3. predavanje - unizg.hrU = Q 1 C 1 = Q 2 C 2 (19) Ukupnijenaboj naobakapacitorajednak Q = Q 1 + Q...

3. predavanje

Vladimir Dananić

13. ožujka 2012.

Vladimir Dananić () 3. predavanje 13. ožujka 2012. 1 / 25

Sadržaj

1 Kapacitori i kapacitancijaDefinicija kapacitoraGustoća električne energije

2 DielektriciPolarizacijaSusceptibilnost

3 Spajanje kapacitoraSerijski spoj kapacitoraParalelni spoj kapacitoraTrokut i zvijezda


Kapacitori i kapacitancija

Izolirani vodič

Zamislimo potpuno izolirani vodič proizvoljnog oblika. Na površini vodičapostoji određena količina naboja Q i vrijednost električnog potencijalaΦ = Φpovr .. Na beskonačnoj udaljenosti od vodiča vrijednost potencijalaneka je Φ = Φ∞ = 0. Tada će postojati jednoznačna veza između količinenaboja Q i površinskog potencijala Φpovr .. Ta je veza linearna:

Q = CΦpovr . (1)

Množitelj C u jednadžbi (1) ovisi o obliku vodiča, tj. o oblika vanjskepovršine vodiča, i zove se kapacitancija. To je svojstvo tijela da priodređenom potencijalu zadržava, ili pohranjuje, određenu količinu naboja.Naravno da ova definicija ovisi o našem izboru rubnog uvjeta zapotencijal, pri čemu smo izabrali da je potencijal na beskonačnojudaljenosti od vodiča jednak 0.



Izolirani vodič

Kapacitancija ovisi o obliku vodiča. Nju je moguće matematički izračunatisamo za dobro definirane površine, kao što je sfera, beskonačno dugačkivaljak (cilindar), općenito tijela s nekakvom simetrijom. No, u tim i takvimse slučajevima možemo poslužiti Gaussovim zakonom i izračunati električnopolje, a iz električnoga polja izračunamo električni potencijal i na kraju izizraza za vezu potencijala i ukupne količine naboja na vodiču izračunamokapacitanciju. Nužno je i dovoljno doslovno primijeniti Coulombov, iliGaussov, zakon da bismo izračunali kapacitanciju.Primjer: Izolirana sferaSfera je najsimetričnije tijelo. Silnice električnoga polja na sferi, a onda iizvan nje, moraju biti okomite na nju. Tok električnoga polja jednak je:

ΦE =

∮Sfera

~E ·~ndS = E (r)4πr2 =Qε0

(2)



Izolirana sfera

Iz Gaussova zakona (2) zaključujemoda je električno polje nabijene sfereisto kao i električno polje točkastoganaboja koji bi se nalazio u središtusfere. To vrijedi za područje izvansfere. Unutar sfere električno poljejednako je 0, ako unutar sferenema naboja. Prisjetimo seFaradayeva kaveza. Dakle, izjednadžbe (2) dobivamo:

~E = kQr2~n za r ≥ R (3)

R

Q

~r

~E~E

~E

~E



Izolirana sfera

Iz električnoga polja (3) izračunamo električni potencijal:

Φ(r) = −∫~Ed~r = −kQ

∫1r2 dr = k

Qr

+ konst. (4)

Uz spomenuti rubni uvjet, potencijal na površini sfere jednak je

Φpovr . = Φ(r = R) = kQR

(5)

iz čega slijedi da je kapacitancija izolirane sfere jednaka

C =Q

Φpovr .=

Rk

(6)


Kapacitori i kapacitancija Definicija kapacitora

Sustav vodiča

Izračunavanje kapacitancije sustava dvaju ili više vodiča matematički je vrlozahtjevno. To je moguće provesti ako svi vodiči imaju isti oblik i simetriju.Naprimjer, dvije koncentrične sfere, dvije suosne žice, itd. Mi ćemo se ovdjebaviti upravo takvim sustavima, pri čemu će vodiči biti izolirani jedan oddrugoga i nabijeni tako da jedan ima količinu naboja +Q, a drugi −Q.Takve ćemo sustave zvati kapacitorima. Svaki vodič ima svoj električnipotencijal, no ovdje je količina naboja Q razmjerna razlici potencijala, tj.naponu U između vodiča. Dakle,

Q = CU (7)

Najpopularniji je kapacitor sastavljen od dviju metalnih paralelnih ploča,koje su razmaknute tako da je udaljenost između njih znatno manja odrazmjera samih ploča.


