30Optique Géométrique Rappels de Cours Et Exerci.jb.Decrypted

Optique gomtriqueRAPPELS DE COURSET EXERCICES

Agns MAURELJean-Marie MALBEC

B E L I N 8, rue Frou 75278 Paris cedex 06www.editions-belin.com

B E L I N

P h y s i q u e

Fichier en pice jointeoptiquegeometriquecoursetex.jpg

DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCES

A. MAURELOptique gomtrique, cours

M. SAINT-JEAN, J. BRUNEAUX et J. MATRICONlectrostatique et magntostatique, cours

J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICONlectrostatique et magntostatique, rsum de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCES

A. BARBEROUSSELa mcanique statistique de Clausius Gibbs

M. BLAYLa science du mouvement de Galile Lagrange

Le code de la proprit intellectuelle nautorise que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non desti-nes une utilisation collective [article L. 122-5] ; il autorise galement les courtes citations effectues dans un but dexemple ou dillustra-tion. En revanche toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ouayants cause, est illicite [article L. 122-4].La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confi au C.F.C. (Centre franais de lexploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006Paris), lexclusivit de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie duvres protges, excute sans son accord pralable, constitueune contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

ditions Belin, 2002 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-3033-6

Photo de couverture Digital Vision

Sommaire

Notions de rayons, lois de Descartes, principe de Fermat et stigmatisme....................................................................................................................... 5

Dioptres dans lapproximation de Gauss ............................................................ 33

Systmes catadioptriques dans lapproximation de Gauss...................... 63

Lentilles paisses et lentilles minces ..................................................................... 79

Association de lentilles et de miroirs ................................................................... 99

Lil, la loupe et autres instruments une lentille.................................... 125

Le microscope et la lunette ......................................................................................... 155

Autres instruments optiques...................................................................................... 177

5

C h a p i t r e

1

N

otion de rayons, lois de Descartes, principe de Fermatet stigmatisme

Depuis longtemps les scientifiques avaient constat que la lumire se divise lorsquelle ar-rive la surface de sparation entre deux milieux, une partie tant rflchie, lautre subis-sant une dviation au passage dans le second milieu. Ds lantiquit, lgalit des anglesincident et rflchi est connue. Mais il faudra attendre la fin du XVIe sicle pour que la loide la rfraction sous sa forme actuelle (n1 sin i1 = n2 sin i2) soit nonce. On trouve une bauche de description des rayons rfracts dans les essais de Ptolme etles savants arabes donneront des tables des angles rfracts en fonction des angles inci-dents pour linterface eau-verre. Mais cest seulement en 1611 quon trouve la premireloi de la rfraction dans le Dioptrique de Kepler, nonce sous la forme simplifie n1i1= n2i2 (valable pour les faibles angles). Cest un peu injustement que la loi de la rfractionporte le nom de Snell-Descartes car cest sans doute au mathmaticien anglais ThomasHarriot quon doit le premier nonc de cette loi telle quon le connat aujourdhui. Enfait, Snell la probablement trouv exprimentalement en 1621 puisquil nen proposeaucune dmonstration tandis que Descartes en propose une mais trs discutable. lpo-que, le mathmaticien franais Fermat slve dailleurs avec vhmence contre la pseudo-dmonstration donne par le philosophe. Fermat sattaque alors loptique et il nonce en 1650 le principe de moindre temps : par-mi toutes les courbes joignant deux points de lespace, cest celle qui correspond au tempsde parcours minimal qui est effectivement suivie par la lumire. Mais Fermat nest pasphysicien et ce nest quune dizaine dannes plus tard que la loi de la rflexion est retrou-ve grce son principe. Fermat veut aller plus loin et dclare propos de la loi de la r-fraction Il me semble que la chose est aise et quun peu de gomtrie pourra nous tirerdaffaire . Il a raison ! En 1661, il effectue la dmonstration de la loi de la rfraction partir de son principe, offrant ainsi le premier exemple de calcul variationnel appliqu la physique. Il dclare ce propos : Le fruit de mon travail a t le plus extraordinaire,le plus imprvu et le plus heureux qui ft jamais car jai trouv que mon principe donnaitjustement et prcisment la mme proportion des rfractions que Monsieur Descartes atablie .

La loi de la rfraction : de Ptolme Fermat

Un peu dh is to i re

6

Rappel de cours

1. L

OPTIQUE

GOMTRIQUE

Loptique gomtrique se propose de dcrire la propagation de la lumire en considrantle trajet de

rayons lumineux

, dont la direction et le sens reprsentent la direction et lesens de propagation de londe lumineuse. Ainsi, dans un milieu transparent, homogne,isotrope, caractris par son indice de rfraction, la lumire se propage en ligne droite.Il faut garder lesprit que loptique gomtrique nest valable que si toutes les dimensionsdu problme, notamment la dimension des diaphragmes qui limitent les faisceaux, sonttrs suprieures la longueur donde. Sans quoi des phnomnes de diffraction intervien-nent, et la notion mme de rayon na plus de sens.

2. C

ARACTRISTIQUES

D

UN

MILIEU

OPTIQUE

2.1. Milieux transparent, homogne, isotrope

Un milieu est dit :

- transparent

sil laisse passer la lumire (par opposition un milieu opaque) ;

- homogne

si ses caractristiques optiques sont indpendantes de lespace ;

- isotrope

si ses caractristiques optiques sont indpendantes de la direction selon laquel-le se propage le rayon lumineux.

2.2. Indice d'un milieu

On dfinit l

indice optique

n

dun milieu par : , o c est la vitesse de propaga-tion de la lumire dans le vide et

v

sa vitesse de propagation dans le milieu considr. Pluslindice dun milieu est lev, plus le milieu est

rfringent

.Dans un milieu transparent inhomogne, l'indice optique

n

dpend du point de l'espaceconsidr dans ce milieu.

3. P

ROPAGATION

DES

RAYONS

LUMINEUX

3.1. Le chemin optique

Le chemin optique entre deux points A et A' correspond la longueur parcourue par lalumire dans le vide pendant le mme temps qu'elle mettrait parcourir le trajet AA' dansle milieu considr dindice

n

:

3.2. Le principe de Fermat

Le principe de Fermat

prvoit que le trajet suivi par la lumire du point A au point A'est celui pour lequel le chemin optique est extrmal.

n cv-- 1>=

LAA c tdt

t n sdA

A

= =

1.

N

OTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME

7

Lorsque le milieu est homogne (

n

= cte), la lumire se propage en ligne droite.La propagation d'un rayon lumineux dans un milieu transparent inhomogne est gouver-ne par l'quation dite quation des rayons et qui s'crit :

o

n

est l'indice au point courant M, est le vecteur unitaire tangent au rayon en M et

s

l'abscisse curviligne le long du rayon.

3.3. Lois de Descartes

Rflexion et rfraction

Un rayon lumineux et la normale au point dincidence sur la sur-face dun dioptre ou dun miroir dfinissent un plan appel plan dincidence. Si

i

1

dsignelangle dincidence,

i

langle rflchi et

i

2

langle rfract par rapport la normale les loisde Descartes snoncent ainsi : Le rayon rflchi et le rayon rfract appartiennent au plan dincidence.

Pour la rflexion

, on a

i

=

i

1

.

Pour la rfraction

, on a

n

1

sin

i

1

=

n

2

sin

i

2

.

Incidence critique et rflexion totale

Le rayon rflchi existe toujours ; en revanche, si le rayon se propage dun milieu vers un autre milieu moins rfringent, il existe un angle dincidence critique

i

c

tel que :

Pour un angle dincidence suprieur

i

c

, il y a rflexion totale.

grad(n)d(nu)

ds-----------=

u

M

u

icsinn2n1----=

i2

i1 i

n1n2

n1n2i1

8

4. INSTRUMENTS OPTIQUES4.1. Dioptre et miroirOn appelle dioptre une surface de sparation entre deux milieux homognes, transpa-rents et isotropes et on considre un miroir comme un dioptre particulier. Le comporte-ment dun rayon lumineux la surface dun dioptre ou dun miroir est rgi par les lois deDescartes.

4.2. StigmatismeUn systme optique (S) est dit rigoureusement stigmatique pour deux points A et A, sitout rayon lumineux issu de A passe par A aprs avoir travers (S) ; Cette condition cor-respond un chemin optique LAA' constant quel que soit le rayon lumineux considr. Ondit que les points A et A sont conjugus par rapport (S). Les cas de stigmatisme rigou-reux tant rares (miroir plan ou dioptre sphrique aux points de Weierstrass), on se con-tente souvent dun stigmatisme approch, obtenu pour deux points A et A lorsque toutrayon issu de A passe au voisinage de A aprs avoir travers (S). LAA' n'est alors constantqu'au premier ordre.La relation liant les positions relatives de deux points conjugus est appele relation deconjugaison.

ic icn1n2

n1>n2i1=ic

mergencerasante

2

i1 in1n2

n1>n2i1>ic

Rflexiontotale

Exercices

1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME 9

NOTION DE RAYONS

Le filtre chromatique

Un rayon lumineux est constitu de la superposition de deux couleurs ou radiations,rouge et violette. Ce rayon se propage dans un verre dont les indices pour la lumire rou-ge et la lumire violette sont respectivement gaux nr = 1,595 et nv = 1,625. Ce rayonarrive sur la surface de sparation avec lair.

1. Calculer les angles dincidence critique pour les lumires rouge et violette dans ce verre.

2.a. Quelle(s) couleur(s) observe-t-on dans lair si le rayon arrive dans ce milieu sous un angledincidence i = 35 ?

b. Mme question si le rayon arrive sous un angle dincidence i = 38,5.

3. Quel est lintrt de ce type de montage ?

CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult majeure ; il sagit dune application directe de la loide Descartes pour la rfraction n1sini1 = n2sini2.

1. Le calcul des angles dincidence critique seffectue laide de la loi de Descartes pourla rfraction : n1sini1 = n2sini2, avec dans le verre n1 = nr ou nv, et n2 indice de l'air.

Langle dincidence critique i1c correspond un angle dmergence i2 gal /2, soitn1sin i1c = n2. On a donc :

A.N. i1c(rouge) = 38,8 et i1c(violet) = 37,9.2. a. Pour un angle dincidence gal i = 35, infrieur aux deux angles critiques, les deuxradiations mergent du verre et sont rfractes dans lair. En revanche, les angles de r-fraction sont diffrents pour les deux radiations : les radiations sont donc spares aprsrfraction (figure ci-dessus).b. Si langle dincidence est gal 38,5 seule la radiation rouge sera rfracte. La radia-tion violette sera totalement rflchie.3. Ce type de montage peut tre utilis comme un filtre chromatique non color puisquilpermet dliminer certaines radiations (celles qui sont totalement rflchies).

