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3.4 DIVERGENCIA, GRADIENTE, ROTACIONAL &LAPLACIANO EN COORDENADAS CARTESIANAS
(34_CV_T_v12; 2005.w22.1; C26)
Sean u(x, y, z) = u(P), v(x, y, z) = v(P) un campoescalar y vectorial suficientemente suaves
1. Divergencia de un vector
Definimos
div v(P) ≡lim
τ → 0
ngvdσσ∫
τ
si
v =m
sngvdσ =
m3
s; el punto P está dentro del volumen,
ngvdσ
σ∫ es el flujo que sale del volumen y div v(P)= flujo que sale /volumen.
Para evaluar la integral consideremos un cubo
∆x( ) ∆y( ) ∆z( ) que contenga a P (x0, y0, z0):
ngvdσ
σ∫ = seis integrales sobre seis caras
v = v
xx, y, z( ) i + v
yx, y, z( ) j + v
zx, y, z( ) k
σ1: n = i dσ = dydz
ngvdσ
σ∫ = vx
x0
+∆x
2, y, z
dydzz0 −
∆z
2
z0 +∆z
2∫y0 −
∆y
2
y0 +∆y
2∫
Teorema del valor medio si f (x) ∈C a,b ∃ min & max m, M
m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ a,b ⇒ m(b − a) ≤ f (x)dx
a
b
∫ ≤ M (b − a)
⇒ f (x)dx
a
b
∫ = c(b − a) donde m ≤ c ≤ M
Si f (x) ∈C a,b ∃ ξ ∈ f (ξ) = c ∴ f (x)dx
a
b
∫ = f (ξ)(b − a)
en 2D: f (x, y)dxdyA∫∫ = f (ξ,η)A
τσ
v
n
z
yx
Pn = j
n = i
n = k
2
vx
σ1
∫∫ x0
+∆x
2, y, z
dydz = vx
x0
+∆x
2, y
1, z
1
∆y∆z y1
∈ y0
−∆y
2, y
0+
∆y
2
z
1∈ z
0−
∆z
2, z
0+
∆z
2
σ 2: n = − i dσ = dydz
−vx
σ 2
∫∫ x0
−∆x
2, y, z
dydz = −vx
x0
−∆x
2, y
2, z
2
∆y∆z y2
∈ y0
−∆y
2, y
0+
∆y
2
z
2∈ z
0−
∆z
2, z
0+
∆z
2
lim
τ → 0
ngvdσσ1 + σ 2
∫τ
=
lim
∆x → 0
∆y → 0
∆z → 0
vx
x0
+ ∆x2
, y1, z
1
− vx
x0
− ∆x2
, y2, z
2
∆x
tomando límites ∆y → 0 tenemos y1→ y
0y
2→ y
0
∆z → 0 tenemos z1→ z
0z
2→ z
0
=
lim
∆x → 0
vx
x0
+ ∆x2
, y0, z
0
− vx
x0
− ∆x2
, y0, z
0
∆x
lim
τ → 0
ngvdσσ1 + σ 2
∫τ
=∂v
x
∂x
Repitiendo el mismo procedimiento para las otras caras del cubo:
lim
τ → 0
ngvdσσ 3 + σ 4
∫τ
=∂v
y
∂y
lim
τ → 0
ngvdσσ5 + σ 6
∫τ
=∂v
z
∂z.
∴ si
v = v
xi + v
yj + v
zk div v =
∂vx
∂x+
∂vy
∂y+
∂vz
∂z
div v = i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
g v
xi + v
yj + v
zk( )
Si definimos nabla:
∇ ≡ i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
entonces div v = ∇gv .
