3 ισορροπίασωμάτων - users.auth.grusers.auth.gr/katsiki/3_ropes.pdf · 3...

3 Ροπή δύναμης – ισορροπία σωμάτων

Μαρία Κατσικίνη[email protected]/katsiki

• Ορισμός• Συνθήκες ισορροπίας στερεού• Κέντρο βάρους• Ευσταθής – ασταθής ισορροπία• Μοχλοί• Στατική μελών του σώματος

... είναι η αιτία που προκαλεί την περιστροφή ενόςσώματος

Ο

FrM ×=

Ροπή της δύναμης F ως προςτο σημείο Ο ονομάζεται τοεξωτερικό γινόμενο τουδιανύσματος θέσης του σημείουεφαρμογής της δύναμης με τηδύναμη. F

M

r

Η ροπή είναι διανυσματικόμέγεθος κάθετο στο επίπεδο πουορίζεται από την F και το r.

Ροπή δύναμης - ορισμός

τ

Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

Διάνυσμα

Ο

bac ×=

ba

c

x

ya

zayaxaa ˆˆˆ 321 ++=

Διάνυσμα bzbybxbb ˆˆˆ 321 ++=

z

Διάνυσμα c

321

321

ˆˆˆ

bbb

aaa

zyx

c =

Μέτρο του διανύσματος c : ( )b,asinabc =

Ο ba

c

x

y

yxa ˆ2ˆ2 −=

yxb ˆ4ˆ3 +=

z

z

zyx

zyx

bbb

aaa

zyx

c

ˆ14

ˆ)3242(ˆ)3002(ˆ)4002(

043

022

ˆˆˆˆˆˆ

321

321

==⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−=

=−==

Παράδειγμα:

Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων

Ροπή

ΟF

r

FrM ×=

M

Εναλλακτική σύμβαση για τη φορά της ροπής

rFM =

Όταν η F είναι κάθετη στηνδιεύθυνση που ενώνει το σημείο Οκαι το σημείο εφαρμογής της F

rF ⊥

ΘετικήΘετική όταν τείνει να περιστρέψει τοσώμα δεξιόστροφαΑρνητικήΑρνητική όταν τείνει να περιστρέψειτο σώμα αριστερόστροφα

Μονάδα μέτρησης της ροπήςΝΝ.m.mΣύμβαση για τη φορά της ροπής

r

F

M=r×F

++

--

Ροπή δύναμης

d=0.2mF=10N

+

M = 0.2 × 10 = 2N.m


ΟF

M

θ= sinrFMΌταν η F δεν είναι κάθετη στην r:

r

θ

⊥F

Ροπή προκαλεί μόνο ησυνιστώσα της F που είναι

κάθετη στην r

0M =rF ||

όπου θ είναι η γωνία που σχηματίζουν οι r και F


F

r

θsinFθ ( )ϑ= sinFrM

F

r θθ sinrdr

dsin =⇒=

θ

θ

d

( )ϑ= sinrFM

d: απόσταση Ο από το φορέα της F

Ο

Ο


Μία τετράγωνη μεταλλική πλάκα πλευράς 0.18m περιστρέφεται γύρω από άξοναΟ που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην πλάκα. Να υπολογιστείη συνολική ροπή ως προς το σημείο Ο που οφείλεται στις τρεις δυνάμεις F1=24N, F2=16N και F3=18Ν.

F1F2

F3

45o

O

Παράδειγμα

=−−=∑ 321 MMMMd

x

2

d2

2

dx

2

d2x

2

d

2

dx

2222

==⇒

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Nm57.1)41.1181624(2

18.0

)2FFF(2

d

2

d2F

2

dF

2

dF

321

2

321

−=⋅−−=

=−−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=

Ένα σώμα ισορροπεί όταν:

0=∑F και 0=∑M

Η συνισταμένη τωνδυνάμεων που δρουνστο σώμα είναι ίση με

μηδέν

Η συνισταμένη τωνροπών όλων των

δυνάμεων που δρουνστο σώμα ως προςοποιοδήποτε σημείοείναι ίση με μηδέν

Και οι δύο συνθήκες είναι απαραίτητες για ένα σώμα που δεν μπορείνα θεωρηθεί σημειακό (όταν όλες οι δυνάμεις δεν έχουν το ίδιο

σημείο εφαρμογής)

