3 Lightwave Funamentals

1

MICROWAVE & OPTICAL COMM. LAB.

제3장 Lightwave Funamentals광 : wave propagation

Electromagnetic Wave

Velocity, power, dispersion, polarization

3-1. Electromagnetic wave1. 광 > f = 1014Hz

그림 3-1 z방향으로 진행하는 전계 진행방향으로 파의 움직임을 보여주기 위한

3개의 다른 시점에서 전계를 도시하였다.

제3장 - 1


E = E0 sin(ωt – kz) (3-1)여기서 E0 = 최대진폭

ω = 2πf[rad/s]k = 전파상수

2. 식(3-1)의 유도 및 의미Maxwell’s Equation

∫

∫

∫∫

∫

−−=⋅=⋅∇

−−=⋅=⋅∇

−−⋅∂∂

+=⋅∂∂

+=×∇

−−−=⋅∂∂

−=×∇

)413(00

)313(

)213(

)113(

dsBB

QdsDD

dstDIdlH

tDJH

dtddlE

tBE

ρ

Φ미분형 적분형

제3장 - 2

2


Simple medium에서 phasor로 쓰면

Simple medium이고 source-free nonconducting (σ = 0)

Medium에서 식(3-1-1 ~ 4)를 다시 쓰면

)1213(0H)1113(0E

)1013(tEH

)913(t

HE

−−=⋅∇−−=⋅∇

−−∂∂

ε=×∇

−−∂∂

µ−=×∇

∇× E = -jωµ H (3 – 1 – 5)

∇× H = J + jωε E (3 – 1 – 6)

∇ • E = ρ/ε (3 – 1 – 7)

∇ • H = 0 (3 – 1 – 8)

제3장 - 3


식(3 -1-9)에 Curl을 취하고 식(3-1-10)을 대입

)1313(tE)H(

tE 2

2

−−∂∂

µε−=×∇∂∂

µ−=×∇×∇

여기서,

)1413(0E

EE)E(E

2

22

22

−−=∂∂

−∇

−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇

tEµε

이므로

여기서,

)1513(,0E1E

1,1

2

2

22

2

−−=∂∂

−∇

==

tν

µεν

νµε 이므로

같은 방법으로

)1613(0H1H 2

2

22 −−=

∂∂

−∇tν

식(3-1-15,16)은 동차 벡터 파동방정식(Homogeneous vector wave equation)

제3장 - 4

3


식(3-1-15,16)을 phasor로 다시 쓰면은

)1813(0HH

)1713(0EE

2

22

2

22

−−=νω

+∇

−−=νω

+∇

식(3-1-17,18)에서

)(

][)(

)(

23

1913

−=∴

=

−−==

νω

µεωνω

k

mradnumberwave

k

파수하면로

식(3-1-19)는 free space에서

constantnpropagatio

)(

=

−=== 43000 kcωεµω

νω

제3장 - 5


식 (3-1-19)을 굴절율 n을 갖는 매질에서 보면 식(2-1)에 의해서

)(

:)(

33

12

−====∴

=−

cn

nck

nc

ωωνωεµω

ν식

식 (3-3)과 식 (3-4)에 의해

)( 530 −= nkk

제3장 - 6

4


한편 식 (2-1)에서

)( 12 −=fνλ

(3-2)식에 대입

)( 6322−===

λπ

λπ

νω

ffk

free space에서 v = c 이므로 식 (2-1)은

)( 1630 −−=fcλ

따라서 (2-1), (3-6-1)을 비교하면

)( 730 −== ncνλ

λ

제3장 - 7


• Ex : 연습문제 3-5자유공간에서 파장이 0.82µm일때 공기와 유리에서

전파상수와 파장을 구하라.

풀이)

][55.05.182.0

][82.0

][1015.15.11066.7

)53(

][1066.71082.0

22

0

76

0

66

00

mnn

m

mrad

nkk

mradkk

airglass

air

glass

air

µλλλ

µλ

πλπ

====

=

×=××=

=−=

×=×

=== −

식

1.

2.

3.

4.

