37 kolokvijuma zbirka
-
Upload
milan-fox-lisica -
Category
Documents
-
view
255 -
download
1
Transcript of 37 kolokvijuma zbirka
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
1/134
Svjetlan Fereti
Matematika analiza 1
Zbirka rijeenih zadataka
sa kolokvija i ispita
Rijeka, 2011.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
2/134
2
Predgovor
esto se dogaa da studenti pitaju: to ete nas pitati na kolokviju/ispitu? i Po emu emo
mi uiti?. Na oba ta pitanja u prilinoj se mjeri moe odgovoriti objavljivanjem zbirkerijeenih ispitnih zadataka. To je najbitniji razlog zbog kojega je ova elektronska zbirkanastala. Zbirka je u prvom redu namijenjena studentima koji pohaaju prvu godinu
preddiplomskog studija na Graevinskom fakultetu Sveuilita u Rijeci, te se pripremaju zakolokvije i ispit iz predmeta Matematika analiza 1. Tijekom posljednje etiri akademskegodine (2006/2007, 2007/2008, 2008/2009 i 2009/2010), na kolokvijima i ispitima izMatematike analize 1 bilo je zadano ukupno 120 zadataka. Svih tih 120 zadataka u ovoj suzbirci detaljno rijeeni.
Zbirka se sastoji od deset poglavlja. Prvo poglavlje ine zadaci u kojima se odreuje domenufunkcije, drugo poglavlje ine zadaci u kojima se rauna limes, a ne upotrebljava se
LHpitalovo pravilo,, deseto poglavlje ine zadaci o Taylorovim redovima. Svakopoglavlje poinje kratkim uvodom, u kojem je poblie definirano to se i kako se u tompoglavlju radi. Nakon desetog poglavlja slijedi spisak svih provjera znanja (kolokvija/ispita)koje ova zbirka obuhvaa. Tih provjera znanja ima ukupno 37, i za svaku od njih je u reenomspisku navedeno od kojih se zadataka sastojala. Zbirka zavrava popisom literature.
Ova bi zbirka s vremenom trebala rasti. Naime, moj plan je da u (ako na Mat. analizi 1 idalje budem drao i predavanja i vjebe) tijekom akademskih godina 2010/2011,2011/2012, zbirci dodavati zadatke sa kolokvija i ispita koji e se tada odravati.
Kod pisanja zbirke, posebno sam pazio na to da piem jasno i da ne pravim greke. Pozavretku pisanja, zbirka je ila na recenziranje. Recenzenti su bili dr. sc. Tomislav Doli,izvanredni profesor matematike na Graevinskom fakultetu u Zagrebu, i dr. sc. Cvetan Jardas,(od poetka ove akademske godine umirovljeni) redoviti profesor matematike naEkonomskom fakultetu u Rijeci. Od recenzenata sam dobio korisne primjedbe, na kojima imse zahvaljujem.
Ipak, mogue je da u zbirci ima greaka koje su promakle i meni i recenzentima. Svakome tkomi ukae na neku greku ili propust biti u zahvalan.
Svjetlan Fereti
u Rijeci, 6. sijenja 2011.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
3/134
3
Sadraj
1. Odreivanje domene funkcije 4
2. Raunanje limesa bez upotrebe LHpitalovog pravila 153. Raunanje limesa uz upotrebu LHpitalovog pravila 234. Deriviranje implicitno zadanih funkcija 305. Deriviranje parametarski zadanih funkcija 386. Primjena derivacija 507. Integriranje algebarskih funkcija 768. Integriranje transcendentnih funkcija 939. Raunanje povrina i volumena 10610. Taylorovi redovi 115
Na tom i tom kolokviju/ispitu, trebalo je rijeiti te i te zadatke 132Literatura 134
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
4/134
4
1. Odreivanje domene funkcije
Funkcija je pravilo koje svakom elementu skupa A pridruuje jedan i samo jedan element
skupa B . (Skup A se zove domena funkcije, a skup B se zove kodomena funkcije.) Dakle,kod zadavanja funkcije trebalo bi rei to je skup A , to je skup B i kako glasi pravilopridruivanja.
Ipak, funkcije se esto zadaju tako da se ne napie nita drugo osim pravila pridruivanja. Utakvim sluajevima, podrazumijeva se da je B skup svih realnih brojeva, te da je A skuponih realnih brojeva kod kojih je primjena pravila pridruivanja mogua i kao rezultat dajerealan broj.Kod ovog naina zadavanja funkcije, odreivanje skupa A je (katkad laki, akatkad tei) matematiki zadatak.
U zadacima koji slijede, tema je upravo odreivanje skupa A . Teina zadataka je umjerena.
Zadatak 1.Odredite domenu funkcije22
9
12
36
22
32)(
xx
x
x
xxf .
Rjeenje: Kao prvo, razlomak12
36
xse moe skratiti: 3
12
)12(3
12
36
xx.
(Istini za volju, kada je2
1x , razlomak
12
36
x
xnije definiran, pa prema tome nije jednak
broju 3 . Meutim, ta zakoljica u nastavku zadatka nee biti bitna.)
I tako, ispod drugog korijena imamo
)22)(22(
)22(9)22)(22(3)22)(32(
22
93
22
32
xx
xxxxx
xx
x
44
121212204
44
1818)44(366442
22
2
22
x
xxxxxxxx
)1)(1(4
54
1
54
44
20162
2
2
2
xx
xx
x
xx
x
xx.
Nultoke brojnika su 0 i4
5 , a nultoke nazivnika su 1 i 1. Kada ih se napie od manjih
prema veima, nultoke su 0,1,4
5 i 1. Sada piemo tablicu sa predznacima.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
5/134
5
4
5, 1,
4
5
0,1 1,0 ,1
4
5x
1x 1x
)1)(1(4
54
xx
xx
Iz formule
)1)(1(
4
54
)(
xx
xx
xf vidimo da brojevi
4
5 i 0 lee u domeni. Naime,
04
5
f i 0)0( f . Meutim, brojevi 1 i 1 ne lee u domeni. I tako, domena funkcije
)(xf je
,10,14
5, .
Zadatak 2. Odredite domenu funkcije xexx
xxf
2ln
32
5
13
1)( .
Rjeenje: Za poetak, sreujemo izraz ispod korijena:
232
5
13
12
32
5
13
1)ln(
32
5
13
1 2x
xx
xexx
x x
2
3116
8172
3296
515322
)32)(13(
)13(5)32(122
xx
x
xxx
xx
xx
xx
3116
2512
3116
62212817
3116
)3116(28172
2
2
2
2
2
xx
xxxxx
x
xxx.
Da bi broj x leao u domeni, mora vrijediti 03116
25122
2
xx
xx.
02512 2 xx za3
2&
4
1
24
16&
24
6
24
115
24
1215
24
96255
x .
03116 2 xx za2
3&
3
1
12
18&
12
4
12
711
12
4911
12
7212111
x .
Sada moemo napisati tablicu.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
6/134
6
4
1,
3
1,
4
1
3
2,
3
1
2
3,
3
2 ,
2
3
2512 2 xx + + +
31162
xx + + +
3116
25122
2
x
xx + + +
Zakljuak: Domena funkcije )(xf je
,
2
3
3
2,
3
1
4
1, .
Zadatak 3. Odredite domenu funkcije )263ln(166
1214
2349)( 2
222
x
xx
xx
xxxf .
Rjeenje: Ispod drugog korijena imamo
1
)1(6
12
14
23
)23)(23(
1
66
12
14
23
492
22
2
222xxxxx
x
xx
12
14)12)(83(
12
14836
12
1423
222xxxx
xx
xx
12
91910
12
1481636 222
x
xxxxxx.
Traimo nultoke brojnika: 091910 2 xx ,
1&10
9
20
20&
20
18
20
119
20
36036119
x .
Traimo nultoke nazivnika: 012 x , 12 x , 21x .
2
1,
10
9,
2
11,
10
9 ,1
91910 2 xx 12 x
12
91910 2
x
xx
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
7/134
7
Domena funkcije12
91910 2
x
xxje
,1
10
9,
2
1.
Sada emo se pozabaviti funkcijom )263ln( x .
063 x , 63 x , 2x .
Za 2x vrijedi 063 x , pa je )43ln()263ln()263ln( xxx .
043 x , 043 x , 43 x ,3
4x .
Jedan dio domene funkcije )263ln( x je interval3
4, .
Za 2x vrijedi 063 x , pa je )83ln()263ln()263ln( xxx .
083 x , 83 x ,38x .
Drugi dio domene funkcije )263ln( x je interval ,3
8.
itava domena funkcije )263ln( x je ,3
8
3
4, .
Domena funkcije )263ln(
12
91910)(
2
x
x
xxxf je
,
3
8
3
4,1
10
9,
2
1,
3
8
3
4,,1
10
9,
2
1.
Zadatak 4. Odredite domenu funkcije xxxf 561)( 2 .
Rjeenje: 056
2
xx za 6
5
&012
55
12
0255
x .
a) Koji brojevi iz skupa
,6
50, lee u domeni funkcije )(xf ?
Za takve brojeve vrijedi 156)56(1)( 22 xxxxxf .
0156 2 xx vrijedi za 1&6
1
12
12&
12
2
12
75
12
24255
x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
8/134
8
0156 2 xx vrijedi za
1,
6
1x . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz skupa
1,
6
50,
6
1.
b) Koji brojevi iz intervala6
5,0 lee u domeni funkcije )(xf ?
Za takve brojeve vrijedi 156561)56(1)( 222 xxxxxxxf .
0156 2 xx vrijedi za2
1&
3
1
12
6&
12
4
12
15
12
24255
x .
0156 2 xx vrijedi za
,21
31,x . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz
skupa
6
5,
2
1
3
1,0 .
Domena funkcije )(xf je skup
1,
2
1
3
1,
6
11,
6
5
6
5,
2
1
3
1,00,
6
1.
Zadatak 5.Odredite domenu funkcije
x
xxxxf 213123)( .
Rjeenje: Za poetak, primijetimo da bismo za 0x morali podijeliti 13 s nulom, a s nulomse ne moe dijeliti. Dakle, nula nije u domeni funkcije )(xf .
a) Koji brojevi iz intervala 0, lee u domeni funkcije )(xf ?
Za takve brojeve vrijedi
10122213123213
123)( 22
xxxxx
xxxxf .
010122 2 xx , to jest 0562 xx , vrijedi za
1&52
46
2
20366
x .
010122 2 xx vrijedi za 1,5 x .
Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz intervala 1,5 .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
9/134
9
b) Koji brojevi iz intervala ,0 lee u domeni funkcije )(xf ?