Ισορροπία σώματος

α) Συνθήκη ισορροπίας για τοσώμα Β: ΝΒ=WBβ) Ν’Β=ΝΒ (δράση – αντίδραση)γ) Ν’Β : δύναμη που ασκείταιαπό το σώμα Β στη δοκό

WB

NB

Παράδειγμα

0.2m 0.8m

2kg ? kgΑ Β

Πόση πρέπει να είναι η μάζα του σώματος Β για να ισορροπεί η (αβαρής) δοκός;

WΑ

WB

N

NWWF BA =+⇒=∑ 0

kgmd

dmm

d

dgmgm

d

dWW

dWdWNdWdWM

BB

AAB

B

AAB

B

AAB

BBAABBAA

5.08.0

2.02

000

==⇒=⇒=⇒=⇒

⇒⋅=⋅⇒=⋅+⋅+⋅−⇒=∑

Για να ισορροπεί η δοκός θα πρέπει :

Ο

Ένας αθλητής βάρους 900Ν έχει τη στάση του σχήματος. Αν η προβολή τουκέντρου μάζας του σώματός του στο έδαφος απέχει 60cm από τα χέρια και 90cmαπό το σημείο στήριξης να υπολογιστεί η δύναμη που εξασκείται στα πόδια και ταχέρια του.

0.9m 0.6m

1N Ισορροπία ροπών γύρω από το Ο:

Ισορροπία δυνάμεων:

2N W

Ο

WNNFy

=+⇒=∑ 210 1

( )

NNN

NWM

5405.1

9.0900

6.09.09.00

11

1

=⇒=⇒

⇒+⋅=⋅⇒=∑2

1 2, NNNWN 360540900 212 =⇒−=−=

Άσκηση

Άσκηση

Ένα ράφι πλάτους 0.4m στηρίζεται στον τοίχο με ένα μεντεσέ και κρατιέται στηνοριζόντια θέση με τη βοήθεια μιας ράβδου μήκους 0.5m. Το βάρος του ραφιούείναι 10Ν. Ένα βιβλίο βάρους 50Ν είναι τοποθετημένο στο ράφι έτσι ώστε νααφήνει 0.1m καθαρή απόσταση από το άκρο του ραφιού. Να υπολογιστεί η τάσηστη ράβδο (η ράβδος ασκεί δύναμη κατά μήκος της).

L

Βάρος του ραφιού

Τ

NTT

LTxL

NL

WM

6.394.06.015.0502.010

cos22

00

=⇒⋅⋅=⋅+⋅⇒

⇒⋅=−

+⇒= Ρ∑ θ

Δυνάμεις που ασκούνται στο ράφιΑντίδραση του βιβλίου

Αντίδραση στο μεντεσέΤάση της ράβδου

Ισορροπία ροπών γύρω από το Ο

Oθ

°=⇒=== 1.538.05.0

4.0sin θθ

d

L

N

x

d

WΡ

FM

Ένας εργάτης βάρους 1000Ν βρίσκεται πάνω σε μία σκάλα μήκους 3.6m, ηοποία στηρίζεται σε τοίχο με τον οποίο σχηματίζει γωνία 34ο. Ο εργάτης απέχει0.9m από την κορυφή της σκάλας. Το βάρος της σκάλας και η τριβή με τον τοίχοείναι αμελητέα. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στη σκάλα απότο έδαφος και τον τοίχο.

θ

2FN

1F

x

y

x2F

yF2Ισορροπία ροπών γύρω από το Ο:

θsin0 2FNFy

=⇒=∑ 1

θcos0 21 FFFx

=⇒=∑ 2


N=W

34o

56o

O

34o

( )NF

FNM

506

6.334cos9.06.356cos0

1

1

=⇒

⋅=−⋅⇒=∑3

1 2& °=⇒=⇒= 2.6398.1tantan1

θθθF

N

2 NF

F 112245.0

506

cos1

2 ===θ

(κάθετη αντίδραση εδάφους & τριβή)

Άσκηση

Κέντρο μάζας είναι το σημείο εκείνο του σώματος στο οποίο θεωρούμε ότισυγκεντρώνεται όλη η μάζα του σώματος.

Κάθε στοιχειώδης μάζα δέχεται τη δύναμη της βαρύτητας

Κέντρο μάζας (ή κέντρο βάρους) είναι το σημείοεφαρμογής της συνισταμένης των δυνάμεων βαρύτητας

που ασκούνται σε κάθε σωματίδιο από το οποίοαποτελείται το σώμα.

Κ.Μ.