제3장 - 8

5


이제, 식 (3-1-17,18)으로 돌아와서 다시쓰면

식 (3-7-1)을 직각좌표에서 쓰면

( ) ( ) )( 37322

2

2

2

2

2

−−++−=++

∂∂

+∂∂

+∂∂ zEyExEkzEyExE

zyx zyxzyx

)(

)(

)(

673

573

473

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

−−−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−−−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−−−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

zEkzEzyx

yEkyEzyx

xEkxEzyx

zz

yy

xx

전계 E는 방향으로 정현적인 크기를 갖고 z방향으로 진행한다면x

∇2E + k2E = 0 (3 – 7 – 1)∇2H + k2H = 0 (3 – 7 – 2)

Helmholtz’sEquation

제3장 - 9


)(

,

)(

)(

9730

0

8730

773

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

−−=+∴

=−∂∂

=∂∂

−−=

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

∴

−−−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

xx

xx

x

xx

EkdzEd

yE

xE

Ekzyx

EkEzyx

여기서

식 (3-7-9)의 해는

)1073( −−+=

+=+−−+

−+

jkz0

jkz0

xxx

eEeE(z)E(z)E(z)E

식 (3-7-10)의 첫번째 항만 고려하면

)()( 11730 −−== −++ xeExzE jkzx

E에 대한 순시식은

t)E(z,

)kztcos(Ex]e)z(E[e

x]e)z(E[ex)t,z(E

0)kzt(j

0

tjxx

−=ℜ=

ℜ==+−+

++

ωω

ω

)1273(,)13( −−−

E(z)

제3장 - 10

6


그림 3-A (그림3-1) z 방향으로 진행하는 전계

제3장 - 11


제3장 - 11

그림3-A wave 특정점(특정위상의 한점)에서

( )

)( 2310

0

−==∴

=−

=−

=−

=−

µεων

νω

ω

ωω

k

kdtdzk

dtdtkztkzt

상수상수

7


3. 이제 H를 구하면

식(3-1-5) : ∇ × E = -jωµH여기서, E는 x방향크기, z방향진행

)()(

)(

1313

00

00 −−++−=∂∂

= ++

+

zHyHxHj

zEz

zyx

zyx

x

ωµ

)()( 14731−−

∂∂−

=∴+

+

zzE

jH xy ωµ

식(3-7-10)을 대입

( )

)()()()(

)()()(

16731

15730

−−===

−−−=∂

∂=

∂∂

+++

+−++

yzEyzEkyzH

zjkEzeE

zzE

xxy

x

jkzx

ηωµ여기서,

H∴

E×∇∴

제3장 - 12

ImpedancesCharaterie

)1773(][

=

−−Ω===µε

ωµεµω

ωµη k


순시식으로 표현하면

)()cos(

])(Re[),(

18730 −−−=

==+

++

ykztE

ezHytzH tjyy

ωη

ω

그림 3-B z방향으로 진행하는 전계,자계(전자파)

x)kztcos(E −= + ω0y)kztcos(E

−=+

ωη

0

),( tzH

)t,z(E )t,z(H

제3장 - 13

8


4. 광 (전자파)이 진행하면서 감쇠하는 경우

감쇄가 없는 경우 = 그림 3-1= 식 (3-1) : E=E0 sin(ωt-kz)

감쇄가 있는 경우 = 그림 3-2

그림 3-2 진행파의 감쇠

)83(sineEE z0 −= −α

여기서, α = attenuation constant광전력 (optical power) ∝ (전계의 크기)2

)183()L2exp(log10dBLz

e)83(

10

z2

−−α−==∴

=−∴ α−

이면

감쇠전력의식

)( kzt −ω

제3장 - 14


)283(685.8

685.8

685.8)4343.0(20

log20 10

−−−=∴

−=∴

−=−=

−=

α

α

ααα

kmdBL

dBL

LeL

• Ex : 연습문제 3-16매질의 손실이 0.2dB/km (1550nm의 파장에서 동작)하는 질 좋은 파이버의

경우 감쇠계수를 구하라.

