1CINEMATICAEnesta seccin introduciremos las nociones necesariasparadescribirel movimientodepartculaspuntuales. Unobjeto es puntualsi lasdimensionesfsicas deelson peuen!as comparadas conlasdistancias caractersticas desumovimiento"oson peuen!ascomparadasconladistanciaalobservador. #orejemplosilan$amos unasillaporelaire"%laestamosobservando decercaveremossusvolteretas % evolucionesue&acenparecersumovimientomu%complicado. 'inembar(o" si observamoslasilladesdesuficientedistanciapareceraunpunto%su movimiento sera mu%simplededescribir.Conelobjetodedescribirelmovimientodeunapartculaenelespaciobasta especificarsuposicionencadainstantedetiempo.)lamaremos vectorposiciondelapartculaenelinstantetalvectoruevadesdeunori(en*arbitrario pero fijo+&astalaposiciondelapartculaenelinstantet.Estevector"ueusual,mente denotaremos por-r*t+ es una funcindeltiempo.A lacurvauedescribelaposicion delapartcula amedidaueel tiempo transcurre lallamaremoslatra%ectoriadelapartcula. Esellu(ar (eometricodescrito porele.tremodel vector -r*t+.Enla fi(ura1" lacurvaCes la tra%ectoria descritaporunapartcula.'ilapartculaseencuentraenelpuntoAdelatra%ectoriaenelinstantet1 "su vectorposiciones -r*t1 +.'ienuninstanteposterior"di(amost/ "lapartculase encuentraenelpunto0delatra%ectoria"suvectorposicion es -r*t/ +.1i(.12Tra%ectoria" vectorposicionCiertamente laevolucindelapartcula enel tiempo nouedadeterminadacompletamenteporsu tra%ectoriaC. )a partculaen cuestionpuede&aber recorrido la tra%ectoriade muc&as maneras. 'inos referimos a lafi(ura1"podra&abertardado enirdeAa0die$se(undos"oui$asuna&ora"opodra&abersemovidolentamentealpasarporA"oui$asmu%rapido"%estos&ec&os nouedan para nada descritos consoloespecificarlatra$a*i.e."latra%ectoria+uefuedejando lapartculaensumovimiento.#orotra parte"la funcin-r*t+s contiene toda lainformacion sobreel movimiento deella. Apartir de -r*t+podemosconocertodoslosdetallesasociadosalmovimientodelapartcula*e.(." uedistanciarecorrioenunintervalodetiempo3t"uetanrapidopasoporA"cuantotiempotardoenirdeAa0"etc.+.#or ejemplo"eldespla$amiento efectuadoporlapartcula alirdeAa0estadadopor/3-rA04 -r*t/ + 5 -r*t1 +. *1+Comoelintervalo detiempo uetardalapartculaalirdesdelaposicionA alaposicion0 es3tA0 4t/ 5 t1 "esnaturaldefinirlavelocidadmediadela partcula entre A%0comoel cuocienteentre 3-rA0%3tA0 "es decir-r*t/ + 5-r*t1 +-vA0 6 .*/+t/ 5 t1Noteseuelavelocidadmedia" talcomola&emosdefinido"esunvector%sudirecci nesparalela aladelvectordespla$amiento.Enlavidacotidiana"sinembar(o" casinunca seusa lavelocidad media" talcomola&emos definidoen*/+.Ennuestrolen(uajecomun"alreferirnosaunavelocidadpromedio siemprepensamos enelcuocienteentreladistanciarecorrida"alolar(odela tra%ectoria"%eltiempouetardamosenrecorreresadistancia.Aeste cuociente" uees unescalar%nounvector" lo llamaremoslarapide$media.#ara sermas precisos"fijemosun puntosobrela tra%ectoria"di(amos#*ver lafi(ura/+. A&orapodemosmedirlalon(itud delarco*medido sobrelatra%ectoria+desde elpunto# %cualuierpuntosobre latra%ectoria. Enparticularllamaremos s*t1 +alalon(itud delarco# A"s*t/ +lalon(itud delarco# 0" %en(eneral s*t+ lalon(ituddelarcodesdeel punto #&asta laposicion delapartcula enel instantet.1i(./27apide$Entonces"deacuerdoallen(ua jecomun" definiremoslarapide$mediade la partcula entrelos puntosA%0comoelcuocientevA0 6s*t/ + 5 s*t1 +.