casos, con pequeñas variaciones entre

unos y otros y un valor de generación de régimen permanente muy ligeramente distinto

entre los tres casos, debido a las distintas pérdidas óhmicas producidas por la variación

en las corrientes en función de la potencia reactiva presente.

Examinando la potencia reactiva en la misma gráfica se ve claramente la

influencia del ángulo δ en el valor de la misma. Pudiendo hacer que la máquina genere

reactiva (caso de 2 ), que la consuma (caso de 2 ), o si se escoge el

ángulo apropiado que se anule. En este caso el ángulo que anula la potencia reactiva es

muy próximo a cero.

El factor de potencia es consecuencia directa de los dos valores anteriores,

potencia activa y potencia reactiva, para cada ángulo distinto. El valor en régimen

permanente es negativo, indicando que está generando potencia útil.

4.9. SATURACIÓN MAGNÉTICA

Cuando se tienen en cuenta los efectos de la saturación se puede considerar la

curva que relaciona la tensión de fase con la intensidad de fase en una máquina de

inducción en vacío, de forma que se aprecian los efectos de la misma.

4-70 Curva de saturación del hierro Vf-If

0,0

1,0

0,0 1,0

Vf

If


94

Esta curva es aproximadamente la misma que relaciona el flujo mutuo y la

intensidad, viéndose los mismos efectos de la saturación.

La saturación del núcleo es un fenómeno que, dados los parámetros de diseño de

un motor de inducción, afecta principalmente al arranque del mismo dadas los elevados

flujos que se producen. Así mismo cuando se aumenta la tensión de alimentación de un

motor asíncrono manteniendo el par constante, aumentan también los flujos

involucrados en la inducción y por tanto es más propensa la aparición de este fenómeno.

Cuando se consideran los flujos magnéticos involucrados, se ve que la

saturación afecta principalmente al flujo mutuo entre primario y secundario, aunque

también afecta a los flujos de dispersión. Estos últimos flujos son muy pequeños

comparativamente al flujo mutuo y es por esto que se puede considerar con un error

despreciable para los propósitos del proyecto que dichos flujos tienen un

comportamiento lineal. Además la consideración de la saturación de los flujos de

dispersión requeriría del conocimiento de los detalles constructivos del motor

considerado, cosa que no siempre está disponible.

Teniendo en cuenta lo considerado en el último párrafo, el comportamiento de la

saturación del núcleo de un motor de inducción puede ser aproximado de una forma

muy razonable mediante la única saturación del flujo mutuo. Esto significa que se puede

determinar de una manera sencilla la curva de saturación del núcleo mediante la curva

de ensayo en vacío.

4-71 Flujo lineal vs flujo saturado

Chee Mun Ong propone en [4] tres formas de abordar la saturación en la

simulación por ordenador, que son:

0,0

0,0

Ψm

If

lin

m

sat

m


95

i. Usar el valor saturado apropiado de la inductancia mutua en cada paso de

la integración de las ecuaciones.

ii. Aproximar la intensidad de magnetización mediante una adecuada

función analítica del flujo mutuo saturado.

iii. Usar la relación entre los valores del flujo mutuo saturado y del flujo

mutuo lineal.

Con el método (i.) el valor de la inductancia de magnetización en un punto de la

saturación puede ser actualizado en la simulación mediante el producto de un factor ks

con la inductancia mutua. Estos valores se pueden calcular directamente del ensayo en

vacío. En la figura 4-71 se aprecia la línea del entrehierro en color azul, mientras que en

rojo está el valor del flujo mutuo saturado. La pendiente de la curva no saturada

corresponde a la inductancia mutua sin considerar la saturación, mientras que la

pendiente desde el origen hasta cualquier punto de la curva de color rojo corresponde al

valor de la inductancia mutua considerando la saturación para dicho punto.

De esta forma se puede definir:

1sat lin

m ms slin sat

m m

Ik k

I

(4-109)

Es sencillo comprobar que ks corresponde también a la relación entre la

inductancia de magnetización considerando saturación y la inductancia de

magnetización lineal.

sat sat sat

m m ms lin sat lin

m m m

I Xk

I X

(4-110)

En el método (ii.) se estima una función analítica, para calcular la diferencia

entre el flujo lineal y el flujo considerando saturación, esto es ΔΨ.