풀이)

감쇄정수매질의

사용이므로문제

km023.0

685.82.0

685.8kmdB

kmdB

==α

α−=−∴

α−=

=

제3장 - 15

9


3-2. Dispersion, Pulse distortion and Information Rate1. 실제광원 = spectral width를 갖는다.

= spectral width이 작을수록 “Coherent”“monochromatic light (단색광)”

예 : 표 3-1 대표적인 광원의 스펙트럼 폭

0.002HeNe 레이저

0.1Nd:YAG레이저

1~5레이저 다이오드(LD)

20~100발광다이오드(LED)

선폭(∆λ)(nm)광원

제3장 - 16


Spectrum = 신호를 구성하는 파장 혹은 주파수 범위Line width = 신호전력의 반전력점 사이 폭

(Spectral width) = 그림 3-3에서 ∆λ=30nm

λλ∆

=∆ff

: 분수대역폭 (fractional emission width) ( 3 - 9 )

여기서 f , λ = 중심주파수, 파장

∆f, ∆ λ = 복사주파수, 파장 범위

그림 3-3에서 분수대역폭 = [%]7.3,037.082030

=

Spectral width가 전송 정보용량을 제한함

LED의 경우

그림 3-3 발광 다이오드 스펙트럼

제3장 - 17

10


2. Dispersion & Pulse Distortion

λλ

==λλ

=−

=ν−

ff

vcn:)73(

nc:)12(.A

0000식

식

결과 : 유리의 n은 λ에 따라 변한다.

B . 광원 ≠ Coherent

여러 파장으로 구성

여러 파장의 속도는 각기 다르다.“Dispersion (분산)”

• Report : 연습문제 3-6

실제 system에서 광원의 cohernet정도는 얼마이어야 하는가?

제3장 - 18


C . Dispersion의 종류

분산특성에 의해 Pulse 폭이 Dispersion

손실특성에 의해 Pulse 크기가 작아짐

• 광신호 → 광 Fiber 내 진행

손실, 분산에 의한 광신호의 펄스

정보 전송 용량 제한

• Single mode fiber1. Material Dispersion (Chromatic Dispersion)

2. 정보 전송 용량 제한(Structure Dispersion)

→ 펄스구성 λ에 따라 fiber 재료 n이 다르다.따라서, λ에 따른 속도차에 기인

→ Core Cladding 불균형에 의한 분산

제3장 - 19

11


• Multimode fiber1. Multimode(mode) Dispersion

→ 다중모드(MM)형 광섬유에서 각 모드의 전파경로가 달라출사단에서 도달시간의 다름에 의해 발생

→ Material, Stucture Dispersion은 무시됨.

제3장 - 20


개선방법 : coherent 광원사용: filter 사용

filter 구성 불가능광전력 감소

D . Glass에서 분산 (Material Dispersion)

prism : 백색광 → 빨주노초파남보 (720nm ~ 380nm)Glass의 굴절율은 파장에 의존

그림 3-6Glass = silicon dioxide (SiO2)

굴절율 조절 : 산화게르마늄 (GeO2)첨가

λ0=변화량최소점 = 1.3µm λ0=기울기최소점 = 1.3µm =(n′=0) λ0=(n″=0)

제3장 - 21

12

MICROWAVE & OPTICAL COMM. LAB. 제3장 - 22

D . 분산정도와 정보 전송량과의 관계

Pulse가 L[m] 길이를 진행하는 시간 = τ그림 3-7(a) : 비 분산매질

그림 3-7(b) : 분산매질

λ2 - λ1 = ∆λ = 광원의 spectrumλ2 가 λ1 보다 먼저 도착


광원의 양쪽 파장이에 의한 중요가단위길이

진행시간차

τ∆=

L

= 식(3-10) “pulse spread”

실제 system 에서 pulse시작, 끝점 설정곤란

시작, 끝점 설정에 정의 필요

정의 : 광전력 최대값 이 되는 시간간격21

= “pulse 지속 시간”= full duration half-maximum : FDHM

제3장 - 23

13


그림 3-7 (b)