Exercice 1

Solution

i2r

i1

VerreAir

n1>n2

i2v

n1n2

i1c arcn2n1--- sin=

10

Caractristique d'une onde

Lindice de rfraction dun milieu transparent dpend de la temprature du milieu maisaussi de la frquence de londe considre.Un rayon lumineux se propage dans lair. Il arrive sur un morceau de flint (le flint est unverre base de plomb utilis en optique) avec un angle dincidence de 20 avec la nor-male la surface de verre.Lindice de rfraction du flint est n = 1,585 pour une radiation de longueur donde = 486 nm.Que deviennent les quantits suivantes : frquence, vitesse de londe et longueur donde lors-que la lumire passe de lair au flint (on assimile lair au vide). Faire les applications numriques dans les milieux 1 (lair) et 2 (le flint).

CONSEIL : on sinterroge ici sur les modifications des diffrentes quantits associes une onde au coursde sa propagation : frquence, longueur donde et clrit. Une notion essentielle est la conservation de lafrquence dune onde.

Une onde lumineuse est caractrise par sa frquence f : la frquence est une grandeur in-variante de londe. Une onde de longueur donde 2 = 486 nm dans le flint, dont lindiceest n2 = 1,585, a une frquence :

Par dfinition de lindice dun milieu, les vitesses de londe dans les milieux 1 et 2 sontdonnes par :

- dans l'air,

- dans le flint,

Dans le flint, on a 2 = 486 nm. La longueur donde 1 dans l'air se dduit de la vitesse v1et de la frquence f :

En conclusion, lorsque la lumire passe dun milieu un autre, seule la frquence estconserve ; sa vitesse de progagation et sa longueur donde sont modifies.

Exercice 2

Solution

f v22----c

n22-------- 3 895, 1014 Hz.= = =

n1 1,v1cn1---= 3 108 m.s 1==

n2 1,585,v2cn2---= 1 89, 108m.s 1==

1 v1f---n2n1---2 770nm.= = =


Le tolune et le verre

Le tolune (C6H5CH3), corps organique liquide drivdu benzne, est non miscible dans leau. En procdantavec attention, on remplit successivement un bcher dedeux liquides formant ainsi deux couches : eau/tolune.On y introduit alors la tige de verre (photo ci-contre).On rappelle que lindice de rfraction du verre est gal n = 1,33.

Commenter la photo. Que vaut lindice optique dutolune ?

CONSEIL : cet exercice, fond sur lanalyse dune photo, sappuie sur la notion de rfraction des rayonslumineux au passage dun milieu 1 un milieu 2 (ici le verre et leau ou le verre et le tolune).

La partie de la tige immerge dans leau est visible ; les indices de rfraction de leau et duverre sont trs diffrents et les rayons traversant le verre sont dvis. En revanche, on nevoit pas (ou trs peu) la partie de la tige immerge dans le tolune. Cela signifie que lesrayons se propageant dans le tolune et rencontrant le verre sont peu dvis : lindice dutolune est voisin de celui du verre. Ainsi, on dduit immdiatement :ntolune nverre = 1,33.

LOIS DE DESCARTES

Constructions gomtriques de Descartesdes rayons rflchi et rfract

Descartes a propos une construction gomtrique des rayons rfract et rflchi lors-qu'un rayon incident dans un milieu dindice n1 rencontre une interface (dioptre plan)sparant le premier milieu dun autre, dindice n2. Dans cette construction, le point din-cidence I est pris pour centre de deux cercles C1 et C2 de rayons gaux respectivementaux indices n1 et n2 ( un facteur multiplicatif prs). Le rayon incident est prolong jus-quau cercle C1 quil coupe en un point J. La perpendiculaire au dioptre passant par Jcoupe C2 en A dans le milieu d'indice n2, et, C1 en B dans le milieu d'indice n1. Le rayonrfract correspond au rayon IA et le rayon rflchi au rayon IB.

1. En supposant que n1 < n2, montrer que cette construction permet de retrouver les lois deDescartes.

2. Dans le cas o n1 > n2, montrer par une construction gomtrique lexistence dune r-flexion totale.

Exercice 3

Solution

Exercice 4

12

CONSEIL : les constructions de Descartes tant dcrites dans lnonc, le problme consiste raliser laconstruction gomtrique et en exploiter les proprits gomtriques pour retrouver les lois de Descartes.

1.

La construction gomtrique ci-dessus permet de retrouver les lois de Descartes. En ef-

fet, on a pour le rayon incident : , pour le rayon rfract :

, et pour le rayon rflchi : .

On obtient donc : i1 = i1 et n1 sini1 = n2 sini2.Remarquons qu'avec n2 > n1, la droite passant par J et perpendiculaire au dioptre coupetoujours C2 en un point A et C1 en un point B : il y a toujours un rayon rflchi et unrayon rfract.2. Avec n2 < n1, le point A nexiste pas toujours. Pour de faibles valeurs de i1, la perpen-diculaire au dioptre passant par J coupe le cercle C2 : on observe un rayon rfract et unrflchi (fig. a.). Pour un angle dincidence i1 suprieur une valeur critique ic, la perpen-diculaire au dioptre passant par J ne coupe pas C2 : on observe seulement un rayon tota-lement rflchi (fig. c.). Le cas limite est obtenu lorsque la perpendiculaire au dioptrepassant par J est tangente C2 (fig. b.). Le point A est confondu avec le point H et on a

IH = n2 = n1sin ic, d'o la valeur de ic dfinie par la relation : .

Solution

i1

n1

n2

n1i1

I1

n2

I H

i2

B

A

C1C2

J

i1sinIHIJ------

IHn1------= =

i2sinIHIA------ IH

n2------= = isin 1

IHIB------

IHn1------= =

i 1sinn2n1---=

i1

n1

n2

n1

i1

n2

H

i2

B

A

C2C1

J

i1ic

a. b. c.


Construction gomtrique de Huygens

La construction gomtrique de Huygens permet de tracer un rayon rfract IB partirdun rayon incident donn AI. Dans un premier temps, on trace, dans le milieu dindicede rfraction n2, deux demi-cercles concentriques C1 et C2, de centre I et de rayons res-

pectifs et . On prolonge le rayon incident et on note D lintersection

de (AI) avec C1. On mne alors la tangente en D C1 : elle coupe le dioptre plan en H.La tangente C2, passant par H, coupe C2 en B. IB correspond au rayon rfract.

1. Raliser les constructions pour n1 < n2 et n1 > n2.

2. Que se passe-t-il si IH < ?

CONSEIL : comme dans lexercice prcdent, il sagit ici de raliser la construction de Huyghens donndans lnonc et den dduire les proprits demandes.

1. Cas n1 < n2 : langle i1 est alors plus grand que langle i2 :

Cas n1 > n2 : langle i1 est alors plus petit que langle i2 :

2. Si , il y a rflexion totale et aucun rayon lumineux ne traverse le milieu.

Notons que cela nest possible que dans le cas n1 > n2 (voir construction).

Exercice 5

R11n1---= R2

1n2---=

1n2-----

Solution

i1

n1n2

i2 D

HI

1n2

1n1

A

B

i1

n1n2

i2

HI

A

1n1

1n2

BD

IH 1n2---

14

Lois de Descartes ou sauvetage en mer

Au XVIIe sicle Fermat a nonc un principe qui permet aujourdhui de comprendreloptique des rayons lumineux : La lumire se propage dun point vers un autre sur unetrajectoire telle que la dure du parcours soit minimale . Nous nous proposons de re-prendre cette notion dans un cadre un peu diffrent.

Un matre nageur, initialement en A sur la plage, doit sauver un nageur qui se noie enB dans la mer. Sa vitesse de marche sur le sable est V1 tandis que sa vitesse de nage estV2 (V2 < V1 ).

1. Quel chemin le matre nageur devra-t-il prendre, le plus rapide ou bien le plus court ?

2. Exprimer cette condition et retrouver la loi de Descartes relative la rfraction.

CONSEIL : lobjet de cet exercice est de retrouver la loi de Descartes relative la rfraction en utilisant leprincipe de Fermat : la lumire suit un chemin qui minimise son temps de parcours. Au passage dunmilieu 1 un milieu 2, la vitesse de londe est modifie et le principe de Fermat prvoit que londe ira dupoint A dans le milieu 1 au point B dans le milieu 2 suivant une courbe LAB telle que son temps de parcoursle long de LAB soit minimum. Cette proprit de londe est reprise ici dans le cas dun matre nageur se d-plaant sur une plage ou dans leau.

1. Le matre nageur va prendre le chemin le plus rapide sil veut sauver la personne temps. Il est raisonnable de penser quil va courir plus vite sur la plage quil ne peut nagerdans leau ! Il faut donc quil trouve un compromis tel que le chemin comporte une partiedu trajet plus important sur la plage que dans leau. 2. Pour mener bien le calcul demand, il faut donc exprimer le temps T mis par le matrenageur du point A au point B sachant quil atteindra le bord de leau en un point O (voirfigure ci-dessous). Entre A et O sa vitesse est gale V1 et entre O et B, sa vitesse est V2.Sur AO et OB, la faon la plus rapide de se dplacer reste bien sr la ligne droite ! Toutela difficult consiste trouver la position du point O qui minimise T. Ceci est ralis endiffrentiant T par rapport une variable qui dcrit la position du point O.

La dure T du trajet AB est gale :

Remarquons que, quel que soit le chemin emprunt, les distances OH et OH sontconstantes.

Exercice 6

Solution

HO

A

Hi

B

r

Plage Mer

T AOV1------- OBV2

-------+ OHV1 icos------------ OHV2 rcos

-------------+= =


Par ailleurs, la distance AH + HB = cte, ce qui peut galement scrire :OH tani + OH tanr = cte

Changer de trajet revient changer dangle dincidence i (attention, r nest pas indpen-dant de i). Pour dterminer langle i correspondant la dure minimale du trajet, A et B

tant fixs, il suffit de chercher i tel que = 0. Nous obtenons ainsi :

On exprime partir de la seconde expression et on simplifie la premire expression :

Applique loptique gomtrique o et cette relation est quivalente

la loi de Descartes pour la rfraction.

PRINCIPE DE FERMAT. STIGMATISME

Du principe de Fermat la loi de Snell-Descartes

Un dioptre plan spare deux milieux dindices de rfraction n1 et n2. On cherche le rayonlumineux qui se propage du point A, dans le premier milieu, vers le point B dans ledeuxime milieu. I est le point dintersection du dioptre plan avec le rayon.

1. Recopier et complter le schma ci-dessus, placer le point I sur le dioptre plan, le rayon AIpuis IB, les angles i1 et i2 de ces deux rayons par rapport la normale au dioptre passant parI, ainsi que (x1, y1) et (x2, y2) coordonnes respectives de A et B dans un repre orthonorm Ixy.

2. Exprimer le chemin optique L(AB) en fonction des grandeurs n1, n2, x1, x2, y1 et y = y2 + y1.De combien de variables L(AB) dpend-il ?