Es posible representar la curva de la disminución del flujo mutuo frente al flujo

mutuo considerando la saturación. En dicha curva tenemos tres tramos, en el primero,

que va desde el origen hasta B1 y que es la zona lineal, por razones obvias viene

aproximado por:

0 (4-111)

En la zona que comprende el codo de la saturación, entre B1 y B2 se puede

aproximar mediante la siguiente función, parametrizada con dos constantes a y b:

1( )satmb B

ae

(4-112)

Luego está la zona completamente saturada que se puede aproximar mediante la

siguiente función lineal:

2 2( ) ( )sat

mA B B (4-113)

Las constantes a, b y A se determinan a partir de los puntos medidos para que la

curva tenga cierta continuidad, de forma que a es el valor de la caída de flujo

correspondiente a B1, b es el valor que hace que la función exponencial coincida con la


96

caída de flujo en B2 y A es el valor correspondiente a la pendiente entre el valor del

punto más alejado del origen y el valor en B2.

4-72 Aproximación analítica por tramos

También se podría hacer una aproximación mediante tres rectas de las zonas

lineal, codo de saturación y completamente saturada.

El problema de este método reside en que hay que escoger previamente los

puntos B1 y B2, el primero es fácil, ya que definimos la curva a partir de los valores del

codo, pero el segundo hay que escogerlo y no es tan evidente de automatizar mediante

programación.

El método (iii.) usa la relación entre flujo lineal y flujo saturado, presenta una

ventaja muy importante respecto a los otros dos métodos, y es que el flujo mutuo es

muy fácilmente calculable en el sistema qd0 sin más que aplicar Pitágoras a las

componentes q y d del flujo. Esto es extremadamente sencillo en cada paso de la

integración si las variables de estado de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la

máquina de inducción son los flujos. Una vez calculado el flujo mutuo se le aplica la

disminución del mismo debida a la saturación y se reparte según los ejes q y d.

Como quiera que se considera únicamente los efectos de la saturación en el flujo

mutuo, así como que el rotor es liso, los efectos de la saturación afectarán

proporcionalmente a cada una de las componentes q y d del mismo. Por tanto, sabiendo

que:

1

2 2 2

m mq md

(4-114)

Es posible expresar las disminuciones de flujo debidas a la saturación de las

componentes q y d como:

0

00,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

∆ψM

ψM

B2

B1


97

mq

mq m

m

(4-115)

mdmd m

m

(4-116)

Por tanto, introduciendo la saturación en las ecuaciones (4-93) y (4-94):

'

'

qs qr aq

mq aq mq

ls lr M

XX

X X X

(4-117)

'

'

ds dr admd ad md

ls lr M

XX

X X X

(4-118)

4.10. CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE SATURACIÓN A PARTIR DE

LA CURVA DE VACÍO

Para calcular correctamente la curva de saturación a partir de la curva de ensayo

en vacío de la máquina de inducción se debe tener presente su esquema equivalente y

considerar la reducción de flujo exactamente igual que en las ecuaciones que modelan la

máquina en el sistema de referencia qd0. Como la máquina está en vacío en régimen

permanente, las intensidades del rotor son nulas, por tanto:

mq m qs mqX i (4-119)

sat amq mq mq

m

X

X (4-120)

Ahora combinando las ecuaciones:

sat a mmq m qs mq

m

X XX i

X

(4-121)

Análogamente, para el eje d.

sat a mmd m ds md

m

X XX i

X

(4-122)

Es bien conocido además que:

1 qs

qs ds s qs

b b

dv r i

dt

(4-123)

Como sat

ds ls ds mdX i , sustituyendo en (4-123) e introduciendo la ecuación

(4-122) queda:


98

1 qs a m

qs ls m ds md s qs

b b m

d X Xv X X i r i

dt X

(4-124)

De igual forma, podemos establecer para el eje d la misma ecuación:

1 qs a m

qs ls m ds md s qs

b b m

d X Xv X X i r i

dt X

(4-125)

Ahora bien, nada impide escoger como sistema de referencia el síncrono, y por

tanto las derivadas de los flujos en régimen permanente son nulas y los valores de

tensión, intensidad y flujo son constantes cuando están referidas al sistema de referencia

qd0, siendo en este caso fqd0s=Fqd0s. Además la velocidad angular del sistema de

referencia síncrono es la misma que la velocidad angular base.

