3 Electrostática en medios materiales...La rigidez eléctrica de un aislador es el campo máximo...

Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 1/44

3 Electrostática en medios materiales

M. Mudarra

3.1 Dieléctricos: permitividad y

rigidez eléctricas

● Conductores y aisladores

● Permitividad eléctrica

● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez

eléctricas

● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad

atómica● Ejemplo: Polarizabilidad


atómica

3.3 Dipolos rígidos

3.4 Campo creado por la

materia polarizada

3.5 Teorema de Gauss

generalizado.

3.6 Dieléctricos L.I.H.

3.7 Condiciones de contorno en

la separación de medios


3.1 Dieléctricos: permitividad y rigidezeléctricas


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Conductores y aisladores

Desde el punto de vista de su comportamiento eléctrico losmateriales se dividen en dos grupos de comportamientoextremo ideal

Aislantes odieléctricos

movilidad nula de los portadoresNo transportan la carga eléctrica“Electrización local ”

Conductoresmovilidad infinita de los portadoresTransportan la carga eléctrica“Electrización global ”


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Permitividad eléctricaSi rellenamos completamente el espacio entre las armadurasde un condensador con un material dieléctrico, la capacidaddel mismo crece en una proporción que sólo depende de lanaturaleza del material.

Permitividad eléctrica relativa o constante dieléctrica

εr =ε

ε0


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Rigidez eléctrica

La rigidez eléctrica de un aislador es el campo máximo quesoporta sin producirse una descarga disruptiva (rupturadieléctrica) en él


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Permitividad y rigidez eléctricasEjemplos de valores de estas magnitudes

Material εr

Cuarzo 3,75

Vidrio Pirex 4,3

Porcelana 6-7

Óxido de Cobre 18

TiO2 ≈ 80

CaTiO3 ≈ 160

(SrBi)TiO3 ≈ 1000

Agua (hielo, -40oC) 100

Agua (líquido, 20oC) 80

Agua (vapor, 110oC, 1 atm) 1,0046

Polietileno 2,3

Teflon 2,1

Nitrobenzol 37

Aire 1,000576

H2 1,000264

SO2 1,0099

Material Erup (MV/m)

Aire seco 3

Mica 160

Mylar 150

Porcelana 4

Cuarzo fundido 8

Vidrio pirex 13

Baquelita 12

Polietileno 50

Poliestireno 25

PVC 30

Teflón 60

TiO2 6


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Polarización


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Ejemplo: Polarizabilidad atómicaDeterminar la polarizabilidad de un átomo.


rigidez eléctricas




eléctricas




atómica



materia polarizada


generalizado.





Ejemplo: Polarizabilidad atómica


rigidez eléctricas


● Dipolo eléctrico

● Potencial del dipolo

● Potencial de un dipolo

● Campo de un dipolo

● Acción de un campo sobre un

dipolo

● Energía de interacción de un

dipolo


materia polarizada


generalizado.







rigidez eléctricas







dipolo


dipolo


materia polarizada


generalizado.





Dipolo eléctrico

Dos cargas de igual magnitud, pero con signos opuestos,separados por una distancia pequeña comparada con ladistancia al punto donde estudiaremos sus efectos (r ≫ l)

Estudiaremos:■ Potencial en un punto.■ Campo en un punto.■ Acción mecánica de un campo

sobre un dipolo rígido.■ Energía de interacción de un

dipolo con un campo.


rigidez eléctricas







dipolo


dipolo


materia polarizada


generalizado.





Potencial del dipolo

Aplicando el principio de superposición:

V (r) = V+(r) + V−(r) =1

4πε0

q

r++

1

4πε0

−q

r−

V (r) =q

4πε0

(

1

r+−

1

r−

)

=q

4πε0

(

r−

− r+

r+r−

)

Como P es un punto alejado l ≪ r,

r−

− r+ ≈ l cos θ

r+r− ≈ r2

y finalmente

V (r) =ql cos θ

4πε0r2

En una dirección determinada, (θ, φ), el potencial cae másdeprisa que el de una carga puntual q.


rigidez eléctricas







dipolo


dipolo


materia polarizada


generalizado.