Producto interno
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2. Gradiente de un escalar
grad u(P) ≡lim
τ → 0
nσ∫ udσ
τ
repetimos el procedimiento anterior para el cubo centrado en P:
σ
1: n = i dσ = dydz nudσ
σ1∫ = i u x
0+
∆x
2, y, z
∫∫ dydz = i u x
0+
∆x
2, y
1, z
1
∆y∆z
σ
2: n = − i dσ = dydz ⇒ nudσ =
σ 2∫ − i u x
0−
∆x
2, y
2, z
2
∆y∆z
lim
τ → 0
nudσσ1 + σ 2
∫τ
= i∂u
∂x
Repitiendo el mismo procedimiento para las otras caras del cubo y sumando contribucionesobtenemos:
grad u ≡ i∂u
∂x+ j
∂u
∂y+ k
∂u
∂z≡ i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
u ≡ ∇u .
Para entender el significado del gradiente consideremos una superficie u(x, y, z) =constante:
s ≡
dx
dsi +
dy
dsj +
dz
dsk ;
nótese que s = 1.
Utilizando la regla de la cadena:
du
ds=
∂u
∂x
dx
ds+
∂u
∂y
dy
ds+
∂u
∂z
dz
ds.
Con esto definimos la derivada
direccional:
du
ds≡ sg∇u
Si el camino C está en la superficie u = constante,
du
ds= 0
sg∇u = 0 ⇒ ∇u ⊥ a la superficie u = constante. Además,
du
ds= sg∇u = ∇u s cosθ = ∇u cosθ .
u = constante
s
C :! x(s),!y(s),!z(s) s0 ≤ s ≤ s1
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Puesto que el máximo de cosθ = 1,
du
ds= ∇u es máximo cuando s P ∇u . En este
caso ⇒ s = n , la normal a la superficie.
∴ ∇u es máximo cuando derivamos en dirección ⊥ a u = constante.
Ejemplo: derivada direccional de u = x2 y + 3z @(1,2,0) en la dirección i − 4k .
du
ds= sg∇u ∇u = 2xyi + x2 j + 3k s =
i − 4k
17
sg∇u =
1
172xy − 12( ) (1,2,0)
= −8
17
Vector normal
n =∇u
∇u=
2xyi + x2 j + 3k
4x2 y2 + x4 + 9;
en P = 1,2,0 n =
4i + j + 3k
26.
du
dn= ng∇u =
4x2 y2 + x4 + 9
4x2 y2 + x4 + 9= 4x2 y2 + x4 + 9
du
dn (1,2,0)= 26 ≈ 5.10 >
−8
17= 1.94 .
3. Rotacional de un vector
rot v(P) ≡lim
τ → 0
n ∧ vdσσ∫
τ
En vez de utilizar el cubo
∆x( ) ∆y( ) ∆z( ) centrado en P, consideremos lo siguiente:
para cualquier vector A, A = Agi( ) i + Ag j( ) j + Agk( ) k (base ON)
∴ n ∧ v = n ∧ vgi( ) i + n ∧ vg j( ) j + n ∧ vgk( ) k .
Ahora bien A ∧ BgC = AgB ∧ C (intercambio de filas en determinante).
⇒ n ∧ v = ngv ∧ i( ) i + ngv ∧ j( ) j + ngv ∧ k( ) k
= ng v ∧ i( ) i + v ∧ j( ) j + v ∧ k( ) k
5
rot v(P) =lim
τ → 0
n ∧ vdσσ∫
τ
=lim
τ → 0
ng v ∧ i( ) i + v ∧ j( ) j + v ∧ k( ) k
dσ
σ∫
τ
lim
τ →0
ng dσ∫τ
= div
1 2444444444 3444444444
= div v ∧ i( ) i + v ∧ j( ) j + v ∧ k( ) k
= ∇gv ∧ i( ) i + ∇gv ∧ j( ) j + ∇gv ∧ k( ) k
= ∇ ∧ vgi( ) i + ∇ ∧ vg j( ) j + ∇ ∧ vgk( ) k = ∇ ∧ vgi( ) i + vg j( ) j + vgk( ) k
∴ rot v(P) ≡ ∇ ∧ v = i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
∧ vxi + v
yj + v
zk( )
rot v(P) =
i j k
∂∂x
∂∂y
∂∂z
vx
vy
vz
=∂v
z
∂y−
∂vy
∂z
i +
∂vx
∂z−
∂vz
∂x
j +
∂vy
∂x−
∂vx
∂y
k
Consideremos q = ui + vj + wk
Si el flujo es plano u = u(x, y) v = v(x, y) w ≡ 0 ;
el
∇ ∧ q =∂w
∂y−
∂v
∂z
0
i +∂v
∂z−
∂w
∂x
0
j +∂v
∂x−
∂u
∂y
k .
