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Captulo 2 Conceptos bsicos de Dinmica Estructural

Autor: Alfredo A. Pez Robles ESIA-ZAC Pgina 23

Captulo 2

Conceptos bsicos de Dinmica Estructural

2.1 Introduccin a las vibraciones mecnicas

Los problemas de vibraciones los podemos encontrar en diver-

sos sistemas y van desde problemas de vibraciones en maqui-

naria debido a desbalanceos en sus masas, vibraciones en las

estructuras que soportan dichas maquinarias, vibraciones en

edificaciones debidas a movimientos ssmicos, hasta vibracio-

nes en fuselajes de aeronaves, solo por mencionar algunos de

los problemas en donde se deben de evaluar los efectos de las

vibraciones mecnicas.

En Mxico se emplea el sistema mtrico decimal, en donde las

unidades base son:

Longitud: Metro( m)

Fuerza: Kilogramo (kg)

Tiempo: Segundo (s)

Este es un sistema gravitacional en donde las fuerzas depen-

den del valor de la aceleracin de la gravedad.

El Kilogramo (kg) tambin llamado kilogramo fuerza, es lo que

pesa un Kilogramo masa o kilogramo patrn (cilindro de Platino

e Iridio que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesas y

Medidas cerca de Pars) y estar en funcin de la aceleracin

de la gravedad (g).

De acuerdo con la segunda ley de Newton: La fuerza resultante

aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa y la acele-

racin del cuerpo:

Por lo tanto, el peso o la fuerza debida a la atraccin gravitacio-

nal, es:

Y la masa en nuestro sistema, es una unidad derivada:

La unidad de masa se denomina unidad tcnica de masa

(UTM):

En cambio en el sistema internacional (SI), la masa es una can-

tidad base y es la cantidad de masa del Kilogramo Patrn que

convencionalmente se le asign una masa de un kilogramo. En

el SI, la unidad de fuerza es derivada, teniendo la idea de que

una fuerza se mide por la aceleracin que produce, as, la fuer-

za necesaria para que un cuerpo de 1 kg (masa) se acelere 1

m/s2 recibe el nombre de Newton (N) :

Entonces, el kilogramo masa pesa 9.81 N, considerando que la

aceleracin gravitacional vale 9.81 m/s2. As, si en el sistema

mtrico decimal un kilogramo fuerza es lo que pesa un kilogra-

mo masa, esto es, 1 kgfza= 9.81 N, entonces, 1 N = 0.10191

kgfza.



En el estudio de la dinmica estructural se debe de tener en

cuenta que las cargas o excitaciones, son fuerzas cuya magni-

tud, direccin o punto de aplicacin puede variar en funcin del

tiempo.

Debido a lo anterior, en nuestro estudio se considera con carc-

ter dinmico cualquier accin, propiedad o respuesta de la es-

tructura que vare en funcin del tiempo.

2.1.1 TIPOS DE EXCITACIONES DINAMICAS

a).- Excitaciones Peridicas: Son aquellas que se repiten por

ciclos a lo largo del tiempo:

T

Figura 2.1 Funcin peridica con amplitud F0, repite todas sus

caractersticas despus de un tiempo determinado llamado pe-

riodo T.

Con esta funcin se puede representar el problema que apare-

ce en maquinarias que tienen ciertas excentricidades.

b).- Excitaciones no-peridicas: Se identifican segn su dura-

cin, como cortas, medianas y de larga duracin.

Figura 2.2 Cargas de corta duracin, se aplican en perodos de

tiempo pequeos que se denominan impulsos.

F (t)

t



Para saber si la duracin es pequea o no, se debe de compa-

rar con el perodo de la estructura. Por ejemplo, las explosiones

son cargas de impulso. Ya que su duracin puede ser mucho

menor que la del periodo de oscilacin de la estructura:

A,(g)

Figura 2.3 Cargas de mediana duracin. En caso de registros

ssmicos, hay grandes impulsos que daan la estructura.

Aunque los sismos pueden ser cargas que contengan impulsos,

se consideran cargas de mediana duracin. La aceleracin del

terreno debido a un sismo, es un ejemplo de este tipo de carga.

Cargas dinmicas de Larga Duracin

Cargas de Viento en estructuras (puede durar horas)

Fuerzas de oleaje en Plataformas Marinas

Cargas de corrientes submarinas

2.1.2 Caractersticas de los problemas dinmicos

A diferencia de los problemas estticos, los parmetros

en los problemas dinmicos estn en funcin del tiempo,

esto es, tanto las caractersticas de la carga o excita-

cin, como las de las propiedades de la estructura,

varan o dependen del tiempo.

Tambin se generan fuerzas de inercia al perturbar el

equilibrio de las masas de la estructura, tales fuerzas de

inercia son de sentido contrario al desplazamiento x, ya

que la inercia es la propiedad de la masa de oponerse al

cambio de movimiento. Las fuerzas de inercia son pro-

porcionales a la aceleracin y valen:

2.1.3 Equilibrio Dinmico

Imaginemos que podemos tomar una fotografa de una estruc-

tura en movimiento en un instante de tiempo, para que se pue-

da plantear la ecuacin de equilibrio con todas las fuerzas que

intervienen en ese instante, a este planteamiento se le conoce

como equilibrio dinmico o Principio de DAlembert.



Con el procedimiento anterior se puede establecer la ecuacin

de movimiento de la estructura.

Figura 2.4 Fuerzas que intervienen en el equilibrio dinmico de

una estructura: Fuerzas elsticas , Fuerzas de amortiguamien-

to , Fuerzas de inercia .

En ese instante de tiempo (t), se tienen que considerar las si-

guientes fuerzas que intervienen cuando a la estructura se le

perturba con la aplicacin de una fuerza dinmica:

1. Fuerzas restauradoras elsticas (o inelsticas)

2. Fuerzas de amortiguamiento

3. Fuerzas de inercia

4. Fuerzas excitadoras

Considerando que la masa de la estructura de la figura 2.4 se

concentra principalmente al nivel de la trabe y de la losa, el dia-

grama de cuerpo libre para aplicar el equilibrio dinmico en la

direccin del movimiento, ser:

(2.1)

Por lo tanto, la ecuacin de movimiento del sistema es:

(2.2)

1.- Fuerzas Restauradoras (fs): En el ejemplo anterior las co-

lumnas del marco se deforman elsticamente y proporcionan

una fuerza de sentido contrario al desplazamiento.

Si las columnas se mantienen trabajando elsticamente siguen

una ley de variacin elstica en funcin de su rigidez y del des-

plazamiento. En este caso habra fuerzas elsticas restaurado-

ras en ambos sentidos, ya que la masa se desplazara de iz-

quierda a derecha y despus en sentido contrario, hasta el des-

plazamiento mximo xo.

P(t) m

fs fs

fd

x



fS

k

1

-xo xo x

Figura 2.5 Relacin fuerza-deformacin para un sistema elsti-

co, fs = k x (obviando que el desplazamiento est en funcin del

tiempo x x(t) ).

Cuando los desplazamientos de las columnas son grandes, el

comportamiento elstico deja de ser vlido y pasa a ser inelsti-

co, a partir del punto A de la fig. 2.6, en tal caso las fuerzas ya

no dependen solo del desplazamiento , sino tambin de la ve-

locidad de la masa y de la historia de desplazamiento previa, es

decir, cuando los elementos resistentes llegan a la fluencia,

sufren deformaciones ms grandes que las que se presentaron

en la etapa elstica, por lo que el material de la estructura se

degrada perdiendo tanto rigidez como resistencia en cada ciclo

de carga.

En el punto C de la figura 2.6 se inicia la descarga despus de

que la estructura ha fluido por primera vez y en ese instante la

velocidad de la masa vale cero ( ), para comenzar a incre-

mentarse pero con un movimiento de sentido contrario de la

masa por lo que la deformacin disminuye e incluso puede

cambiar de signo cuando la velocidad de la masa es negativa

.

Tambin se observa que en los ciclos de carga y descarga pos-

teriores hay prdida de resistencia y tambin prdida de rigidez

(tramo D-E con menor pendiente), debida a la degradacin del

material de la estructura, como por ejemplo el agrietamiento del

concreto o pandeos locales en la estructura de acero, entre

otros factores.



Figura 2.6 Relacin fuerza-deformacin para un sistema inels-

tico.