Za takve brojeve vrijedi
16122213123213
123)( 22
xxxxx
xxxxf .
016122 2 xx , to jest 0862 xx , vrijedi za
4&22
26
2
32366
x .
016122 2 xx vrijedi za ,42,x .
Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa ,42,0 .
Domena funkcije )(xf je skup ,42,01,5 .
Zadatak 6. Odredite domenu funkcije
x
xxxxf 4
11164)( .
Rjeenje: Postupak je isti kao u zadatku 5, a rezultat je
,
25
23
,021
,27
.
Zadatak 7.Odredite domenu funkcije
xxxxxf
165)( .
Rjeenje: a) Koji brojevi iz intervala 0, lee u domeni funkcije )(xf ?
Za takve brojeve vrijedi
1561651
651
6)(5)( 22
xxxx
xxxx
xxxxxf .
0156 2 xx za3
1&
2
1
12
4&
12
6
12
15
12
24255
x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
10/134
10
0156 2 xx vrijedi za
,
3
1
2
1,x . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz
skupa 0,3
1
2
1,
.
b) Koji brojevi iz intervala ,0 lee u domeni funkcije )(xf ?
Za takve brojeve vrijedi
1561651
65)( 22
xxxx
xxxxxf .
0156 2 xx za2
1&
3
1
12
6&
12
4
12
15
12
24255
x .
0156 2 xx vrijedi za
2
1,
3
1x . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa
2
1,
3
1.
Domena funkcije )(xf je skup
2
1,
3
10,
3
1
2
1, .
Zadatak 8. Odredite domenu funkcije xxxxxf 132111)( .
Rjeenje: Postupak je isti kao u zadatku 7, a rezultat je
4,
2
30,2
2
7, .
Zadatak 9. Odredite domenu funkcije )1810()( 2 xxxxxf .
Rjeenje: Kao prvo, nai emo one ikseve koji lee u domeni i manji su od nule. Za takveikseve vrijedi
)189()1810()( 22 xxxxxxxxf .
Nadalje, za takve (negativne) ikseve, broj )189( 2 xxx je vei od nule onda kada je broj
1892 xx manji od nule.
01892 xx za 3&62
39
2
72819
x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
11/134
11
Dakle, traeni iksevi tvore interval 3,6 .
Kao drugo, nai emo one ikseve koji lee u domeni i vei su od nule. Za takve ikseve vrijedi
)1811()1810()( 22 xxxxxxxxf .
Nadalje, za pozitivne ikseve, broj )1811( 2 xxx je vei od nule onda kada je broj
18112 xx vei od nule.
018112 xx za 9&22
711
2
7212111
x .
Traeni iksevi tvore skup ,92,0 .
Primjeujemo da je funkcija )(xf definirana i za 0x . Sve skupa, domena funkcije )(xf je
,92,03,6,92,003,6 .
Zadatak 10. Odredite domenu funkcije )12103()( 2 xxxxxf .
Rjeenje: Postupak je isti kao u zadatku 9, a rezultat je ,43,01,12 .
Zadatak 11.Odredite domenu funkcije23
)352ln()(
2
x
xxxf .
Rjeenje: 0352 2 xx za 1&2
3
4
4&
4
6
4
15
4
24255
x .
Dakle, funkcija )352ln( 2 xx je definirana za ,12
3,x .
0)352ln(
2 xx vrijedi onda kada je 1352
2 xx , 0252
2 xx ,
2
1&2
4
2&
4
8
4
35
4
16255
x .
023 x vrijedi onda kada je 23 x ,3
2x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
12/134
12
2,
2
3,2
1,2
3
3
2,1
2
1,
3
2
,2
1
)352ln( 2 xx Nije
definirano.
23 x
23
)352ln( 2
x
xx
Nije
definirano.
U tokama 2 i2
1 vrijedi 0)352ln( 2 xx . Funkcija
23
)352ln()(
2
x
xxxf je u
tim tokama definirana. Meutim, u tokama
2
3 , 1 i
3
2 funkcija )(xf nije definirana.
I tako, domena funkcije )(xf je
,
2
1
3
2,1
2
3,2 .
Zadatak 12.Odredite domenu funkcije )ln()157107()( 22 xxxxxf .
Rjeenje: Iksevi iz intervala 0, ne lee u domeni zato to za njih nije definiran )ln(x .
a) Koji iksevi iz intervala 1,0 lee u domeni funkcije )(xf ? Za te ikseve vrijedi 0)ln( x ,tako da iks lei u domeni onda kada vrijedi
0157107 22 xxx ,
0)1(57107 22 xxx ,
0557107 22 xxx ,021012 2 xx ,
0156 2 xx .
0156 2 xx za21&
31
1215
1224255
x .
Skup traenih ikseva je interval
2
1,
3
1.
b) Koji iksevi iz intervala ,1 lee u domeni funkcije )(xf ? Za te ikseve vrijedi
0)ln( x , tako da iks lei u domeni onda kada vrijedi
0157107 22 xxx ,
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
13/134
13
0)1(57107 22 xxx ,
0557107 22 xxx ,012102 2 xx ,
0652 xx .
0652 xx za 3&22
15
2
24255
x .
Skup traenih ikseva je ,32,1 .
Domena funkcije )(xf je
,32,1
2
1,
3
1,32,11
2
1,
3
1.
Zadatak 13.Odredite domenu funkcije )ln()19111311()( 22 xxxxxf .
Rjeenje: Postupak je isti kao u zadatku 12, a rezultat je
,4
2
5,1
5
2,
4
1.
Zadatak 14.Odredite domenu funkcije
12
14109arcsin9
2966)(
22
22
x
xxxx
xxxxxf .
Rjeenje:9
565
9
266
9
2966
9
2966 222
22
xxxxx
xxx
xxxx .
09
5652 xx za
3
8&
3
7
23
16
&23
14
23
15
29
15
29
224255
x .
Dakle, funkcijax
xxxx
92966
22 je definirana za sve ikseve, osim za 0x i za
3
8,
3
7x .
Arkus sinus djeluje na izraz12
14109
22
xxx , koji se moe napisati i na jednostavniji
nain:
1171210912
)12)(12(1091214109 222
2
2
xxxxx
xxxxxxxx .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
14/134
14
Arkus sinus od 1172 xx je definiran onda kada vrijedi 11171 2 xx .
11172 xx , 01272 xx , 4&32
17
2
48497
x .
11172 xx , 01072 xx , 5&22
37
2
40497
x .
Slika 1. Toke u kojima funkcija 1172 xxx poprima vrijednosti 1 i 1.
Uz pomo Slike 1 vidimo da je funkcija
12
14109arcsin
22
x
xxx definirana za
5,43,2 x . Meutim, na intervalu3
8,
3
7nije definirana funkcija
x
xxxx9
296622 . I tako, naa funkcija
12
14109arcsin
9
2966)(
22
22
x
xxx
x
xxxxxf
ima domenu 5,43,3
8
3
7,2
.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
15/134
15
2. Raunanje limesa bez upotrebeLHpitalovog pravila
Neka je )(xff funkcija iz u , te neka su a i L realni brojevi. Pretpostavimo da za
svaki 0 postoji 0 takav da iz aaaax ,, slijedi da je Lxf )( .
Tada se kae da funkcija f u toki a ima limes. Limes funkcije f u toki a je broj L . To
se zapisuje ovako: Lxfax
)(lim .
Neformalno govorei, ako funkcija f u toki a ima limes, onda je taj limes onaj broj kojemu
se vrijednosti funkcije f sve vie pribliavaju onda kada se x sve vie pribliava broju a (ali ipak ostaje razliit od broja a ).
U ovom poglavlju, kod raunanja limesa koristimo svojstva
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
,
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
,
)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax
,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
,
)(lim)(lim xfxfaxax
i
)(lim)( )(lim)(lim xgax
xg
ax
axxfxf
.
Takoer koristimo i formule
01
lim xx
, x
1lim
0,
ex
x
x
11lim , ex xx
1
0)1(lim ,
1)(sin
lim0
x
x
xi 1
)sin(lim
0
x
x
x,
koje smo upoznali na predavanjima.
Zadatak 15. Izraunajte limes
243
)4sin()3sin(lim
20
x
xx
x.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
16/134
16
Rjeenje:
)243)(243(
)243()4sin()3sin(lim
0
0
22
00
243
)4sin()3sin(lim
22
2
020 xx
xxx
x
xx
xx
)22(3
)4sin()3sin(lim243lim
443
)4sin()3sin(lim
20
2
020 x
xxx
x
xx
xxx
164411444
)4sin(
3
)3sin(lim
0
x
x
x
x
x.
Zadatak 16. Izraunajte limes42169
)5(cos1lim
22
4
0
xx
x
x.
Rjeenje:
00
22411
42169)5(cos1lim 22
4
0 xxx
x
42169
42169
42169
)5(cos1lim
22
22
22
4
0 xx
xx
xx
x
x
42169
)4(4169
)5(cos1lim 22
22
4
0xx
xx
x
x
2
4
022
4
0 5)5(cos1lim8)224(
164169)5(cos1lim
xx
xxx
xx
2
2
02
22
0 5
)5(sinlim)11(8
5
)5(cos1)5(cos1lim8
xxx
xx
8011805
)5sin(
5
)5sin(lim80
25
)5(sinlim528
02
2
0
x
x
x
x
x
x
xx.
Zadatak 17.Izraunajte limes)3(cos1
916925lim
4
22
0 x
xx
x
.
Rjeenje:
0
0
11
33
)3(cos1
916925lim
4
22
0 x
xx
x
916925
916925
)3(cos1
916925lim
22
22
4
22
0
xx
xx
x
xx
x
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
17/134
17
916925
1
)3(cos1
)916()925(lim
224
22
0
xxx
xx
x
)3(cos1
9lim
33
1
99
1
)3(cos1
9lim
4
2
04
2
0 x
x
x
x
xx
11
1
)3(cos1
9lim
6
1
)3(cos1
1
)3(cos1
9lim
6
12
2
022
2
0 x
x
xx
x
xx
12
111
12
1
)3sin(
3
)3sin(
3lim
12
1
)3(sin
9lim
2
1
6
102
2
0
x
x
x
x
x
x
xx.
Zadatak 18. Izraunajte limes
xx e
x
x
x
x
xx3
2
0
)2sin()4cos(
)cos()6sin(
93lim .
Rjeenje:
xx e
x
x
x
x
xx3
2
0
)2sin(
)4cos(
)cos(
)6sin(
93lim
02
22
0
)0sin(
)0cos(
)0cos(
93
93
)6sin(
93lim
exx
xx
x
xx
x
1
0
1
1
93
1
)6sin(
)9()3(lim
2
22
0 xxx
xx
x
01
93
1
)6sin(
996lim
22
0 x
xxx
x
6
711
6
11
)6sin(
6lim
33
10
x
x
x.
