3 xx · PDF file...

Click here to load reader

  • date post

    15-Apr-2020
  • Category

    Documents

  • view

    5
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 3 xx · PDF file...

  • 1

    تمارين محلولةتمارين

    1تمرين

    حدد 2

    00

    3lim ; lim ln ; lim x x

    x x xx

    x e ex x x x+ →+∞ →→ − − 

       

    الحل

    نحدد 2

    00

    3lim ; lim ln ; lim x x

    x x xx

    x e ex x x x+ →+∞ →→ − − 

       

    * 2 2 2

    0 0 0

    1 1 1 1lim lim lim 2 2 1 1 2

    x x x x x x

    x x x

    e e e e e e x x x x x→ → →

       − − − − − = − = − = − =   

       

    نضع * 3t x

    = أي − 3x t

    = −

    ومنه ( )

    0

    ln 13 3lim ln lim ln 1 lim 3 3 x x t

    txx x x x t→+∞ →+∞ →

     + −   = − = − = −          

    * ln 2 ln 0 0 0

    lim lim lim 1x x x x x x x x

    x e e + + +→ → →

    = = =

    - -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- 2تمرين

    ) :ـ المعرفة بx نعتبر الدالة العددية للمتغير الحقيقي ) ( )2ln 3 3x xf x e e= − + fDعند محدات f و نهايات fDحدد - 1 )حل المتراجحة - 2 ) 0f x ≥ )حدد - 3 )lim ( 2 )

    x f x x

    →+∞ −

    ) الحل ) ( )2ln 3 3x xf x e e= − + fDحدد ن - 4

    ∋xلتكن 2 3 3 0x xfx D e e∈ ⇔ − +

    2 مميز ∆ ليكن 3 3X X− ∆3 و منه + = 2 و بالتالي − 3 3 0x xx e e∀ ∈ − + fD إذن =

    fDعند محدات fحدد نهايات ن*

    ( ) ( ) ( )2 2 2lim lim ln 3 3 lim ln 1 3 3x x x x x x x x

    f x e e e e e− − →+∞ →+∞ →+∞

     = − + − + = +∞ 

    ( ) ( )2lim lim ln 3 3 ln 3x x x x

    f x e e →−∞ →−∞

    = − + =

    )نحل المتراجحة - 5 ) 0f x ≥

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    2

    2

    2

    0 ln 3 3 0

    0 3 3 1

    0 3 2 0

    0 1 2 0

    x x

    x x

    x x

    x x

    f x e e

    f x e e

    f x e e

    f x e e

    ≥ ⇔ − + ≥

    ≥ ⇔ − + ≥

    ≥ ⇔ − + ≥

    ≥ ⇔ − − ≥

  • 2

    ( ) [ ] [ [ ( ) ] ] [ [

    0 0;1 2;

    0 ;0 ln 2;

    xf x e

    f x x

    ≥ ⇔ ∈ ∪ +∞

    ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞

    [ إذن ] [ [;0 ln 2;S = −∞ ∪ +∞ ) حددن - 6 )lim ( 2 )

    x f x x

    →+∞ −

    ( ) ( )2 23 3lim ( 2 ) lim (ln 3 3 2 ) lim ln 1 0x x x xx x xf x x e e x e e→+∞ →+∞ →+∞  − = − + − = − + =   

    - - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- -- 3تمرين

    ) بـ الدالة العددية المعرفة على f نعتبر ) 1 xf x x e −= + + ) أحسب- أ - 1 ) ( )lim lim

    x x f x f x

    →−∞ →+∞

    ) أحسب - ب )'f x و أعط جدول تغيراتf و استنتج إشارة ( )f x ) بـ المعرفة على gدالة نعتبر ال - 2 ) ( )ln 1 xg x x e −= + + و أعط جدول تغيراتهاg أدرس تغيرات - أ ) حدد a) - ب )lim

    x g x x

    →−∞ هندسيا وأول النتيجة +

    (b بين أن ] [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺

    (c بين أن ( )* 20 ln ln xx g x x x

    + + ∀ ∈ − ≤    

    ≺ ) استنتج . )lim ln x

    g x x →+∞

    ) الحل ) 1 xf x x e −= + + )سبنح - أ - 1 ) ( )lim lim

    x x f x f x

    →−∞ →+∞

    ( )lim lim 1 x x x

    f x x e− →+∞ →+∞

    = + + = +∞

    ( ) 1lim lim 1 lim 1 x

    x

    x x x

    ef x x e x x x

    − −

    →−∞ →−∞ →−∞

      = + + = − − − + = +∞ 

    − 

    )سب نح - ب )'f x جدول تغيرات يعطنو f ستنتج إشارة ن و( )f x ( )' 1 xx f x e−∀ ∈ = −

