3 4 ILG'OR TAJRIBA VA O'QITISH METODIKASI

KVADRAT TENGLAMAGA OLIB KELUVCHI FIZIK MASALALAR

M.A.Mirzaahmedov, Respublikada xizmat ko'rsatgan xalq ta'limi xodimi

R.Musurmonov, p.f.n. O'zPFITI, F.S.Rahimova, TATU matematika o'qituvchisi

Kvadrat tenglama tuzib yechiladigan bir nechta fizik masalalar yechib ko'rsatilgan. Tayanch so'zlar: kvadrat, tenglama, masala, silindr, prujina, porshen, kesim. Some physical tasks bringing to drawing up of the square equations are solved. Keywords: a square, equation, task, cylinder, spring, piston, section. Решены несколько физических задач приводящим к составлению квадрат-

ных уравнений. Ключевые слова: квадрат, уравнение, задача, цилиндр, пружина, поршень,

сечение.

Bunday masalalar talaygina. Kvadrat tenglama ildizlaridan qaysi biri masala mazmuniga mos keladi? Uni tanlashda, albatta, fizik mulohazalar yordam beradi. Bir nechta masalalarni hal qilaylik.

1-masala. Silindrda porshen ostida bo'lgan 20 gramm geliy juda sekinlik bilan bir holatdan ikkinchi holatga o'tkaziladi (1-holat: p1=4,1 atm, Vx=32 litr; 2-holat: p2=15,5 atm, V2=9 litr).

Agar bosimning hajmga bog'liqlik grafigi to'g'ri chiziqdan iborat bo'lsa, bu jarayonda gaz qanday eng katta temperaturaga erishadi?

Yechilishi: (V; p) koordinatalar sistemasida PV = —RT giperbolalar Ж

grafiklarini chizamiz.Gazning temperaturasi ko'tarilsa, borgan sari giperbola «uchi» koordinata boshidan uzoqlasha boradi. 1-holatdan 2-holatga o'tish jarayonida gaz shunday katta temperaturaga erishadiki, bunda shu holatga mos giperbola to'g'ri chiziqqa urinadi, uni kesmaydi . Maksimal temperaturagamos (V; p) nuqta ham giperbolada, ham to'g'ri chiziqda yotgani uchun bu

nuqtaning koordinatari pV = —RT (1) giperbolaning va p=DV+Q (2) to'g'ri ж

chiziqning tenglamalarini qanoatlantirishi shart, bunda • va • — o'zgarmas

sonlar. p ning (2) ifodasini (1) ga qo'yib, a v 2 +QV • — R T = 0 (3) kvadrat ж

tenglamaga kelamiz. Amaliy ahamiyatga ega bo'lgan sof fizik masalani yechish jarayoni kvadrat

1 2 0 1 4 / 5 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA KwWI

W 1

M.A.Mirzaahmedov, R.Musurmonov, F.S.Rahimova. Kvadrat tenglamaga olib keluvchi fizik masalalar 35

tenglamaga olib keldiki, bunda har bir koeffitsiyent ozod hadning, o'zgaruvchi V ning ham ma'nosi bor, ular fizik mazmunga ega. Masala mohiyatidan shuni bildikki, giperbola bilan to'g'ri chiziq bitta umumiy nuqtagaegabo'lishi, ya'ni (3) tenglama faqat bitta ildizga ega bo'lishi kerak. Bundan kvadrat tenglamaning diskriminanti D nolga teng bo'lishi lozimligi kelib chiqadi.

D = П2 + AD^RT, D = 0 tenglamadan T ni topamiz: T = • П'х 4DmR'

(Vx; p1) va (V2; p2) nuqtalar ayni bir p=DV+Q to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lganlari uchun ushbu sistemani hosil qilamiz:

• p =av+• p

• p 2 = n v 2 + • Bu sistemadan • va • ni topamiz:

• = • PViL, • = M • ^ V •V V •V

U holda T = . 4(p2 • p ) ( V 1 • V2)UmR 1-rasm.

T ning bu ifodasiga harflarning mos qiymatlarini qo'yib hisoblab, TQ4900K javobni olamiz.

