3.6 Correlação e Densidade Espectral...3.6 Correlação e Densidade Espectral A correlação...
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3.6 Correlação e Densidade EspectralA correlação concentra-se em médias temporais e sinais de energia ou de potência.
Correlação de Sinais de Potência
Seja v(t) um sinal de potência, embora não necessariamente periódico.
A única hipótese que deve ser satisfeita é que possua uma potência média bem definida:
Média temporal
A operação de média temporal é interpretada de forma geral como
onde z(t) é uma função arbitrária do tempo.
Propriedades:
• Conjugado
• Delay
• Linearidade
Produto escalar
Se v(t) e w(t) são sinais de potência, a média v(t)w*(t) é chamado produto escalar de v(t) e w(t),sendo denotada por v(t),w(t) , ou, simplesmente v,w .
Propriedades:
• Existe um elemento nulo θ tal que
• Conjugado
• Multiplicação por escalares , α e β escalares
• Produto escalar de somas
O produto escalar é um número, possivelmente complexo, que serve como uma medida da similaridade entre dois sinais.
Sinais proporcionais (similares) → | v,w| é grandeSinais ortogonais (não similares) → | v,w| = 0
0, =θv
*,, vwwv =
wvwv ,*, αββα =
ywxwyvxvyxwv ,,,,, +++=++
Exemplo: Outra condição na qual v(t),w(t)=0 é“Quando as funções v(t) e w(t) reais possuem simetria oposta, isto é, quando uma é par e outra é ímpar.”
Prova:
Se v(−t) = v(t) e w(− t) = − w(t) , e, substituindo λ por −t na primeira integral dλ =−dt λ = ±Τ/2 → , vem :
#
+== −
∞→−
∞→dttwtvdttwtv
Tdwv
Twv
T
TT
T
TT
)(*)()(*)(1lim)(*)(1lim,2/
0
0
2/
2/
2/
λλλ
2/Tt =
0)(*)()(*)(1lim
)(*)()](*)[(1lim)(*)()(*)(1lim,
2/
0
2/
0
2/
0
0
2/
2/
0
0
2/
=
+−=
+−−=
+−−−=
∞→
−∞→∞→
dttwtvdttwtvT
dttwtvdttwtvT
dttwtvdttwtvT
wv
TT
T
T
TT
T
TT
Funções ortogonais vn(t) e vm(t) são tais que:
e assim:
ou seja, o produto escalar de funções ortogonais é nulo.
_______________________________________________________
=≠
=2
1constante,se
se0)()(
t
tmn KmnK
mndftvtv
=≠
=mnK
mnvv mn se
se0,
Desigualdade de Schwarz
Dadas as funções complexas v(t) e w(t) demonstra-se que:
a qual relaciona o produto escalar v(t),w(t) = v(t)w*(t) com as potências dos sinais, Pv e Pw.________________________________________________________Prova: Para provar a desigualdade emprega-se a função auxiliar
cuja potência média é:
o qual é sempre positivo (ver 3.6-1), e na qual foi usada a propriedade de linearidade (3.6-2c).
Da propriedade do conjugado (3.6-2a), se f=a* v(t)w*(t) , então, f*=a v*(t)w(t), e assim,f+f* = 2Re{f}, e portanto,
Pz
na qual aplicou-se (3.6-1) para as potências médias Pv e Pw, as quais são puramente reais.
continua...