4-73 Determinación de la curva de saturación.

Si se tiene en cuenta lo anterior y se adopta la relación entre fasores del sistema

de referencia abc y los valores constantes de las variables del sistema de referencia qd0

cuando este es síncrono dada por:

2 e e

as qs dsF F jF (4-126)

Se llega a la siguiente ecuación fasorial:

m aas s ls m as m

m

X XV R j X X I

X

(4-127)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7

ψ

Is


99

A partir de aquí se puede calcular muy fácilmente ψm en función de ψm. En

cambio, lo más conveniente a la hora de la simulación para mejorar en rapidez es

representar la reducción de flujo dividido por el flujo mutuo frente al flujo mutuo al

cuadrado, ya que nos evitamos ejecutar una raíz cuadrada y dos divisiones en cada ciclo

de la integración de las ecuaciones. Esto es:

2( )mm

m

f

(4-128)

Esto último se calcula directamente una vez se obtiene la primera curva.

4.11. SIMULACIONES DE UNA MÁQUINA CONSIDERANDO LA

SATURACIÓN DEL NÚCLEO MAGNÉTICO

Es bien conocido que la saturación del núcleo en las máquinas de inducción

provoca una serie de efectos, generalmente no deseados, que se van a ver en las

próximas simulaciones. Para ello se va a simular el funcionamiento de un motor de

inducción de 50 HP 60 Hz con las siguientes características.

Tabla 4-2 Características motor 50 HP con saturación

P 50 HP V0LL (RMS) I0F (RMS)

V 460 V 230V 9,9249A

f 60 Hz 322V 19,6672A

p 4 414V 38,0377A

sR 0,087 Ω 460V 51,3988A

rR 0,228 Ω 506V 69,2824A

lsL 0,801 mH 552V 105,1337A

lrL 0,801 mH 598V 152,5532A

mL 34,695 mH 644V 214,2421A

J 1,662 kg·m2

690V 303,1917A

4.11.1. ARRANQUE EN VACÍO

En esta primera simulación se va a proceder a aplicar en primer lugar la tensión

nominal y dejar que el motor arranque libremente sin rozamiento ni carga alguna. La

simulación se realizará dos veces, una con la consideración de flujo magnético lineal y

otra con consideración de flujo magnético con saturación. Posteriormente se aplicará

una tensión un 25% superior a la nominal de forma que se verá que los efectos son aún

más pronunciados.


100

4-74 Arranque en vacío con saturación. Evolución del par y velocidad. Motor de 50 HP

En primer lugar se puede observar en la figura 4-74 como las dos curvas de

evolución del par con respecto al tiempo son cualitativamente iguales, es decir, con un

par oscilante alrededor de un par medio, un par máximo alcanzado posteriormente, para

tender a cero de forma sobreamortiguada cuando se alcanza la velocidad de

sincronismo.

Obviamente la velocidad del rótor tiene, por tanto, un comportamiento también

similar. Ligero rizado en el arranque, aceleración mantenida tras el rizado y

aproximación a la velocidad de sincronismo sin sobrepasarla.

Si se observa con detenimiento se aprecia como el par en el modelo lineal tiene

una oscilación a lo largo del tiempo de mayor amplitud que el modelo saturado durante

el arranque, haciendo que el primer pico de par sea de un valor de unos 1640 Nm en el

modelo lineal frente a unos 1500 Nm, o sea una reducción de aproximadamente un

8,5%, en el modelo con saturación. Este efecto es curiosamente beneficioso, ya que se

somete a menor esfuerzo mecánico el eje en presencia de saturación que sin ella.

