3.5.3.- Tecnicas de conteo.pdf

Unidad I Probabilidad Guía del alumno

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3.1 Técnicas de conteo

Para pronosticar el triunfador en una elección municipal necesitamos al menos conocer quiénes son los candidatos de los distintos partidos políticos, así como para pronosticar si la selección mexicana de futbol ganará un partido, es necesario saber si en caso de empate el partido se decidirá en tiempos extra o por medio de penales. En general, no es posible hacer predicciones razonables a menos de que conozcamos lo que es posible, es decir, es necesario conocer lo que es posible antes de juzgar lo que es probable. En el análisis de lo que es posible, un problema muy importante es el especificar cuántas distintas situaciones pueden suceder. Para conocer todas las posibles ocurrencias de un evento determinado es necesario contar el número de elementos de las combinaciones entre varios conjuntos; una forma es utilizar los diagramas de Venn – Euler, otra forma es emplear los diagramas de árbol. Ejemplo 3.14 Supongamos que el Comité Ejecutivo Estatal de un partido político debe elegir un candidato a diputado local y un candidato como diputado suplente por un distrito. Los posibles candidatos titulares a diputados son el Sr. Gonzáles, la Sra. Fernández y la Sra. Huerta y los candidatos a diputados suplentes son la Sra. Arteaga, el Sr. Torres y el S r. Uribe. ¿Cuántas posibles fórmulas pueden integrar si para ganar el voto femenino deciden que un candidato sea hombre y otro mujer? A continuación se muestra el diagrama de árbol, donde las ramas de la izquierda representan los candidatos titulares y las ramas de la derecha los posibles candidatos suplentes. Cada uno de los cinco caminos representa una de las fórmulas posibles que el Comité Ejecutivo Estatal debe tomar en consideración. Por ejemplo el cuarto vértice de arriba abajo corresponde al camino de la Sra. Huerta (titular) y del Sr. Torres (suplente) Suplentes Fig.1.41 Los diagramas de árbol nos permiten describir una amplia variedad de situaciones, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.15 Suponga que usted trabaja en la NASA. Tiene el comando de cinco proyectiles, dos que han sido saboteados por agentes enemigos. Escoge dos al azar, para encenderlos.

Sr. Uribe

Sra. Fdz.

Sr. Glz.

Titulares

Sra. Huerta

Sr. Torres

Sra. Arteaga

Sr. Torres

Sr. Uribe Comité Ejecutivo Estatal


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Solución. Podemos definir los tres proyectiles buenos, como 3,2,1 BBB y los saboteados como ., 21 SS Fig.1.42 Ejemplo 3.16 Suponga que definimos el experimento de lanzar una moneda tres veces. El espacio muestral para este experimento es: S= (SSS), (SSA), (SAS), (ASS), (SAA), (ASA), (AAS), (AAA) El diagrama de árbol Fig. 1.38 (Cada rama del diagrama representa el posible suceso de un ensayo específico.

1

3

2

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

3

1

2

1

3

2

SBBB

SBBB

SSBB

SSBB

SSBB

2S

1S

3B

2B

1B

S

12

11

13

12

21

BSBSBBBBBB

22

21

23

32

31

BSBSBBBBBB

32

31

13

12

11

BSBSSBSBSB

12

21

23

22

21

SSSSSBSBSB

Sol

S, S, S

El conjunto formado por todos los resultados de un fenómeno aleatorio se denomina Espacio muestral y se representa por S o por Ω (letra griega “omega mayúscula”) Cualquier parte o subconjunto del espacio muestra se conoce como evento ó suceso. El cual se representa por las letras mayúsculas del alfabeto o por una letra mayúscula con un subíndice. El espacio muestral para este experimento es:


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Fig. 1.38 Ejemplo 3.17 Consideremos un estudio médico donde los pacientes son clasificados de acuerdo con su tipo de sangre (A, B, AB, O) y a su presión cardiovascular (baja, normal, y alta). ¿Cuántos tipos de pacientes hay? El siguiente diagrama árbol primero representa los tipos de sangre, y posteriormente, para cada tipo de sangre representa las presiones cardiovasculares; encontrando 12 diferentes caminos. Fig. 1.43 En este caso el número de pacientes es 4 x 3 = 12, esto es, el producto del número de tipos de sangre con el número de tipo de presión cardiovascular. Si el estudio médico requiriera además clasificar a los pacientes de acuerdo a su factor Rh, que es positivo y negativo, para formar el nuevo diagrama de árbol necesitaríamos añadir dos nuevas ramas (una con +Rh y otro con −Rh ) a cada uno de los doce vértices terminales del árbol anterior. Ahora contaríamos en total con 24 caminos posibles. El número de tipos de pacientes es ahora 4 x 3 x 2 =24, esto es, el producto del número de tipos de sangre con el número de tipos de presión cardiovascular con el número de tipos de Rh.

Águila

Sol

Sol

Sol

Sol

Sol

Sol

Águila

Águila

Águila

Águila

Águila

Águila

Inicio

S, S, A S, A, S

S, A, A A, S, S

A, S, A A, A, S

A, A, A

Estudio medico

O

AB

A

B

Alta

Norma

Baja

Alta

Normal

Baja

Alta

Norma

Baja

Alta Normal

Baja

3.2.1 El principio fundamental del conteo (Regla del producto): Si un evento puede realizarse de 1n maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede

realizarse de 2n maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de 3nmaneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto .....321 nnn ⋅⋅ kn maneras posibles de hacer todas las elecciones.


