3. TEORIJA GRAFOVA - imi.pmf.kg.ac.rs · PDF fileDiskretna matematika dr Tatjana Aleksi
Transcript of 3. TEORIJA GRAFOVA - imi.pmf.kg.ac.rs · PDF fileDiskretna matematika dr Tatjana Aleksi
Školska godina 2014/2015
Diskretna matematika
dr Tatjana Aleksić Lampert
3. TEORIJA GRAFOVA
Definicija 1.
Graf 𝐺 je uređen par (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), gde je 𝑉(𝐺) konačan
neprazan skup elemenata koji se zovu čvorovi, a 𝐸(𝐺) je
konačan skup različitih neuređenih parova različitih
elemenata skupa 𝑉(𝐺) koji se zovu grane.
Graf 𝐺 se može geometrijski predstaviti crtežom u ravni.
Čvorovi grafa se predstavljaju tačkama ravni, a grane grafa
linijama koje povezuju odgovarajuće čvorove.
Grafovi
𝑉 𝐺 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}
𝐸(𝐺) = {{𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣3, 𝑣4}}
Slika 1.
𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))
Grafovi
Ako u definiciji 1 izostavimo ograničenje da grane moraju biti
različite tada se odgovarajući matematički objekat zove
multigraf (slika 2). Dve ili više grana koje spajaju isti par
čvorova zovu se višestruke grane.
Ako u definiciji 1 takođe izostavimo ograničenje da grane
moraju da spajaju različite čvorove i dopustimo mogućnost
postojanja petlji, tada se odgovarajući matematički objekat
naziva pseudograf (slika 3).
Grafovi
Grafovi - multigraf
Slika 2.
𝑉 𝐺 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}
𝐸 𝐺 = {{𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣3, 𝑣4}}
𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))
Grafovi - pseudograf
𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))
Slika 3.
𝑉 𝐺 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}
𝐸 𝐺 = {{𝑣1, 𝑣2}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣1, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣2}, {𝑣2, 𝑣2}, {𝑣2, 𝑣3}, {𝑣2, 𝑣3},{𝑣2, 𝑣3}, {𝑣3, 𝑣4}, {𝑣4, 𝑣4}}
Stepen čvora 𝑣, u oznaci 𝑑(𝑣), jednak je broju grana koje su sa
čvorom 𝑣 incidentne.
Za graf 𝐺 sa slike 1. je 𝑑 𝑣1 = 𝑑 𝑣2 = 2 , 𝑑 𝑣3 = 3 i𝑑(𝑣4) = 1.
Teorema Neka je 𝐺 graf sa 𝑛 čvorova i 𝑚 grana. Tada važi
𝑑1 + 𝑑2 +⋯+ 𝑑𝑛 = 2𝑚.
Zadatak 1. Da li postoji prost graf (neorijentisan, bez
višestrukih grana i petlji) u kome svaka dva čvora imaju
različit stepen?
Grafovi
Ako su svi čvorovi grafa 𝐺 stepena 𝑟, tada se 𝐺 zove regularan
graf stepena 𝑟.
Ako je 𝐺 regularan graf sa 𝑛 čvorova stepena 𝑟 = 𝑛 − 1 (tj.
svaka dva čvora u njemu su susedna) onda se kaže da je 𝐺kompletan (potpun) graf. Tada je broj čvorova grafa 𝐺 jednak
𝑚 =𝑛2
=𝑛(𝑛−1)
2.
Posebno su interesantni regularni grafovi stepena dva. Oni se
nazivaju konture. Oznaka za konturu sa 𝑛 čvorova je 𝐶𝑛. Na
slici 4 prikazane su konture 𝐶3, 𝐶4, 𝐶5, 𝐶6 i 𝐶7.
Specijalni grafovi
Grafovi
Zadatak 2. Da li postoji regularan graf neparnog stepena
sa neparnim brojem čvorova?
Slika 4.
Grafovi
Definicija Graf 𝐺 je povezan ako se svaka dva njegova čvora
mogu povezati putem. Ako postoje čvorovi koji se ne mogu
povezati putem, graf je nepovezan.
Graf 𝐺1 je povezan, a graf 𝐺2 nepovezan. Graf 𝐺2 ima šest
komponenti povezanosti.
Slika 5.
Povezanost grafa
Zadatak 3. Neka je 𝐺 prost graf sa 𝑛 (𝑛 > 2) čvorova i neka
najmanji stepen čvora u grafu 𝐺 nije manji od𝑛−1
2. Dokazati da
je graf 𝐺 povezan.
Zadatak 4. Ako u prostom grafu 𝐺 sa 𝑛 (𝑛 > 2) čvorova za broj
grana važi 𝑚 >𝑛 − 12
dokazati da je graf 𝐺 povezan.
