3.2 ปริพันธ ที่ไม ขึ้นกับเส นทาง (path independent...
Transcript of 3.2 ปริพันธ ที่ไม ขึ้นกับเส นทาง (path independent...
3.2 ปรพนธทไมขนกบเสนทาง (path independent integrals)
ถา F = (Fx, Fy, Fz) เปนสนามเวกเตอรทไมมการหมน (irrotational) กลาวคอ∇ × F = 0 เรากลาวไดวาสนามเวกเตอรนนเปนสนามอนรกษ (conservative field) เนองจากสมการ (10) คอ
∇ × F = ∇ × (∇φ) = 0 (14)
ทาใหสามารถนยามใหเวกเตอรฟงกชน F อยในรปของแกรเดยนตของสเกลารฟงกชน φ อนหนงกลาวคอ
F ≡ ∇φ =(
∂φ
∂x,
∂φ
∂y,
∂φ
∂z
)โดยการแจกแจงสมการ (14) ตามสมการ (7) เราสามารถตรวจสอบการเปนสนามอนรกษของ Fจาก
∂Fz
∂y= ∂Fy
∂z,
∂Fx
∂z= ∂Fz
∂x,
∂Fy
∂x= ∂Fx
∂y(15)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 34 / 76
ตวอยาง 3.3สนามเวกเตอรตอไปนเปนสนามอนรกษหรอไม (1) F = (xy2, x2y, 0),(2) F = (cos x, 0, sin y)
แบบฝกหด 3.2จงตรวจสอบวาสนามเวกเตอรตอไปนเปนสนามอนรกษหรอไม1. F = (x, y2, z)2. F = y2 cos(2x)i + y sin(2x)j
3. จงพสจนวา แรงผกผนกาลงสอง F(r) = −k
r2r (เชนแรงโนมถวง หรอแรงไฟฟา เมอ k
เปนคาคงตวขนอยกบชนดของแรง) เปนแรงอนรกษ
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 35 / 76
ถาเราหาปรพนธเชงเสนของสนามอนรกษ จะเปนผลใหคาปรพนธทได ไมขนกบเสนทาง (pathindependence) ลกษณะคอ ไมวาเราจะหาปรพนธไปเสนทางใดๆกตาม ทมจดเรมตน a และจดปลาย b เดยวกน ดงนน ∫ b
aF · dr =
∫ b
a∇φ · dr =
∫ b
adφ
โดยท dr = (dx , dy , dz) สเกลารฟงกชน φ จะเรยกวา ศกยสเกลาร (scalar potential) ของF นนคอ ∫ b
aF · dr = φ(b) − φ(a) (16)
สมการ (16) เรยกวา ทฤษฎบทรากฐานของแกรเดยนต (fundamental theorem of gradient) ในกรณทเปนเสนทางปด กลาวคอ a และ b เปนจดเดยวกน จะได∮
CF(r) · dr = 0
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 36 / 76
ตวอยาง 3.4: ปรพนธไมขนกบเสนทางกาหนดให φ = xy2 เปนศกยของ F และกาหนดใหจด a = (0, 0, 0) ไปยงจดb = (2, 1, 0) จงตรวจสอบทฤษฎบทรากฐานของแกรเดยนต โดยการหาปรพนธของ F ไปตามเสนทางตางๆดงรป
1
1 2
(iii)(i)
(ii)
a
b
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 37 / 76
ตวอยาง 3.4 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 38 / 76
แบบฝกหด 3.3จงตรวจสอบทฤษฎบทรากฐานของแกรเดยนต โดยใช φ = x2 + 4xy + 2yz2, โดยกาหนดใหจด a = (0, 0, 0) และ b = (1, 1, 1) ไปตามเสนทางดงน
(i) จาก (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1)(ii) เสนทางรปพาราโบลา z = x2; y = x
xy
z
Figure 14: (i)
xy
z
Figure 15: (ii)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 39 / 76
ทฤษฎบทของกรนบนระนาบ (Green’s theorem in plane)กาหนดให R เปนพนทบรเวณหนงในระนาบ xy ซงถกปดลอมดวยขอบเขต C ดงรป ถาF = (Fx, Fy) ทฤษฎบทของกรนบนระนาบไดแถลงไวดงนคอ
∫R
(∂Fy
∂x− ∂Fx
∂y
)dx dy =
∮C
(Fx dx + Fy dy) (17)
เมอ dx dy เปนพนทเลกๆในบรเวณ R ดงรป
C1
C2
C3
C4
a b
R
dydx
Figure 16: บรเวณ R
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 40 / 76
ทฤษฎบทของกรน (17) สามารถเขยนไดในรปของเวกเตอร กลาวคอ
∫R
(∇ × F) · k dx dy =∮
CF · dr (18)
ตวอยาง 3.5: การประยกตใชทฤษฎบทของกรนจงหาคา
∮F · dr ของเวกเตอรฟงกชน F = (−y, x) รอบเสนวงกลมรศม 1/2 หนวย ในทศ
ทวนเขมนาฬกา