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Veamos otras situaciones donde podemos emplear la regla del producto: Ejemplo 3.18 Un examen de diez preguntas consiste en seis preguntas de elección múltiple, cada una con cuatro posibles respuestas, y después de otras cuatro preguntas de falso o verdadero. ¿De cuantas maneras se puede contestar el examen? En este caso hay k =10 elecciones, con:

4654321 ====== nnnnnn y 210987 ==== nnnn , de modo que al aplicar la regla del

producto tenemos un total de: 536,65242222444444 46 =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Maneras posibles de contestar un examen. ¿En cuántas maneras es posible responder el examen y obtener todas las respuestas mal? De nuevo hay k =10 elecciones, pero ahora con

3654321 ====== nnnnnn y 110987 ==== nnnn , al aplicar la regla del producto tenemos un

total de: 72931111333333 6 ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Maneras de contestar mal todas las preguntas. Ejemplo 3.19 Una persona piensa comprar cierto automóvil. El fabricante ofrece cualquier combinación de las siguientes alternativas: seis colores diferentes; dos tipos de motor; tres tipos de rines; transmisión manual o automática; sin radio, con radio AM-FM, con radio AM-FM-CD; y sin aire acondicionado o con aire acondicionado. Cada comprador debe hacer una elección con respecto al color, motor, rines, transmisión, radio y aire acondicionado, por lo que k=6. En este caso 23,2,3,2,6 654321 ====== nynnnnn por la regla del producto habrá un total de:

432232326 =⋅⋅⋅⋅⋅ Alternativas posibles para ordenar este modelo. Ejemplos 3.20 Suponiendo que una placa de automóvil consta de dos letras distintas seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero. ¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse? Solución La primera letra puede colocarse de 26 maneras diferentes (suponiendo que son 26 letras del alfabeto), la segunda letra de 25 maneras (puesto que la letra grabada de primera no puede escogerse como la segunda letra), para el primer digito hay nueve números o sea nueve maneras y para cada uno de los otros dos dígitos 10 maneras. Por lo tanto pueden grabarse:

585000101092526 =⋅⋅⋅⋅ Placas diferentes. Ejemplo 3.21 Si en uno de los locales que se encuentra fuera de la escuela venden huaraches de salsa verde, salsa roja, con y sin queso, con bistec y pollo asado o solo (sin ninguna carne asada) y para acompañarlo, venden café, refresco de sabor, de cola o agua, ¿De cuantas formas se puede pedir el menú?

Salsas * Queso * Carne asada * Bebida = 484322 =⋅⋅⋅ formas se puede pedir el menú.

La regla del producto nos permite en muchos casos calcular el número de posibilidades sin necesidad de listar todas ellas o de desarrollar un diagrama de árbol. Es importante tener en cuenta que para poder aplicar esta regla no debe haber restricciones en las combinaciones posibles. Un ejemplo donde no se puede aplicar la regla es el de las fórmulas de candidatos a diputados que analizamos Ejemplo 1.14 donde la restricción de que debe haber un candidato de cada género limita el número de fórmulas posibles. Si aplicamos la regla del producto a

2 2 3 4


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este ejemplo tendríamos 3 x 3 =9 fórmulas posibles. Estas nueve fórmulas contienen las cinco con candidatos de diferente género que ya habíamos descrito, y otras donde los dos candidatos tienen el mismo genero.

Problemas que deberán de resolver los alumnos

Ejercicios 3.8 1. Define el espacio muestra y el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda y

tirar un dado simultáneamente. 2.

Solución Espacio muestra C 1 S 1 C 2 S 2 C 3 S 3 C 4 S 4 C 5 S 5 C 6 S 6 Diagrama de árbol

2.- Tres cajeras: Sara, Melina y Alicia, trabajan todas en el Banco Central. Un asaltante de bancos, René Carpio, selecciona aleatoriamente a dos de ellas como rehenes. ¿Cuántos posibles sucesos hay? Define el espacio muestra y el diagrama de árbol.

Solución Espacio muestra Sara Alicia Melina Sara Alicia Melina

Diagrama de árbol


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3.- De cuatro paracaídas, uno de ellos está defectuoso. El teniente Pedro sugiere que dos de los paracaídas sean probados por dos coroneles. ¿Cuántos sucesos hay?

Solución Espacio muestra

C1 P1 C2 P2 C1 P3 C2 P4 Diagrama de árbol

3. Guillermo Bravo va a resolver un corto examen de sólo dos preguntas. Ambas son de opción múltiple y hay

cuatro posibles respuestas. En vista de que Guillermo no ha estudiado para el examen, escribe los números 1, 2, 3 y 4 sobre tiras separadas de papel y selecciona una de éstas para responder a la pregunta 1. Repite el proceso para pregunta 2. ¿Cuántas posibles respuestas podrían aparecer? Solución Espacio muestra de las 16 posibles respuestas


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(a1,a2) (b1,a2) (c1,a2) (d1,a2) (a1,b2) (b1,b2) (c1,b2) (d1,b2) (a1,c2) (b1,c2) (c1,c2) (d1,c2) (a1,d2) (b1,d2) (c1,d2) (d1,d2) 4. Un profesor explica a sus alumnos que pueden eliminar dos de las cinco calificaciones, sólo que deben

eliminarlas aleatoriamente. Si un alumno tiene las calificaciones 60, 65, 82, 84, y 90, ¿Qué posibles calificaciones podría eliminar? Solución Espacio muestra de las 10 posibles respuestas (84,90) (65,82) (82,90) (60,90) (82,84) (65,84) (65,90) (60,82) (65,84) (60,65)

5. Una urna contiene cuatro bolas: dos negras y dos rosas, una bola es seleccionada de la urna, y regresada.

Entonces se seleccionan dos más, sin reemplazamiento. ¿Cuántas opciones hay de elegir las bolas?. Solución Hay 48 opciones. 4x4x3

6. A un merenguero le quedan sólo dos merengues y un estudiante tiene $2. Aceptan jugar los dos

merengues y los dos pesos en volados, donde si cae águila el estudiante gana un merengue y se lo come de inmediato, y si cae sol el merenguero gana $1. El juego es “a morir”, esto es , hasta que el estudiante se quede sin dinero o que el merenguero se quede sin merengues.

a) ¿De cuántas maneras se puede desarrollar el juego? b) Si el estudiante cuenta con $1 y el merenguero con tres merengues. c) Si el estudiante cuenta con $3 y el merenguero con dos merengues.