__________________________________________________
Escolhendo-se arbitrariamente:
resulta:
Portanto,
a partir da qual se atinge a desigualdade de Schwarz:
____________________________A igualdade ocorre quando v(t) e w(t) são proporcionais (similares), v(t)=a w(t):
, (de 3.6-1), e
Por outro lado, se v(t) e w(t) forem ortogonais, então #
ww Ptwtv
aP
twtva
)()(**
)(*)(==
ww
www P
twtvP
Ptwtv
Ptwtv
Paa2
)(*)()()(*)(*)(* ==
0)(*)()(*)(
Re2)(*)(
222
≥−=
−−=w
vww
vz Ptwtv
PP
twtvP
twtvPP
)(*)(*)(**)()()( 22 twtwaatwatawtawtvPv ==== )(*)()( 2 twtwtwPw ==
wv PPtwtwtwtwaatwtwatwtwatwtwatwtawtwtv ===== )()(*)(*)(**)(*)(*)(*)()(*)()(*)()(*)(222
0)(*)(0)(*)(2
== twtvtwtv
Convolução cruzada de dois sinais de potência
A convolução cruzada é definida como um produto escalar com um segundo sinal, atrasado por τ em relação ao primeiro, ou, equivalentemente, de um primeiro adiantado por τ em relação ao segundo:
O deslocamento relativo τ é a variável independente, sendo que a variável t é eliminada durante ocálculo da média temporal.
Conclui-se que Rvw(τ) mede a similaridade entre v(t) e w(t−τ) como função de τ.A correlação cruzada é uma medida mais significativa que o produto escalar comum, desde que detecta similaridades ou diferenças com tempo deslocado, as quais seriam ignoradas no primeiro.
Propriedades:
•
que resulta da desigualdade de Schwarz.
•
a qual informa que: .)()( ττ wvvw RR ≠
Exemplo: Mostrar que
O teorema de Schwarz para potência estabelece que:
isto é:
ou explicitamente:
Assim a correlação será:
Como se sabe: e
então,
o que comprova o desejado. #
222)()()(*)( twtvtwtv ≤
2222 )()()(*)()( τττ −≤−= twtvtwtvRvw
22 )()( tvtv =
2222 )()()(*)()( twtvtwtvRvw ≤−= ττ
222 )()()( twtwtw =−=− ττ
∞
∞−∞→
∞
∞−∞→
∞
∞−∞→
×≤ dttwT
dttvT
dttwtvT TTT
222
)(1lim)(1lim)(*)(1lim
Função de autocorrelação
A autocorrelação é a correlação de um sinal consigo mesmo:
a qual proporciona alguma informação sobre a variação no tempo de v(t), pelo menos na média.
Se | Rv(τ) | é grande, infere-se que v(t−τ) é muito similar a v(t) para este valor de τ.Se | Rv(τ) | é pequeno, então, os sinais v(t) e v(t−τ) devem parecer muito diferentes entre si.
Propriedades:
•
•
as quais revelam que o valor máximo de Rv(τ) ocorre na origem e é igual à potência de sinal.
•informando-se que a autocorrelação tem simetria hermitiana.
Como se observa, se v(t) for real, então, Rv(τ) também é uma função real e par.
• Se v(t) for periódica, então, Rv(τ) terá a mesma periodicidade.
Exemplo: Mostrar que Rv(τ) é hermitiano.
Dado que , então
Como , então, .
Seja então
Substituindo t por λ+τ, ocorrem : dt = dλ, λ=t−τ, .
E então
Uma vez que no limite, quando T/2→±∞.
Portanto, se v(t) for real, o resultado da integral é real, e assim, .
Ou seja, Rv(τ) é real e par. #
dttvtvRT
Tv )(*)(lim)(
2/
2/
τττ
−= −
∞→dttvtvR
T
Tv )(*)(lim)(
2/
2/
τττ
+=− −
∞→
*2
*121 )*( zzzz +=+ dttfdttf
T
T
T
T
)(*)(2/
2/
*2/
2/
−−
=
dttvtvdttvtvdttvtvRT
TT
T
TT
T
TTv )()(*lim*)](*)([lim)(*)(lim)(
2/
2/
2/
2/
*2/
2/
* ττττ −=−=
−=
−∞→
−∞→
−∞→
τλ −±=±= 2/2/ TTt
)()()(*lim)()(*lim)(2/
2/
2/
2/
* τλλτλλλτλττ
τ−=+=+= −∞→
−
−−∞→ v
T
TT
T
TTv RdvvdvvR
2/2/ TT ±=−±= τλ
)()()(* τττ −== vvv RRR
Sinais descorrelacionados
Seja o sinal soma ou diferença a seguir:
Sua autocorrelação é dada por:
Trocando t’=t−τ t =t’+τ , e daí, usando (3.6-5), qual seja: ,
Se v(t) e w(t) são descorrelacionados para todo τ, então,
e daí:
Fazendo τ = 0, obtém-se:
na qual se informa que ocorre superposição da potência média para sinais descorrelacionados.