3. Retrouver la loi de Snell-Descartes en appliquant le principe de Fermat qui prvoit que lechemin optique est minimal (on dit aussi stationnaire).

dTdi------

OH isinV1 icos2---------------- OH rsin

V2 rcos2------------------+ dr

di---- 0=

et OHicos2

--------- OHrcos2

---------+ drdi---- 0=

drdi----

isinV1

------- rsinV2

--------=

V1cn1---= V2

cn2---=

Exercice 7

n1n2

A

B

y

x

16

CONSEIL : cet exercice ne pose pas de problme de mise en forme mathmatique, lnonc guidant forte-ment vers une mise en place des quations rsoudre. Il suffit donc de se laisser guider !

1.

2. Les points A, B et le dioptre sont fixs donc les valeurs de x1 et x2 sont constantes. Ilen est de mme pour la distance latrale (parallle au dioptre) entre A et B, cest direpour D = y2 y1. Le chemin optique L(AB) est par dfinition :

L(AB) = n1 AI + n2 IBDans le triangle AIH, on a :

De mme dans le triangle BIH :

On en dduit lexpression de L(AB) :

Ce chemin optique ne dpend que de y1 puisque x1, x2 et D sont constants.3. Le chemin optique est minimal si ses drives partielles, par rapport toutes les varia-bles, sont nulles. Ici, L(AB) ne dpend que de y1, cette condition sexprime par :

On a, par ailleurs :

- dans le triangle AHI,

- dans le triangle BHI,

On retrouve bien la loi de Snell-Descartes :n1 sini1 = n2 sini2

Solution

x1A

B

x

i1

i2

Hy

n1

n2

y2y1 IH

x2D

AI x21 y21+= .

IB x22 y22+ x

22 (D y1)

2+ += = .

L(AB) L(y1) n1 x21 y

21+ n2 x

22 (D y1)

2+ ++= =

dLdy1------ n1

y1x21 y

21+

----------------- n2D y1+

x22 (D y1)2+ +

----------------------------- 0=+=

i1siny 1

x21 y21+

-----------------=

i2siny2

x22 y22+

-----------------D y1+

x22 (D y1)2+ +

-----------------------------= =


Stigmatisme approche dun dioptre plan

Un dioptre plan spare deux milieux dindice n et n. On considre un point source Adans le milieu dindice n. La normale au dioptre passant par A coupe le plan du dioptreen O. Un rayon issu de A est rfract en I sur le dioptre. Le prolongement du rayon r-fract coupe la droite OA en un point A. On note i et i les angles forms par les rayonsincident et rfract par rapport la normale au dioptre en I.1. Exprimer le chemin optique L entre A et A en fonction de OA, OA, n, n, i et i.

2. Montrer que la condition de stigmatisme est obtenue dans lapproximation paraxiale.Quelle relation de conjugaison obtient-on alors ?

CONSEIL : lobjet de cet exercice est dtablir la relation de conjugaison dun dioptre plan dans lapproxi-mation paraxiale, cest--dire pour des angles faibles entre les rayons lumineux et laxe. La relation de con-jugaison du dioptre lie les positions relatives de lobjet (ici A) et de son image (A), les points A et A tantdits points conjugus travers le dioptre.

1.

Exprimons le chemin optique L entre A et A :

L = n AI n IA.

Le chemin optique entre I et A est compt ngativement car limage A est virtuelle.Dans les triangles AOI et AOI, rectangles en O, on a :

On a donc :

2. Le principe de Fermat prvoit quun systme optique est stigmatique si, pour deuxpoints conjugus, le chemin est indpendant de langle i (et donc de i). La drive de Lpar rapport i est donc nulle :

Exercice 8

Solution

iO

Ii

i

i

n n

Dioptre

AA

AI OAicos

-------- et AI OAicos

---------==

L n OAicos

-------- n OAicos

---------=

dLdi----- nOA isin

i2cos---------------= nOA isin

i2cos------------------di

di----- 0=

18

i et i sont lis par la loi de rfraction de Descartes : n sini = n sini.En diffrentiant cette expression, on obtient : n cosi di = n cosi di.

On remplace, dans , di par son expression en fonction de di. On obtient

finalement :

ce stade, quel que soit i, raliserait le stigmatisme rigoureux, ce qui nest

manifestement pas possible ; en effet, on aurait alors :

quelle que soit la position de I ; or le rapport nest pas constant lorsque I se dplacele long du dioptre.On recherche alors la condition de stigmatisme approch en se plaant dans lapproxima-tion paraxiale, o les angles i et i sont faibles.

Au premier ordre, cosi cosi 1 et sini i, soit :

Si , on a alors quel que soit i.

On a donc tabli une relation de conjugaison pour les points A et A. Le dioptre planralise une condition de stigmatisme approch.

Principe de Fermat et dioptre sphrique

On considre un dioptre sphrique sparant un milieu dindice n dun milieu dindice n.Le centre C du dioptre se trouve dans le milieu dindice n et on note S son sommet, avec

R = . Soit A (p = ) un point du milieu objet, situ sur laxe principal et AI lerayon incident rencontrant le dioptre en I. Le rayon rfract coupe laxe en un point A

(p = ).

1. Construire le rayon incident et rfract si on suppose que A et A sont rels.

2. Soit H la projection de I sur laxe principal, on pose x = . Calculer le chemin optique Lentre A et A en fonction des donnes.

3. Montrer que le principe de Fermat permet dtablir une relation de conjugaison pour ledioptre sphrique dans lapproximation des rayons paraxiaux. Que vaut alors le chemin opti-que entre A et A ?

1. Le schma est ralis dans les conditions suivantes : A est plac avant le centre C etn > n. On a ainsi un objet et une image rels.

dLdi-----

dLdi----- n2 isin icos OA

n i3cos------------ OA

n i 3cos-------------- =

dLdi----- 0=

nOA2

nOA2--------------

AI3

AI3--------=

AIAI------

dLdi----- ni OAn

------- OAn---------

0=OA

n-------OA

n---------=dLdi----- 0

Exercice 9

SC SA

SA

SH

Solution


2. Le chemin optique L entre A et A scrit alors :

Pour calculer AI, considrons le triangle AIH, rectangle en H. On a :

Posons x = , o H est la projection de I sur laxe AS.Dans le triangle CHI, rectangle en H :

Sur laxe, on a simplement :On a donc lexpression de AI :

On trouve de mme pour IA :

On obtient finalement L :

3. Dans lapproximation paraxiale, les rayons restent proches de laxe ; le point H est doncvoisin de S, soit encore x 0 ; la relation prcdente peut donc scrire :

On peut effectuer un dveloppement limit de L, en utilisant pour

20

Le chemin optique L est indpendant du rayon considr sil est indpendant de x soit

. On obtient :

Cette dernire relation correspond la relation de conjugaison du dioptre sphrique danslapproximation paraxiale :

On a alors :

Points de Weierstrass

On considre un dioptre sphrique sparant un milieu dindice n dun milieu dindice n.Le centre C du dioptre se trouve dans le milieu dindice n et on note S son sommet, avec

R = . Soit A (p = ) un point du milieu objet, situ sur laxe principal et AI le rayonincident rencontrant le dioptre en I. Le rayon rfract coupe laxe en un point A

(p = ).

Calculer les positions des points, dits points de Weierstrass, qui ralisent la condition de stig-matisme rigoureux.

CONSEIL : lnonc de cet exercice vous laisse assez libre du choix de rsolution. Nous proposons ici unesolution qui sappuie sur le calcul dj effectu dans lexercice prcdent, savoir lexpression du cheminoptique.

Les positions des points de Weierstrass sont repres par les variables p et p, la variable

reprant le rayon incident AI tant, dans lexercice prcdent, note x = , o H est laprojection de I sur laxe AS. Trouver les valeurs de p et p ralisant la condition de stig-

matisme rigoureux revient trouver les valeurs de p et de p telles que la variation soit

rigoureusement nulle quelle que soit la valeur de x.Reprenons lexpression du chemin optique L entre A et B tablie dans lexerciceprcdent :

Pour les points de Weierstrass, ce chemin est rigoureusement indpendant de la po-sition du point I, cest--dire de x. On a :

L np np x+ + n n R np-- np---

dLdx----- 0=

n n R np-- np--- 0=

np-- np---

n nR

----------=

L n p np+

Exercice 10

SC SA

SA

Solution

SH

dLdx-----

L n p= 1 2xp--Rp---

1 + np 1 2 xp--- Rp--- 1 ++


Le stigmatisme rigoureux impose , quel que soit x.

Pour x = 0, on obtient la condition (i):

En supposant cette condition vrifie, on a alors :

Pour que soit nul, quel que soit x, on doit avoir :

Soit la condition (ii):

Les conditions (i) et (ii) peuvent se rcrire :

On obtient finalement p et p qui sont les positions des points de Weierstrass ralisant la

condition de stigmatisme rigoureux ( , quel que soit x) :

dLdx-----

n Rp---1

1 2xp--Rp---

1 +------------------------------

n Rp--- 1

1 2 xp---

Rp---

1 +-------------------------------+=

dLdx----- 0=

n Rp---1 n Rp--- 1 =

dLdx----- n Rp---

1 11 2xp--

Rp---

1 +------------------------------ 1

1 2 xp---Rp--- 1 +

-------------------------------=

dLdx-----

1 2xp--Rp---

1 + 1 2 xp--- Rp--- 1 +=

1p---

Rp--- 1 1p---- Rp--- 1 =

np np=

1p---

Rp--- 1 1p---- Rp--- 1 =

dLdx----- 0=

pnn--- 1+ R=

p nn--- 1+ R=

22

Conditions dAbbe et de Herschellpour le dioptre sphrique

On considre le dioptre de lexercice prcdent. Les conditions dAbbe et de Herschelltraduisent la conservation du stigmatisme perpendiculairement et suivant laxe dudioptre.On considre un objet transverse AB dont limage travers le dioptre est AB et un objetAD parallle laxe dont limage travers le dioptre est AD. Les points A et A sontles points de Weierstrass pour le dioptre. Langle (respectivement ) repre langle(AA, AI) (respectivement (AA, AI)).

1. On appelle condition dAbbe la condition pour que le systme, rigoureusement stigmatiquepour A et A, le soit galement pour B et B. crire la condition dAbbe sous la forme dunerelation entre n, n, , , et . On utilisera lexpression du chemin optique entre A etA : , o est le vecteur unitaire portant le rayon incident AI et levecteur unitaire portant le rayon rfract IA et lexpression du chemin optique LB entre B etB, B voisin de A : LB = LA + dL ; on donnera alors une expression de dL.

2. La condition de Herschell est la condition pour que le systme, rigoureusement stigmatiquepour A et A, soit stigmatique pour D et D. crire la condition de Herschell sous la forme dunerelation entre n, n, , , et .

