3.1 Platten Teil 1 - ETH Z

3 Platten

Vertiefung und Ergaumlnzungen zu Stahlbeton II

20092018 ETH Zuumlrich | Prof Dr W Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 1

In diesem Kapitel wird die Traglast duumlnner Platten mit kleinen Durchbiegungen untersucht Dabei wirdideal plastisches Materialverhalten vorausgesetzt ohne auf Fragen des Verformungsbedarfes und desVerformungsvermoumlgens naumlher einzugehen Da Platten in der Regel eher schwach bewehrt sind bestehtdiesbezuumlglich gewoumlhnlich wenig Anlass zu Bedenken

Platten sind die am weitesten verbreitete Anwendung der Stahlbetonbauweise Ihrer Bedeutungentsprechend werden sie in diesem Kapitel eingehend behandelt Zunaumlchst werden die grundlegendenstatischen Beziehungen aufgestellt aus denen schliesslich die Fliessbedingungen hergeleitet werdenkoumlnnen

In der Praxis werden heutzutage fuumlr die Ermittlung der Beanspruchung meist numerische Verfahreninsbesondere die Methode der finiten Elemente angewendet Fuumlr Plausibilitaumltskontrollen eignen sichentsprechende Naumlherungsverfahren wie bspw die Methode der stellvertretenden Rahmen

In der plastischen Plattentheorie werden zur Ermittlung der Traglast statische und kinematischeBerechnungsmethoden verwendet

Fuumlr die Bemessung wird meist nur der Biegezustand der Platte betrachtet Der Einfluss der Querkraumlftewird normalerweise nur bei konzentrierten Kraumlften und Stuumltzen massgebend (Durchstanzen)

Tragwerksanalyse Berechnungsmethoden ndash Uumlbersicht

Platten ndash Grundlagen

Elastische Plattentheorie Plastische Plattentheorie

Loumlsung der Platten-differentialgleichung

Methode der Finiten Elemente

Approximative Loumlsungen mit Energieverfahren

Statische Methode der Plastizitaumltstheorie

Kinematische Methode der Plastizitaumltstheorie

Momentenansaumltze

Methode der stell-vertretenden Rahmen

Streifenmethode

Fliessgelenklinienmethode

einfach

erweitert


Die in den Schnittflaumlchen eines Plattenelementes angreifenden Spannungen koumlnnen zuSpannungsresultierenden gemaumlss der Abbildung zusammengefasst werden

Die Biege- und Drillmomente sowie die Querkraumlfte bilden den Biegespannungszustand dieMembrankraumlfte den Membranspannungszustand Im folgenden werden primaumlr senkrecht zur ihrerMittelflaumlche beanspruchte Platten betrachtet in welchem ein Biegespannungszustand vorherrschtMembrankraumlfte koumlnnen deshalb vorerst ausser acht gelassen werden

NB Analog der Balkentheorie wird z = 3 vernachlaumlssigt In jeder Ebene z = const herrscht somit einebener Spannungszustand

x dz

yx dzzx dzxy dz

y dzzy dz

Ebene Elemente - Spannungsresultierende

Platten - Grundlagen

Biegespannungs-zustand (Platte)Biegemomente undQuerkraumlfte

Membranspannungs-zustand (Scheibe)Membrankraumlfte(Normal- Schubkraumlfte)

2 2 2

2 2 2

kNmm = kNh h h

x y xy yxh h h

xyyxm z dz m z dz m m z dz

2 2

2 2

kNmh h

x yh h

zx zyv dz v dz

2 2 2

2 2 2

kNmh h h

x y xy yxh h

yxh

xyn dz n dz n n dz

xym

ymxm yxm

xn

xynxv

yvxyn

yn


Fuumlr Spannungen und Spannungsresultierende werden die in der Abbildung illustrierten Vorzeichen-konventionen verwendet Danach wirken positive Spannungen an Elementen mit positiver aumlussererNormalenrichtung in positiver Koordinatenrichtung fuumlr Normalspannungen bedeutet dies dassZugspannungen positiv sind Positive Membran- und Querkraumlfte entsprechen positiven Spannungen undpositive Momente entsprechen positiven Spannungen nach obenstehender Definition fuumlr positive Werteder Koordinate z Bei doppelten Indizes steht jeweils der erste Index fuumlr die Richtung in welcher dieSpannung wirkt waumlhrend der zweite Index die Normalenrichtung des Flaumlchenelementes bezeichnet anwelchem die Spannung angreift (sind beide Indizes identisch wird einer weggelassen)




2 2 2

2 2 2

h h h

x x y y xy yx xyh h h

m z dz m z dz m m z dz

2 2

2 2

h h

x zx y zyh h

v dz v dz

2 2 2

2 2 2

h h h


n dz n dz n n dz

Vorzeichenkonventionbull Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver aumlusserer

Normalenrichtung in positiver Achsenrichtungbull Positive Membran- und Querkraumlfte entsprechen positiven zugehoumlrigen

Spannungenbull Positive Momente entsprechen positiven zugehoumlrigen Spannungen fuumlr z gt 0bull Indizes 1 Index Richtung der Spannung

2 Index Normalenrichtung des Elements an dem Spannung wirkt

3 PlattenVertiefung und Ergaumlnzungen zu Stahlbeton II

31 Gleichgewichtsbedingungen


Das Gleichgewicht der angreifenden Kraumlfte und Momente am Plattenelement fuumlhrt zu drei GleichungenDurch Einsetzen der zweiten und dritten Gleichung in die erste ergibt sich die Gleichgewichtsbedingungfuumlr Platten in kartesischen Koordinaten

Platten ndash Gleichgewicht

0yx vv qx y

0xyxx

mm vx y

0y yxy

m mv

y x

Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung

zusaumltzlichDrillmomente

2 22

2 22 0xy yx m mm qx x y y

0y xx y y x

v vv dy v dx v dy dx v dx dy q dxdyy x

0xyxx xy x xy x

mmm dy m dx m dx dy m dy dx v dydxx y

0y yxy yx y yx y

m mm dx m dy m dy dx m dx dy v dxdy

y x

Plattengleichgewichtsbedingung

Herleitung uumlber Gleichgewicht am differentiellen Plattenelement

Terme mit (dx)2 bzw (dy)2 vernachlaumlssigt

Gleichgewichtsbedingungen ndash kartesische Koordinaten


Das Momentengleichgewicht an den in der Abbildung dargestellten Plattenelementen fuumlhrt zuBeziehungen welche als Transformationsformeln fuumlr Biege- und Drillmomente dienen Es koumlnnenbeliebige Schnitte mit der Normalen n deren Richtung durch den Winkel festgelegt ist betrachtetwerden Sie lassen sich mithilfe eines Mohrschen Kreises darstellen Drillmomente werden hier positivgerechnet wenn der ihnen entsprechende positive (rechtsdrehende) Momentenpfeil in Richtung desbetrachteten Schnittrandes weist

Die Hauptrichtung fuumlr welche die Drillmomente verschwinden mtn = 0 sowie die zugehoumlrigenHauptmomente m1 und m2 in den entsprechenden Richtungen koumlnnen sowohl grafisch im MohrschenKreis als auch analytisch bestimmt werden



Biege- und Drillmomente in einer beliebigen Richtung Hauptrichtung 1 (Drillmomente = 0) und Hauptmomente ( Mohrrsquoscher Kreis)2 2cos sin sin 2n x y xym m m m

2 2sin cos sin 2t x y xym m m m

sin cos cos 2tn y x xym m m m

1

2tan 2 xy

x y

mm m

2 2

12

4

2 2x y xyx y

m m mm mm2 2sin 2 2sin cos cos 2 cos sinNB

Spannungstransformation Biege- und Drillmomente

Analog zu den Momenten kann auch das Gleichgewicht der vertikalen Kraumlfte an den abgebildetenPlattenelement aufgestellt werden Dies fuumlhrt zu Transformationsregeln fuumlr Querkraumlfte an einembeliebigen Schnitt mit der Normalen n deren Richtung durch den Winkel festgelegt ist Dietrigonometrischen Funktionen lassen sich mithilfe eines Thaleskreises deuten An jeder Stelle der Plattewird eine Hauptquerkraft v0 in Richtung 0 uumlbertragen Senkrecht zu dieser Richtung wird keine Querkraftabgetragen Die Hauptrichtungen der Querkraumlfte und der Momente fallen nur in Spezialfaumlllen zusammenallgemein ist 0 ne

Hauptquerkraft und zugehoumlrige Richtung 0(Interpretation mit Thaleskreis)

(allgemein ist 0 1)


Querkraumlfte in einer beliebigen Richtung

Spannungstransformation Querkraumlfte

cos sinn x yv v v

sin cost x yv v v2 2

0 x yv v v

0tan y

x

vv


Am Rand einer Platte greifen allgemein ein Biegemoment mn ein Drillmoment mtn und eine Querkraft vn

an Nach Kirchhoff erhaumllt man fuumlr duumlnne elastische Platten mit kleinen Durchbiegungen eine inhomogeneBipotentialgleichung fuumlr die Durchbiegungen der Platte deren Loumlsungen sich nur zwei Randbedingungenanpassen lassen Deshalb wird bei der Behandlung von einfach gelagerten und freien Plattenraumlndern eineweitere Bedingung eingefuumlhrt Die Drillmomente mtn werden dabei durch eine stetige Verteilung vonvertikalen Kraumlftepaaren ersetzt wobei sich an den Grenzen zwischen den infinitesimalen Elementen derLaumlnge dt die Kraumlfte bis auf den Zuwachs mtntmiddotdt aufheben Der Zuwachs pro Laumlngeneinheit mtnt wird nunmit der Querkraft vn zu einer Stuumltzkraft vn+mtnt = mnn+2mntt zusammengefasst Die beschriebeneBehandlung von Drillmomenten am Plattenrand geht auf Thomson und Tait (1883) zuruumlck und laumlsst sichmit dem Prinzip von de Saint Venant begruumlnden

Aus der Sicht der statischen Methode der Plastizitaumltstheorie ist jedoch eine Erklaumlrung der Tragwirkung imBereich von Plattenraumlndern vorzuziehen welche nur auf Gleichgewichtsuumlberlegungen beruht Dies ist inder Abbildung illustriert In einer schmalen Randzone der Platte muss aus Gleichgewichtsgruumlnden eineRandquerkraft Vt=-mtn existieren sofern der Plattenrand spannungsfrei ist und die in der Randzoneauftretenden Spannungen t sich in t-Richtung nicht aumlndern Aus der Existenz der Randquerkraumlfte Vt

folgen die Eckkraumlfte 2mtn und der Beitrag mtnt der Drillmomente zur Stuumltzkraft

Stuumltzkraft EckkraftQuerkraft in Randzone

Statische Methode der Plastizitaumltstheorie ndash Erklaumlrung mit Tragwirkung im Bereich von Plattenraumlndern welche nur auf Gleichgewichtsuumlberlegungen beruht

Aus Gleichgewicht in einer schmalen Randzone der Platte folgt die Randquerkraft Vt -mtn

sofern Plattenrand ist spannungsfrei und die in der Randzone auftretenden Spannungen t aumlndern sich nicht in t-Richtung (Clyde 1979)Aus der Randquerkraft Vt -mtn folgen die Eckkraumlfte 2 mtn und der Beitrag von mtnt zur Stuumltzkraft