2-masala. Kesimining yuzi S bo'lgan ikki tomoni ochiq truba gorizontal mahkamlangan. Trubada ikkita porshen bor. Boshlang'ich holatda chapdagi porshen qo'zg'almas devorga qattiqligi k deformatsiya bo'lmaydigan prujina bilan birlashtirilgan. Porshenlar orasidagi gazning p0 bosimi tashqi bosimga teng. O'ngdagi porshendan truba boshigacha bo'lgan H masofa porshenlar orasidagi masofaga teng. O'ngdagi porshenni truba boshiga tomon sekin tortishadi. Porshenni truba boshida ushlab turish uchun unga qanday kuch qo'yish kerak?

(Ishqalanish hisobga olmaslik darajada kichik, temperaturani esa o'zgarmas deb hisoblang).

Yechilishi. O'ngdagi porshenni torta borgan sari porshenlar orasidagi gaz bosimi kamaya boradi, chapdagi porshen esa prujinani cho'zib, o'ngga siljiy boradi.

O'ng porshen truba boshiga qadar harakatlantirilgan va unga F kuch qo'yilgan (ta'sir qilgan) deylik. Porshenlarning bu holatiga mos muvozanat shartini yozaylik-chi. Bu shartlar quyidagicha bo'ladi:

Chapdagi porshen uchun: p0S-pS-kx=0; O'ngdagi porshen uchun: F+pS-p0S=0 (1) Bunda p — porshenlar orasidagi gaz bosimi.

FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 2014/5

36 ILG'OR TAJRIBA VA O'QITISH METODIKASI

Bu ikkita tenglamadan F=p0S-pS=kx munosabatga kelamiz. Temperatura o'zgarmas, u holda porshenlar orasidagi gaz uchun Boyl-Mariott qonuniga muvofiq p0HS=p(2H-x)S.

Bundan p = PoH PoH

2 H • x F 2 H • —

k

PoHk

2kH • —'

/

/

<— H —>

2-rasm. н

p ning bu ifodasini (1)ga qo'yib, F uchun ushbu F2-(poS+2kH)F+p0H kS=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning ildizlari

—12 = M + kH J P ^ 1,2 2 V 4

Qaysi bir ildiz masala mazmuniga mos?

+ K2 H 2 '

k=0 bo'lsa, F=0 ekani ravshan. Demak, javob: — = p S + ш • + k2H2.

3-masala. Silindar shaklidagi o'raning chuqurligi H. Uning tubi o'rtasida masalan, granatani portlatib sinashmoqchi. Portlashda hosil bo'ladigan granata parchalarining tezligi v0 dan katta emas. Parchalar o'radan uchib chiqib ketmasligi uchun o'raning minimal diametri d qanday bo'lishi lozim?

Yechilishi. Avval granata parchasining o'radan chiqib ketish shartini topaylik. Uning gorizontal va vertikal yo'nalish proyeksiyalardagi harakat tenglamasini yozamiz:

• d gf CVo cosO = —,

• 2 gt2

(1)

F CV0 sinO = = H (2)

(1)dan t ni topib, (2)ga qo'yamiz:

t = -2v„ cosO

- CtgO • g • — = H ' 2 2 4v0 cos2 O

Bunday geometrik almashtirishlardan so'ng, 1 cos2 O

/ / / / / \ j \ W \

3-rasm.

= 1 + tg 2O ekanini hisobga

t-t 2 4v0 • 8v02 H olib, tg2O •—— tgO + =1+— = o kvadrat tenglamani (tgO ga nisbatan) hosil qilamiz.

Amaliyot bilan bog'liq fizik masala yana kvadrat tenglamani yechish va yechimni tahlil qilib uning ildizlarini tanlashga keltirildi. Agar bu tenglamaning diskriminanti D>0 bo'lsa, granata parshasi o'radan chiqib ketadi. Agar DQ0

1 2 0 1 4 / 5 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA KwWI

W 1

M.A.Mirzaahmedov, R.Musurmonov, F.S.Rahimova. Kvadrat tenglamaga olib keluvchi fizik masalalar 37

bo'lsa, granata parshasi o'radan chiqib keta olmaydi. DQ0 tengsizlikni d ga nisbatan yechib, granata parshasi o'radan chiqib keta olmaslik shartini topamiz:

D = 4v4 D 8v04 H

g2 d2 gd2 • 1 • 0, 4v0

4 • 8gv02H • g 2d2 • 0:

d 2 D M • H H = м [ ( • 2gH) demak, d2 • ^ [ ( • 2gH)

Bu tengsizlikda v2 • 2gH bo'lsa, diametr d ixtiyoriy bo'lishi mumkin. Granata

parchasi vertikal uchganda ham o'radan yer sirtiga chiqa olmaydi. Agar v02 • 2gH

2v0 r~2 2v0 r~2 bo'lsa, u holda d •—Vv0 • 2gH va d ning minimal qiymati dm,n = — Щv0 • 2gH ga g g teng bo'ladi.