2.- Fuerzas de amortiguamiento (fd): Las fuerzas de amortigua-

miento son de sentido opuesto al movimiento y disminuyen su

amplitud en cada ciclo. En un edificio tales fuerzas pueden ge-

nerarse en la friccin de las conexiones en el caso de estructu-

ras de acero, de la friccin que se genera al abrirse y cerrarse

las grietas en el caso de estructuras de concreto y mamposte-

ra, y tambin de la friccin entre la estructura y los elementos

no estructurales.

En la prctica, solo es posible medir la cantidad de amortigua-

miento en cada estructura a travs de instrumentacin y medi-

cin del decremento de las amplitudes de cada ciclo cuando la

estructura se encuentra vibrando libremente.

Analticamente, la fuerza de amortiguamiento se puede idealizar

por medio de un amortiguamiento viscoso que genera una fuer-

za directamente proporcional a la velocidad de la masa :

En donde c es el coeficiente de amortiguamiento de la estructu-

ra.

3.- Fuerzas de inercia (fi): Las fuerzas de inercia tambin son de

sentido contrario al movimiento ya que la inercia es la propiedad

de la masa de oponerse al cambio de movimiento y tambin son

proporcionales a la aceleracin de la masa de acuerdo con la

segunda ley de Newton:

Es por eso que en estructuras con poca masa, como es el caso

de las techumbres ligeras de los almacenes y bodegas, las

fuerzas de inercia son pequeas en comparacin con las fuer-

zas del empuje del viento y no rige el diseo por sismo.



4.- Fuerzas Excitadoras : Las fuerzas excitadoras pueden

ser peridicas o no peridicas aplicadas al nivel de las masa o

pueden ser fuerzas equivalentes debidas a la aceleracin del

terreno en la base de la estructura debidas al sismo.

En el caso de estructuras que soportan maquinaria las fuerzas

se pueden definir como: .

En donde es la frecuencia de vibracin de la maquinaria o

fuerza excitadora.

Y las fuerzas equivalentes debidas al sismo:

En donde: es la aceleracin del terreno debido al sismo.

2.1.4 Modelacin de la estructura

En los textos de vibraciones mecnicas se acostumbra a utilizar

el modelo que se muestra en la figura 2.7, en tal modelo se

desprecia la friccin de las ruedas con las que se desplaza la

masa y su peso queda equilibrado por la reaccin vertical entre

el piso y las ruedas, tales fuerzas no se consideran en la ecua-

cin de movimiento en el sentido horizontal.

El modelo puede representar todas las fuerzas consideradas en

el modelo de la figura 2.4 y se le puede llamar oscilador simple

con amortiguamiento.

Figura 2.7 Oscilador simple con amortiguamiento

Por otra parte, se sabe que el grado de libertad de una estructu-

ra, es el nmero de coordenadas independientes, necesarias

para describir la posicin o configuracin deformada de una

estructura y para los problemas dinmicos, en cualquier instante

de tiempo, en el plano, una partcula tiene 2 grados de libertad

(dx, dy) y un cuerpo rgido en tiene 3 Grados de Libertad (dx, dy,

).



En una estructura se pueden tener un nmero infinito de grados

de libertad, ya que tiene una infinidad de puntos, por ser conti-

nua, pero para el marco de la figura 2.8, se pueden discretizar

los grados de libertad a seis grados de libertad, dos desplaza-

mientos y un giro en cada nodo libre del siguiente marco:

GL = 6

Pero si:

1.- Las columnas son muy

rgidas axialmente.

2.- Y la viga tambin.

Figura 2.8 Grados de libertad de un marco plano GL=6

Si no consideramos la deformacin axial de la viga y de las

columnas, solo necesitamos calcular uno de los dos desplaza-

mientos horizontales y no hay desplazamiento vertical en las

direcciones 2 y 5, por lo tanto el grado de libertad se reduce de

6 a 3 desplazamientos desconocidos, es decir, dos desplaza-

mientos angulares en las direcciones 3 y 6 y un desplazamiento

lineal horizontal en la direccin 1.

Si consideramos que la viga es totalmente rgida en flexin,

entonces solo tendramos el desplazamiento horizontal desco-

nocido, entonces GL=1. A esta deformacin de las columnas de

la estructura, sin giro en ambos extremos, se le conoce como

deformacin de cortante.

GL = 1

Figura 2.9 Marco con deformacin por cortante GL=1



Si sometemos al sistema anterior a una excitacin o carga

dinmica y tendremos un sistema dinmico de un solo grado de

libertad:

Figura 2.10 Marco plano para anlisis dinmico.

La masa de las columnas es muy pequea comparada con la

de la viga o sistema de piso, entonces se considera que la ma-

sa est concentrada al nivel de la viga o sistema de piso y es

ah donde se deben considerar las fuerzas de inercia.

Las columnas aportan rigidez o fuerzas elsticas:

Figura 2.11 Rigidez al corte de columnas de marco plano.

Y por las dos columnas la rigidez lateral valdr:

El modelo anterior se puede hacer equivalente a un Oscilador

simple sin amortiguamiento, como el mostrado en la figura 2.12.

Figura 2.12 Oscilador simple sin amortiguamiento



Cuando se analizan estructuras en 3 dimensiones como la que

se muestra en el problema 2.1, se puede considerar la defor-

macin de cortante si el diafragma o sistema de piso es muy

rgido y entonces se tendran 3 grados de libertad al nivel de

cada losa donde se supone que se concentra la masa, esto es,

desplazamiento de traslacin en X en Y y la rotacin o torsin

del entrepiso con respecto al centro de masas alrededor del eje

vertical Z.

2.2 Respuesta de sistemas con un grado de libertad

A continuacin se desarrollar el planteamiento para encontrar

la respuesta de sistemas de un solo grado de libertad ante dife-

rentes tipos de excitaciones, lo anterior es importante, debido a

que el comportamiento general de modelos de mltiples grados

de libertad se puede entender a travs de planteamientos de

sistemas ms simples.

Tambin como se explic en el captulo anterior los espectros

de respuestas se construyen a partir del anlisis de modelos de

un solo grado de libertad.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo T, se le

llama movimiento peridico, y la frecuencia con que se repite un

ciclo es: en Hertz o ciclos por segundo.

Figura 2.13 Sistema masa-resorte con movimiento armnico.

En la figura 2.13 se ilustra el registro del movimiento armnico

en una tira de papel, en donde A es la amplitud de la oscilacin

medida a partir de la posicin de equilibrio de la masa y T es el

periodo del movimiento.



El movimiento peridico ms simple es el armnico, y se puede

representar a travs de una funcin armnica como el seno o el

coseno, en el caso del sistema masa-resorte de la figura 2.13,

el movimiento se puede representar como: .

Figura 2.14 Proyeccin sobre una circunferencia del movimien-

to armnico.

El movimiento armnico se puede representar como la proyec-

cin de un punto sobre una circunferencia cuyo ngulo est en

funcin de la frecuencia angular y del tiempo, como se muestra

en la figura 2.14:

El movimiento armnico se repite cada 2 radianes y sabiendo

que el tiempo que transcurre al completarse cada ciclo es el

periodo T, entonces la frecuencia de vibracin del movimiento

expresada en radianes por segundo es:

Si el desplazamiento del movimiento armnico lo representa-

mos como:

(2.3)

Podemos obtener la velocidad y la aceleracin derivando con

respecto al tiempo:

(2.4)

(2.5)

De donde: (2.6)



2.2.1 Respuesta en vibracin libre sin amortiguamiento

La ecuacin que describe el movimiento de un sistema en vi-

bracin libre sin amortiguamiento, como nuestro sistema masa-

resorte de la figura 2.13 es:

(2.7)

Sustituyendo la ecuacin 2.6 en la expresin anterior:

De donde: o tambin:

La frecuencia se le denomina frecuencia natural de vibracin

y en lo consiguiente se designar como .

La solucin de esta ecuacin diferencial lineal de segundo or-

den, con coeficientes constantes y homognea es:

(2.8)

Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin 2.7:

En donde se tienen dos races:

Las races anteriores son complejos conjugados:

La solucin general es la combinacin lineal empleando las dos

raices:

(2.9)

A partir de las condiciones iniciales del movimiento y empleando

la ecuacin de Euler :

La ecuacin 2.9 se puede transformar en:

(2.10)

La transformacin anterior es similar a la que se presenta ms

adelante para la ecuacin 2.23. Tambin la ec. 2.10, es equiva-

lente a la ec. 2.3, pero considerando un ngulo de fase :

(2.11)

Se considera un ngulo de fase , ya que al desplazar la masa

de la figura 2.13 de su posicin de equilibrio, el movimiento no

inicia necesariamente en fase, es decir, desde el origen, ms

bien, adelantado con un desplazamiento inicial x0 , que es ne-

cesario aplicar, para que el sistema quede vibrando libremente,

como se muestra en la figura 2.15.