W

d

O

Ροπή του βάρους του χεριού:Wd

Κέντρο μάζας

Μαθηματικός ορισμός:

∑∑

=

ii

iii

KM m

xmx

Έστω αριθμός σωματιδίων μάζας mi με συντεταγμένες (xi, yi, zi). Το κέντρομάζας του συστήματος είναι ένα σημείο με συντεταγμένες:

∑∑

=

ii

iii

KM m

ymy

∑∑

=

ii

iii

KM m

zmz


Άσκηση

Å0648.0u1u1u16

583.0u1583.0u10u16

m

xmx

ii

iii

KM =++

⋅+⋅+⋅==

∑

∑

Στο σχήμα φαίνεται η απλοποιημένη εικόνα της δομής του μορίουτου νερού. Να βρείτε το κέντρο μάζας του μορίου αν το μήκος τουδεσμού Η-Ο είναι d=0.957Å. Θεωρήστε ότι η μάζα του Η και του Οείναι αντίστοιχα 1 και 16 u (1u=1.66×10-27kg).

01116

759.01759.01016=

++⋅−⋅+⋅

==∑∑

uuu

uuu

m

ymy

ii

iii

KM

105ο

105ο

x

yΣυντεταγμένες ατόμων

ΟΗ

Η

Οξυγόνο

( )759.0,583.02

105sin,

2

105cos =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ °°

dd

( )0,0

Υδρογόνο [1]

2

1

( )759.0,583.0 −Υδρογόνο [2]

K.M. πολύ κοντά στο Ο, πάνω στον άξονα των x

Ιδιότητες

Η ροπή του βάρους του σώματος ως προς το Κ.Μ. είναι πάντα μηδέν.

Το Κ.Μ. είναι το σημείο που πρέπει να στηριχθεί ένα σώμα για να ισορροπήσει(εμπειρική μέθοδος προσδιορισμού του Κ.Μ.)

Στα στερεά σώματα το Κ.Μ. είναι απόλυτα καθορισμένο και δε μεταβάλλεται μετην κίνηση του σώματος.

Στην περίπτωση εύκαμπτων αντικειμένων (όπως το ανθρώπινο σώμα) το Κ.Μ. αλλάζει με τη στάση του σώματος

1

2

3

4


...στην περίπτωση εύκαμπτων αντικειμένων (όπως το ανθρώπινο σώμα) το Κ.Μ. μετατοπίζεται ανάλογα με τη στάση του σώματος.

Κ.Μ. Κ.Μ.

Για να ισορροπεί και να μηνπέφτει ο σκυμμένοςάνθρωπος, θα πρέπει ηκατακόρυφος που περνά απότο Κ.Μ. να περνά και από τηβάση στήριξης.

Κ.Μ.


Κ.Μ. Κ.Μ.

Ασταθής ισορροπία

Κέντρο μάζας του σώματος - ισορροπία

Sports and exercise biomechanics, P. Grimshaw & A. Burden (Taylor & Francis 2006)

Για τον υπολογισμό του κέντρου μάζας τουσώματος θεωρούμε ότι το σώμα αποτελείταιαπό συμπαγή και σταθερού σχήματοςτμήματα... κάτω πόδι, κεφάλι κλπ

Το κέντρο μάζας«εκτελεί βολή»

Κέντρο μάζας του σώματος

Physics of the human body, Irving P. Herman

Κέντρο μάζας του σώματος

• Physics of the human body, Irving P. Herman• Body Segment Parameters: A Survey of Measurement Techniques, R. Drillis, R. Contini, M. Bluestein,

0.50×L0.50×L0.497×Μθώρακας

1×L1×L0.081×Μκεφάλι καιλαιμός

0.567×L0.433×L0.1×Μμηρός

0.567×L0.433×L0.0465×Μκνήμη

0.50×L0.50×L0.0145×Μπόδι (κάτω)

0.564×L0.436×L0.028×Μβραχίονας

0.570×L0.430×L0.016×Μαντοβραχίονας

0.494×L0.506×L0.006×Μχέρι

DistalProximal

Κέντρο μάζας τουτμήματος (L: μήκοςτμήματος)

Μάζα (Μ: μάζα όλουτουσώματος)

Τμήμα τουσώματος

Distal/ proximal (μακριά / κοντάστο κέντρο του σώματος)

Εμπειρική μέθοδος υπολογισμού του Κ.Μ.