Definicija Dva grafa 𝐺1 = (𝑉1, 𝐸1) i 𝐺2 = (𝑉2, 𝐸2) su
izomorfna (oznaka 𝐺1 ≅ 𝐺2) ako postoji bijekcija 𝑓: 𝑉1 → 𝑉2koja održava osobinu susednosti čvorova, tj.
(∀ 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉1)(𝑣𝑤 ∈ 𝐸1 ⇔ 𝑓 𝑣 𝑓 𝑤 ∈ 𝐸2) .
Iz same definicije je očigledno da su izomorfni grafovi, u
stvari, isti grafovi, ali različito predstavljeni odnosno nacrtani.
Zbog toga je značajno pitanje kako se može prepoznati graf,
tj. kako se može utvrditi da li su dva grafa izomorfna. Problem
izomorfizma grafova je izuzetno težak i do danas nije poznat
odgovarajući algoritam bitno različit od neposrednog
proveravanja.
Izomorfizam grafova
Izomorfizam grafova
Slika 6.
𝐺1 ≅ 𝐺2: 𝑓 =𝑣1 𝑣2𝑣1′ 𝑣2
′⋯…
𝑣6𝑣6′
Definicija Komplement 𝐺 grafa 𝐺 je je graf koji ima iste
čvorove kao graf 𝐺, pri čemu su dva čvora susedna u 𝐺 ako i
samo ako ti čvorovi nisu susedni u 𝐺.
𝐺 𝐺
Teorema Ako je 𝐺 nepovezan graf, njegov komplement 𝐺 je
povezan (tj. bar jedan od grafova 𝐺 i 𝐺 je povezan graf).
Specijalni grafovi
Slika 7.
Graf 𝐺 je samokomplementaran ako i samo ako je izomorfan
svom komplementu 𝐺.
𝐺
𝐺
Specijalni grafovi
Slika 8.
Zadatak 5. Dokazati da samokomplementaran graf 𝐺 ima 4𝑟 ili
4𝑟 + 1 čvorova, pri čemu je 𝑟 prirodan broj.
Zadatak 6. Neka je 𝐺 graf koji sadrži 6 čvorova. Dokazati da
bar jedan od grafova 𝐺 i 𝐺 sadrži trougao.
Zadatak 7. Na jednom međunarodnom skupu se sastalo 6
delegata. Pokazalo se da među proizvoljna 3 od njih uvek
postoje dva koja se mogu sporazumeti na nekom jeziku.
Dokazati da sigurno postoji trojka delegata unutar koje je
između svaka dva delegata moguće sporazumevanje.
Specijalni grafovi
Graf koji ne sadrži nijednu konturu kao podgraf naziva se
šuma. Ako je graf, uz to, povezan, on se naziva stablo.
Stablo u kojem nijedan čvor nema stepen veći od dva naziva se
put. Put sa 𝑛 čvorova obeležava se sa 𝑃𝑛. Na slici 9 prikazano
je prvih šest puteva.
Specijalni grafovi
Slika 9.
Bipartitan graf je graf čiji se skup čvorova moze razbiti na dva
disjunktna skupa (partitivni skupovi) na takav način da svaka
grana spaja čvor prvog skupa sa čvorom drugog skupa.
Kompletan bipartitan graf je bipartitan graf kod koga je svaki
čvor prvog skupa susedan sa svakim čvorom drugog skupa.
Ako partitivni skupovi sadrže 𝑟 i 𝑠 čvorova, respektivno, tada
se kompletan bipartitan graf označava sa 𝐾𝑟,𝑠.
𝐾3,3
Specijalni grafovi
Slika 10.
Kompletan bipartitan graf oblika 𝐾1,𝑠 zove se zvezda. Na slici
11 prikazana je zvezda 𝐾1,5.
Specijalni grafovi
Slika 11.
Definicija
Povezan graf koji ne sadrži konture kao podgrafove naziva se
stablo. Nepovezan graf koji ne sadrži konture kao podgrafove
naziva se šuma.
Stabla i šume su specijalna vrsta grafova sa vrlo interesantnim
osobinama i od posebnog su interesa u računarstvu i
elektrotehnici.
Očigledno, komponente povezanosti šume su stabla.
Uobičajena oznaka za stablo je 𝑇. Stablo je netrivijalno ako
ima više od jednog čvora.
Stabla
Teorema Neka je 𝐺 graf sa 𝑛 čvorova. Tada su sledeći iskazi
ekvivalentni sa iskazom da je 𝐺 stablo:
10 Graf 𝐺 je povezan graf koji ne sadrži nijednu konturu.
20 Graf 𝐺 je povezan graf sa 𝑚 = 𝑛 − 1 grana.
30 Graf 𝐺 je graf bez kontura koji ima 𝑚 = 𝑛 − 1 grana.
40 Graf 𝐺 je minimalan povezan graf, tj. graf 𝐺 je povezan, ali
udaljavanjem bilo koje grane postaje nepovezan graf.