    +∞ 0 −∞ x

    + 0 - ( )'f x

    +∞ +∞

    2 f

    [ تناقصية على f لدينا ] و تزايدية على ∞−0;] ) و منه ∞+;0] ) ( )0 0x f x f∀ ∈ ≥ ) بـ المعرفة على gنعتبر الدالة - 2 ) ( )ln 1 xg x x e −= + + ) جدول تغيراتهايطنع و gدرس تغيرات ن - أ ) ( )( )

    '1' 1

    x

    x

    f xex g x f xx e

    − −

    ∀ ∈ = = + +

    +∞ 0 −∞ x

    + 0 - ( )'g x +∞ +∞

    ln 2 g

  • 3

    ) نحدد a) - ب )lim x

    g x x →−∞

    هندسيا ول النتيجة نؤ و+

    ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    lim lim ln 1 lim ln 1 ln

    lim ln 1 lim ln 1 0

    x x x

    x x x

    x x x xx x

    g x x x e x x e e

    xxe e e e

    − −

    →−∞ →−∞ →−∞

    −→−∞ →−∞

    + = + + + = + + +

    − = + + = − + + =   

    y ومنه المستقيم ذا المعادلة x= مقارب للمنحنى ( )gC بجوار +∞ (b بين أن ن] [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺

    ( ) ( ) ( )( )ln 1 ln 1 1x x xx g x x xe e x e∀ ∈ + = + + = + + [ ليكن [; 1x∈ −∞ 1 ومنه − 0x + ) و بالتالي ≻ )1 1 1xe x + + ≺

    ) و منه )( )ln 1 1 0xe x + + [ إذن ≻ [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺ (c بين أن ن( )* 20 ln ln xx g x x

    x + + ∀ ∈ − ≤  

      )ستنتج و ن . ≻ )lim ln

    x g x x

    →+∞ −

    ( ) ( )* 1ln ln 1 ln ln x

    x x ex g x x x e x x

    − + −  + +∀ ∈ − = + + − =   

     

    * لدينا 1 1

    xx ex x

    − + + +∀ ) إذن ∋ )* ln 0x g x x+∀ ∈ −

    * لدينا 1xx e+ −∀ ∈ 1 ومنه ≻ 2xx e x−+ + 1و بالتالي ≻+ 2 xx e x

    x x

    −+ + +≺

    ومنه 1 2ln ln

    xx e x x x

    −+ + +≺

    )إذن )* 20 ln ln xx g x x x

    + + ∀ ∈ − ≤    

    -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- --- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- 4تمرين

    لمتغير حقيقي المعرفة بما يلي fنعتبر الدالة العددية

    ( ) ( )

    ( )

    2 1 ln 0

    1 2 1 0x x f x x x x

    f x e e x

     = − 

    = − − − ≤

    e و 0 عند النقطتين fاق و اتصال أدرس اشتق- 1 و أعط التأويل الهندسي للنتائج المحصل عليها

    fCلالنهائية لـ ثم أدرس الفروعfD عند محدات f أحسب نهايات - 2

    fC 2i و أنشئ f أدرس تغيرات - 3 j cm= =

    [ على f قصور الدالة g بين أن - 4 [ تقابل من ∞−0;[ يجيب تحديده Jنحو مجال ∞−0;[ ) أحسب )1g x− لكل x من J

    الحل

    ( ) ( )

    ( )

    2 1 ln 0

    1 2 1 0x x

    f x x x x

    f x e e x

     = − 

    = − − − ≤

    للنتائج المحصل عليهااول هندسي نؤe و 0 عند النقطتين fاشتقاق و درس اتصال ن - 1 ( ) ( ) ( )

    0 0 0 lim lim 2 1 ln lim 2 2 ln 0 0 x x x

    f x x x x x x f + + +→ → →

    = − = − = =

  • 4

    ( ) ( ) 0 0

    lim lim 1 2 1 0 0x x x x

    f x e e f − −→ →

    = − − − = =

    0 متصلة في f إذن ( ) ( ) ( )lim lim 2 1 ln 0

    x e x e f x x x f e

    → → = − = e متصلة في f إذن =

    ( ) ( ) ( ) ( )

    0 0 0

    2 1 ln0 lim lim lim 2 1 ln x x x

    x xf x f x

    x x+ + +→ → →

    −− = = − = +∞

    0 على اليمين و منحناها يقبل نصف مماس عمودي على يمين 0 غير قابلة لالشتقاق في f إذن

    ( ) ( )