Platten ndash Randbedingungen


Randbedingungen auf der Basis von Gleichgewichtsuumlberlegungen

Die entsprechenden Randbedingungen lassen sich wie in der Abbildung angegeben zusammenfassenDiese folgen aus reinen Gleichgewichtsbetrachtungen und sind somit fuumlr beliebiges Materialverhaltenguumlltig Fuumlr duumlnne elastische Platten koumlnnen strengere Randbedingungen formuliert werden welche jedochfuumlr die Behandlung nach der Plastizitaumltstheorie nicht relevant sind

Randbedingungen auf Basis von Gleichgewichtsuumlberlegungen

Stuumltzkraft




bull eingespannter Rand mn mtn und vn beliebig

bull einfach gelagerter Rand mn = 0 resultierende Stuumltzkraft

bull freier Rand mn = 0 verschwindende Stuumltzkraft

2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t

Die Randquerkraumlfte sind bei der Ausbildung der Bewehrung entlang von einfach gelagerten und freienRaumlndern von Stahlbetonplatten zu beruumlcksichtigen Die Abbildung zeigt den Kraftfluss einer auf reineDrillung beanspruchten Rechteckplatte welcher mit einem Fachwerkmodell dargestellt werden kann

An der Plattenoberseite und an der Plattenunterseite bilden sich zueinander senkrechte unter 45deg zu denPlattenraumlndern geneigte Betondruckstreben aus deren Komponenten in Richtung der Randnormalendurch randparallele Bewehrung aufgenommen werden Die Komponenten in Richtung der Plattenraumlnderwerden uumlber geneigte Betondruckstreben in den Randstreifen weitergeleitet deren Vertikalkomponente ndashwelche den Randquerkraumlften entspricht ndash uumlber eine Bewehrung aufgenommen werden muss Diese kannmit Steckbuumlgeln oder durch entsprechende Abbiegung der Biegebewehrung realisiert werden Manerkennt auch dass sich die Randquerkraumlfte in der Plattenecke nicht aufheben sondern zu einer Eckkraft2mnt addieren

Querkraft in Randzone Kraftfluss in Plattenecke


Randbewehrung

Werden entlang von einfach gelagerten und freien Raumlndern Drillmomente in Rechnung gestellt so ist eine Bewehrung zur Aufnahme von Vt -mtn anzuordnen

Veranschaulichung (Ecke reine Drillung)Ober- und Unterseite zueinander senkrechte unter 45deg zu den Plattenraumlndern geneigte Betondruckstreben Aufnahme der randnormalen Komponenten durch randparallele Bewehrung Komponenten in Richtung der Plattenraumlnder werden durch geneigte Betondruckstreben in den Randstreifen weitergeleitet Vertikalkomponenten entsprechen den Randquerkraumlften Vt -mtn

Aufnahme von Vt -mtn mit Steckbuumlgeln oder entsprechender Abbiegung der Biegebewehrung

2 mnt20092018 ETH Zuumlrich | Prof Dr W Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III 11

Fuumlgt man in Gedanken zwei Platten an ihren freien Raumlndern zusammen (man beachte dassPlattenraumlnder Diskontinuitaumlten darstellen an denen iA ein Biegemoment mn ein Drillmoment mtn undeine Querkraft vn angreift) so kann aus der Aumlquivalenz von Drillmomenten am Plattenrand undRandquerkraumlften gemaumlss der Randquerkraft Vt = -mtn darauf geschlossen werden dass an statischenDiskontinuitaumltslinien im Platteninnern die Biegemomente mn stetig verlaufen muumlssen die Drillmomentemnt und die Querkraumlfte vn hingegen springen duumlrfen Dabei muumlssen an einer statischenDiskontinuitaumltslinie entlang welcher eine Querkraft Vt abgetragen wird die Beziehungen gemaumlss derAbbildung erfuumlllt sein

Diskontinuitaumlt


DiskontinuitaumltenIm Platteninnern sind statische Diskontinuitaumltslinien zulaumlssig (harr Aumlquivalenz von Drillmomenten am Plattenrand und Randquerkraumlften man fuumlge in Gedanken zwei freie Plattenraumlnder zusammen)An Diskontinuitaumltslinienrarr muumlssen Biegemomente mn stetig sein (mn

+ = mn-)

rarr duumlrfen Drillmomente mnt und Querkraumlfte vn springen (mnt+ ne mnt

- vn+ ne vn

-)

Somit gelten fuumlr eine statische Diskontinuitaumltslinie entlang welcher eine Querkraft Vt abgetragen wird folgende Bedingungen

n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt



32 Fliessbedingungen


Fliessbedingungen fuumlr isotrope Materialien sind fuumlr Stahlbetonplatten nicht verwendbar (auch nicht beilaquoisotroper Bewehrungraquo dh in beide Richtungen gleich grossen Biegewiderstaumlnden)

Platten ndash Fliessbedingungen

Fliessbedingungen von Tresca und v Mises fuumlr isotrope Platten (Stahl etc)(fuumlr Stahlbeton nicht geeignet auch bei laquoisotroper Bewehrungraquo)

Im vollplastifizierten Zustand (resp starr-plastisches Verhalten) ist der Spannungszustand auf jeder Seite der Mittelebene konstant Fliessbedingung analog wie im ebenen Spannungszustand

Fliessregimes nach Tresca (2 ellipt Kege ellipt Zylinder)

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u

x x y y xy s x x y y xy u

f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2

Die Biegewiderstaumlnde einer orthogonal bewehrten Platte koumlnnen in x- und y-Richtung unabhaumlngigvoneinander ermittelt werden Die Druckzonenhoumlhen cx und cy und somit mxu und myu werden uumlber dasGleichgewicht am Querschnitt bestimmt Da die Bewehrung orthogonal angeordnet ist ist dasDrillmoment mxy in den entsprechenden Richtungen gleich null

Durch Uumlberlagerung der plastischen Momente mxu und myu in den Bewehrungsrichtungen mit mxy = nx =ny = 0 erhaumllt man einen statisch zulaumlssigen Spannungszustand im Element Die Biege- und Drillmomentewelche diesem Spannungszustand entsprechen koumlnnen analog der Spannungstransformation in jederbeliebigen Richtung n bestimmt werden


Fliessbedingungen fuumlr StahlbetonplattenBiegewiderstaumlnde mxu und myu einer orthogonal bewehrten Platte (Bewehrung in x- und y-Richtung)

Durch Superposition der Biegewiderstaumlnde in den Bewehrungsrichtungen und Transformation in eine beliebige Richtung (analog zu den Spannungstransformationen) ergeben sich die Biege- und Drillmomente mn mt und mnt in n- und t-Richtung (statisch zulaumlssiger Spannungszustand)

Schnitt x-Richtung Schnitt y-Richtung

x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy

yc Ohne Normalkraumlfte ergeben sich die Druckzonenhoumlhen cx und cy und damit mxu und myu aus Gleichgewicht

Da Bewehrung orthogonal ist 0xy um

2 2cos sinn xu yum m m

sin cosnt yu xum m m

2 2sin cost xu yum m m

Saumlmtliche Membrankraumlfte verschwinden0t n ntn n n


Die Traglast wird anhand der Normalmomenten-Fliessbedingung uumlberpruumlft welche davon ausgeht dassdas Versagen ausschliesslich durch Bildung einer Fliessgelenklinie eintreten kann Falls dieDruckzonenhoumlhe in x- und y-Richtung gleich sind dh cx = cy kann zu dem statisch zulaumlssigenSpannungszustand ein kinematisch vertraumlglicher Bruchmechanismus (Fliessgelenklinie siehe spaumlter)gefunden werden Es resultiert daraus somit eine vollstaumlndige Loumlsung

Im allgemeinen sind die Druckzonenhoumlhen in den beiden Bewehrungsrichtungen unterschiedlich cx ne cyund es laumlsst sich dem betrachteten Spannungszustand kein vertraumlglicher Mechanismus zuordnen Derermittelte Wert fuumlr mn ist somit ein unterer Grenzwert fuumlr den Biegewiederstand mnu in Richtung n DieAbweichungen fuumlr cx ne cy sind in der Regel sehr gering und das Ungleichheitszeichen kann daherunterdruumlckt werden

Die Herleitung der Formel fuumlr negative Momente ist analog derjenigen fuumlr positive wobei das negativeplastische Moment positiv definiert wird mrsquonu gt 0

Ergaumlnzende Bemerkung

laquoNormalmomenteraquo sind Biegemomente (zur Unterscheidung von den Drillmomenten so bezeichnet)Die Normalmomenten-Fliessbedingung uumlberpruumlft ob in jeder Richtung die Normalmomente(Biegemomente) kleiner sind als der Biegewiderstand



Fliessbedingung fuumlr Stahlbetonplatten

Der Widerstand wird anhand der Normalmomente uumlberpruumlft (laquoNormalmomenten-Fliessbedingungraquo) Falls die Druckzonenhoumlhen gleich sind dh cx = cy resultiert die vollstaumlndige Loumlsung

bull statisch zulaumlssiger Spannungszustand (Gleichgewicht)bull Kinematisch vertraumlglicher Bruchmechanismus (Fliessgelenklinie siehe spaumlter)

Fuumlr cx ne cy liefert der statisch zulaumlssige Spannungszustand einen unteren Grenzwert der Traglast

2 2 cos sinn u x u y um m m

2 2 sin cost u x u y um m m







Biegewiderstand fuumlr positive Biegemomente Biegewiderstand fuumlr negative Biegemomente (laquolsquoraquo)(Vorzeichen Biegewiderstand positiv)

Die Unterschiede bzgl der Druckzonenhoumlhe in x- und y-Richtung sind in der Regel gering so dass in guter Naumlherung das Ungleichheitszeichen unterdruumlckt werden darf

NB Mit einem Definitionsbereich fuumlr den Winkel von 0 le le ist die Beziehung fuumlr mn ausreichend


Fliessbedingungen fuumlr StahlbetonplattenWird die Einwirkung mn in der massgebenden Richtung u gleich dem Widerstand mnu gesetzt erhaumllt man

Unter Beachtung dass die Bedingung mnu ge mn fuumlr alle Richtungen erfuumlllt sein muss resultiert ()

() In der massgebenden Richtung u (Beruumlhrungspunkt mnu ( ) und mn ( )) ist die Differenz mnu mn minimal somit

woraus durch Ruumlckeinsetzen nach einiger Umformung die angegebenen Beziehungen folgen

2 2 2 2

cos sin cos sin 2 sin cosx u u y u u x u y u un xy un umm m m m mm

fuumlr positive Biegemomente

tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m

cot y u y xy um m m tan x u x xy um m m

tan

x u x

uy u y

m mm m

fuumlr negative Biegemomente

Widerstand Einwirkung Widerstand Einwirkung

min 0 ( ) ( ) cot tann u n n u n n u n y u x u y x xy u um m m m m m m m m m m


Fuumlr eine gegebene Beanspruchung welche durch die Momente mx my und mxy gegeben ist variiertabhaumlngig der Richtung das Moment mn = mxmiddotcos2( ) + mymiddotsin2( ) + 2middotmxymiddotsin( )middotcos( ) Der Widerstandvariiert gemaumlss der Fliessbedingung mnu = mxumiddotcos2( ) +myusin2( ) ebenfalls mit Somit bildet sich dasFliessgelenk im Beruumlhrungspunkt der beiden Kurven von Einwirkung und Widerstand Der zugehoumlrigeWinkel u bestimmt die Richtung der Fliessgelenklinie Es ist zu beachten dass im Allgemeinen dieRichtung des maximalen Moments (Hauptmomentenrichtung 1) nicht mit der Richtung der Fliess-gelenklinie uumlbereinstimmt Eine Bemessung des Tragwerks auf das Hauptmoment liegt daher nicht aufder sicheren Seite