Empleando la siguiente identidad trigonomtrica, la ecuacin

2.11 se transforma en:



Llamando: C1= y C2 = (2.12)

Sustituyendo C1 y C2 en la expresin anterior se obtiene la

ecuacin 2.10.

Debe de inducirse un desplazamiento y una velocidad inicial al

sistema para sacarlo de su posicin de equilibrio para que el

sistema comience a vibrar, y a partir de esas condiciones inicia-

les, se pueden determinar las constantes de la ecuacin 2.10.

Sustituyendo t=0 en la ecuacin 2.10 :

Y para la velocidad inicial, derivamos la ec. 2.10 :

Entonces la velocidad inicial para t=0:

Por lo tanto, C1 es igual al desplazamiento inicial:

Y C2 est en funcin de la frecuencia y la velocidad inicial:

Sustituyendo las constantes en la ecuacin 2.10:

(2.13)

Ahora podemos calcular la amplitud A, empleando las ecuacio-

nes 2.12:

(2.14)

Y el ngulo de fase es:

(2.15)

Figura 2.15 Vibracin libre a partir de las condiciones iniciales.



Problema 2.1 Considere la siguiente estructura de un puente,

en donde se desea calcular la frecuencia y periodo natural de

vibracin de:

Z

d = 10 m Y

b = 7 m

h = 4 m X

N

a) Del movimiento en la direccin Este-Oeste

b) Del movimiento en la direccin Norte-Sur

c) Del movimiento de Torsin con respecto el eje vertical centroidal Z

Datos:

La dimensiones de la losa del puente son: 10 x 7 x 0.3 m

Sobre carga de la estructura: Cm adicional + Cv = 1000 kg/m2

Las columnas son IR 203 X 46.2, cuyas propiedades son:

Ixx= 3446.4 cm4 Iyy= 762 cm

4

E = 2038,000 kg/cm2

Solucin:

a) Direccin Este-Oeste

Clculo de rigidez lateral por cada columna:

Kx = 12EIxx/h3 = 1317 kg/cm

Como hay cuatro columnas en esta direccin:

KE-W = 4 (131700)= 526800 kg/m

Determinacin de la masa de la estructura:

El peso sobre la losa es: W= 1000 x 10 x 7= 70,000 kg

El peso propio vale: Wpopo= 2400 x 10 x 7 x 0.3= 50,400 kg

Clculo de la frecuencia natural y el periodo:



b) Direccin Norte-Sur

Clculo de rigidez lateral por cada columna:

Ky = 12EIyy/h3 = 291 kg/cm

Como hay cuatro columnas en esta direccin:

KN-S = 4 (29100)= 116400 kg/m

Clculo de la frecuencia natural y el periodo:

c) Clculo de la frecuencia torsional del entrepiso:

En donde:

es la rigidez torsional del entrepiso

es la inercia rotacional de la masa del entrepiso

Clculo de la rigidez torsional del entrepiso:

En donde: y es la distancia del centroide de la columna

al centro de rigidez o centro de torsin Ct del entrepiso, que en

este caso, coincide con el centro de masas por tener una distri-

bucin simtrica de rigideces como se ilustra en la planta de la

estructura en la figura 2.16.

Como se ha considerado el origen del sistema de referencia en

el centroide de la planta, entonces las coordenadas del centro

de torsin Ct son: xt= 0, Yt=0

Clculo de la Inercia rotacional:



Figura 2.16 Planta de la estructura en torsin

La frecuencia rotacional de la estructura vale:

Problema 2.2 Calcular la historia de desplazamientos para la

direccin Norte Sur, de la estructura del ejercicio anterior, a la

cual se le ha sacado de su posicin de equilibrio a partir de las

condiciones iniciales que se indican a continuacin, y ha que-

dado vibrando libremente.

a) Desplazamiento inicial 15 cm ; Velocidad inicial = 0

cm/s

b) 15 cm ; = 80 cm/s

Considere los 5 primeros segundos del movimiento:

Solucin:

Empleando la ecuacin 2.13:

La frecuencia y el periodo calculados anteriormente son:

Como cada ciclo de vibracin se completa en 2.04 s, se propo-

ne realizar los clculos a cada 0.05 s, para tener alrededor de

40 puntos de la grfica en cada ciclo.

Se propone utilizar una hoja electrnica para facilitar los clcu-

los:



Se observan ms de dos ciclos durante 5 s; para el primer caso

la velocidad inicial es cero, por lo que la pendiente de la tangen-

te en ese punto es nula, entonces el desplazamiento inicial de

15 cm es la amplitud mxima.

Para el segundo caso, se tiene una velocidad inicial de 80 cm/s,

por lo que la amplitud mxima crece hasta 30 cm.

2.2.2 Respuesta en vibracin libre con amortiguamiento

La ecuacin de movimiento que incluye fuerzas de amortigua-

miento es:

(2.16)

Consideraremos que la fuerza de amortiguamiento es propor-

cional a la velocidad de la masa, y se conoce como amortigua-

miento viscoso:

En donde:

c = Coeficiente de amortiguamiento del sistema

Las fuerzas de amortiguamiento son tambin restitutivas, es

decir, que se oponen al sentido del movimiento.



La estructura que se muestra a continuacin, incluye ahora una

fuerza de amortiguamiento viscoso que se debe considerar en

la ecuacin de movimiento:

Figura 2.17 Estructura en vibracin libre con amortiguamiento.

El diagrama de cuerpo libre para la masa del sistema ahora

ser:

Diagrama de Cuerpo libre

Entonces la solucin de la ecuacin 2.16 es:

Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin 2.16:

En donde se tienen dos races:

Si el amortiguamiento de la estructura se puede expresar como:

y el valor del amortiguamiento crtico es: ,

tenemos que:

Entonces las races son:

(2.17)

m

Kc Kc

FA

x



Dependiendo del valor del amortiguamiento del sistema se deri-

van 3 casos para la solucin de las races anteriores:

Caso 1. Sistema con amortiguamiento crtico:

Cuando entonces

Por lo tanto:

Solo hay una raz y el movimiento no presenta oscilaciones.

Caso 2. Sistema Sub-amortiguado:

Cuando entonces

El sistema oscilar disminuyendo progresivamente la amplitud

del movimiento.

Caso 3. Sistema Sobre-amortiguado:

Cuando entonces

El sistema regresa a su posicin de equilibrio sin oscilar pero

ms lentamente que en el caso del amortiguamiento crtico.

Estudiaremos el caso 2 para sistemas sub-amortiguados por ser

de mayor inters prctico en dinmica estructural.

La solucin del caso sub-amortiguado es la combinacin lineal

empleando las dos races resultantes:

(2.18)

Como el porcentaje de amortiguamiento es , entonces el

valor dentro del radical de la ecuacin (2.17) es:

Llamando frecuencia natural amortiguada

Las dos races son complejas y conjugadas:

Por lo tanto, la solucin general es la combinacin lineal emple-

ando las dos races:

(2.19)

Despejando las constantes de la ecuacin a partir de las condi-

ciones iniciales:

Para t=0 el desplazamiento inicial es: (a)

Y la velocidad inicial es: (b)



Multiplicando la ec.(a) por y sumando a la (b):

Recordando que la resta de los conjugados complejos es dos

veces la parte imaginaria:

Sustituyendo el valor de :

Despejando C2 de la ec. (a):

Por lo tanto, tambin las constantes son complejos conjugados:

Sustituyendo en la ecuacin 2.19:

(2.20)

Recordando que la suma de dos complejos conjugados es dos

veces la parte real:

(2.21)

Recordando tambin que el producto de dos complejos es:

La parte real del producto es: (c)

En nuestro caso el producto de complejos es:

En donde C y valen:

(d)

(e)

Calculando la parte real del producto empleando la ecs. c,d y e:

Por lo tanto:

Sustituyendo en la ecuacin (2.21):

(2.22)



La ecuacin anterior se puede escribir como:

] (2.23)

En donde las constantes valen:

La expresin 2.23, es similar a la 2.10 que corresponde al caso

de vibracin libre no amortiguada pero ahora se ha atenuado

por la funcin exponencial, que hace que las amplitudes dismi-

nuyan en el tiempo debido al amortiguamiento del sistema .