Sports and exercise biomechanics, P. Grimshaw & A. Burden (Taylor & Francis 2006)

Ν

Α

Ένδειξη ζυγαριάς = δύναμη που ασκεί η σανίδα στη ζυγαριά ζεύγοςδράσης – αντίδρασης με τη Ν

2

d

W

Wd

W

NxdN

2

dWxW0M

1

2

11211O ⋅−⋅=⇒⋅=⋅+⋅⇒=∑

Ο

Νυ

υπομόχλιο

Ν = ένδειξη ζυγαριάς W1= βάρος ανθρώπουW2=βάρος ομοιογενούς σανίδας d = μήκος σανίδας

Ισορροπία (Ευσταθής – Ασταθής)

Ευσταθής ισορροπία

Εάν σώμα εκτραπεί από τηθέση ισορροπίας του έτσιώστε το κέντρο βάρους του ναανυψωθεί, το σώμα βρίσκεταισε ευσταθή ισορροπία

Ασταθής ισορροπία

Εάν σώμα εκτραπείαπό τη θέσηισορροπίας του έτσιώστε το κέντροβάρους του ναχαμηλώσει, τοσώμα βρίσκεται σεασταθή ισορροπία

επανέρχεται στην αρχική του θέσημόλις αφεθεί ελεύθερο δεν επανέρχεται στην αρχική του

θέση μόλις αφεθεί ελεύθερο

Κατά το βάδισμα, τοΚ.Μ. μετατοπίζεταισυνεχώς έτσι ώστε ηκατακόρυφος πουπερνά από αυτό ναπερνά διαδοχικά απότο δεξί ή το αριστερόπόδι

Όταν στεκόμαστε μεανοιχτά πόδια ηβάση στήριξης είναιμεγαλύτερη

Ισορροπία του ανθρώπινου σώματος

Lehrbuch der plastischen AnatomieE. Harless (1856)

Πόση είναι η δύναμη F που πρέπει ναασκηθεί για να πέσει άνθρωπος μάζας75kg;

N495.1

81.9751.0

5.1

gm1.0F

gm1.01.0W5.1F

=⋅⋅

=⋅⋅

=⇒

⇒⋅⋅=⋅=⋅

Ο άνθρωπος γέρνει προς τη μεριάάσκησης της δύναμης το κ.μ. απομακρύνεται από το σημείο Α είναιπιο δύσκολο να αναποδογυρίσει τοσώμα

1 2

3


1

2

3

Ο άνθρωπος ανοίγει τα πόδια το κ.μ. μετατοπίζεται προς τα κάτω + μεγαλώνειη βάση στήριξης

Η ροπή της τριβής και της κάθετης δύναμης στο σημείο Α ισούταιμε μηδέν για άξονα περιστροφής που περνά από το Α

Έστω άνθρωπος βάρους 900Ν που στηρίζεται στα δύοπόδια του με την απόσταση μεταξύ των πελμάτων να είναι30cm.

ΝΔ ΝΑ

W

30cm

Ισορροπία δυνάμεων: Δ+= NNW A

Ισορροπία ροπών γύρω από το σημείο Ο:

N4502

WNdN

2

dW ==⇒= ΔΔ

Ο


ΝΔ ΝΑ

W

30cm

Ισορροπία δυνάμεων: Δ+= NNW A

Ισορροπία ροπών γύρω από το σημείο Ο:

Ο

Αν λόγω τραυματισμού στο δεξί πόδι η ΝΔ δεν μπορείνα είναι μεγαλύτερη από 250Ν πόσο πρέπει ναμετατοπιστεί το κέντρο βάρους του σώματος;

x

cmdW

Nx

dNWxdNWx

3.830900

250===⇒

⇒=⇒=

Δ

ΔΔ

Το Κ.Μ. μετατοπίστηκε κατά: 15-8.3=6.7cm


βάροςκεφαλιού

δύναμηεξωτερικών

μυώνλαιμού

2ου είδους

WM

βάρος

δύναμηΑχίλλειουτένοντα

3ου είδους

W

M

δύναμηδικεφάλου

Κοινοί στη μηχανική

Κοινοί στο σώμα

1ου είδους

W

Mμυϊκήδύναμη

βάρος

υπομόχλιο

μοχλοβραχίοναςΝ

Μοχλοί

• Απαιτείται μεγαλύτερη μυϊκή δύναμηαλλά• Ο μυς συστέλλεται λιγότερο• Τα άκρα μπορούν να είναι λεπτά καιπερισσότερο ευκίνητα

