3. Общая задача Коши. Функция

Римана

1.Функция Римана Рассмотрим задачу:

(1)

(2)

(3)

Кривая С – бесконечно гладкая кривая, делящая плоскость (х,у) на

две криволинейные полуплоскости D+ и D- и удовлетворяющая

условиям:

а) кривая С не является характеристикой уравнения (1);

б) любая характеристика уравнения (1) пересекает кривую С

только 1 раз.

( , ), ( , ) ,

( , ) ( , ), ( , ) ,

( , ) ( , ), ( , ) C.

xy

un

u f x y x y D

u x y x y x y C

x y x y x y

В формуле (3) - производная по нормали к кривой С,

направленная внутрь области D+.

Построим формулу, выражающую решение задачи (1) – (3)

в любой точке М области D+.

y

B

D-

D+

D

M A

C

0 X

n

n

Рассмотрим выражение

(4)

где (5)

(6)

Формула Грина:

где

12

,Q P

xy xy x yVu uV

, ,x xP u V V u Vu

, .y yQ u V Vu V u

12

Q Pxy xy x y

D

Vu uV dxdy dxdy

12

,Pdx Qdy

.D D

Рассмотрим интегралы вдоль характеристик АМ и ВМ:

(7)

(8)

(6)-(8)

Пусть u(x,y)-решение задачи (1)-(3), а V(x,y)-решение задачи (10) с данными

на характеристиках (задача Гурса):

2

A A A

x x xM A

M M M

Pdx V u Vu dx Vu Vu V udx

2

M M M

yV y yM B

B B B

Qdy u uV dy Vu Vu uV dy

1

2 2 +A B

B A MVu Vu

xy xy x yM

D A M B

Vu uV dxdy Vu Pdx Qdy V udx uV dy

Функция V=1 в области D удовлетворяет всем условиям задачи (10) и

представляет собой частный случай функции Римана.

Подставим V=1 в (9)

(1)-(3)

(11)

На дуге АВ известны выражения

Формула (11) даёт решение задачи (1)- (3) через входные данные.

0, ( , ) ,xyV x y D

0, 0, ( )=1x yAM BMV V V M

( ) ( ) 12 2

( )

B

u A u B

xy x y

D A

u dxdy u M u dx u dy

( ) ( ) 12 2

( ) ,

B

A B

x y

A D

u M u dx u dy f x y dxdy

cos , cos , , x nu u x u n x sin , sin ,y nu u x u n x

Замечание. Из формулы (11) следует:

1)Теорема единственности решения задачи (1)-(3);

2)Теорема устойчивости решения задачи (1)-(3);

3)Теорема существования решения задачи (1)-(3) (при выполнении

условия гладкости входных данных.

Рассмотрим более общую задачу:

(12)

(13)

(14)

Определение. Два дифференциальных оператора L и K называются

сопряженными, если разность является разностью первых

частных производных по Х и У от некоторых выражений P и Q:

(15)

Причем P не содержит производной Uy, а Q не содержит производной Ux.

, , , , , ,xy x yL u u a x y u b x y u c x y u f x y x y D

, , , , ,u x y x y x y C

, , , , .un

x y x y x y C

VL u uK V

12

,Q Px y

VL u uK V

Сопряженным к оператору L будет оператор K:

(16)

Для операторов L и K выполняется (15) при

(17)

Формула Грина:

(18)

Интегрируем по частям:

(19)

xy x yK V V aV bV cV

, 2 , , 2x x y yP u V uV u V buV Q u V Vu V u auV

1 12 2

Q Px y

D D

VL u uK V dxdy dxdy Pdx Qdy

1 1 12 2 2

A M

M AB B

Pdx Pdx Qdy Qdy

2 ,

A A

M M

Pdx u M V M u A V A P V udx

2 ,

M M

B B

Qdy u M V M u B V B Q V udx

где

(20)

Рассмотрим задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):

на АМ, на MB,

Можно показать, что решение задачи (21) всегда существует. Она называется функцией Римана. Функция V(M,M1) удовлетворяет по координатам точки М1 задаче (21) и зависит от точки М как от параметра.

Интеграл по АВ легко вычисляется, поскольку функции

известны.

Замечание. Любая характеристика уравнения (12) должна пересекать кривую С не более одного раза. Если характеристика пересекает кривую С

в двух точках А и М1, то значение U(M1) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:

, x yP V V bV Q V V aV

0 , ,K V x y D

0P V

11 1 1 2

,D AB

V M M f M d Pdx Qdy

2(18) (21), (12) A

V V Bu M

, ,V

0Q V 1.M

V

Если характеристика пересекает кривую С в двух точках А и М1, то значение

U(М1) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:

(23)

с начальным значением, заданным на дуге АВ1 и функцией f(x,у), заданной в

области D1 – криволинейном треугольнике М1В1А.