Se puede apreciar como también el par promedio durante el arranque aumenta

muy ligeramente, ya que la velocidad de sincronismo se alcanza ligeramente antes en el

modelo lineal que en el modelo con saturación.

Al examinar la curva característica de la figura 4-75, se aprecia como la curva

correspondiente al modelo con saturación se desplaza ligeramente hacia la izquierda y

tiene un par máximo ligeramente inferior. Al tener este motor de una característica

sobreamortiguada, la característica de régimen permanente se parecerá a la curva

bastante y por tanto se puede concluir que para un mismo par resistente el modelo


101

saturado girará a una velocidad ligeramente inferior. Esto se verá en una simulación

posterior.

4-75 Arranque en vacío con saturación. Característica par-velocidad. Motor de 50 HP.

4-76 Arranque en vacío con saturación. Envolventes de las corrientes. Motor de 50 HP.


102

En la gráfica de la figura 4-76 se han representado las envolventes de las

intensidades del estátor y el rótor. Nuevamente la oscilación de las amplitudes de las

corriente es menor en el modelo saturado que en el modelo sin saturación, pero en las

intensidades del estátor se aprecia claramente como en los primeros momentos del

arranque el pico de intensidad es superior en el modelo con saturación, en torno a un

10%, que en el modelo lineal.

Otro efecto es el provocado en el régimen permanente de las corrientes del

estátor. Se aprecia claramente como las corrientes de vacío son del orden de tres veces

mayores en el modelo con saturación que en el modelo lineal. Resulta directa la

conclusión de que las pérdidas óhmicas en el estátor son nueve veces mayores en el

modelo con saturación.

Al ser arranque en vacío las corrientes del rótor son nulas en el régimen

permanente y por tanto el efecto de la saturación no es apreciable.

4-77 Arranque en vacío con saturación. Potencias eléctricas. Motor de 50 HP

Otro efecto apreciable es el aumento de consumo de potencia reactiva en el

régimen permanente, tal y como queda claro en la figura 4-77 y provocando que durante

el arranque, una vez pasada la parte oscilatoria del mismo el factor de potencia resulte

peor en el modelo saturado que en el modelo lineal. El consumo de reactiva también se

dispara en el primer momento con un pico inicial superior.

Todos estos efectos que aparecen al considerar la saturación son más visibles

cuanto mayor es la tensión de alimentación. En las figuras 4-78 a 4-81 están

representadas las mismas gráficas ya comentadas en este epígrafe pero con una tensión

aplicada un 25% superior. De esta forma se ve como ahora el primer pico del par se ha


103

reducido en un 30% aproximadamente, la intensidad en el primer momento puede

alcanzar un valor un 50% mayor, como la intensidad de vacío es ahora unas 10 veces

superior, o como la potencia reactiva consumida ahora es todavía más alta.

4-78 Arranque en vacío con saturación U=1,25Un. Par y velocidad. Motor de 50 HP.

4-79 Arranque en vacío con saturación U=1,25Un. Característica par-velocidad. Motor de 50 HP.


104

4-80 Arranque en vacío con saturación U=1.25Un. Envolventes de las corrientes. Motor de 50 HP.

4-81 Arranque en vacío con saturación U=1.25Un. Potencias eléctricas. Motor de 50 HP.


105

4.11.2. CAMBIO BRUSCO DE PAR

Se somete en está simulación a la máquina de 50 HP con saturación descrita

anteriormente a aun cambio de par brusco. Se parte de régimen permanente senoidal

equilibrado y en vacío, o sea con un par resistente nulo, para en un instante determinado

aplicar de forma brusca un par resistente igual al par base, con una inercia de la carga

igual a 22kg·m . Una vez se alcanza el nuevo régimen permanente se retira la carga y se

deja evolucionar hasta la condición inicial de vacío.