*8+t/ 5 t1En(eneral"no&a%nin(unarelacionentrelavelocidadmedia%larapide$me, diaentreA%0"salvouesiemprelama(nituddelvector -vA0esma%orueel modulodelarapide$mediavA0*pueslalon(itud deunarcoentredospuntos esma%or uelalon(itud delacuerda entrelosmismospuntos+.En(eneral"elconocimientodelavelocidadmedia entreA%0nonosdaunainformaciondetalladadelmovimientodelapartculaentreA%0comomencionamos an, teriormente.#orejemplonosabemosuevelocidadtenalapartculaalpasar porAocualerasuvelocidadalpasarpor0. 'inembar(o"sielpunto0essu,ficientementecercanoalpuntoA"vA0 nosdaunamu%buenaideadelarapide$conuelapartculapasaporA.As"convienedefinirlarapide$instantanea *osimplemente rapide$asecas+enel instante t *i.e."cuandolapartcula pasaporA+av*t1 +4limt/ 9t1

s*t/ + 5 s*t1 +t/ 5 t1. *:+Elladoderec&ode*:+esjustamenteladerivada desconrepectoaltiempoent1 .;eestemodo"larapide$enA*i.e."enel instantet1 +estadadapordsv*t1 +4 *t1 +. *+dtCuando &acemostendert/at1*enotraspalabras"cuandollevamosalpunto1i(.82#rocesodelmite0 juntoalpuntoA+"ladistanciamedidasobreelarcoA0 %sobrelacuerda A0seasemejan cadave$mas*i.e."?3rA0 ? @3sA0 cuando 09A+"demodo uelama(nituddelvector -vt1coincideconelmodulodev*t1 +.;eestemodo"larapide$*instantanea+essimplementelama(nituddelvectorvelocidad*in, tantanea+.#orotra parte" es evidente deeste procesodelmite*si latra%ectoriaes unacurvasuave+ueladirecci ndelvector velocidad-v*t1 +es la direccin delatan(ente alatra%ectoria enelpuntoA.'i(uiendounuso&abitual" llamare,mostA alatan(enteunitariaalacurva. Enrealidad tA esunafuncindelarcos*i.e."deladistancia# Amedidasobrelatra%ectoria+.Enresumen"elvectorvelocidaddelapartcula alpasarporel punto A delatra%ectoria esta dado por-v*t1 +4 v*t1 +tA. *B+)aecuacin*B+es unaconsecuenciadirecta delare(ladelacadena. Enefecto"-v*t1 +4d-r dt*t1 +4d-r ds dsdt4 tA*s*t1 ++v*t1 +"*C+puesd-rDdses precisamente latan(ente unitaria alacurvaenel puntoA.Ademasdelaposicion%delavelocidad"otracantidadrelevanteenlade,scripci ndelmovimientoeslaaceleraci n. ;e&ec&olaaceleraci njue(aunpapelcrucialenlasle%esdeNeEtonueri(enelmovimientodelaspartculas. ;efiniremosaceleracionmediaentre dospuntos A%0dela tra%ectoria alcuo,ciente-aA06-v*t/ + 5-v*t1 +.*1F+t/ 5 t11inalemente"definiremoslaaceleracioninstantanea*oaceleracion"a secas+en el instantet como-a*t+ 6d-vdt*t+. *11+Gasta a&ora&emosvisto como"apartir delconocimiento delafuncion -r*t+" podemos obtenerdistintaspropiedades delmovimientodelapartculatalescomosuvelocidad" rapide$" aceleraci n" velocidades %aceleraciones medias.Elproblema centraldemecanicacomoveremosenelcaptulosi(uienteesel problema inverso.Enefecto"louenosinteresaramasadelanteescomo"apartir delaaceleraci n*i.e."delafunci n-a*t+parat H F+%delestadoinicialde la partcula *i.e."de su posicion -r % velocidad-v en t 4 F+ podemosdeterminartotalmentelaevoluci ndelapartcula"i.e."suvectorposicion-rcomofuncindeltiempo.Estecamino inversoessimpledellevar acabo" apartirdelasecuaciones*11+%*>+"utili$andoelTeorema1undamentaldelCalculo.'iinte(ramoslaecuaci n*11+entret 4 F%t 4 T "%usamoselTeorema1undamentaldelCalculotenemos"-v*T + 5 -v*F+ 4 IF-a*t+ dt.