1

تمارين محلولةتمارين

1تمرين

حدد 2

00

3lim ; lim ln ; lim x x

x x xx

x e ex x x x+ →+∞ →→ − − 

   

الحل

نحدد 2

00

3lim ; lim ln ; lim x x

x x xx

x e ex x x x+ →+∞ →→ − − 

   

* 2 2 2

0 0 0

1 1 1 1lim lim lim 2 2 1 1 2

x x x x x x

x x x

e e e e e e x x x x x→ → →

   − − − − − = − = − = − =   

   

نضع * 3t x

= أي − 3x t

= −

ومنه ( )

0

ln 13 3lim ln lim ln 1 lim 3 3 x x t

txx x x x t→+∞ →+∞ →

 + −   = − = − = −          

* ln 2 ln 0 0 0

lim lim lim 1x x x x x x x x

x e e + + +→ → →

= = =

- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- 2تمرين

) :ـ المعرفة بx نعتبر الدالة العددية للمتغير الحقيقي ) ( )2ln 3 3x xf x e e= − + fDعند محدات f و نهايات fDحدد - 1 )حل المتراجحة - 2 ) 0f x ≥ )حدد - 3 )lim ( 2 )

x f x x

→+∞ −

) الحل ) ( )2ln 3 3x xf x e e= − + fDحدد ن - 4

∋xلتكن 2 3 3 0x xfx D e e∈ ⇔ − +

2 مميز ∆ ليكن 3 3X X− ∆3 و منه + = 2 و بالتالي − 3 3 0x xx e e∀ ∈ − + fD إذن =

fDعند محدات fحدد نهايات ن*

( ) ( ) ( )2 2 2lim lim ln 3 3 lim ln 1 3 3x x x x x x x x

f x e e e e e− − →+∞ →+∞ →+∞

 = − + − + = +∞ 

( ) ( )2lim lim ln 3 3 ln 3x x x x

f x e e →−∞ →−∞

= − + =

)نحل المتراجحة - 5 ) 0f x ≥

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

2

0 ln 3 3 0

0 3 3 1

0 3 2 0

0 1 2 0

x x

x x

x x

x x

f x e e

f x e e

f x e e

f x e e

≥ ⇔ − + ≥

≥ ⇔ − + ≥

≥ ⇔ − + ≥

≥ ⇔ − − ≥

2

( ) [ ] [ [ ( ) ] ] [ [

0 0;1 2;

0 ;0 ln 2;

xf x e

f x x

≥ ⇔ ∈ ∪ +∞

≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

[ إذن ] [ [;0 ln 2;S = −∞ ∪ +∞ ) حددن - 6 )lim ( 2 )

x f x x

→+∞ −

( ) ( )2 23 3lim ( 2 ) lim (ln 3 3 2 ) lim ln 1 0x x x xx x xf x x e e x e e→+∞ →+∞ →+∞  − = − + − = − + =   

- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- -- 3تمرين

) بـ الدالة العددية المعرفة على f نعتبر ) 1 xf x x e −= + + ) أحسب- أ - 1 ) ( )lim lim

x x f x f x

→−∞ →+∞

) أحسب - ب )'f x و أعط جدول تغيراتf و استنتج إشارة ( )f x ) بـ المعرفة على gدالة نعتبر ال - 2 ) ( )ln 1 xg x x e −= + + و أعط جدول تغيراتهاg أدرس تغيرات - أ ) حدد a) - ب )lim

x g x x

→−∞ هندسيا وأول النتيجة +

(b بين أن ] [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺

(c بين أن ( )* 20 ln ln xx g x x x

+ + ∀ ∈ − ≤    

≺ ) استنتج . )lim ln x

g x x →+∞

−

) الحل ) 1 xf x x e −= + + )سبنح - أ - 1 ) ( )lim lim

x x f x f x

→−∞ →+∞

( )lim lim 1 x x x

f x x e− →+∞ →+∞

= + + = +∞

( ) 1lim lim 1 lim 1 x

x

x x x

ef x x e x x x

− −

→−∞ →−∞ →−∞

  = + + = − − − + = +∞ 

− 

)سب نح - ب )'f x جدول تغيرات يعطنو f ستنتج إشارة ن و( )f x ( )' 1 xx f x e−∀ ∈ = −