Solución

a) De 6 formas b) De 6 formas c) De 6 formas

7.- Un matrimonio decide que en cierto mes podrán asistir a uno de los conciertos de Los héroes del norte y en el siguiente mes a una función de lucha libre donde se presenta La Parca. Si Los héroes del norte se presenta cuatro veces en el Auditorio Nacional y La Parca participa en tres funciones de lucha libre en la Arena Coliseo, ¿De cuántas maneras pueden asistir a los espectáculos? Solución

4x3 = 12 formas

8.- En una encuesta de mercado una familia puede ser clasificada en seis categorías de acuerdo a su ingreso, cinco categorías de acuerdo al número de sus miembros, cuatro categorías de acuerdo a su educación y tres


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categorias de acuerdo a la propiedad de la casa que habitan, ¿De cuántas maneras puede ser clasificada una familia? Solución De 360 formas puede ser la familia clasificada 9. Consideremos un equipo de trabajo integrado por cinco personas:

E = Lucia, Dolores, Carmen, Roberto, Arturo Se debe enviar un representante a dos reuniones de trabajo que se realizarán en dos días diferentes.

¿De cuántas maneras se puede seleccionar al representante si cada persona del equipo puede ser elegido?

Solución De 20 formas

3.2.2 Notación Factorial

Ejemplos 3.22

212!2 =⋅= 6123!3 =⋅⋅=

241234!4 =⋅⋅⋅= 12012345!5 =⋅⋅⋅⋅= es lo mismo que: 120!45!5 =⋅= o 120245!5 =⋅=

7201206!56!6 =⋅=⋅= Ejemplos 1.23

5678123456

12345678!6!8

=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

1320101112!9!12

!9!9101112

=⋅⋅==⋅⋅⋅


Ejercicios 3.9 I Calcular:

a) 4!, 6!, 8! b) !10!15

c)!9!7

d) !4!3!12⋅

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y aquí lo denotamos por el símbolo especial n ! (que se lee “ n factorial”)

n ! = ...321 ⋅⋅⋅ ( n - 2)( n - 1) n Conviene también definir 0! = 1


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Solución: a) 4! = 24, 6! = 720, 8! = 64320.

Solución b) !10!15

= 360360

Solución c) !9!7

= 0.0138889

Solución d) !4!3!12⋅

= 3326400

II Determina si cada una de las siguientes igualdades es verdadera.

a) !.910111213!13 ⋅⋅⋅⋅= c) !.89101112

!12=

⋅⋅⋅ e)

!52324252627

!5!27 ⋅⋅⋅⋅=

b) !8!2!4 =⋅ d) 10111213!9!13

⋅⋅⋅= . f) 123456!6 ⋅⋅⋅⋅⋅=

Solución a) verdadera. Solución b) falsa Solución c) verdadera Solución d) falsa Solución e) falsa Solución f) verdadera 3.2.3 Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número r de dichos objetos, nr ≤ , en un orden dado se llama una permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez. Lo denotamos por: ),( rnP Antes de deducir la formula general ),( rnP consideremos un caso especial: Ejemplos 3.24 Hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con las seis letras siguientes: a, b, c, d, e, f. r Solución. La primera letra puede escogerse de 6 formas diferentes, la segunda letra puede escogerse de 5 formas diferentes y la última letra puede escogerse de 4 formas diferentes.

5 6 4


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Así que por el principio fundamental del conteo hay 120456 =⋅⋅ posibles palabras de tres letras sin repetición. Ejemplos 3.25 ¿Cuántas ternas de tres letras pueden formarse con las 26 letras del alfabeto si cada letra sólo puede emplearse una vez? Solución. En este caso, se desea determinar el número de permutaciones de 26 elementos tomados de 3 en 3.

600,15242526 =⋅⋅

Ejemplo 3.26 ¿Cuántas permutaciones de 3 elementos se forman con 3 objetos a, b y c? Solución: Considerando todos los electos a la vez, hay 6123!333 =⋅⋅==P permutaciones. Estas son: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Ejemplo 3.27 El entrenador de la selección mexicana de fútbol debe decidir cómo se deben tirar los cinco primeros penales obligatorios en caso de empate ¿Cuántas elecciones posibles debe considerar? Solución: En este caso deben de escogerse cinco jugadores de un total de once que hay en la cancha.

440,557891011511 =⋅⋅⋅⋅=P

440,55123456

1234567891011!6!11

)!511(!11

511 =⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==

−=P

Fig. 1.44 Este ejercicio se esta resolviendo por dos formas diferentes, que son las que muestra el teorema 1.1, como podrán darse cuenta el resultado no cambia es exactamente el mismo.

El Primer elemento de una permutación r de n objetos puede escogerse de n diferentes maneras; a continuación, el segundo elemento de la permutación puede escogerse de 1−n maneras; y, sucesivamente el tercer elemento puede escogerse de 2−n maneras. Continuando de esta forma, tenemos que el r- ésimo (ultimo) elemento de la permutación r puede escogerse de

1)1( +−=−− rnrn maneras. Teorema 1.1

),( rnP Ó =+−−−= )1)...(2)(1( rnnnnPrn

)!(!