Συμπαγής δοκός ελεύθερη να περιστραφεί γύρω από σταθερό σημείο(υπομόχλιο)

Επειδή οι μύες παράγουν έργο μόνο όταν συστέλλονται υπάρχουν συνήθωςκατά ζεύγη

Δικέφαλος: βοηθά στο να ανασηκώνεταιπρος τα πάνω ο αντιβραχίονας

Τρικέφαλος : βοηθά στο να ασκείδύναμη προς τα κάτω ο αντιβραχίονας

Σκελετικοί μύες

Οι μύες απολήγουν σε τένοντες, ο καθένας εκ των οποίων

συνδέεται με διαφορετικό οστό

Μέγιστη δύναμη μυός: ~40 Ν ανά cm2 του

εμβαδού διατομής του

Να υπολογιστεί η συμπιεστική δύναμη που ασκείται στην άρθρωση τουαγκώνα και η εκτατική δύναμη που ασκείται στον τένοντα όταν κρατάμε στηνπαλάμη μάζα 6kg (βάρος = 60Ν). Το βάρος του αντιβραχίoνα είναι 30Ν και ηγωνία που σχηματίζει ο δικέφαλος με τον οριζόντιο άξονα είναι 60ο.

13cm 12cm

φ

1F

2F

60ο

W1

W2

Ο

5cm

Άσκηση

1F

φ

2F

60ο

1W2W

Μοχλός 3ου είδους

Μηχανικό ανάλογο: 1F : δύναμη αντίδρασης από τοναγκώνα (κάθετη δύναμη) = ζεύγοςδράσης – αντίδρασης με τησυμπιεστική δύναμη που ασκείται στηνάρθρωση του αγκώνα (αυτή πουψάχνω)

2F : δύναμη με την οποία ο τένονταςσυγκρατεί τον αντιβραχίονα (~ τάσηνήματος) = ζεύγος δράσης-αντίδρασηςμε την εκτατική δύναμη που ασκείταιαπό τον αντιβραχίονα στον τένοντα(αυτή που ψάχνω).

Να υπολογιστεί η συμπιεστική τάση που ασκείται στην άρθρωση του αγκώνα καιη εκτατική τάση που ασκείται από τον τένοντα στον αντιβραχίονα όταν κρατάμεστην παλάμη βάρος 60Ν. Το βάρος του αντιβραχίoνα είναι 30Ν και η γωνία πουσχηματίζει ο δικέφαλος με τον οριζόντιο άξονα είναι 60ο.

13cm 12cm

φ

1F

2F

60ο

60sinsin

0

2121 FFWW

Fy

=++

⇒=∑ϕ

W1

W2 60coscos

0

21 FF

Fx

=

⇒=∑ϕ

Ισορροπία ροπών γύρω από το Ο:

NWW

FFWW

FWWM

43005.0866.0

12.025.005.060sin12.025.0

005.060sin12.0)12.013.0(0

212221

221

=⋅+

=⇒⋅=+⇒

⇒=⋅+⋅−+−⇒=∑

1

2

3

Ο

5cm


Άσκηση

13cm 12cm5cm

φ

1F

2F

Ο

W1W2

NF

FF

2152

1430cos

60coscos

1

21

=⋅=⇒

⇒=

ϕ

ϕ

1

2

NF 4302 =3

NF

F

FFWW

282sin2

3430sin90

60sinsin

1

1

2121

=⇒

⇒=+⇒

⇒=++

ϕ

ϕ

ϕϕsinF1

ϕcosF1

1 2÷ °=⇒== 7.5231.1tancos

sin

1

1 ϕϕϕϕ

F

F

( ) ( ) NFFF 355cossin 21

211 =+= ϕϕ1 2&

60ο

Άσκηση

Απαιτείται μεγαλύτερη ή μικρότερη δύναμη για να σηκώσουμε ένα βάρος όταν ηγωνία α είναι μεγάλη; Εξηγήστε.

005.0cosFcos12.0Wcos)12.013.0(W

0M

221 =⋅ϕ−ϕ⋅+ϕ+

⇒=∑

α φ

W2

W1

2FO F2 ανεξάρτητη της φ

Η δύναμη που ασκεί ο μυςελαττώνεται σημαντικά όταν έχειεκταθεί ή συμπιεστεί πολύ.

Άσκηση

Αν ο αντιβραχίονας βρίσκεται σε οριζόντια θέση και η παλάμη ασκεί δύναμη 20Νστο ζυγό, να υπολογιστεί η μυϊκή δύναμη Fm και η δύναμη αντίδρασης στοναγκώνα (βάρος χεριού = 0).