Zadatak 19. Izraunajte limesx
x x
x
3
32
8lim .
Rjeenje:
x
x
x
x xx
x
x
x3
32
12
32
128lim3
32
8lim
x
x
x
x
x
x xxxxx
32 121lim332 124lim332 1232 )32(4lim
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
18/134
18
602
12
32
12lim
32
12lim
32
12
12
32
32
121lim eeee
xxx
x
xxx
x
x
x
.
Zadatak 20.Izraunajte limes
43
cos32
cos2212
56lim
xxx
xx
x.
Rjeenje:
43
cos32
cos2212
56lim
xxx
xx
x
43cos32cos2lim21256lim
xxxx
x
x
x
40cos30cos23
12
561lim
x
x x
x
x
x
x
x xx
xx
12
81lim9432
12
36561lim
402
812
8lim
12
8lim
12
8
8
12
333312
81lim3 eeee
xxx
x
xxx
x
x
x
.
Zadatak 21.Izraunajte limes 2
1
2
0)(sin)cos(2lim
x
xxx
.
Rjeenje: Za poetak emo upotrijebiti formulu
2sin2)cos(1 2 tt . (Uzgred budi reeno,
do te se formule dolazi ovako:
2sin
2cos
2cos
2sin)cos(1 2222
ttttt
2sin2
2sin
2cos
2cos
2sin 22222
ttttt.) Imamo
222
1
22
0
1
2
0
1
2
0
)(sin
2
sin21lim)(sin)cos(11lim)(sin)cos(2limx
x
x
x
x
x
xx
xxxx
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
19/134
19
2
22
22
)(sin2
sin2
)(sin2
sin2
1
22
0)(sin
2sin21lim
x
xx
xx
xx
x
.
Izraz u vitiastim zagradama tei prema broju e . Nadalje,
2
2
2
2
02
22
0
)(sin2sin4
2
1lim
)(sin2
sin2lim
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
)sin()sin(
2
2sin
2
2sin
2
1lim
)(sin
4
2sin
2
1lim
02
2
2
2
0
2
11
2
11111
2
1 .
Dakle, rezultat zadatka je 606530659.021
e .
Zadatak 22.Izraunajte limes 2
1
0)2cos()cos(3limx
xxx
.
Rjeenje: Za poetak emo upotrijebiti formulu
2sin2)cos(1 2
tt . Tako dobivamo
22
1
0
1
0 )2cos(1)cos(11lim)2cos()cos(3lim
x
x
x
x xxxx
2
1
22
0)(sin2
2sin21lim
x
xx
x
2
22
22
)(sin22
sin2
)(sin22
sin2
1
22
0)(sin2
2sin21lim
x
xx
xx
xx
x
.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
20/134
20
Izraz u vitiastim zagradama tei prema broju e . Nadalje,
2
2
2
2
02
22
0
)(sin
22
sin4
2
1
lim
)(sin22
sin2
lim x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
)sin()sin(2
2
2sin
2
2sin
2
1lim
)(sin2
4
2sin
2
1lim
02
2
2
2
0
2
5
22
1
112112
1
.
Rezultat zadatka je 18249396.1225
e .
Zadatak 23.Izraunajte limes)2sin(
1
0 )3(tg1
9lim
xx
x x
.
Rjeenje:
)2sin(
1
2
1
0
)2sin(
2
2
1
0
)2sin(
1
)2sin(
0
)2sin(1
0)3(tg1lim
9lim
)3(tg1
9lim
)3(tg1
9lim
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
x
)2sin(2
)3(tglim
)2sin(2
1)3(tg
)3(tg
1
0
12
1
0
3
)3(tg1lim
9
x
x
xx
xx
x
ex
.
Vrijedi
)2sin(
)3sin(lim
)3cos(2
1lim
)2sin()3cos(2
)3sin(lim
)2sin(2)3cos(
)3sin(
lim)2sin(2
)3(tglim
00000 x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
xxxxx
4
3
2
311
2
1
2
3
)2sin(
2
3
)3sin(lim
12
10
x
x
x
x
x
x
x.
Dakle, rezultat zadatka je 417099658.133 43
4
3
e
e.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
21/134
21
Zadatak 24.Izraunajte limes6
2 )3(sin
0)2cos(
3
1)cos(
3
4lim
x
x
xxx
.
Rjeenje: Vrijedi
)2cos(3
1)cos(
3
4)2cos(
3
1)cos(
3
4xxxx
)(sin2
3
1
2sin2
3
41
3
1)2cos(1
3
1
3
4)cos(1
3
4 22x
xxx
)(sin3
2
2sin3
8
1
22
x
x
.
I tako,
6
2
6
2 )3(sin
22
0
)3(sin
0)(sin
3
2
2sin
3
81lim)2cos(
3
1)cos(
3
4lim
x
x
x
x
x
xx
xxx
6
222
)(2sin3
2
22sin
3
81
)3(sin)(sin
3
2
2sin
3
8
22
0)(sin
32
2sin
381lim
x
xx
x
x
xx
xx
6
222
0
)3(sin)(sin
3
2
2sin
3
8lim
x
xx
x
xe
.
Nadalje,
2
2
422
06
222
0 9
)3(sin9)(sin
3
2
2sin
3
8lim
)3(sin)(sin
3
2
2sin
3
8lim
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xxx 3
)3sin(lim
3
)3sin(lim
3)(sin2
2sin8lim
00422
0
4
22
0422
0
)(sin2
sin4lim611
6)(sin
2sin4lim
x
xx
xx
x
xx
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
22/134
22
4
222
04
2
2
0
2cos
2sin4
24sin
lim62
cos2
sin22
4sin
lim6
xxxxxx
xx
4
22
04
222
0
2cos1
2sin
lim242cos
2sin
2sin
lim24x
xxxxx
xx
16
2sin
lim16
242sin
lim242sin
2sin
lim24 4
4
04
4
04
22
0 x
x
x
x
x
xx
xxx
2
31111
2
3
2
2sin
2
2sin
2
2sin
2
2sinlim
2
30
x
x
x
x
x
x
x
x
x.
Rezultat zadatka je 22313016.023
e .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
23/134
23
3. Raunanje limesa uz upotrebuLHpitalovog pravila
Osim rezultata koje smo koristili u prethodnom poglavlju, u ovom poglavlju kod raunanja
limesa koristimo jo iLHpitalovo pravilo. To pravilo kae da, ako limes)(
)(lim
xg
xf
axima
oblik0
0ili
, a
)(
)(lim
xg
xf
ax
postoji i ima vrijednost L , onda limes)(
)(lim
xg
xf
axtakoer postoji i
ima vrijednost L . Drugim rijeima,
Lxg
xf
xg
xf
axax
)(
)(limili
0
0
)(
)(lim .
Zadatak 25.Izraunajte limes)2arccos()2cos(
))2ln(cos(lim
20 xxx
x
x .
Rjeenje:
0
0
0
)1ln())2ln(cos(lim
)0arccos()0cos(
1
)2arccos()2cos(
))2ln(cos(lim 2020 x
x
xxx
x
xx
)2cos(2 )2sin(2lim22 )2cos(
)2sin(2
lim
21
1' 00 xxx
xx
x
pravilo
HopitalovoL
emoprimjenjuj
xx
273239545.14
14
2
)2sin(lim
)0cos(
40
x
x
x.
Zadatak 26.Izraunajte limes
5
3arcsin)23(
1)ln(lim
3
)ln(
1
xx
xe x
x.
Rjeenje:
23
1)ln(lim
5
3arcsin
1
5
3arcsin)23(
1)ln(lim 313
)ln(
1 xx
xx
xx
xe
x
x
x
0
0
33
11
33
1lim
5
3arcsin
1'
0
0
231
1012
1
1 x
x
pravilo
HopitalovoL
emoprimjenjuj
x
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
24/134
24
258999812.0
5
3arcsin6
1
6
1
5
3arcsin
1
6lim
5
3arcsin
1'
2
1
x
x
pravilo
HopitalovoL
emoprimjenjuj
x.
Zadatak 27.Izraunajte limes)5ln()5ln(
)3cos()2cos(lim
)ln(3)ln(21
xxx eex
xx .
Rjeenje:
)5ln()5ln(
)3cos()2cos(lim
)5ln()5ln(
)3cos()2cos(lim
)ln()ln(1)ln(3)ln(2132 xxxxxx eex
xx
eex
xx
.'
0
0
)5ln()115ln(
11
)5ln(1
5ln
)3cos()2cos(lim
321
HL
x
xx
xx
x
4
1
412
1 325
)3sin(3)2sin(2lim
115
11
03
255
1)3sin(3)2sin(2
lim
3x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
x
5
22
1 122
)3cos(9)2cos(4lim5.'
0
0
325
00
x
xxHL
x
674011.242
5
25
10
55
122
)1(9145 2
2222
.
Zadatak 28.Izraunajte limes
)3sin()sin(
)12ln(214lnlim
)ln(2)ln(
2
1 xx
eex xx
x
.
Rjeenje:
)3sin()sin(
)12ln(1
214ln
lim)3sin()sin(
)12ln(214ln
lim
2
2
1
)ln()ln(
2
1
2
xx
xxx
xx
eex
x
xx
x
.'0
0
11
)12ln()48ln(
)3sin()sin(
)12ln(1
16lnlim
2
2
1HL
xx
xx
x
)3cos(3)cos(
216
lim48
1
)3cos(3)cos(
02
161
16
1
lim
3
2
1
3
2
2
1 xx
x
xx
x
xx
xx
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
25/134
25
)3sin(9)sin(
6
lim12
1.'
0
0
00
821622
4
2
1 xxxHL
x
101321183.01
96
96
8
96
12
1
9
166
12
122222
.
Zadatak 29.Izraunajte limes)395(
)2(tg2lim
20
xx
xx
x.
Rjeenje:
)395()395(
)395()2(tg2lim
)395(
)2(tg2lim
2020 xxx
xxx
xx
xx
xx
30200 5
)2(tg2lim)33(
)995(
)2(tg2lim)395(lim
x
xx
xx
xxx
xxx
2
2
030 3)2(cos
22
lim5
6.'
0
0
0
00)2(tg2lim
5
6
x
xHL
x
xx
xx
2
2
02
2
02
2
0
1)2(cos
1
lim5
4)2(cos
11lim
5
4)2(cos
11lim
15
12 xx
xx
xxx
2
2
02
2
0222
2
0 4
)2(sinlim
5
16)2(sinlim
)0(cos5
4
)2(cos
)2(cos1lim
5
4
x
x
x
x
xx
x
xxx
2.35
1611
5
16
2
)2sin(
2
)2sin(lim
5
160
x
x
x
x
x.