Anlogamente la expresin anterior tambin se puede escribir

como:

(2.24)

Y la amplitud se calcula ahora como:

(2.25)

Y el ngulo de fase es:

(2.26)

Donde la frecuencia natural amortiguada y el periodo amorti-

guado son:

(2.27)

(2.28)

Empleando la expresin anterior, podemos escribir la relacin:

(2.29)

Por otra parte, el rango de valores de amortiguamiento estructu-

ral est entre 2% y 20%, por ejemplo para , la relacin

anterior resulta cercana a la unidad:

Lo anterior indica que si el amortiguamiento es bajo, la fre-

cuencia natural amortiguada es casi igual a la del sistema en

vibracin libre sin amortiguamiento.

Problema 2.3 Repetir el inciso b) del ejemplo 2.2 para los si-

guientes valores de amortiguamiento y comente los resultados:

Considere 10 segundos del movimiento

Solucin:

Utilizaremos ahora la ecuacin 2.22 y 2.27 correspondientes al

caso de vibracin libre amortiguada:

Para :

A continuacin se muestran algunos valores empleando la hoja

electrnica de clculo para facilitar los clculos:



Se observa que los sistemas con mayor amortiguamiento, redu-

cen la amplitud en menor tiempo y menor nmero de ciclos.

2.2.3 Decremento logartmico

Es de inters prctico poder conocer el valor del amortigua-

miento de un sistema estructural, lo anterior se puede realizar

de manera experimental a travs de la observacin de las am-

plitudes de dos ciclos consecutivos cuando el sistema se en-

cuentra en vibracin libre.

Tal metodologa recibe el nombre de Decremento Logartmico y

a continuacin se establece su planteamiento y se dan algunos

ejemplos prcticos:

Si consideramos la razn entre dos amplitudes del movimiento

consecutivas, empleando la ecuacin 2.24, :

Al logaritmo natural del cociente de dos amplitudes consecuti-

vas lo llamaremos Decremento Logartmico :

Cuando el amortiguamiento del sistema es bajo como es el ca-

so del amortiguamiento estructural, la expresin anterior se

simplifica:

(2.30)

Si las amplitudes se miden durante m ciclos de observacin del

movimiento, el cual se repite cada TD, y procedemos anloga-

mente:

(2.31)



Despejando el valor del amortiguamiento de la ecuacin 2.31:

(2.32)

Tambin es usual, escoger dos valores de amplitud hasta que la

amplitud despus de m ciclos sea la mitad del valor inicial, esto

es:

Cuando ocurre lo anterior, la expresin 2.32 se puede aproxi-

mar de la siguiente manera:

(2.33)

Habr que observar en cuantos ciclos la amplitud se reduce a la

mitad de su valor inicial, esto es, determinar .

As, empleando la ecuacin 2.33, se puede establecer la rela-

cin entre el valor del porcentaje de amortiguamiento y el nme-

ro de ciclos , adems se puede comprobar los valores de la

tabla siguiente de manera aproximada observando las grficas

del problema 2.3:

(ciclos)

2% 5.5

5% 2.2

10% 1.1

20% 0.55

No es posible evaluar analticamente la fraccin del amortigua-

miento de determinada estructura, debido a la incertidumbre

que hay en los valores de su rigidez k y de su masa m.

Por eso, en la prctica, es posible instrumentar modelos de la-

boratorio o estructuras reales para poder determinar su porcen-

taje de amortiguamiento . Como es ms fcil medir las acele-

raciones experimentalmente, la expresin 2.32, se puede em-

plear como:

(2.34)



Problema 2.4 A partir del registro de aceleraciones de un mo-

delo en vibracin libre, determinar el porcentaje de amortigua-

miento del sistema.

Ciclo Tiempo (s) Aceleracin mx.(g)

1 1.2 0.82

21 5.4 0.033

Solucin:

Emplearemos la ecuacin 2.34

2.2.4 Respuesta ante excitacin armnica

Las cargas armnicas se presentan en los problemas de desba-

lanceo de maquinarias pero su estudio es de utilidad para el

anlisis smico dinmico.

En la figura 2.18 se incluye una fuerza externa o excitadora que

hace que el sistema se comporte dinmicamente:

Diagrama de Cuerpo libre

Figura 2.18 Estructura en vibracin libre con amortiguamiento.

Para el sistema de la figura anterior, la ecuacin de movimiento

es:

(2.35)

P(t) m

Kc Kc

FA

x



En este caso, podemos definir la carga o fuerza de excitacin

con una magnitud que vara de acuerdo a una funcin arm-

nica como el seno en funcin del tiempo y con una frecuencia

angular :

La ecuacin de movimiento sin considerar amortiguamiento es:

(2.36)

La solucin de la ecuacin de movimiento anterior, tambin es

armnica y tiene ahora la siguiente forma:

(2.37)

Sustituyendo el valor de y de en 2.35:

Sustituyendo H en la ecuacin 2.37, se tiene la respuesta del

movimiento debido a la carga armnica y recibe el nombre de

solucin particular:

La relacin de la frecuencia de la excitacin a la frecuencia na-

tural del sistema la podemos designar como:

Adems, en la expresin anterior se puede sustituir la deforma-

cin esttica

(2.38)

La solucin particular corresponde a la vibracin forzada, en

este caso debido a una fuerza armnica y tambin se le conoce

como respuesta estacionaria o permanente, porque permanece

debido a la fuerza excitadora en el sistema.

La solucin debe incluir la parte complementaria que corres-

ponde al caso de vibracin libre ecuacin 2.10:



Esta parte de la respuesta tambin se le conoce como respues-

ta transitoria, porque aunque en teora, la vibracin libre perma-

necera indefinidamente, en realidad la vibracin disminuye pau-

latinamente, debido a las fuerzas de amortiguamiento inheren-

tes en todos los sistemas y eventualmente el movimiento cesa,

por lo que la respuesta se denomina transitoria.

Por lo tanto, la solucin completa incluyendo las dos partes es:

(2.39)

Se pueden determinar las dos constantes de la expresin ante-

rior, a partir de las condiciones iniciales: .

Aplicando la primera condicin a la ec. 2.39, para t=0 :

Derivando la ecuacin 2.39:

Aplicando la segunda condicin, para t=0, y despejando C2 :

Sustituyendo las constantes en la ec. 2.39:

(2.40)

La parte de la solucin que considera la respuesta permanente

o estacionaria, contiene el trmino , el cual amplifica la

deformacin esttica , por lo que se le llama factor de ampli-

ficacin dinmica.

Para el caso de vibracin con carga armnica con amortigua-

miento, se puede realizar un desarrollo anlogo y llegar a la

siguiente expresin, que tambin es la suma de la solucin

complementaria o transitoria ms la solucin particular o esta-

cionaria:

(2.41)



En este caso la respuesta permanente o estacionaria contiene

el trmino , que es el factor de amplificacin de

la deformacin esttica .

Las constantes de la ecuacin y , se calculan aplicando las

condiciones iniciales empleando la respuesta total de la ecua-

cin 2.41.

Se puede plantear como ejercicio la deduccin de la ecuacin

2.41 y la grfica del factor de amplificacin dinmica para este

caso en funcin de la relacin de la frecuencia de la excitacin

con respecto a la del sistema, para observar la tendencia de la

amplificacin cuando .

2.3 Respuesta de sistemas con varios grados de libertad

A continuacin se plantearn las ecuaciones de movimiento

para sistemas de varios grados de libertad:

Z

d = 10 m Y

b = 7 m

X

h = 4 m

N

Figura 2.19 Estructura de 6 grados de libertad, 3 por cada nivel



En la figura 2.19 se muestra una estructura con 6 grados de

libertad, considerando que cada sistema de piso es un diafrag-

ma rgido, esto es, la rigidez en su plano es mucho mayor que

la de las columnas portantes, por lo que tendremos 3 grados de

libertad por cada losa, traslacin en la direccin X, traslacin en

la direccin Y, y el giro del entrepiso alrededor del eje vertical Z.