의 기울기 =( )Lτ ( )′τL

식(3-11)을 굴절율로 나타내면

( )λ∆τ∆

=′τ )L(

L

( ) λ∆′τ=τ∆ )L(L

( ) ncd

ndcL 2

2

′′λ−=

λλ

−=′τ

여기서, = 그림 3-6(c)nd

nd2

2

′′=λ

(3-11)

(3-12)

(3-13)

제3장 - 24


정도따른에 spreadpulsen

Kmps

cn

L=

′′−=

λ∆λτ∆

이라면

여기서, ps = pulse spread 시간 (picosecond)

nm = 광원 spectrum width 길이

km = 경로(fiber)의 길이

= “Material Dispersion”

식(3-12,13) 결합

λ∆τ∆ ML

−=

= 단위길이당 pulse spread

= 연습문제 3-1 풀이

=

= (λ2진행시간 ) – (λ1 진행시간), [ λ2 > λ1 ]

= (긴파장 진행시간) – (짧은 파장 진행시간)

)103(LL 12

−

τ−

τ

(3-14)

제3장 - 25

]km)ps/(nm[''

×=Mcn λ

14


그림 3-8 = 그림 3-6(c)

1.3µm에서 재료분산 = 0 (Zero dispersion wavelength)

Doping에의해 zero dispersion wave length를 천이 시킬 수 있음 (≈0.1µm)

-M+M

그림 3-8

제3장 - 26


• Ex : 예제 3-10.82µm에서 동작하고 20nm의 스펙트럼 폭을 갖는 LED를 사용한 경우 실리카의 펄스 퍼짐을 구하라. 경로길이는 10km이다. 또한 λ=1.5 µm이고 ∆ λ=50nm인 경우에도 펄스 퍼짐을 구하라.

풀이)

ns5.7L

km10L

kmps750L

)kmnm(ps15M nm50,m5.1)2(

ns22L

km10L

kmns2.2kmps2200)20(110L

)kmnm(ps110Mm82.0,83 byM

ML

:)143(by)1(

?L

,km10L,nm20,m82.0

=

τ∆=∴

=

τ∆∴

×−==λ∆µ=λ

=

τ∆=∴

===

τ∆∴

×+=µ−=

λ∆−=

τ∆−

=

τ∆==λ∆µ=λ

이면

경우인이면

에서그림여기서식

(3) 결론 : 장파장 영역에서는 펄스폭이 증가하더라도 재료분산에 의한

pulse spread는 감소한다.제3장 - 27

15


• Ex : 예제 3-2광원이 스펙트럼 폭이 1nm인 레이저 다이오드일 때 예제 3-1을 반복하라.

풀이)

kmns15.0

Lm5.1)2(

kmns1.1

Lm82.0)1(

)143(by

?L

,km10L,nm1,m82.0

=

τ∆µ=λ

=

τ∆µ=λ

−

=

τ∆==λ∆µ=λ

경우인

경우인식

• Report : 연습문제 3-2,3

실제로, zero dispersion wave length에서 pulse spread ≠ 0그러나, 1200 ~ 1600nm 사이(직선구간, 중심은 1300nm)에서 system 설계

(3) 결론 : ∆λ가 작을수록 (coherent) 재료분산은 감소 하므로

펄스퍼짐도 감소한다.

제3장 - 28


3. Solitons

Pulse spread : 대용량, 장거리 전송제한

방지 : 1. 영 분산 파장에서 동작

2. 매우 Coherent한 광원 사용

3. Solitons : 단파장 광 pulse를 왜곡 없이 전송하는 기술

1838. J.Scott Russel(scotland)

- 좁은 수로에서 배가 갑자기 멈추면, 커다란 하나의 물결파가 발생하여, 파형이나

속도 변화없이 1km 이상 진행 현상을 발견

1895. D.J.Korteweg, G.de Vries 수치적해석 – Russel의 물결파

1973. Hasegawa, Tappert – 광학에 적용, 광 Solitons 개념 정립

1980. Mollenauer, 실험적으로 입증

1985. 英, Southampton 大, Poole, Payne, Ferman

희토류금속(rare-earth materials)이온인 Erbium을 doping한 Amp발표

EDFA ( Erbium Doping Fiber Amplifier)