Άσκηση

Fn = 20N

N296F

20316FFF

FFF0F

m

nCm

Cnmy

=⇒⇒−=−=⇒

⇒=+⇒=∑

Ισορροπία ροπών γύρω από το Ο΄:

N316F

F5.39F5.20M

C

nCO

=⇒

⇒⋅=⋅⇒=′∑


Δυνάμεις που αναπτύσσονται στον Αχίλλειο τένοντα και στον αστράγαλοκαθώς ανεβαίνουμε τις σκάλες. Να υπολογιστεί το μέτρο της συμπιεστικήςδύναμης στην κνήμη και της δύναμης έκτασης στον Αχίλλειο τένοντα μόλις έναάτομο βάρους 850Ν πατάει στο σκαλοπάτι και όλο το βάρος του μεταφέρεται στοένα πόδι. Θεώρησε το βάρος του ποδιού κάτω από τον αστράγαλο αμελητέο.

φ

N

κνήμηΑχίλλειοςτένοντας

7 cm

CF

TF

4cm

21οΆνθρωπος που στέκεται στο ένα πόδι:Ν=W=850Ν (ισορροπία δυνάμεωνπου ασκούνται στον άνθρωπο)

Πόδι ως απομονωμένο σώμα:Δέχεται την κάθετη αντίδραση του δαπέδου (Ν),

τη δύναμη από την κνήμη (FC)και τη δύναμη από τον τένοντα (FT).

Η ζητούμενη εκτατική δύναμη στον τένοντα είναι ηαντίδραση της FT (ίση και αντίθετη της FT με σημείο

εφαρμογής στον τένοντα).Η ζητούμενη συμπιεστική δύναμη στην κνήμη είναι ηαντίδραση της FC (ίση και αντίθετη της FC με σημείο

εφαρμογής στην κνήμη).

Άσκηση

ϕ=+⇒=∑ cosF21cosFN0F CTy

ϕ=⇒=∑ sinF21sinF0F CTx


N1594933.04

8507

21cos4

W7F

W721cosF40M

T

TO

=⋅⋅

==⇒

⇒⋅=⋅⇒=∑

1

2

3


W

FT=1594N φ=14o Fc=2407N

φ

N

7 cm

CF

TF

4cm

21ο

NCF

φ

TF

21ο

7 cm4cm

Ο2 N57121sin1594sinFC =⋅=ϕ

1 N233821cos1594850cosFC =+=ϕ

Άσκηση

Ποια είναι η ελάχιστη οριζόντια δύναμη F που πρέπει να ασκηθεί πάνω στοντροχό μάζας m και ακτίνας R για να ανέβει το σκαλοπάτι;

Για να ανέβει το σκαλοπάτι θαπρέπει να στραφεί γύρω από το Α

h

ROF

ΑW

Ν

WF MM ≥Θα πρέπει:

OF

ΑhR −

F⊥

( )hRFMF −=Ροπή της δύναμης F

Άσκηση

Ff ΜFf=MN=0, γύρω από το σημείο Α

( )22 2 2

2 2 2 22 2

d R h R d

R R h Rh d Rh h

+ − = ⇒ =

= − − + ⇒ = −

O

ΑW

hR −R

d22WM W d W Rh h= ⋅ = −Ροπή του βάρους

( ) ( )( )

2

2

F R h W h R h

h R hF W

R h

− ≥ − ⇒

−⇒ ≥

−

Θα πρέπει:

Κ

Ο

FL

σώμα Α

Το σώμα Α βάρους W (το κέντρο βάρουςβρίσκεται στο σημείο Κ) ισορροπεί πάνω σεακλόνητο κύλινδρο. Ο συντελεστής στατικήςτριβής στην επιφάνεια επαφής είναι μ. Πόσηπρέπει να είναι η F ώστε να ολισθαίνει τοσώμα Α πάνω στον κύλινδρο;

Αυξανόμενης της F το σημείο επαφής Εμετατοπίζεται προς τ’ αριστερά(η συνισταμένη των Ν και Ff εξισορροπείται από τησυνισταμένη των F και W).