)!()!()1)...(2)(1(

rnn

rnrnrnnnn

−=

−−⋅+−−−

En el caso especial de nr = , tenemos: !123)...2)(1( nnnnPrn =⋅⋅−−= Es decir las permutaciones de n objetos (tomados todos a la vez) son iguales a n!


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Ejemplo 3.28 El manager de un equipo de béisbol debe determinar el orden al bat de sus jugadores ¿Cuántas órdenes posibles hay? Solución: Ahora debemos elegir a todos los nueve jugadores que abren el juego y hay por lo tanto:

880,36212345678999 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=P Formas de ordenar 9 jugadores de béisbol al bat.

880,3621

123456789!0!9

)!99(!9

99 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==−

=P

Fig. 1.45 Este ejercicio se esta resolviendo por dos formas diferentes, que son las que muestra el teorema 1.1, como podrán darse cuenta el resultado no cambia es exactamente el mismo. Ejemplos 3.29 Si una pieza consta de 5 diferentes componentes que pueden ser ensamblados en cualquier orden, ¿En cuantas formas puede ensamblarse la pieza? Solución: 1201234555 =⋅⋅⋅⋅=P Ejemplos 3.30

a) ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila? b) ¿De cuántas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también? c) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas? d) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en alrededor de una mesa redonda?

Solución: a) Las 5 personas pueden sentarse en una fila de 12012345 =⋅⋅⋅⋅ formas. b) Hay 2 maneras para distribuirlos según el sexo: H, H, H, M, M o M, M, H, H, H.

En cada caso los niños pueden sentarse de 6!3123 ==⋅⋅ maneras, y las niñas Pueden sentarse de 2!212 ==⋅ maneras. Así, en total hay:

24622!3!22 =⋅⋅=⋅⋅ maneras. 2 formas de acomodar 3 niños 2 niñas

Fig. 1.46 c) Hay 4 maneras para distribuirlos según el sexo: M, M, H, H, HH, M, M, H, H H, H, M, M, H

M, M, H, H, H. En cada caso los niños pueden sentarse de 3! Maneras, y las niñas de 2!. Así en total, hay 48624!3!24 =⋅⋅=⋅⋅ maneras.

4 formas de acomodar 3 niños 2 niñas

Fig. 1.47 d) Un niño o niña puede sentarse en cualquier silla de de la mesa redonda. Los otros 4 menores pueden acomodarse de 241234 =⋅⋅⋅ maneras Alrededor de la mesa.


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Este es un ejemplo de permutación circular. En general, n objetos pueden distribuirse en un círculo de )!1(123)2)(1( −=⋅⋅⋅⋅⋅−− nnn maneras.

Permutaciones con repeticiones Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales algunos son iguales, como se indica a continuación. Ejemplo 3.31 Supóngase que deseamos formar todas las posibles palabras de 5 letras usando las letras empleadas en la palabra DADDY. Ahora se tiene 5!=120 permutaciones de los objetos YDADD 321 donde las letras D están marcadas. Observamos que las seis permutaciones siguientes:

AYDDDAYDDDAYDDDAYDDDAYDDDAYDDD 123132231213312321 ,,,,,

Forman la misma palabra si se quitan los subíndices. Las 6 resultan del hecho que hay 6123!3 =⋅⋅= maneras diferentes de colocar las tres D en los tres primeros lugares de la permutación. Esto es cierto para cada una de las otras posiciones posibles en donde las D aparezcan. Por consiguiente hay:

206

120!3!5

==

Palabras diferentes de 5 letras, que pueden formarse tomando las letras de la palabra DADDY. Ejemplos 3.32 ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de uno de los siguientes incisos. a) Hoja b) Metodología c) Matemáticas? Solución a) Hoja 24!4 = puesto que hay 4 letras distintas.

b) Metodología 800,652,6!3!11= Ya que hay 11 letras de las cuales 3 son “o”.

c) Matemáticas 663200,124

!11!2!3!2

!11==

⋅⋅ puesto que hay 12 letras de las cuales 2 son “m”, 3 son “a”,

y 2 son “t”. Ejemplo 3.33 ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 8 banderas colocadas en una línea vertical, pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas sin marcas, 3 blancas sin marcar y una azul? Tratamos de obtener el número de permutaciones de 8 objetos de los cuales 4 son iguales (las banderas rojas) y 3 también (las banderas blancas). Según el teorema anterior hay:

2801231234

12345678!3!4

!8=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= Señales diferentes.

Ejemplo 3.34 ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas? Solución

Teorema 3.2 El número de permutaciones de n objetos de los cuales 1n son iguales, 2n son iguales, …, rn son iguales,

a !!...!

!

21 rnnnnnPc =


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Este problema corresponde a las permutaciones con repetición. Hay 15!2!4

!6=

⋅ señales puesto que hay 6

banderas de las cuales 4 son rojas y 2 azules.

Pruebas ordenadas Muchos problemas del análisis combinatorio y, en particular, de probabilidad se relacionan con la selección de una bola tomada de una urna que contiene n bolas (o una carta de una baraja, o una persona de una población). Cuando escogemos una bola tras otra de una urna, r veces, definimos esta selección como una prueba ordenada de tamaño r. se consideran dos casos:

1. Pruebas con sustitución. En este caso cada bola escogida se regresa a la urna antes de tomar la siguiente. Ahora puesto que hay n maneras diferentes para escoger cada bola, según al principio fundamental del conteo hay:

r veces

rnnnnn =⋅⋅⋅ ... Pruebas ordenadas diferentes de tamaño r con sustitución.