그후. 5,10, 32Gbps 초고속 Solitons 전송실험

제3장 - 29

16


Soliton : 단파장의 광 pulse로 무손실 분산성 매질에서 pulse 폭이 변화되지 않고

그대로 전파(전송 수천 Km)되는 단파장의 광 pulse (크기는 감쇠)

구현 방법 : 전송매질의 분산특성 (파장에 의한 전파속도차이)과 비선형특성

(광의 진폭이나 강도에 의한 전파속도 차이)을 상호 보완 작용하도록

하여 달성

제3장 - 30


Energ

y

Pum

p

980nm, τ ~ 1µsec

1530nm, τ ~ 10msec ← 준안정상태 장시간 유지

λ = 1.55µm ← 대역폭 안정 : WDM에 응용

Stimulated emission0.98로Pump

at L = 0 km at L = 1000 km(a) 광섬유 분산현상

at L = 0 km at L = 1000 km(b) 비선형 효과에 의한 자기위상 변조현상

at L = 0 km at L = 1000 km(c) Soliton

광섬유의 분산효과와 비선형효과가 서로 상쇄되어 Soliton을 생성 시키는 과정

Er3+ 이온의 에너지 준위

4I11/2

4I13/2

4I15/2

제3장 - 31

17


SiO2인 경우 : Kerr optical effect (비선형 특성)

1300~1600nm 범위에서 가능

Single mode fiber에서 20ps pulse 전송시 약 65mW필요

필요 광 전력 유지로 증폭필요 : EDFA

2.5Gbps 전송시 50km마다 Amp필요

수 10Gbps 전송시 EDFA 잡음 (Gorden – Hause효과)으로 한계

제3장 - 32


그림 3-9 두 개의 반송파장이 변조주기의 반인 ∆τ=T/2의 지연을 가질때 변조의 상쇄

λ1과 λ2 사이의 허용 가능 지연 시간

)1153(상쇄:2

)153(2

−−=

−≤

T

T

τ∆

τ∆

4. Information RatePulse Spead : 전송정보 용량 제한요인

근사해석하여 system 1차 설계에 적용가능

A. 주파수 – 길이 한계값

변조 주파수 = f

광원 = λ1과 λ2 사이의 파장으로 구성전송되는광

제3장 - 33

18


즉, 식(3-15)는 최대 허용 펄스 퍼짐이므로

)2153(2

11−−≤=

τ∆Tf

주파수 – 길이 한계값은

)163()L(2

1Lf dB3 −τ∆

=×−

B. 광과 전기 신호 대역폭과의 관계

3dB bandwidth(= 신호전력이 로 되는 주파수)와 근사적으로 일정

)3153(2

1f)2153( dB3 −−τ∆

==−−∴ −식21

제3장 - 34


그림에서, x축 = -3dB 대역폭을 갖는 변조주파수

y축 = La + Lf (손실)

)173(f

f693.0explog10L2

dB3f −

−−=

−

그림에서, La+Lf = -1.5dB → 0.71f3-dB

즉, f1.5-dB (광) = 0.71 f3-dB (광)

= f3-dB (전기)(3 –18)

여기서, 식(3-16)에 의해서,

f3-dB (광) = (2∆τ)-1 (3 – 18 – 1)

따라서, f3-dB (전기) = 0.71 f3-dB (광)τ∆τ∆35.0

271.0

= (3 – 18 – 2)≒

∴주파수 – 길이 한계값은

)(35.0)(3

LLf dB τ∆=×− 전기 (3 – 19)

제3장 - 35

19


C. Digital signal인 경우

우선 return-to-zero(RZ) 신호 인 경우

그림 3-11 RZ 신호와 전력 스펙트럼 점선은 근사적인 정현파이며

빗금친 영역은 소요전송대역폭을 나타낸다.

