3 Dynamik Seite: 291 Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure CD-ROM zum Buch Prof. Dr.-Ing....
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3 DynamikSeite: 1
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
CD-ROM zum Buch
Prof. Dr.-Ing. habil. Ulrich GabbertDr.-Ing. Ingo Raecke
Otto-von-Guericke-Universität MagdeburgInstitut für Mechanik
e-mail: [email protected] www.uni-magdeburg.de/ifme
TechnischeMechanikfür Wirtschaftsingenieure
Ulrich GabbertIngo Raecke
3 DynamikStartseite
Eine PowerPointPräsentation
mit Animationenin Text und Bildzur Vermittlung
und Veranschaulichungder Grundkenntnisse
in derTechnischen Mechanik
Ende?
3 DynamikSeite: 2
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Alle auf der beiliegenden CD-ROM enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grunde ist das vorliegende Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autoren und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung oder Garantie und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht.
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.
Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag© 2003 Carl Hanser Verlag München Wienwww.fachbuch-leipzig.hanser.de
3 DynamikSchutzrechte
Ende?
3 DynamikSeite: 3
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3 DynamikHilfe
Beachte: Beim erstmaligen Aufruf einer Seite (über das Inhaltsverzeichnis bzw. bei gesetzten Sprüngen oder der gezielten An-wahl einer Seite mit: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste) erscheint nur der von den Autoren vorgesehene Start-inhalt der Seite. Es kann somit das angewählte Kapitel oder das Ziel eines gesetzten Sprungs erst weiter unten auf der Seite nach einigen Animationen erscheinen.
Weitere nützliche Funktionen:• Im Inhaltsverzeichnis kann man durch Positionierung des Mauszeigers auf eine Kapitelzeile und einem Klick (linke Taste)
direkt zu der Seite mit dem angewählten Kapitel gelangen (gesetzter Sprung). Das aktuelle Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) und die aktuelle Seite (bis auf die Statik nicht identisch mit der Foliennummer) erscheint immer unten rechts.
• Bestimmte Verweise auf Kapitel, Formeln usw. sind rot umrandet. Mit einem Mausklick (linke Taste) in den rot umrandeten Be-reich wird ein gesetzter Sprung zu dem Ziel ausgeführt. Zurück kommt man innerhalb eines Hauptkapitels schnell mit
• Beachte: Bei Präsentationen mit dem PowerPoint-Viewer erfolgt ein gesetzter Sprung in ein anderes Hauptkapitel (1 Statik, 2 Festigkeitslehre bzw. 3 Dynamik) programmbedingt immer nur auf die Startseite des Hauptkapitels. Über das Inhaltsverzeich-nis bzw. die Foliennummer (in der Form: S <n>, F <n>, D <n> angegeben) gelangt man dann schnell an die gewünschte Stelle.
Hinweis: Die Nummerierungen der Kapitel, Gleichungen und Bilder sind mit den Nummerierungen im Buch identisch. Zusätzliche Bilder in dieser Präsentation sind nicht nummeriert. Die Seitenzahlen sind nicht identisch mit denen des Buches.
zurück zur letzten
angesehenen Seite
zumInhaltver-
zeichnisses
eine Seitevor
Aufrufdieser Hilfe
ein Kapitel zurück.
eine Seitezurück
ein Kapitel vor
Präsentation beenden
Ende?
Zum vereinfachten Navigieren ist auf jeder Seite eine Symbolleiste mit folgenden Funktionen, die mit dem Mauszeiger durch Anklicken aktiviert werden, angeordnet:
Hilfe (siehe auch Datei auf der CD-ROM: Hinweise.doc)
Animationsschritt vorwärts: Eingabetaste (), Leertaste, linke Maustaste, Nach-Rechts-, Nach-Unten-,
Bild-Nach-Unten-Taste und „N“Animationsschritt zurück: Nach-Links-, Nach-Oben-, Bild-Nach-Oben-Taste und „P“Seitenwechsel: erfolgen bei der fortlaufenden Animation automatischEine Seite anwählen: PowerPoint Foliennummer <n> und Eingabetaste (z. B. im gelben Feld des Inhaltsverzeichnisses angegeben)Präsentation beenden: Esc
Die PowerPoint-Präsentation kann mit den Funktionen, die das Programm PowerPoint bzw. PowerPoint-Viewer bietet, vorgenom-men werden (siehe auch die Hilfefunktion zu PowerPoint, die während der Präsentation z. B. über das Menü der rechten Maus-taste erreichbar ist). Für Nutzer von PowerPoint-Viewer (hier steht die Hilfe nicht zur Verfügung) sind die wichtigsten Funktionen nachfolgend aufgeführt:
Ende?
3 DynamikSeite: 4
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3 DynamikEinführung
Einführung
Die CD-ROM enthält den kompletten1 Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, die so aufbereitet wurde, dass sich die Lehrinhalte – wie bei einer Vorlesung – Schritt für Schritt auf dem Bildschirm entwickeln, wobei Sie selbst das Tempo bestimmen können.