Zadatak 30.Izraunajte limes )2ln()ln(
)3ln(ln(2)lim
22
3
1 xxxx
xx
x
.
Rjeenje:
)2ln(
)3ln(ln(2)lim
)1ln(1
1
)2ln()ln(
)3ln(ln(2)lim
2
3
1222
3
1 xx
xx
xxxx
xx
xx
)22)(3(
)33)(2(lim1
222
3
330
lim
)01(
1.'
0
0
)1ln(
)2ln()2ln(3
22
12
3
2
12
xxx
xxx
xxx
xx
x
HLxx
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
26/134
26
)1(lim
4
3
1
)1)(1(lim
4
3
1
1lim
2
3
2
1
22
33lim
13
1211
2
1
2
1x
xx
x
xx
xxxx
2
324
3
.
Zadatak 31.Izraunajte limes
x
x
x
xx
x
2
1
2ln
2
1
2ln3
lim2
2
1.
Rjeenje:
22ln
22lnlim2
2
1
2ln
2
1
2lnlim31
2
1
2ln
2
1
2ln3lim1
22
1
2
2
1
2
2
1 xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
22
1
22
1
)(
22
1
lim2.'0
0
)1ln(
)1ln(
2
1
2
1ln
2
1
2
1ln
2
1
322
1 x
xx
xxxx
HLx
2
3
1
1
121
3
1221 1lim
11
lim
2
1
2
11
2)1(
1lim
22
1lim2
x
xx
xxx
xx
xx
xx xxxx
8241
114
1lim4
)1(
)1)(1(lim212
1lim
11
11
122
12
22
13
4
1
x
x
xx
xx
xx
x
xxx.
Zadatak 32.Izraunajte limes
)2ln(
2 8ln)8ln(
2cos1
limx
x
ex
x
.
Rjeenje:
xx
x
ex
x
xxx 28ln)8ln(
2cos1
lim8ln)8ln(
2cos1
lim12)2ln(2
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
27/134
27
)28(
28
122
sinlim.'
0
0
)8ln()8ln(
11
4
2
18ln)8ln(
)cos(1
21
2x
xx
x
HLx
282
sinlim4
282
sinlim
8
12
282
sinlim
42
18
12
222222 x
x
x
x
x
x
xxx
8116
2)cos(
416
22cos
lim4.'0
0
2418
)sin(
32
x
x
HLx
2
44
224
.
Zadatak 33.Izraunajte limes
231)3ln(
)12ln(
ln(9)lim
xxxx.
Rjeenje:
231231)3ln(
)12ln(
ln(3)2lim
)3ln(
)12ln(
ln(9)lim
xxxxxx xx
)12ln()(
)12ln(22lim)3ln(
1
)12ln(
2lim)3ln(
23
23
1231 xxx
xxx
xxx xx
122)()12ln()23(
12
246
lim)3ln(.'0
0
0)11(
022
232
2
1
xxxxxx
xxx
HL x
.'0
0
1
220)23(
1
246
12
22)12ln()23(
12
246
lim)3ln( 232
2
1HL
xxxxx
xxx
x
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
28/134
28
2
2322
2
1
)12(
2)22()12()46(
12
2)23()12ln()26(
)12(
22412
lim)3ln(
x
xxxxx
xxxxx
xx
x
1
0220
4412)3ln(
1
2)22(1)46(
1
2)23(0)26(
1
4412
)3ln(
295836866.3)27ln()3ln()3ln(34
12)3ln(
220
12)3ln( 3
.
Zadatak 34.Izraunajte limes
)14ln(
212 1lim2
1 xxx.
Rjeenje:
)14ln()12(
24)14ln(lim
)14ln(
2
12
1lim
2
1
2
1 xx
xx
xx xx
14
4)12()14ln(2
414
4
lim.'0
0
)12ln()11(
22)12ln(
2
1
x
xx
xHLx
2
2
2
1
)14(
44)12(
14
42
14
42
0)14(
44
lim.'0
0
12
4)11()12ln(2
412
4
xx
xx
xHL
x
116
16
088
16
)12(
16
)11(12
8
12
8)12(
16
2
2
.
Zadatak 35.Izraunajte limes )(ctg0
2
)cos(lim xx
x
.
Rjeenje: Iz formule
2sin2)cos(1 2
tt , koju smo izveli u zadatku 21, slijedi da je
2sin21)cos( 2
tt . Koristei taj identitet, dobivamo
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
29/134
29
)(ctg2
sin2
2sin2
1
2
0
)(ctg
2
0
)(ctg
0
22
2
2
2
2sin21lim
2sin21lim)cos(lim
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
.
Izraz u vitiastim zagradama tei prema broju e . Nadalje,
)sin(2
sinlim)0cos(2
)sin(
)cos(
2sinlim2)(ctg
2sin2lim
2
2
02
22
0
22
0 x
x
x
xxx
x
xxx
x
x
xx
xx
HLxx
2sin
lim)0cos(2
)0cos(2
2)cos(2
1
2cos
2sin2
lim12.'0
0020
2
11
2
1
2
2sin
lim2
12sin
lim00
x
x
x
x
xx.
Rezultat zadatka je 606530659.021
e .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
30/134
30
4. Deriviranje implicitno zadanih funkcija
Kada se kae da je funkcija )(xyy implicitno zadana jednadbom 0),( yxF , pod time se
misli da za svaki x iz domene funkcije )(xy vrijedi 0))(,( xyxF . Drugim rijeima, graffunkcije )(xy jepodskup skupa svih toaka ),( yx u kojima vrijedi 0),( yxF .
Iz jednadbe kojom je funkcija )(xyy zadana implicitno, ponekad je mogue za dotinufunkciju dobiti i eksplicitnu formulu. (Pod eksplicitnom formulom podrazumijevamo formulukoja poinje sa y , a nastavlja se izrazom koji je ili konstanta, ili ovisi samo o varijabli x ,a ne i o varijabli y .) U zadacima koji slijede (osim moda u zadatku 37), eksplicitnu formulunije mogue dobiti, ali je ipak u nekim tokama mogue odrediti vrijednost implicitno zadanefunkcije, te vrijednosti njezine prve i druge derivacije.
Zadatak 36.Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
xeyyx 38)cos( . (1)
Izraunajte )0(y , )0(y i )0(y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo
1)0(803
ey , 8
1
)0(
3
y , 2
1
)0( y .
Derivacija jednadbe (1) je
xeyyyyxy 224)sin()cos( . (2)
U jednadbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo
,)0(4
124)0(
2sin0
2cos 0eyy
1)0(600 y , 1)0(6 y ,6
1)0( y .
Derivacija jednadbe (2) je
yyxyyyxyyyy )sin()cos()sin()sin(xeyyyyy 22448 . (3)
U jednadbi (3) stavljamo 0x i na taj nain dobivamo
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
31/134
31
1)0(4
124
36
1
2
14800
62sin
62sin
y
,
1)0(6
72
48
66
y
, 1)0(6
3
2
3
y
,
3
1
3
1
3)0(6
y ,
18
1)0(
y .
Zadatak 37. Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
8)2cos(
33
xe
xyy
x . (1)
Izraunajte )0(y , )0(y i )0(y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo
8)0cos()0(
)0(
0 03 ey
y ,
8
1)0(3 y ,
2
1)0( y .
Derivacija jednadbe (1) je
xexyxyyy
yxy 3322 38
1)2sin(2)2cos(31 ,
xexyxyyy
yxy 3322 8
3)2sin(2)2cos(3
. (2)
U jednadbi (2) stavljamo 0x i tako dobivamo
18
301)0()0(3
)0(
)0( 22
yyy
y,
8
3)0()0(3
)0(
1 2 yyy
,
8
3)0(
4
32 y , 3)0(616 y , 13)0(6 y , ...166.2
6
13)0( y .
Derivacija jednadbe (2) je
)2cos(3)2cos()(62)()( 22
4
2
xyyxyyy
yyyxyyyxyy
xexyxyyxyy 33228
92)2cos(2)2sin(6)2sin(23 . (3)
U jednadbi (3) stavljamo 0x i na taj nain dobivamo
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
32/134
32
8
9)0(400)0()0(31)0()0(6
)0(
)0()0(2)0( 3224
yyyyyy
yyy,
89
)0(4)0()0(3)0()0(6)0(
)0(2 3222
yyyyyy
y
,
8
9
8
14)0(
4
3
36
1693
4
13
13
y ,8
13)0(
4
3
12
169
3
52 y .
Mnoei sa 24 , odavde dobivamo
39)0(18338416 y , 715)0(18 y , ...7222.3918
715
)0( y .
Zadatak 38.Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
)cos(1
3)3(tg3 3
yxyx
. (1)
Izraunajte )0(y i )0(y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo
01
3)0(03 3
y , 3
1
3)0( y .
Derivacija jednadbe (1) je
2
22
3
23
)cos(1
)sin()cos(33
)3(cos
3)3(tg
3
1
yx
yyxyyy
xyx
. (2)
U jednadbi (2) stavljamo 0
x i tako dobivamo
2
22
3
23
)01(
0)3cos(3)0(33
1
3)30(
3
1
y ,
)3cos(3)0(27333
1 2 y , )1(3)0(27327
1 y ,
3)0(9
1 y ,
9
26
9
13)0( y .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
33/134
33
Zadatak 39.Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
)2sin(
)2arcsin(2)2cos(
92
2
x
yxy
. (1)
Izraunajte
4
y i
4
y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo4
x . Tako dobivamo
2sin
42arcsin2
2cos
49
22
y
y ,
42arcsin2
9
2 y ,
342arcsin2
y ,
642arcsin
y ,
2
1
6sin
42
y ,
4
1
4
y .
Derivacija jednadbe (1) je
)2cos(9
2
)2sin()2()2cos(20
22
2
xy
xyxyy
)2(sin
)2cos(2)2arcsin(2)2sin(41
22
2
2
x
xyxy
y
. (2)
Stavljajui 4
x , iz jednadbe (2) dobivamo
22 1
022
1arcsin21
16
141
42
2
016
1
92
1)2(16
10
44
12
y
y
,
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
34/134
34
4
3
44
32
8
1
y
,
3
161
2
3
44
y
,
16
3
3
48
y
,
01292177.0128
33
4
y .
Zadatak 40.Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
2
)23()ln(
123 3
xxyxexyy . (1)
Izraunajte )0(y i )0(y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo
12
2)0()ln()0(
1
yey , 1)0(2 y ,2
1)0( y .