50 Graf 𝐺 je maksimalan graf koji ne sadrži konture, tj. graf 𝐺 ne
sadrži konture, ali se dodavanjem nove grane između bilo koja dva
čvora formira tačno jedna kontura u 𝐺.
60 Svaka dva čvora grafa 𝐺 su povezana tačno jednim putem.
Stabla
Stabla
Slika 12.
„Matematičke strukture spadaju među
najdivnija otkrića ljudskog uma. Njihova
veličina je u njihovoj velikoj moći metafore i
objašnjavanja realnosti.“
Douglas Hofstadter (Meta Mathematical Themas, 1985)
Leonard Ojler - problem mostova grada Keningsberg
Problem Kroz centar nekadašnjeg pruskog grada Keningsberga,
danas Kalinjingrada, protiče reka Pregel. Na reci su dva ostrva
povezana međusobno i sa obalama reke sa sedam mostova.
Stanovnici Keningsberga zabavljali su se pokušavajući da obiđu
sedam mostova, a da pri tome svaki od njih pređu tačno jedanput.
Ojlerovi grafovi
Leonhard Euler: Pitanje je bilo da li je moguće početi šetnju iz
bilo koje tačke u gradu i vratiti se u polaznu tačku, prelazeći pri
tome svaki most tačno jednom?
Ojlerovo rešenje ovog
problema smatra se prvim
rezultatom, a samim tim i
početkom teorije grafova.
Ojlerovi grafovi
Ojler je problem rešio tako što je svakoj obali i ostrvima
pridružio čvorove, a mostovi su bili grane između njih. Tako je
dobio jedan multigraf.
Ojlerovi grafovi
A
C
B
D
Ojler je problem rešio tako što je svakoj obali i ostrvima
pridružio čvorove, a mostovi su bili grane između njih. Tako je
dobio jedan multigraf.
Problem Da li postoji zatvorena šetnja (staza) u datom grafu koja
sadrži svaku granu tačno jednom?
Ojlerovi grafovi
A
C
B
D
Ojler je dokazao da je takav prelazak nemoguć, uz napomenu
da se razmatranje može proširiti da prozvoljan raspored ostrva i
mostova.
U njegovu čast čitava jedna klasa grafova dobila je ime
Ojlerovi grafovi.
Definicija 2. Ojlerova staza je staza koja tačno jedanput prolazi
kroz svaku granu grafa. Ona može da bude otvorena (Ojlerov put)
ili zatvorena (Ojlerova kontura). Graf koji poseduje Ojlerovu
konturu zove se Ojlerov graf.
Graf koji poseduje Ojlerov put zove se Poluojlerov graf.
Ojlerovi grafovi
Zadatak 3. Ispitati da li dati orijentisani graf sadrži Ojlerov put i
Ojlerovu konturu.
Ojlerovi grafovi
Zadatak 3. Ispitati da li dati orijentisani graf sadrži Ojlerov put i
Ojlerovu konturu.
Ojlerov put: 2 − 1 − 1 − 2 − 3 − 5 − 3 − 4 − 4 − 5.
Ojlerovi grafovi
Zadatak 4. Da li se može jednim potezom, bez podizanja olovke
sa papira i bez prelaska preko već nacrtanih linija nacrtati
prikazana figura?
1) 2)
Ojlerovi grafovi
Teorema. Povezan neorijentisan (multi)graf bez petlji je
Ojlerov ako i samo ako su svi njegovi čvorovi parnog stepena.
Teorema. Povezan neorijentisan (multi)graf bez petlji je
Poluojlerov ako i samo ako sadrži 0 ili 2 čvora neparnog
stepena.
Zadatak 4.
1) NE 2) DA
Poluojlerov graf
Ojlerovi grafovi
Organizatori velikih izložbi moraju (ako hoće da posetioci vide sve
eksponate i da prelaze što manji put) da odrede jedan Ojlerov put
(ako postoji) u grafu određenom izložbenim prostorom i stazama
kroz njega.
Problem kineskog poštara(M. Kuan 1962.): Poštar treba da obiđe
svoj reon i raznese sva pisma. On polazi iz pošte, kroz svaku ulicu
svog reona treba da prođe bar jedanput i da se na kraju vrati u poštu.
Cilj je odrediti takav put poštara koji je minimalne dužine.
Problemu se može pridružiti graf u kome čvorovi odgovaraju
raskrsnicama, a grane delovima ulica koji povezuju susedne raskrsnice.
Ako je graf Ojlerov, tada je rešenje Problema kineskog poštara jedna
Ojlerova kontura, a u ostalim slučajevima optimalno rešenje ovog
problema će prolaziti više puta kroz neke grane.
Ojlerovi grafovi - primena
HVALA NA PAŽNJI!