Πείραμα3-Φαινόμενο Hall

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Προχωρημένα ΕργαστήριαΦυσικήςΠείραμα:3-Φαινομενο hallΗμερομηνία Εκτέλεσης Πειράματος: 21/02/2012

Ημερομηνία Παράδοσης Αναφοράς: 28/02/2012

Ομάδα 3: Καραλάκης Νίκος (3335)-Χατζιμπαλόγλου Όθωνας(3409)

Προχορημένα Εργαστήρια Φυσικής [ΠΕΙΡΑΜΑ:3-ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ HALL]

Ομάδα3: Καραλάκης Νίκος ΑΜ.3335Χατζιμπαλόγλου Κώστας-Όθωνας ΑΜ.3409

1

Σχήμα 1

Σχήμα 2

Σκοπός του πειράματος:

Σκοπός του πειράματος είναι η παρατήρηση του φαινομένου Hall σε θερμοκρασία δωματίου, σε ένα λεπτό υμένιοημιαγωγού GaAs και η χρήση του φαινομένου για τη μέτρηση χαρακτηριστικών ιδιοτήτων του όπως το είδος, η πυκνότητακαι η ευκινησία των φορέων.

A. Θεωρητικό Μέρος: Κλασσικό φαινόμενο Hall

Το φαινόμενο Hall παρατηρήθηκε το 1879 από τον Edwin Hall. Ο Hall παρατήρησεότι αν θέσουμε σε μαγνητικό πεδίο ένα αγώγιμο έλασμα που διαρρέεται απόρεύμα, τότε αναπτύσσεται διαφορά δυναμικού σε διεύθυνση που είναι κάθετηστο ρεύμα και στο μαγνητικό πεδίο. Το φαινόμενο αυτό, γνωστό ως φαινόμενοHall, το προξενεί η μονομερής απόκλιση των φορέων φορτίου, λόγω τηςαλληλεπίδρασης με το μαγνητικό πεδίο. Η σωστή ανάλυση των πειραματικώναποτελεσμάτων δίνει πληροφορίες για το πρόσημο του

φορτίου των φορέων και για την πυκνότητα τους. Το φαινόμενο Hallχρησιμοποιείται επίσης για την μέτρηση μαγνητικών πεδίων.

Για να παρατηρήσουμε το φαινόμενο Hall, παίρνουμε ένα αγωγό σε σχήμα πλάκας (Σχήμα 1), ο οποίος διαρρέεται απόρεύμα I κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα x . Κατά την κατεύθυνση του άξονα y , υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο

B .

Εάν οι φορείς φορτίου είναι αρνητικά φορτισμένοι (ηλεκτρόνια), η επάνω πλευρά αποκτά περίσσευμα αρνητικού φορτίου καιτο σημείο c έχει χαμηλότερο δυναμικό από το a (Σχήμα 2).

Όταν οι φορείς είναι θετικά φορτισμένοι (οπές), η επάνω πλευρά αποκτά περίσσευμα θετικού φορτίου και το σημείο c έχειυψηλότερο δυναμικό από το a (Σχήμα 3).



2

Σχήμα 3

Και στις δύο περιπτώσεις παύουν να εκτρέπονται οι φορείς φορτίου όταν οι πλευρές φορτιστούν πλήρως, δηλ. όταν επέλθειισορροπία ανάμεσα στην ηλεκτροστατική δύναμη και στη μαγνητική δύναμη. Η διαφορά δυναμικού στα σημεία a και cονομάζεται τάση Hall, HV . Αυτή είναι ανάλογη του μέτρου του μαγνητικού πεδίου και της έντασης του ρεύματος που

διαρρέει το δείγμα. Η μέτρηση της τάσης Hall, δίνει συμπεράσματα για το είδος, τον αριθμό και την ευκινησία των φορέωντου δείγματος.

Στερεό σώμα με ένα είδος φορέων

Θα εξετάσουμε την περίπτωση δείγματος (μεταλλικός αγωγός, ημιαγωγός τύπου n ) με ένα είδος μόνο φορέων, π.χ.ηλεκτρόνια.