Vor- und Rücksprünge zu Kapiteln, Gleichungen und Bildern, auf die bei der Ableitung eines Zusammenhangs oder beim Lösen von Beispielen Bezug genommen wird sowie ein einfaches Navigieren auf der CD-ROM unter Nutzung des Inhaltsverzeichnisses und der auf jeder Seite vorhandenen Symbolleiste (siehe unten), erleichtern die Arbeit mit der PowerPoint-Präsentation.
Zeichnungen, Bilder, zusätzliche Fotos und Animationen in Farbe begleiten die Entwicklung eines Gedanken-ganges, lassen den Lösungsweg einer Aufgabe klarer hervortreten und unterstützen so den nicht immer ein-fachen Lernprozess und das Verstehen der Zusammenhänge. Allerdings können Sie weder das Buch noch die CD-ROM von der Notwendigkeit entbinden, sich den Stoff mit Bleistift und Papier zu erarbeiten und selbständig möglichst viele Beispiele zu rechnen. Die Mechanik erschließt sich nicht einfach nur durch das Lesen eines Buches oder das Abspielen einer CD-ROM, sondern erfordert die Bereitschaft und die Mühe, das Gehörte und Gelesene zu verstehen und das Verständnis an Hand von Beispielen zu überprüfen. Wir hoffen aber, dass das vorliegende Buch und die beigefügte CD-ROM das Lernen, das Verstehen und das Anwenden der vermittelten Lehrinhalte erleichtern und wirkungsvoll unterstützen.
1 Die Textpassagen sind auf der CD-ROM gegenüber dem Buch etwas umgestellt und um die Teile gekürzt, die nicht unmittelbar zur Herleitung eines Gedankenganges benötigt werden. Das war unserer Meinung nach deshalb notwendig, um zusammen-hängende Ableitungen möglichst auf eine PowerPoint Seite bringen zu können und um unnötige Rücksprünge zu vermeiden.
Ende?
3 DynamikSeite: 5
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
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PowerPointFolien-Nr.Inhaltsverzeichnis
(Datei: TM-Wi-stat.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit S <n> )
Ende? 3 DynamikInhalt Seite: 5
1.1 Grundlagen
15
S 15
1.1.1 Starrer Körper
15
S 15
1.1.2 Kraft
16
S 16
1.1.3 Wechselwirkungsprinzip
191.1.4 Schnittprinzip
201.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte
211.1.6 Gleichgewicht
211.1.7 Äquivalenz von Kräften
231.2 Zentrales ebenes Kraftsystem
241.2.1 Resultierende
241.2.2 Gleichgewicht von Kräften
311.2.3 Lagerungsbedingungen
321.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem
361.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte
361.3.2 Moment
381.3.3 Versetzungsmoment
401.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept)
421.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten
441.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe
46
S 46
Seite1 STATIK
12
S 12
3 DynamikSeite: 6
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure Ende? 3 Dynamik
Inhalt Seite: 6
ide
ntis
ch m
it S
eite
1.4 Ebene Tragwerke
49
S 49
1.4.1 Grundbegriffe
491.4.2 Lagerung starrer Scheiben
501.4.3 Streckenlasten
551.4.3.1 Definition von Streckenlasten
551.4.3.2 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast
571.4.4 Beispiele
591.5 Scheibenverbindungen
621.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit
621.5.2 Dreigelenkträger
671.5.3 Gerberträger
721.5.4 Ebene Fachwerke
751.5.4.1 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken
801.5.4.2 Arten von Fachwerken
811.5.4.3 Berechnungsmethoden für Fachwerke
831.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen
881.6.1 Definition der Schnittgrößen
881.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen
911.6.3 Differentielle Beziehungen
951.6.4 Anwendungen
981.7 Zentrales räumliches Kraftsystem
1101.7.1 Ermittlung der Resultierenden
1111.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe
112
S 112
3 DynamikSeite: 7
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure Ende? 3 Dynamik
Inhalt Seite: 7
ide
ntis
ch m
it S
eite
1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem
114
S 114
1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten
1171.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente
1181.8.3 Räumlich gestützter Körper
1191.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken
1231.9 Schwerpunkt
1271.9.1 Massenschwerpunkt
1271.9.2 Volumenschwerpunkt
1291.9.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen
1291.9.4 Linienschwerpunkt ebener Linien
1311.9.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde
1321.9.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten
1331.10.1 Definition der Flächenträgheitsmomente
1341.10.2 Satz von STEINER
1371.10.3 Flächenträgheitsmomente einfacher Querschnittsflächen
1401.10.4 Hauptträgheitsmomente
1411.10.5 Flächenträgheitsmomente zusammengesetzter Flächen
146
1.10 Flächenträgheitsmomente
134
1.11 Haftung und Gleitreibung
1481.11.1 Haftung (Zustand der Ruhe)
1491.11.2 Gleitreibung (Zustand der Bewegung)
1541.11.3 Seilhaftung und Seilreibung
1561.11.3.1 Seilhaftung
1561.11.3.2 Seilreibung
160
S 160
3 DynamikSeite: 8
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