Con esto, el ∇ ∧ q =
∂v
∂x−
∂w
∂y
k ≡ Ω , la vorticidad.
∆α = ∆α k =
v( A) − v(0)
∆xk =
∂v
∂xk ;
∆β = ∆β − k( ) = −
u(B) − u(0)
∆yk = −
∂u
∂xk .
El giro promedio es
ω =
ω1
+ ω2
2=
1
2
∂v
∂x−
∂u
∂y
y la vorticidad Ω = 2ω .A
∆α
∆β
elementodeformable
elementorígido(sólo gira)
y
xu
v
B
0 ∆x
∆y
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4. Laplaciano de un escalar ∇2 = ∇g∇
∇2 ≡ ∇g∇ = i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
g i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
∴ ∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
Si u = x2 y + 3z, ∇2u = 2y .
5. Identidades
Linealidad ∇ αu + βv( ) = α∇u + β∇v
∇g αu + βv( ) = α∇gu + β∇gv
∇ ∧ αu + βv( ) = α∇ ∧ u + β∇ ∧ v
2a div (rot u) = ∇g∇ ∧ u = 02b rot (grad u) =∇ ∧ ∇u = 0
3a div uv( ) = ∇g uv( ) = ∇ugv + u∇gv
3b rot uv( ) = ∇ ∧ uv( ) = ∇u ∧ v + u∇ ∧ v
3c div u ∧ v( ) = ∇g u ∧ v( ) = vg∇ ∧ u − ug∇ ∧ v
3d rot u ∧ v( ) = ∇ ∧ u ∧ v( ) = u∇gv − v∇gu + vg∇( )u − ug∇( ) v
3e rot2 v = ∇ ∧ ∇ ∧ v( ) = ∇ ∇gv( ) − ∇2v
Para demostrar estas identidades basta hacerlo en un sistema de coordenadas pues existentransformaciones de cualquier sistema dado a todos los demás
∴ podemos utilizar coord. cartesianas
∇g uv( ) = i
∂∂x
+ j∂
∂y+ k
∂∂z
g uv
xi + uv
yj + uv
zk( )
=
∂ uvx( )
∂x+
∂ uvy( )
∂y+
∂ uvz( )
∂z= u
∂vx
∂x+ v
x
∂u
∂x+ ...
= u∇gv + ∇ugv
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6. Teoremas integrales
Teorema de la divergencia
divv =lim
τ → 0
ngvdσσ∫
τ
∇gvdτ = ngvdσ
σ∫
τ∫
Identidades de Green
∇g u∇v( )∇ug∇v + u∇2v
124 34dτ
τ∫ = n
σ∫ g u∇v( ) dσ = ung∇vdσ
σ∫ = u
∂v
∂nσ∫ dσ
1.
∇ug∇v + u∇2v( ) dτ = u
∂v
∂ndσ
σ∫
τ∫
u ↔ v ∇ug∇v + v∇2u( )
τ∫ dτ = v
∂u
∂nσ∫ dσ
restando
2.
u∇2v − v∇2u( ) dττ∫ = u
∂v
∂n− v
∂u
∂n
σ
∫ dσ
Teorema de Stokes
ns∫ • ∇ ∧ vdσ = v
c∫ • dr
Teorema de Green (Stokes para el plano)
∂vy
∂x−
∂vx
∂y
dxdys∫ = vxdx + vydy( )
c∫
nσ
c
campo escalar
τ
nσ
Superficiesinternas secancelan
n1
n2
s
x
yc