Η πυκνότητα ρεύματος που διαρρέει το δείγμα είναι ίση με

e e e e eJ v en v

(1)

και οι συνιστώσες αυτής

2 21e e

ex x e ye

enJ E BEB

(2)

2 2 01

e eey y e x y e x

e

enJ E BE E BEB

(3).

(κατά τον άξονα y δεν έχουμε ροή ρεύματος)

Όπου,

ev

η μέση ταχύτητα που αποκτούν οι φορείς των ηλεκτρονίων

en η αριθμητική πυκνότητα των φορέων

e η ευκινησία των φορέων



3

Αντικαθιστώντας την 3 στην 2, παίρνουμε

ex e e xJ en E (4),

Ενώ από τις σχέσεις 3, 4 και τον ορισμό του συντελεστή Hall, έχουμε:

(5)

Επομένως, ο συντελεστής Hall εξαρτάται μόνο από το πρόσημο και την πυκνότητα των φορέων φορτίου.

Μαγνητοαντίσταση

Η αντίσταση τόσο των μετάλλων όσο και των ημιαγωγών μεταβάλλεται όταν τοποθετηθούν σε μαγνητικό πεδίο. Αυτό τοφαινόμενο λέγεται μαγνητοαντίσταση και παρατηρείται πιο έντονο σε χαμηλές θερμοκρασίες.

Καθετήρας Hall:

Η λειτουργία του οργάνου αυτού στηρίζεται στο φαινόμενο Hall. Δείγμα ημιαγωγού, γνωστού HR διαρρέεται από σταθερό

ρεύμα. Τότε η τάση Hall που δείχνει το όργανο είναι ανάλογη του μαγνητικού πεδίου που θέλουμε να μετρήσουμε. Ησταθερά αναλογίας είναι γνωστή: 1mV αντιστοιχεί σε 100mT .

Μέθοδος μετρήσεων του Van Der Pauw:

Η μελέτη των βασικών ηλεκτρικών ιδιοτήτων των ημιαγωγών (ειδική αντίσταση, τύπος αγωγιμότητας, ευκινησία καισυγκέντρωση φορέων) απαιτεί χρήση εξειδικευμένων μεθόδων με προτιμότερη αυτή του Van Der Pauw. Ένα σημαντικόχαρακτηριστικό της τεχνικής αυτής, είναι η δυνατότητα υπολογισμού της επιφανειακής αντίστασης, της επιφανειακήςσυγκέντρωσης και ευκινησίας των φορέων του ημιαγωγού, χωρίς να είναι γνωστή καμία διάσταση του εξεταζόμενουδείγματος. Βασική προϋπόθεση χρήσης της μεθόδου αυτής είναι το δείγμα να είναι επίπεδο, ομογενές, ισοτροπικό, συνεχές(χωρίς τρύπες) και να φέρει σημειακές επαφές στην περιφέρεια του.

B. Πειραματικό Μέρος-Ανάλυση Μετρήσεων

a) Μέρος Α': Δημιουργία και Μέτρηση του Μαγνητικού ΠεδίουΠραγματοποιούμε το ηλεκτρικό κύκλωμα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Σχήμα 5



4

Σκοπός μας στο μέρος αυτό του πειράματος είναι να βαθμονομήσουμε τη συσκευή του καθετήρα Ηall φτιάχνονταςτην καμπύλη βαθμονόμησης B=f(Im). Μεταβάλλουμε το ρεύμα (Im) που διαρρέει τα πηνία (προσέχοντας η τιμή ναμην υπερβαίνει τα 5Α ) και παίρνουμε τις αντίστοιχες μεταβολές του μαγνητικού πεδίου. Στη συνέχεια αλλάζονταςτη φορά ρεύματος παίρνουμε πάλι τις αντίστοιχες μεταβολές μαγνητικού πεδίου. Οι μετρήσεις μας φαίνονται στοπίνακα 1:

1ί

Με βάση τον Πίνακα 1 φτιάχνουμε την καμπύλη βαθμονόμησης (Διάγραμμα 1), όπου στον άξονατοποθετούμε τις τιμές της έντασης του μαγνητικού πεδίου και στον άξονα x τις τιμές τις έντασης τουρεύματος μαζί με τα σφάλματα τους (στην περίπτωση του μαγνητικού πεδίου δεν είναι διακριτά τασφάλματα στο διάγραμμα μας, γιατί είναι πολύ μικρά)

703 5.0625 4.0529 3.0367 2.0190 1.0

14 0.0-170 -1.0-360 -2.0-527 -3.0-634 -4.0-698 -5.0

( 1 )B mTesla ( 0,1 )I A



5

Διάγραμμα 1

Στο διάγραμμα παρατηρούμε ότι η ένταση του μαγνητικού πεδίου εξαρτάται γραμμικά από την ένταση του ρεύματος (y ax b )Προσαρμόζοντας ευθεία στο παραπάνω διάγραμμα, προσδιορίζουμε την εξίσωση βαθμονόμησης του

μαγνητικού πεδίου , η οποία έχει ως εξής

154.75 3.55B I

Και το σφάλμα: 22 2

2 2 2m m m

m

B B BB b I a I b b I ab I a

Από την προσαρμογή των ελαχίστων τετραγώνων της γραφικής έχουμε ότι:

Όπου α=154.7 και b=3.5

0.2b και

0.4a

y = 154.75x + 3.5455

-800.00

-600.00

-400.00

-200.00

0.00

200.00

400.00

600.00

800.00

-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00

B=f(I)B(±1mTesla)

I(±0,1A)



6

b) Μέρος Β’ :Μέτρηση της Ειδικής Αγωγιμότητας

Στο μέρος αυτό θα προσδιορίσουμε την ειδική αντίσταση ενός δείγματοςημιαγωγού GaAs , κάνοντας χρήση της μεθόδου Van Der Pauw.

Αρχικά, κατασκευάζουμε την διάταξη κυκλώματος του σχήματος 6. Θασυμβολίσουμε την κάθε αντίσταση ως

,kl k l

ij klij ij

V V VRI I

(6),

i: ο ακροδέκτης που συνδέεται στο θετικό πόλο της πηγής έντασης

j: ο ακροδέκτης που συνδέεται στον αρνητικό πόλο της πηγής έντασης

k:ο ακροδέκτης που συνδέεται στο θετικό πόλο του βολτομέτρου

l: ο ακροδέκτης που συνδέεται στον αρνητικό πόλο του βολτομέτρου

Η ειδική αντίσταση , με 0B , προσδιορίζεται ως εξής:

, ,

ln 2 2ij kl ki ljR Rt f

(7)

21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,231

ln 2 8 A Bt R R R R f R R R R f (8)

2 2 2 2 2 2 2

21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23

R R R R R R R RR R R R R R R R

2

23

2 22 22 221,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23 21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23

1ln28 A B A Bt f R R R R f R R R R R R R R f R R R R f

Όπου,

t το πάχος του αγώγιμου στρώματος του δείγματος ημιαγωγού

Af , Bf τιμές του παράγοντα διόρθωσης για ασυμμετρίες του δείγματος

Σχετικά με τις τιμές του παράγοντα διόρθωσης, Af & Bf , τις προσδιορίζουμε μέσω της καμπύλης f Q (Σχήμα 7), όπουQο παράγοντας συμμετρίας:

Σχήμα 6



7

32,41 23,41

21,34 12,34A

R RQ

R R

(9)

2 2 2 2

32,41 23,41 21,34 12,3432,41 23,41 21,34 32,41

2 2

32,41 23,4132,41 23,41 2

21,34 12,34 21,34 12,34 21,34

1 1

A A A AA

Q Q Q QQ R R R RR R R R

R RR R

R R R R R

2 2

32,41 23,4121,34 12,342

12,34

R RR R

R

14,23 41,23

43,12 34,12B

R RQ

R R

(10)

2 2 2 2

14,23 41,23 43,12 34,1214,23 41,23 43,12 34,12

2 2

14,23 41,2314,23 41,23 2

43,12 34,12 43,12 34,12 43,12

1 1

B B B BB

Q Q Q QQ R R R RR R R R

R RR R

R R R R R

2 2

14,23 41,2343,12 34,122

34,12

R RR R

R

Για κάθε μια από τις αντιστάσεις της εξίσωσης (8), μεταβάλλουμε την τιμή της έντασης του ρεύματος ijI ή I που διαρρέει το

υμένιο ημιαγωγού, προκαλώντας έτσι αντίστοιχη μεταβολή της τιμής τάσης klV ή HV .