*1/+)lamando alavariable deinte(raciarre(lar*1/+demodouenJ%lue(ocambiando Tport"podemos-v*t+ 4-v*F+ K IF-a*J + dJ. *18+#orlotanto"siconocemoslavelocidadinicial-v*F+delapartcula%suacel,eraci n-a*J +entreF%t"pormediode*18+podemosdeterminarsuvelocidadentreF%t.A&orapodemos&acerunprocesosimilar"usando*>+"paradeter, minar-r*t+apartir de-r*F+ %de-v*J +entre F%t.As obtendremos-r*t+ 4-r*F+ KIF-v*J + dJ. *1:+)asecuaciones *18+%*1:+representanjustamentelasoluciondelproblema inversobuscado.Lui$aslaaplicacionmassimpledelasecuaciones*18+%*1:+consisteenencontrar latra%ectoria deunapartcula sometida a aceleracin constante" di(,amos-a4-(*estasituacincorresponde precisamentealadeuna partculamoviendose en el campo(ravitatorio uniforme"cercade la superficiede la tierraMTttenestecaso-(estadiri(idoalolar(odelavertical&aciaabajo%suma(nitud estadadaapro.imadamentepor(4?-(?@C"B1NmDse(/ OM(seconoce&abitual, mentecomoaceleracion de(ravedad+.Gaciendopues-a4-( *constante+ en*18+ obtenemos deinmediato-v*t+ 4-v*F+ K -( t. *1+"estacontenida enelplano (enerado por-v*F+%-(. #or otraparte"si-v*F+%-(soncolineales" entonceslapartculasemuevealolar(odelalnea(eneradapor-("uepasaporelori(en.7etornaremosa esteproblemamasadelanteenestecaptulo" cuandoveamosel )an$amientode#ro%ectiles+.'istemasde CoordenadasConelobjetoderepresentarlosvectoresdiscutidosenla seccinprecedente"enpartcularelvectorposiciondelapartcula"esconvenienteutili$aral(unossistemasdecoordenadas.)osmasusualessonlossistemasdecoordenadascartesianas"polares"cilndricas%esfericas"sistemasuediscutiremos endetalle acontinuacion.CoordenadasCartesianasEsteeselsistemamassimple decoordenadas. #ara representaralvector-rutili$amossupro%eccion alolar(odetresejesorto(onales"fijos"losuedeno, taremoscomoPQ "PR %PI "respectivamente"tal comoseindicaenlafi(ura:. )lamaremosA alvectorunitarioalolar(odePQ "A alvectorunitarioalo lar(odePR %SA alvectorunitarioalolar(odePI .Alapro%eccionde-ralolar(odePQ *i.e."a-r T A+ ladenotaremospor.. Alaspro%eccionesde-ralo lar(odePR %PIlasllamaremos%%$respectivamente.;eestemodo" podemos representaralvector-r*en labase devectores ortonormales A" A"SA+por-r 4 . A K % A K $ SA.*1B+F1i(.:2Coordenadas Cartesianas#uesto ue el vector -r es una funcin del tiempo" tambien lo son sus coordenadas."%" $.#orotra parte los vectores delabase"A" A" SA" sonconstantes.;erivando conrespectoaltiempolae.presion*1B+para-r"obtenemosla correspondientee.presionpara lavelocidadencartesianas. Comolosvectoresdelabaseson constantes" alderivar*1B+obtenemos-v 4d.A Kdtd%A Kdtd$ SA. *1C+dt;erivandoasuve$ *1C+conrespecto altiempo" obtenemos lae.presion paralaaceleraci nencartesianas"-a 4d/ .dt/A Kd/ %dt/A Kd/ $dt/ SA. */F+;ea&oraenadelanteutili$aremosunanotacinintroducidaporNeEtonparaescribirlasdiferentesderivadas conrespectoaltiempo.As pues" denotaremos pord..U6" dtd%%U6" dt.V 6d/ .dt/etc."