Kapacitori i kapacitancija Definicija kapacitora

Pločasti kapacitorIz Gaussova zakona slijedi da je električno poljeizmeđu ploča (približno) homogeno, da jeorijentirano od pozitivne prema negativnoj ploči ida ima iznos

E =Qε0S

(8)

Polje izvan ploča približno je jednako 0. No, ustvarnosti je električno polje u blizini rubova pločanehomogeno i prostire se (donekle) u prostorizvan ploča. Međutim, sve te “gubitke”električnoga polja moguće je smanjiti tako daploče budu što je moguće veće, a razmak dizmeđu njih što manji. Iz poznavanja električnogapolja izračunamo potencijal i kapacitanciju:

Φ(x) = −∫

Edx = −E · x+konst.⇒ Φ(x) = Φ1−Ud· x ⇒ E =

Ud⇒ C = ε0

Sd

(9)

SS

Φ1 − Φ2 = U

+Q -Q

d

C = QU = ε0

Sd

Φ2Φ1


Kapacitori i kapacitancija Gustoća električne energije

Energija pločastoga kapacitora

Pločasti kapacitor, a i svaki drugi kapacitor, pohranjuje određenu količinunaboja–jednaku količinu pozitivnog i negativnog naboja međusobnoprostorno razmaknutih–uz određeni napon između svojih površina. Znamoda napon, tj. razlika potencijala, može izvršiti određeni rad. Zaključak je:kapacitor pohranjuje energiju. Pitanje je koliko energije može određenikapacitor pohraniti (uskladištiti)? Na to se pitanje može odgovoriti na višenačina. Naravno, konačni odgovor mora biti uvijek isti. Spomenimo dvanačina:

Ploče kapacitora međusobno se privlače, zato što su nabijene nabojimarazličitih predznaka. Jedna ploča “osjeća” silu od one druge ploče. Taje sila na mali element površine ploče dS jednaka umnošku nabojatoga elementa, koji iznosi dQ = Q

S dS , i električnoga polja koje dolazisamo od one druge ploče. To je polje po iznosu jednakoEdruga = 1

2Qε0S . Sila je dF dakle jednaka dF = EdrugadQ = 1

2E QS dS

= 12ε0E

2dS . Dobili smo tlak p = dFdS = 1

2ε0E2. Po svojem smislu taj

je tlak negativan, jer ne nastoji povećati obujam nego ga smanjiti.Vladimir Dananić () 3. predavanje 13. ožujka 2012. 9 / 25


Energija pločastoga kapacitora

Po svojem smislu tlak je također gustoća energije, zato što semehanički rad dW dobiva iz tlaka kao dW = pdV . Dakle, umjestotlaka u kapacitorima, govorit ćemo o gustoći električne energije, takoda ne bi bilo zabune, da je to ista vrsta tlaka kakvoga imamo ufluidima. No, ovdje je prikladno spomenuti da postoje tvari koje izmehaničkog naprezanja, oliti tlaka, proizvode elektricitet, i obrnuto.To je tzv. piezoelektricitet.Drugi je način izračuna gustoće električne energije u kapacitorimaizravniji. Naime, da bismo kapacitoru pod istim naponom U dodalimalu količinu naboja dQ, moramo izvršiti rad dW = UdQ = CUdU, izčega slijedi da je rad jednak

W =12CU2 =

12ε0

Sd

d2E 2 =12ε0SdE 2 =

12ε0VE 2 (10)



Gustoća električne energije

Konačni rezultat je ovaj: gustoća energije električnoga polja jednaka je

wE =12ε0~E 2 (11)

i ona ne ovisi o obliku kapacitora. Pločasti nam je kapacitor ovdje poslužiokao prikladno sredstvo s pomoću kojega smo došli do izraza za gustoćuenergije električnoga polja.Primjer:Izračunajmo ukupnu količinu električne energije sadržanoj na vodljivoj sferipolumjera R i naboja Q.

Gustoća je energije izvan sfere jednaka wE = 12ε0

(1

4πε0Qr2

)2= Q2

32π2ε01r4 .

Ukupna je energija jednaka Esfere = Q2

32π2ε0

∫∞R

1r4 4πr2dr = Q2

8πε0R = 12k Q2

R


Dielektrici

Definicija dielektrika

Dielektrici, ili izolatori, su materijali u kojima nema slobodnihnaboja, tj. nema naboja koji bi se gibali po utjecajem električnoga polja.U tome se dielektrici razlikuju od vodiča, u kojima je električno poljejednako 0 upravo zato što se slobodni naboji tako porazmjeste da ponište“vanjsko” polje. Međutim, u dielektricima postoje naboji koji su vezani,odnosno koji tvore dipole. Pod utjecajem električnoga polja dipoli senastoje orijentirati u smjeru električnoga polja. To svojevrsno gibanjedipola (naime, oni mijenjaju uglavnom samo svoj smjer) također u “tijelu”dielektrika čini ono što slobodni naboji čine u vodičima–nastoji poništitivanjsko polje. No, to poništavanje ne može biti potpuno. Dakle, električnopolje u dielektricima postoji, ali je slabije od vanjskoga polja koje ga jeizazvalo. Idemo vidjeti kako bi to moglo izgledati.