Οι μετρήσεις μας φαίνονται στους παρακάτω πίνακες (2-9) και κατ επέκταση φτιάχνουμε τα διαγράμματα (2-9) VH=f(Iδ) τωνοποίων η κλίση εκφράζει την αντίσταση.

Kατά την μετρήσεις σε αυτό το μέρος ο ημιαγωγός δεν διαρρέεται από μαγνητικό πεδίο (Β= 0)!!

Σχήμα 7



8

Πίνακας 2-R21,34

Ι21(±0,2mA) V34(±0,001Volt)

1.0 0,0812.0 0,1513.0 0,2304.0 0,3015.0 0,375

Διάγραμμα 2 - R21,34=73.8 mΩ

y = 0.0738x + 0.0062

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lt)

I(mA)



9


Ι12(±0,2mA) V34(±0,001Volt)

1.0 -0.0792.0 -0.1513.0 -0.2324.0 -0.3075.0 -0.382

Διάγραμμα 3 - R12,34=-76.2mΩ

y = -0.0762x - 0.0016

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lt)

I(mA)



10


Ι23(±0,2mA) V41(±0,001Volt)

1.0 -0.092.0 -0.1723.0 -0.2484.0 -0.3275.0 -0.408

Διάγραμμα 4 - R23,41=-79.1mΩ

y = -0.0791x - 0.0117

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lt)

I(mA)



11


Ι32(±0,2mA) V41(±0,001Volt)

1.0 -0.0932.0 -0.1733.0 -0.2554.0 -0.3375.0 -0.416

Διάγραμμα 5 - R32,41=81mΩ

y = 0.081x + 0.0118

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lt)

I(mA)



12

Πίνακας 6- R43,21

Ι43(±0,2mA) V21(±0,001Volt)

1.0 0.0792.0 0.1513.0 0.234.0 0.3045.0 0.378

Διάγραμμα 6 - R43,21=75.1mΩ

y = 0.0751x + 0.0031

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lts)

I(mA)



13


Ι34(±0,2mA) V12(±0,001Volt)

1.0 -0.0792.0 -0.1573.0 -0.2324.0 -0.3085.0 -0.385

Διάγραμμα 7 - R34,12=-76.3

y = -0.0763x - 0.0033

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lts)

I(mA)



14


Ι14(±0,2mA) V23(±0,001Volt)

1.0 0.0922.0 0.1743.0 0.2624.0 0.3475.0 0.431

Διάγραμμα 8 - R14,23=85.1mΩ

y = 0.0851x + 0.0059

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lt)

I(mA)



15


Ι41(±0,2mA) V23(±0,001Volt)

1.0 -0.0912.0 -0.1713.0 -0.2564.0 -0.3435.0 -0.425

Διάγραμμα 9 - R41,23=-84mΩ

Αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόσημο (-) στα παραπάνω αποτελέσματα μας οφείλετε στο ότι, στο πείραμα μας αντιστρέψαμε

την τάση στο δείγμα μας και είχαμε αρνητικές τιμές στην τάση και από τον νόμο του Ohm ( VR I ) είναι φυσικό το

πρόσημο της αντίστασης (κλίση της ευθείας= αντίσταση) να είναι αρνητικό… Το ίδιο ακριβώς γίνεται και στο επόμενομέρος!!!

y = -0.084x - 0.0052

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V=f(I)

V(Vo

lts)

I(mA)



16

Συνεπώς, βάση των παραπάνω, έχουμε:

21,34 12,34

32,41 23,41

0,934A

R RQ

R R

43,21 34,12

14,23 4123

0,954B

R RQ

R R

Από το σχήμα 7 βλέπουμε ότι 0,9 0,1A Bf f

310t mm

21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,231

ln 2 80.3216 0.0031

A Bt R R R R f R R R R f

m

Και η αγωγιμότητα του ημιαγωγού είναι : 3 11 3.110

Επίσης αξίζει να σημειωθεί, ότι, ένα σφάλμα που υπεισέρχεται στις μετρήσεις με τη μέθοδο Van Der Pauw, οφείλεται στοπεπερασμένο μέγεθος των μεταλλικών επαφών, αντί σημειακών επαφών που υποθέτει το μοντέλο Van Der Pauw. Αυτό τοκαταλαβαίνουμε από την έλλειψη ακρίβειας στο διάγραμμα του παράγοντα διόρθωσης .

c) Μέρος Γ’: Τρόπος Υπολογισμού Συντελεστή Hall (RH)Στο μέρος αυτό θα υπολογίσουμε το συντελεστή Hall HR ενός δείγματος ημιαγωγού GaAs , κάνοντας χρήση της μεθόδου

Van Der Pauw,

Συνδεσμολογούμε το κυκλώματα του σχήματος 8, όπου το τελευταίο θατοποθετείται ανάμεσα στο πόλους του πηνίου του πρώτου. Ενώ βρίσκεται τοδείγμα ημιαγωγού υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου B , η μία διαγώνιος του(1,3) διαρρέεται από ρεύμα I . Τότε παρατηρούμε μια διαφορά δυναμικού σταάκρα της

άλλης διαγώνιου (2,4), δηλ. μια τάση Hall.

Ρυθμίζουμε το κύκλωμα του σχήματος 5, ώστε το πηνίο να διαρρέεται με σταθερή τιμή έντασης ρεύματος (3 0.1)mI A .

Έτσι, κατορθώνουμε σταθερής έντασης μαγνητικό πεδίο B , το οποίο υπολογίζεται βάση της εξίσωσης της βαθμονόμησηςτου Α΄ μέρους. Προκύπτει ότι: (464 1)mTesla

Σχήμα 8



17

Για κάθε μια από τις αντιστάσεις της εξίσωσης (14), μεταβάλλουμε την τιμή της έντασης του ρεύματος ijI ή I που διαρρέει

το υμένιο ημιαγωγού, προκαλώντας έτσι αντίστοιχη μεταβολή της τιμής τάσης klV ή HV .

Οι μετρήσεις μας φαίνονται στους παρακάτω πίνακες (10-17) και κατ επέκταση φτιάχνουμε τα διαγράμματα (10-17) VH=f(Iδ)των οποίων η κλίση εκφράζει την αντίσταση.

Ο συντελεστής Hall, HR , προσδιορίζεται ως εξής:

31,42 13,42 42,13 24,13 13,42 31,42 24,13 42,13

8

B B B B B B B B

H

R R R R R R R RtRB B

(14)

31,42 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42

31,42 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42

2 2 2 2 22B B B B B BH H H H H H H

H B B B B B B

R R R R R R RR B R R R R R RB R R R R R R

42,13 24,13

42,13 24,13

31,42 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42 42,13 24,13 31,42

2 2 2 2

2 2 2

8 8 8

B BH H HB B

B B B B B B B B B

R R RR R BR R B

t t tR R R R R R R R B R

13,42 42,13 24,13 31,42 13,42 42,13 24,13

2 2 2 2 2 2 2

8 8 8 8 8 8 8B B B B B B Bt t t t t t tB R B R B R B R B R B R B R



18

Πίνακας 10

R31,42(+B)

Ι31(±0,2mA) V42(±0,001Volt)

1.0 0.1002.0 0.1923.0 0.2704.0 0.3615.0 0.445


y = 0,0859x + 0,0159

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

0.400

0.450

0.500

0 1 2 3 4 5 6

V( V

olt)

I(mA)

V=f(I)



19

Πίνακας 11

R13,42(+B)

Ι13(±0,2mA) V42(±0,001Volt)

1.0 -0.1022.0 -0.1943.0 -0.2874.0 -0.3805.0 -0.464


y = -0.091x - 0.0124

-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)

V=f(I)



20

Πίνακας 12

R42,13(+B)

