TEMA 3: FRACCIONES.

1. Las fracciones.

UNA FRACCIÓN ES UNA EXPRESIÓN DEL TIPO , FORMADA POR DOS

TÉRMINOS:

¿CÓMO SE LEE UNA FRACCIÓN?

Primero se nombra el numerador. Y luego, si el denominador es: 2 se lee medios 7 séptimos

3 tercios 8 octavos4 cuartos 9 novenos5 quintos 10 décimos6 sextos

Mayor que 10 se lee el número seguido de la terminación –avos (p. e. quinceavos).

Ejemplo resuelto:

se lee primero siete (numerador = 7) y luego medios (denominador = 2)

se lee cuatro (numerador = 4) quintos (denominador = 5)

se lee seis (numerador = 6) décimos (denominador = 10)

se lee ocho (numerador = 8) quinceavos (como el denominador es 15,

mayor que 10, se escribe quince seguido de avos).

Fracciones Numerador Denominador Lectura

7 2 Siete medios

4 5 Cuatro quintos

6 10 Seis décimos

8 15 Ocho quinceavos

NUMERADOR

DENOMINADOR

Ejercicio: Completa el siguiente cuadro:

Fracciones Numerador Denominador Lectura

UNA FRACCIÓN PUEDE TENER TRES SIGNIFICADOS.

1) LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD.

Ejemplo resuelto:

Si tenemos un rectángulo y lo dividimos en 5 partes iguales, entonces podemos coger algunas de esta partes, por ejemplo 4.

(4 partes de 5)

Ejercicio ; Escribe la fracción que representan las partes coloreadas de cada una de las figuras:

a)

b)

2) LA FRACCIÓN COMO COCIENTE.

Ejemplo resuelto: Una fracción se puede ver como la división de dos números.

Por ejemplo, significa que se divide el numerador (4) entre el denominador (5):

(valor decimal).

Ejercicio ; Calcula el valor decimal que corresponde a cada fracción:

3) LA FRACCIÓN COMO OPERADOR.

Ejemplo resuelto: Calcular los de 60 €.

Respuesta: Para calcular la fracción de un número, tenemos que hacer:

1.º) Multiplicamos el numerador, 2, por el número, 60

2.º)El resultado, 120, lo dividimos por el denominador, 3

Por tanto, los de 60 € son 40€.

Ejercicios: Calcula:

2. Fracciones propias e impropias.

UNA FRACCIÓN ES PROPIA CUANDO EL NUMERADOR ES MENOR QUE EL DENOMINADOR.

Por ejemplo, la fracción es propia porque el numerador es 2, que es menor que

5, el denominador.

UNA FRACCIÓN ES IMPROPIA CUANDO EL NUMERADOR ES MAYOR QUE EL DENOMINADOR.

Por ejemplo, la fracción es impropia porque el numerador es 7 y el denominador

es 3. Como 7 es mayor que 3, entonces la fracción es impropia.

Ejercicios: 1) Escribe tres fracciones propias y otras tres impropias.

2) Determina cuáles de las siguientes fracciones son propias y cuáles son impropias:

a) b) c) d)

3. Fracciones equivalentes.

DOS FRACCIONES Y SON EQUIVALENTES CUANDO EL

PRODUCTO DE EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE MEDIOS. SE

ESCRIBE = .

Ejemplo resuelto: Calcula si son equivalentes las fracciones y .

Respuesta:

Los extremos son 4 y 12 Su producto es Los medios son 6 y 8 Su producto es

Como , entonces las fracciones y sí son equivalentes. Se escribe =

.

Ejercicios: 1) Averigua cuáles de estos pares de fracciones son equivalentes:

a) y b) y c) y d) y

2) Completa el término que falta para que esta pareja de fracciones sea equivalentes:

EXISTEN DOS FORMAS DE OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES:

1) AMPLIFIFICACIÓN: MULTIPLICANDO NUMERADOR Y DENOMINADOR POR EL MISMO NÚMERO.

Por ejemplo, si queremos obtener una fracción equivalente a , hacemos lo siguiente:

1.º) Multiplicamos el numerador, 5, por un número cualquiera, por ejemplo el 3: 3 x 5=15 El nuevo numerador será 15.

2.º) Multiplicamos el denominador, 7, por el mismo número, 3:7 x 3 = 21 El nuevo denominador será 21.

x3

=

x3

Una fracción equivalente a sería .

2) SIMPLIFICACIÓN: DIVIDIENDO NUMERADOR Y DENOMINADOR POR EL MISMO NÚMERO, SI SE PUEDE.