Fig. 1.48 2. Pruebas sin sustitución. Aquí la bola no se devuelve a la urna antes de escoger la siguiente. Así no hay repeticiones en la prueba ordenada. O sea que, una prueba ordenada de tamaño r sin sustitución es simplemente una permutación r de objetos de la urna. Por consiguiente hay

=+−−−= )1)...(2)(1( rnnnnPrn )!(!

)!()!()1)...(2)(1(

rnn

rnrnrnnnn

−=

−−⋅+−−−

Fig. 1.49 Pruebas ordenadas diferentes de tamaño r sin sustitución tomadas de un grupo de n objetos. Ejemplo 3.35 ¿De cuántas maneras se pueden escoger tres cartas sucesivas de una baraja de 52 cartas.

a. Con sustitución. b. Sin sustitución. Si cada carta se regresa al naipe antes de escoger la siguiente, entonces cada carta puede

escogerse de 52 maneras diferentes. Entonces hay: 608,14052525252 3 ==⋅⋅ Pruebas ordenadas diferentes de tamaño 3 con sustitución.

Por otra parte si no hay sustitución, entonces la primera carta puede escogerse de 52 maneras diferentes, segunda carta de 51 maneras diferentes, y la tercera y última carta de 50 maneras diferentes. Por lo tanto hay:

600,132505152 =⋅⋅ Pruebas ordenadas diferentes de tamaño 3 sin sustitución.

Ejemplo 3.36 Veamos ahora un problema de naturaleza un poco diferente. Una empresa ofrece tres plazas para profesionales técnicos en computación. Las tres personas que se contraten ocuparán puestos idénticos. Después de una entrevista, el departamento de personal selecciona a cuatro candidatos posibles para el puesto. Si la decisión final de cuáles tres de estos cuatro aspirantes la toma el Gerente General, ¿cuántas selecciones posibles puede hacer el Gerente General? Hora no se trata de un problema de permutaciones, pues aun cuando el gerente debe seleccionar a tres personas de un conjunto de cuatro, el orden en que haga esta selección resulta irrelevante. Digamos que los cuatro finalistas son Alba, Bueno, Cantú y Dávila. Sabemos que hay

241*2*3*434 ==P permutaciones posibles:


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A, B, C A, C, B B, A, C B, C, A C, A, B C, B, A A, B, D A, D, B B, A, D B, D, A D, A, B D, B, A A, C, D A, D, C C, A, D C, D, A D, A, C D, C, A B, C, D B, D, C C, B, D C, D, B D, B, C D, C, B

Fig. 3.50 En todas las permutaciones del primer renglón aparecen Alba, Bueno, y Cantú en diferente orden y como los tres puestos son iguales, estas seis permutaciones corresponden a contratar a Alba, Bueno y Cantú. De la misma forma, las permutaciones del segundo renglón corresponden a contratar a Alba, Bueno y Dávila; las permutaciones del tercer renglón corresponden a contratar a Alba, Cantú y Dávila; y finalmente, las permutaciones del último renglón corresponden a contratar a Bueno, Cantú y Dávila. El gerente tiene por lo tanto cuatro selecciones posibles: A, B, C; A, B, D; A, C, D; o B, C, D, que son las selecciones de la primer columna. Cada reglón contiene 6!333 ==P seis diferentes permutaciones de las iniciales de la primera columna.

Combinaciones Permutaciones A, B, C A, C, B B, A, C B, C, A C, A, B C, B, A A, B, D A, D, B B, A, D B, D, A D, A, B D, B, A A, C, D A, D, C C, A, D C, D, A D, A, C D, C, A B, C, D B, D, C C, B, D C, D, B D, B, C D, C, B

Tabla 3.2 3.2.4 Combinaciones En general, a cada una de las selecciones de r objetos (sin importar el orden) tomadas de un conjunto de n objetos distintos le llamamos una combinación de n objetos tomados de r en r. El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se denota por: rn C o por )(n

r . Podemos obtener una forma expresión para este

número de la misma manera que lo hicimos para las selecciones del gerente. Sabemos que hay rn P selecciones donde sí importa el orden. Podemos agrupar estas permutaciones en grupos de los mismos objetos, pero con diferente orden. Para cada uno de estos grupos hay !rPrr = permutaciones diferentes. Tenemos por lo tanto:

)!(!!

!)!(

!

! rnrn

rrn

n

rPrn

−=−= Grupos diferentes.

Ejemplo 3.37 Con parte de su primer salario un chavo decide comprar 3 de los 7 discos compactos que le faltan del grupo El Tri. ¿Cuántas posibilidades tiene? Solución: se tienen que elegir 3 objetos (sin importar el orden) de un conjunto de siete. Hay entonces:

35246

5040!4!3

!737 =

⋅==C Combinaciones de tres discos compactos.

Ejemplo 3.38 En un examen de historia se requiere contestar cuatro de doce preguntas. ¿Cuántas maneras diferentes hay de contestar este examen?

Teorema 3.3 El número en que r objetos pueden seleccionarse sin importar el orden de un conjunto de n objetos es:

)!(!!)(

rnrnn

r −= Se puede utilizar rn C o )(n

r indistintamente.


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Solución: Ahora se requiere escoger 4 preguntas de un conjunto de 12. Observemos que de nuevo el orden en que se escogen las ocho preguntas resulta irrelevante, puesto que, por ejemplo, da lo mismo seleccionar las preguntas 4, 5, 8 y 11 que las preguntas 11, 4, 5, y 8. El estudiante puede responder este examen de:

4954032024

0404790016005!8!4!12

412 =⋅

==C Maneras distintas.