*/1+Conestanotacinpodemosescribir-v 4 .UA K %U A K $USA" *//+%-a 4 .VA K %VA K $VSA" */8+repectivamente. #ara ilustrarelusodecoordenadas cartesianasvolvamosal ejemplodeunapartculamoviendoseenuncampo(ravitatoriouniformeuediscutimosenlasecci nanterior.Elijamoselori(endecoordenadas demodouecoincidacon-r*F+Mentonces"laposiciondelapartculauedadeterminadapor*1>+. A&oraele(imoselejePIdemodouecoincidaconladirecci campo(ravitatorio.;eestemodondel-( 4 5( SA"*/:+enue(denota laaceleracinde(ravedad. Consideremoslue(oel vector -v*F+.Como&emosdic&oantes" si -v*F+es colinealcon -(" el movimiento delapartculaesrectilneo.Encambio"si -v*F+noescolinealcon -(" siemprepodemosesco(ercomoejePR aladireccinparalela alvector -v*F+ 5 v$ *F+SA*auv$ *F+denotalapro%eccion de-v*F+sobreel ejePI +.Conestaeleccion tenemos-v*F+ 4 v% *F+A K v$ *F+SA"*/+1/respectivamente.Coordenadas#olares$*t+ 4 v$ *F+ t 5 / ( t" */B+Endiversascircunstancias"elsistemadecoordenadas cartesianosnoresulta elmasapropiado.#orejemplo"aldiscutirelmovimientodeunpendulosimple" oaldescribir laorbitadeun sateliteba jolaacciondelcampo(ravitatorio terrestre" lasecuacionesdemovimiento encartesianas sonmasbiencomplicadas.En esoscasosresulta muc&o masadecuado usar coordenadaspolares" lasue introducimos acontinuacion.Consideremosunapartculaenmovimientoenunplano.#orsupuesto podemosrepresentarelmovimientodelapartculaencoordenadascartesianas *." %+comose indicaenlafi(ura:.'inembar(o"tambien podemosusarotros parametros pararepresentar laposicion#delapartcula.1i(.+#araobtener la velocidadderivamos*8>+con respecto al tiempo.;e este modo"usandolare(lade)eibni$"tenemos-v 4dWWA K W dtdWAdt.*8B+Gemosvisto anteriormente ueWA vara solo si X vara.As pues"usandola re(la delacadena%*8F+((Noteseue74 / d"loueeradeesperarpueselejedesimetradelaparabola eslarecta$4d.Tantoelran(o"7" comolaalturama.imauealcan$a el pro%ectil"&"sonfuncionesdelosdatosdellan$amientovF%X. Enparticular"/// v/Fambossonproporcionales av/ D(ueeslaunicae.presioncondimensionesde lon(ituduepodemosconstruirapartir devF%(.#ara unarapide$inicialvFdada"si consideramosel ran(ocomofunci ndelan(ulodelan$amiento"X"esteesma.imocuandoelan(ulodelan$amientoesYD:*i.e.":1"usando*>/"comovs4 e s4 . 5 % ud." *>8+d%Fenue&emosdefinidoe 6 vDu.#orotra parte" alo lar(odelacurvaC"el elementodearcoestadado*usando elTeoremade#ita(oras+ pords4

//. K d%"*>:+ddedondesi(ueds s4 5 1 Kd%/ d. d%" *>8+conrepectoa%"usando*>=+la cuales unaecuacin diferencialde primerordenparaf 4 d.Dd% uese puederesolvermedianteseparacion devariables. Enefecto" la ecuaci escribircomon*>=+sepuedecu%ainte(ral esdfp1 K f /51d%4 e" *>>+%esin& f 4 lo( % K c" *>B+enuecesunaconstantedeinte(racin. 'inembar(o" f4 d.Dd%4 Fpara% 4 PA6 a"locualdeterminalaconstantedeinte(raci n.Tenemosentonces51sin&f 4 lo(* +ea*>C+demodoue"usandoladefinicion delafuncionsen&*.+" *i.e."sin& .4 *e.p . 5e.p*5.++D/+"obtenemosd.f 441

% e*5a e .*BF+d% / a%#ara determinarsielperrito alcan$aaladama" debemosversilacurvaCinterceptaalejePQ .7eferencesN1O0en(uria"7.;.%;epassier"M.C."#roblemas 7esueltosde MecanicaClasica" EdicionesUniversidadCatolica de C&ile"'antia(o de C&ile" 1CC