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 41 / 76
3.4 ปรพนธเชงพนผว (Surface integrals)นยามของปรพนธเชงพนผว
ปรพนเชงพนผวเปนการหาปรพนธสองชน (double integral) ของสนามเวกเตอร F ทผานพนผวๆ S ใด (บอยครงทเรยกปรพนธเชงพนผววา ”flux”) ซงอยในรป
∫∫F·n da หรออาจเขยน
∫S
F·da
เมอ n คอ unit normal vector หรอเวกเตอรหนวยทตงฉากกบชนประกอบพนทนอยยง (infinitesimal areaelement) da, และตวหอย S หมายถงปรพนธทวทงพนผว
da
N
n
x
y
z
r (u,v)
S
Figure 17: แสดงพนทนอยยงบนพนผว S โดยทn = N/N
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 42 / 76
ตวอยาง 3.6จงหาปรพนธเชงพนผวของสนามเวกเตอร v = 2xzi + (x + 2)j + y(z2 − 3)k ทผานดานทงหาของสเหลยมลกบาศก (ยกเวนดานลาง) ยาวดานละ 2 หนวยดงรป
x
y
z
2
2
2
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 43 / 76
ตวอยาง 3.6 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 44 / 76
พนผวอนๆ
ในหวขอทผานมาเราไดทราบแลววาฟงกชนของพนผวใดๆจะอยในรป
f(x, y, z) = c
เมอ c เปนคาคงตวใดๆ ตวอยางของฟงกชนพนผว เชนf(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − R2 = 0 ⇒ พนผวทรงกลมรศม Rf(x, y, z) = x2 + y2 − R2 = 0 ⇒ พนผวทรงกระบอกรศมฐาน R
f(x, y, z) = x2 + y2 − cz2 = 0 ⇒ พนผวกรวย, c > 0f(x, y, z) = x2 + y2 + cz = 0 ⇒ พนผวพาราโบลอยด, c เปนคาคงตว
f(x, y, z) =(R −
√x2 + y2
)2+ z2 − r = 0 ⇒ พนผวทอรส, R, r
เปนรศมเอกและรศมโท
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 45 / 76
ในการนยามปรพนธเชงพนผว เราจะใหพนผว S มเวกเตอรระบตาแหนงทองตวแปรเสรม 2ตวแปร คอ
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k (19)
xy
zr(t)
Figure 18: เวกเตอรระบตาแหนงของเสนทาง
xy
z
r(u, v)
Figure 19: เวกเตอรระบตาแหนงของพนผว
ในสวนทเราจะศกษาน จะเปนพนผวทพบบอยในทางฟสกสคอ พนผวทรงกระบอกและทรงกลม
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 46 / 76
สมการองตวแปรเสรมของพนผวทรงกระบอก
สมการของพนผวทรงกระบอกทมฐานอยบนระนาบ xy รศม R สง h จะอยในรปx2 + y2 = R2 และ −h/2 ≥ z ≥ h/2 เวกเตอรระบตาแหนงของพนผวทรงกระบอกจะอยในรป
r(u, v) = R cos(u)i + R sin(u)j + vk
พารามเตอร u, v ของพนผวทรงกระบอกน แทจรงแลวกคอ มมในแนวราบของฐาน และความสงของทรงกระบอกนนเอง ดงนนพารามเตอรของพนผวทรงกระบอกจงมกจะเขยนแทนดวยu → ϕ และ v → z แสดงดงภาพ นนคอ r อยในรป
r(ϕ, z) = R cos(ϕ)i + R sin(ϕ)j + zk (20)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 47 / 76
R
ϕ
zh
z
x
y
Figure 20: รปแสดงถงพนผวทรงกระบอก
y
R sin ϕ
R
ϕz
R cos ϕ
Figure 21: r(ϕ, z) = (R cos ϕ, R sin ϕ, z)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 48 / 76
สมการองตวแปรเสรมของพนผวทรงกลม
พนผวทรงกลมรศม R ทมสมการเปน x2 + y2 + z2 = R2 สามารถระบไดดวยเวกเตอร
r(u, v) = R sin(u) cos(v)i + R sin(u) sin(v)j + R cos(u)k
พารามเตอร u และ v นแสดงถงมมในแนวราบและมมทวดจากแกน z ลงมาตามแนวดง โดยทวไปแลว มม u, v มกจะแทนดวยสญลกษณ θ และ ϕ ตามลาดบ นนคอ
r(θ, ϕ) = R sin(θ) cos(ϕ)i + R sin(θ) sin(ϕ)j + R cos(θ)k (21)
โดยท 0 ≤ θ ≤ π และ 0 ≤ ϕ ≤ 2π แสดงดงรป
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 49 / 76