CONSEIL : cet exercice est un peu difficile car il ncessite davoir bien assimil la notion de chemin opti-que. On utilisera le fait que les points A et A sont, par dfinition, des points conjugus, lobjectif tant dedonner une condition pour que des objets tendus au voisinage de A et de A soient galement conjugus.

1. Exprimons le chemin optique LA entre A et A sous forme vectorielle ; on note le

vecteur unitaire portant le rayon incident AI et le vecteur unitaire portant le rayonrfract IA :

Le chemin optique LB entre B et B, B voisin de A, scrit :LB = LA + dL

o dL est la variation de chemin optique lorsque A se dplace en B et A en B, le point

Exercice 11

AB ABL nAI u= nIA u+ u u

AD AD

Solution

u

u

LA nAI u= nIA u+

I i

ASC

i

An n

Bu

B

u


I restant fixe. On a donc . dL scrit :

Le chemin optique entre A et A tant, par dfinition, constant, le chemin optique entreB et B le sera galement si dL est constant quel que soit le point I, cest--dire quels que

soient les vecteurs et . Utilisant les angles et , on a :

La relation est valable quels que soient et ; pour = = 0, on obtient cte = 0, soitla condition dAbbe :

2. On peut reprendre le raisonnement prcdent : le chemin optique LC scrit en fonc-tion du chemin optique LA :

Utilisant les angles et , on a :

La relation est valable quels que soient et ; pour = = 0, on obtient :

.

On a donc

On obtient finalement la condition de Herschell :

( dAI AB) et (dIA AB)==

dL n dAI u n+ dIA u=

dL n AB u n+ AB u=

u u

dL n AB sin n+ AB sin cte==

n AB sin nAB sin=

I

AA

D DC

u

u

LC LA dL+=

dL n dAI u n+ dIA u=

dL n dAD u n+ dAD u=

dL n AD cos n+ AD cos cte==

cte n AD n+ AD=

n AD(1 cos ) nAD(1 cos )=

nACsin2 2--- nACsin2 2---- =

24

Stigmatisme approch dun miroir sphrique

Soit un miroir sphrique de centre C et de rayon R et soit un point source en A sur laxe

du miroir tel que ; un rayon issu du point A se rflchit en I sur le miroir, le

rayon rflchi rencontre de nouveau laxe en A. On note langle (CS,CI) et = r.1. Calculer le chemin optique L entre A et A en fonction de , r et r.

2. Donner une expression approche de L lorsque les points A et A sont proches du centre Cdu miroir (|r|


Le trajet entre A et A ne dpend pas du rayon choisi si, quel que soit , L 2nR (obtenu lordre 0). On en dduit que cette condition peut tre vrifie au premier ordre si :

r + r = 0La condition de stigmatisme approch est donc obtenue pour des couples de points sy-mtriques par rapport au centre C du miroir. On a alors :

MILIEUX DINDICES VARIABLES. MIRAGES

Fibre optique saut dindice

Une fibre optique peut tre schmatise par un cylindre de rvolution daxe Oz, de

rayon R, limite son entre par une section droite de centre O. On note le vecteurdirecteur de laxe Oz. La fibre est constitue dune matire souple dindice n > 1 et bai-gne dans lair. Un rayon lumineux passant par O se propage dans la fibre et rencontre le

bord de la fibre pour la premire fois en I. On note . On note langledattaque du rayon lorsquil rencontre la fibre en O par rapport la normale la sectionde la fibre.

1. Dterminer la condition sur i pour que le rayon soit pig lintrieur de la fibre.

2. En dduire l'angle maximal m.

CONSEIL : un rayon est dit pig dans la fibre lorsquil ne peut pas en sortir ; a priori, lorsque le rayonrencontre le bord de la fibre, il est partiellement rflchi dans la fibre et partiellement rfract hors de lafibre. Le rayon ne sera donc pig que si le rayon est totalement rflchi.

1. Le rayon est pig dans la fibre si aucun rayon n'est rfract dans l'air, cest--dire siles rayons subissent des rflexions totales dans la fibre. Sur le schma ci-dessous, il fautdonc que le rayon OI subisse une rflexion totale en I. Le rayon rencontrera alors toujoursl'interface fibre/air avec le mme angle et subira une rflexion totale tout le long de sapropagation dans la fibre. On garantie ainsi que l'intensit de la lumire envoye dans lafibre est conserve (dans le cas contraire, on constaterait des pertes d'intensit lumineuse chaque rfraction).

L nR 1 r2

R2----+ 2 r

R--- cos 1 r

2

R2----+ 2 r

R--- cos+

=

L nR 2 cosR

---------- (r r ) 12R2------- (r2 r2)++ +

L 2nR O r2 r2+R2

----------- +=

Exercice 13

eZ

(eZ, OI) i=

Solution

26

La condition de rflexion totale en I porte sur l'angle :n sin > 1

o n est l'indice de la fibre. On a par ailleurs dans le triangle OIJ rectangle en J :

La condition de pigeage du rayon se traduit donc sur l'angle i :

n cosi > 1

La fonction cosinus est dcroissante sur [0 ; ], l'ingalit est donc inverse lorsque lon

applique la fonction arccos lingalit et on a :

i < arccos (1/n)2. l'entre dans la fibre, on a : sin = n sinisoit,

sin2 = n2 sin2i = n2 (1 cos2i)Daprs la condition de pigeage, n cosi > 1, on a :

n2 cos2i < 1Soit finalement : sin2 < n2 1Do langle maximal m:

Fibre optique indice continment variable

On assimile une fibre optique un cylindre de rvolution constitu dun milieu dindicevariable n. Le milieu prsente une symtrie cylindrique autour de laxe Oz de la fibre.On repre lespace en coordonnes cylindriques (r, , z). Lindice dpend donc unique-ment de la distance r laxe : n = n(r).

I

i

JO

2-- i=

n 2-- i sin 1>

2--

arc ( n2 1 )sin< m=

Exercice 14


Soit un rayon lumineux qui se propage dans la fibre et s labscisse curviligne le long dece rayon.

1. Montrer que la trajectoire admet deux invariants : et .

2. Dcrire la propagation des rayons mridiens (b = 0) et des rayons obliques (b 0). Justifierces dnominations.

3. La fibre est caractrise par la rpartition dindice n(r) suivante : n(r) est variable pour r Ret gal 1 pour r > R, R tant le rayon de la fibre. On dit quun rayon est guid sil ne peutpas sortir de la fibre. Exprimer par une relation entre R, a et b la condition de guidage dans lafibre.

CONSEIL : le problme trait est identique celui de lexercice prcdent mais le traitement mathmati-ques est trs diffrent. On considre ici un indice continment variable n(r) de sorte que la trajectoire desrayons est continment modifie par la variation dindice. Il faut considrer lquation de propagation desrayons lumineux et lexprimer en coordonnes cylindriques, adapte la gomtrie de la fibre ; partir decette relation, on obtient les invariants a et b (le calcul nest pas facile).

1. Reprenons lquation de propagation des rayons lumineux ,

note (1). n ne dpend que de r donc la loi de variation de n = n(r) donne

. Effectuons le produit scalaire de lquation de propagation des rayons

lumineux par le vecteur , il vient :

Or

On a donc . tant constant, on peut le rentrer dans la drive, do :

On en dduit que la quantit est constante.

Exprimons maintenant le vecteur en fonction de la position du rayon (repre en coordonnes cylindriques) :

On a finalement : , o a est une constante.

a ndzds-----= b nr2d

ds----=

Solution

dn(u)ds

----------- grad(n)=

grad(n) dndr-----ur=

uZ

d(nu)ds

----------- uZ grad(n) uZ=

grad(n) uZdndr-----ur uZ 0= =

d(nu)ds

----------- uz 0= uz

d(nu)ds

----------- uZd(nu uZ )

ds------------------- 0= =

nu uZ

u

u dMds

------- drds---- ur r dds----- u

dzds----- uZ+ += =

nu uZ ndzds----- a= =

28

Reprenons lquation de propagation des rayons et remarquons que :

On a donc, en effectuant le produit scalaire par . Remarquons alors que :

car

On a donc :

Par suite, on a , et en rentrant nouveau dans la drive, on en d-

duit que est constant.

La composante suivant z du vecteur scrit , do on dduit le second

invariant : , o b est une constante.

2. Les rayons mridiens vrifient , soit constante. Les rayons se dplacent

dans un plan mridien. Les rayons obliques sont tels que garde un signe cons-

tant. Ces rayons senroulent autour de laxe Oz.

3. Un rayon lumineux est pig dans la fibre si, lorsquil parvient sur la surface, en r = R,il subit une rflexion totale. Le rayon est rflchi si la loi de Descartes pour la rfraction(conservation de la composante tangentielle de n la traverse de linterface) ne peutpas tre satisfaite, soit, avec la normale linterface sur la surface de la fibre, si :

Or , la condition de rflexion totale

scrit donc :

On reconnat les constantes , do la condition sur R, a et b :

r grad (n) (r ur z uZ)+= dndr----- ur z dndr

----- u=

uZ : (r grad (n)) uZ 0=

dds----(r nu) dr

ds---- nu r d(nu)

ds----------- r d(nu)

ds-----------=+=

drds---- nu u nu 0= =

r grad (n) r= d(nu)ds

----------- dds----(r nu) zdn

dr-----u=

dds----(r nu) uZ 0= uZ

(r nu) uZ

(r nu) r2dds-----

nr2dds----- b=

nr2dds----- 0=

dds----- b

nr2-----=

uur

n(R) u ur 1>

u ur drds----ur rdds-----u

drds----

uZ+ + ur r dds-----uz dzds-----u+==

R2 n (R) dds-----

2

n (R) dzds-----

2

1>+

a dzds-----

= et b n= r2dds-----

b2

R2---- a2+ 1>


quation des rayons lumineux dans un milieunon homogne. Mirage

Soit un milieu non homogne isotrope, dindice n(M) variable continment selon la po-sition du point M considr. Un mme rayon lumineux passe par M et M, point infi-niment voisin de M. Soit le vecteur unitaire tangent en M au rayon lumineux etd(n ) le vecteur accroissement du vecteur n entre M et M.

1. Justifier que d(n ) est parallle .

2. Montrer que , o s est labscisse curviligne le long du rayon.

3. Montrer que la trajectoire dun rayon lumineux dans un milieu non homogne est identique

la trajectoire dune particule de vitesse et subissant une acclration dont ondonnera lexpression en fonction de v0 et n. On prendra v0 constante.

En t, lair au contact du sol est plus chaud quen altitude et il y a apparition dun gra-dient dindice. Pour dcrire ce phnomne, on prend un gradient dindice telque soit constant et non nul, et quil soit vertical et orient vers le haut. 4. Montrer que, dans certaines conditions, il existe deux rayons lumineux allant dun point A un point B. Peut-on parler de mirage ?