Da der Winkel ab der x-Richtung (= Bewehrungsrichtung) gemessen wird liegen die Maxima respMinima von mnu und mrsquonu bei = 0 und = 2 (x- und y-Richtung)

Maximum und Minimum der Beanspruchung mn treten (ausser bei mxy = 0) in anderen Richtungen auf

Allgemein wird die Fliessbedingung nur fuumlr positive oder negative Momente erreicht (Abbildung zeigtSpezialfall einer optimalen Bemessung)

nm

n um

n um


Fliessbedingungen fuumlr Stahlbetonplatten

Biegemomente mn in Funktion von massgebende Richtung u

rarr Richtungen in der das einwirkende positive bzw negative Moment maximal werden (Hauptmomentenrichtungen fuumlr mn)u rsquou rarr Richtungen in der die Einwirkungskurve die Widerstandskurve beruumlhrt Hier ist mn = mnu

Allgemein ist ne u bzw ne rsquou rarr Bemessung von mnu auf Hauptmoment m1 ist nicht konservativ


Die Fliessbedingung fuumlr positive Moment mnu ge mn kann auch als Momenten-Tensor der Form

ausgedruumlckt werden Die Gleichung ist erfuumlllt wenn die Determinante des Tensors verschwindet Darauslassen sich die Fliessbedingungen in der Form Y = 0 direkt herleiten Das Vorgehen ist fuumlr negativeMomente analog

Nach der Theorie des plastischen Potentials sind den Fliessflaumlchen Y = 0 uumlber das Fliessgesetz folgendeKruumlmmungsinkremente zugeordnet ( ge 0)

Daraus folgt Die Transformation in die Hauptrichtungen fuumlhrt schliesslich zu

Dies bedingt dass eine der Hauptkruumlmmungen verschwindet somit entsprechen vertraumlglichenBruchmechanismen kinematisch zulaumlssige Verformungszustaumlnde in Form abwickelbarer Flaumlchen

coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y


Normalmomenten-FliessbedingungWird u bzw rsquou aus den voherigen Gleichungen eliminiert folgt aus der Bedingungdie sogenannte Normalmomenten-Fliessbedingung

2 0xy x u x y u yY m m m m m


ge 0 ge 0

ge 0 ge 0

Ist bzw so ist die Fliessbedingung erfuumlllt 0Y 0Y

Die Normalmomenten-Fliessbedingung bildet im (mx my mxy) -Raum zwei elliptische Kegel Auf den Kegelflaumlchen ist x y = 0 (aus Fliessgesetz) dh eine der beiden Hauptkruumlmmungen verschwindet Die vertraumlglichen Mechanismen entsprechen daher abwickelbaren Flaumlchen

n u n n um m m


Die Ausdruumlcke der Fliessbedingungen ergeben sich analog mit der Schreibweise nach SIA 262 wonachdie Einwirkungsmoment mxd myd und mxyd (laquodesignraquo) sowie die Biegewiderstaumlnde mxRd und myRd

(laquoResistanceraquo) auf Bemessungsniveau berechnet werden





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0

Dito mit Schreibweise nach SIA 262

n u n n um m m

2 0xy d x Rd x d y Rd y dY m m m m m


ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


Die Normalmomenten-Fliessbedingung kann in parametrisierter Form geschrieben werden mit denSubstitutionen von k = |tan u| und krsquo = |tan rsquou| Der Parameter k bzw krsquo ist frei waumlhlbar und es wird oft k =krsquo = 1 gesetzt Daraus folgt die linearisierte Fliessbedingung gem der Abbildung welche auch in vielenComputerprogrammen zur Anwendung kommt

Die Normalmomenten-Fliessbedingung uumlberschaumltzt den Widerstand insbesondere fuumlr grosseDrillmomente bezuumlglich der Bewehrungsrichtungen und hohen Bewehrungsgehalten DieseUumlberschaumltzung wird in vielen Faumlllen durch die guumlnstige Wirkung der bei der Bemessung uumlblicherweisevernachlaumlssigten Membrankraumlfte kompensiert Vorsicht ist jedoch bei Eckstuumltzen geboten in derenunmittelbarer Umgebung naumlherungsweise ein Zustand reiner Drillung herrscht

Die bereits in Stahlbeton II gemachte Feststellung dass die Normalmomenten-Fliessbedingung denDrillwiderstand von Platten uumlberschaumltzt wird auf Folie 26ff begruumlndet Insbesondere Bauteile mit hoherDrillbeanspruchung und unterschiedlichem Vorzeichen der Hauptmomente (beispielsweise Eckstuumltzen)muumlssen naumlher untersucht werden

1k


Der Parameter k kann frei gewaumlhlt und die Bewehrung direkt bemessen werden Wird k = 1 gesetzt so folgt daraus die linearisierte Fliessbedingung welche auch von vielen Computerprogrammen verwendet wird

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k

x u x xym m k mfuumlr positive Biegemomente



BemessungsmomenteNormalmomenten-Fliessbedingung in parametrisierter Form mit und Daraus folgen die Bemessungsmomente

tan uk tan uk

Auch hier ergibt sich die Schreibweise nach SIA 262 analog zur Fliessbedingung

Bei mehreren Beanspruchungskombinationen ist der erforderliche Biegewiderstand (mx my)Rd

grundsaumltzlich fuumlr die zugehoumlrigen Schnittgroumlssen (mx my mxy)d zu ermitteln In vielen FE-Programmen istdagegen die Ermittlung der Biegewiderstaumlnde (mx my)Rd aus separat ermittelten laquoGrenzwertenraquo fuumlr jedeeinzelne Momenteneinwirkung mxd myd und mxyd implementiert Dieses Vorgehen liegt oft sehr stark aufder sicheren Seite



tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk



NB Bei mehreren Beanspruchungen resp Beanspruchungskombinationen ist der erforderliche Biegewiderstand (mx my)Rdgrundsaumltzlich fuumlr zugehoumlrige Schnittgroumlssen (mx my mxy)d zu ermitteln Die in vielen FE-Programmen implementierte Ermittlung der Biegewiderstaumlnde (mx my)Rd aus nicht zugehoumlrigen separat ermittelten laquoGrenzwertenraquo fuumlr mxd myd und mxydist oft stark auf der sicheren Seite

x Rd x d xy dm m k m

1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk

Das Beispiel zeigt eine quadratische Platte mit der Seitenlaumlnge l welche in 3 Ecken punktgestuumltzt ist Inder 4 Ecke greift eine Einzellast Q an Aus Symmetriegruumlnden ergeben sich die dargestelltenStuumltzenreaktionen von plusmnQ

Die an den Ecken angreifenden Einzelkraumlfte werden rein uumlber Drillmomente abgetragen (vgl Folie 11)Die Biegemomente in Richtung der orthogonalen Bewehrung sind somit gleich null Mithilfe derlinearisierten Fliessbedingungen mit k = 1 koumlnnen die erforderlichen Querschnittswiderstaumlnde ermitteltwerden welche hier jeweils fuumlr positive und negative Momente in beiden Richtungen der Bewehrunggleich sind


Bemessungsmomente ndash BeispielGegeben An 3 Ecken gestuumltzte Quadratplatte mit Seitenlaumlnge l angreifende Eckkraft Q = 100 kNGesucht Bemessungsmomente bei Bewehrung in Koordinatenrichtung und unter 45deg dazu

l

100 kNQ

a) x

y

Linearisierte Fliessbedingungen

0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50 kNy u y xym m mk

0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k

rarr alle vier Bewehrungslagen (oben und unten in x- und y-Richtung) muumlssen auf bemessen werden50 kNum

Einwirkung Eckkraft(= reine Drillung bezuumlglich der Bewehrungsrichtungen (xy))

2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN


Bei Drehung der orthogonalen Bewehrung um 45deg zur urspruumlnglichen Koordinatenrichtung muumlssen fuumlr dieAnwendung der Fliessbedingungen zunaumlchst die Biege- und Drillmomente in Richtung der Bewehrungtransformiert werden (vgl Folie 7) Eine Rotation von 45deg bedeutet dass aus dem Zustand reiner Drillungein Zustand reiner Biegung entsteht (vgl Folie 25)

Durch Einsetzen in die Fliessbedingung erkennt man dass nur der halbe Bedarf an Bewehrung resultiertEs ist statisch lediglich eine untere Bewehrung in n-Richtung und eine obere Bewehrung in t-Richtungnotwendig

Eine solche laquoTrajektorienbewehrungraquo ist zwar am effektivsten bzgl Materialnutzung jedoch fuumlr dietatsaumlchliche Anwendung wenig praktikabel (houmlherer Aufwand der Eisenleger verschiedene Lastfaumllleinfolge veraumlnderlicher Einwirkungen aumlndern die jeweiligen Hauptrichtungen)


In den Fliessbedingungen wurden mit x und y die Bewehrungsrichtungen bezeichnet Hier wird davonabgewichen (n und t als Bewehrungsrichtungen)

100 kNQ

x

y

t

n


Bemessungsmomente ndash Beispielb) Drehen der Bewehrung um 45deg in die n-t-Richtung

50 0 50 kNn u n ntm m k m 1 50 0 50 kN 0t u t ntm m mk

50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k

rarr Bei Bewehrung in Hauptmomentenrichtung ist die halbe Bewehrungsmenge ausreichend untere Bewehrung in n-Richtung obere Bewehrung in t-Richtung je fuumlr (negative Bemessungsmomente keine Bewehrung erforderlich)

rarr laquoTrajektorienbewehrungraquo optimal aber selten praktikabel (Bewehrungslayout kompliziert Hauptrichtungen aumlndern infolge veraumlnderlicher Einwirkungen)

50 kNum

2 2cos sin sin 2 50n x y xy xym m m m m kN

Einwirkungen(Bewehrung in Hauptmomentenrichtungen angeordnet)

2 2sin cos sin 2 50t x y xy xym m m m m kN

sin cos cos 2 0nt y x xym m m m

45



Die Quadratplatte mit abwechselnd positiven und negativen Eckkraumlften traumlgt in den Koordinatenachsenuumlber reine Drillung (konstantes Drillmoment) Der Verzerrungszustand kann mit einem Mohrschen Kreismit Zentrum im Koordinatenursprung dargestellt werden Eine Drehung des Plattenelements um 45deg fuumlhrtzu den Hauptrichtungen in denen reine Biegung herrscht

Die linke Abbildung zeigt die uumlberhoumlhten Verformungen infolge der gegebenen Belastung (roteEinzelkraumlfte) Entlang der Koordinatenachsen verlaufen aufgrund der fehlenden Biegebeanspruchung diejeweiligen Plattenstreifen gerade Die Verformungsfigur ergibt sich damit aus der horizontalen Staffelunggerader Trajektorien Die Aumlnderung der Neigung entlang der Koordinatenachsen wird durch dasDrillmoment erzeugt (Drillung = Torsion) Die blaue und die gruumlne Kurve zeigen dass die Platte inDiagonalrichtung gekruumlmmt ist und dort ein reiner Biegezustand in den Hauptrichtungen vorliegt


Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1


Das Tragverhalten unter reiner Drillung kann auch mit dem Sandwichmodell untersucht werden welcheseine Anwendung der statischen Methode der Plastizitaumltstheorie darstellt und daher einen untererGrenzwert des Widerstands liefert Bei einer isotrop bewehrten Platte sind jeweils die positiven undnegativen Biegewiderstaumlnde in beiden Richtungen identisch (unter Vernachlaumlssigung der Differenz derstatischen Houmlhe aufgrund der Bewehrungslagen)

In diesem Fall folgt aus der Normalmomenten-Fliessbedingung dass das maximal aufnehmbareDrillmoment gerade dem Biegewiderstand mu entspricht


Reine Drillung ndash Untersuchung mit Sandwichmodell (unterer Grenzwert)

x u y u u x u y um m m m mIsotrop bewehrt

2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff

bull Normalmomenten-Fliessbedingung xy u um m

2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d

Mithilfe des Sandwichmodells koumlnnen die Drillmomente an einem Plattenelement in aumlquivalenteKraumlftepaare in den Deckeln des Sandwichs aufgeteilt werden welche somit eine reineSchubbeanspruchung in ihrer Ebene erfahren In jedem Deckel resultiert ein unter plusmn45deg zu denBewehrungsrichtungen geneigtes Druckfeld im Beton welches gemeinsam mit gleich grossen Zugkraumlftenin beiden Bewehrungen mit der Schubbeanspruchung im Gleichgewicht steht Beruumlcksichtigt man dieZugkraumlfte in den Bewehrungen in der Berechnung des Biegewiderstand resultiert aus der houmlherenBetondruckzone ein kleinerer Hebelarm der inneren Kraumlfte wodurch der Biegewiderstand reduziert wird


Reine Drillung ndash Untersuchung mit Sandwichmodell (unterer Grenzwert)bull Unterer Grenzwert

xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten

sx sd sy sd sx sd sy sd yxa f a f a f a f m z

dh alle Bewehrungen fliessen auf Zug

1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y


Diese Reduktion des Biegewiderstands fuumlhrt bei hohen Bewehrungsgehalten zu grossen Differenzen dermaximal aufnehmbaren Drillmomente im Vergleich mit der Normalmomenten-Fliessbedingung DieNormalmomenten-Fliessbedingung uumlberschaumltzt in diesen Bereichen den Widerstand (vgl Folie 21) Daherist insbesondere bei Eckstuumltzen (grosse Drillmomente) Vorsicht geboten



0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f

Eckstuumltzen mit grossen Drillmomenten rarr Vorsicht

Annahme cnom = 0 (d = h)

1 2

12

01250117

0094

25

75022


Die Abbildung zeigt nochmals das Sandwichmodell hier jedoch mit den unter allgemeiner Beanspruchungeinwirkenden Schnittgroumlssen des freigeschnittenen Plattenelements (Biegespannungszustand undMembranspannungszustand) welche mithilfe von Gleichgewichtsuumlberlegungen aufgeteilt werden koumlnnenDie Membrankraumlfte sowie die Kraumlftepaare aus den Biege- und Drillmomente werden auf dieSandwichdeckel verteilt welche eine ebene Beanspruchung erfahren und somit als Scheibenelementebehandelt werden koumlnnen Die Bemessung der Bewehrung erfolgt uumlber die Fliessbedingungen fuumlrScheibenelemente

Der Sandwichkern nimmt die Plattenquerkraumlfte auf die Hauptquerkraft v0 wird in Richtung 0 abgetragenDiese Richtung kann analog zum Steg eines Traumlgers behandelt werden Dabei sind die resultierendenZugkraumlfte in der Plattenebene durch die Sandwichdeckel aufzunehmen

xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z


Gleichgewichtsloumlsung fuumlr allgemeine Schalenbeanspruchung (statisch zulaumlssiger Spannungszustand) bull Sandwichdeckel uumlbernehmen Biege- und Drillmomente sowie allfaumlllige Membrankraumlfte

rarr ebene Beanspruchung Behandlung als Scheibenelemente mit entsprechender Bewehrung Behandlung mit Fliessbedingungen fuumlr Scheibenelemente

rarr Bemessung von allgemein beanspruchten Schalenelementen (8 Spannungsresultierende)bull Sandwichkern uumlbernimmt Querkraumlfte

rarr Sandwichkern traumlgt Hauptquerkraft v0 in der Richtung 0 ab (siehe Querkraft in Platten)NB Hohe Membran(druck)kraumlfte Kern auch dafuumlr nutzbar (Interaktion mit v beachten)


Sandwichmodell

Bei den meisten Anwendungen von Platten liegt eine reine Biegebeanspruchung ohne Schubbewehrungvor der Membranspannungszustand verschwindet und die Querkraft wird uumlber die Schubfestigkeit desBetons aufgenommen (da eine Schubbewehrung in Platten relativ aufwendig zu verlegen ist ist es auswirtschaftlichen Gruumlnden guumlnstig die Plattendicke so zu waumlhlen dass zumindest ausserhalb derKrafteinleitungsbereiche keine Schubbewehrung erforderlich ist aus statischer Sicht sollte dies nur beiPlattenstaumlrken bis ca 400 mm erfolgen)

Die Schnittgroumlssen des Sandwichelements vereinfachen sich so dass an den Deckeln in beideRichtungen jeweils nur eine Normal- und Schubspannungskomponente angreift sowie die Querkraft uumlberreine Schubbeanspruchung abgetragen wird

yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz


Platten unter reiner Biegebeanspruchung ohne Schubbewehrungnx = ny = nxy = 0 v0d le vRd = kd cd dv

Terme mit nx ny nxy entfallenTerme mit vx vy entfallen bei Annahme eines ungerissenen KernsFliessbedingungen fuumlr Platten auf Basis des Sandwichmodells = Vereinfachung des allgemeinen Falls eines Schalenelements mit achtSpannungsresultierenden (Platte nur Biege- und Drillmomente betrachtet Beruumlcksichtigung Plattenquerkraumlfte siehe Querkraft in Platten)


Sandwichmodell

Das Sandwichmodell beruht auf der statischen Methode der Plastizitaumltstheorie und liefert somit einenunteren Grenzwert des Widerstands Aus den Bemessungskriterien fuumlr die Scheiben der Sandwichdeckelergeben sich die Fliessbedingungen fuumlr Platten gemaumlss der Abbildung

Man erkennt dass diese den Normalmomenten-Fliessbedingungen entsprechen (solange kein Versagendurch Betonbruch auftritt)

yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

Bewehrung der Sandwichdeckel = Fliessbedingungen fuumlr Platten nach statischer Methode

1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd

m za f m za fm za f m za f

1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m

m m k m m m k mdh mit

2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z

und durch Multiplikation folgt Bedingung fuumlr Regime 1(nicht aus Normalmomenten-Fliessbedingung ersichtlich)

cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell


Fuumlr die Ermittlung der Fliessbedingung Y(mx my mxy) = 0 werden die Biegewiderstaumlnde der positivenbzw negativen Fliessgelenklinien von k Bewehrungslagen in den Bewehrungsrichtungen k uumlberlagertAufgrund der schiefen Richtungen der Bewehrungslagen resultiert im Unterschied zu orthogonalerBewehrung ein Anteil mxyu Daraus ergibt sich die Normalmomenten-Fliessbedingung fuumlr schiefeBewehrung

Wie bei einer orthogonalen Bewehrung sind im Allgemeinen die Betondruckzonenhoumlhen unterschiedlichcx ne cy Es laumlsst sich damit kein kinematisch zulaumlssiger Verschiebungszustand zuordnen Es handelt sichsomit um einen unteren Grenzwert der Traglast

Die Betondruckzonen der verschiedenen Bewehrungsrichtungen verlaufen bei schiefer Bewehrung nichtorthogonal zueinander und verletzen damit die Fliessbedingung Der Widerstand wird dadurchuumlberschaumltzt wobei fuumlr nicht allzu grosse Bewehrungsgehalte jedoch eine gute Naumlherung erreicht wird

sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum


Fliessbedingungen fuumlr schiefe BewehrungUumlberlagerung der Biegewiderstaumlnde von k Bewehrungslagen in den Bewehrungsrichtungen k

(Transformation aller mk mku mt 0 in die Richtungen xy)

Normalmomenten-Fliessbedingung fuumlr schiefe Bewehrung

(lsquo rsquo da zwar Druckzonenhoumlhen unterschiedlich kein vertraumlgl Mechanismus aber Druckfelder im Beton nicht orthogonal fcd uumlberschritten somit kein sauberer untereroberer Grenzwert fuumlr nicht allzu grosse Bewehrungsgehalte jedoch sehr gute Naumlherung)

Kontrolle der Bedingung in alle Richtungen siehe naumlchste Folie

2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r

xy ku k k xy ku k kk k

m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1

cos cos sin 2 sin cos


r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m


Analog zur orthogonalen Bewehrung koumlnnen die Kennlinien der Einwirkung und des Widerstands inAbhaumlngigkeit der Richtung aufgezeichnet werden Der Beruumlhrungspunkt der beiden Kurven entsprichtder massgebenden Richtung u in welcher die Fliessbedingung erfuumlllt wird


- Der Normalmomenten-Widerstand ist in den Hauptrichtungen von mau( ) resp mrsquoau( ) extremal

2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000


Fliessbedingungen fuumlr schiefe BewehrungKontrolle der Bedingung in alle Richtungen

[Seelhofer (2009)]

au a aum m m


Das Beispiel zeigt eine zweiseitig einfach gelagerte Stahlbetonplatte mit dem Grundriss einesParallelogramms Die Bewehrung ist entsprechend der Plattengeometrie in einem Winkel von 60degangeordnet die plastischen Widerstandsmomente sind in x- und n-Richtung gleich

In Richtung der Koordinatenachsen koumlnnen die Biegewiderstaumlnde uumlberlagert werden DieNormalmomenten-Fliessbedingung zeigt dass die Maxima und Minima des Widerstands nicht in denBewehrungsrichtungen sondern in den Winkelhalbierenden auftreten Der Widerstand wird dabei bereitsbei geringer Schiefe zwischen den beiden Bewehrungsrichtungen im Bereich des stumpfen Winkelsdeutlich reduziert


Beispiel fuumlr schiefe Bewehrungx

y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2

cos 0 cos 60 125 kNmm

sin 0 sin 60 75 kNmm

sin 0 cos0 sin 60 cos60 3 25 433 kNmm

x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm

2 2cos sin 2 sin cosRd x y xym

Maxima und Minima der Biegewiderstaumlnde treten nicht in den Bewehrungsrichtungen aufVielmehr tritt ein Minimum im Bereich der Winkelhalbierenden des stumpfen Winkels auf und der Widerstand ist bereits bei geringer Schiefe deutlich reduziert

1 0m


Fuumlr die Ermittlung der Bemessungsgleichungen ist es hilfreich wenn die Schnittgroumlssen in einemschiefwinkligen Koordinatensystem definiert und somit von schiefen Spannungskomponenten ausge-gangen wird Die entsprechenden Biege- und Drillmomente koumlnnen dann gemaumlss der Abbildung definiertwerden Die Definitionen der Normalmomenten-Fliessbedingung und die aumlquivalente Darstellung inParameterform erfolgt analog wie bei der orthogonalen Bewehrung

1

x

mmy

1

n

m m


Fliessbedingungen fuumlr schiefe BewehrungUnter Verwendung schiefwinkliger Koordinaten koumlnnen Bemessungsgleichungen formuliert werden (wie bei Scheiben)

Die Normalmomenten-Fliessbedingung in schiefwinkligen Koordinaten lautet (mit Nebenbedingungen)