Ε

Δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Α:

Τριβή: Ff

Ff

Ν

Κάθετη αντίδραση: Ν

Δύναμη F

W

Βάρος W

x

φ

y

ϕϕ cossin0 fxFNF =⇒=∑

Ισορροπία ροπών γύρω από το O: RFFLM f=⇒=∑ 0

ϕϕ sincos0 fyFNFWF +=+⇒=∑Ισορροπία δυνάμεων:

Άσκηση

H ροπή του βάρους του σώματος Α είναιμηδέν όσο το σώμα δεν κινείται

Κ

Ο

FL

σώμα Α

ΕFf

ΝW

x

φ

y

ϕϕϕϕ

sin

coscossin ff FNFN =⇒=

RFFL f=

ϕϕ sincos fFNFW +=+ 1

2

3

Όσο αυξάνει η F τόσο αυξάνει το x και η γωνία φΓια φ>φκρισιμη tanφ>μ αρχίζει ολίσθηση

1

( ) ( )R

FLFW

R

xFFW

FFW

f

f

=+⇒=+⇒

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

ϕ

ϕϕϕϕ

sin

sincossin

cos2

3

FWL

FW

FLx

+=

+=⇒

1

ϕ= tanNFf ϕ=μ tan2

μ= NFf

R

x=ϕsin

Άσκηση

R

x=ϕsin

NF

FWWM

372

05.012.025.00 21

=⇒

⇒=+⇒=∑

Ισορροπία χεριού (90ο-χωρίς τριβές)

W1=60NW2=30N

NP

FPWWFy

282

0 21

=⇒

⇒=++⇒=∑

Πόση είναι η ελάχιστη δύναμη F που είναιαπαραίτητη για να αρχίσει να κινείται ηάρθρωση του αγκώνα (κίνηση τουαντιβραχίονα προς τα πάνω). Η ακτίνακαμπυλότητας του άκρου του βραχίονα είναιr=1.9cm, το βάρος του αντιβραχιόνιου είναι30Ν και ο συντελεστής τριβής στην άρθρωσηείναι 0.015.

r

W1 W2

F

NFf

x

θΟ

25cm

12cm

5cm

Ισορροπία δυνάμεων (x άξονας)

θμθμ

θθ

tancos

cossin0

=⇒=

==⇒=∑ss

fx

N

FNF

1 r

xsin =θ

Ισορροπία δυνάμεων (y άξονας)

( ) ( ) ( )x90FrFsin90FsincosF

90FsinFcossin

cosF

90FWWFsinFcosN

FsinFcosNWW0F

f22

f

ff

21f

f21y

−=⇒θ−=θ+θ⇒

⇒−=θ+θθθ

⇒

⇒−=−−=θ+θ⇒

⇒=θ+θ++⇒=∑

2

°>θ⇒μ>θ 86.0tan sΓια να υπερνικηθεί η τριβή θα πρέπει:

Ισορροπία ροπών (γύρω από το Ο)

( )x05.0

x906.18FF05.090Fx3012.06025.0

F05.0rFW12.0W25.00M f21O

−−

=⇒⋅=−⋅+⋅+⋅⇒

⇒⋅=+⋅+⋅⇒=∑3

cm0285.0sinrx =θ=

N6.373000285.005.0

000285.0906.18F =

−⋅−

=3* Η συνισταμένη δύναμη των Ν και Ff

αντιστοιχεί στην P του προηγούμενουπαραδείγματος

Ισορροπία χεριού (90ο-με τριβές)

Στατική του ισχίου

Η κεφαλή του μηριαίου οστού εφαρμόζει και κινείταισε εσοχή της λεκάνης.

Στο σημείο επαφής δέχεται δύναμη αντίστασης R

Μείζων τροχαντήρας: εξωτερική εξοχή από τηνοποία καταφύονται απαγωγοί μύες (γλουτιαίοι): δύναμη F

Στο κέντρο βάρους του ποδιού ασκείται το βάροςτου που είναι ~ίσο με το 1/7 του βάρους τουανθρώπου.