CONSEIL : cet exercice est difficile. Il sagit de travailler sur lquation donnant la trajectoire dun rayonlumineux en milieu dindice continment variable.

1. est, par dfinition, perpendiculaire aux surfaces iso-indices ou iso-n (ensem-ble des points auxquels est associe une mme valeur de n). Considrons que M et Mappartiennent deux milieux dindice n(M) et n(M), spars par une couche (interface)

dans laquelle n varie de n(M) n(M). La normale linterface est colinaire

puisque n ne varie que dans linterface dpaisseur d.

Par ailleurs, les lois de loptique gomtrique traduisent la continuit de la composante

tangentielle du vecteur . On a donc : n(M) (M) n(M) (M) = a , o a est uneconstante. Cette relation reste valable lorsque M et M sont sur la couche dpaisseur d,soit lorsque le milieu est inhomogne.

Exercice 15

uu u

u grad n

d(nu)ds

------------ grad n=

v v0 nu( )= a

grad (n2)

Solution

grad(n)

N

grad(n)

NM

M

d

nu u u N

30

Par ailleurs, lorsque M et M sont infiniment voisins, on a n(M) (M) n(M) (M)

= d( ) ; on a donc d( ) parallle . Il vient finalement d( ) et parallles.

2. tablir la relation revient chercher la constante de proportionna-

lit entre d( ) et qui sont parallles, comme nous lavons montr. Soit b cette

constante :

Avec et en multipliant lgalit par ds

= = , il vient :

avec . = 1 , .d = 0 et . ds = dn, on a ds = b.On en dduit finalement lquation de propagation des rayons :

3. On assimile le rayon lumineux une particule de masse m et de vitesse . Son

acclration scrit :

en utilisant lquation de propagation des rayons et la dfinition de la vitesse :

. On obtient finalement :

Poursuivons lanalogie avec la mcanique classique et cherchons lquation de la trajec-toire du ou des rayons qui, issus dun point objet A, arrivent au point B (o lil se trou-

ve). Le gradient dindice est tel que soit constant, soit n 2(y) = ay + b, o y dsigne

la coordonne suivant un axe vertical ascendant (avec a > 0), de sorte que et par suite :

Intgrons cette quation (deux fois) :

u u

nu nu N nu grad(n)

d(nu)ds

----------- grad(n)=

nu grad(n)

d(nu) b grad(n)=

d(nu) dn u ndu+= d(nu) b grad(n)= u

MM dM

dn u uds ndu uds+ b grad(n)uds=

u u u u grad(n) u

d(nu)ds

----------- grad(n)=

v v0nu=

dvdt----- dv

ds----- ds

dt---- v0

d(nu)ds

-----------v0n v 02 ngrad(n)= = = =

dsdt----

v v0n= =

v 02 ngrad(n) v 02

2-----grad(n2)= =

grad(n2)

grad(n2) aj=

v 02

2-----aj=


o vA est la vitesse du rayon en A, langle quelle forme avec laxe A et (x,y) repre latrajectoire du rayon lumineux. liminons le temps pour donner lquation de latrajectoire :

Remarquons que et que A tant lorigine du repre, on a nA2 = b, de sorte que

lquation de la trajectoire scrit :

4. La condition pour que le rayon lumineux issu de A arrive en B de coordonnes (X,Y)est quil existe au moins une valeur de langle telle que :

Cette quation admet des solutions pour tan (et donc pour ) si :

Soit si :

Lgalit donne lquation de la parabole de scurit de sommet tour-

nant sa concavit vers les y > 0. Pour tous les points dans la concavit de cette parabole, il existe deux rayons issus de A et parvenant au point B. Lil en B pourra donc voir deux images de A (aucune ne correspondant la position relle de A) ; en ce sens, on peut parler de mirage.

vvA cos

v 02

2-----at vA sin+

et xy

vA cos t

v 02

4-----at

2 vA tsin+==

i

y v 02

4vA2

2cos------------------- x2 xtan+=

v 02

vA2-----

1nA

2-----=

y a4b 2cos----------------x2 xtan+=

Y a4b 2cos----------------X 2 tan X+ + aX

2

4b------- 2tan X+ tan aX

2

4b------- Y 0=+=

X 2 4 aX2

4b------- aX

2

4b------- Y 0

Y a4b----X 2 ba--

xs 0, ysba--

= =

33

C h a p i t r e

2

Dioptres dans lapproximationde Gauss

Les Grecs voit dans larc-en-ciel lcharpe dIris, messagre des dieux la ceinturemulticolore , dont la fonction est de mettre en relation le Ciel et la Terre. Selon la Bible, larc-en-ciel est le sceau appos au contrat fait par Dieu No en recon-naissance du travail accompli et en signe de promesse quil ny aura jamais plus de dluge.Si aujourdhui, larc-en-ciel continue apparatre, cest justement pour rappeler cette pro-messe. En Inde, larc-en-ciel, lien entre le monde des hommes et celui des dieux, est symbolispar des rinceaux termins par des ttes de monstres marins (makara). Dans les anciennes croyances nordiques, on trouve larc-en-ciel divinis sous le nom deBifrost, pont qui mne du monde des hommes celui des dieux.

La mythologie de larc-en-ciel

Un peu dh is to i re

34

Rappel de cours

1. R

ELATIONS

DE

CONJUGAISON

DES

DIOPTRES

1.1. Dioptre plan

La relation de conjugaison dun dioptre plan, ddui-te des lois de Descartes ou du principe de Fermat,scrit dans lapproximation paraxiale :

Le grandissement transverse du dioptre plan estgal 1.

1.2. Dioptre sphrique

La relation de conjugaison dun dioptre sphrique peut sexprimer avec diffrentes origi-nes.- origine au sommet :

- origine au centre :

- origine aux foyers :

avec

Le grandissement transverse est donn par :

A A O

n nOA

n------- OA

n--------- 0=

nSA------ n

SA------- n n

SC----------=

nCA-------- n

CA------- n n

CS----------=

FA FA FS FS=

SF nn n----------SC et SF n

n n----------SC==

A

n>n

C F SA

n

n

ABAB--------- nSA

nSA---------- CA

CA-------- FS

FA------ FA

FS---------= = = ==

2. DIOPTRES DANS LAPPROXIMATION DE GAUSS

35

1.3. Relations du prisme

Les formules du prisme scrivent :

La dviation

D

passe par un minimum

D

m

= 2 arcsin(

n

sin( ))

A

lorsque

r

=

r

= .

A r r+=D i i A+=

A2--- A

2---

A

r ri

D

i

n nair = 1

36

Exercices

D

IOPTRES

PLANS

Translation par une lame faces parallles

Une lame de verre dindice

n

et dpaisseur

e

est plonge dans lair. Un rayon arrive danslair sur la lame avec un angle dincidence

i

par rapport la normale la lame. On rap-pelle que sin (

a

b

) = sin

a

cos

b

sin

b

cos

a

.

1. Montrer que le rayon mergeant de la lame est parallle au rayon incident.

2. Calculer la distance entre ces deux rayons, note

d

, en fonction de

e

,

i

et

n

.

CONSEIL :

la difficult de cet exercice rside dans la mise en forme du problme pos. Ainsi, dans la pre-mire question, il faut traduire la condition de paralllisme de deux droites, le plus simple tant de reprer,par exemple, la direction des droites par langle quelles font avec la normale linterface : ds lors, deuxdroites (deux rayons) sont parallles si elles forment le mme angle avec une direction donne. Dans laquestion 2, on demande de calculer la distance entre deux droites (ou deux rayons) parallles : cette distan-ce correspond la longueur du segment qui les coupent perpendiculairement.

1.

Reprsentons sur un schma le chemin du rayon (en traits pleins) travers la lame. Le rayon arrive en I sur la lame avec un angle dincidence gal

i

. Il est rfract dans lalame avec un angle

r

suivant la loi de Descartes : sin

i

=

n

sin

r

.Le rayon se propage dans la lame et arrive en J linterface (dioptre plan) verre/air aveclangle dincidence

r

et est rfract dans lair avec un angle

i

suivant la loi de Descartes :

n

sin

r

= sin

i

Les deux relations donnent sin

i

= sin

i

, soit pour des angles aigus :

i

=

i

Le rayon mergeant de la lame est parallle au rayon incident.

2. On cherche la distance d entre les deux rayons parallles, le rayon incident et le rayonmergent. En absence de lame, le rayon suit la trajectoire IK (en pointill) ; en prsencede la lame, il sort suivant JJ, translat par rapport sa direction initiale II. La distanceentre le rayon non dvi IK et le rayon dvi par la lame JJ est d = JK.

Exercice 1

Solution

J

di

r

ri-r

e

i

IH

K

I

J

2. DIOPTRES DANS LAPPROXIMATION DE GAUSS 37

d est calcul dans le triangle IJK, rectangle en K :

d = JK = IJ sin(i r).

Par ailleurs, dans le triangle IJH rectangle en H, on a :

On limine r de cette expression :

On a donc :

Distance apparente dun poisson dans un aquarium

Un observateur regarde un poisson nager dans un aquarium contenant de leau dindice

n = . Le poisson se trouve la distance h = 20 cm dune des faces de la vitre. On n-

gligera dans les calculs lpaisseur de la paroi de laquarium. 1. quelle distance h de la vitre lobservateur voit-il le poisson ?

2. Dterminer le rapprochement relatif .

CONSEIL : pour rsoudre ce problme, il faut bien comprendre ce que signifie voir un objet pour unobservateur. Dans lair, un observateur voit les objets lendroit o ils sont vraiment ; en effet, le cne lu-mineux, form des rayons mis par lobjet, arrive lil qui localise lobjet au sommet du cne. Pour-quoi nest-ce pas le cas lorsque lobservateur est dans lair et lobjet est dans leau ? Parce que dans ce cas,il existe une interface (dioptre) entre les deux milieux. Les rayons lumineux mis par lobjet et arrivant lobservateur sont donc dvis par linterface ; le cne lumineux arrivant lobservateur a son sommet enun point diffrent du point objet et lil voit lobjet en ce point. Autrement dit, lobservateur voit lobjet un point qui correspond en fait limage gomtrique de lobjet travers le dioptre.