제3장 - 36


f3-dB 는 식(3-19)에 의해

)203()L(

35.0LR

datarate

datarateR35.0T1)(f

RZ

RZdB3

−τ∆

=×

∴

==τ∆

==−

한계값은길이최대허용

최대허용전기

다음, non-return-to-zero(NRZ) 신호 인 경우

제3장 - 37

그림 3-12 NRZ와 전력스펙트럼 점선은 근사적인

정현파이며 빗금친 영역은 소요 전송대역폭을 나타낸다.

20


f3-dB 는 식(3-19)에 의해

)213(L

7.0LR

datarate

)1203(datarateR7.0T21)(f

NRZ

NRZdB3

−τ∆

=×

∴

−−==τ∆

==−

한계값은길이최대허용

최대허용전기

제3장 - 38


• Ex : 예제 3-5예제 3-1과 3-2의 조건하에서 데이터율 – 길이와 주파수 – 길이 곱을 계산하라.

표 3-2 정보용량의 예[a]

표 3-2 : 결론

23.33.20.470.16

전기

F3-dB × L(GHz ×km)

23.346.733.330.01511.5LD3.26.44.550.1110.82LD0.470.940.670.75501.5LED0.160.320.232.2200.82LED

RRZ × L(Gbps ×km)

RNRZ × L(Gbps×km)

OpticF3-dB × L

(GHz ×km)

∆(τ/L)(ns/km)

∆λ(nm)

λ(µm)근원

제3장 - 39

21


• Ex : 예제 3-6표 3-2에열거된 광원의 경우 10km 링크에 대해 얼마의 주파수와 데이터의

한계치를 갖는가?

풀이) 표에 있는 주파수 – 길이와 데이터율 – 길이곱을 10으로 간단히 나눈다.

1.5µm0.82µm1.5µm0.82µm

2.33 Gbps320 Mbps47 Mbps16 MbpsRRZ

2.33 GHz320 MHz47 MHz16 MHzf3-dB (전기)

4.7 Gbps637 Mbps94 Mbps32 MbpsRNRZ

3.3 GHz455 MHz67 MHz23 MHzf3-dB (광)

LDLED광원

제3장 - 40


3-3. Polarization

A. Linear Polarization

그림 3-13 z방향으로 진행하는 x방향으로 편파된 전계

그림 3-13-1 그림 3-13-2

제3장 - 41

22


B. Elliptical Polarization

그림 3-13-3

제3장 - 42


B. Circular Polarization (계속)

그림 3-13-4

제3장 - 43

23


C. Unpolarization전계 방향이 불규칙하게 변화되는 경우

Optical fiber내의 광

D. ModeTEM, TE, TM

제3장 - 44


3-4. Resonant Cavity LASER : 광 Oscillator

그림 3-14 증폭매질과 두 끝단거울로 구성된 레이저

양쪽 반사체 = 광의 feedback 조성= Brewster Angle = cavity (Fabry – Perot caviy)

그림 3-15

여러시간 (t3>t2>t1)에서 길이가L인 공동내의 광파동(윗 그림은오른쪽으로 진행하는 파동. 아래그림은 파동의 합인 전체파동.)

제3장 - 45

24


)223(2

mL −λ

=

여기서, λ = 공진기내의 파장

m = 정수

Ex. 그림 3-15에서 보면 L=2 λ by 식 (3-22) m = 4

)233(mL2

−=λ

)243(2

−=nLmcf

standing wave 발생 : 공진 조건

제3장 - 46


식 (3-24)에 의한 공동공진 주파

수

그림 3-17 공동내의 정재파 패턴

여기서, 공동 종측 모드 간격은

)253(Ln2cfc −=∆

자유 공간파장 퍼짐 ∆λc는

)263(fcf

f

cf,ff,by

c

200c

c

00

cc

−∆λ

=λ∆

=λ∆

λ=

λλ∆

=∆

제3장 - 47

25


• Ex : 예제 3-7중심(평균)파장이 0.82 µm이고 굴절률이 3.6인 AlGaAs레이저 다이오드의

대표적구조의 길이가 0.3mm인 공동의 종측모드간의 주파수 퍼짐과

파장 퍼짐을 계산하라.