R
θ
ϕ
Figure 22: รปแสดงถงพนผวทรงกลม
x
y
z
R sin θ cos ϕR sin θ sin ϕ
R cos θ
R sin θ
Rθ
ϕ
Figure 23:r(θ, ϕ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 50 / 76
ระนาบสมผส
ถากาหนดให r(u, v) เปนเวกเตอรระบตาแหนงใดๆบนพนผว S , u = u(t) และ v = v(t)เปนเสนโคงทแนบไปกบพนผวนน โดยท t เปนพารามเตอรของเสนโคง จะไดวา
ru ≡ ∂r∂u
และ rv ≡ ∂r∂v
เปนเวกเตอรสมผส (tangent vector)กบเสนโคง u(t) และ v(t) ตามลาดบดงนน ระนาบทเกดจากเวกเตอร ru
และ rv จงเปนระนาบทสมผสกบพนผว S ซงเรยกวาระนาบสมผส(tangent plane)
u(t)v(t)
tangent plane
S
nt plane
ru
rv
N r r= ×u v
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 51 / 76
เวกเตอรทตงฉากกบพนผวใดๆกคอเวกเตอรทตงฉากกบระนาบสมผสของพนผวนนๆนนเอง ถาN เปนเวกเตอรทตงฉากกบระนาบสมผส (normal vector) เราหา N ไดจาก
N = ru × rv (22)
และจะได
n = NN
= ru × rv
|ru × rv|(23)
Noteสมการพนผวทไมไดอยในรปตวแปรเสรมซงแทนดวย f(x, y, z) = c เวกเตอรตงฉากกบระนาบสมผสของพนผว สามารถหาไดจาก N = ∇f และ
n = NN
= ∇f
|∇f |(24)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 52 / 76
พจารณาพนทเลกๆ da ทอยบนพนผว S จากรป เราพบวา
da = n da = (ru × rv) du dv = N du dv (25)
ดงนนปรพนธเชงพนผวอาจเขยนอยในรป
∫S
F · da =∫
SF · N du dv (26)
d drr
1 =∂
∂uu
d drr
2 =∂
∂vv
r1
r2
r
daS
O
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 53 / 76
da ของพนผวทรงกระบอก
พจารณาการหาพนผวนอยยงของทรงกระบอก โดยเราจะเปลยนตวแปร u → ϕ และ v → z ดงนน da = N dϕ dz เวกเตอร N หาไดจาก
N = rϕ × rz
เนองจาก r(ϕ, z) = (R cos ϕ, R sin ϕ, z)
rϕ = ∂r∂ϕ
= ∂
∂ϕ(R cos ϕ, R sin ϕ, z) = (− sin ϕ, cos ϕ, 0)R
และrz = ∂r
∂z= ∂
∂z(R cos ϕ, R sin ϕ, z) = (0, 0, 1)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 54 / 76
เราจะได
N = rϕ × rz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
−R sin ϕ R cos ϕ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (cos ϕ, sin ϕ, 0)R
เพราะฉะนน da ของทรงกระบอกจงอยในรป
da = (cos ϕ, sin ϕ, 0)R dϕ dz (27)
และพนทนอยยงของผวทรงกระบอก (ไมรวมฝา) อยในรป
da = |N| dϕ dz = R dϕ dz (28)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 55 / 76
ตวอยาง 3.7: พนทผวทรงกระบอกจงหาพนทผวของทรงกระบอกสง h รศมฐาน R
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 56 / 76
ตวอยาง 3.8จงพสจนวาสาหรบพนผวทรงกลมรศม R แลว,
da = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)R2 sin θ dθ dϕ (29)
และda = R2 sin θ dθ dϕ (30)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 57 / 76
ตวอยาง 3.8 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 58 / 76
ตวอยาง 3.9: พนทผวทรงกลมรศม Rจงหาพนทของทรงกลมรศม R
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 59 / 76
ตวอยาง 3.10จงหาปรพนธของสนามเวกเตอร E = (0, z, x) ไปตามพนผวครงทรงกระบอก ดงรป
2a
h
x y
z
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 60 / 76
ตวอยาง 3.10 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 61 / 76
ทฤษฎบทของสโตกส (Stokes’ theorem)ถา F เปนสนามเวกเตอรททะลผานพนผว S อนหนง ทฤษฎบทของสโตกสเขยนความสมพนธไดดงตอไปน ∫