4-masala. Uzunligi l bo'lgan probirka p0 bosimda vodorod bilan to'ldirildi, yengil harakatlanuvchi porshen bilan berkitildi va simobli idishga H chuqurlikka botirildi. Yangi sharoitda probirkadagi vodorod ustunining balandligi qanday bo'ladi? Simobning zichligi • , atmosfera bosimi pa.

Yechilishi. Porshenning muvozanat sharti pa+Qg(H-x)=p (1) va Boyl-Mariott qonuni p0l=px (2) ni yozamiz, bunda p — vodorodning yangi bosimi. (1) va (2) tenglamalardan p ni yo'qotib, x ni topamiz:

p0 • l=x • (pa+Qg(H-x)), bundan -Qgx2+(DgH+pa)x-p0 • l=0,

Pa 1 , P V x2 • =H + x + • = 0

Bu kvadrat tenglamani yechamiz:

= 1 Xl'2 = 2 ; H + ± , 4 =H + • Pl

Tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lmasin deylik (Ba'zi H larda yechim bo'lmasligi ham mumkin). U holda qaysi ildiz masala yechimi bo'ladi? Buni aniqlash uchun px=const va p=pa+Pg(H-x) funksiyalar grafiklarini ko'ramiz.

Grafiklarning kesishish nuqtalari A va B muvozanat holatlariga mos keladi. Ammo bu ikki holatdan faqat bittasi — A nuqtaga mos holat — turg'un holatdir. Demak, kichik ildiz masalaning yechimi boladi, ya'ni

• н

' I

4-rasm

FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA 2014/5

38 ILG'OR TAJRIBA VA O'QITISH METODIKASI

X1,2 = - =H + Pa = H + P a • Pll

P +

5-masala. Yig'uvchi linzaning fokus masofasi F ga teng. Buyum bilan uning haqiqiy tasviri orasidagi mumkin bo'lgan eng kichik (minimal) masofa qanday bo'ladi? 5 - r a s m .

Yechilishi. Buyumdan linzagacha bo'lgan masofani d, buyum va uning tasviri

orasidagi masofani x bilan belgilaylik. Linza formulasini yozamiz: - + — = -1, d — I I — F

bundan d2-dx+Fx=0 va d ga nisbatan kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning diskriminanti D=x2-4Fx=x(x-4F). Masala ma'nosiga ko'ra x>0, demak, yechim mavjud bo'lishi uchun x-4FD0, ya'ni xD4F bo'lishi kerak. U holda izlanayotgan eng kichik masofa x=4F bo'ladi.

6-masala. «Tilla qo'ng'iz» tikka yuqoriga maksimal v p pastga esa v2 tezlikda ucha oladi. Qo'ngizning «tortish kuchi» uchish yo'nalishiga bog'liq emas, havoning qarshilik kuchini qo'ng'izning tezligiga proporsional hisoblab, uning gorizontga • burchak ostida maksimal uchish tezligini hisoblang.

Yechilishi. Qo'ng'izning yuqoriga va pastga tekis uchishi shartini yozaylik: F-mg=Fcl=kv1, F+mg=Fc2=kv2.

Bu tenglamalardan «tortish kuchi» F ni va og'irlik kuchi mg ni tezliklar va o'zgarmas koeffitsiyent k orqali ifodalash mumkin: F = ^(vi + V2), mg = • Vi).

Qo'ng'izning qidirilayotgan tezligini v deylik va u gorizontga • burchak ostida yo'nalgan bo'lsin. U holda ushbu F + mg + Fc = 0 tenglikni yoza olamiz.

Bundan F 2 = m2 g2 + Fc2 + 2mgFc sinO. (1).

Fc=kv bo'lgani uchun (1) da F, mg, Fc ning mos ifodalarini qo'yib, algebraik almashtirishlardan so'ng v2+(v2-v1) sin • • v-v1v2=0 tenglamaga (v ga nisbatan kvadrat tenglamaga) kelamiz. Bundan v ni topamiz:

V = 2 [(_(v2 • v )sina +Л1 (v2 • v / sin2 • + 4v,v2

V mg 6-rasm.

1 2 0 1 4 / 5 FIZIKA, MATEMATIKA va INFORMATIKA KwWI

w 1