)(*)()(*)()(*)()(*)(
)](*)(*)][()([)(*)()(
ττττ
ττττ
−±−±−+−=
−±−±=−=
tvtwtwtvtwtwtvtv
twtvtwtvtztzRz
)()'(*)'()(*)( τττ wvRtvtwtvtw =+=−
Exemplo 3.6-1: Correlação de fasores e senoides.
Considere-se o seguinte produto escalar:
Usando (2.1-18):
e assim, para f =f1−f2, tem-se:
Aplicando o resultado aos sinais fasoriais:
e
onde Cv e Cw são constantes complexas,
Portanto, os fasores são descorrelacionados, a menos que tenham frequências idênticas.
πππωω
π 2])([2
21
2121
)(1lim Tff
Ttjtj sen
Tffee −
∞→
−
−=
continua...
_____________________________________________________Na autocorrelação, v(t) = w(t) Cv = Cw e ωv = ωw , e assim
No caso do sinal senoidal:
pode-se escrever que:
sendo e
para
Usando (3.6-9b):
com (3.6-11c): , e
resulta
Isto revela que Rz(τ) é real, par e periódico.
)()(2
)()()( 00
twtveeAtztjtj
+=+=+−+ φωφω
tjv
tjjtj eCeeAeAtv 000
22)( )( ωωφφω === + tj
vtjjtj eCeeAeAtw 000
22)( )( ωωφφω −−−+− ===
00* ,,
2ωωωωφ −==== wvw
jv CeAC
tjjvv
ov eAeCR ωτωτ2
2
2)(
== tjj
wwow eAeCR ωτωτ −
==
22
2)(
continua...
___________________________________________________
Valor máximo:
Sendo que este máximo ocorre quando ω0τ é um múltiplo de 2π rad ω0τmax = m2π
tal que,
Por outro lado, Rz(τ) = 0 para ω0τmax = mπ/2, ou seja, quando z(t ± τ) e z(t) estão em quadratura de fase.
Nota-se que o ângulo de fase φ não aparece em Rz(τ) devido ao efeito da média da correlação.
Isto significa que a função de autocorrelação não define univocamente um sinal. #
zz PAR ==2
)0(2
0max
2ω
πτ m=
)()]2cos[])2(cos[])(cos[)( 00
0max0max tzmtAmtAtAtz =±+=+±=+±=± πφωφω
πωφτωτ
Sinais de Energia
Como se sabe, a média de produtos de sinais de energia ao longo do tempo resulta zero.Neste caso, é mais significativo usar a energia total:
Desde que a operação de integração tem as mesmas propriedades matemáticas que a operação de média , todas as propriedades prévias de produto escalar e correlação se mantêm para o caso de sinais de energia, se a potência média for substituída pela energia total Ev.
_____________________________________________________________
∞
∞−dttz )(
)(tz
Exemplo: Produto escalar (medida da similaridade entre sinais).
O produto escalar para sinais de energia é dado por:
Sinais proporcionais (similares) → | v,w| é grandeSinais ortogonais (não similares) → | v,w| = 0
∞
∞−
= dttwtvwv )(*)(,
*
Exemplo: →
Ambos os sinais, f1 e f2, são reais.
Sinais variando em frequência muito distintas. Sinais de frequência próximas.
Existe pouca similaridade entre f1 e f2. Existe maior similaridade.
Área líquida pequena. Área líquida maior.
