3F Exerc MatI Eng 1314 Pag 6-8

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UNIVERSIDADE LUSÍADA DE V. N. DE FAMALICÃOFaculdade de Engenharia e Tecnologias

Matemática I

Exercícios - Semana 3.

________________________________

Carlos Rego / Cecília Martins 6 2013/14

23. Considere a função f representada graficamente na figura e definida por :

( )

>

≤≤+

<≤

<

=

22

1

211

112

11

)(

2

2

x x-

-

x x

x-

- x x

x f

Com base no gráfico, determine:

23.1 o domínio e o contradomínio da função;

23.2

os valores de f (-1), f (0), f (1) e f (2);

23.3

)(lim ),(lim

),(lim ),(lim ),(lim

),(lim ,)(lim

222

11

x f x f

x f x f x f

x f x f

x x

x x x

x x

−∞→+∞→

→+→

−→

→−→

23.4 as assímptotas do gráfico de f ;

23.5 os intervalos em que a função é contínua.

24. Considere a função f representada graficamente na figura e definida por :

>+−

=

<≤+

<<−+

=

2 21

3

2 4

20x4

1

0 4 4

1

)(

2 x

x

x

x

x x

x f

Determine:

24.1 o domínio e o contradomínio da função;

24.2 os zeros da função;

24.3 os valores de f (-2), f (0), f (1), f (2) e f (6);

24.4 )(lim ),(lim ),(lim

),(lim ,)(lim

22

04

x f x f x f

x f x f

x x x

x x

+∞→+→

−→

→+−→

24.5 as assímptotas do gráfico de f ;

24.6 os pontos em que a função descontínua.




Matemática I


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25. Calcule os seguintes limites:

25.1 1

3lim

2

1+

+

→ x

x x 25.2 x- x x 13lim 2

3 +→

25.3 x-

x- x x

1

34lim

2

1+

→ 25.42

4 lim

2

2−

−

→ x

x x

25.5 x-

x- x x

4

154lim

2

4+

→ 25.6 1

lim 0 x

x→

25.71

lim

x

x −∞→ 25.8 x- x x 2lim2

−∞→

25.9 - x x 8lim 3−∞→ 25.10 x- x x 13lim 2

++∞→

25.11 1

3lim

2

1+

+

−→ x

x x 25.12

1

3lim

2

+

+

+∞→ x

x x

25.13 x x

x x

54

13lim

2

3

+−

+

−∞→ 25.14 x

x x

22lim 0

−+

→

25.15 x

x

x 3

21

lim 3 −

−+

→ 25.16 x

x x x

x 1

375

lim

23

1 −

−+−

→

25.17 x f x )(lim 1→ sendo

≥−

<

=

1 3

1 3)(

2 xse x

xse x x f

25.18 x f x )(lim 4→ sendo

≥−

<−=

4 4

4 4)(

2 xse x x

xse x x f

26. Determine, caso existam, as assímptotas horizontais e verticais dos gráficos de :

26.1 3

1)(

+=

x x f 26.2

13

14)(

2+

+=

x x f 26.3

3

32)(

+

+=

x

x x f

27. Determine os pontos em que as seguintes funções são contínuas e em que são descontínuas:

27.1 22

1)(

+

+=

x

x x f 27.2

≥

<=

2 3-2

2 -5)(

xse x

xse x x f

27.3

=

≠−=

1 0

1 1

23

)(

2

xse

xse x

-x- x

x f 27.4

≥

<+=

1 4112)(

2

2

se x x- x se x x f




Matemática I


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28. Determine o valor de c tal que a função seja contínua em toda a recta real.

≥+

<+=2 62 3)(

xsecx xse x x f

29. A função 2009,4)( 2+−= t t s fornece a altura (em metros) de um objecto que caiu de uma

altura de 200 metros. A velocidade no instante t = a segundos é dada por

t a

t sas at

−

−

→

)()(lim (metros por segundo , ms

-1)

29.1

Encontre a velocidade do objecto quando t = 4 s.

29.2 Com que velocidade se dá o impacto do objecto com o solo?

30. A determinação do zero absoluto deriva do trabalho do físico francês Jacques Charles

(1764-1823). Charles descobriu que o volume de um gás a pressão constante aumenta

linearmente com a temperatura do gás. Por exemplo, a relação entre o volume ( V em litros)

e a temperatura (T em graus Celsius - ºC) de um mol de hidrogénio à pressão de uma

atmosfera pode ser modelada pela equação 4334,2208213,0 += T V .

Resolva a equação anterior em ordem a T e, sabendo que o volume do gás se pode

aproximar de 0 (mas nunca ser igual ou inferior a zero), determine a “menor temperatura

possível”, ou seja, a temperatura do zero absoluto em ºC ( = 0 K na escala Kelvin).

31. Uma indústria de produção queima carvão para gerar electricidade. O custo C em euros para

remover p% dos poluentes do ar nas emissões das chaminés é p

p

C −= 100

80000

, 0 ≤ p ≤ 100 .

Determine o custo para remover (a) 15%, (b) 50%, (c) 90% dos poluentes. (d ) Encontre o

limite de C quando p →100-.

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