Dielektrici Polarizacija

Vektor polarizacije

Dipole u materijalu smatramo “točkastimdipolima” i tako gusto poslaganima damožemo govoriti o njihovoj gustoći nasličan način kao što govorimo o gustoćinaboja. Dakle, imamo infinitezimalno maledipolne momente ~p u infinitezimalno malomvolumenu dV . Gustoća dipola je zapravovektor ~P = d~p

dV , kojega zovemo vektorpolarizacije. Pod utjecajem vanjskogapolja dipoli se usmjere kao i polje, pa jevektor polarizacije konstantan. Jedan dipol~p na mjestu s vektorom položaja ~r u točci svektorom položaja ~r ′ “proizvest” ćeelektrični potencijaldΦ = k d~p·(~r ′−~r)

|~r ′−~r |3 = k~P·(~r ′−~r)|~r ′−~r |3 dV

+++++++++++

-----------

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +- +- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +- +- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +- +- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +- +- +


Dielektrici Polarizacija

Vektor polarizacije kao površinska gustoća naboja

Zahvaljujući matematičkoj jednakosti:

~r ′ −~r|~r ′ −~r |3

= ~∇ 1|~r ′ −~r |

(12)

možemo izraz za električni potencijal gustoće dipola izračunati kao

Φ(~r ′) = k~P∫∫∫

~∇ 1|~r ′ −~r |

dV = k∮

S

~P·~n|~r ′ −~r |

dS (13)

To znači da je umnožak ~P·~n istovjetan s površinskom gustoćom naboja.No, ta površinska gustoća naboja proizvest će svoje (slabije) električnopolje E . To znači da će gustoća naboja na pločama po iznosu biti većanego na dielektriku

σdiel ≡ ~P·~n =σ

εr= ε0E (14)

pri čemu je εr neka konstanta karakteristična za materijal i zove serelativna dielektrična konstanta.


Dielektrici Susceptibilnost

Dielektrična susceptibilnost

Budući da je površinska gustoća naboja na dielektriku suprotnogapredznaka od površinske gustoće naboja na pločama kapacitora, ukupnopolje u kapacitoru bit će jednako

E =σ − σdiel

ε0⇒ σdiel = σ − ε0E ⇒ P = σ − ε0E = (εr − 1) ε0E = χE

(15)Dobili smo rezultat da je polarizacija razmjerna električnom polju:

~P = χ~E (16)

pri čemu se konstanta χ zove dielektrična susceptibilnost. Jednadžba(16) vrijedi za dovoljno slaba električna polja. Kada jakost polja raste,može doći do tzv. proboja dielektrika. Električno polje tada jednostavno“rastrgne” dipole, tj. odvoji pozitivne i negativne naboje, koji se ondaslobodno gibaju.


Dielektrici Susceptibilnost

Kapacitori s dielektrikom

Umetanjem dielektrika između ploča kapacitora događa se sljedeće:Električno polje između ploča oslabi za εr puta.Napon između ploča također se smanji εr puta.Naboj na pločama ostaje isti kakav je bio i prije.Kapacitancija se mora povećati εr puta.Gustoća energije smanji se εr puta.


Spajanje kapacitora

Spajanje kapacitora

Dva kapacitora, ili više njih, možemo spojiti na različite načine. Svaki takavspoj možemo zamijeniti s jednim, ekvivalentnim, kapacitorom koji imanekakvu ekvivalentnu, ili ukupnu, kapacitanciju. Sada ćemo proučitikako se ukupna kapacitancija može izračunati iz pojedinačnih. Jasno je dau promatranom spoju imamo samo kapacitore, a ne i neke druge elemente.