Potencial de un dipolo

V (r) =ql cos θ

4πε0r2=

q~l · ~ur

4πε0r2

V (r) =q~l · ~ur

4πε0r2=

~p · ~ur

4πε0r2

En la que ~p = q~l es el momento dipolareléctrico.

También, como ~ur = ~rr

V (r) =~p · ~r

4πε0r3


rigidez eléctricas







dipolo


dipolo


materia polarizada


generalizado.





Campo de un dipoloA partir del potencial: ~E = −∇V .

Como hemos utilizado coordenadas esféricas:

∇ =∂

∂r~ur +

1

r

∂

∂θ~uθ +

1

r sin θ

∂

∂ϕ~uϕ

luego:~E = Er ~ur + Eθ ~uθ + Eϕ ~uϕ

y finalmente:

Er = −∂V

∂r=

p cos θ

2πε0r3

Eθ = −1

r

∂V

∂θ=

p sin θ

4πε0r3

Eϕ = −1

r sin θ

∂V

∂ϕ= 0


rigidez eléctricas







dipolo


dipolo


materia polarizada


generalizado.





Acción de un campo sobre un dipoloCampo uniforme

Fuerza resultante nula

∑

~F = 0

Es equivalente a un par de momento:

~τ = ~l × (q ~E) = q~l × ~E = ~p × ~E

que tiende a alinearlo con el campo.

Campo no uniforme

Hay fuerza neta:~F = (~p · ∇) ~E

y momento resultante

~τ = ~dl × q( ~E + ~dE) = q~dl × ~E + q~dl × ~dE = ~p × ~E

ya que el diferencial de segundo orden

q~dl × ~dE ≈ 0


rigidez eléctricas







dipolo


dipolo


materia polarizada


generalizado.





Energía de interacción de un dipolo

La energía de interacción será

W = q(V + dV )− qV = qdV = q(∇V · ~dl)

W = q~dl · ∇V = ~p · (− ~E)

Finalmente

W = −~p · ~E = −pEcosθ

Donde θ es el ángulo que forman ~p y ~E.


rigidez eléctricas



materia polarizada

● Campo polarización● Potencial creado por la

materia polarizada

● Cargas de polarización

● Campo creado por la materia

polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





3.4 Campo creado por la materiapolarizada


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Campo polarización

■ Una porción de materia polarizada es

equivalente a una distribución de dipolosmoleculares en el volumen ocupado por ella.

■ Definimos el campo de polarización como el

momento dipolar por unidad de volumen encada punto del volumen de la materia

polarizada.

~P =~dp

dv

■ Sus unidades en el S.I. son el Cm2

Este campo nos permite una descripción continua de losmedios materiales, evitando el problema de su naturalezadiscontinua.


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Potencial creado por la materia polarizada

A partir del potencial de un dipolo en un punto.

V (r) =~p · ~ur

4πε0r2

Podemos establecer la contribución de cada elemento de volu-men del material polarizado como:

dV (r) =~dp · ~ur

4πε0r2=

~P · ~ur

4πε0r2dv

en la que hemos tenido en cuenta que ~dP = ~Pdv. El potencialtotal de toda la distribución de dipolos será pues:

V =

∫

vol

dV =1

4πε0

∫

vol

~P · ~ur

r2dv = . . .

(vide Wangsness pags. 183 y 184)

. . . =1

4πε0

∮

sup

~P · ~un

rds +

1

4πε0

∫

vol

−∇ · ~P

rdv


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Cargas de polarización■ La expresión anterior es equivalente al potencial creado por una distribución de carga

σb sobre la superficie del material polarizado, más una distribución de carga ρb entodo su volumen.

■ Estas distribuciones de carga se conocen como distribuciones de cargas depolarización o ligadas ( b de bound, ligada).