Ι42(±0,2mA) V13(±0,001Volt)

1.0 0.0802.0 0.1543.0 0.2304.0 0.3055.0 0.381


y = 0.0753x + 0.0041

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)

V=f(I)



21

Πίνακας 13

R24,13(+B)

Ι24(±0,2mA) V13(±0,001Volt)

1.0 -0.0782.0 -0.1583.0 -0.2254.0 -0.3005.0 -0.371


y = -0.0728x - 0.008

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)



22

Πίνακας 14

R13,42(-B)

Ι13(±0,2mA) V42(±0,001Volt)

1.0 0.0812.0 0.1693.0 0.2394.0 0.3175.0 0.395


y = 0.0776x + 0.0074

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)

V=f(I)



23

Πίνακας 15

R31,42 (-B)

Ι31(±0,2mA) V42(±0,001Volt)

1.0 -0.0852.0 -0.1653.0 -0.2434.0 -0.3205.0 -0.399


y = -0.0783x - 0.0075

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)

V=f(I)



24

Πίνακας 16

R24,13(-B)

Ι24(±0,2mA) V13(±0,001Volt)

1.0 0.1022.0 0.2053.0 0.3004.0 0.3965.0 0.491


y = 0.0969x + 0.0081

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)

V=f(I)



25

Πίνακας 17

R42,13(-B)

Ι42(±0,2mA) V13(±0,001Volt)

1.0 -0.0982.0 -0.2003.0 -0.2944.0 -0.3835.0 -0.472


Με βάση τα αποτελέσματα των παραπάνω διαγραμμάτων έχουμε :

310t mm

31,42 13,42 42,13 24,13 13,42 31,42 24,13 42,13

36 61 180,7 10 1,9 10

8B B B B B B B B

Ht mR R R R R R R R RB Cb

Και η ευκινησία των ηλεκτρονίων :

y = -0.0931x - 0.0101

-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

00 1 2 3 4 5 6

V(Vo

lt)

I(mA)

V=f(I)



26

36 3(180.7 3.1) 10 10 0.56e H

mRCb

Συγκρίνοντας τις πειραματικές μας τιμές με τις θεωρητικές :

3-6100,8 10HmRCb

και

3

0.68emCb

Έχουμε τις εκατοστιαίες διαφορές :

% 100 79.26%H H

H

R RR

και

% 100 17.64%e e

e

Παρατηρούμε, ότι, η απόκλιση από τη θεωρητική τιμή της αντίστασης Hall είναι σημαντική. Αυτό μπορεί να συμβαίνει λόγωτου ότι το δείγμα ημιαγωγού δεν ήταν σε καλή κατάσταση. Συγκεκριμένα, η μόνωση ενδέχεται να ήταν ελλιπής μεαποτέλεσμα την μη καλή προστασία του δείγματος.

Ενώ η απόκλιση της ευκινησίας των φορέων μας, βγήκε σχετικά μικρή...Που σημαίνει ότι η πειραματική μας τιμή βρίσκεταιπολύ κοντά στην θεωρητική μας!!!

Επίσης έχουμε από την σχέση 16 31 1 3.45 10HR n cmn e R e

η πειραματική τιμή της πυκνότητας των

φορέων… και επειδή η πειραματική τιμή Hall είναι θετική ο ημιαγωγός μας είναι τύπου p.. έχει πλεόνασμα σε οπές (e+).

Και η εκατοστιαία διαφορά από την θεωρητική τιμή της ( 16 36.2 10n cm ) είναι :

% 100 45.16%n nn

Παρατηρούμε ότι και εδώ έχουμε μεγάλη απόκλιση από την θεωρητική μας τιμή και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι και η

πειραματική τιμή της αντίστασης Hall είχε και αυτή μεγάλη διαφορά από την θεωρητική… και η πυκνότητα των φορέων

επηρεάζεται από την αντίσταση Hall!!!