Darstellung in Parameterformdirekte Bemessung moumlglich

(Parameter k und krsquo frei waumlhlbar minimale Bewehrung resultiert fuumlr k = krsquo = 1)

sin cos cot 2 cosx y xym m m m

2 sin sin 0xu nuY m m m m m

[Seelhofer (2009)]

11 1sin sinxu num m k m m m k m


cotxy ym m m msinym m

sin sinxu xum m m

sin tan cosuk

2 sin sin 0xu nuY m m m m m sin sinnu num m m

1 1 1sin sinxu num m k m m m k m

sin tan cosuk

Wie bei orthogonaler Bewehrung resultieren zwei elliptische Kegel Die schiefe Bewehrung fuumlhrt jedochdazu dass die Spitzen der Kegel nicht mehr in der Ebene mxy = 0 liegen Die Punkte der umhuumlllendenFlaumlche sind jeweils vertraumlglich zu den positiven (Y = 0) bzw negativen (Yrsquo = 0) Fliessgelenklinien Auf derSchnittellipse der beiden Flaumlchen sind die Spannungspunkte vertraumlglich zum Schnittpunkt einer positivenmit einer negativen Fliessgelenklinie Die Punkte A und B bezeichnen dagegen den Schnittpunkt zweierpositiver bzw negativer Fliessgelenklinien


Fliessbedingungen fuumlr schiefe Bewehrung

Darstellung der Fliessbedingung(zwei elliptische Kegel bei orthogonaler Bewehrung liegen die Spitzen in der Ebene mxy = 0 und die Schnittellipse in einer Ebene parallel zur mxy-Achse)

[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung

Unter Verwendung der Parameterform ist die Bemessung (und die graphische Darstellung) analog wie bei orthogonaler Bewehrung moumlglich

[Seelhofer (2009)]

Fuumlr Faumllle in denen in einer der beiden Bewehrungsrichtungen keine obere resp untere Bewehrung erforderlich ist wird auf Seelhofer (2009) verwiesen

1

x

mmy

1

nm m

[SeelSeeSeelSeelSSeeee hofehofehofehohofehofehofehofehohofehoo rrrrrrrrrr (200(200(200(200(200(200(200(200(200(200(200(200200200200200(((( 9)]9

yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1

1 1 sin tan cossin sin


xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten

Vertiefung und Ergaumlnzungen zu Stahlbeton II(Kapitel 72)

33 Gleichgewichtsloumlsungen


Platten ndash Gleichgewichtsloumlsungen








Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


Loumlsungen zur Bemessung und Uumlberpruumlfung der Tragsicherheit vonStahlbetonplatten auf Basis der statischen und kinematischen Methodender Plastizitaumltstheorie wurden bereits in Stahlbeton II behandelt Dasentsprechende Wissen wird vorausgesetzt

Werden statisch zulaumlssige Spannungszustaumlnde betrachtet welche die Gleichgewichtsbedingungen unddie statischen Randbedingungen erfuumlllen so resultiert nach dem statischen Grenzwertsatz derPlastizitaumltstheorie ein unterer Grenzwert fuumlr die Traglast einer Platte falls die Fliessbedingungen nirgendsverletzt werden Wird eine Platte auf dieser Grundlage bemessen so liegt ihre Traglast sofern ihrVerformungsvermoumlgen ausreicht in keinem Fall unter der zur betrachteten Gleichgewichtsloumlsunggehoumlrigen Belastung Der Kraftfluss kann dabei bis in Detail verfolgt werden was eine entsprechendekonstruktive Durchbildung ermoumlglicht

Die Bemessung von Stahlbetonplatten erfolgt heute weitgehend aufgrund Berechnungen mittels derMethode der Finiten Elemente welche auf der Kirchhoffschen Theorie duumlnner elastischer Platten mitkleinen Durchbiegungen basiert Oft ergeben sich jedoch bereits unter Eigengewicht Risse insbesondereim Bereich von Krafteinleitungen womit eine Umlagerung der inneren Kraumlfte verbunden ist DurchZwaumlngungen welche stets vorhanden sind rechnerisch aber praktisch nicht erfasst werden koumlnnenergeben sich weitere Umlagerungen Somit weichen die inneren Kraumlfte bereits im Gebrauchszustand vonden fuumlr ein homogenes elastisches Verhalten berechneten Werten ab Es ist deshalb unrichtig dieVerwendung von nach der Kirchhoffschen Theorie duumlnner elastischer Platten berechneten Schnittgroumlssendamit zu begruumlnden dass der wirkliche Spannungszustand mit ausreichender Genauigkeit erfasst werdeVielmehr handelt es sich um ein spezielles Vorgehen nach der statischen Methode der Plastizitaumltstheorieliefert doch die elastische Loumlsung einen von unendlich vielen moumlglichen Gleichgewichtszustaumlnden in derPlatte


UumlbersichtGleichgewichtsloumlsungen beruhen auf dem unteren bzw statischen Grenzwertsatz der Plastizitaumltstheorie

Voraussetzungen rarr statisch zulaumlssiger Spannungszustand (Gleichgewicht und statische Randbedingungen erfuumlllt)rarr Fliessbedingungen nirgends verletzt

Ermittlung statisch zulaumlssiger Spannungszustaumlnde

bull Elastische Plattentheorie Neben Gleichgewicht und statischen Randbedingungen sind hier auch die elastischen Vertraumlglichkeits-bedingungen erfuumlllt Mit der Methode der Finiten Elemente koumlnnen Faumllle mit beliebiger Geometrie und Belastungen behandelt werden (heute am weitesten verbreitetes Vorgehen) Daneben existieren verschiedene Lehrbuumlcher mit entsprechenden Tabellenwerken

bull Momentenansaumltze Kombination verschiedener Momentenfelder fuumlr ausgewaumlhlte Geometrien und Belastungen

bull Streifenmethode Diese auf HILLERBORG zuruumlckgehende Methode geht von streifenfoumlrmigen Biegeelementen in zwei orthogonalen Richtungen aus (einfache Streifenmethode) Mit der erweiterten Streifenmethode lassen sich Einzelkraumlfte unter Zuhilfenahme entsprechender Momentenansaumltze resp Lastverteilelemente behandeln

bull Stellvertretende Rahmen Globale Gleichgewichtsloumlsung fuumlr Flach- und Pilzdecken (Verteilung der Momente in Querrichtung in Anlehnung an elastische Loumlsungen)


Beschraumlnkt man sich bei der Bemessung auf die nach der elastischen Plattentheorie ermittelten Momenteso ergeben sich oft wenig praktikable Loumlsungen In der Praxis werden daher die Momente oftmals inQuerrichtung uumlber eine bestimmte Breite ausgemittelt insbesondere im Bereich von Momentenspitzen beikonzentrierten Krafteinleitungen Dieses Vorgehen ist insofern fragwuumlrdig als der Einfluss auf dieDrillmomente und auf die Momente senkrecht zur betrachteten Richtung vernachlaumlssigt wird und daher imallgemeinen kein Gleichgewichtszustand resultiert Dies ist zwar meist unbedenklich grundsaumltzlich aberunbefriedigend und es stellt sich die Frage ob nicht bereits bei der Schnittgroumlssenberechnung von uumlbereine bestimmte Breite konstanten Momenten ausgegangen werden kann

Diesem Wunsch nach groumlsserer Freiheit bei der praktischen Bemessung kommt die statische Methodeder Plastizitaumltstheorie entgegen In den folgenden Kapiteln werden fuumlr Handrechnungen geeigneteVerfahren vorgestellt welche es ermoumlglichen eine Platte mit Gleichgewichtsloumlsungen zu bemessen

Mit der Bemessung einer Platte nach der statischen Methode der Plastizitaumltstheorie wird einausreichender Biegewiderstand sichergestellt Der Einfluss von Querkraumlften wird dabei nichtberuumlcksichtigt dies gilt insbesondere auch fuumlr die erwaumlhnten Computerprogramme Da Querkraumlfte zueinem schlagartigen Versagen fuumlhren koumlnnen wobei die sproumlde Natur des Bruches eineSchnittgroumlssenumlagerung verunmoumlglicht duumlrfen sie bei der Bemessung keinesfalls ausser acht gelassenwerden Fuumlr die Beruumlcksichtigung ihres Einflusses wird auf die Vorlesung 32 Platten verwiesen


UumlbersichtGleichgewichtsloumlsungen eignen sich insbesondere fuumlr die Bemessung von Platten Wird eine Platte nach diesen Verfahren bemessen und ist ihr Verformungsvermoumlgen ausreichend so liegt ihre Traglast in keinem Fall unter der zugehoumlrigen Belastung

Mit der statischen Methode der Plastizitaumltstheorie wird ein ausreichender Biegewiderstand sichergestellt Der Einfluss von Querkraumlften ist jedoch nicht beruumlcksichtigt und separat zu untersuchen

Findet sich zu einer Gleichgewichtsloumlsung ein vertraumlglicher Bruchmechanismus (siehe Kapitel Fliessgelenklinienmethode) so entspricht die gefundene Loumlsung einer vollstaumlndigen Loumlsung der Plastizitaumltstheorie Es resultiert die (theoretisch) korrekte Traglast


Die Grundidee der einfachen Streifenmethode besteht darin Drillmomente zu vernachlaumlssigen und dieGleichgewichtsbedingungen mit Biegemomenten mx und my allein zu erfuumlllen Durch Aufspalten derBelastung q in zwei Anteile qx und qy erhaumllt man aus der Gleichgewichtsbedingung mit mxy = 0 dieFormeln gemaumlss der Folie somit ist im Unterschied zur allgemein guumlltigen Beziehung qxy = 0 Diegesamte Belastung q wird durch Balkentragwirkung in den Richtungen x und y abgetragen Die Idee dasTragverhalten von Platten anhand von zueinander orthogonalen Balkenscharen zu untersuchen wurdebereits sehr fruumlh verwendet

Hillerborg zeigte dass die Behandlung von Platten als zueinander orthogonale Balkenscharen eineAnwendung des unteren Grenzwertsatzes der Plastizitaumltstheorie darstellt und dass die Aufteilung derBelastung in die beiden Anteile qx und qy frei und an jeder Stelle der Platte unterschiedlich gewaumlhlt werdendarf Um ein ausreichendes Verformungsvermoumlgen und ein zufriedenstellendes Verhalten imGebrauchszustand zu gewaumlhrleisten ist jedoch eine gewisse Vorsicht bei der Wahl von qx und qy

angebracht wie auch bei der Wahl allfaumllliger uumlberzaumlhliger Groumlssen bei der Berechnung der einzelnenStreifen nach Balkentheorie


Einfache Streifenmethode Grundidee

2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y

m m mm mq q q q q qx x y y x y

Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung

rarr Vernachlaumlssigen der Drillmomente Gleichgewichtsbedingungen nur mit mx und my erfuumlllenrarr Aufteilen der Belastung q in die Anteile qx und qy (qxy = 0)

rarr gesamte Belastung q wird damit durch Balkentragwirkung in x- und y-Richtung abgetragenrarr Aufteilung der Last kann grundsaumltzlich frei gewaumlhlt werden rarr um ein ausreichendes Verformungsvermoumlgen und zufriedenstellendes Verhalten im Gebrauchszustand zu gewaumlhrleisten

ist eine gewisse Vorsicht bei der Wahl von qx und qy angebrachtrarr ebenso bei der Wahl allfaumllliger uumlberzaumlhliger Groumlssen bei der Berechnung der einzelnen Streifen nach Balkentheorie