Figura 2.20 Equilibrio dinmico de Estructura de 2 grados de

libertad

Si planteamos el equilibrio dinmico solo en la direccin X, la

estructura tendra un grado de libertad por nivel, como se mues-

tra en la figura 2.20, observe que los desplazamientos que se

consideran x1 y x2 son desplazamientos relativos, as, el dia-

grama de cuerpo libre para la masa del segundo nivel ser:

Y para el primer nivel:

Tomando en cuenta que la aceleracin total de cada una de las

masas es la suma de la aceleracin del terreno , ms la ace-

leracin propia de cada masa :



Para la masa 1:

Para la masa 2:

Rescribiendo las ecuaciones anteriores en forma matricial:

En la expresin anterior observamos que la aceleracin del te-

rreno debida al sismo, se puede tomar como una fuerza equiva-

lente de excitacin y la podemos escribir en funcin de la matriz

de masas multiplicada por un vector unitario J, como:

Finalmente, la ecuacin de movimiento en forma matricial es:

(2.42)

La ecuacin matricial anterior, se puede generalizar para n ma-

sas e incluir fuerzas de amortiguamiento, as tendremos un sis-

tema de ecuaciones de n x n :

(2.43)

2.3.1 Valores propios o caractersticos

Si consideramos a la estructura en vibracin libre y sin amorti-

guamiento, la ecuacin 2.42 se transforma en:

(2.44)

Se plantear la siguiente solucin para la estructura vibrando

libremente, que es una solucin anloga a la de un sistema de

un grado de libertad, en este caso , es un vector de amplitudes

para cada una de las masas:



(2.45)

Derivando dos veces:

(2.46)

(2.47)

Sustituyendo en la ecuacin de movimiento:

(2.48)

En la ecuacin anterior, hay tres posibles soluciones:

a) Cuando A = 0 ; no hay amplitud del movimiento esta solu-

cin no interesa y se le denomina trivial.

b) Cuando ; solo se cumple para determina-

dos valores del argumento.

c) Cuando ; Este es un sistema de ecuacio-

nes lineales homogneo y para que existan valores de la ampli-

tud A distintos de cero, el determinante del sistema debe ser

nulo:

Desarrollando el determinante se llega a un polinomio de grado

n igualado a cero, el cual tendr n races ( ), al cual se le co-

noce como polinomio caracterstico.

En algebra lineal a este problema se le conoce como problema

de valores caractersticos, valores propios o eigen-valores.

Los valores de las races del polinomio caracterstico son las

frecuencias naturales de vibracin de la estructura .

La estructura que se muestra en la figura 2.21, con dos grados

de libertad, un desplazamiento horizontal por cada nivel, tendr

dos modos de vibracin, a cada modo de vibracin le corres-

ponde una frecuencia de vibracin.

A la primera frecuencia natural de vibracin, que es la de menor

valor, se le llama frecuencia o modo fundamental de la estructu-

ra.



La estructura del marco de dos niveles de la figura 2.21, se

puede idealizar a travs de un modelo de masas y resortes, en

donde cada resorte representa la rigidez lateral de cada entre-

piso, como se representa en la figura 2.22. En cada masa se

concentra el peso de cada entrepiso, esto es, carga muerta ms

carga viva accidental.

Figura 2.21 Estructura con dos grados de libertad, una trasla-

cin por nivel.

En la figura 2.22 se representa el marco de la figura 2.21 por

medio de un sistema de masas y resortes, y las configuraciones

deformadas que adopta la estructura cuando vibran libremente

a la frecuencia correspondiente a sus dos primeros modos de

vibracin.

Figura 2.22 Primer y segundo modo de vibracin

M1

M2

K2

K1

K2

K1



Problema 2.5 Determinar las frecuencias y modos de vibrar de

la estructura de la figura 2.20:

La rigidez lateral de las columnas es , y para dos co-

lumnas por entrepiso se tiene una rigidez lateral equivalente de:

a) Frecuencias de vibracin

Matriz de rigideces:

Matriz de masas

Se debe de anular el determinante del sistema:

Llamando , tenemos el siguiente polinomio de segundo

grado:

Despejando las races:

Como , entonces sacaremos raz cuadrada:

rad/s

rad/s

La menor de estas frecuencias, es la del primer modo de vibra-

cin o modo fundamental, por lo tanto:

rad/s

rad/s

Y los periodos de vibracin son:



b) Formas modales

La ecuacin caracterstica para el primer modo de vibrar con

, es:

En la expresin anterior, los subndices de los elementos del

vector de amplitudes , significan:

Realizando operaciones, queda:

Podemos asignar arbitrariamente un valor para , y des-

pejar de cualquiera de las dos ecuaciones a :

Lo anterior lo podemos hacer ya que las configuraciones moda-

les solo representan la posicin relativa de las masas con res-

pecto a las dems, as la configuracin para el primer modo, se

ilustra en la figura 2.23.

Procediendo en forma similar, la ecuacin caracterstica para el

segundo modo de vibrar con , es:

Realizando operaciones, queda:

Podemos asignar arbitrariamente un valor para , y des-

pejar de cualquiera de las dos ecuaciones a :

Entonces la configuracin para el segundo modo es:



Figura 2.23 Frecuencias y formas modales de la estructura

2.3.2 Mtodos numricos para calcular modos de vibracin

Cuando la estructura tiene ms grados de libertad ya no es

prctico resolver el polinomio caracterstico como se hizo en el

problema anterior.

Se pueden emplear mtodos numricos de aproximaciones

sucesivas o mtodos matriciales para implementarse en la

computadora.

A continuacin presentaremos dos mtodos numricos de

aproximaciones sucesivas que se pueden implementar fcil-

mente en hoja electrnica de clculo y servirn para calcular los

modos y frecuencias naturales de vibracin del edificio que se

muestra en la figura 2.24.

El edificio mostrado se puede idealizar a travs de un modelo

de masas y resortes como se muestra en la secuela del mto-

do. Las masas se obtienen dividiendo el peso de cada entrepiso

entre la aceleracin de la gravedad

En un modelo de un solo nivel la rigidez lateral del entrepiso

esta bien definido como se ilustr en la figura 2.10 y 2.11.

Cuando la estructura es de varios niveles, las rigideces de cada

entrepiso dependen de la distribucin de fuerzas laterales en

cada marco y en cada nivel.

Lo anterior, se hace tomando en cuenta que la rigidez de entre-

piso se puede definir como la relacin entre la fuerza cortante

que acta en determinado entrepiso de un marco y el despla-



zamiento horizontal relativo de los dos pisos que lo componen,

es decir, para determinar la rigidez de entrepiso es necesario

conocer la configuracin del sistema de fuerzas laterales que

obran sobre cada marco de la estructura, lo cual inicialmente no

se conoce con precisin.

Para resolver lo anterior, es posible adoptar hiptesis simplifica-

torias, como las de las frmulas de Wilbur (Bazn y Meli, 2003,

pp.62), que para edificios de marcos regulares suponen una

configuracin de fuerzas laterales proporcional a la definitiva del

anlisis y dan una buena aproximacin de las rigideces de en-

trepiso.

En la prctica, el procedimiento anterior se emplea cada vez

menos, y el anlisis dinmico de edificios se realiza empleando

un programa de computadora comercial sin necesidad de calcu-

lar las rigideces laterales de manera aproximada.

En el captulo 4, se explicar como realizar el anlisis dinmico

de un edificio empleando un programa de computadora e inclu-

yendo los efectos de torsin que indican las normas de diseo.

Para el ejemplo que se ilustra a continuacin se supone que las

rigideces de entrepiso ya se han calculado, ya sea empleando

las frmulas de Wilbur o por medio de un programa de compu-

tadora basado en el mtodo matricial de rigideces.

Problema 2.6 Determinar el modo y la frecuencia fundamental

de vibracin de la siguiente estructura, empleando el mtodo de

Newmark, a continuacin se describe la secuela del mtodo

idealizando la estructura a travs de un modelo de masas y

resortes.

W3=196.2 t



Figura 2.24 Edificio de tres niveles

a) Mtodo de Newmark.

Este mtodo se aplica para calcular el primer modo de vibracin

de estructuras estrechamente acopladas, es decir, estructuras

cuyas masas se conectan solamente a las de los pisos superior

e inferior por medio de resortes que idealizan la rigidez lateral

los entrepisos correspondientes.