+∞ 0 −∞ x

+ 0 - ( )'f x

+∞ +∞

2 f

[ تناقصية على f لدينا ] و تزايدية على ∞−0;] ) و منه ∞+;0] ) ( )0 0x f x f∀ ∈ ≥ ) بـ المعرفة على gنعتبر الدالة - 2 ) ( )ln 1 xg x x e −= + + ) جدول تغيراتهايطنع و gدرس تغيرات ن - أ ) ( )( )

'1' 1

x

x

f xex g x f xx e

−

− −

∀ ∈ = = + +

+∞ 0 −∞ x

+ 0 - ( )'g x +∞ +∞

ln 2 g

3

) نحدد a) - ب )lim x

g x x →−∞

هندسيا ول النتيجة نؤ و+

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

lim lim ln 1 lim ln 1 ln

lim ln 1 lim ln 1 0

x x x

x x x

x x x xx x

g x x x e x x e e

xxe e e e

− −

→−∞ →−∞ →−∞

−→−∞ →−∞

+ = + + + = + + +

− = + + = − + + =   

y ومنه المستقيم ذا المعادلة x= مقارب للمنحنى ( )gC بجوار +∞ (b بين أن ن] [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺

( ) ( ) ( )( )ln 1 ln 1 1x x xx g x x xe e x e∀ ∈ + = + + = + + [ ليكن [; 1x∈ −∞ 1 ومنه − 0x + ) و بالتالي ≻ )1 1 1xe x + + ≺

) و منه )( )ln 1 1 0xe x + + [ إذن ≻ [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺ (c بين أن ن( )* 20 ln ln xx g x x

x + + ∀ ∈ − ≤  

  )ستنتج و ن . ≻ )lim ln

x g x x

→+∞ −

( ) ( )* 1ln ln 1 ln ln x

x x ex g x x x e x x

− + −  + +∀ ∈ − = + + − =   

 

* لدينا 1 1

xx ex x

− + + +∀ ) إذن ∋ )* ln 0x g x x+∀ ∈ −

* لدينا 1xx e+ −∀ ∈ 1 ومنه ≻ 2xx e x−+ + 1و بالتالي ≻+ 2 xx e x

x x

−+ + +≺

ومنه 1 2ln ln

xx e x x x

−+ + +≺

)إذن )* 20 ln ln xx g x x x

+ + ∀ ∈ − ≤    

≺

-- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- --- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- 4تمرين

لمتغير حقيقي المعرفة بما يلي fنعتبر الدالة العددية

( ) ( )

( )

2 1 ln 0

1 2 1 0x x f x x x x

f x e e x

 = − 

= − − − ≤

e و 0 عند النقطتين fاق و اتصال أدرس اشتق- 1 و أعط التأويل الهندسي للنتائج المحصل عليها

fCلالنهائية لـ ثم أدرس الفروعfD عند محدات f أحسب نهايات - 2

fC 2i و أنشئ f أدرس تغيرات - 3 j cm= =

[ على f قصور الدالة g بين أن - 4 [ تقابل من ∞−0;[ يجيب تحديده Jنحو مجال ∞−0;[ ) أحسب )1g x− لكل x من J

الحل

( ) ( )

( )

2 1 ln 0

1 2 1 0x x

f x x x x

f x e e x

 = − 

= − − − ≤

للنتائج المحصل عليهااول هندسي نؤe و 0 عند النقطتين fاشتقاق و درس اتصال ن - 1 ( ) ( ) ( )

0 0 0 lim lim 2 1 ln lim 2 2 ln 0 0 x x x

f x x x x x x f + + +→ → →

= − = − = =

4

( ) ( ) 0 0

lim lim 1 2 1 0 0x x x x

f x e e f − −→ →

= − − − = =

0 متصلة في f إذن ( ) ( ) ( )lim lim 2 1 ln 0

x e x e f x x x f e

→ → = − = e متصلة في f إذن =

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

2 1 ln0 lim lim lim 2 1 ln x x x

x xf x f x

x x+ + +→ → →

−− = = − = +∞

0 على اليمين و منحناها يقبل نصف مماس عمودي على يمين 0 غير قابلة لالشتقاق في f إذن

( ) ( )