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SC
50 WS 17/18 Georg Frey
3. Vorlesung im Aufbau der Vorlesung
1. Einführung Soft Control: Definition und Abgrenzung, Grundlagen
"intelligenter" Systeme
2. Wissensrepräsentation und Wissensverarbeitung (Symbolische KI)
Anwendung: Expertensysteme
3. Fuzzy-Systeme: Umgang mit unscharfem Wissen
Anwendung: Fuzzy-Control
1. Fuzzy-Mengen
4. Konnektionistische Systeme: Neuronale Netze
Anwendung: Identifikation und neuronale Regler
5. Genetische Algorithmen, Simulated Annealing, Differential Evolution
Anwendung: Optimierung
6. Zusammenfassung & Literaturhinweise
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51 WS 17/18 Georg Frey
Fuzzy Systeme
• Kernidee (natürliches Vorbild)
Umgang mit unscharfem Wissen
• Historie
Mitte der 1960er Zadeh Fuzzy Logik
Mitte der 1970er Mandani Fuzzy Control
• Anwendung in der Automatisierungstechnik
Anfang der 1980er erste industrielle Applikationen
Fuzzy-Regler
• Beispiele
Trocknungsprozesse
Gastherme
Fuzzy Regelung eines invertierten Pendels
Waschmaschine (AEG)
Fuzzy Regelung eines Bohrhammers
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52 WS 17/18 Georg Frey
Inhalt der 3. Vorlesung
1. Klassische Mengen
1. Definition und wesentliche Begriffe
2. Probleme
2. Fuzzy-Mengen
1. Definition und Begriffe
2. Operationen auf klassischen Mengen und Zusammenhang mit der Logik
3. Erweiterung der Operationen auf Fuzzy-Mengen
3. Zusammenfassung
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53 WS 17/18 Georg Frey
Der klassische Mengenbegriff
• Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres
Denkens zu einem Ganzen.
• Diese Objekte werden Elemente von M genannnt.
• Wenn ein Objekt x zu einer Menge M gehört, schreibt man dafür
x M, wenn nicht, dann x M
• Gleiche Mengen: M1 =M2 (x M1 x M2)
• Ungleiche Mengen: M1 M2
• M1 ist Teilmenge einer Menge M2: M1 M2 (x M1 x M2)
• M1 ist echte Teilmenge einer Menge M2: M1 M2, wenn M1 M2
und M1 M2
• Leere Menge:
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55 WS 17/18 Georg Frey
Probleme im Umgang mit klassischen Mengen
• Hauptproblem ist die binäre Entscheidung über die Zugehörigkeit zu einer Menge (Elemente sind nicht immer wohlunterschieden)
• Besonders kritisch bei kontinuierlichen Größen (in der Regelungstechnik gewöhnlich gegeben)
• Beispiel: Menge der Temperaturwerte aus dem Intervall von 0°C bis 100°C für die gilt: „Temperatur ist hoch“
• für T = 60,00°C erhält man „die Temperatur ist hoch“ gilt
• für T = 59,99°C erhält man „die Temperatur ist hoch“ gilt nicht
Bei Anwendung in regelbasierten Systemen ergeben sich Sprünge
Bsp: R1: Wenn Temperatur hoch, dann Heizdampf aus
R2: Wenn NICHT Temperatur hoch, dann Heizdampf an
1
0
μ
T/°C 60 100
μT=hoch
0
Lösung: Unscharfe Mengen
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57 WS 17/18 Georg Frey
Zugehörigkeitsfunktion (ZGF)
• Der Zugehörigkeitsgrad liegt zwischen 0 und 1
• μ(x) = 1 bedeutet, dass x vollständig zur Fuzzy-Menge gehört
• μ(x) = 0 bedeutet, dass x überhaupt nicht zur Fuzzy-Menge gehört
• Werte zwischen 0 und 1 bedeuten, dass x teilweise zur Fuzzy-
Menge gehört
• Besitzt G endlich viele Elemente diskrete Darstellung von ZGF
Angabe der Wertepaare {x, μ(x)}
• Besitzt G sehr viele Elemente oder ist G ein Kontinuum, z.B. kont.