27

d) Δ Μέρος: Διαφορετικός τρόπος υπολογισμού της αντίστασης Hall

Πραγματοποιούμε την τελευταία πειραματική διάταξη του τρίτου μέρους. Μεταξύ των πηνίων εισάγουμε το υμένιο τουημιαγωγού, το οποίο διαρρέεται από σταθερό ρεύμα Iδ=3mA. Μεταβάλλουμε το ρεύμα που διαρρέει τα πηνία(προσέχοντας η τιμή να μην υπερβαίνει τα 5Α ) και παίρνουμε τις αντίστοιχες μεταβολές της τάσης που αναπτύσσεταιστα άκρα του ημιαγωγού(VB). Η τάση Hall στη περίπτωση αυτή υπολογίζεται αν από την τάση VB αφαιρέσουμε την αρχικήτάση(V0=0.036 volts), η οποία αναπτύσσεται χωρίς την ύπαρξη μαγνητικού πεδίου.

Το μαγνητικό πεδίο Β υπολογίζεται από την εξίσωση της καμπύλης βαθμονόμησης:

154.75 3.55B I

Οι μετρήσεις μας φαίνονται στον παρακάτω πίνακα!!

Πίνακας Τάσης Hall Με Μαγνητικό Πεδίο

Ι(±0.1Α) V13(±0.001 Volt) Vhall(±0.001 Volt) B (mT)±0,4mT0 -0.036 0.000 3.551 -0.116 -0.080 158.32 -0.207 -0.171 313.053 -0.291 -0.255 467.84 -0.341 -0.305 622.555 -0.368 -0.332 777.3

Και προκύπτει το διάγραμμα:



28

Τα σφάλματα στο διάγραμμα μας δεν φαίνονται, γιατί είναι πολύ μικρά με βάση την κλίμακα!!

Όπου από την κλίση της ευθείας και την σχέση hall HB IV Rt

μπορούμε να βρούμε την τιμή της αντίστασης Hall αφού

γνωρίσουμε το πάχος του ημιαγωγού t και την ένταση ρεύματος που διαρρέει τον ημιαγωγό I ….

Οπότε από την κλίση της ευθείας έχουμε ότι :3

60.4 0.4 133.3 10Ht mR R

t I Cb

Και η εκατοστιαία διαφορά από την θεωρητική τιμή της είναι :

% 100 32,24%H H

H

R RR

Η απόκλιση από τη θεωρητική τιμή είναι σημαντική. Αυτό μπορεί να συμβαίνει λόγω του ότι το δείγμα ημιαγωγού δεν ήτανσε καλή κατάσταση. Συγκεκριμένα, η μόνωση ενδέχεται να ήταν ελλιπής με αποτέλεσμα την μη καλή προστασία τουδείγματος.

H αποκλιση αυτή κατά κύριο λόγο οφείλεται στο πεδίο Β αφού το όργανο που χρησιμοποιήθηκε (καθετήρας Ηαll) δίνει καλήακρίβεια μέχρι και 100 mT. Επισης σφάλμα υπεισέρχεται λόγω των μη-σημειακών επαφών που υπάρχουν.

y = -0.0004x - 0.0161

-0.400

-0.350

-0.300

-0.250

-0.200

-0.150

-0.100

-0.050

0.000

0.050

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

V Hall(

Volts

)

B(mT)

Vhall=f(B)



29

Επίσης υπολογίζουμε την πυκνότητα των φορέων σύμφωνα με τη σχέση 16 31 1 4.7 10HR n cmn e R e

Και η εκατοστιαία της διαφορά από την θεωρητική είναι :

% 100 24,19%e e

e

n nn

Η ευκινησία των φορέων είναι :2

0.41hmR Cb

Και η εκατοστιαία διαφορά από την θεωρητική τιμή είναι :

% 100 32,25%e e

e

Ερωτήσεις Θεωρίας

Ερώτηση 6.1:

Μήπως μπορείτε να δικαιολογήσετε γιατί είναι πειραματικά πιο δύσκολη η μέτρηση του συντελεστή Hall στα μέταλλα απόότι στους ημιαγωγούς ;

Απάντηση 6.1 :

Όπως είδαμε RH =-1/nee και στα μέταλλα το ne είναι της τάξης του 10 22 ενώ στους ημιαγωγούς το ne είναι 3 και 4 τάξειςμικρότερο . Οπότε αντίστοιχα ο συντελεστής Hall στα μέταλλα θα είναι 3~4 τάξεις μεγέθους μικρότερος από ότι στουςημιαγωγούς. Όσο μικρότερη είναι μια ποσότητα τόσο πιο δύσκολα την μετράμε.