σb = ~P · ~un = Pn ρb = −∇ · ~P


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Campo creado por la materia polarizada

Hemos visto que el potencial puede expresarse como:

V (~r) =1

4πε0

∮

sup

~P · ~un

rds +

1

4πε0

∫

vol

−∇ · ~P

rdv

V (~r) =1

4πε0

∮

sup

σb

rds +

1

4πε0

∫

vol

ρb

rdv

De ambas expresiones, pueden inducirse expresiones para elcampo eléctrico:

~E(~r) =1

4πε0

∮

sup

σb

r2~urds +

1

4πε0

∫

vol

ρb

r2~urdv

~E(~r) =1

4πε0

∮

sup

~P · ~un

r2~urds +

1

4πε0

∫

vol

−∇ · ~P

r2~urdv


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Cargas de polarización


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Ejemplo

Determinar el campo creado por un cilindro uniformementepolarizado en la dirección axial, con momento dipolar porunidad de volumen ~P = P0 ~uz


rigidez eléctricas



materia polarizada


materia polarizada



polarizada


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo


generalizado.





Ejemplo


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.

● Desplazamiento eléctrico




● Ejemplo





3.5 Teorema de Gauss generalizado.


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





● Ejemplo





Desplazamiento eléctricoComo desde el punto de vista del campo eléctrico lasdensidades de carga ligada constituyen fuentes del campoeléctrico, hemos de tenerlas en cuenta al escribir el teoremade Gauss:

∮

S

~E · ~ds =1

ε0

∫

V

(ρl + ρb)dv

donde ρl es la densidad de carga libre y ρb la densidad decarga ligada.Si aplicamos el teorema de la divergencia a la expresiónanterior:

∇ · ~E =ρl + ρb

ε0=

ρt

ε0

Evidentemente, la relación del potencial con las fuentes esahora:

∇2V = −

ρl + ρbε0

= −ρt

ε0


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





● Ejemplo





Desplazamiento eléctricoDe la ecuación en forma diferencial.

∇ · ~E =ρl + ρb

ε0=

ρt

ε0

Resulta:ε0∇ · ~E = ρl + ρb

∇ · (ε0 ~E) = ρl −∇ · ~P

y finalmente

∇ · (ε0 ~E + ~P ) = ρl

Podemos definir el campo Desplazamiento eléctrico oDensidad de flujo eléctrico como:

~D = ε0 ~E + ~P


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





● Ejemplo





Desplazamiento eléctrico

Teorema de Gauss generalizado (Forma local)

∇ · ~D = ρl

Aplicando el teorema de la divergencia∫

V

(∇ · ~D)dv =

∮

S

~D · ~ds

y∫

V

(∇ · ~D)dv =

∫

V

ρldv = Ql

Finalmente (Forma integral)∮

S

~D · ~ds = Ql


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





● Ejemplo





Desplazamiento eléctrico

∇ · ~D = ρl

■ Fuentes: cargas libres■ Las líneas nacen y mueren en las

cargas libres

∇ · ~P = −ρb

■ Fuentes: cargas ligadas■ Las líneas nacen y mueren en las

cargas ligadas

∇ · ~E = ρtε0

■ Fuentes: cargas libres y ligadas■ Las líneas nacen y mueren en las

cargas libres y en las ligadas


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





● Ejemplo





Ejemplo

Condensador planoparalelo con lámina dieléctrica en suinterior que lo llena parcialmente


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local

● Dieléctricos L.I.H.


● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo

● Energía electrostática






rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





Campo local

■ El campo local ~Eloc es el campo que “ve” la molécula en elinterior del dieléctrico.

■ Este campo no es el campo macroscópico ~E que nosinteresa: hemos de descontar su propio campo dedespolarización.

■ La idea más sencilla es que el campo de despolarizaciónsea proporcional a la polarización presente en el medio ~P

~Eloc = ~E + b~P

ε0

■ De esta manera, utilizaremos un modelo sencillo derespuesta lineal de las moléculas frente al campo local.