#
−
∞→=
2/
2/
)(*)(1lim,T
TT
dttwtvT
wv −
∞→=
2/
2/
*2121 )()(1lim,
T
TT
dttftfT
ff
*
Exemplo de sinais onde v,w=0.
a) Quando v(t) e w(t) não são sobrepostos (disjuntos) no tempo.
b) Quando V(f) e W(f) são disjuntos em frequência.
Isto pode ser percebido pelo teorema de Rayleigh: #
v(t)
w(t)t1 t2 t
t3 t4 t
0)(*00)()(*)(4
3
2
1
=+=∞
∞−
t
t
t
t
dttwdttvdttwtv
0)(*)()(*)( == ∞
∞−
∞
∞−
dffWfVdttwtv
Correlação de Sinais de Energia
De forma similar, as funções de correlação para sinais de energia são definidas como:
Desigualdade de Schwarz:
Por similaridade com (3.6-a):
se obtém:
_____________________________________Um exame detalhado de (3.614a) revela que a correlação de sinal de energia é um tipo de convolução, pois, para z=w*(t) e t=λ,
e portanto,
Da mesma forma,
)(*)( ττ zv==)(τvwR
)(**)()( τττ −= vvRv
Relações adicionais em termos da transformada de Fourier V(f)=ℑ{v(t)}
Das relações (2.2-16),
e (2.2-17):
observa-se que (3.6-14a)
conduz a:
A partir daí, tem-se:
Então, combinado com (3.6-15):
para τ =0, ocorre
e daí:
a desigualdade de Schwarz no domínio da frequência (igualdade para V(f) e W(f) proporcionais).
∞
∞−
−∞
∞−
=−= dtefWfVdttwtvR fjvw
τπττ 2)(*)()(*)()(
∞
∞−
−∞
∞−
=−= dtefVfVdttvtvR fjv
τπττ 2)(*)()(*)()(
)0()0()0( 2wvwvvw RREER =≤
∞
∞−
Λ=−ΠΠ= )()(*)()( τττ dtttRx
)(2)(*2)()(*)()( ττττ Λ=−ΠΠ=−= ∞
∞−
∞
∞−
dtttdttytxRxy
Reconhecimento de padrões:
Se a correlação cruzada de objetos A e B é similar à autocorrelação de A, então, B é assumido casado com A.___________________________________________Exemplo: a autocorrelação de x(t)=Π(t) pode ser encontrada realizando a correlação gráfica em (3.6-14a),
e (3.6-14b)
como: (verificar isto)
Examinando a similaridade de y(t)=2Π(t) com x(t), encontra-se a correlação cruzada:
donde se conclui que Rxy(τ) é apenas uma versão escalonada de Rx(τ).Portanto, y(t) se casa com x(t).Contudo, tomando a correlação cruzada de z(t)=u(t) com x(t)=Π(t),
resulta: (verificar isto)
donde se conclui que z(t)= não se casa com x(t). #
∞
∞−
−Π= dttutRxz )(*)()( ττ
Análise de sistemas no domínio τ
Um sinal x(t) com autocorrelação Rx(τ) é aplicado a um SLIT com resposta impulsiva h(t).
O sinal de saída será:
A função de correlação cruzada entre a entrada e a saída é:
e a função de autocorrelação da saída é:
Substituindo (3.6-18) em (3.6-19),
Observe-se que as relações no domínio τ são convoluções, similares àquelas no domínio do tempo.___________________________________Prova: (próxima página)
continua...
Prova: Considere-se que x(t) e y(t) sejam sinais de potência (embora os resultados também se apliquem a sinais de energia).
Hipótese: o sistema é estável [assegura-se que y(t) será o mesmo tipo de sinal que x(t)].
Considera-se, primeiramente, a correlação cruzada (3.6-5): .
Substituindo a integral de convolução h(t)*x(t) para y(t)
e intercambiando a ordem das operações:
Como para qualquer λ, então:
Portanto,
a qual corresponde a prova da primeira parte:
)(*)()( ττ −= txtyRyx
)(*)()()(*)](*)([)( τλλλττ −
−=−=
∞
∞−
txdtxhtxtxthRyx
)()( λ+= tztz↓ ↓
´)(´)(*)(( ττ xRtxtx =−= τ´
continua...