Άνθρωπος στηρίζεται στο ένα πόδιΙσορροπία σώματος : W=N

ϕsin70cos0 RFFx

=⇒=∑


18107

7cos0 WW

RM =+⋅⇒=∑ ϕ

Ισορροπία δυνάμεων: F

70o

Rφ

W/7

N

10

18

O7

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=ϕϕ=+

ϕ=

W57.16cosR7

cosRW857.0F937.0

sinRF342.0

W4.2R

13

W6.1F

=°=ϕ

=

7cos70sin0

WRNFF

y+=+⇒=∑ ϕ

W

Στατική του ισχίου

Μηχανικό ανάλογο:

λεκάνη

σπονδυλικήστήλη

L/3

12o

F

R

θφ

W1

Βάροςθώρακα

αντίδρασηαπό τηλεκάνη

W2

Βάροςκεφαλιού & χεριών

W1=0.4W

W2=0.2W

Δυνάμεις στη σπονδυλική στήλη

L/3

12o

F

R

θ

W1

W2

W1=0.4W

W2=0.2W

Πόση είναι η R και η F για θ=30ο ;

( ) ϕ=−θ⇒=∑ cosR12cosF0Fx


W47.2F21.0F3

2

2

3W2.0

2

1W4.0

3

L212sinFcosLWcos

2

LW0M 21

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⇒

⇒⋅=θ+θ⇒=∑


( ) ϕ=++−θ⇒=∑ sinRWW12sinF0F 21y

θ

Ο

θ

1

2

3

φ


1

2

( ) ϕ=⇒ϕ=− cosRW35.2cosR1230cosW47.2

( )ϕ=⇒

⇒ϕ=++−sinRW36.1

sinRW2.0W4.01230sinW47.2

212

2+ W71.2RW37.7W36.1W35.2R 222222 =⇒=+=

Για θ=60ο: W42.1F =°=ϕ 15.60

W91.1R =

12 ÷ °=ϕ⇒==ϕ 3058.035.2

36.1tan

δοκιμάστε λύσεις για διαφορετικές γωνίες θκαι για την περίπτωση που ο άνθρωποςσηκώνει βάρος π.χ. 0.2W, 0.5W


Άσκηση

Άνθρωπος βάρους 800Ν στηρίζει όλο του το βάρος συμμετρικά σε δύο πατερίτσεςπου σχηματίζουν γωνία 75ο με το έδαφος. Η παλάμη κάθε χεριού ασκεί στην(αβαρή) πατερίτσα δύναμη F =100Ν. Να υπολογιστεί η δύναμη R που ασκεί τοδάπεδο στην πατερίτσα και η δύναμη P’ που ασκείται από την πατερίτσα στημασχάλη. Αν ο συντελεστής τριβής στατικής πατερίτσας – δαπέδου είναι μ=0.7 θαγλιστρήσει η πατερίτσα;

Ν

Ff

R

F

P

0.6L

φ

75ο

Σύστημα άνθρωπος – πατερίτσες(εξωτερικές δυνάμεις W, N)

N4002

WNN2W ==⇒=

πατερίτσα (ως απομονωμένο σώμα):

Ο

NFcosP0Fy =+ϕ⇒=∑fx FsinP0F =ϕ⇒=∑Ισορροπία δυνάμεων:

1 2


( ) ( )NF

FLFLNF

LNLFLFM

f

ff

fO

5.96

1004.040015tan15cos4.015sin

15sin15cos4.0)7590sin(0

=⇒

⇒⋅−⋅=⇒−=−⇒

⇒⋅=⋅+⋅−⇒=∑

3

Άνθρωπος βάρους 800Ν στηρίζει όλο του το βάρος συμμετρικά σε δύο πατερίτσες πουσχηματίζουν γωνία 75ο με το έδαφος. Η παλάμη κάθε χεριού ασκεί στην (αβαρή) πατερίτσαδύναμη F =100Ν. Να υπολογιστεί η δύναμη R που ασκεί το δάπεδο στην πατερίτσα και ηδύναμη P’ που ασκείται από την πατερίτσα στη μασχάλη. Αν ο συντελεστής τριβής στατικήςπατερίτσας – δαπέδου είναι μ=0.7 θα γλιστρήσει η πατερίτσα;

Ν

Ff

R

F

P

0.6L

φ

75ο

Άρα: NNFR f 4114005.96 2222 =+=+=

Ο°=⇒=

−=

−= 8.1732.0

100400

5.96tan ϕϕ

FN

Ff1 2÷

1 NPF

P f 316379.0

5.96

sin=⇒==

ϕ

Η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής είναι:

NNFf 2804007.0max =⋅== μ

δηλαδή μεγαλύτερη της τριβής που αναπτύσσεται στην πατερίτσαη πατερίτσα δεν γλιστράει.

Άσκηση

3 ισορροπίασωμάτων - users.auth.grusers.auth.gr/katsiki/3_ropes.pdf · 3...

Documents

Transcript of 3 ισορροπίασωμάτων - users.auth.grusers.auth.gr/katsiki/3_ropes.pdf · 3...