S(∇ × F) · da =
∮C
F · dr (31)
โดยทเสนทาง C เปนเสนทางตรงเสนขอบซงปดลอมพนทผว S ดงรป
xy
z
Cdr
da
n
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 62 / 76
ตวอยาง 3.11จงตรวจสอบทฤษฎบทของสโตกสสาหรบฟงกชน v = (xy, 2yz, 3zx) โดยใชพนทสามเหลยมดงรป
2
2
x
y
z
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 63 / 76
ตวอยาง 3.11 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 64 / 76
ตวอยาง 3.12จงหาปรพนธของ ∇ × F โดยท F = (0, xz3, 0) ทวทงพนผวรปพาราโบลอยดz = x2 + y2 โดยท z ≥ 4 ดงรป
x
y
z
2
4
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 65 / 76
ตวอยาง 3.12 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 66 / 76
แบบฝกหด 3.4จงหาปรพนธของสนามเวกเตอร F = (0, x, z) ทวทงพนผวของครงทรงกลมx2 + y2 + z2 = R2 โดยท 0 ≥ z ≥ R
แบบฝกหด 3.5จงตรวจสอบทฤษฎบทของสโตกสสาหรบเวกเตอรฟงกชน F = (0, xz3, 0) สาหรบพนผวทเปนสวนหนงของทรงกลมรศม R ดงรป
x
y
z
R60o
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 67 / 76
3.5 ปรพนธเชงปรมาตร (Volume integrals)ปรพนธเชงปรมาตรเปนปรพนธสามชน (triple integral) ของฟงกชนใดๆ f(x, y, z) ทวทงปรมาตร V เขยนแทนดวยสญลกษณ∫∫∫
f(x, y, z) dV หรอ∫
Vf(x, y, z) dV
โดยท dV = dx dy dz ในพกดคารทเซยน สญลกษณตวหอย V แทนการหาปรพนธสามชนทวทงปรมาตร V สาหรบฟงกชนเวกเตอรใดๆ ปรพนธเชงปรมาตรนยามดงนคอ∫
VF dV =
∫(Fx, Fy, Fz) dV = i
∫Fx dV + j
∫Fy dV + k
∫Fz dV
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 68 / 76
ตวอยาง 3.13จงคานวณปรพนธเชงปรมาตรของฟงกชน f(x, y, z) = xyz2 ทวทงปรมาตรของปรซมดงรป
y11
3
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 69 / 76
ตวอยาง 3.13 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 70 / 76
ทฤษฎบทรากฐานของไดเวอรเจนส (Fundamental theorem of divergences)กาหนดให F เปนสนามเวกเตอรใดๆ ทฤษฎบทรากฐานของไดเวอรเจนสกลาวไววา
∫V
(∇ · F) dV =∮
SF · da (32)
โดยท∮
S แสดงถงปรพนธทวพนผวปด (closed surface) ความหมายเชงเรขาคณตคอ ไดเวอรเจนสของสนามเวกเตอรใดๆจะวดการกระจายออกของสนามเวกเตอรนนๆ ทฤษฎบทไดเวอรเจนสนบงบอกวา การหาปรพนธการกระจายออกของสนามเวกเตอรทบรรจอยในปรมาตร V มคาเทากบการหา ”ฟลกซ” ของสนามเวกเตอรททะลผานพนผวปด S ทหอมลอมปรมาตรนนไว
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 71 / 76
ตวอยาง 3.14จงตรวจสอบทฤษฎบทรากฐานของไดเวอรเจนสโดยใชฟงกชน
F = y2i + (2xy + z2)j + 2yzk
โดยใชปรมาตรทรงสเหลยมลกบาศกยาวดานละ 1 หนวย
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 72 / 76
ตวอยาง 3.14 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 73 / 76
แบบฝกหด 3.6จงคานวณปรพนธเชงปรมาตรของฟงกชน T = z2 ทวทงปรมาตรของทรงกระบอกx2 + y2 = 1 โดยท 0 ≥ z ≥ 2
แบบฝกหด 3.7จงตรวจสอบทฤษฎบทไดเวอรเจนสสาหรบเวกเตอรฟงกชน F = (7x, 0, −z) โดยใชทรงกลมx2 + y2 + z2 = 4
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 74 / 76
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 75 / 76
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 28, 2014 76 / 76