Messgrößen parametrische Darstellung von ZGF
Funktionen bestimmt durch wenige Parameter
Vorteil: geringer Speicherverbrauch, feine Auflösung
Nachteil: unter Umständen komplizierte Berechnung
Funktion, die jedem Element x aus dem im Allgemeinen numerischen
Grundbereich G einen Zugehörigkeitsgrad zu einer Fuzzy-Menge μ(x)
zuordnet.
(VDI/VDE 3550)
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58 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (1): stückweise linear
• Angabe der Stützpunke der Funktion
Spezialfall: trapezoide
Funktionen
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59 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (2): trapezoid bzw dreieckförmig
Spezialfall: für b = c
erhält man
dreieckförmige ZGF
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60 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (3): normierte Gaußfunktion
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61 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (4): Differenz sigmoider Funktionen
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62 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (5): verallgemeinerte Glockenfunktion
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63 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (6): LR-Fuzzy-Menge
• Gegeben durch die parametrische Darstellung ihrer Flanken
(getrennt für rechte und linke Flanke)
• Zwischen den Flanken (m1 < x < m2) gilt μ(x) = 1
µ µL R
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64 WS 17/18 Georg Frey
Parametrische Darstellung (7): Singleton (auch diskret)
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65 WS 17/18 Georg Frey
Begriffe zur Beschreibung von Fuzzy-Mengen
Anpassung allgemeiner Mengenbegriffe
(für zwei Mengen A und B über einer Grundmenge G)
• Gleichheit von Fuzzy-Mengen: A = B μA(x) = μB(x) x G
• Leere Menge : μ(x) = 0 x G
• Universalmenge: μU(x) = 1 x G
Weitere Begriffe
• Höhe Normalität
• Support
• Kern
• -Schnitt
• Fuzzy-Teilmenge
• Fuzzy-Ähnlichkeit
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66 WS 17/18 Georg Frey
Höhe Normalität
• Eine Fuzzy-Menge M heißt normal, wenn H(M) = 1 gilt,
• sonst subnormal
Die Höhe einer Fuzzy-Menge ist durch den Maximalwert ihrer
Zugehörigkeitsfunktion gegeben H(M) = max{μM(x) | x G}
Im Folgenden und in der Praxis werden nur normale Fuzzy-Mengen betrachtet
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67 WS 17/18 Georg Frey
Support
• Synonyme: Träger (VDI/VDE 3550), Einflussbreite
• Englisch: support
• Berechnung:
Sei G die Grundmenge und M eine auf G definierte Fuzzy-Menge
dann ist der Support von M durch
supp(M) = {x G | μM(x) > 0}
gegeben
Der Support einer Fuzzy-Menge ist der Teil des Definitionsbereichs in dem die
Zügehörigkeitsfunktion Werte größer 0 annimmt
(VDI/VDE 3550)
1
0
μ
x a b c d
supp(M) = {x G | a < x < d} μM
supp(M)
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68 WS 17/18 Georg Frey
Kern
• Synonyme: Toleranz (VDI/VDE 3550)
• Englisch: core, tolerance
• Berechnung:
Sei G die Grundmenge und M eine auf G definierte Fuzzy-Menge
dann ist der Kern von M durch
core(M) = {x G | μM(x) = 1}
gegeben
Der Kern einer Fuzzy-Menge ist der Teil des Definitionsbereichs in dem die
Zügehörigkeitsfunktion den Wert 1 annimmt
(VDI/VDE 3550)
1
0
μ
x a b c d
core(M) = {x G | b < x < c} μM
core(M)
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69 WS 17/18 Georg Frey
-Schnitt
• Synonyme: -Cut (VDI/VDE 3550), -Level
• Englisch: cut
• Berechnung:
Sei G die Grundmenge und M eine auf G definierte Fuzzy-Menge
dann ist der -Schnitt von M durch
-Schnitt(M) = {x G | μM(x) > }
gegeben
Der -Schnitt einer Fuzzy-Menge ist der Teil des Definitionsbereichs in dem
die Zügehörigkeitsfunktion Werte größer annimmt
(VDI/VDE 3550)
1
0
μ
x a b c d
½-Schnitt(M) = {x G | e < x < f} = {x G | (a+b)/2 < x < (d+c)/2 }
μM
½-Schnitt(M)
½
e f
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70 WS 17/18 Georg Frey
Grundmenge
Support
Zusammenhang: Support, -Schnitt, Kern, Grundmenge
• HINWEIS: Grundmenge, Support, Kern und -Schnitt einer Fuzzy-Menge sind klassische Mengen
• Venn-Diagramm
-Schnitt Kern
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71 WS 17/18 Georg Frey
Fuzzy-Teilmenge
Eine Fuzzy-Menge μ1 heißt Fuzzy-Teilmenge einer Fuzzy-Menge μ2 auf der
Grundmenge G (Schreibweise: μ1 μ2 ), wenn gilt:
μ1(x) μ2(x) x G
1
0
μ
x
μ1
μ2
μ1 μ2
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72 WS 17/18 Georg Frey
Fuzzy-Ähnlichkeit
Zwei Fuzzy-Mengen A und B sind fuzzy-ähnlich, wenn
core(A) = core (B) und supp(A) = supp(B)
1
0
μ
x
a b c d
• zwei Fuzzy-Mengen sind genau dann fuzzy-ähnlich wenn sie sich
nur in der Form der linken und rechten Flanke unterscheiden
• Folgerung 1: Wesentliche Änderungen bei der Beschreibung einer
Fuzzy-Menge werden durch Änderung von Support und Kern erzielt
• Folgerung 2: Es ist im Allgemeinen ausreichend trapezoide oder
dreieckige Zugehörigkeitsfunktionen zu benutzen
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73 WS 17/18 Georg Frey
Operationen der klassischen Mengenlehre und Beziehung zur Logik
• Durchschnitt von Mengen (UND):
x ist Element der Schnittmenge von M1 und M2
x ist Element von M1 UND x ist Element von M2
• Vereinigung von Mengen (ODER):
x ist Element der Vereinigungsmenge von M1 und M2
x ist Element von M1 ODER x ist Element von M2
• Komplement von Mengen (NICHT):
x ist Element der Komplementärmenge von M1
x ist NICHT Element von M1
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78 WS 17/18 Georg Frey
Probleme mit dem NICHT-Operator
• Klassisch:
A UND NICHT A = 0
A ODER NICHT A = 1
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80 WS 17/18 Georg Frey
t-Norm und s-Norm
• t-Norm
Verallgemeinerung der logischen UND-Verknüpfung die
Zugehörigkeitsgrade der Eingangsgrößen aus dem Intervall [0, 1] in
einen Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 der Ausgangsgröße
abbildet, wobei die Abbildung monoton, kommutativ und assoziativ ist.
• s-Norm (Synonym: t-Conorm)
Verallgemeinerung der logischen ODER-Verknüpfung die
Zugehörigkeitsgrade der Eingangsgrößen aus dem Intervall [0, 1] in
einen Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 der Ausgangsgröße
abbildet, wobei die Abbildung monoton, kommutativ und assoziativ ist.
• Operatorenpaar
Wenn eine t-Norm zusammen mit einer s-Norm die Verallgemeinerung
der De-Morgan‘schen Gesetze erfüllt, dann bilden beide ein
zusammengehöriges Operatorenpaar
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82 WS 17/18 Georg Frey
Zusammenfassung und Lernkontrolle zur 3. Vorlesung
Elementare Begriffe klassischer Mengen kennen
Wissen warum klassische Mengen zur Beschreibung von
kontinuierlichen Sachverhalten teilweise problematisch sind
Begriffe der Fuzzy-Mengen und Möglichkeiten zu deren Darstellung
kennen
Charakteristische Werte von Fuzzy-Mengen berechnen können
(Support, Kern, Höhe, Schnitt)
Zusammenhang zwischen Mengen und Logik kennen
Elementare Operatoren der Fuzzy-Mengen bzw. der Fuzzy-Logik
kennen und anwenden können