Por outro lado, de (3.6-7):
Como:
trocando μ = −λ dμ=−dλ ,
e assim,
Portanto,
a qual corresponde a segunda parte da prova. #
)](*)(*)[()(*)()(*)()( txthtytytytytyRy ττττ +=+=−=
λλτττλλττ dtxtythdtxtythRy ∞
∞−
∞
∞−
−−+−=−+= )(*)()(*)(*)()(*)(↓ ↓
)(´)(´)(*)()]([*)()(*)( τλττλτλτ +==−=+−=−− yxyx RRtxtytxtytxty
τ´
∞→±∞→ μλ
μμτμτ dRhR yxy −∞
∞
−−−= )()(*)(
Função Densidade Espectral
Dado um sinal de potência ou energia v(t), sua função densidade espectral Gv(f) representa a distribuição de potência ou energia no domínio da frequência. Na seção 2.2, esta função foi designada por |V(f)|2, eportanto, Gv(f) = |V(f)|2.A área sob Gv(f) representa a potência ou energia total:
Se x(t) é a entrada de um SLIT com H(f)=ℑ{h(t)}, então, as funções densidades espectrais de entrada e saída estão relacionadas por:
desde que |H(f)|2 é o ganho de potência ou energia para qualquer f.Estas relações são combinadas em:
a qual expressa a potência ou energia de saída Ry(0) em termos da densidade espectral de entrada.
Se |H(f)|2 for interpretado como um filtro passa baixa estreito atuando sobe um canal arbitrário Gx(f):
Se Δf é suficientemente pequeno, a área sob Gy(f) será:
Conclui-se que para qualquer frequência f=fc, Gx(f) se iguala à potência ou energia de sinal porunidade de frequência.
Pode-se mostrar ainda que qualquer função densidade espectral deve ser real e não negativa para todos os valores de f.
})({)( 21 fVRv−ℑ=τ
2)( fV=
Teorema de Wiener-Khintchine
O teorema de Wiener-Khintchine estabelece a seguinte relação entre a autocorrelação e a TF:
sendo a TF com τ substituindo t. _________________________________________________________________________________________________________________________________________
Prova: se v(t) é um sinal de energia com , aplicando-se (3.6.16),
e (3.6-23a)
obtém-se que:
Fazendo μ=−τ dμ=−dτ
Portanto, ______________________________________________________________________________________________________________
Por outro lado, a TFI será:
Portanto, tem-se o par de TF:
ou seja, a TF da autocorrelação corresponde a distribuição espectral de potência ou energia.
{.}τℑ
2)()( fVfGv =
)}({)( tvfV ℑ=
*
22 )()(*)}(*{
−=−=−ℑ −
∞
∞−
−∞
∞− τττττ τπτπ
τ devdevv fjfj
∞→±∞→ μτ
)(*)()()}(*{
*
2
*
2 fVdevdevv fjfj =
=
−=−ℑ −
∞
∞−
−∞−
∞+ μμμμτ μπμπ
τ
= )(*)()( fVfVfGv
Propriedade: se v(t) for real, Gv(f) é real.
Prova: pelo teorema de Wiener-Khintchine, tem-se:
Como Rv(τ) é real e par, então
par ímpar ímpar real !!c.q.d. #
_______________________________________________Sendo v(t) um sinal de potência periódico com expansão em série de Fourier:
a aplicação do teorema de Wiener-Khintchine para sinal de potência fornece a densidade espectral depotência ou espectro de potência:
Usando (2.5-14b):
se obtém:
ou então:
(mostrar esta última passagem)
ττ τπ deRfG fjvv
2)()( −∞
∞−=
ττπτττπττπτττπτπτ dfRdfjdfRdfjfRfG vvvv 2cos)(2sen2cos)(]2sen2[cos)()( ∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=−=−=
2)( fV=
2
00 )()()( ∞
−∞=
−=n
v nfnnfcfG δ
continua...