Por ejemplo, si queremos obtener una fracción equivalente a , hacemos lo siguiente:

1.º) Dividimos el numerador 25 por 5: 25 : 5 = 5 El nuevo numerador será 5.

2.º) Dividimos el denominador 20 por el mismo número, 5:20 : 5 = 4 El nuevo denominador será 4.

: 5

=

: 5

Una fracción equivalente a sería .

Ejercicios: 1) Escribe una fracción equivalente por amplificación a:

2) Escribe una fracción equivalente por simplificación a:

3) Escribe la fracción equivalente que corresponde en cada caso:

x3 : 3

= =

x3 : 3

UNA FRACCIÓN ES IRREDUCIBLE SI NO SE PUEDE SIMPLIFICAR.

Ejemplo resuelto: Calcula la fracción irreducible de :

Respuesta:

1.º) Calculamos el m.c.d. del numerador y el denominador:

m.c.d. (6, 8) = 2

2.º) Dividimos el numerador y el denominador entre el m.c.d., que es 2:

6 : 2 = 3 y 8 : 2 = 4

: 2

=

: 2

Como 3 y 4 no tienen divisores comunes, es la fracción irreducible de .

Ejercicio: Calcula la fracción irreducible de las fracciones siguientes:

a) b)

4. Comparación de fracciones.

SI DOS FRACCIONES TIENEN EL MISMO DENOMINADOR, ES MAYOR LA QUE TIENE MAYOR NUMERADOR.

Ejemplo resuelto 1: Compara las fracciones y .

Respuesta: Como el denominador es el mismo, 5, será mayor la que tiene mayor numerador.

Al ser 4 mayor que 2, entonces es mayor que . Se escribe .

Ejercicio: Compara las siguientes fracciones:

a) y b) y

SI DOS FRACCIONES TIENEN EL MISMO NUMERADOR, ES MAYOR LA QUE TIENE MENOR DENOMINADOR.

Ejemplo resuelto: Compara las fracciones y .

Respuesta: Como el numerador es el mismo, 3, será mayor la que tiene menor numerador.

Al ser 4 menor que 5, entonces es mayor que . Se escribe .

Ejercicio: Compara las siguientes fracciones:

a) y b) y

REDUCIR A COMÚN NUMERADOR DOS FRACCIONES ES ESCRIBIRLAS CON EL MISMO DENOMINADOR.

Ejemplo resuelto 1: Reduce a común denominador las fracciones y .

Respuesta:

1.º) Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m. (9, 6) =

2.º) El m.c.m. de los denominadores será el nuevo denominador común, 18.

3.º) Dividimos el m.c.m., 18, por cada denominador: 18 : 9 = 2 y 18 : 6 = 3

Y multiplicamos el resultado por el numerador: 7 x 2 = 14 y 5 x 3 = 15

x 2 x 3

= =

x 2 x 3

Las fracciones con común denominador son y .

Ejercicio: 1) Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

y

PARA COMPARAR FRACCIONES QUE TIENEN DISTINTOS NUMERADORES Y DENOMINADORES, PRIMERO DEBEN REDUCIRSE A COMÚN DENOMINADOR. DESPUÉS SE TRATA DE COMPARAR SUS NUMERADORES.

Ejemplo resuelto: Compara las siguientes fracciones y .

Respuesta:

1.º)Reducimos a común denominador las fracciones y :

Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m. (9, 6) =

El m.c.m. de los denominadores será el nuevo denominador común, 18.

Dividimos el m.c.m., 18, por cada denominador: 18 : 9 = 2 y 18 : 6 = 3

Y multiplicamos el resultado por el numerador: 7 x 2 = 14 y 5 x 3 = 15

x 2 x 3

= =

x 2 x 3

Las fracciones con común denominador son y .

2.º)Ahora que tienen el mismo denominador, es mayor la fracción que tiene mayor

numerador. Como 15 es mayor que 14, entonces es mayor que .

3.º) es una fracción equivalente a

es una fracción equivalente a

Por tanto,

Ejercicio: 1) Compara los siguientes pares de fracciones:

a) y b) y

5. Suma y resta de fracciones

PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR: 1.º) SE SUMAN O RESTAN LOS NUMERADORES.2.º) SE DEJA EL MISMO DENOMINADOR.

Ejemplo resuelto 1: Suma las siguientes fracciones y .

Respuesta: Como el denominador es el mismo, 5, escribimos una fracción con: Denominador el 5, porque ambos denominadores son 5. Numerador sumamos los numeradores,

Por tanto, la suma de y es igual a .