Die Idee eine Platte als zueinander orthogonale Schar von Balken aufzufassen wurde sehr fruumlh entwickelt Marcus (1931) schlug beispielsweise vor die Aufteilung der Belastung so zu waumlhlen dass die elastischen Durchbiegungen der fiktiven Balken in Plattenmitte uumlbereinstimmen (rarr verteilte Last pro Richtung ~ L-4)

HILLERBORG zeigte dass es sich bei der Streifenmethode um eine Anwendung des unteren Grenzwertsatzes der Plastizitaumltstheorie handelt und verallgemeinerte die Methode


Die Streifenmethode eignet sich naturgemaumlss primaumlr fuumlr die Behandlung von linien- oderflaumlchengestuumltzten Platten mit verteilter Belastung Die erweiterte Streifenmethode ermoumlglicht es auchkonzentrierte Belastungen und Punktstuumltzen zu beruumlcksichtigen Dies wird nachfolgend fuumlr Punktstuumltzenillustriert konzentrierte Belastungen koumlnnen analog behandelt werden

Bei der Anwendung der erweiterten Streifenmethode kann aumlhnlich vorgegangen werden wie bei derBehandlung versteckter Unterzuumlge Dabei denkt man sich in einem ersten Schritt die Punktstuumltzen alsFlaumlchenlager mit endlichen Abmessungen und gleichmaumlssig verteilter Reaktion und berechnet dieentsprechenden Plattenmomente mx und my Hierzu koumlnnen auch versteckte Unterzuumlge beruumlcksichtigtwerden Im zweiten Schritt werden diesen Momenten die Biegewiderstaumlnde mxu und myu superponiert sodass die mit umgekehrtem Vorzeichen als Belastung aufgebrachten gleichmaumlssig verteilten Reaktionender Flaumlchenlager zu den punktfoumlrmigen Stuumltzen abgetragen werden koumlnnen ohne die Fliessbedingungenzu verletzen

Platten ndash Ergaumlnzungen

Erweiterte Streifenmethode LastverteilelementeUm Stuumltzen und Einzellasten mit der Streifenmethode behandeln zu koumlnnen werden Lastverteilelemente eingesetzt Diese wandeln eine Punktlast in eine Flaumlchenlast um oder umgekehrt Sie entsprechen somit den Loumlsungen fuumlr (in der Mitte) punktgestuumltzte Platten unter gleichmaumlssig verteilter Last

Stuumltzen Die Lastverteilelemente werden als Flaumlchenlager mit gleichmaumlssiger Pressung betrachtet welche durch indirekt gelagerte Streifen oder (in der Regel) versteckte Unterzuumlge belastet werden Den resultierenden Biegewiderstaumlnden aus den Unterzuumlgen werden die fuumlr die Lastabtragung im Stuumltzenbereich erforderlichen Biegewiderstaumlnde superponiert

Einzellasten Die Einzellasten werden als gleichmaumlssig verteilte Flaumlchenlasten auf die Platte aufgebracht welche durch Streifen oder (in der Regel) versteckte Unterzuumlge zu den Auflagern abgetragen werden Den resultierenden Biegewiderstaumlnden werden die fuumlr die Umwandlung der Punktlast in eine gleichmaumlssig verteilte Belastung erforderlichen Biegewiderstaumlnde superponiert


Im zweiten Schritt wird eine Gleichgewichtsloumlsung fuumlr eine in der Mitte gestuumltzte durch eine gleichmaumlssigverteilte Flaumlchenlast belastete Rechteckplatte mit freien Raumlndern benoumltigt Zu diesem Zweck koumlnnen fuumlreine Quadratplatte grundsaumltzlich die in der Abbildung illustrierten diskontinuierlichen Momentenfelderbeziehungsweise die daraus resultierenden Gleichungen verwendet werden Die Fliessbedingung fuumlrpositive Momente ist mit mxu = myu = mu nirgends verletzt und nur im Plattenzentrum gerade erfuumlllt DieFliessbedingung fuumlr negative Momente ist fuumlr mrsquoxu = mrsquoyu = mu ebenfalls nirgends verletzt und lediglichentlang der Koordinatenachsen x = 0 und y = 0 gerade erfuumlllt Uumlberlagert man diesen Momentenfeldernkonstante positive Momente mx und my so erhaumllt man mit mxu = myu = mu und mrsquoxu = mrsquoyu = mu einenunteren Grenzwert q fuumlr die Traglast einer unendlich ausgedehnten Flachdecke unter gleichmaumlssigverteilter Belastung


Erweiterte Streifenmethode Lastverteilelemente ndash Repetition MomentenfelderDie untenstehenden Momentenfelder sind als laquoLastverteilelementeraquo zur Umwandlung von Punktlasten in Flaumlchenlasten geeignet

Uumlberlagert man ihnen konstante positive Momente mx und my so erhaumllt man mit mxu = myu = mu und mrsquoxu = mrsquoyu = mu den unteren Grenzwert fuumlr die Traglast einer unendlich ausgedehnten Flachdecke unter gleichmaumlssig verteilter Belastung (Marti 1981)

24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx


Die Abbildung zeigt weitere Beispiele von punktgestuumltzten Lastverteilelementen mit den zugehoumlrigenBedingungen der Biegewiderstaumlnde

Fuumlr die Kreisplatte kann dasselbe Resultat mit dem oberen Grenzwertsatz der Plastizitaumltstheoriehergeleitet werden womit dieses der vollstaumlndigen Loumlsung entspricht

Fuumlr die Quadratplatte mit freien Raumlndern ist in Anlehnung an die Kreisplatte auch eine Loumlsung nachNielsen (1984) moumlglich Der negative Widerstand mrsquou = Q8 welcher dem Mittelwert der negativenBiegemomente in den Stuumltzenachsen entspricht ist uumlber die gesamte Platte beizubehalten waumlhrend derpositive Widerstand wie bei der Kreisplatte parabolisch abgestuft werden darf Fuumlr eine Platte beliebigerGeometrie unter punktfoumlrmiger Belastung Q entspricht diese Loumlsung eigentlich einem oberen GrenzwertDa in Wirklichkeit immer endliche Stuumltzenabmessungen vorhanden sind und der untere Grenzwert starkauf der sicheren Seite liegt koumlnnen die Beziehungen trotzdem fuumlr die Bemessung benuumltzt werden

Ist die Flaumlche auf welcher die gleichmaumlssig verteilte Flaumlchenlast angreift nicht quadratisch sondernrechteckig so erhaumllt man durch Anwendung des Affinitaumltstheorems die oben angegeben Formulierungen


Mithilfe des Affinitaumltstheorems kann eine in den Koordinaten x und y guumlltige Loumlsung fuumlr eine isotropbewehrte Platte mit den Biegewiderstaumlnden mu (positive Momente) und mrsquou (negative Momente) unterverteilter Belastung q und punktfoumlrmiger Belastung Q auf eine orthotrop bewehrte Platte mit myu =

middotmxu = middotmu und mrsquoyu = middotmrsquoxu = middotmrsquou uumlbertragen werden Dabei sind die Koordinaten gemaumlss denBeziehungen x = x und y = yradic zu transformieren eine konzentrierte Belastung gemaumlss Q = Qmiddotradic und verteilte Belastungen q = q (siehe auch Folie 67)


Erweiterte Streifenmethode Lastverteilelemente

(vollstaumlndige Loumlsung)

Als Lastverteilelemente geeignet Quadrat- und Rechteckplatte

2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l

(Loumlsungen entsprechen oberen Grenzwerten aber Stuumltzenabmessungen sind endlich und unterer Grenzwert aus Momentenfeldern liegt stark auf sicherer Seite fuumlr Bemessung ok) 24 1 uq m l


Das Beispiel illustriert die Anwendung der Lastverteilelemente auf eine einseitig aufgelegte und auf zweiStuumltzen gelagerten Rechteckplatte unter gleichmaumlssig verteilter Flaumlchenlast

Die gesamte Belastung wird zunaumlchst in y-Richtung abgetragen wobei der versteckte Unterzug der Breitebs entlang des freien Randes als Flaumlchenlager mit gleichmaumlssig verteilter Auflagerpressung betrachtetwird Die entsprechenden Reaktionen werden sodann vom versteckten Unterzug in x-Richtungabgetragen wobei nun die Stuumltzen als Flaumlchenlager mit uumlber den Bereich asmiddotbs gleichmaumlssig verteiltenAuflagerpressungen betrachtet werden Im letzten Schritt werden den auf die beschriebene Weiseberechneten Momenten die fuumlr die Lastabtragung im Stuumltzenbereich asmiddotbs also fuumlr die Aufnahme der mitumgekehrten Vorzeichen als Belastung aufgebrachten gleichmaumlssig verteilten Auflagerpressungen durchdie konzentrierte Stuumltzenkraft erforderlichen Biegewiderstaumlnde mu superponiert



q

Lastabtrag

gesamte Belastung zuerst in y-Richtung abgetragen (versteckter Unterzug als Flaumlchenlager amiddotbs)

Abtrag der Reaktionen auf amiddotbs durch den versteckten Unterzug in x-Richtung (Stuumltzen als Flaumlchen-lager asmiddotbs)

Erweiterte Streifenmethode Beispiel Rechteckplatte einseitig aufgelegt auf 2 Stuumltzen gelagert

Gemaumlss der Superposition der Momentenbeanspruchung ist im Bereich von Punktlasten undPunktstuumltzen sowohl eine obere als auch eine untere Bewehrung in beiden Bewehrungsrichtungenerforderlich Dies ruumlhrt daher dass zur Aufnahme der punktfoumlrmigen Lasten Drillmomente bezuumlglich derBewehrungsrichtungen verwendet werden welche gemaumlss den Fliessbedingungen sowohl eine obere alsauch eine untere Bewehrung erfordern

Durch die Verwendung von statischen Diskontinuitaumlten ist es moumlglich punktfoumlrmige Lasten auch ohneDrillmomente bezuumlglich der Bewehrungsrichtungen aufzunehmen Dies wird jedoch hier nicht weitererlaumlutert


q

Lastabtrag

Ermitteln der erforderlichen Biegewiderstaumlnde fuumlr die Umwandlung der Flaumlchenlast qs auf asmiddotbs in eine Einzellast Qs

Uumlberlagerung saumlmtlicher erforderlicher Biegewiderstaumlnde

42

s s s ss

qab bQ q a bbb



Platten ndash Bruchmechanismen








Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen

Die auf Johansen (1962) zuruumlckgehende Fliessgelenklinienmethode ist eine Anwendung derkinematischen Methode der Plastizitaumltstheorie Dabei erhaumllt man durch Gleichsetzen der Arbeit deraumlusseren Kraumlfte mit der Dissipationsarbeit fuumlr einen kinematisch zulaumlssigen Bruchmechanismus einenoberen Grenzwert fuumlr die Traglast In der Regel ist es erforderlich verschiedene Bruchmechanismen zuuntersuchen wobei fuumlr jeden Mechanismus die Traglast bezuumlglich allfaumllliger freier Parameter zuminimieren ist Da die starren Teile der Mechanismen in der Regel hochgradig innerlich statischunbestimmt sind ist es im Gegensatz zu Stabtragwerken nur in einfachen Spezialfaumlllen moumlglich einePlastizitaumltskontrolle durchzufuumlhren