Debido a que los factoriales crecen muy rápido, la fórmula que tenemos para calcular rn C tiene el inconveniente de que en ocasiones es difícil de emplear. Quizás tu calculadora ya no sea capaz de manejar números con 9 dígitos como 479001600 que aparece arriba como numerador. Existen otras maneras de calcular

rn C . Sabemos que:

!8)9101112()12345678()9101112(!12 ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= Y por tanto:

495!8!4

!89101112!8!4!12

412 =⋅

⋅⋅⋅⋅==C

En general:

!)1...()1(

)!(!)!()1...()1(

)!(!!

rrnnn

rnrrnrnnn

rnrnCrn

+−⋅−⋅=

−−⋅+−⋅−⋅

=−

=

Por lo que se tiene la siguiente expresión:

Ejemplo 3.39 El sorteo Melate consiste en adivinar 6 de cuarenta y cuatro números posibles. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos 6 números entre el 1 y el 44? De nuevo, no es relevante el orden en que se eligen los seis números, por lo que se tienen 644 C formas en que el sorteo se puede llevar a cabo. Como 44! Es demasiado grande es conveniente calcular este número utilizando la expresión de arriba. Las maneras en que se puede llevar a cabo el sorteo de Melate son entonces:

7059052720

5082517440!6

394041424344644 ==

⋅⋅⋅⋅⋅=C

Puesto que al seleccionar r objetos de un conjunto de n objetos, partimos al conjunto en dos partes, uno con los r objetos seleccionados y otro con los n-r objetos no seleccionados. Esto significa que hay el mismo número de maneras de seleccionar r objetos de un conjunto de n objetos, que de seleccionar n-r objetos del mismo conjunto de n objetos. Por lo tanto:

!)1...()1(

rrnnnCrn+−⋅−⋅

=

−

=rn

ncrn


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Ejemplo 3.40 Suponga que la selección nacional de futbol que va a representar a México en un mundial es de 22 jugadores. Si el entrenador nacional tiene concentrados a 27 jugadores antes del mundial, ¿cuántos equipos posibles puede escoger el entrenador? Solución: El técnico debe escoger 22 de los 27 originales convocados. Hay entonces 2227 C equipos posibles. Podemos obtener este número de varias maneras. De acuerdo con nuestra expresión original.

!5!22!27

2227 =C Que resulta difícil de calcular por los tamaños de 27! Y 22!. Si empleamos ahora la expresión

!)1...()1(

rrnnnCrn+−⋅−⋅

= se tiene !22

67...2526272227

⋅⋅⋅⋅=C que también es muy

complicada. Finalmente, como

−

=rn

ncrn , se tiene que:

.80730120

9687600!5

23242526275272227 ==

⋅⋅⋅⋅== CC

La identidad

−

=rn

ncrn resulta muy útil cuando r es mayor que n/2. Por ejemplo:

.5890524

1413720!4

333435364363236 ==

⋅⋅⋅== CC

A los números rn C se les acostumbra llamar coeficientes binomiales por que aparecen como coeficientes en el desarrollo de la fórmula del binomio de Newton. Ejemplo 3.41

54322345

543223455

510105

52145

21455)(

babbababaa

babbababaaba

+++++=

++⋅⋅

+⋅⋅

++=+

En el desarrollo de nba )( + se deben observar las propiedades siguientes:

1. Hay n + 1 términos. 2. La suma de los exponentes de a y b en cada término es n. 3. Los exponentes de a decrecen una unidad en cada término desde n hasta 0; los exponentes de b crecen

similarmente de 0 a n.

Teorema 3.4 Teorema del Binomio

nnnnnrn

r

rnn bnabbannbnaabarn

ba +++⋅−

++=

=+ −−−

=

−∑ 1221

0...

211()(


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4. El coeficiente de cualquier término es

kn donde k es el exponente de a o de b.

5. Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos son iguales. Hacemos notar que los coeficientes de las potencias sucesivamente de a + b pueden ser distribuidos en una formación triangular de números, llamada triángulo de Pascal, como sigue:

1)( 0 =+ ba

baba +=+ 1)(

222 2)( bababa ++=+

32233 33)( babbaaba +++=+

543223455

4322344

510105)(464)(

babbababaabababbabaaba

+++++=+

++++=+

65423324566 61520156)( babbabababaaba ++++++=+ El triangulo de Pascal tiene las siguientes propiedades interesantes: a) El primero y último número de cada fila es 1. b) Cada uno de los otros números de la formación se obtienen sumando los dos números que aparecen

directamente encima de él. Por ejemplo: 10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10, 20 = 10 +10 Particiones Ordenadas Ejemplo 3.42 Supongamos que una urna A contiene siete bolas numeradas de 1 a 7. Calculemos el número de maneras como podemos sacar, primero 2 bolas de la urna, después 3 bolas y finalmente 2. En otras palabras, queremos calcular el número de particiones ordenadas. ),,( 321 AAA Del conjunto de 7 bolas en células 1A con 2 bolas, 2A con 3

y 3A con 2 bolas. Estas células las llamamos particiones ordenadas desde que distingamos entre: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y (6, 7, 3, 4, 5, 1, 2) Cada una de las cuales produce la misma partición de A. Desde que se comience con 7 bolas en la urna, hay 27 C maneras de sacar las 2 primeras bolas, esto es, para

obtener la primera célula 1A ; después de esto, quedan 5 bolas en la urna y por consiguiente hay 35 C maneras

de sacar 3 bolas o sea para determinar 2A ; finalmente, quedan 2 bolas en la urna, o sea que hay 22 C maneras

de obtener la última célula 3A . Entonces hay:

2102112

321345

2167

223527 =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅ CCC

Particiones ordenadas diferentes de A distribuidas en las células. Ahora Obsérvese que

210!2!3!2

!7!0!2

!2!2!3

!5!5!2

!7223527 ==⋅⋅=⋅⋅ CCC

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1


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Puesto que cada numerador después del primero se simplifica con el segundo término del denominador del factor que le precede. Ejemplo 3.43 ¿De cuantas maneras se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los otros niños 2 juguetes? Solución Se desea hallar el número de particiones ordenadas de los 9 juguetes entre 4 células que constan de 3, 2, 2 y 2 juguetes respectivamente. Por el teorema anterior hay:

7560!2!2!2!3

!9= De tales particiones ordenadas.

Fig. 1.51 Ejemplo 3.44 ¿De cuántas maneras es posible formar los grupos del torneo de liga de futbol de primera división? Recordemos que en la primera división de futbol en México participan 18 equipos, y para el torneo de liga se forman dos grupos de cinco equipos y dos grupos de cuatro equipos. Solución: Analicemos primero de cuántas maneras se pueden formar el primer grupo. En este caso hay que elegir cinco equipos (sin importar el orden) de un grupo de 18 equipos. Hay entonces 518 C maneras posibles de formar el primer grupo. Una vez que se constituyó el primer grupo, ¿De cuántas maneras se puede formar el segundo grupo? De nuevo hay que elegir 5 equipos, pero ahora de un total de de 13 equipos restantes. Una vez que el primer grupo se integró, hay 513 C maneras posibles de elegir el segundo grupo. Una vez que se han integrado los dos primeros grupos, ¿De cuántas maneras se puede formar el tercer grupo? Ahora debemos elegir 4 equipos de un total de 8 equipos que no han sido considerados. Así, una vez que ya se han integrado los dos primeros grupos, hay 48 C maneras posibles de formar el tercer grupo. Finalmente, una vez que se han elegido los primeros tres grupos, es claro que entonces el cuarto grupo queda forzado, esto es, sólo hay una manera de formar el cuarto grupo si los tres primeros ya se constituyeron. ¿De cuántas formas se puede entonces organizar el torneo de liga? Si Examinamos toda la información nos daremos cuenta de que en este ejercicio se aplica la regla del producto ya que hay: 148513518 ⋅⋅⋅ CCC maneras posibles de formar los grupos de la primera división de futbol.

148513518 ⋅⋅⋅ CCC = (8568) (1287) (70)= 771 891 120.

Teorema 3.5 Sea A compuesto de n elementos y sean rnnn ...,, ,21 enteros positivos con ....21 nnnn r =+++ Entonces existen:

!!...!!!

321 rnnnnn

Particiones ordenadas diferentes de A de la forma ),...,,( 21 rAAA donde 1A consta de 1n elementos,

2A consta de 2n elementos, …, y rA consta de rn elementos.


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Fig. 1.52

Ejemplo 3.45 Una cadena hotelera desea contratar a cuatro técnicos en hotelería y a tres técnicos en gastronomía para su nuevo hotel en Puerto Vallarta. Si la empresa recibió 9 solicitudes para los puestos de técnico en hotelería y 8 solicitudes para los puestos de técnico en gastronomía, ¿De cuántas maneras pueden hacer la contratación? Solución: La empresa puede elegir de 49 C maneras a los técnicos en hotelería y de 38 C maneras posibles a sus

técnicos en gastronomía. Puesto que la primera selección la puede hacer de 49 C formas y la segunda selección

de 38 C formas, debemos ahora aplicar la regla del producto para determinar que los siete puestos pueden ser ocupados de:

056,756126!3

678!4

67893849 =⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅ CC


Ejercicios 3.10 Permutaciones y pruebas ordenadas. 1. Veinte pilotos participan en una carrera de automovilismo. Los primeros seis lugares acumulan puntos para

el campeonato. ¿De cuántas maneras posibles pueden los pilotos ocupar los seis primeros lugares? Solución . 29P6 = 27907200 2. Un grupo de 60 alumnos de la UNAM que va a graduarse debe elegir a un comité de graduación formado

por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántos posibles comités se pueden formar? Solución. 60P4 = 3.4670779e+80

3. Un agente viajero debe visitar 5 ciudades en la República Mexicana. Después de cada uno de los viajes

debe regresar a su cede para elaborar un reporte completo de la plaza. Encuentra el número de maneras en que puede planear sus visitas. Solución. 5

4. Determina el número de maneras en que cuatro nuevos pacientes pueden ser encargados a ocho enfermeras, si cada enfermera puede aceptar a lo más un paciente.

Solución. 8x4 = 32 formas

5. Determina el numero de señales que se pueden hacer en el mástil de un velero si:

a) Se iza una bandera de un juego de seis banderas de colores diferentes. b) Se izan dos banderas de un juego de seis banderas de colores diferentes. c) Se izan tres banderas de un juego de seis banderas de colores diferentes. d) Se izan una, dos o tres banderas de un juego de seis banderas de colores diferentes. Solución a) 6 señales Solución b) 6P2 = 360 señales


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Solución c) 6P3 = 120 señales Solución d) 6P2 + 6P3 = 360 + 120 = 480 señales

6. Si no se permiten repeticiones,

a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los seis dígitos: 2, 3, 5, 6, 7 y 9? b) ¿Cuántos de éstos son menores que 400? c) ¿Cuántos son pares? d) ¿Cuántos son impares? e) ¿Cuántos son múltiplos de cinco?