Na desnoj strani jednadbe (1) primjeujemo izraz 12)23( xx . Taj izraz deriviramo nalogaritamski nain:
)23ln()12(23ln 12 xxxx ,
23
3)12()23ln(2
)23(
)23(
12
12
xxx
x
xx
x
,
23
36)23ln(2)23()23( 1212
x
xxxx
xx .
Derivacija cijele jednadbe (1) je
)31()(3
1)ln( 23
23
yyyxexy
yxyyexyy
23
36)23ln(2)23(
2
1 12x
xxx
x . (2)
U jednadbi (2) stavljamo 0x i na taj nain dobivamo
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
35/134
35
2
3)2ln(22
2
1)0(
4
31
2
1
3
12
1
2
11)0(
2
ye
y ,
2
3)2ln(2)0(4
313
4
4
1)0(
yey ,
2
3)2ln(2)0(
3
4
4
1)0( y
ey ,
ey
4
1
6
89)2ln(2)0(2
,
730495583.08
1
12
1)2ln()0(
ey .
Zadatak 41.Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
6
)62(84)ln(
233 3
xxyxeexyy . (1)
Izraunajte )0(y i )0(y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo
6
6
6)0(2)ln()0(
2
yey , 6)0(3 y , 2)0( y .
Na desnoj strani jednadbe (1) primjeujemo izraz 23)62( xx . Taj izraz deriviramo nalogaritamski nain:
)62ln()23(62ln 23 xxx x ,
62
2)23()62ln(3
)62(
)62(
23
23
xxx
x
xx
x
,
3
23)62ln(3)62()62( 2323
x
xxxx
xx .
Derivacija cijele jednadbe (1) je
)244()84(3
1)ln( 23
23
yyyxeexy
yexeyyeexyy
3
23
)62ln(3)62(6
1 23x
x
xx
x
. (2)
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
36/134
36
Stavljajui 0x , iz jednadbe (2) dobivamo
3
2)6ln(336
6
1)0(964
44
1
3
1221)0( y
e
ey ,
3
2)6ln(36)0(964
48
14)0( yy ,
4)6ln(18)0(212
14)0( yy ,
12
1)6ln(18)0(3 y ,
72277904.1036
1)6ln(6)0( y .
Zadatak 42. Funkcija )(xyy zadovoljava jednadbu
66
4arcsin28)2( 3 33
yyxyx
x . (1)
Izraunajte )0(y i )0(y .
Rjeenje: Za poetak, u jednadbi (1) stavljamo 0x . Tako dobivamo
66)0(
4arcsin)0(8)0(2 3 33
yyy ,
66)0(
4arcsin)0(8)0(8
yyy ,
66)0(
4arcsin
y,
2
1
6sin
6)0(
4
y, 3)0(
2
14 y , 1)0(
2
1 y , 2)0( y .
Na lijevoj strani jednadbe (1) primjeujemo izraz3
)2(
x
x . Taj izraz deriviramo nalogaritamski nain:
)2ln()3(2ln 3 xxx x ,
2
1)3()2ln(1
)2(
)2(
3
3
xxx
x
xx
x
,
2
3)2ln()2()2( 33
x
xxxx
xx .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
37/134
37
Derivacija cijele jednadbe (1) je
)32()2(
3
18)2(
2
3)2ln()2( 23
2333
yyyxyxyx
xxx
xx
0)6(
4
6
41
122
y
y
y
. (2)
Stavljajui 0x , iz jednadbe (2) dobivamo
)0(432)2(3
8)0(22
2
3)2ln(2 3
2333
yy
0)0()62(
4
62
41
122
y ,
0)0(64
4
4
11
1)0(122
4
1
3
8)0(8
2
3)2ln(16
yyy ,
0)0(161
4
3
1)0(1223
2)0(824)2ln(16
yyy ,
0)0(16
1
2
3
1)0(8
3
4)0(824)2ln(16 yyy ,
0)0(316
2
3
68)2ln(16 y ,
)16ln(
3
174)2ln(4
3
174)2ln(16
3
68)0(
38
1y ,
7510116.467)16ln(3
17332)0(
y .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
38/134
38
5. Deriviranje parametarski zadanih funkcija
Neka je I interval u skupu i neka su )(txx i )(tyy neprekidne funkcije sa I u .
Tada je skup IttytxK :))(),(( krivulja u ravnini. Mogue je da za neki 1x nakrivulji Kpostoji vie toaka sa apscisom 1x . Drugim rijeima, mogue je da krivulja K nijegraf nikakve funkcije )(xff . No takoer je mogue i to da krivulja K jest graf nekefunkcije )(xff . U ovom drugom sluaju, kae se da je funkcija f jednadbama )(txx i
)(tyy ( It )zadana na parametarski nain. Ako je funkcija f zadana na parametarskinain, onda za svaki It vrijedi
)())(( tytxf . (1)
Uz pretpostavku da funkcije )(tx i )(ty imaju derivaciju, moe se pokazati da funkcija)(xff ima derivaciju u svim tokama za iji parametar t vrijedi 0)( tx . Deriviranjem
jednadbe (1) nalazimo da u reenim tokama vrijedi )()())(( tytxtxf , pa stoga i
)(
)())((
tx
tytxf
. (2)
U zadacima koji slijede, funkcija je zadana na parametarski nain, a mi koristimo formule (1)i (2) kako bismo toj funkciji i njezinoj derivaciji odredili vrijednost u zadanoj toki.
Zadatak 43.Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadbe
113
6arcsin
13
2arcsin)(
t
t
t
ttx ,
32
23
)1(
)1()(
t
tty .
Izraunajte )0(f i )0(f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi 0)( tx ?
01136arcsin
132arcsin
tt
tt ,
1136arcsin
132arcsin
tt
tt ,
113
6
13
2
t
t
t
t, )13()6()113()2( tttt ,
6183226113 22 tttttt , 619225 tt , 2814 t , 2t .
327
81
)14(
)18()2())2(()0(
3
2
yxff .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
39/134
39
2222 )113(
3)6()113(1
113
61
1
)13(
3)2()13(1
13
21
1)(
t
tt
t
tt
tt
t
ttx ,
2222 53451
5
41
1)5(
3)4()5(1
5
41
1)2(x
15
14
15
7
15
7
25
7
5
31
25
7
5
31
25
7
25
9
1
25
7
25
9
1
.
62
22233223
)1(
2)1(3)1()1(3)1(2)(
t
ttttttty ,
41281
3418
3
3438
3
)4(9381343)9(2)2(
6
76
6
3
y .
7
30
7
152
14
154
15
144
)2(
)2())2(()0(
x
yxff .
Zadatak 44.Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadbe
2
63arccos
8
123arccos)(
t
t
t
ttx ,
22
32
)5(
)7()(
t
tty .
Izraunajte )0(f i )0(f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi 0)( tx ?
0263arccos8123arccos
tt
tt ,
263arccos8123arccos tttt ,
2
63
8
123
t
t
t
t, )8()63()2()123( tttt ,
486243241263 22 tttttt , 4830246 tt , 7224 t , 3t .
2
1
16
8
)59(
)79()3())3(()0(
2
3
yxff .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
40/134
40
2222 )2(
1)63()2(3
2
631
1
)8(
1)123()8(3
8
1231
1)(
t
tt
t
tt
tt
t
ttx ,
25
353
5
31
125
)3()5(3
5
31
1)3(22
x
5
6
20
24
20
12
20
12
25
12
5
41
25
12
5
41
25
12
25
16
1
25
12
25
16
1
.
42
2322222
)5(
2)5(2)7()5(2)7(3)(
t
ttttttty ,
316
48
16
2472
1616
24161672
4
642816643)3(
4
y .
2
5
6
53
5
63
)3(
)3())3(()0(
x
yxff .
Zadatak 45.Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadbe
33
3
358
1)(
tt
ttx ,
2arccos
3cos)(
ttty
.
Izraunajte
2
1f i
2
1f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi
2
1)( tx ?
2
1
358
13
3
3
tt
t,
8
1
358
13
3
tt
t, 358)1(8 33 ttt ,
88358 33 ttt , 55 t , 1t .
632
1
2
1arccos
3cos)1())1((
2
1
yxff .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
41/134
41
23
23323
2
3
3
)358(
)524()1()358(3
358
1
3
1)(
tt
ttttt
tt
ttx ,
2561021312565848813116 29216316231)1(
23
2
2
3
2
x
96
5
32
5
3
1
128
54
3
1 .
2
1
21
1
3cos
2arccos
33sin)(
2
tt
ttty
,
2
1
4
3
1
2
1
332
3
2
1
4
11
1
3cos
2
1arccos
33sin)1(
y
18
333
32
3
18
3
32
1
18
3
22
32
1
18
3 2222
18 332
.
3
33
5
16
18
33
5
96
96
518
33
)1(
)1(
2
1 222
x
yf
77686261.2315
)3(316 2
.
Zadatak 46.Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadbe
23
12arcsin
)(
t
ttx
,
3 4
12)(
t
tty .
Izraunajte )6(f i )6(f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi 6)( tx ?
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
42/134
42
6
23
12arcsin
t
t
,
6
123
12arcsin
t
t
,623
12arcsin
t
t,
2
1
6sin
23
12
t
t, 2
12
23
t
t, 2423 tt , 4 t , 4t .
2
3
8
9)4())4(()6(
3 yxff .
2
22
23
12arcsin
)23(
3)12()23(2
23
121
1
)(
t
t
t
tt
t
t
tx
,
36
28
1
2
3
1
6
1414
7
4
11
1
14
7arcsin
14
37142
14
71
1
)4( 222
22
x
37
1837
18
314
36
36
143
1
22.
23
3
232
1
4
)4(3
1124)12(
2
2
)(
t
ttttty ,
485
412
5
412
38
44
1
3
2
44
1
3
132
3
1
8
83
1989
)4( 23
3
232
1
y .
220427006.0864
335
18
37
48
5
37
1848
5
)4(
)4())4(()6(
x
yxff .
Zadatak 47.Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadbe
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
43/134
43
)13ln(
)749ln()(
2
t
tttx , 32)13()( ttty .
Izraunajte )2(f i )2(f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi 2)( tx ?
2
13ln
)749ln( 2
t
tt, )13ln(2)749ln( 2 ttt , 22 )13(ln)749ln( ttt ,
22 )13(749 ttt , 169749 22 tttt , 62 t , 3t .
100010)19()3())3((2 336 yxff .
2
22
)13ln(13
3)749ln()13ln(
749
418
)(
t
tttt
tt
t
tx ,
22 )10ln(
)100ln(10
3)10ln(
100
58
)10ln(10
3)71281ln()10ln(
71281
454
)3(x
)10ln(501
)10ln(50
1
)10ln(50
3029
)10ln(10
6
50
29
)10ln()10ln(210
3)10ln(50
29
2
.