풀이) 식 (3-25)으로부터 모드간격은

Hz10139)6.3)(103.0(2

103f 93

8

c ×=××

=∆ −

이고, 파장 퍼짐은 식 (3-26)으로부터

nm

mc

311.0

1011.3103

)10139()1082.0( 108

926

=

×=×

××= −

−

λ∆

제3장 - 48


그림 3-18 레이저다이오드(광출력(실선)으로 6개의 종모드와

약 2nm의 전체 스펙트럼을 갖고 있다.)

결론 : 종 mode 폭 = 2nm이면

6311.02

c

≅=λ∆λ∆

= 6개의 mode(파장, 주파수)

= 다중 mode LD

: LD spectrum width = 보통 1~5nm

= 단일 mode LD가 바람직

제3장 - 49

26


3-5. Reflection at a Plane Boundary Optical fiber Comm, 에서 광의 진

행

그림 3-19 파이버시스템의 반사표면.

광 진행시 경계면A 경계면 = 공기 + 유리B 경계면 = core + claddingC 경계면 = 유리 + 공기D 경계면 = 공기 + 유리

A,B,C,D = 유전체 + 유전체 상태에서의 광의 거동

그림 3-20

굴절률 이 n1, n2인 두 유전체 경계면에

입사하는 파동은 부분적 전송과 반사를 한다.

제3장 - 50


A. 입사광이 경계면에 수직 입사 (그림3-20)

Reflection coefficiente

)273(nnnn

21

21 −+−

=ρ

여기서, n1<n2 이면 – ρ

Reflectance R (reflected Power R)

)283(

)()(

2

21

21

22

2

−

+−

=

===

nnnn

R ρ입사광세기

반사광세기

입사광전력

반사광전력

제3장 - 51

27


• Ex : 예제 3-8.

공기와 유리의 경계에서 반사와 전송 전력비를 계산하라. 또한 dB단위의 전송

손실을 dB로 계산하라.

풀이) by, 식 (3-28)

04.05.115.11R

2

=

+−

=

∴ 입사광의 4%는 반사, 96%는 전송

∴ 전송손실 = -10 log100.96 = -0.177dB ≈ -0.2dB

• Report : 예제 3-8에서, 유리에서 공기로 광이 진행할 경우 반복하라.


제3장 - 52


B. 입사광이 경계면에 비스듬히 입사 (그림2-1)

여기서, 경계면에 대한 법선과 광이 진행하는 방향이

만드는 평면 = 입사면

입사면에 입사광의 전계가 수직인 경우= 수직편파, S편광( S polarization) , S파, TE파

입사면에 입사광의 전계가 수평인 경우= 수평편파, P 편광( P polarization), P파, TM파

그림 3-21

제3장 - 53

28


S파, P파의 경우 반사계수 ρ ( Fresnel’s Law)

)293()sinnn(ncosn

)sinnn(ncosn

i22

1221i

22

i22

1221i

22

p −θ−+θ

θ−+θ−=ρ

)303()sinnn(cosn

)sinnn(cosn

i22

122i1

i22

122i1

s −θ−+θ

θ−−θ=ρ

S파, P파의 경우 반사계수 ρ ( Fresnel’s Law)( 단, n1= 1, n2 = 1.5 의 경우)

식(3-29,30)에 의해 광도파로(fiber)내의 광 진행 결정

그림 3-22 n1 = 1.0, n2 = 1.5 인 경

우 제3장 - 54


결과 : 1. S파의 경우 R=0 되는 입사각 없음

2. P파의 경우 R=0 되는 입사각 있음 = θB

3. R=0 이면 완전전송

4. θB= Brewster Angle

5. θc = Critical Angle

θB 에서 R = 0 인 경우식 (3-29)의 분자항 = 0

∴ tan θB = n2 / n1 (3-31)

또는, )1313(nn

nsin22

21

2B −−

+=θ

∴θB 에서 반사전력(손실)없이 광 전송가능

그림 3-23 n1 = 1.5, n2 = 1.0 인 유리에서 공기경계의 반사율

제3장 - 55

29


Brewster Angle 이용 예

그림 3-24 He – Ne 가스레이저 튜브의 양끝의 Brewster 각을 갖는 창(W)