У

В

В1

М1 М А

0 С Х

1

1 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2

( )

B

u A V A u B V B

D A

u M Vfdxdy Pdx Qdy

Пусть - локальная функция точки М1:

где - окрестность точки М1.

Условие нормировки

2. Физический смысл функции Римана

Рассмотрим задачу:

, ( , ) , 0, 0.nC CL u f x y D u u

11 1(22) ( ) ( , ) ( ) (24)M

D

u M V M M f M d

( )f M1

( ) 0, ,Mf M M S

1MS

1

1

1( ) 1, 0 (25)

M

M

s

f M d

V(М1)- функция влияния единичного точечного импульса, приложенного в

точке М1.

Рассмотрим функцию U=U(М,М1), зависящую от точки М1 как от параметра

и удовлетворяющую по координатам точки М следующей задаче Гурса:

1

1

( , ) ( ( , ), . (26)

M

M

s

V M M f V M M M S

1

1

1 1( ) ( , ) ( )

M

M

S

u M V M M f M d

0 10

(26) ( ) lim ( ) ( , ) u M u M V M M

1

1 1,

1 1,

0,

0 , (27)

0 ,

1.

x

y

M

L u

u bu x y M A

u au x y B M

u

• У

• В

• А1 М1

• М В1 А

• 0 Х

Задача (27) полностью определяет функцию U в четырехугольнике МВ1М1А1,

образованном отрезками характеристик.

Проинтегрируем формулу Грина (18) по четырехугольнику МВ1М1А1,

учитывая формулы (21) и (27).

1 1 1

1 1

1 1

1

1

1 1 12 2 2

112

1 1

(18), (21), (27)

( )

2 (28)

2 0.

Òàê êàê 1, 1, òî u(M,M ) ( , ) (29)

MB M A

B AM

x x

M A M

M

y y M

B

M

VL u uK V dxdy

Pdx Qdy uV Vu buV dx

Vu uV auV dy uV uV M

V u M V M M

3. Уравнения с постоянными

коэффициентами

1. Функция Римана для уравнения

Так как оператор - самосопряженный,

то

0.xyu cu xyL u u cu K u

(21)

0

0

0,

0 ( , ) ,

0 í à M , (30)

0 í à BM

1

xy

x

y

M

V CV x y D

V A

V

V

0 0

0 (x,y) D, (31)

1 í à M , í à ÂÌ .

xyV CV

V A

Ищем функцию Римана в виде , где

2. Задача Коши для уравнения колебаний. Рассмотрим задачу:

Замена:

( )V V z

0 0 0 0 0( )( ), , , M= , .

(31) V(0)=1 (32)

z x x y y M x y x y

0 1 1 12 4 4

, V + 4 0 (33)y y

x xyz z zV V V V V V CV

0 0 0 0 0 0( , ) ( , , , ) (2 ( )( )) (34)V M M V x y x y J C x x y y

0 0

0, - , 0, (35)

( ), ( ), .

tt zz t z

tt t

u u au bu gu z t

u z u z z

2 2 (36)a bt z

u Ue

Перейдем к переменным Х и У:

2

2

1 (37)0

20

0, - <z< , t>0,

( ) ( ),

( ( ) ( )) ( ), - <z< ,

b

b

tt zz

z

t

zat t

U U CU

U z e z

U z z e z

2 2

4 4.a bC g

2 2, , z= . (38)

x y x yx t z y t z t

4

1 20

) 20

0,

( ), (39)

( ( )

Cxy

x y

x y

x y

x y x y

W W

W

W W

A(-y0,y0) M(x0,y0)

y=-x

B(x0,-x0)

При С=0 из (40) получаем формулу Даламбера:

1 0 0( ) ( )

0 0 2

12

0 y=-x, dx=dz, dy=-dz

(22) W(x , )

( ) ( ) (40)

y x

y y x x

AB

t

y

VW WV dy WV W V dx

1 12 2( ), U ( ) (41)x t z y t zW U U U U

1 0 0 1 0 0( ) ( )

0 0 2(34),(40),(41) U(z , )

z t z tt

0 0

2 21 0 0

2 20 0

0 0

( ( )2 211 0 0 0 1 02 ( )( ) ( ( ) ) ( ) dz (42)

z t

J C t z z

t z zz t

z J C t z z z Ct

0 0

1 0 0 1 0 0

0 0

( ) ( ) 10 0 12 2

( , ) ( ) (43)

z t

z t z t

z t

U z t z dz