Die Fliessgelenklinienmethode ist im Vergleich mit Loumlsungen nach elastischer Plattentheorie oder auchGleichgewichtsloumlsungen recht einfach anzuwenden Aus diesem Grund hat die kinematische Methode derPlastizitaumltstheorie bei Platten eine weitaus groumlssere Verbreitung erlangt als fuumlr Balken und ScheibenDazu beigetragen hat wohl auch dass Loumlsungen nach der Fliessgelenklinienmethode ndash in Unkenntnis derGrenzwertsaumltze der Plastizitaumltstheorie und in Anbetracht der Tatsache dass die Traglast in Versuchen oftwesentlich uumlber den berechneten Werten liegt ndash vielfach als untere Grenzwerte fuumlr die Traglast betrachtetwurden

Der unter Umstaumlnden analytisch aufwendige Minimierungsprozess beim Vorgehen nach derFliessgelenklinienmethode kann mit der sogenannten laquoGleichgewichtsmethoderaquo (Ingerslev 1923)welche bereits einige Jahre vor der Verbreitung der Fliessgelenklinienmethode angewendet wurdeumgangen werden Dabei wird Gleichgewicht an den einzelnen starren Plattenteilen eines Mechanismusformuliert wobei bestimmte sogenannte Knotenkraumlfte zu beruumlcksichtigen sind Da diese Methode nurbeschraumlnkt guumlltig ist und der Minimierungsprozess heute mit numerischen Verfahren problemlosdurchgefuumlhrt werden kann wird nicht naumlher auf diese Methode eingegangen


Fliessgelenklinienmethodebull Die Fliessgelenklinienmethode (Johansen 1962) ist eine Anwendung der kinematischen Methode der Plastizitaumltstheorie

bull Vorgehen kinematisch zulaumlssigen Mechanismus annehmen Arbeit der aumlusseren Kraumlfte mit Dissipationsarbeit gleichsetzen oberer Grenzwert fuumlr die Traglast

bull In der Regel sind verschiedene Bruchmechanismen zu untersuchen fuumlr jeden Mechanismus ist die Traglast bezuumlglich allfaumllliger freier Parameter zu minimieren

bull Starre Teile der Mechanismen in der Regel hochgradig innerlich statisch unbestimmt im Gegensatz zu Stabtragwerken gelingt die Plastizitaumltskontrolle (m le mu) nur in einfachen Spezialfaumlllen



Fliessgelenklinienmethodebull Im Vergleich mit Loumlsungen nach elastischer Plattentheorie oder auch Gleichgewichtsloumlsungen recht einfach anzuwenden

insbesondere bei der Uumlberpruumlfung bestehender Tragwerke kinematische Methode der Plastizitaumltstheorie hat bei Platten eine weitaus groumlssere Verbreitung erlangt als fuumlr Balken und Scheiben (vor allem in Skandinavien sehr verbreitet auch fuumlr die Bemessung)

bull Mit der sogenannten laquoGleichgewichtsmethoderaquo (Ingerslev 1923) kann der analytisch oft aufwendige Minimierungsprozess beim Vorgehen nach der Fliessgelenklinienmethode umgangen werden Dabei wird Gleichgewicht an den einzelnen starren Plattenteilen eines Mechanismus formuliert wobei sogenannte laquoKnotenkraumlfteraquo zu beruumlcksichtigen sind Die Methode ist jedoch nur beschraumlnkt guumlltig und der Minimierungsprozess kann heute mit numerischen Verfahren problemlos durchgefuumlhrt werden Daher wird darauf nicht eingegangen


Fuumlr die Dissipationsarbeit pro Einheitslaumlnge einer Fliessgelenklinie in einem durch Biege- undDrillmomente sowie Membran- und Querkraumlfte beanspruchten Plattenelement erhaumllt man dD =mnmiddot n+nnmiddot n Dabei bezeichnen n und n die Gelenkrotation und die Gelenkoumlffnung in PlattenmittelebeneFuumlr verschwindende Membrankraumlfte nn = 0 folgt somit fuumlr die Dissipationsarbeit pro Elementlaumlnge dteiner Fliessgelenklinie in t-Richtung dD = mnmiddot middotdt

Der Biegewiderstand einer orthotrop bewehrten Platte in einer beliebigen unter dem Winkel gegenuumlberder x-Achse gedrehten Richtung wird durch die in Folie 16 gezeigten Beziehung beschrieben DurchEinsetzen ergibt sich die Dissipationsarbeit in Abhaumlngigkeit der Biegewiderstaumlnde in x- und y-RichtungDie Rotationsgeschwindigkeit n laumlsst sich gemaumlss der Abbildung ebenfalls in ihre Anteile entsprechendder Koordinatenachsen transformieren

Gemaumlss der resultierenden Beziehung kann die Dissipationsarbeit aus der Summe der Produkte vonBiegewiderstand Rotationsgeschwindigkeit um die entsprechende Achse und auf diese Achse projizierterLaumlnge der Fliessgelenklinie in den beiden Bewehrungsrichtungen berechnet werden Dies ist in der Praxissehr hilfreich


Fliessgelenklinienmethode ndash Dissipation in Fliessgelenklinie

bull Platte orthogonal bewehrt (x y)bull Fliessgelenklinie in beliebiger Richtung t

Unter Vernachlaumlssigung von Membrankraumlften (nn = 0) gilt

bull Einsetzen von Beziehung

bull ergibt Dissipationsarbeit

bull mit Rotationsgeschwindigkeitenum die y- resp x-Achse

rarr Dissipationsarbeit

= Summe der Produktein den beiden Bewehrungs-richtungen von

n ndD m dtn

2 2cos sinnu xu yum m m

2 2cos sinxu yu ndD m m dtn

cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt

xu x yu ydD m dy m dxx yux yu

Biegewiderstand Rotationsgeschwindigkeit um die entsprechende Achse

auf diese Achse projizierte Laumlnge der Fliessgelenklinie


Das Beispiel zeigt eine Rechteckplatte welche an zwei Seiten eingespannt an einer Seite einfachgelagert und auf der vierten Seite frei ist Die Bewehrung ist so abgestuft dass zwei Bereiche mitunterschiedlichen Bewehrungswiderstaumlnden entstehen Der gewaumlhlte Mechanismus setzt sich aus einerPyramide und einem Prisma zusammen deren Proportionen gemaumlss der Trennlinie der Widerstaumlndegewaumlhlt wurden

Die Lage der Pyramidenspitze koumlnnte auch so optimiert werden dass die innere Arbeit minimiert wird (dieaumlussere Arbeit ist unabhaumlngig dieses Parameters da das Volumen der Bruchfigur gleich bleibt) AusGleichsetzen der inneren und aumlusseren Arbeit folgt die Traglast q


Beispiel Einheiten [m kNmm]

3

2Signaturen fuumlr Fliessgelenklinien(n = Richtung der Randnormalen)

positive Fliessgelenkliniemn = mnu

negative Fliessgelenkliniemn = -mnursquo = λmnu

λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14

Arbeit der aumlusseren Kraumlfte (Pyramide + Prisma ) q

Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg

Die Abbildung illustriert die Berechnung der Dissipation fuumlr einen Faumlchermechanismus in einer isotropbewehrten Platte mxu = myu = mu

Die Hauptkruumlmmung folgt aus geometrischen Uumlberlegungen an der Bruchfigur (Kegel resp laquoTrichterraquoeinfach gekruumlmmt = abwickelbar) aus der sich mittels Integration uumlber den Winkel die Rotationbestimmen laumlsst Daraus folgt dann die differentielle Dissipationsarbeit pro Flaumlchenelement im Faumlcher


Fliessgelenklinienmethode ndash Faumlchermechanismenbull Platte isotrop bewehrt (mxu = myu = mu)

bull Hauptkruumlmmungsradius im Kegelelement

aus

Hauptkruumlmmung

Rotation

bull Dissipationsarbeit pro Flaumlchenelement im Faumlcher

e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11

1u udD m dr m rd dru


n

um1

rR

drum

r dr dd

Die Dissipation im Inneren eines Faumlchers mit einem Oumlffnungswinkel folgt aus dem Integral wobei mu

und R allgemeine Funktionen des Winkels sein koumlnnen Die Beziehung fuumlr die Dissipation entlang derFaumlcherberandung folgt analog aus der Bruchgeometrie und dem daraus resultierenden Integral uumlber denWinkel

Fuumlr konstante mu und mrsquou = middotmu kann die Dissipationsarbeit entsprechend der Abbildung vereinfachtwerden


Fliessgelenklinienmethode ndash Faumlchermechanismenbull Dissipationsarbeit pro Flaumlchenelement im Faumlcher

Dissipationsarbeit im Inneren eines Faumlchers mit Oumlffnungswinkel

mit

bull wobei mu und R allgemeine Funktionen des Winkels sein koumlnnen

bull Dissipation entlang der Faumlcherberandung (unabhaumlngig von R)

um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0

1 ( )u uD m Rd m r dR

n


( ) (1 )u u uD m m m

rarr Dissipationsarbeit im Faumlcher mit Oumlffnungswinkel fuumlr konstantes mu und mrsquou = mu


() Eine fuumlr eine isotop bewehrte Platte mit Biegewiderstaumlnden mu mrsquou unter Belastungen q Q in den Koordinaten (xy) guumlltige Loumlsung kann auf eine orthotrop bewehrte Platte mit myu = middotmxu = middotmu mrsquoyu = middotmrsquoxu = middotmrsquou uumlbertragen werden Dabei sind die Koordinaten mit x= x y= zu transformieren die Lasten mit q= q und Q= (praktischer Nutzen begrenzt beispielsweise entspricht einer isotrop bewehrten Quadratplatte eine orthotrop bewehrte Platte mit staumlrkerer Bewehrung in der laumlngeren Richtung was nicht sinnvoll ist)

1W Q2 (1 )uD m

Einzellast auf Platte beliebiger Geometrie

um

umQ 12 2 1u u u uQ m m m

Gleiche Traglast wie mit Momentenfeld fuumlr zentrisch gestuumltzte Kreisplatte unter gleichmaumlssiger Belastung unabhaumlngig von R vollstaumlndige Loumlsung fuumlr eine Kreisplatte fuumlr andere Faumllle oberer Grenzwert

Durch Anwendung des Affinitaumltstheorems () erhaumllt man daraus fuumlr eine orthotrop bewehrte Platte beliebiger Geometrie den oberen Grenzwert

2 2 1u xu yu xu yu xu yuQ m m m m m m


In diesem Kapitel wird die Traglast duumlnner Platten mit kleinen Durchbiegungen untersucht Dabei wirdideal plastisches Materialverhalten vorausgesetzt ohne auf Fragen des Verformungsbedarfes und desVerformungsvermoumlgens naumlher einzugehen Da Platten in der Regel eher schwach bewehrt sind bestehtdiesbezuumlglich gewoumlhnlich wenig Anlass zu Bedenken

Platten sind die am weitesten verbreitete Anwendung der Stahlbetonbauweise Ihrer Bedeutungentsprechend werden sie in diesem Kapitel eingehend behandelt Zunaumlchst werden die grundlegendenstatischen Beziehungen aufgestellt aus denen schliesslich die Fliessbedingungen hergeleitet werdenkoumlnnen

In der Praxis werden heutzutage fuumlr die Ermittlung der Beanspruchung meist numerische Verfahreninsbesondere die Methode der finiten Elemente angewendet Fuumlr Plausibilitaumltskontrollen eignen sichentsprechende Naumlherungsverfahren wie bspw die Methode der stellvertretenden Rahmen