__________________________________________________Outra forma de demonstração:
Sabe-se que, se , então, a autocorrelação resulta: .
Além disso, é descorrelacionado com v(t) se n≠ m (relação 3.6-11b).
Desta forma, devido a linearidade, tem-se:
e assim, aplicando a TF a cada parcela (2.5-12),
o teorema de Wiener-Khintchine:
e o princípio de superposição, resulta:
provando-se o desejado. #______________________________________________________________________________
Este espectro de potência consiste de impulsos representando a potência média do fasor |c(nf0)|2 ,concentrada em cada frequência harmônica f=nf0.
tjnn
neAtv ω=)( τωτ njnvn eAR 2)( =
tjmm
meAtv ω=)(
tnfj
nv enfcfR 022
0 )()( π∞
−∞=
=
Substituindo (3.6-25b) em (3.6-20)
resulta:
Recordando (2.5-8):
obtém-se
correspondente ao teorema de Parseval.
∞
−∞=
∞
∞−
∞
−∞=
∞
∞−
−=−=nn
v dfnffnfcdfnffnfcR )()()()()0( 02
002
0 δδ
∞
−∞=
==n
vv PnfcR2
0 )()0(
___________________________________________________
Correlação e teorema de Parseval
Seja z(t) um sinal senoidal:
Usando (3.6-12b):
E então, aplicando o teorema de Wiener-Khintchine:
Por outro lado, pode-se mostrar também que, se o teorema de Wiener-Khintchine for verdadeiro, i.e.,
então,
e
são satisfeitas._____________________________________________________________Prova da primeira parte: segue da TFI dada em (3.6-23b)
na qual, para τ = 0, resulta (3.6-20). #
Prova da segunda parte: usa-se a autocorrelação da saída (3.6-19b):
Como e
o teorema da convolução gera:
Então, se e resulta em (3.6-21). # )()]([ fGR yy =ℑ ττ )()]([ fGR xx =ℑ ττ
Exemplo 3.6-3: Densidade espectral de energia na saída de um SLIT
Seja x(t)=sinc 10t a entrada de um SLIT cuja resposta em frequência é:
A densidade espectral de energia em x(t) é obtida aplicando (3.6-24):
Como
ocorre
e assim
Aplicando (3.6-21):
Energias totais Ex e Ey:
)2/(2
)(2sinc)( WfWAfZWtAtz Π=↔=
)10/(101)(10sinc)( ffXttx Π=↔=
(somente a região onde as funções se superpõem)
continua...
Ou, alternativamente,
e assim:
Por outro lado,
Alternativamente,
e daí,
O espectro de saída será:
enquanto o sinal de saída:
#
τττ 10sinc101)]10/(
1001[)]([ 11 =Πℑ=ℑ= −− ffGR xx
101)0( == xx RE
ττ ττ 4sinc259)]4/(
1009[)]([)( 11 =Πℑ=ℑ= −− ffGR yy
259)0( == yy RE
Πℑ=ℑ= −−− 2211 )4/(
414
102)]([)( fjetfYty π
)2(4sinc56)( −= tty
Exemplo 3.6-4: Filtro comb (ou pente)
A resposta impulsiva é:
tal que
Desta forma:
O formato de |H(f)|2 justifica o nome do filtro (pente).
continua...
Se a densidade espectral de entrada for conhecida, a densidade e autocorrelação na saída podem ser obtidas por:
Se a autocorrelação de entrada for conhecida, também é possível se calcular Ry(τ) como (3.3-19b):
Calcula-se:
e daí:
Portanto, usando a propriedade:
resulta:
A potência ou energia de saída será então:
#
)(*)]()(*[1 τxRfHfH−ℑ= )(*])([)( 21 ττ τ xy RfHR −ℑ=
]2[])([ 22121 fTjfj eefH πτπττ
−−−− −ℑ=ℑ
)()(*)( dd tvtv =−τδτ
)()()0(2)0( TRTRRR xxxy −−−=