3.7 曲 率弧微分

曲率及其计算公式

曲率圆与曲率半径

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在实际生活中 ,如公路、铁路的弯道设计时 ,对

于弯曲程度有一定的要求 .因为在一定的速度下 ,

弯曲程度越大 ,转弯时所产生的离心力就越大 ,容易出现翻车 ,脱轨事故 .

此类问题反映在数学上 ,归结为对于曲线的

弯曲程度的讨论和研究 .

一、弧微分

A

0x

M

x

.

),()(

内具有连续导数在区间设函数 baxf

x

y

o

),,(: 00 yxA基点

,),( 为任意一点yxM

规定：

;)1( 增大的方向一致曲线的正向与x

.,,,

)2(

取负号相反时取正号向一致时

的方向与曲线正当

ss

AMsAM

).(xss 单调增函数

),,( yyxxN 设 如图，

NTMTMNMN

,0时当 x

22 )()( yxMN xxy

2)(1 ,1 2 dxy

sMN

,ds

22 )()( dydxMT ,1 2 dxy

dyyNT ,0 .1 2 dxyds 故

,)( 为单调增函数xss .1 2dxyds 故

弧微分公式

N

M TRA

0x x xx x

y

o

二、曲率及其计算公式

曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。

1M

3M

) 2

2M 2S

1SM

M 1S

2SN

N )

弧段弯曲程度

越大转角越大

转角相同弧段越

短弯曲程度越大

1.曲率的定义

1)

)

S

S).

M .

M

C

0M

y

xo

.s

KMM

的平均曲率为弧段

（

设曲线 C是光滑的，

.0是基点M ,sMM

（

. 切线转角为MM

定义

sK

s

0

lim曲线 C在点M处的曲率

,lim0

存在的条件下在dsd

ss

.

dsd

K

2.曲率的计算公式

,)( 二阶可导设 xfy ,tan y

,1 2 dx

yy

d

ds

dk

,arctan y有

.1 2dxyds .

)1( 2

32y

y

(1) 直线的曲率处处为零 ;

(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数 ,且半径越小曲率越大 .

b ax y a y'

0'' y

2

32 )1( y

yk

0

2 2 2R y x 0 2 2

' yy x

y

xy

'2

'''

y

xy yy

2

32 )1( y

yk

R

1

,),(

),(二阶可导设

ty

tx

.

)]()([

)()()()(

2

322 tt

ttttk

,)()(

tt

dxdy

.)(

)()()()(32

2

ttttt

dxyd

例 1 ?2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy

解 ,2 baxy ,2ay

.

])2(1[

2

2

32bax

ak

显然 ,

,2时当

ab

x .最大k

,)4

4,

2(

2

为抛物线的顶点又a

acbab

.最大抛物线在顶点处的曲率

点击图片任意处播放 \暂停

).

(1

),(

,

的半径

为圆弧轨道到

率连续地由零过渡使曲如图缓冲段

弯道之间接入一段稳，往往在直道和

驶平容易发生事故，为了行的曲率突然改变道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯

RR

例 2

.1

)1(

,

],0[6

10

3

RA

Rl

Rl

OOA

OAlOA

xxxRl

y

的曲率近似为

时，在终端

很小并且当为零

的曲率在始端的长度，验证缓冲段为，其中缓冲段

．作为，通常用三次抛物线

x

y

o

R

),( 00 yxA

)0,( 0xC

l

x

y

o

R

),( 00 yxA

)0,( 0xC

证 如图

的负半轴表示直道，x

., 是圆弧轨道是缓冲段 ABOA

（ （

在缓冲段上 ,

,2

1 2xRl

y .1

xRl

y

,0,0,0 yyx 处在 .00 k故缓冲始点的曲率

实际要求 ,0xl

l

B

,6

1 3xRl

y

202

10

xRl

y xx 有 2

21

lRl

,2Rl

0

10

xRl

y xx lRl1

,1R

的曲率为故在终端A

0

2

32 )1(

xxA

y

yk

2

3

2

2

)4

1(

1

Rl

R

,1Rl

.1R

kA 得,4 2

2

Rl略去二次项

x

y

o

R

),( 00 yxA

)0,( 0xC

l

三、曲率圆与曲率半径

定义

D)(xfy

M

k1

).0(),(

)(

kkyxM

xfy

处的曲率为在点设曲线

,曲率中心D .曲率半径

x

y

o

.1

,

,

k

DMD

M

使在凹的一侧取一点

处的曲线的法线上在点

.),(

,

处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以

M

D

1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数 .

.1

,1

k

k即

注意 :

2.曲线上一点处的曲率半径越大 ,曲线在该点处的曲率越小 (曲线越平坦 );曲率半径越小 ,曲率越大 (曲线越弯曲 ).

3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 (称为曲线在该点附近的二次近似 ).

例 3

x

y

o

Q

P

.

,

.70

,/400

,)(4000

2

压力飞行员对座椅的到原点时

求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点

在原俯冲飞行单位为米

飞机沿抛物线

vO

xy

解 如图 ,受力分析 ,PQF

视飞行员在点 o作匀速圆周运动 , .2

mv

F

O点处抛物线轨道的曲率半径

00 2000 xx

xy ,0 .

20001

0 xy

得曲率为 .2000

10xxk 曲率半径为 .2000米

200040070 2

F ),(4.571)(5600 千克牛

),(4.571)(70 千克力千克力 Q

).(5.641 千克力

即 :飞行员对座椅的压力为 641.5千克力 .

四、小结

运用微分学的理论 ,研究曲线和曲面的——性质的数学分支 微分几何学 .

基本概念 : 弧微分 ,曲率 ,曲率圆 .

——曲线弯曲程度的描述 曲率 ;

曲线弧的近似代替曲率圆 (弧 ).

思考题

椭圆 上哪些点处曲率最大？

,cos2 tx ty sin3

思考题解答

23

2 ])(1[

||

y

yk

23

22 )cos9sin4(

6

tt

23

2 )cos54(

6

t

要使 最大，k 23

2 )cos54( t 必有 最小，

23

,2

t 此时 最

大，k

下课了！

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