Secuela del mtodo de Newmark:

1) Suponer una configuracin inicial de desplazamientos para el

primer modo de vibrar, usualmente se proponen valores de

desplazamiento cuyo valor sea igual al nmero de nivel corres-

pondiente a cada masa :

2) Fuerzas de inercia en cada masa. Las fuerzas de inercia son

iguales a , pero como an no conocemos

, entonces se trabaja con las fuerzas de inercia divididas en-

tre la frecuencia del primer modo, :

W1=392.4 t

W2=294.3 t

K1=300 t/cm

K3=100 t/cm

K2=200 t/cm



3) Cortantes de entrepiso. Los cortantes son las fuerzas de

inercia acumuladas desde la masa del ltimo nivel: :

4) Deformacin de entrepiso. Se obtienen dividiendo cada fuer-

za cortante entre la rigidez de entrepiso correspondiente:

5) Configuracin de desplazamientos. Los desplazamientos se

obtienen acumulando las deformaciones de entrepiso desde el

primer nivel: :



6) Frecuencia aproximada del primer modo.

Se obtiene dividiendo el valor de desplazamiento inicial entre el

obtenido en el paso anterior, , cuando el cociente es

aproximadamente el mismo para todas las masas, se ha encon-

trado la configuracin y la frecuencia de vibracin correspon-

diente al primer modo de vibracin:

Como an no hay convergencia, se tiene que realizar otra itera-

cin repitiendo los pasos del 1 al 6, solo que ahora la configura-

cin inicial se obtiene normalizando los desplazamientos del

rengln 5 de la primera iteracin con respecto al desplazamien-

to de la primer masa (dividir entre el valor sealado):



Despus de la tercera iteracin se observan valores de la fre-

cuencia fundamental aproximadamente iguales:

Entonces se puede sacar un promedio de los tres valores de

frecuencia de la ltima iteracin:

Tambin es recomendable determinarla a partir del cociente de

Schwartz:

(2.49)

Finalmente, la configuracin del primer modo se obtiene norma-

lizando los valores del 5 paso de la ltima iteracin con respecto

al menor valor del desplazamiento:



b) Mtodo de Holzer

Una vez calculada la frecuencia y la configuracin del primer

modo, podemos utilizar el mtodo de Holzer para los modos

superiores, el cual tambin es aplicable para estructuras estre-

chamente acopladas.

Secuela del mtodo de Holzer:

1) Suponer un valor de , mayor que el de la frecuencia del

primer modo obtenida por algn otro mtodo, se propone 500.

2) Suponer el desplazamiento de la primera masa

3) Calcular la fuerza cortante del primer entrepiso: ,

tomando en cuenta que

4) Calcular la fuerza de inercia de la masa 1:

5) Calcular la fuerza cortante del segundo entrepiso, aplicando

el equilibrio de fuerzas horizontales: y despejando:

6) Calcular la deformacin del segundo entrepiso:

7) Calcular el desplazamiento de la segunda masa:

8) Calcular la fuerza de inercia de la segunda masa:



9) Repetir los pasos del 5 al 8 para las masas de los niveles

superiores hasta el ltimo entrepiso, en donde por lo general

resultar una diferencia o residuo entre el valor de la fuerza

cortante y la fuerza de inercia, en esta iteracin (-125-25)= -150:

10) Se propone un valor de , mayor que el propuesto

inicialmente, y se repite la secuela de los 9 pasos anteriores

hasta que el residuo del paso 9 es muy pequeo del orden de

algunas dcimas.

En esta iteracin, se observa que el residuo ha cambiado de

signo, por lo tanto el valor de debe ser menor de 850 que se

propuso para la segunda iteracin. Recuerde que el valor de la

frecuencia es una de las races del polinomio caracterstico y

por lo tanto al cambiar de signo nos indica que el valor propues-

to debe reducirse.



Despus de varias iteraciones se llega al valor de:

La configuracin del segundo modo se toma de las deformacio-

nes de la ultima iteracin, entonces tenemos para el segundo

modo una frecuencia natural de:

Repitiendo el procedimiento anterior para el clculo del tercer

modo de vibrar de la estructura, obtenemos:



Recopilando los resultados para los tres modos de vibracin

calculados:

1 1 1

2.148 0.893 -1.042

3.310 -1.473 0.410

2.3.3 Propiedades de Ortogonalidad de las matrices de Ma-

sas y de Rigideces

A partir de la ecuacin 2.48, que establece la solucin para el

caso de vibracin libre sin amortiguamiento de un sistema de

varios grados de libertad :

En donde planteamos que se debera de cumplir la siguiente

ecuacin caracterstica:

Cada valor caracterstico o frecuencia natural de vibracin ,

satisface la ecuacin anterior y a cada una le corresponde un

vector de amplitudes .

As, para un sistema de n grados de libertad le correspondern

n frecuencias y n vectores de amplitud que satisfacen la ecua-

cin caracterstica.



Los vectores de amplitud , se les denomina vectores carac-

tersticos o formas modales y no representan la configuracin

de desplazamientos reales de la estructura sino nicamente la

proporcionalidad entre los desplazamientos de cada una de las

masas:

Figura 2.25 Proporcionalidad entre configuraciones modales

Analicemos la ecuacin caracterstica para los modos de vibra-

cin y :

Para el modo i:

(a)

Anlogamente para el modo j:

(b)

Premultiplicando la ecuacin (a) por el vector modal transpuesto

:

(c)

Premultiplicando la ecuacin (b) por el vector modal transpuesto

:

(d)

Como ambas matrices y son simtricas, las siguientes

igualdades se cumplen:



Restando la ecuacin (d) de la (c):

Como las frecuencias de los modos en estudio son diferentes,

entonces la diferencia del parntesis anterior no es cero, por lo

tanto:

(2.50)

La ecuacin anterior nos indica la propiedad de ortogonalidad

de la matriz de masas .

Cuando , entonces:

(2.51)

El triple producto de la expresin anterior, da un escalar que

llamaremos masa modal o masa generalizada del modo i :

Sustituyendo la propiedad de ortogonalidad de la masa de la

ecuacin 2.50 en la ecuacin (d), tendremos:

(2.52)

Que se cumple cuando . Anlogamente, la ecuacin ante-

rior nos indica tambin la propiedad de ortogonalidad de la ma-

triz de rigideces .

Empleando otra vez la ecuacin (d), pero cuando , enton-

ces:

Similarmente, el triple producto de la expresin anterior, da un

escalar que llamaremos rigidez modal o rigidez generalizada del

modo i :

(2.53)

De donde:

(2.54)



2.3.4 Modos Ortonormales

Es conveniente trabajar con los modos normalizados con res-

pecto a la raz de la masa generalizada .

As, el modo normalizado i, ser:

Y la propiedad de ortogonalidad de la matriz de masas con los

modos normalizados tambin se cumple:

(e)

Cuando , entonces:

(f)

Entonces los modos normalizados tienen masas generalizadas

iguales a la unidad.

Anlogamente, la propiedad de ortogonalidad de la matriz de

rigidez con los modos normalizados tambin se cumple:

(g)

Cuando , resulta:

(h)

Entonces las rigideces generalizadas de los modos normaliza-

dos son iguales a .

Recopilando las expresiones (e), (f), (g) y (h):

(2.55)

(2.56)

(2.57)

(2.58)

Si agrupamos todos los vectores modales normalizados en

una matriz que llamaremos Matriz Modal :



Entonces, podemos aplicar la propiedad de ortogonalidad para

la matriz de masas empleando los modos normalizados apli-

cando la expresin 2.55 para todos los trminos fuera de la di-

agonal y la 2.56 para los trminos de la diagonal:

Procediendo de igual forma con la matriz de rigidez y aplicando

la expresin 2.57 para todos los trminos fuera de la diagonal y

la 2.58 para los trminos de la diagonal:

2.3.5 Ecuaciones de movimiento en coordenadas modales

En una estructura con n grados de libertad, con un vector de

excitacin , tenemos que resolver un sistema de ecuacio-

nes de movimiento de .

De manera similar a la ecuacin 2.35, podemos plantear la

ecuacin de movimiento:

(2.59)

Mediante un cambio de variable, podemos transformar tal sis-

tema y trabajar con ecuaciones desacopladas equivalentes a

la ecuacin de movimiento para un sistema de un grado de li-

bertad que llamaremos oscilador modal.

As, la suma de las respuestas modales, es decir, debidas a la

participacin de cada oscilador modal son igual a los desplaza-

mientos del sistema acoplado en un instante de tiempo dado.