4-82 Cambio brusco de par en presencia de saturación. Evolución del par y la velocidad. Motor de

50 HP.

Se encuentran representadas en las figura 4-82 las evoluciones del par y de la

velocidad angular de la máquina. Es apreciable como partiendo de la misma velocidad

(sincronismo por no tener par resistente alguno) evolucionan a dos velocidades

distintas, encontrando que el deslizamiento para el par base es aproximadamente un 8%

mayor en el modelo con saturación que en el modelo lineal. Cualitativamente se ve que

las curvas no sufren variación significativa.

En la figura 4-83 se encuentran representadas las envolventes de las

intensidades, mientras que en la figura 4-84 está representada la intensidad de fase a, en

el caso del estator en un intervalo de tiempo más corto de forma que se aprecie el

detalle.

Lo primero que cabe destacar de las corrientes es que la máquina en vacío del

modelo saturado tiene unas intensidades aproximadamente iguales a las intensidades de

funcionamiento con par base del modelo lineal. Por otro lado, la intensidad nominal en

el estátor es casi un 35% mayor en el modelo con saturación que en el modelo lineal. En

cuanto a las intensidades del rótor estas son solamente un 3% mayores.


106

4-83 Cambio brusco de par en presencia de saturación. Envolvente de las intensidades. Motor de 50

HP.

4-84 Cambio brusco de par en presencia de saturación. Intensidad fase a. Motor de 50 HP.


107

Otro detalle de las corrientes es que hay un desfase entre las del modelo lineal y

el modelo con saturación, con un ligero retraso del segundo respecto al primero, es de

esperar, por tanto, una mayor potencia reactiva consumida y un peor factor de potencia

para el modelo con saturación.

4-85 Cambio brusco de par en presencia de saturación. Potencias eléctricas. Motor de 50 HP.

Efectivamente, si se observa la grafica de la figura 4-85 hay una mayor

componente de potencia reactiva y por tanto un factor de potencia más desfavorable

para el modelo saturado que para el modelo lineal. La potencia activa consumida no

tiene una diferencia porcentualmente mucho más amplia en carga, salvo por la potencia

activa de las pérdidas óhmicas que es mayor debido a las mayores corrientes que se

originan tanto en el estátor como en el rótor. En vacío ya se ha visto en el epígrafe

anterior que el consumo de potencia del modelo saturado es varias veces el que muestra

el modelo lineal.

Todos estos efectos son producidos por una menor impedancia en la rama de

magnetización del circuito el equivalente, debido precisamente a la saturación.

4.11.3. REPRODUCCIÓN DE LA CURVA DE VACÍO

A continuación se procede a realizar una simulación del motor sin carga

resistente y con distintas tensiones para comprobar cómo se ajusta a la característica de

vacío original de la cual se obtuvo la curva de saturación.

Par esto se realiza la simulación partiendo del régimen permanente con una

tensión de línea inicial de 750 V. Se reduce la tensión de línea de forma continua con

una pendiente de 75 V cada segundo, hasta que se cumplen los 10 s de simulación en


108

los cuales la tensión de línea debe ser nula. Al estar la máquina en vacío la velocidad de

rotación debe ser siempre la de sincronismo que no depende de la amplitud de las

tensiones con las que se alimente la máquina y por tanto las únicas magnitudes que

varían son las eléctricas que son lo suficientemente rápidas como para considerar que en

todo momento se funciona con régimen permanente.

Con los datos obtenidos se representa en la siguiente gráfica la curva de vacío

frente a los datos originales.

4-86 Característica de vacío vs simulación. Motor 50 HP con saturación.

Resulta evidente de la gráfica que la similitud entre las dos curvas es casi

perfecta, con alguna mínima variación debida a la aproximación mediante un polinomio

de quinto orden. En cualquier caso el resultado es lo suficientemente bueno como para

dar por validos los resultados para la saturación.

En definitiva, la saturación del flujo magnético de la máquina de inducción tiene

una importancia bastante alta, especialmente en lo que se refiere al factor de potencia y

las corrientes de vacío. Es por tanto necesario evaluar previamente al análisis mediante

el modelo lineal si la máquina está en presencia de una saturación de importancia en el

punto de trabajo, o si por el contrario esta es tan pequeña que se puede dar el modelo

lineal por válido.

4. ECUACIONES DE LA MÁQUINA DE...

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