~p = α ~Eloc

donde α es la polarizabilidad de atómica/molecular


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





Dieléctricos L.I.H.Bajo la suposición anterior:

~p = α ~Eloc = α

(

~E + b~P

ε0

)

Vemos que el momento dipolar por unidad de volumen ~P será.

~P = N~p = Nα ~Eloc = Nα

(

~E + b~P

ε0

)

donde N es el número de moléculas por unidad de volumen.De ella se puede aislar ~P , resultando:

~P =Nα

1− Nαbε0

~E = ε0χe ~E

Donde la constante adimensional χe (susceptibilidad eléctrica)“contiene” las características eléctricas del medio.En los dieléctricos L.I.H. el campo macroscópico y el depolarización son proporcionales.


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





Dieléctricos L.I.H.

Como en estos materiales~P = ε0χe ~E

y a partir de la definición del desplazamiento

~D = ε0 ~E + ~P

Resulta:~D = ε0 ~E + ε0χe ~E = ε0(1 + χe)~E

Definimos la permitividad absoluta del medio ε

ε = ε0(1 + χe)

por lo que la relativa será:

εr =ε

ε0= (1 + χe)

En los dieléctricos L.I.H. el campo macroscópico y el dedesplazamiento son proporcionales.

~D = ε ~E = ε0εr ~E


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





EjemploCapacidad del cond. plano con un dieléctrico de permitividad absoluta ε en su interior.


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





EjemploEsfera dieléctrica de permitividad ε y radio a con una cargapuntual Q en su centro.


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





EjemploEsfera dieléctrica de permitividad ε y radio a con una cargapuntual Q en su centro (continuación).


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.


● Campo local



● Ejemplo

● Ejemplo

● Ejemplo





Energía electrostáticaLa densidad de energía electrostática en presencia de mediosse puede escribir:

ue =1

2~D · ~E =

D2

2ε0εr=

ε0εrE2

2

ya que ~D = ε ~E = ε0εr ~EEjemplo: Energía almacenada por un condensador planorelleno de un aislante de permitividad ε.


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.




● Potencial● Componentes normales de

~E y ~D

● Componentes tangenciales

de ~E y ~D


3.7 Condiciones de contorno en laseparación de medios


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





~E y ~D


de ~E y ~D


Potencial

El potencial es continuo en la superficie de separación entredos medios. (Su discontinuidad implicaría un campo infinito enla superficie)


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





~E y ~D


de ~E y ~D


Componentes normales de ~E y ~D


rigidez eléctricas



materia polarizada


generalizado.





~E y ~D


de ~E y ~D


Componentes tangenciales de ~E y ~D

3.1 Dieléctricos: permitividad y rigidez eléctricasConductores y aisladoresPermitividad eléctricaRigidez eléctricaPermitividad y rigidez eléctricasPolarizaciónEjemplo: Polarizabilidad atómicaEjemplo: Polarizabilidad atómicaEjemplo: Polarizabilidad atómica

3.3 Dipolos rígidosDipolo eléctricoPotencial del dipoloPotencial de un dipoloCampo de un dipoloAcción de un campo sobre un dipoloEnergía de interacción de un dipolo

3.4 Campo creado por la materia polarizadaCampo polarizaciónPotencial creado por la materia polarizadaCargas de polarizaciónCampo creado por la materia polarizadaCargas de polarizaciónEjemploEjemploEjemplo

3.5 Teorema de Gauss generalizado.Desplazamiento eléctricoDesplazamiento eléctricoDesplazamiento eléctricoDesplazamiento eléctricoEjemplo

3.6 Dieléctricos L.I.H.Campo localDieléctricos L.I.H.Dieléctricos L.I.H.EjemploEjemploEjemploEnergía electrostática

3.7 Condiciones de contorno en la separación de mediosPotencialComponentes normales de "017EE y "017EDComponentes tangenciales de "017EE y "017ED

3 Electrostática en medios materiales...La rigidez eléctrica de un aislador es el campo máximo...

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