Solución a) 6P3 = 120 ternas Solución b)

7. De cuántas maneras se pueden acomodar en una reunión de 9 personas en: a) En una fila de nueve sillas b) Alrededor de una mesa redonda? Solución a) 9! = 362880 Solución b) 8! = 40320 8. a) ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de

modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Solución. 96 Resolver el mismo problema, considerando que se sientan el rededor de una mesa redonda.

Solución. 9. Cuantas permutaciones distintas se pueden formar con todas las letras de cada una de las palabras: a) Cielo b) Estrella c) Probabilidad d) Introducción. Solución a) 228 Solución b) 10080 10.Supóngase que una urna contiene 8 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño 3.

a) Con sustitución b) Sin sustitución. Solución a) 8P3 = 336 Solución b) 11. Tres boletos de la lotería se extraen de un total de 50. Si los boletos se distribuirán a cada uno de tres

empleados en el orden en que son extraídos, el orden será importante. ¿Cuántos eventos simples se asocian con el experimento?

Solución. 50P3 = 117600 12. En una clase de apreciación de pintura se muestran 10 colores a cada estudiante, y se les pide que escojan

los cinco que más les gusten y hagan una lista de ellos en orden de su preferencia. ¿Cuántos listas diferentes se pueden hacer?

Solución. 10P5 = 30240 13. En un pequeño restaurante del centro hay un letrero que dice: “Si quiere usted comer con variedad, coma en

el restaurante de Pepe. Tenemos más de 200 platillos diferentes todos los días”. Al ver el menú, el


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comensal encuentra la siguiente lista a escoger entre: Sopa o ensalada. Tres diferentes platillos. Dos clases de papas. Tres diferentes tipos de verdura. Café, té, o leche. Postre.

a) ¿Cuántos diferentes postres debe ofrecer el restaurante para que el letrero sea verdadero? b) Cuál será el número exacto de diferentes comidas que se tendría ahora? Solución a) 200/108 = 1.8518518518518518518518518518519 Solución b) 216 platillos

Combinaciones. 1. En un examen un estudiante debe responder siete de un total de diez preguntas. Determina el número de

formas en que: a) Puede responder el examen. b) Puede responder el examen si dentro de las siete preguntas la 3 y 8 son obligatorias. c) Determina el número de formas en que puede responder el examen si dentro de las siete preguntas

debe elegir 4 de las primeras 6 y 3 de las últimas 4. Solución a) 10 C7 = 120 Solución b) Formas = 336 Solución c) Formas = 60 2. Luigi’s Pizza maneja cuatro tamaños: chico, mediano, grande y gigante. Un cliente puede ordenar una pizza

sencilla o bien algunos de los siguientes ingredientes: salami, chorizo, salchicha, champiñones, cebolla y anchoas. Determina el número de pizzas de tamaño:

a) Mediano que se pueden ordenar con exactamente dos ingredientes. b) Cualquier tamaño que se pueden ordenar con exactamente dos ingredientes. c) Grande que se pueden ordenar con dos ingredientes o con tres ingredientes. d) Tamaño grande o gigante que se pueden ordenar con dos ingredientes o con tres ingredientes. Solución a) 6C2 = 30 Solución b) ( $) 6C2 = (5)(30) = 150 Solución c) (20) + (30) = 50 Solución d) 50 + 50 = 100 3. Una cadena de heladerías desea abrir cuatro nuevas tiendas. Si sus análisis de mercado señalan que hay 12

sitios favorables para abrir sucursales, ¿de cuántas maneras pueden elegir dónde abrir las cuatro tiendas? Solución 12C4 = 990 4. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7

hombres y 5 mujeres? Solución 7C3 5C2 = 35 )( 10 = 350 5. Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los años para asistir a la asamblea anual

de la Asociación de Estudiantes. a) ¿De cuántas maneras puede escogerse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles? b) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles no asisten ? c) ¿De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles son casados y sólo asistirán si van ambos? Solución a) 495


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Solución b) 70 Solución c) 6. Un químico desea observar el efecto de la temperatura, de la presión y la cantidad de catalizador sobre la

producción de un compuesto particular por medio de una reacción química. Si en el experimento decide usar dos niveles de temperatura, tres de presión y dos de catalizador, ¿Cuántos experimentos deben llevarse a cabo de modo que cada combinación temperatura - presión – catalizador se considere una sola vez?

Solución 12 7. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños si el menor recibe 3 y cada uno los otros

recibe 2? Solución. 210 8. En una clase hay 12 estudiantes. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar 3 pruebas

diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes? Solución 12C4 = 495 , 495C3 = 13658444215 9. ¿De cuántas maneras los 12 estudiantes pueden repartirse en 3 equipos .321 ,, AyAA considerando que

cada equipo conste de 4 estudiantes. Solución 12C4 = 495 , 495C3 = 13658444215 10. Una tarjeta de circuito impresa se puede comprar con cinco proveedores. ¿De cuántas maneras se pueden

escoger tres proveedores de los cinco? Solución 5 C 3 = 10 11. Una empresa solicita nuevo personal por fin de temporada, para lo cual contratara a 3 personas. El gerente

general recibe 11 solicitudes de hombre y 8 solicitudes de mujer.

a) ¿El gerente general cuántas opciones tiene para elegir a las tres personas que contratara? Solución 19 C 3 = 969

b) ¿Cuántas opciones tiene de elegir a 2 mujeres y un hombre? Solución 8C2 11C1 = 308

c) ¿Cuántas opciones tiene de elegir a 1 mujer y dos hombres?

Solución 8C1 11C2 = 308

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