)13ln()32())(ln( ttty ,
13
3)32()13ln(2
)(
)(
ttt
ty
ty,
13
3)32()13ln(2)13(
13
3)32()13ln(2)()( 32
t
ttt
t
tttytyt .
9)10ln(2010010
9)10ln(21000
10
33)10ln(210)3( 3
y .
9)10ln(20100)10ln(50
)10ln(50
19)10ln(20100
)3(
)3())3((2
x
yxff
1403.6338069)10ln(20)10ln(5000 .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
44/134
44
Zadatak 48.Graf funkcije )(xff ima parametarske jednadbe
)234ln(
)12ln()(
2
tt
ttx , 432 )9()( ttty .
Izraunajte
2
1f i
2
1f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi2
1)( tx ?
2
1
)234ln(
)12ln(2
tt
t, )234ln()12ln(2 2 ttt , )234ln()12(ln 22 ttt ,
234)12(22
ttt , 23414422
tttt , 1t .
10
110)91()1())1((
2
1 143
yxff .
222
2
)234ln(234
38)12ln()234ln(
12
2
)(
tt
tt
tttt
ttx ,
)3ln(361
)3ln(49
1
)3ln(49
1112
)3ln(49
11
3
4
)3ln(2)3ln(2)3ln(9
11)3ln(23
2
)9ln(9
11)3ln()9ln(3
2
)1( 2
x .
)9ln()43())(ln( 2 ttty ,
9
2)43()9ln(3
)(
)(2
2
t
ttt
ty
ty,
9
2)43()9ln(3)9(
9
2)43()9ln(3)()(
2
2432
2
2
t
tttt
t
ttttyty
t .
50
1)10ln(15
100
2)10ln(302)10ln(3010
10
2)10ln(310)1( 21
y .
50
1)10ln(15)3ln(36
)3ln(36
150
1)10ln(15
)1(
)1())1((
2
1
x
yxff
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
45/134
45
52920057.261)10ln(15)3ln(25
18 .
Zadatak 49.Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadbe
25
62)(
3
t
ttx ,
5
4arccos)82()( 72
t
ttty
t .
Izraunajte )0(f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi 0)( tx ?
0
25
623
t
t, 062 t , 62 t , 3t .
23
23
)25(
3)62()25(2)(
t
ttttx ,
14
4
)2(
930)2(2)3(
2
x .
U formuli za )(ty primjeujemo izraz 72)82( tt . Taj izraz deriviramo na logaritamskinain:
)82ln()72()82(ln 72 ttt t ,
82
)72(2)82ln(2
82
2)72()82ln(2
)82(
)82(72
72
t
tt
ttt
t
tt
t
,
82
)72(2)82ln(2)82()82( 7272
t
tttt
tt .
5
4arccos)82()(
72
t
ttty t
22
72
)5(
1)4()5(1
5
41
1
82
)72(2)82ln(2)82(
t
tt
t
tt
ttt t
22
72
)5(
1
541
1
82
)72(2)82ln(2)82(
tttt
ttt t .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
46/134
46
4
1
4
3
11)2ln(22
2
1
2
11
1
2
12)2ln(22)3(
22
1y
6
32)2ln(4
32
32)2ln(4
32
12)2ln(4
4
1
2
3
12)2ln(4
.
6
32)2ln(4
16
32)2ln(4
)3(
)3())3(()0(
x
yxff
483913588.4)2ln(4263 .
Zadatak 50. Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadbe
86
3arcsin)(
3tt
ttx , ttty t 8)1()( 1 .
Izraunajte
6
f i
6
f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi6
)(
tx ?
686
3arcsin 3
tt
t,
2
1
6sin
86
33
tt
t, 1
86
63
tt
t,
866 3 ttt , 80 3 t , 83 t , 2t .
1243163)2())2((6
1
yxff
.
86
3
86
31
1)(
32
3
tt
t
tt
ttx
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
47/134
47
23
23
2
3
)86(
)63(3)86(3
86
31
1
tt
tttt
tt
t,
2222 12
186123
2
11
1)8128(
)612(6)8128(3
8128
61
1)2(x
3
1
2
1
3
2
144
72
2
3
1
144
10836
4
3
1
.
Funkciju )(ty deriviramo na logaritamski nain:
)8ln(2
1)1ln()1(8ln)1(ln))(ln( 1 tttttty t ,
tt
tt
tt
tt
ty
ty
2
1
1
1)1ln(8
8
1
2
1
1
1)1ln(1
)(
)(
,
tt
tttt
tt
tttyty
t
2
1
1
1)1ln(8)1(
2
1
1
1)1ln()()( 1 .
7)3ln(1234)3ln(1212
3
12
4)3ln(12
4
1
3
1)3ln(163)2( 1
y .
95858328.3437)3ln(12
3
17)3ln(12
)2(
)2())2((
6
x
yxff
.
Zadatak 51.Graf funkcije )(xfy ima parametarske jednadbe
1
1024)(
2
3 32
t
tttx , )1ln()43()1()( 22 tttty t .
Izraunajte )4(f i )4(f .
Rjeenje: Za koji t vrijedi 4)( tx ?
41
10242
3 32
t
tt, 441024 23 32 ttt , 41023 3 t ,
64102 3 t , 542 3 t , 273 t , 3t .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
48/134
48
30258509.12)10ln(10)10ln(52)3())3(()4( 1 yxff .
22
3 32223
23
)1(
2)1024()1(6)102(
3
18
)(
t
ttttttt
tx ,
100
6)436(10)41824(
10
6)6436(1054643
124
)3(2
2
33
2
x
80
9
10
8
9
100
108
9
100
240108
9240
100
6401016
1824
.
Na desnoj strani formule za )(ty primjeujemo izraz )43()1( 2 tt t . Taj izraz deriviramona logaritamski nain:
)43ln()1ln()2()43()1(ln 2 ttttt t ,
43
3
1
2)1ln(
43
3
1
1)2()1ln(1
)43()1(
)43()1(
2
2
tt
tt
tttt
tt
ttt
t
,
43
3
1
2)1ln()43()1()43()1( 22
tt
tttttt
tt .
)1ln()43()1()( 22 tttty t
1
2
43
3
1
2)1ln()43()1(
22
t
t
tt
tttt
t ,
5
3
5
3
2
1)2ln(1010
6
5
3
2
1)2ln(52)3(
1
y
5
58)2ln(10
5
365)2ln(10 .
9
11658)2ln(800
9
80
5
58)2ln(10
80
95
58)2ln(10
)3(
)3()4(
x
yf
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
49/134
49
7241938.1649
928)2ln(800
.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
50/134
50
6. Primjena derivacija
Neka je )(xff funkcija iz u . Neka je 0x jedna od toaka domene funkcije f . Ako
postoji otvoreni interval I takav da je Ix 0 i da za svaki Ix vrijedi )()( 0 xfxf , ondakaemo da funkcija f u toki 0x ima lokalni maksimum. Slino tome, ako postoji otvoreni
interval I takav da je Ix 0 i da za svaki Ix vrijedi )()( 0 xfxf , onda kaemo da
funkcija f u toki 0x ima lokalni minimum. Ako funkcija f u toki 0x ima lokalni
maksimum ili lokalni minimum, onda kaemo da funkcija f u toki 0x ima lokalni ekstrem.
Ako funkcija f u toki 0x ima lokalni ekstrem, a 0x je toka u kojoj derivacija funkcije f
postoji, onda vrijedi 0)( 0 xf .
Toke u kojima je derivacija funkcije f jednaka nuli zovu sestacionarne toke funkcije f .
Kada naemo stacionarnu toku funkcije f , onda tu toku ispitujemo tako da pobliepromatramo funkciju f , ili tako da poblie promatramo funkciju f .
Naime, ako su zadovoljena sljedea tri uvjeta:
1) vrijedi 0)( 0 xf ,
2) postoji broj 1x (koji je manji od 0x ) takav da za svaki 01 , xxx vrijedi 0)( xf i
3) postoji broj 2x (koji je vei od 0x ) takav da za svaki 20 , xxx vrijedi 0)( xf ,
onda funkcija f u toki 0x ima lokalni maksimum.
Slino tome, ako su zadovoljena sljedea tri uvjeta:
1) vrijedi 0)( 0 xf ,
2) postoji broj 1x (koji je manji od 0x ) takav da za svaki 01 , xxx vrijedi 0)( xf i
3) postoji broj 2x (koji je vei od 0x ) takav da za svaki 20 , xxx vrijedi 0)( xf ,
onda funkcija f u toki 0x ima lokalni minimum.
Ako vrijedi 0)( 0 xf i 0)( 0 xf , onda funkcija f u toki 0x ima lokalni maksimum. Ako
pak vrijedi 0)( 0 xf i 0)( 0 xf , onda funkcija f u toki 0x ima lokalni minimum.
U zadacima koji slijede, trai se toku ekstrema funkcije, ali funkcija nije zadana naeksplicitan nain. Dakle, najprije treba paljivo proitati tekst zadatka i/ili pogledati sliku, paonda napisati formulu za funkciju. Tek nakon toga se funkciju derivira, te se odreuju iispituju stacionarne toke.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
51/134
51
Zadatak 52. Ana ima 5 metara ice. Ona e tu icu prerezati na dva dijela. Jedan dio e bitidugaakx metara, a drugi dio e biti dugaak x5 metara. Od dijela dugakog metaraAna e savijanjem napraviti krug. Od dijela dugakog x5 metara Ana e savijanjemnapraviti kvadrat. (Dakle, opseg kruga e biti metara, a opseg kvadrata e biti x5 metara.)
Neka je )(xf oznaka za sumu povrine kruga i povrine kvadrata. Naite x za kojegafunkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.
Rjeenje: Opseg kruga je . Dakle, xr 2 ,2
xr . Povrina kruga je
44
2
2
22 xx
r .
Opseg kvadrata je x5 . Dakle, duljina stranice kvadrata je4
5 x. Povrina kvadrata je
.16
)5(
16
)5( 22
xx
I tako,
222222
)5(416
1
16
)5(4
16
)5(
4)(
xx
xxxxxf
.
)54(81
)5(48
1
)5(2816
1
)( xxxxxxxf
5)4(8
1 x .
05)4(0)( xxf , 5)4( x , 199504232.24
5
x .
Za
4
5,0x vrijedi 0)( xf , a za 5,
4
5
x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf
poprima lokalno (a i globalno) najmanju vrijednost onda kada je
4
5x .
