3.2 导数的计算

(1) 求函数 f(x)=2 的导数；

一、复习引入

x

y

o022

)()(

xfxxfy

解：根据导数定义，

.00limlim2)(00

''

xx x

yxf

(2) 求函数 f(x)=0 的导数；

(3) 求函数 f(x)=-2 的导数 .

0

0

).(01 ' 为常数公式 CC

,)( Cxfy 证明：

0

)()(

CC

xfxxfy

,0x

y

.0lim)(0

'' x

yCxf

x

(1) y=x 的导数

求下列函数的导数

,

)()(

xxxx

xfxxfy


1

1limlim)(00

'

xx x

yxf

(2) y=x2 的导数

,2)(

)()(222 xxxxxx

xfxxfy


.2

)2(limlim)(00

'

x

xxx

yxf

xx

(3) y=x3 的导数.3)()( 2'3' xxxf

2

200

2

1

)1

(limlim

1)(

)(

11)()(

x

xxxxy

y

xxxxxxxxxx

xxxx

xxfxxf

xy

xx

所以

解：因为：

的导数求函数x

y1

)4(

)()(2 1' Rnnxx nn 公式

算一算(1) y=x4 ; (2) y=x-5 ;

;)3( xy ;1

)4( 2xy

注意公式中 ,n 的任意性 .

4x3 -5x-6

21

2

1 x -2x-3

.cos)(sin3 ' xx 公式.sin)(cos4 ' xx 公式

不需推导，但要注意符号的运算 .

aaa xx ln)(5 ' 公式xx ee ')(6公式

axoga x

ln1

)1(7 ' 公式

xnx

1)1(8 ' 公式

记一

记

记忆公式 5 遍 !

练习(1) 5x4 ; (2) 6x5 ;

(3) cost ; (4) -sin .

;3

)5( 4x .

3

1)6(

3 2x

2. 选择题

（ 1 ）下列各式正确的是（）

65

51

)'.(

cos)'.(sin

sin)'cos.

(cos)'.(sin

xxD

xxC

xxB

A

（为常数）

C

（ 2 ）下列各式正确的是（）

3ln3)'3.(

3)'3.(

10ln)'.(log

1)'.(log

xx

x

x

a

x

a

D

xCx

B

xA

D

3. 填空(1) f(x)=80 ，则 f '(x)=______;

_______;)2( 3 2的导数是xy

______)1(

______;)(,)()3('

'

等于等于则

f

xfexf x

0

31

3

2 x

xee

________)1()4( ' xoga ax ln

1

4. 求下列函数的导数

31

5 3

4

12

)6()5(

)4(1

)3(

)2()1(

xyxy

xyx

y

xxyxy

5 、基本初等函数的导数公式

（ 1 ）若 f(x)=c, 则 f′ (x)=_____;

（ 2 ）若 f(x)=xn(n R),∈ 则 f ′(x)=_;

（ 3 ）若 f(x)=sinx, 则 f ′(x)=_____;

（ 4 ）若 f(x)= cosx, 则 f ′(x)=_____;

（ 5 ）若 f(x)=ax, 则 f ′(x)=____;

nxn-1

axlna(a>0)

cosx

-sinx

0

（ 6 ）若 f(x)=ex, 则 f′ (x)=____;

（ 7 ）若 f(x)=logax, 则 f′ (x)=_____

(a>0, 且 a≠1);

（ 8 ）若 f(x)=lnx, 则 f′ (x)=____ 。

ex

ax ln

1

x

1

法则 1:[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);

1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx

(2)y=x4-x2-x+3.

xxy cos3' 2

124' 3 xxy

法则 2:

应用 2: 求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x-2)

(2)y=(1+x6)(2+sinx)9818

)23()'32()'23)(32('2

22

xx

xxxxy

xxxxy cos)1()sin2(6' 65

)()()()()()( ''' xgxfxgxfxgxf

法则 3:

2)()()()()(

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf

3: 求下列函数的导数

3

3)2(

2

x

xy

(1)y=tanx

xx

xx

x

xy

22

22

cos

1

cos

sincos)'

cos

sin('

22

2

)3(

36'

x

xxy

1. 求下列函数的导数 :(1)y=2xtanx

23 )13()2()2( xxy

xy x ln2)3(

3

2

)12()4(

x

xy

三 . 综合应用 :

x

xxy

2cos

2tan2'

)3415()2(3' 22 xxxy

xx

y xx

ln2ln22

'

6

2

)12(

)1()12(2'

x

xxxy

2. 已知函数 y=xlnx(1) 求这个函数的导数(2) 求这个函数在点 x=1 处的切线方程

xxxxxy ln1)'(ln)'(ln')1( 解：

11ln1

)0,1()2(

k

P

斜率切线过点

切线方程是： y=x-1

3. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高．所需净化费用不断增加。已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用 ( 单位：元 ) 为

c(x)=5284/(100-x) (80<x<100) ．

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

（１）９０％；（２）９８％。

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

2100

5284

100

5284)(

xxxc

84.5298100

528490 2

c

所以，纯净度 90% 时 , 费用的瞬时变化率就是 52.84 元 / 吨； (2)略

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