Introduciremos el siguiente cambio de variable en la ecuacin

anterior de movimiento:

(2.60)

En donde:

Vector de desplazamientos relativos al apoyo del sistema

Matriz modal

Vector de coordenadas generalizadas o modales de los

modos de vibracin en funcin del tiempo.

Aplicando la ecuacin 2.60 para un sistema de 3 grados de li-

bertad:

En forma algebraica:

Las expresiones anteriores las podemos rescribir como:

Es decir, la sumatoria del producto de cada forma modal por

cada coordenada generalizada:

(2.61)

La coordenada generalizada modifica o escala a la confi-

guracin modal en cada instante de tiempo. Como es una

sumatoria, cada modo tiene determinada participacin en la

respuesta acoplada de la estructura .

A partir de la ecuacin 2.60 y obviando que los vectores estn

en funcin del tiempo, podemos establecer que:



Sustituyendo en la ecuacin 2.59:

Ahora, emplearemos las propiedades de ortogonalidad de los

modos, premultiplicando la ecuacin anterior por la matriz mo-

dal transpuesta :

(2.62)

Por propiedad de ortogonalidad, los triples productos matriciales

arrojan la matriz de masas modales o generalizadas y la

matriz de rigideces modales o generalizadas , ambas con

elementos nulos excepto en la diagonal:

Para la matriz de amortiguamiento, se considera un amortigua-

miento proporcional a la combinacin lineal de las matrices de

rigideces y masas: y en tal caso tambin es

diagonal con elementos nulos excepto en la diagonal, en tal

caso se dice que el sistema tiene un Amortiguamiento Clsico,

ya que se puede aplicar el anlisis clsico modal.

Desarrollando la ecuacin 2.62:

(2.63)

Entonces para la i-sima ecuacin:



En el segundo miembro de la ecuacin anterior, tenemos

que es el i-simo vector rengln de la matriz modal transpuesta

, que multiplicado por el vector columna de cargas da un

escalar, por lo tanto, la expresin anterior es igual a la ecuacin

de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad,

ecuacin 2.2.

Con el procedimiento anterior, hemos podido transformar un

problema de n ecuaciones acopladas en uno de n ecuaciones

desacopladas correspondientes a un oscilador modal de un

grado de libertad.

Cada oscilador modal tiene la masa , el amortiguamiento y

la rigidez de cada uno de los modos de vibrar de la estructu-

ra.

Si consideramos el oscilador modal en vibracin libre, tendre-

mos la siguiente ecuacin de movimiento:

Dividiendo entre :

La solucin de la ecuacin anterior es similar a la ecuacin 2.16

y para el caso subamortiguado en vibracin libre es:

Que tambin se puede expresar como:

]

Por lo tanto, tendremos 2 incgnitas por cada oscilador modal,

, o sea, se tienen 2n incgnitas pero tenemos 2n datos a

partir de las condiciones iniciales para cada oscilador modal,

.

Realizando el cambio de variable a la expresin anterior, a partir

de las ecuaciones 2.60 y 2.61:

] (2.64)



Para encontrar las 2n incgnitas, emplearemos las propiedades

de ortogonalidad de los modos normalizados y las condiciones

iniciales de cada oscilador modal, as, cuando t=0 , las n cons-

tantes valen:

Premultiplicando por :

El triple producto del segundo trmino, es nulo excepto cuando

i=j , en cuyo caso:

(2.65)

Derivando la ecuacin (2.64):

Cuando t=0 , las n constantes valen:

Premultiplicando por :

Los productos triples del segundo trmino, son nulos excepto

cuando i=j , en cuyo caso, son igual a la masa generalizada

del modo normalizado :

Despejando y, sustituyendo el valor de de la ecuacin

2.65:

Y as, tendramos las n constantes conocidas.



Como se dijo antes la respuesta tambin se puede escribir co-

mo:

Que particularizando para sistemas de un grado de libertad, la

forma modal vale , y entonces:

2.3.6 Ecuaciones de movimiento en coordenadas modales

para excitacin debida al sismo

Aplicando el cambio de variable , para el caso de

la respuesta debida a la aceleracin del terreno debida al sismo,

la ecuacin 2.43 se puede expresar como:

(2.66)

Premultiplicando por la matriz modal transpuesta y en base

a las propiedades de ortogonalidad:

(2.67)

En la ecuacin anterior, las matrices de masas, amortiguamien-

to y de rigidez generalizadas, en el primer miembro de la igual-

dad, son diagonales con elementos nulos fuera de la diagonal

y, por lo tanto, el sistema quedara desacoplado, es decir, cada

ecuacin es independiente de las dems.



(2.68)

Entonces la i-sima ecuacin sera:

(2.69)

En el segundo miembro de la ecuacin anterior, tenemos

que es el i-simo vector rengln de la matriz modal transpuesta

, el cual, multiplicado por la matriz de masas y por el vec-

tor columna unitario da un escalar.

Dividiendo entre , tenemos:

(2.70)

La ecuacin anterior es equivalente a la ecuacin (2.43) que

aqu repetimos para comparacin:

(2.71)

Ambas ecuaciones tienen la misma aceleracin del terreno

como fuerza excitadora, pero para el caso de la ecuacin

2.70, multiplicada por el factor , al cual llamaremos coefi-

ciente de participacin del modo i:

(2.72)

Si en la ecuacin 2.71, el valor de la frecuencia y del porcentaje

de amortiguamiento fueran iguales a los del modo i y llamando

al desplazamiento , tendremos:

Entonces la respuesta , sera el desplazamiento de la ma-

sa en relacin con la base de un sistema de un grado de liber-

tad de igual frecuencia y amortiguamiento que el del modo i-

simo.



Si multiplicamos esta respuesta por el factor de participacin

modal , obtendremos la respuesta de la ecuacin 2.70:

(2.73)

Lo anterior se deduce observando que el acelerograma ,

para ambas ecuaciones, es el mismo y est factorizado por el

coeficiente de participacin modal en la ecuacin 2.70.

Una vez obtenida la respuesta de cada ecuacin desacoplada,

podemos pasar de las coordenadas modales a las

reales , empleando la ecuacin 2.60, que particularizndola

para la masa k-sima, y para el i-simo modo, es:

(2.74)

Ahora, se sumarn las participaciones de todos los modos con-

siderados, para obtener el desplazamiento total de la masa k:

As, el desplazamiento total de la masa k, de un sistema de

varios grados de libertad, es igual a la sumatoria del producto

de la amplitud modal por que es el desplazamiento

del sistema de un grado de libertad, con las caractersticas de

masa, amortiguamiento y rigidez del modo i, por su coeficiente

de participacin modal , en donde, , se puede obtener

con algn mtodo numrico de los expuestos para los sistemas

de un grado de libertad:

(2.75)

El coeficiente de participacin modal se puede desarrollar co-

mo:

(2.76)

Como hemos trabajado con las formas modales normalizadas,

entonces , y entonces el coeficiente de participacin

modal se puede escribir como:

(2.77)



Podemos obtener las fuerzas en cada nivel de nuestra estructu-

ra, recordando que la fuerza ssmica en el nivel k debida a la

contribucin del modo i es:

(2.78)

Empleando las ecuaciones 2.73 y 2.74:

(2.79)

Para obtener el cortante en la base de la estructura debida al

modo i, sumaremos las fuerzas ssmicas en cada nivel:

(2.80)

La ltima sumatoria de la expresin anterior es el coeficiente de

participacin modal como se expres en la ecuacin 2.77, por lo

que:

(2.81)

En esta ecuacin, el trmino debe tener unidades de masa,

por lo que se le conoce como masa efectiva del modo i.

La suma de las masas efectivas considerando todos los modos

es igual a la suma de las masas de la estructura.

2.4 Respuesta Ssmica no-lineal

2.5 Anlisis Modal Espectral

La ecuacin 2.75 nos sirve para conocer el desplazamiento de

cada masa de la estructura para cualquier instante de tiempo,

partiendo del hecho, de que conocemos el acelerograma del

temblor que nos interesa .

Pero para fines de diseo, nos interesara ms la respuesta

mxima de la estructura ante un temblor que puede ocurrir du-

rante su vida til.

Por lo anterior, dicho temblor va a ocurrir en el futuro y sus in-

tensidades no se pueden predecir, por lo tanto, tenemos que

recurrir a los llamados espectros de diseo que especifican las

normas o reglamentos de la localidad donde se pretende cons-

truir la estructura.