1. La figure ci-dessous reprsente deux des rayons issus du poisson et arrivant lil.Le rayon issu du poisson en P arrive en incidence normale la paroi de laquarium (diop-tre eau/air). Il est rfract dans lair sans tre dvi (rayon PO). Un rayon incident en Iavec un angle i est rfract dans lair avec un angle r tel que :

n sini = sinr

IJ HIrcos--------e

rcos--------= =

d e (i r)sinrcos-----------------

e isin rcos rsin icosrcos-------------------------------------------

= =

rcos 1 r2sin n2 i2sin

n--------------------= =

d e isin isin

n2 i2sin------------------------- icos e i n

2 i2sin icos

n2 i2sin---------------------------------sin= =

Exercice 2

43--

h hh

------------

Solution

38

Lil reoit un faisceau conique divergent de sommet P, image du poisson en P traversle dioptre. Lil voit le poisson en P. La distance apparente h de P la paroi de laqua-rium est calcule en utilisant les triangles OIP et OIP:Dans le triangle OIP, langle (OPI) = i, donc h tani = OIDans le triangle OIP, langle (OPI) = r, donc h tanr = OIDans lapproximation des faibles angles, sini tani i. On a donc :

Finalement, on obtient :

Remarquons que nous pouvions utiliser directement la relation de conjuguaison du diop-tre plan.2. Le rapprochement relatif est donc gal :

.

Pche au poisson

Un enfant essaie dattraper un poisson rouge dans un aquarium. Il dispose dun cerceaude diamtre AB, muni dune tige, dont la longueur immerge SA est de 15 cm de long,et qui est prolonge par un filet comme lindique la figure.

chaque tentative, il dplace le cerceau horizontalement donc la longueur de tige im-merge est toujours de 15 cm. Lenfant sait que limage du poisson est plus proche de la

P OP

r

i

i r

I

n nair = 1

nOIh

-------- OIh

------=

h hn-- 15cm= =

R h hh

---------- n 1n--------- 25 %= = =

Exercice 3

S

A

B

P


surface de leau que la position relle du poisson. Il en conclut que sil voit limage dupoisson 15 cm au-dessous de la surface de leau, il sera certain de lattraper et effectue

donc une tentative de capture. Lindice optique de leau est n = .

1. quelle distance de la surface de leau le poisson se trouve-t-il rellement lorsque son ima-ge est vue 15 cm de la surface de leau ?

2. Quel doit tre le diamtre minimal du cerceau pour que lenfant russisse son opration ?

CONSEIL : ce problme est, dans lesprit, identique au prcdent. On suppose que lenfant plonge sa tige,non pas la profondeur laquelle le poisson est rellement mais la profondeur laquelle il le voit ,cest--dire lendroit de limage du poisson travers le dioptre eau/air.

1. Daprs lexercice prcdent, si on note h la distance du poisson la surface de leau, la

distance h de limage P du poisson la surface scrit : .

On a donc h = nh = 20 cm.2. Lenfant se repre par rapport limage P du poisson. Lorsque h = 15 cm, il tente dat-traper le poisson en P. Pour que sa pche soit fructueuse, il faut que le cerceau ait un dia-mtre D suprieur (h h) (voir figure). On a donc :

D > h h = 5 cm.

Objet accol une lame de verre

On observe un objet ponctuel A travers une lame de verre faces parallles dont lin-dice de rfraction est n et lpaisseur e. Lobjet A est en contact avec un bord de la lame.On suppose les angles rfracts et rflchis petits. On rappelle que si les angles sont sup-poss petits alors sini tani i.1. Faire une construction gomtrique.

2. O se forme le point A par rapport A ?

CONSEIL : cet exercice ne pose pas de difficult majeure. Il sagit de dterminer limage dun objet traversune lame faces, cest--dire une succession de deux dioptres. Petite astuce : lobjet est accol la lame,

43--

Solution

h hn--=

S

A

B

P

Ph

hD

D >h-h, le poisson sera attrap

Exercice 4

Solution

40

de sorte que tout se passe comme si lobjet tait dans un milieu dindice n, la distance e du dioptre spa-rant le milieu dindice n de lair. On se ramne ltude de limage dun objet travers un seul dioptre etnon deux comme on pourrait le croire en premire lecture.

1.

2. Le rayon AO merge dans lair dindice gal 1, on crit donc la relation entre les an-gles dincidence et de rfraction :

n sini = sinr

Dans lapproximation des faibles angles, ni r. Calculons la distance AA et pour celaposons d =OO.

Dans le triangle OOA,

Dans le triangle OOA,

Pour de faibles angles, on obtient .

Do

e AA

On trouve finalement :

La position du point A face lobservateur est avance par rapport au point A.

Image dun objet travers deux liquides

Une cuve contient une couche deau de 20 cm dpaisseur et dindice 1,33 et une couchede benzne dpaisseur 10 cm et dindice 1,48 (on suppose les deux liquides non misci-bles).

ri

e

A O

r

Oi

n 1

A

itan de--=

rtan de AA--------------=

i de-- et rd

e AA--------------

dr-- d

ni----

en--

AA e 1 1n-- =

Exercice 5


Un observateur dont lil est 25 cm au-dessus de la surface libre du benzne regardepresque verticalement un petit objet A, au fond de la cuve. On rappelle que leau est plusdense que le benzne.1. Tracer la marche dun pinceau lumineux issu de A.

2. quelle distance lobjet A parat-il tre de lobservateur ?

CONSEIL : cet exercice est, dans lesprit, identique au prcdent : il sagit de dterminer limage dun objet travers une succession de deux dioptres.

1. Leau tant plus dense que le benzne, le benzne se situe donc au-dessus de leau.Limage du point A par le dioptre eau/benzne est note A. Limage dfinitive A de A travers le systme form des deux liquides est limage de A par le dioptre benzne/air.On note n1 lindice de leau, n2 lindice du benzne et n3 lindice de lair (pris gal 1).Traons la marche dun rayon issu de A travers le systme. chaque interface, on ap-plique la loi de rfraction de Descartes.

2. Dans le triangle AIO1, on a .

Dans le triangle AIO1, on a .

Lobservateur est la verticale de lobjet A, donc les rayons lui parvenant font un anglefaible avec la verticale et lon peut se placer dans lapproximation des faibles angles. Onpeut alors crire tani sini. La loi de Descartes pour la rfraction du rayon incident surlinterface eau/benzne scrit : n1 sini1 = n2 sini2 ; on a donc :

Soit :

On retrouve, bien sr, la formule de conjuguaison pour le dioptre eau/benzne.

Solution

O

O1

O2

benzne

eau

i2

i1

i3

i2

i1

i3

a

b

d

A

A

A

i1tanO1IO1A---------=

i2tanO1I

O1A----------=

n1 O1IO1A--------- n2

O1IO1A----------

n1O1A---------

n2O1A----------

42

Le mme raisonnement sapplique pour lobjet A qui donne, travers le dioptre benzne/

air limage A. Dans le triangle AJO2, on a et dans le triangle AJO2, on a

La loi de Descartes pour la rfraction du rayon incident sur linterface eau/benzne scritn2 sini2 = n3 sini3 ; on a donc :

Soit

La distance apparente laquelle lil voit limage de A travers les deux liquides est ladistance . On a :

Il vient finalement :

Avec a = 20 cm, b = 10 cm, d = 25 cm, n1 = 1,33, n2 = 1,48 et n3 = 1, on calcule :

.

Tige partiellement immerge dans leau

Une tige rectiligne est partiellement immerge dans leau (n = 1,33). Elle fait un angle = 45 avec la surface libre du liquide. Montrer quun observateur situ au-dessus de leau et regardant presque verticalement voitlimage de la partie immerge de la tige faisant un angle avec la surface libre de leau. Cal-culer .

CONSEIL : cet exercice consiste dterminer simplement limage de la partie immerge de la tige traversle dioptre eau/air. Si on sait dterminer limage dun point objet, il faut se demander quelle est la forme delimage dun segment. Deux mthodes de rsolution sont possibles pour rpondre cette question : la pre-mire mthode consiste considrer limage de chaque point du segment (un point du segment est reprpar y = x tan, si x est lhorizontale et y la verticale) ; la seconde, que nous proposons ici, consiste admet-tre que limage dun segment [AB] est un segment [AB], o A est limage de A et B limage de B. Biensr, nous vous encourageons vrifier cette proprit en optant pour la premire mthode !

i2tanO2J

O2A----------=

i3tanO2J

O2A-----------=

n2 OJO2A---------- n2

O2JO2A-----------

n2

O2A----------

n3

O2A-----------

OA

OA OO2 O2A+ OO2n3n2--- O2A+= =

OA OO2n3n2---(O2O1 O1A)+ OO2

n3n2--- O2O1

n2n1---O1A+ .+=+=

OA dn3n2---b

n3n1---a+ +=

OA dn3n2---b

n3n1---a+ + 46 8cm,= =

Exercice 6

Solution


Considrons la partie AB immerge de la tige. Lobservateur dans lair ne voit pas ABmais AB, image de AB travers le dioptre eau/air. A tant sur le dioptre, il concide avecson image A. La construction de B se fait en traant le chemin de deux rayons issus deB et parvenant lil : le rayon BH1B1 perpendiculaire la surface libre nest pas dviau passage du dioptre et le rayon BH2B2 subit une rfraction suivant la loi de Descartes :n sini = sinr.

On remarque alors que :

- dans le triangle BH1H2,

- dans le triangle BH1H2, .

Dans lapproximation des faibles angles, tanr sinr et tani sini, do :

Par ailleurs, on a :

- dans le triangle BAH1,

- dans le triangle BAH1, .

On a donc finalement :

A.N. = 37.

la pche

Un flotteur de pche est form dun disque de rayon R au centre duquel on plante unclou de longueur h. Le disque est plac dans leau, dindice n = 1,33 (le clou est immer-g). quelle condition le clou est-il invisible pour un observateur dans lair ?

B

B

A=A

B1 B2

H1 H2r

i n

ir

BH1H1H2

itan----------- ;=

BH1H1H2

rtan-----------=

BH1BH1

n---------=

tan BH1AH1---------;=

tan BH1AH1----------=

tan tann

----------=

Exercice 7

44

CONSEIL : cet exercice comprend une difficult : il faut traduire lnonc et comprendre ce que signifie, entermes de rayons lumineux, le fait que le clou soit invisible par un observateur situ dans lair.

Le clou met des rayons lumineux ; si un rayon lumineux mis par le clou parvient lilde lobservateur, alors le clou sera visible. Pour que cela ne soit pas le cas, il faut quaucunrayon mis par le clou ne parvienne lil. Comment cela est-il possible ? Comment unrayon, mis par un point dans leau vers la surface de leau, peut ne pas traverser la surface,cest--dire ne pas atteindre lil ? Il faut bien sr que tous les rayons mis par le clousoient rflchis par la surface (dioptre eau/air). Sil ny avait pas le disque flottant, cela neserait pas possible (il suffit de remarquer que le rayon arrivant en incidence normale lasurface de leau est toujours rfract dans lair) ; ici, les seuls rayons qui peuvent tre r-fracts dans lair sont ceux qui ne rencontrent pas le disque (les autres sont rflchis ouabsorbs par le disque). Cest donc sur ces rayons quil faut mener le raisonnement et tra-duire la condition de rflexion totale.Le clou est totalement invisible ds que lon ne voit plus son extrmit. Un observateurdans lair verra lextrmit T du clou si les rayons issus de T sont rfracts dans lair (b).Le cas contraire correspond la rflexion totale des rayons incidents sur le dioptre eau/air : dans ce cas, lil ne reoit aucuns rayons issus de T (a). Remarquons que le rayon issu de T et rencontrant linterface en I, extrmit du disque,joue un rle particulier : cest le rayon arrivant linterface avec langle dincidence mini-mum. Ceux qui arrivent entre O et I sont absorbs par le disque, ceux qui arrivent droitede I ont un angle dincidence suprieur. Si le rayon TI est totalement rflchi (i > ic), ilen est donc de mme pour tous les rayons issus de T. En revanche, si le rayon issu de Test rfract dans lair (i < ic), il existe un faisceau de lumire issu de T, compris entre TIet TJ, qui est rfract dans lair.