Zadatak 53. Opseg pravokutnika 1P je metara. irina pravokutnika 1P je dva puta vea
nego visina pravokutnika 1P. Opseg pravokutnika 2P je x27 metara. irina pravokutnika
2P je tri puta vea nego visina pravokutnika 2P . Vidi Sliku 2.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
52/134
52
Slika 2. Pravokutnici 1P i 2P.
Neka je )()()( 21 PkapravokutnipovrinaPkapravokutnipovrinaxf .
Naite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.
Rjeenje:Neka je a oznaka za duljinu krae stranice pravokutnika 1P. Opseg pravokutnika
1P je aaaaa 622 . Dakle, xa 6 , 6
xa . Povrina pravokutnika 1P je
18362
2xxxaa .
Neka je b oznaka za duljinu krae stranice pravokutnika 2P. Opseg pravokutnika 2P je
bbbbb 833 . Dakle, xb 278 ,8
27 xb
. Povrina pravokutnika 2P je
64
)27(3
8
)27(3
8
273
2xxx
bb
.
I tako,64
)27(318
)(22
xxxf .
144
)27(2716
16
)27(3
9)2()27(2
64
32
18
1)(
xxxxxxxf
144
72770
144
5472716
xxx.
Vidimo da je 0)( xf onda kada je
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
53/134
53
072770 x , 02710 x , 2710 x ,10
27x .
Za10
27,0x vrijedi 0)( xf , a za
2
7,
10
27x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf poprima
minimalnu vrijednost onda kada je 7.210
27x .
Zadatak 54.Broj a lei u intervalu 20,0 .
Opseg kruga K je a20 . Najdonja toka kruga K ima ordinatu a . Neka je G najljevijatoka kruga K i neka je H najdesnija toka kruga K. Neka je L lik kojega:
slijeva omeuje pravac koji prolazi kroz toku G i paralelan je sa ipsilon osi, zdesna omeuje pravac koji prolazi kroz toku H i paralelan je sa ipsilon osi,
odozdo omeuje iks os, te odozgo omeuje donji rub kruga K.
Vidi Sliku 3.
Slika 3. Krug K i likL .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
54/134
54
Neka je )(af oznaka za povrinu lika L . Naite broj a za kojega funkcija )(af poprimamaksimalnu vrijednost.
Napomena: Toke IHG ,, i J su vrhovi pravokutnika. Ne samo da se sa Slike 3 stjee takavdojam, nego je i stvarno tako.
Rjeenje: Opseg kruga K je a20 . Dakle, ar 202 , )20(2
1ar
. Radijus kruga
K je )20(2
1a
.
Duljina vodoravne stranice pravokutnika GHIJ je )20(1
2 ar
. Duljina okomite stranice
pravokutnika GHIJ je )20(2
1)krugatockenajdonjeordinata( aararK
.
Povrina pravokutnika GHIJ je
)20(
2
1)20(
1aaa
.
Povrina kruga K je 222
2 )20(4
1)20(
4
1aar
.
)krugapovrina(2
1)kapravokutnipovrina()( KGHIJaf
2)20(81)20(
21)20(1 aaaa
.
)1()20(2
8
1)1(
2
11)20(
1)20(
2
1)1(
1)( aaaaaf
)1()20(2
8
1)1(
2
11)20()20(
2
1)1(
1aaaa
)20(4
1)20(2
1)20()20(2
11aaaaa
)20(
1
4
925
1
4
1520)20(
11aaaaaa
.
0)20(1
4
9250)( aaaf
, 0)20(49100 aa ,
04809100 aa , aa 4980100 , 80100)49( a ,
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
55/134
55
64637244.949
80100
a .
Za49
80100,0
a vrijedi 0)( af , a za 20,
49
80100
a vrijedi 0)( af . Funkcija
)(af poprima najveu vrijednost onda kada je49
80100
a .
Zadatak 55.Jedan metar zlatne sajle kota 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle kota 6 kuna.
Kreimir ima 75 kuna i potroiti e ih ovako: na zlatnu sajlu e potroiti kuna, a na srebrnusajlu e potroiti x75 kuna. Zatim e Kreimir savijati sajle i tako e napraviti dva kruga:od zlatne sajle e napraviti krug 1K , a od srebrne sajle e napraviti krug 2K . (Tonije reeno,
Kreimir e od npr. zlatne sajle napraviti krunicu, i ta krunica je rub kruga 1K .)
Neka je )(xf oznaka za sumu povrine kruga 1K i povrine kruga 2K . Naite za kojegafunkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.
Rjeenje: Kreimir e kupiti8
xmetara zlatne sajle i
6
75 xmetara srebrne sajle. Dakle,
opseg kruga 1K e biti 8
xmetara, a opseg kruga 2K e biti 6
75 xmetara.
Kod svakog kruga vrijedi da je
r2opseg ,2
opsegr , 22
22 )opseg(
4
1
4
opseg)(povrina
r .
I tako, povrina kruga 1K iznositi e2
84
1
x
kvadratnih metara, a povrina kruga 2K
iznositi e2
6
75
4
1
x
kvadratnih metara. To znai da je
36
)75(644
16
7541
841
)(2222 xxxx
xf
.
18
75
324
1
36
)75(2
64
2
4
1)(
xxxxxf
.
018
75
320)(
xxxf , 0)75(3218 xx , 024003218 xx ,
240050 x , 4800100 x , 48x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
56/134
56
Za 48,0x vrijedi 0)( xf , a za 75,48x vrijedi 0)( xf . Funkcija )(xf poprima
minimalnu vrijednost za 48x . Drugim rijeima, zbroj povrina krugova je najmanji ondakada Kreimir potroi 48 kuna na zlatnu sajlu i 274875 kuna na srebrnu sajlu.
Zadatak 56. Jedan metar zlatne sajle kota 4 kune. Jedan metar srebrne sajle kota 2 kune.
Matea ima 88 kuna. Matea e u intervalu 22,0 izabrati broj . Zatim e Matea kupiti
metara zlatne sajle, a novce koji joj nakon toga ostanu potroiti e na srebrnu sajlu.
Od zlatne sajle, Matea e napraviti pravokutnik kojemu je irina dva puta vea nego visina.(Pravokutnik e izgledati otprilike ovako: .) Oznaimo taj pravokutnik slovom P.
Od srebrne sajle, Matea e napraviti kvadrat. Oznaimo taj kvadrat slovom K.
Neka je )()()( KkvadratapovrinaPkapravokutnipovrinaxf .
Naite x za kojega funkcija )(xf poprima minimalnu vrijednost.
Rjeenje: Oznaimo duljinu krae stranice pravokutnika P slovom a . Opseg pravokutnikaP je aaaaa 622 . No u zadatku pie da pravokutnikP ima opseg . Dakle,
xa 6 , te je6
xa . Povrina pravokutnika P je
18362
2xxx
aa .
Matea e na zlatnu sajlu potroiti x4 kuna, pa e joj za srebrnu sajlu ostati x488 kuna.
Dakle, Matea e kupiti xx
2442
488
metara srebrne sajle. Opseg kvadrata K biti e
x244 . Duljina stranice kvadrata K biti e2
114
244 xx
. Povrina kvadrata K biti e
22
1122
11
xx.
I tako,
1211136
9
36
2
1211141811218)(
22222
xxx
xxxx
xf
1211136
11 2 xx .
1
18
11111
18
1111
36
22)( xxxxf .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
57/134
57
Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je 0118
1x , 1
18
1 x , 18x . Pri tome za
18,0x vrijedi 0)( xf , a za 22,18x vrijedi 0)( xf . Dakle, za 18x funkcija
)(xf poprima lokalno (pa i globalno) najmanju vrijednost. Traeni je 18 .
Zadatak 57. Dean kod sebe ima 150 kuna. Dean ide u duan, u kojem jedan metar zlatne sajlekota 9 kuna, jedan metar srebrne sajle kota 6 kuna, a jedan metar plave sajle kota 3 kune.
Kada doe u duan, Dean e u intervalu 9,2
9izabrati broj . Zatim e Dean kupiti
metara zlatne sajle i4
3
x metara srebrne sajle. Sve novce koji mu nakon toga ostanu,
Dean e potroiti na plavu sajlu.
Neka je )(xf oznaka za sumu
(duljina Deanove zlatne sajle) + (duljina Deanove srebrne sajle) + (duljina Deanove plavesajle).
Naite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.
Rjeenje: Dean e na zlatnu sajlu potroiti x9 kuna, a na srebrnu sajlu e potroiti
4
186
4
36
xx
xx kuna. Za plavu sajlu, Deanu e ostati
4
1869150 xx
41815150
x kuna. To znai da e Dean kupiti4
655031
41815150
xx
xx
metara plave sajle. I tako,
4
3350
4
6550
4
3)(
xxxxxf .
Nadalje,
22
)4(
33
)4(
33)(
xx
xf .
Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je
0)4(
33
2
x, 3
)4(
32
x
, 1)4(
12
x
, 1)4( 2 x , 14 x ,
5ili314 x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
58/134
58
U tekstu zadatka pie da je funkcija )(xf definirana na intervalu 9,2
9. U tom intervalu,
jedina stacionarna toka funkcije )(xf je toka 5x .
33 )4( 6)4()2(3)(
xxxf , 0616)5( 3
f .
Funkcija )(xf u toki 5x ima lokalni maksimum. Zbroj duljina Deanovih sajli je najveionda kada Dean izabere broj 5x .
Zadatak 58. Jedan metar srebrne sajle kota 7 kuna. Jedan metar zlatne sajle kota 8 kuna.
Mio je kupio )ln( xe metara srebrne sajle i xe 23 metara zlatne sajle. (Brojxje vei od nule.)
Koristei svu kupljenu sajlu, Mio je na podu napravio pravokutnik. Jedan par paralelnihstranica Miinog pravokutnika je od srebrne sajle, a drugi par paralelnih stranica je od zlatnesajle.
Neka je )(xf oznaka za povrinu Miinog pravokutnika. Naite za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.
Rjeenje: Kod Miinog pravokutnika, svaka srebrna stranica ima duljinu xex 2
1)ln(
2
1, a
svaka zlatna stranica ima duljinu xe 23
2
1 . Dakle, xx exexxf 2323
4
1
2
1
2
1)( .
xxx exexexf 232323 )21(4
1)2(
4
11
4
1)( .
Jednakost 0)( xf vrijedi onda kada je 021 x , 12 x ,2
1x .
Za2
1,0x vrijedi 0)( xf , a za ,
2
1x vrijedi 0)( xf . Dakle, u toki
2
1x ,
funkcija )(xf ima lokalni (pa i globalni) maksimum.
Primijetimo da su podaci o cijenama sajli u ovom zadatku zapravo suvini. Kod rjeavanjazadatka, mi te podatke nismo koristili. (Dakle, cijene sajli su zamka kojom se provjeravamatematiku zrelost studenata.)