Spajanje kapacitora Serijski spoj kapacitora

Serijski spoj

U serijskom spoju kapacitora naboji nasvim kapacitorima po iznosu moraju bitiisti. To znači da mora vrijediti

Q = C1U1 = C2U2 (17)

Ukupni napon na oba kapacitora je jednakU = U1 + U2. Ukupnu kapacitanciju Cdefiniramo kao

C =QU

=Q

U1 + U2=

QQC1

+ QC2

⇒ 1C

=1C1

+1C2

(18)

U1 U2

Q Q

C1 C2


Spajanje kapacitora Paralelni spoj kapacitora

Paralelni spoj

U paralelnom spoju kapacitora naponi nasvim kapacitorima po iznosu moraju bitiisti. To znači da mora vrijediti

U =Q1

C1=

Q2

C2(19)

Ukupni je naboj na oba kapacitora jednakQ = Q1 + Q2. Ukupnu kapacitanciju Cdefiniramo kao

C =QU

=Q1 + Q2

U=

C1U + C2UU

= C1+C2

(20)

C1

C2

U


Spajanje kapacitora Trokut i zvijezda

Trokut i zvijezda

U jako složenim spojevima od mnogo kapacitora imamo i serijske iparalelne spojeve, ali nemamo samo njih. Postoje spojevi koji nisu niserijski ni paralelni. Da bismo za neki složeni spoj, postupno, uočavajućiserijske i paralelne spojeve i zamjenjujući ih njihovim ekvivalentnimkapacitorima, došli do konačnog ekvivalentnog kapacitora, moramo katkadazamijeniti tzv. trokut s tzv. zvijezdom i obrnuto.



Trokut i zvijezda

U ova dva spoja iste su samo točkeizmeđu kojih promatramo napon. Toznači da mora vrijediti

1(CAB)ekv

=1

CA+

1CB

1(CBC )ekv

=1

CB+

1CC

1(CAC )ekv

=1

CA+

1CC

(21)

Ovaj je sustav jednadžbi, zapravo,sustav od triju linearnih jednadžbi strima nepoznanicama, ako zanepoznanice uzmemo recipročnevrijednosti kapacitancija.

A

B

C

CAB CBC

CAC

A

CA

B

CB

C

CC



Trokut i zvijezda

Kapacitancije (CAB)ekv , (CBC )ekv , (CAC )ekv u jednadžbama (21) suekvivalentne kapacitancije između naznačenih točaka trokuta. Svaka odnjih sastoji se od serije dvaju kapacitora u paraleli s preostalimkapacitorom. Dakle, vrijede odnosi:

(CAB)ekv = CAB +CACCBC

CAC + CBC

(CBC )ekv = CBC +CACCAB

CAC + CAB

(CAC )ekv = CAC +CABCBC

CAB + CBC(22)

Jednadžbe (21) jednostavno “pretvaraju trokut u zvijezdu”. Naime, akoznamo kapacitancije kapacitora u trokutu, onada iz jednadžbi (22) lakoizračunamo ekvivalentne kapacitancije (CAB)ekv , (CBC )ekv , (CAC )ekv i spomoću jednadžbi (21) izračunamo kapacitancije kapacitora u zvijezdi.



Trokut i zvijezda

No, ako želimo “pretvoriti zvijezdu u trokut”, tj. ako su nam poznatekapacitancije kapacitora u zvijezdi, a mi želimo to zamijeniti određenimkapacitorima spojenima u trokut, onda iz jednadžbi (21) jednostavnoizračunamo kolike su ekvivalentne kapacitancije trokuta, a iz toga i izsustava jednadžbi (22) moramo izračunati pojedinačne kapacitancije utrokutu. Navedeni sustav jednažbi (22), u kojemu su(CAB)ekv , (CBC )ekv , (CAC )ekv poznati, a nepoznanice su CAB , CBC , CAC ,na prvi se pogled ne može svesti na sustav linearnih jednadžbi. Međutim,sustav jednadžbi (22) može se riješiti s pomoću određenoga sustavalinearnih jednadžbi (to vam ostavljam za vježbu iz elementarnematematike). Ovdje ću navesti samo konačno rješenje.



Trokut i zvijezda

Uvedimo pokrate

ZAB =12

(− 1

(CAB)ekv+

1(CBC )ekv

+1

(CAC )ekv

)ZBC =

12

(1

(CAB)ekv− 1

(CBC )ekv+

1(CAC )ekv

)ZAC =

12

(1

(CAB)ekv+

1(CBC )ekv

− 1(CAC )ekv

)Z =

1ZACZBC + ZACZAB + ZBCZAB

(23)



Trokut i zvijezda

Tada je

CAB =ZAB

Z

CBC =ZBC

Z

CAC =ZAC

Z(24)

Na taj smo način uvijek u mogućnosti jedan trokutni spoj zamijenitiekvivalentnim “zvjezdanim” spojem i obrnuto, već prema tome koje od toganam pojednostavnjuje cijeli spoj.


3. predavanje - unizg.hrU = Q 1 C 1 = Q 2 C 2 (19) Ukupnijenaboj naobakapacitorajednak Q = Q 1 + Q...

Documents

Transcript of 3. predavanje - unizg.hrU = Q 1 C 1 = Q 2 C 2 (19) Ukupnijenaboj naobakapacitorajednak Q = Q 1 + Q...