• Ex : 예제 3-9공기에서 유리로의 경계와 유리에서 공기로의 경계에 대한 Brewster 각을

구하라

풀이) n1= 1, n2 = 1.5

공기 → 유리 : θB = 식 (3-31) = 56.3˚

유리 → 공기 : θB = 식 (3-31) = 33.7 ˚

제3장 - 56


C. 경계면에서 반사광(파) 줄이기

경계면에 박막층 coatingAntireflection Coating (AR)그림 3-25

n1 n3n2

그림 3-25 무반사 코팅

여기서, 박막층 두께 = 박막 매질(n2)에서 파장의 λ/4

)323(]nnn[]nnn[R 22

231

22231 −

+−

=

R=0 일려면

)333(nnn 312 −=

제3장 - 57

30


• Ex : 예제 3-10공기에서 유리로의 경계에서 무반사가 되도록 하기 위한 코팅의 굴절률을 계산

하라. 다음에 코팅물질이 마그네슘 불화물이고 조사광 파장이 0.8 µm일때 반사

되는 광량과 코팅두께를 계산하라.

풀이) n1= 1, n2 = 1.5, λ = 0.8 µm

1. By 식 (3-33),

2. n2 = 1.225 물질없음 ≅ 1.38 = Magnesium fluoride

n1 = 1, n2 = 1.38, n3 = 1.5

by 식(3-32), R = 0 .014 = 1.4%

3. 예제 3-8 ( AR없는경우)에서 R=4%

4. 식 (3-7),

225.15.1n2 ==

145.04

5797.0

38.18.0n 0

=λ

∴

=λ∴

=λ

=λλ

=

제3장 - 58


D. 해석제한

지금까지 결과 = 경계면 요철크기 < λ

경계면 요철크기 > λ

산란

Diffusion 발생

Snell’s, Fresnel’s Law 불성립

제3장 - 59

31


3-6. Critical Angle Reflection

광의 편파 상태와 무관하게 완전반사 발생 θc

완전반사 발생 입사각 = θc = “Critical Angle”

그림 3-23 n1= 1.5, n2 = 1.0인 유리에서

공기경계의 반사율

그림 3-22 n1= 1.0, n2 = 1.5 인공기에서

유리경계의 반사율

여기서, θc = n1 > n2 경우에만 발생

식 (3-29,30) = 1 상태

)1333(0sinnn i22

122 −−=θ−∴

제3장 - 60


θi → θc

)343(nnsin

1

2c −=θ∴

여기서 , sinθc ≤ 1

∴ n1 > n2일때만 θc 발생

식 (3-34) 이용 예

80.6°1.461.48유리- 유리

73.5°1.41.46유리 – 플라스틱

68.9°1.391.49플라스틱 - 플라스틱

41.8°1.01.5유리 – 공기

θcn2n1경계

표 3-3 임계각

여기서, θi> θc 이어야 n1 영역에서만 광 반사, 진행

제3장 - 61

32


n1(유리) > n2 (공기)에서 θi와 θt 와의 관계

그림 3-27 n1 > n2 일때 θi 가 커짐에 따라 θt 는

90 ° 에 접근한다.

그림 3-26 유리( n1=1.5)에서 공기( n2 =1.0)

로의 경계면에서 전송각

여기서, θi 보다 θt 가 빨리 커진다.

θi > θt 이면 투과파 = 0, 입반사파만 존재

즉, n1 영역에서 정재파 존재 = “Total internal reflection”

제3장 - 62


그림 3-28 정재파와 소멸되는(evanescent) 파동이 전반사 경계면 양쪽에서 각각 존재한다. 여기서, n2 영역에 광(전계)존재 = “evanescent field”

= e-αz 로 감소

)353()nsinn(k 22i

2210 −−θ=α

= θi 의 함수

= θi 가 θc보다 커질수록 급격히 감쇠


3-7. Summary제3장 - 63

3 Lightwave Funamentals

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