Zadatak 59. Jedan metar zlatne sajle kota 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle kota 7 kuna.
Goran e u intervalu 1,3
1izabrati broj x . Zatim e Goran u duanu kupiti x
19 metara
zlatne sajle i xx 35 metara srebrne sajle. Nakon toga e Goran napraviti pravokutnik kojemu
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
59/134
59
jejedna stranica od zlatne sajle, a ostale tri stranice su od srebrne sajle. Oznaimo povrinutoga pravokutnika sa )(xf . Naite za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnuvrijednost.
Napomena. Za 1,3
1x vrijedi 0
19
35
xx
xx . Dakle, sigurno je da e Goran kupiti
vie metara srebrne sajle nego metara zlatne sajle. Takoer je sigurno da e Goran kupiti vieod nula metara zlatne sajle.
Rjeenje: Pravokutnik e imati jednu zlatnu stranicu duljinex
x1
9 metara i jednu srebrnu
stranicu duljine x1
9 metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica biti e x3
5
xxx
xx
x 444
41
9
metara. Svaka od tih dviju stranica biti e duga x2
2
metara. Povrina pravokutnika biti e
22
22 220182
218182
219
xx
xxx
xxx
kvadratnih metara.
Drugim rijeima,2
2 22018)( xxf . Odatle slijedi da je3
436)( xxf . Jednakost
0)( xf vrijedi onda kada je
0436 3 x , 3436 xx , 4364 x , 91
4 x , 312 x ,
577350269.03
3
3
1x .
4
1236)(xf , 014410836
9
112
363
1
f .
Povrina pravokutnika poprima maksimalnu vrijednost onda kada je3
1x .
Primjeujemo da su podaci o cijenama sajli i u ovom zadatku bili suvini.
Zadatak 60. Jedan metar zlatne ice kota 4 kune. Jedan metar srebrne ice kota 2 kune.
Ana ima 44 kune. Ana e u intervalu8
9,0 izabrati broj . Zatim e Ana kupiti x8 metara
zlatne ice, a novce koji joj nakon toga ostanu potroiti e na srebrnu icu.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
60/134
60
Od zlatne ice, Ana e napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu . Odsrebrne ice, Ana e napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu 2x .(Rijeima: duljina okomite stranice srebrnog pravokutnika biti e iks na drugu.) Vidi Sliku 4.
Slika 4. Anini pravokutnici.
Neka je )()()( kapravokutnisrebrnogpovrinakapravokutnizlatnogpovrinaxf .
Naite x za kojega funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost. Koristei drugu derivaciju,ustanovite o kakvoj se ekstremnoj vrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ilimaksimalna vrijednost?
Rjeenje: Opseg zlatnog pravokutnika je x8 , a zbroj duljina okomitih stranica je x2 . Dakle,zbroj duljina vodoravnih stranica je x6 , a duljina jedne vodoravne stranice je x3 . Povrinazlatnog pravokutnika je 233 xxx .
Ana e na zlatnu icu potroiti xx 3248 kuna, pa e joj za srebrnu icu ostati x3244 kuna. To znai da e Ana kupiti x1622 metara srebrne ice. Opseg srebrnog pravokutnika
biti e x1622 , a zbroj duljina okomitih stranica biti e 22x . Dakle, zbroj duljina vodoravnihstranica biti e 221622 xx , a duljina jedne vodoravne stranice biti e 2811 xx .Povrina srebrnog pravokutnika biti e 23443222 118811)811( xxxxxxxxx .
I tako, 2342342 148)118(3)( xxxxxxxxf .
)76(428244)( 223 xxxxxxxf .
Jednakost 0)76(4 2 xxx vrijedi onda kada je 0x , kao i onda kada je
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
61/134
61
0762 xx , 1&72
86
2
646
2
28366
x .
U tekstu zadatka pie da je domena funkcije )(xf interval 8
9,0 . Brojevi 0 i 7 ne lee u
domeni, pa nas jedino zanima to se s funkcijom )(xf dogaa za 1x .
284812)( 2 xxxf , 032284812)1( f .
Funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost za 1x . Radi se o maksimalnoj vrijednosti.
Niti za jedan iz intervala8
9,0 , funkcija )(xf ne poprima tako veliku vrijednost kao za
1x .
Zadatak 61. Jedan metar zlatne sajle kota 6 kuna. Jedan metar srebrne sajle kota 3 kune.
Petra je imala 120 kuna. Petra je u intervalu 7,0 izabrala broj i zatim je kupila metara
zlatne sajle. Osim toga, Petra je 2x kuna dala prosjaku. (Rijeima: Petra je prosjaku dala iksna drugu kuna.) Novce koje nije potroila niti na zlatnu sajlu niti na prosjaka, Petra je
potroila na srebrnu sajlu.
Kada se vratila kui, Petra je napravila pravokutnik kojemu je jedna stranica od zlatne sajle, a
ostale tri stranice su od srebrne sajle. Neka je )(xf oznaka za povrinu toga pravokutnika.
Naite x za kojega funkcija )(xf poprima maksimalnu vrijednost.
Rjeenje: Petra je za zlatnu sajlu dala x6 kuna, a prosjaku je dala 2x kuna. Dakle, za srebrnusajlu joj je ostalo 26120 xx kuna. Za te novce, Petra je dobila
3240)6120(
3
1 22 xxxx metara srebrne sajle.
Petrin pravokutnik ima jednu zlatnu stranicu dugu x metara i jednu srebrnu stranicu dugu
metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica je3
3403
24022 x
xxx
x
metara. Svaka od tih dviju stranica je duga62
320
3340
2
1 22 xx
xx
metara. I tako,
povrina pravokutnika je62
320
62
320
32
2 xxx
xxx
kvadratnih metara. Drugim
rijeima,
xxxxxxxf 2023
662320)( 2332 .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
62/134
62
Odatle slijedi da je 2032
120
2
6
6
3)( 22 xxxxxf .
Jednakost 02032
1 2
xx vrijedi onda kada je
04062 xx , 4&102
8&
2
20
2
146
2
1966
2
160366
x .
U tekstu zadatka pie da je domena funkcije )(xf interval 7,0 . Broj 10 ne lei u domeni,
pa nas jedino zanima to se s funkcijom )(xf deava za 4x .
33
2
2)( xxxf , 0734)4( f .
U toki 4x , funkcija )(xf ima lokalni maksimum. Niti za jedan iz intervala 7,0 ,
funkcija )(xf (to e rei, povrina Petrinog pravokutnika) ne poprima tako veliku vrijednostkao za 4x .
Zadatak 62. Jedan metar srebrne ice kota 50 lipa. Jedan metar zlatne ice kota 2 kune.
Marijana ima 27 kuna. Marijana e u intervalu 4
11,
4
1
izabrati broj . Zatim e Marijanadati kuna prosjaku. Nadalje, Marijana e na srebrnu icu potroiti 2x kuna (rijeima: iks nadrugu kuna). Sve novce koje ne potroi niti na prosjaka niti na srebrnu icu, Marijana e
potroiti na zlatnu icu.
Kada doe kui, Marijana e od srebrne ice napraviti kvadrat. Taj emo kvadrat oznaitislovomK. Marijana e od zlatne ice napraviti takav pravokutnikPkojemu jedna od stranicaima jednaku duljinu kao i stranica kvadrataK. Vidi Sliku 5.
Slika 5. Kvadrat K i pravokutnikP.
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
63/134
63
Neka je )(xf oznaka za povrinu pravokutnika P. Naite za kojega funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost. Koristei drugu derivaciju, ustanovite o kakvoj se ekstremnojvrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ili maksimalna vrijednost?
Rjeenje: Marijana e na srebrnu icu potroiti 2x kuna, a na zlatnu e icu potroiti
227 xx kuna. Dakle, Marijana e dobiti 22x metara srebrne ice i )27(21 2xx metara
zlatne ice. Stranica kvadrata K biti e duga24
2 22 xx metara. Zbroj duljina okomitih
stranica pravokutnika P biti e 222
22x
xx metara. Zbroj duljina vodoravnih stranica
pravokutnika P biti e )327(2
1)27(
2
1 222 xxxxx metara. Duljina jedne
vodoravne stranice pravokutnika P biti e )327(4
1 2xx metara. I tako, povrina
pravokutnika P biti e
)273(8
1)327(
8
1
2)327(
4
1)( 234432
22
xxxxxxx
xxxf .
)184(8
3)184(
8
3)54312(
8
1)( 22323 xxxxxxxxxxf .
Jednakost 0)184(8
3 2 xxx vrijedi onda kada je 0x , kao i onda kada je
0184 2 xx . Potonja kvadratna jednadba zadovoljena je za
2&4
9
8
16&
8
18
8
171
8
28811
x .
Rjeenja jednadbe 0)184(8
3 2 xxx su4
9 , 0 i 2 . Od ta tri broja, u intervalu
4
11,
4
1lei samo broj 2 .
)96(4
3)18212(
8
3)( 22 xxxxxf ,
04
5117
4
3)9224(
4
3)2( f .
Funkcija )(xf poprima ekstremnu vrijednost za 2x . Ta ekstremna vrijednost je
maksimalna vrijednost. Niti za jedan iz intervala
4
11,
4
1, funkcija )(xf ne poprima tako
veliku vrijednost kao za 2x .
-
7/31/2019 37 kolokvijuma zbirka
64/134
64
Zadatak 63.U duanuA, jedan metar srebrne sajle kota 5 kuna.
U duanuB, jedan metar zlatne sajle kota 9 kuna. Meutim, ako u duanuB kupite n metara zlatne sajle, onda na poklon dobivate )1ln(4 n metara srebrne sajle.
Robert e u duanuA kupiti x metara srebrne sajle, gdje je 120 x . U duanuB, Robert ekupiti toliko metara zlatne sajle koliko je potrebno da bi se na poklon dobilo x12 metarasrebrne sajle. Neka je )(xf oznaka za sumu
(novci koje e Robert potroiti u duanu A) + (novci koje e Robert potroiti u duanu B).
Kako glasi formula za funkciju )(xf ? Nadalje, funkcija )(xf ima samo jednu stacionarnutoku. (To jest, jednadba 0)( xf ima samo jedno rjeenje.) Naite stacionarnu tokufunkcije )(xf , pa zatim ispitajte tu toku pomou druge derivacije.
Rjeenje: U duanuA, Robert e potroiti x5 kuna. U duanuB, Robert e kupiti n metarazlatne sajle, pri emu n zadovoljava jednakost xn 12)1ln(4 .
xn 12)1ln(