Lobservateur voit le clou si TI est rfract, ce qui se traduit par une condition surlangle i = (OTI) :

n sini < 1Dans le triangle OTI, on a :

La condition scrit finalement :

.Donc le clou sera totalement invisible si sa longueur h est telle que :

.

Solution

O

Ti>ic

FlotteurAir I

Eau

O

Ti

h R n2 1+


Position du Soleil vu par un poisson

Les rayons du Soleil couchant viennent frapper la surface dun lac sous une incidencegale 90. On assimile lair au vide dindice gal 1 et on prend lindice de leaun = 4/3. Un faisceau troit de rayons est reu par un poisson.1. Quelle est pour un poisson dans le lac la direction apparente du Soleil qui se couche ?

2. Existe-t-il une position du Soleil pour laquelle sa direction apparente pour le poisson con-cide avec sa direction relle ?

CONSEIL : cet exercice ne pose pas de difficult majeure. Les rayons lumineux mis par le Soleil couchant(dans lair) sont parallles la surface de leau du lac, qui constitue un dioptre air/eau. Ces rayons sont doncrfracts dans leau avec un angle de rfraction qui correspond, pour un observateur dans leau (le poisson !) la direction apparente du Soleil.

1. Le faisceau parallle rasant est rfract dans leau. Langle de rfraction r satisfait la re-lation de Descartes :

Pour le poisson, le faisceau parallle semble provenir dune direction faisant un angler = 48,6 avec la verticale.2. Le poisson voit le Soleil dans la direction relle si i = r, i tant langle dincidence desrayons issus du Soleil. Avec sini = n sinr, cette condition nest vrifie que si i = r = 0,cest--dire lorsque le Soleil est au znith dans lhmisphre Nord, au nadir dans leSud.

Exercice 8

Solution

2--sin 1 n rsin= =

rsin 34--=

n r

1

46

DIOPTRES SPHRIQUES

Grandissement dun dioptre sphrique

Un poisson se trouve dans un bocal suppos sphrique et dont lpaisseur est nglige.On note C le centre de ce dioptre sphrique eau/air et R son rayon. Un observateur enO dans lair examine le poisson qui se dplace sur laxe CO du bocal. On donne

n(eau) = .

1. Exprimer le grandissement transverse (x) en fonction de x, n et R, lorsque le poisson setrouve la distance x de la paroi du bocal (x est mesur sur laxe CO).

2. Tracer la courbe de variation de (x). Peut-on voir le poisson invers ?3. Quelles sont les positions extrmes de limage du poisson ?

CONSEIL : cet exercice est une application directe du cours : il sagit dtudier le grandissement par undioptre sphrique, lobjet tudi tant un poisson P (et son image P travers le dioptre sphrique que cons-titue un bocal).

1. Le grandissement scrit : . Exprimons en fonction de = x. Avec

R = et en appliquant la relation de conjugaison dun dioptre sphrique avec origineau sommet, on obtient :

Soit :

On en dduit le grandissement (x) :

2. La position du poisson est compri-se entre 2R < x < 0.

De plus 1 > 0. La courbe (x) d-crot de ( 2R) = 2 (0) = 1. Lepoisson est toujours vu lendroit ;plus il est prs de lobservateur, plus ilest vu avec sa taille relle.

Exercice 9

34--

Solution

n SPSP-------= SP SP

CS

nSP----- 1

SP------- n 1

SC--------- 1 n

R---------= =

SP 1nx-- 1 n

R---------

----------------=

(x) 11 1 1

n-- xR---+

------------------------=

2

1-2 0

x

1,5

-1xR

1n--


3. On a .

Lorsque , on a : .

Lorsque x = 0, on a .

Le poisson semble bouger entre la paroi la plus proche de lil ( ) et une paroidistante de 3R derrire cette paroi.

Dviation par une goutte deau

Un rayon lumineux monochromatique pntre dans une sphre homogne transparentedindice n >1 et merge aprs stre rflchi une fois lintrieur de la sphre.1. Dterminer la dviation D du rayon en fonction des angles i et r dincidence et de rfraction.

2. Montrer que cette dviation passe par un extremum Dm et dterminer langle dincidenceim correspondant cet extremum.

CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult particulire. Il sagit dtudier la trajectoire dun rayonlumineux dans une goutte deau : le rayon dans lair entre dans la goutte deau (rfraction par un dioptresphrique air/eau), se rflchit une fois dans la goutte (rflexion sur un dioptre sphrique eau/air) et ressortde la goutte (rfraction par un dioptre sphrique eau/air).

1.

Suivons le trajet optique du rayon dans la goutte : aprs la rfraction en A, la dviationscrit D1 = i r ; aprs la rflexion en B, D2 = 2r ; enfin, la dernire rfraction en Cconduit une dviation D 3 = i r . La dviation totale D scrit comme la somme desdviations successives :

D = (i r ) + ( 2r ) + (i r ) = 2i 4r + .2. D ne dpend que de i et r . Or, r est reli i par la loi de la rfraction donc D ne dpendque de la seule variable i. Le minimum de D en fonction de langle dincidence i corres-

pond la valeur de i pour laquelle sannule en changeant de signe. Calculons la dif-

frentielle dD :dD = 2di 4dr

SP SPn-----=

x 2R, 2== SP 2 ( 2R )43--

------------ 3R= =

SP 0=

SP 0=

Exercice 10

Solution

D2

D3C

r

i

B

A

i

D1

rr

D

dDdi------

48

On cherche exprimer dD uniquement en fonction de di. En drivant la relation de Des-cartes pour la rfraction sini = n sinr, nous obtenons :

cosi di = n cosr dret donc :

Le minimum est donc atteint quand = 0, donc pour im tel que :

n cosrm = 2 cosim.

Avec par ailleurs : n2 cos2 rm = n2 (1 sin2 rm) = n2 sin2 im on obtient :

n2 + cos2 im 1= 4 cos2 im.

Soit

.

Larc-en-ciel

Descartes explique la forme de larc-en-ciel dans le Discours de la mthode (1637) en rai-sonnant sur une seule radiation, le rouge. Soit AB la direction des rayons mis par lesoleil, le faisceau de rayons tant suppos parallle. Un rayon du faisceau rencontre enB une gouttelette deau ; il y a rfraction en B, puis rflexion en C, le rayon sort finale-ment en E et parvient en F lobservateur : lobservateur voit la radiation rouge dansune direction faisant un angle avec celle des rayons incidents (AB) .

1. Pourquoi Descartes ne considre-t-il pas la rfraction du rayon en C ? Exprimer langle en fonction de la dviation D.

2. Langle sous lequel la couleur rouge est vue par lobservateur correspond au minimumde dviation. Expliquer.

3. En gnralisant en 3D le raisonnement de Descartes deux dimensions, retrouver la formede larc vu par lobservateur.

dD 2di= 1 2 icosn rcos-----------

dDdi------

i2 mcosn2 1

3----------=

Exercice 11

D

Cr

i

F

B

A

E

Direction AB


La lumire du soleil contient toutes les longueurs donde du spectre visible, du bleu aurouge. Par ailleurs, lindice optique de leau dpend de la longueur donde de la radiationconsidre : il dcrot lorsque la longueur donde augmente (loi de Cauchy).4. Sachant que la longueur donde du rouge est plus grande que celle du bleu, retrouver lordredes couleurs observes sur un arc-en-ciel. On admettra que le minimum de dviation est ob-tenu pour le mme angle dincidence im et ce quelle que soit la longueur donde.

5. Au-dessus de cet arc-en-ciel, dit primaire, on observe parfois un autre arc, dont lordre descouleurs est invers, appel arc-en-ciel secondaire. quel cheminement des rayons lumineuxce second arc correspond-il ?

6. Calculer la dviation dun rayon qui contribue larc secondaire et retrouver linversion delordre des couleurs.

1. Il y a bien sr une rfraction en C, cest--dire quune partie de la lumire sort de lagoutte ; cependant, une autre partie est rflchie et poursuit son chemin jusqu E. En E,une partie de la lumire est nouveau rfracte, une autre rflchie, etc. Descartes ne con-sidre pas la lumire rfracte en C car elle ne peut pas donner lieu un arc-en-cielobservable : en effet, pour recevoir cette lumire, lobservateur devrait faire face au soleil.Il recevrait alors, en mme temps que cette lumire, celle, directe et plus intense, du soleil.Langle sous lequel lobservateur voit la radiation scrit = D.2. Suivant la position du point B sur la goutte, la valeur de langle dincidence i prend tou-tes les valeurs entre 0 et . Une mme radiation sort donc de la goutte avec galementtoutes les valeurs de dviations possibles ce qui revient dire que cette radiation est visiblepour lobservateur sous tous les angles possibles ! Pour comprendre la formation delarc-en-ciel, il faut raisonner sur lintensit de la lumire reue par lobservateur : lors-quun rayon arrive sur la goutte en B avec une incidence quelconque, il sort avec une in-cidence D(i) a priori trs diffrente de celle, D(i), dun rayon incident en B voisin de B :dans la direction (i), la radiation est donc visible mais de faible intensit puisque seul lerayon provenant de B contribue son intensit. En revanche, lorsquon se place au mini-mum de dviation, par dfinition, D(im) et D(i) sont trs voisins et tous les rayons au voi-sinage de B contribuent lintensit de la radiation pour une observation dans la direction(im) correspondante. 3.

Le plan de coupe de Descartes est construit en utilisant la direction des rayons inci-dents (AB) et le point F qui dfinit lobservateur. Autrement dit, ce plan nest pas unique

Solution

Rayons incidents

F

Direction AB

50

puisque lon peut dplacer la direction autour de lobservateur : on reconstruit ainsila forme de larc.

4. Pour retrouver lordre des couleurs delarc-en-ciel, il faut trouver la loi de variationde (), tant entendu que langle dinciden-ce considr est celui du minimum de dvia-tion (suppos commun toutes les longueurdonde). Avec = D = 4r 2i, la varia-tion de avec n dpend du signe de

. La relation de Descartes donne

sini = n sinr. En diffrentiant cette expres-sion, on a sinr dn + n cosr dr = 0, soit :

.