Ερώτηση 6.2 ;

Που περιμένετε να επηρεαστούν περισσότερο τα αποτελέσματα σας με τη αύξηση της Θερμοκρασίας του δείγματος : σε ένανημιαγωγό η σε έναν αγωγό ;

Απάντηση 6.2 :

Η ειδική αντίσταση σε ένα αγωγό εξαρτάται από τη θερμοκρασία με τον εξής τρόπο: ρ=ρο(1+α(Τ-Το)), άρα όσο αυξάνεται ηθερμοκρασία τόσο αυξάνεται και η αντίσταση του αγωγού. Αντίθετα στους ημιαγωγούς η αύξηση της θερμοκρασίας δίνειστα ηλεκτρόνια ενέργεια ώστε να ξεπεράσουν το χάσμα και να φτάσουν στην ζώνη αγωγιμότητας, άρα αυξάνει τους φορείςτου ρεύματος. Επειδή στα μέταλλα η εξάρτηση της ειδικής αντίστασης είναι γραμμική με την θερμοκρασία, για ναπαρατηρήσουμε μεγάλες αλλαγές θα πρέπει να παμε σε υψηλές θερμοκρασίες. Οι ημιαγωγοί όμως είναι πιο ευαίσθητοι στιςαλλαγές της θερμοκρασίας γιατί το χάσμα έχει συγκεκριμένη τιμή, οπότε μια αλλαγή θερμοκρασίας τέτοια ώστε να δίνειενέργεια Ε=κ Β Τμεγαλύτερη από το χάσμα μπορεί να δώσει διαφορετικά αποτελέσματα.



30

Ερώτηση 6.3 :

Βασική προϋπόθεση για την εξαγωγή πολλών σχέσεων της θεωρίας είναι ότι το πεδίο είναι ασθενές. Η υπόθεση αυτήεκφράζεται ως μ2Β2<<1 . Ισχύει αυτή η υπόθεση στις μετρήσεις που κάνατε;

Aπάντηση 6.3 :

To μαγνητικό πεδίο είναι της τάξης των 10 -4 Τ,και το μ της τάξης των 10-1 Τ -1

Οπότε μ2Β2 ~10-10<<1

Ερώτηση 6.4 :

Tι είναι το κβαντικό φαινόμενο Hall και ποιες οι πιο σημαντικές εφαρμογές του;

Aπάντηση 6.4 :

Σε χαμηλές θερμοκρασίες και σε ισχυρά μαγνητικά πεδία, δισδιάστατα συστήματα ηλεκτρονίων σε ημιαγωγούς έχουνκβαντισμένη αγωγιμότητα ίση προς σ=i(e 2 /h)όπου i= ένας μικρός ακέραιος, e : το φορτίο του ηλεκτρονίου, h σταθεράPlanck. Αν μετρήσουμε την τάση Hall μεταβάλλοντας το μαγνητικό πεδίο θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν περιοχές όπου ητάση Hall δεν μεταβάλλεται , δηλαδή η δισδιάστατη αγωγιμότητα είναι κβαντισμένη. Η κυριότερη εφαρμογή του κβαντικούφαινομένου του Hall είναι η δυνατότητα μέτρησης του λόγου θεμελιωδών ποσοτήτων π.χ του e 2 /h με σφάλμαμικρότερο από 1:10 9 . Άμεση συνέπεια της μέτρησης αυτής είναι ο προσδιορισμός με μεγάλη ακρίβεια της σταθεράς λεπτήςυφής a=e 2 /h ~1/137.Τελος το κβαντικό φαινόμενο Hall μας δίνει την δυνατότητα να ορίσουμε ένα νέο τρόπο εύχρηστοπρότυπο αντίστασης.

Πείραμα3-Φαινόμενο Hall

Documents

Transcript of Πείραμα3-Φαινόμενο Hall