Ejemplo resuelto 2: Resta las siguientes fracciones y .

Respuesta: Como el denominador es el mismo, 4, escribimos una fracción con: Denominador el 4, porque ambos denominadores son 4. Numerador ahora restamos los numeradores,

Por tanto, la resta de y es igual a .

Ejercicio: Realiza estas sumas y restas de fracciones:

a) b)

PARA SUMAR O RESTAR FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR: 1.º) SE REDUCEN LAS FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR.2.º) SE SUMAN O RESTAN LAS FRACCIONES OBTENIDAS.

Ejemplo resuelto 1: Suma las siguientes fracciones y .

Respuesta: Como los denominadores son distintos, y , hacemos lo siguiente:

1.º)Reducimos las fracciones a común denominador.

Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m. (3, 4) =

El m.c.m. de los denominadores será el nuevo denominador común, 12.

Dividimos el m.c.m., 12, por cada denominador: 12 : 3 = 4 y 12 : 4 = 3

Y multiplicamos el resultado por el numerador: 2 x 4 = 8 y 5 x 3 = 15

x 4 x 3

= =

x 4 x 3

Las fracciones con común denominador son y .

2.º)Sumamos las fracciones obtenidas.

Como el denominador es el mismo, 12, dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores:

Por tanto, la suma de las fracciones y es .

Ejemplo resuelto 2: Resta las siguientes fracciones y .

Respuesta: Como los denominadores son distintos, 6 y 8, hacemos lo siguiente:

1.º)Reducimos las fracciones a común denominador.

Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

m.c.m. (6, 8) =

El m.c.m. de los denominadores será el nuevo denominador común, 24.

Dividimos el m.c.m., 24, por cada denominador: 24 : 6 = 4 y 24 : 8 = 3

Y multiplicamos el resultado por el numerador: 5 x 4 = 20 y 3 x 3 = 9

x 4 x 3

= =

x 4 x 3

Las fracciones con común denominador son y .

2.º)Restamos las fracciones obtenidas.

Como el denominador es el mismo, 24, dejamos el mismo denominador y restamos los numeradores:

Por tanto, la resta de las fracciones y es .

Ejercicio: Realiza estas sumas y restas de fracciones:

a) b) c) d)

6. Multiplicación de fracciones.

EL PRODUCTO DE DOS FRACCIONES ES OTRA FRACCIÓN QUE TIENE: COMO NUMERADOR EL PRODUCTO DE LOS NUMERADORES. COMO DENOMINADOR EL PRODUCTO DE LOS

DENOMINADORES.

Ejemplo resuelto: Multiplica las siguientes fracciones .

Respuesta: Escribimos otra fracción que tenga:

Numerador el producto de los numeradores Denominador el producto de los denominadores

Por tanto, el producto de es igual a .

Ejercicio: Multiplica estas fracciones:

a) b) c) d)

PARA MULTIPLICAR UN NÚMERO POR UNA FRACCIÓN SE ESCRIBE: COMO NUMERADOR EL PRODUCTO DEL NÚMERO POR EL

NUMERADOR. SE DEJA EL MISMO DENOMINADOR.

Ejemplo resuelto 1: Realiza la siguiente multiplicación .

Respuesta: Escribimos otra fracción que tenga:

Numerador el producto del número 3, por el numerador 5 Denominador se deja el mismo denominador, 9

Por tanto, el producto de es igual a .

Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) b) c) d)

7. División de fracciones.

LA FRACCIÓN INVERSA DE UNA FRACCIÓN ES LA MISMA FRACCIÓN PERO CON EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR CAMBIADOS DE SITIO.

Ejemplo resuelto: Calcula la fracción inversa de la fracción .

Respuesta:

Escribimos otra fracción que tenga el numerador y el denominador cambiados de sitio:

Numerador el denominador, 7 7 Denominador el numerador, 4 4

Por tanto, la fracción inversa de es igual a .

Ejercicio: Calcula las fracciones inversas de las siguientes fracciones:

a) b) c) d)

PARA DIVIDIR DOS FRACCIONES SE MULTIPLICA LA PRIMERA POR LA INVERSA DE LA SEGUNDA.

Ejemplo resuelto: Realiza la siguiente división .

Respuesta:

1.º)Calculamos la inversa de la segunda fracción:

2.º)Multiplicamos la primera fracción, , por la inversa de la segunda, :

Por tanto, la división es igual a .

Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones:

a) b)