On en dduit que diminue lorsque n augmente, cest--dire lorsque diminue. Lerouge est vu sous un angle plus grand que le bleu : il parat plus haut dans le ciel.

5. Larc-en-ciel secondaire correspond deux rflexions dans la goutte.

6. En suivant le trajet du rayon, on a D1 = D4= i r et D2 = D3 = 2r, on en dduitD = 2 + 2i 6r. Par convention, on choi-sit, pour mesurer la dviation, langlecomplmentaire D :

D = 2 D,soit

D = 6r 2iLes couleurs de larc-en-ciel secondaire sontvues sous un angle = D = + 2i 6r.On a donc cette fois :

On en dduit que augmente lorsque n augmente. Le rouge est vu sous un angle pluspetit que le bleu : il parat plus bas dans le ciel.Les arcs-en-ciel secondaires sont beaucoup plus difficiles observer que les arcs primai-res. En effet, il sont causs par des rayons ayant subis deux rflexions et deux rfractionsdans une goutte deau (alors que ceux responsables de larc primaire nont subit quunerflexion). chaque interface, les rayons perdent de leur intensit lumineuse. Larc se-condaire est donc moins intense que larc primaire.

AB

Lumireblanche

R

R

ddn----- 4 dr

dn-----=

ddn----- 4 rtan

n--------= 0


RFRACTOMTRIE

Rfractomtrie

Pour mesurer lindice n dun milieu solide transparent, on taille dans ce matriau uncube que lon place sur un autre cube en verre dindice n1. On envoie un pinceau de lu-mire monochromatique sous incidence rasante sur la surface de sparation entre lesdeux cubes en A, et on mesure langle dmergence dans lair en B.

1. crire les lois de Descartes pour les rfractions en A et B

2. partir des relations prcdentes, donner lexpression de n2 en fonction de n1 et . Sachantque n1 = 1,7321 et que = 60, calculer la valeur de n.

3. Donner lexpression de lerreur n sur n en fonction des erreurs n1 sur n1 et sur .Calculer la valeur de n sachant que n1 = 105 et que = 1.

CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult particulire. Il sagit dtudier la trajectoire dun rayonlumineux (un pinceau de lumire tant form dun ensemble de rayons parallles entre eux) rfracts deuxfois, en A puis en B, par deux dioptres plans.

1. La loi de rfraction de Descartes pour un rayon incident faisant un angle dincidencei1 avec la normale linterface milieu n1/milieu n2 permet de calculer langle de rfractioni2 du rayon rfract :

n1 sini1 = n2 sini2

Exercice 12

n

i

n1

Solution

n

i

n1

/2

i

52

En A, le milieu 1 est dindice n et le milieu 2 dindice n1. est langle dincidence et i

langle de rfraction. On a donc :

n sin = n = n1 sini

En B, le milieu 1 est dindice n1 et le milieu 2 dindice 1. i = i est langle dincidence

et langle de rfraction. On a donc :

n1 sin( ) = n1 cosi = sin.

2. Reprenons les expressions prcdentes (leves au carr) et sommons-les :n12 sin2i = n 2

n12 cos2i = sin2do

n12 = n 2 + sin2.On a donc :

n 2 = n12 sin2.A.N. n2 = 2,2502 et n = 1,5001.3. Pour calculer lerreur n sur n, il faut diffrencier lexpression prcdente et prendre lavaleur absolue de chaque terme :

d(n 2) = d(n12 sin2)ndn = n1 dn1 sin cos d.

Soit finalement pour lerreur n :

A.N. = 1 = 5.10-6rad et n = 2.10-5.Lerreur sur la mesure de lindice est trs petit ce qui permet une bonne dterminationexprimentale de lindice de rfraction du matriau considr.

Rfractomtres de Pulfrich et dAbbe

Pour mesurer lindice N dun milieu, on propose le systme suivant : un bloc du matriaudindice N inconnu est pos sur un prisme dindice n connu. On envoie un pinceau delumire, assimil un seul rayon, en incidence rasante sur la face du prisme en contactavec le bloc dindice N. Le rayon merge du prisme en faisant un angle i avec la normale la face de sortie.

2--

2--

2--

2-- i

n n1n---n1=sin cos

n----------------------+

Exercice 13

ni

A

N


Dans le rfractomtre de Pulfrich, on a A = 90 et n = 1,732 ; dans celui dAbbe, A = 61et n = 1,6.1. Montrer que la mesure de i permet de calculer N.

Les courbes ci-dessous reprsentent les variations de N(i) et en fonction de i obtenuespour les deux rfractomtres.

2. Effectuer lapplication numrique pour i = 30, obtenu avec le rfractomtre de Pulfrich. In-diquer la courbe correspondant au rfractomtre de Pulfrich et celle correspondant celuidAbbe. Le rfractomtre dAbbe permet-il de mesurer lindice dun tel matriau ?

3. Quel rfractomtre permet la mesure la plus prcise de N ?

CONSEIL : comme dans lexercice prcdent, il sagit ici dtudier la trajectoire dun rayon lumineux deuxfois rfract par des dioptres plans.

1. Le rayon incident linterface prisme/bloc (N) est rfract dans le prisme en faisant unangle r avec la normale au prisme ; au point I, on crit la loi de Descartes :

N sin = N = n sinr

Le rayon se propage dans le prisme et rencontre linterface prisme/air en J. Il est alors r-fract dans lair (une partie de lintensit lumineuse est galement rflchie dans le pris-me). En J, on crit la loi de Descartes pour la rfraction :

n sinr = sini

dN(i)di

------------

0,5

1,5

i ()

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

N(i)

-0,8

-0,4

i ()

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

dN(i)di

-0,6

-0,2

Solution

2--

54

On exprime langle r en fonction de langle A du prisme et de langle de rfraction r : dans

le triangle AIJ, on a (AJI) = r, (JIA) = r et (IAJ) = A ;

(AJI) + (JIA) + (IAJ) = r r + A.

La somme des angles dun triangle tant gal , on en dduit :r = A r

On a donc :sini = n sinr = n sin (A r)

Avec N = n sin r, on obtient finalement pour N :

2. Lapplication numrique avec i = 30 pour le rfractomtre de Pulrich donne N = 1,658.Des deux courbes N(i) trace, seule la courbe en trait plein permet la mesure dindices su-prieures 1,5. Cest donc la courbe en trait plein qui correspond au rfractomtre dePulfrich ; le rfractomtre dAbbe ne permet pas de mesurer lindice dun tel milieu.3. Daprs la question prcdente, les courbes en traits pleins correspondent au rfracto-mtre de Pulfrich et les courbes en traits pointills au rfractomtre dAbbe. Les courbesdN(i)/di montrent que lerreur absolue N sur la mesure de N est plus importante pourle rfractomtre dAbbe que pour le rfractomtre de Pulfrich. Par ailleurs, les indicesmesurables avec le rfractomtre dAbbe sont plus faibles que ceux mesurables avec le r-fractomtre de Pulfrich ; lerreur relative N/N est donc galement plus importante pourle rfractomtre dAbbe que pour le rfractomtre de Pulfrich. Bien que les deux rfrac-tomtres ne soient pas directement comparables puisque leurs gammes dindices accessi-bles ne sont pas les mmes, lerreur sur la mesure des indices est plus importante pour lerfractomtre dAbbe.

ni

A

N

Jr

r

2 I

2--

2--

r A arc isinn

------- sin=

N nsin A arc isinn

------- sin =


PRISME

Rfraction dans un prisme

On considre le trajet dun rayon lumineux OIJO travers un prisme.

1. Montrer que r + r = A o A est langle plan du didre.

2. Dfinir langle de dviation D.

3. Calculer D en fonction de i, i et A. De quelles variables dpend D ?

4. En utilisant un goniomtre, il est possible de vrifier que, pour une valeur particulire delangle dincidence i, la dviation D prend une valeur minimale. Calculer cette valeur im de i,les valeurs correspondantes les angles r et r et la dviation minimale Dm.

CONSEIL : cet exercice nest ni plus ni moins quune question de cours sur les proprits de la trajectoiredun rayon lumineux travers un prisme : savoir donc traiter sur le bout des doigts !

1. partir du schma, on dfinit les grandeurs suivantes : - n indice du prisme pour une radiation moyenne donne ;- i langle dincidence qui arrive sur le prisme en I ;- r langle de rfraction sur le dioptre dentre ;- r langle dincidence sur le dioptre de sortie ;- i langle de rfraction sur le dioptre de sortie.

Dans le triangle IJA, la somme des angles vaut : ( r) + ( r ) + A = .

On en dduit r + r = A.2. La dviation D mesure langle dont le rayon a tourn aprs avoir travers le prisme (voirschma). On remarque que le rayon rfract sortant du prisme est dvi vers sa base.3. La dviation D se calcule de proche en proche. Aprs la rfraction dans le prisme, lerayon a dvi dun angle D1 = i r. Aprs la rfraction au point J, dans lair, il a tourn deD2 = i r. On en dduit :

D = D1 + D2 = i + i r r = i + i A

Exercice 14

r i

D

ir

O

CB

A

I

O K

n>1

/2-r/2-r

A

J

Solution

2--

2--

56

On peut donc dire que la dviation du prisme, D, dpend des angles i, i et A. On peutaussi remarquer que langle i se dduit directement de i et de n par la loi de Descartes(sini = n sinr puis r = A r et sini = n sinr). D dpend donc des variables i, n et A : onlcrit D(i, n, A ).

4. Dans cette question, A et n sont manifestement fixs. On cherche donc le minimum

de dviation Dm lorsque langle i varie. Ce minimum est atteint pour .

A est une constante donc : dA = 0 et dr + dr = 0, soit :

dr = dr (1)

En drivant lexpression sini = n sinr, on obtient : cosi di = n cosr dr soit :

(2)

De la mme faon, cosi di = n cosr dr,soit :

(3)

En utilisant les relations (1) et (2) dans la relation (3), on obtient :

le minimum est atteint pour ,

soit cos r cosi = cosr cosi

cos2r cos2i = cos2r cos2i

(1 sin2r) (1 sin2i) = (1 sin2r) (1 sin2i )

(1 sin2i /n) (1 sin2i ) = (1 sin2i/n2 ) (1 sin2i ).

Aprs simplification, on obtient sin2i = sin2i donc i = i , r = r et A = 2r.Grce cette mthode il est possible de dterminer prcisment lindice du prisme par lecalcul suivant :

.

dDdi------ 0=

dr dr icosn rcos-----------di= =

di n rcosicos-------------dr =

di rcos icosrcos icos

------------------ di=

dD di di+ 1 rcos icosrcos icos

------------------ di= =dDdi------ 0=

n isinrsin

--------

Dm A+2

------------- sinA2--- sin

----------------

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