A diferencia de los espectros de respuesta que se estudiaron al

final del primer captulo, los espectros de diseo carecen de los

picos o mximos de los espectros de respuesta.

Los espectros de diseo, se caracterizan por envolver las res-

puestas mximas de manera suavizada como se muestran en la

figura 2.26.

Figura 2.26 Espectro de diseo de la zona de suelo firme segn

las NTC-Sismo-2004.

Los espectros de diseo tambin son grficas de la seudo-

aceleracin como fraccin de la gravedad en el eje de las or-

denadas, y los periodos de las estructuras T, en el de las absci-

sas.

De la ecuacin 1.2, en donde la seudo-aceleracin mxima (A),

ocurre en el instante que se presenta el mximo desplazamien-

to , tenamos:

De donde:

Podemos particularizar la ecuacin 2.74 para conocer la contri-

bucin del modo i al desplazamiento mximo de la masa k,

:

(2.82)

y para todas las masas del sistema:



(2.83)

2.3.7 Reglas de combinacin modal

A continuacin se enunciarn algunas reglas de combinacin

modal, las cuales emplearemos en los ejemplos de aplicacin.

Cabe mencionar que existen algunas otras reglas que se expo-

nen en Chopra, (2001).

Empleando la expresin anterior podramos calcular la defor-

macin mxima de la masa k-sima, sumando la participacin

de todos los modos calculados:

En general cualquier respuesta mxima de la estructura rmx ,

como las deformaciones de entrepiso, las fuerzas cortantes,

etc., podran calcularse sumando las respuestas mximas con-

siderando su valor absoluto:

(2.84)

Esta es una regla de combinacin modal muy conservadora, ya

que las respuestas mximas de cada modo , no ocurren

en el mismo instante de tiempo, por lo que la expresin anterior

sera como el lmite superior para el valor de la respuesta

mxima.

Rosenblueth (1951), desarroll otra regla de combinacin modal

en su tesis doctoral, que se conoce como regla de la Raz Cua-

drada de la Suma los Cuadrados (RCSC):

(2.85)

Esta regla de combinacin modal es apropiada, cuando las fre-

cuencias naturales difieren al menos en 10 por ciento entre s.

Entonces para el caso de edificios de plantas asimtricas en

donde los valores de las frecuencias estn muy cercanos y la

limitacin mencionada no se cumple, podemos emplear la regla

de Combinacin Cuadrtica Completa (CRC), propuesta por

Rosenblueth y Elorduy, (1969):



(2.86)

En donde:

y

En la penltima expresin s es la duracin de la fase intensa del

temblor, Rosenblueth, (1979) propuso para las normas de dise-

o ssmico del D.F., valores de s iguales a 20, 30 y 40 segun-

dos para las zonas I, II y III respectivamente y de 50 segundos

para suelos donde se desconocen sus caractersticas geotcni-

cas.

Problema 2.7 En base al Anlisis Modal Espectral, determine

los desplazamientos, fuerzas ssmicas y el cortante basal de la

estructura del problema 2.6, considerando que el edificio tendr

un uso de escuela y que se ubicar en Zona II y que se puede

considerar un factor de reduccin de las fuerzas ssmicas por

comportamiento ssmico Q= 3, segn las NTC-Sismo-2004:

Las formas modales las podemos concentrar en la siguiente

matriz modal:

Calculando los periodos para cada uno de los modos:

T1= 0.473 s T2= 0.222 s T3= 0.149 s

1 1 1

2.148 0.893 -1.042

3.310 -1.473 0.410



Los desplazamientos mximos para cada modo de vibracin los

podemos determinar con la ecuacin 2.82:

Por lo que tendremos que calcular los factores de participacin

y las seudo-Aceleraciones , para cada uno de los modos

de vibracin calculados:

-Clculo de los factores de participacin, empleando la ec. 2.76:

El denominador de la expresin anterior, es igual a la unidad

cuando los modos se normalizan con respecto a la raz cuadra-

da de la masa generalizada , ecuacin 2.77, por lo que

primero normalizaremos los modos:

Clculo de las masas generalizadas, empleando la ecuacin

2.51:

En donde la matriz de masas de la estructura es:

(ton-seg2/cm)

Para el modo 1:

Anlogamente para los modos 2 y 3:



Ahora normalizaremos los modos con respecto a la raz cua-

drada de la masa generalizada :

Modos Normalizados:

Empleando la ecuacin 2.77 para calcular los modos de partici-

pacin de cada modo:

Para el modo 1:

Anlogamente para los modos 2 y 3:

- Clculo de las seudo-Aceleraciones , para cada uno de los

modos de vibracin:

Ahora emplearemos el espectro de diseo para la zona II cuyos

parmetros se especifican en la seccin 3 de las NTC-Sismo-

2004, y a continuacin se trascriben para poder graficar el es-

pectro de diseo correspondiente:



En base al Espectro de diseo para zona II, obtenemos los va-

lores de las Aceleraciones como fraccin de la gravedad:

T1= 0.473 s T2= 0.222 s T3= 0.149 s

A / g = 0.32 A / g = 0.32 A / g = 0.26

Las aceleraciones correspondientes a cada modo, se pueden

reducir empleando el factor de reduccin , el cual depende

del factor de comportamiento ssmico , como se indica en la

seccin 4 de las NTC-Sismo-2004.

Como se expondr en adelante, esta reduccin se hace para

considerar que la estructura se puede comportar inelsticamen-

te sin fallar, siempre y cuando se especifiquen materiales y de-

talles constructivos que garanticen tal comportamiento ssmico.

En nuestro problema, para los dos primeros modos, como

, entonces:

nicamente el periodo del tercer modo es menor que el Ta :

Para estructuras en donde , se emplea un valor menor

del factor de reduccin . Esta reduccin se realiza para es-

tructuras o modos de vibracin con un periodo muy corto lo que

indica que se trata de una estructura muy rgida y por lo tanto se

espera que tenga un menor comportamiento dctil.



La reduccin de las aceleraciones para cada modo ser:

Desplazamientos mximos para cada uno de los modos:

Empelando la ecuacin 2.76:

Clculo de los desplazamientos relativos:

Los desplazamientos relativos sern la diferencia de los despla-

zamientos de dos niveles consecutivos:

Clculo de los cortantes de entrepiso:

Se obtienen multiplicando las rigideces de entrepiso por el des-

plazamiento relativo:

Del problema 2.6 las rigideces de entrepiso son:

K1 = 300 ton/ cm; K2 = 200 ton/ cm; K3 = 100 ton/ cm.

Para el modo 1:



Para el modo 2:

Para el modo 3:

Una vez calculados las respuestas de inters, y no antes, en

este caso, desplazamientos y cortantes, podemos emplear

algn criterio de combinacin modal para obtener la respuesta

total ya que las respuestas mximas de cada modo no ocurren

en el mismo instante de tiempo. En nuestro problema los perio-

dos calculados resultaron:

T1= 0.473 s T2= 0.222 s T3= 0.149 s

Por lo tanto, podemos observar que los periodos naturales de

vibracin difieren entre s, en al menos 10%, y aplicando lo es-

pecificado en la seccin 9 de las NTC-Sismo-2004:

La expresin 9.2 de las Normas es equivalente a nuestra ecua-

cin 2.78, que se conoce como regla de la Raz Cuadrada de la

Suma los Cuadrados (RCSC):



Desplazamientos totales:

Desplazamientos relativos totales:

Cortantes de entrepiso:

Clculo de las masas modales efectivas:

Sabemos que la masa efectiva del modo i-simo es:

Suma de masas del edificio:

La suma de las masas modales efectivas es aproximadamente

igual a la suma de las masas reales de la estructura analizada,

lo que nos indica que el nmero de modos considerados en

nuestro anlisis modal es suficientemente aproximado.

Finalmente verificaremos el valor del cortante basal que de con-

formidad con lo especificado en la seccin 9.3 de las NTC-

Sismo-2004 se establece que:



En nuestro anlisis dinmico modal, el cortante basal es:

Y el cortante basal esttico es:

Por lo tanto:

Y de acuerdo a la seccin 9.3 de las NTC-Sismo:

Entonces aceptamos los resultados obtenidos en nuestro anli-

sis dinmico.



2.2.4 Vibracin Forzada con carga peridica

2.2.5 Vibracin forzada con carga arbitraria

2.2.6 Mtodos numricos para evaluar la respuesta

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