In der plastischen Plattentheorie werden zur Ermittlung der Traglast statische und kinematischeBerechnungsmethoden verwendet

Fuumlr die Bemessung wird meist nur der Biegezustand der Platte betrachtet Der Einfluss der Querkraumlftewird normalerweise nur bei konzentrierten Kraumlften und Stuumltzen massgebend (Durchstanzen)


Platten ndash Grundlagen







Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert





x dz

yx dzzx dzxy dz

y dzzy dz





2 2 2

2 2 2

kNmm = kNh h h

x y xy yxh h h


2 2

2 2

kNmh h

x yh h

zx zyv dz v dz

2 2 2

2 2 2

kNmh h h

x y xy yxh h

yxh

xyn dz n dz n n dz

xym

ymxm yxm

xn

xynxv

yvxyn

yn






2 2 2

2 2 2

h h h



2 2

2 2

h h

x zx y zyh h

v dz v dz

2 2 2

2 2 2

h h h


n dz n dz n n dz










0yx vv qx y

0xyxx

mm vx y

0y yxy

m mv

y x

Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


2 22


0y xx y y x


0xyxx xy x xy x


0y yxy yx y yx y


y x













1

2tan 2 xy

x y

mm m

2 2

12

4

2 2x y xyx y





(allgemein ist 0 1)




cos sinn x yv v v


0 x yv v v

0tan y

x

vv















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um









x dz

yx dzzx dzxy dz

y dzzy dz





2 2 2

2 2 2

kNmm = kNh h h

x y xy yxh h h


2 2

2 2

kNmh h

x yh h

zx zyv dz v dz

2 2 2

2 2 2

kNmh h h

x y xy yxh h

yxh

xyn dz n dz n n dz

xym

ymxm yxm

xn

xynxv

yvxyn

yn






2 2 2

2 2 2

h h h



2 2

2 2

h h

x zx y zyh h

v dz v dz

2 2 2

2 2 2

h h h


n dz n dz n n dz










0yx vv qx y

0xyxx

mm vx y

0y yxy

m mv

y x

Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


2 22


0y xx y y x


0xyxx xy x xy x


0y yxy yx y yx y


y x













1

2tan 2 xy

x y

mm m

2 2

12

4

2 2x y xyx y





(allgemein ist 0 1)




cos sinn x yv v v


0 x yv v v

0tan y

x

vv















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um










2 2 2

2 2 2

h h h



2 2

2 2

h h

x zx y zyh h

v dz v dz

2 2 2

2 2 2

h h h


n dz n dz n n dz










0yx vv qx y

0xyxx

mm vx y

0y yxy

m mv

y x

Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


2 22


0y xx y y x


0xyxx xy x xy x


0y yxy yx y yx y


y x













1

2tan 2 xy

x y

mm m

2 2

12

4

2 2x y xyx y





(allgemein ist 0 1)




cos sinn x yv v v


0 x yv v v

0tan y

x

vv















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um











0yx vv qx y

0xyxx

mm vx y

0y yxy

m mv

y x

Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


2 22


0y xx y y x


0xyxx xy x xy x


0y yxy yx y yx y


y x













1

2tan 2 xy

x y

mm m

2 2

12

4

2 2x y xyx y





(allgemein ist 0 1)




cos sinn x yv v v


0 x yv v v

0tan y

x

vv















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um













1

2tan 2 xy

x y

mm m

2 2

12

4

2 2x y xyx y





(allgemein ist 0 1)




cos sinn x yv v v


0 x yv v v

0tan y

x

vv















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um








(allgemein ist 0 1)




cos sinn x yv v v


0 x yv v v

0tan y

x

vv















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um



















Stuumltzkraft







2tn n ntn

m m mvt n t

2 0tn n ntn

m m mvt n t





Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um










Randbewehrung






Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um







Diskontinuitaumlt



+ = mn-)


- vn+ ne vn

-)


n nm m

t nt ntV m m

tn n

V v vt










1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um














1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

T Max 0 Max 0

vM 3 0 3 0s u


f m m m m m

f m m m m m m

2

2 2 2

2

ABF 0

BCEF 4 0

CDE 0

u x u y xy

x y xy u

u x u y xy

m m m m m

m m m m

m m m m m

2

4u shm f

s uf ms uf m

s uf m

s uf mx xm

y ymxy xym

2 2s uf m

1 1ms uf m

s uf m

s uf m

s uf m 2 2msf

sf

nn

nnn

nnm

z

2h

2h


Zustaand a

ngungM

vM

sfs

nic

2







x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um












x sda f

x sa

cdf

x umx

xc

y sda f

y sa

cdf

y umy



































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um

































2 2 2 2



tanx u x xy um m m

coty u y xy um m m

tan x u xu

y u y

m mm m


tan

x u x

uy u y

m mm m










nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um











nm

n um

n um












coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um











coscos φ sin 0

sinxu x xy

n u nxy yu y

m m mm m

m m m

x yu yx

Y m mmYmY

y xu xy

Y m mmYmY 2 2xy xy

xy

Y mmm

2x y xy

21 2 01 2

0Y

0Y





ge 0 ge 0

ge 0 ge 0



n u n n um m m








ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um












ge 0 ge 0

ge 0 ge 0


n u n n um m m



ge 0 ge 0

ge 0 ge 0





1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um









1k



x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

1y u y xym m m

k





tan uk tan uk






tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um











tan uk

x u x xym m k m

1

y u y xym m mk

x u x xym m k m

tan uk





1

y Rd y d xy dm m mk

1y Rd y d xy dm m m

k




1

y u y xym m mk





l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um










l

100 kNQ

a) x

y



0 50 50 kNx u x xym m k m 1 0 50 50

kNy u y xym m m

k



2 100xym Q kN

0x ym m

50xym kN







100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um











100 kNQ

x

y

t

n




50 0 50 kN 0n u n ntm m k m 1 50 0 50

kNt u t ntm m m

k



50 kNum





45






Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um









Reine Drillung

X

Y

2 1

xy xym

x y

x ym m

0xy x y

2

1







2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um











2 12 2

s sdu s sd cd

cd

a fm a f d d ff


2

0 0

xy x u x y u y x y

xy u x u y u u

m m m m m m m

m m m m m

mit

fuumlr analog


s sd cda f df

cdf

c d

12

d




xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um









xym

yxm

x

y

yxmz

yxmz

x

z

oben unten



1

2sy sda f

sx sya a

s sda f

2

2

s sd

cd

a fcfd

2h d

s sda f

2

2

2

22

12

cd

cd

u

cd

m

hd fd

hdf d

d f

Schnitt unter 45deg

s sda f

2s sda f2

sx sda f

2s sda f

y





0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um









0

005

01

015

02

025

03

035

0 005 01 015 02 025 03 035 04

2xyu

cd

md f



1 2

12

01250117

0094

25

75022




xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um








xv xmxym

yxn

xn

xynyn

yv

xym

ym

z

yvxv

2 2 tanxy xy x y

o

m n v vz v

2x xm n

z2

02 tanxv

v

z2

02 tanyv

v2

y ym nz

2

2 2 tany y y

o

m n vz v 2 2 tan

xy xy x y

o

m n v vz v

2

2 2 tanx x x

o

m n vz v

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

0v0 cotv

0 cot2

vcotz

0 cot2

v

z







Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um








yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xmzym

z

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z

xymz

xymzxym

z

xymz





Sandwichmodell



yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um








yvxym

ym

z

xv xmxym

yvxv

xymz

xmzym

z

xymz

ymz

xmz

z

2 20 x yv v v

10 tan ( )y xv v

xy z

z


1

1

xyxsx sd

y xysy sd

xyxsx sd

y xysy sd

mma f kz z

m ma f

z k zmma f k

z zm m

a fz k z

xymz

xymz

xu sx sd yu sy sd

xu sx sd yu sy sd


1

1

xu x xy yu y xy

xu x xy yu y xy

m m k m m m k m


2

2

0

0

xy yu yxu x

xy yu yxu x

m m mm mz z z z z

m m mm mz z z z z


cd inf xu x yu y

cd sup xu x yu y

f zt m m m m

f zt m m m m


Sandwichmodell





sinxym

sinymx

k

z

tcosxm

cosyxm

y

1

kkum







2 2

1 1

2 2

1 1

1 1

cos cos

sin sin

sin cos sin cos

r r

x ku k x ku kk k

r r

y ku k y ku kk k

r r


m m

m m

m m

2 2 2

1

2 2 2

1



r

au ku k x y xykr

au ku k x y xyk

m m

m m

au a aum m m





2

aum

am

aum

2mau ag m m

2

1m

1 u

600

0

6000



[Seelhofer (2009)]

au a aum m m






y

60n

sna

sxa

1202 0m

100 kNmm100 kNmm60

Rdx

Rdn

n

mm

2 2

2 2




x Rdx Rdn

y Rdx Rdn

xy Rdx Rdn

m mm m

m m

0

25

50

75

100

125

150

0 30 60 90 120 150 180

120 50 kNmm30 150 kNmm

Rdmin

Rdmax

mm



1 0m



1

x

mmy

1

n

m m








[Seelhofer (2009)]




sin sinxu xum m m

sin tan cosuk



sin tan cosuk





[Seelhofer (2009)]



Schiefe Bewehrung


[Seelhofer (2009)]


1

x

mmy

1

nm m


yum1k

xym

ym

xm xymxum

sinm0

sinmsinm

1 2cot k

sinmxum

0knum

1

sinm0

sinmsinm

21 cot k

sinm

xum

0k

num

1

1

1



xu nu u

xu nu u

m m k m m m k m k

m m k m m m k m k


3 Platten












Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert



























2 2 22 2

2 2 2 22 0 xy y yx xx y x y


Balken inx-Richtung

Balken iny-Richtung


















24 1 yuu xu

u u

mm mql m m

0xm2

2 1y uym mx 2

4xy u

y xym mx l

0ym2

2 1x uxm my 2

4xy u

x xym my l

2 2fuumlr yx

2 2fuumlr yx













2u uQm m

8uQm

1 1 00342 8um Q Q

8

xx u

y

lQml

8

yy u

x

lQml

2 0034 0034 x

x u xy

lm ql Ql

2 0034 0034 y

y u yx

lm ql Q

l







q

Lastabtrag







q

Lastabtrag



42

s s s ss

qab bQ q a bbb











Momentenansaumltze


Streifenmethode


einfach

erweitert


3 Platten



34 Bruchmechanismen



























n ndD m dtn



cos sinx n y n

cos siny xd dt d dt









3




λ = mursquomu7

q

68xum22yum 0yum

68xum

23xum22yum 34yum

36xum

x

y

1

13

131 14


Dissipationsarbeit

3 7 2 7 41 113

12

q q

1 1 1 14 4 4

68 2 68 2 23 3 36 3 221 13 3 4

1 7 34 7 31 213

53

1D

W

2222 uW D q kN m

3 4


1

13 + 14

x - Rtg y - Rtg






aus

Hauptkruumlmmung

Rotation


e gauml u gen

n

1 R

Rr

11 R

rR

Rr1rR

1 11 ( )Rr

1rd11



n

um1

rR

drum

r dr dd







mit



um1

rR

drum

r dr dd


( )

0 0

1 ( )( )

R

uD m r dr dR

Rr

0 0


n


( ) (1 )u u uD m m m




1W Q2 (1 )uD m


um






3.1 Platten Teil 1 - ETH Z

Documents

Transcript of 3.1 Platten Teil 1 - ETH Z