(Datei: TM-Wi-fest.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit F <n> )
Ende? 3 DynamikInhalt Seite: 8
2 Festigkeitslehre
161
F 12
2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre
162
F 13
2.1.1 Einleitung
162
F 13
2.1.2 Spannungszustand
168
F 19
2.1.3 Deformationszustand
171
F 22
2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze)
174
F 25
2.1.4.1 Elastizitätsgesetz für die Dehnung
175
F 26
2.1.4.2 Elastizitätsgesetz für die Gleitungen
181
F 32
2.1.4.3 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz
182
F 33
2.2 Zug und Druck
184
F 35
2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen
184
F 35
2.2.1.1 Berechnung der Spannung
184
F 35
2.2.1.2 Berechnung der Verformungen
188
F 39
2.2.2 Flächenpressung
198
F 49
2.3 Biegung
203
F 54
2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen
203
F 54
2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung
205
F 56
2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung
212
F 63
2.3.4 Schiefe Biegung
229
F 80
2.4 Querkraftschub
234
F 85
2.4.1 Schubspannungen infolge Querkraftbelastung
234
F 85
2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolge Querkraftbelastung
238
F 89
3 DynamikSeite: 9
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
(Datei: TM-Wi-dyn.ppt / Kennzeichnung der Folien-Nr. mit D <n> )3 Dynamik
302
D 12
3.1 Kinematik des Punktes
304
D 14
3.1.1 Definitionen
304
D 14
3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten
305
D 15
3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten
307
D 17
3.1.4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten
309
D 19
3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn
311
D 21
3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik
313
D 23
Ende? 3 DynamikInhalt Seite: 9
2.5.1 Torsion von Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten
243
F 94
2.5.1.1 Annahmen und Voraussetzungen
243
F 94
2.5.1.2 Berechnung der Torsionsspannung
244
F 95
2.5.1.3 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel )
247
F 98
2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte
254
F 105
2.5 Torsion
242
F 93
2.6 Scherbeanspruchung
258
F 109
2.7.1 Überlagerung gleichartiger Spannungen
264
F 115
2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände
265
F 116
2.7.3 Spannungshypothesen
275
F 126
2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung
263
F 114
2.8.1 Einführung
285
F 136
2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem
290
F 141
2.8.3 EULER-Fälle
293
F 144
2.8 Stabilität
285
F 136
3 DynamikSeite: 10
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.2.1 Grundlagen
318
D 28
3.2.2 Momentanpol
319
D 29
3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern
325
D 35
3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers
318
D 28
3.3.1 D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen
330
D 40
3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern
337
D 47
3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen
349
D 59
3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern
330
D 40
3.4 Energiebetrachtungen
356
D 66
3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung
356
D 66
3.4.1.1 Arbeit
356
D 66
3.4.1.2 Potentielle Energie
359
D 69
3.4.1.3 Energieerhaltungssatz
360
D 70
3.4.1.4 Leistung
368
D 78
3.4.1.5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers
371
D 81
3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes
376
D 86
3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art
380
D 90
3.5 Schwingungen
389
D 99
3.5.1 Einführung
389
D 99
3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
394
D 104
3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
407
D 117
3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
417
D 127
3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden
424
D 134Ende? 3 Dynamik
Inhalt Seite: 10
3 DynamikSeite: 11
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.5.5.1 Einführung
424
D 134
3.5.5.2 Aufstellen der Bewegungsgleichungen
425
D 135bis 435
D 145
Ende? 3 DynamikInhalt Seite: 11
3 DynamikSeite: 12
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3 Dynamik
Ziel der Dynamik
In den Kapiteln 1 Statik und 2 Festigkeitslehre wurden mechanische Systeme im Zustand der Ruhe behandelt. In der Dynamik werden bewegte Systeme untersucht.
Die Unterteilung der Dynamik in Kinematik und Kinetik ist eine zweckmäßige und übliche Vorgehensweise in der Technischen Mechanik (Bild 3.1).
• Zunächst befassen wir uns im Teilgebiet Kinematik mit den Bewegungen von Punkten und starren Körpern, ohne nach der Ursache der Bewegung zu fragen.
• Danach beziehen wir Kräfte als Ursache oder Wirkung von Bewegungen von Massen in die Betrachtung ein. Dieses zweite Teilgebiet der Dynamik wird als Kinetik bezeichnet.
Dynamik
Kinematik
"Lehre vom Bewegungsablauf, ohne dass auf die Kräfte als Ursache oder
Wirkung von Bewegungen eingegangen wird"
"Lehre vom Bewegungsablauf, ohne dass auf die Kräfte als Ursache oder
Wirkung von Bewegungen eingegangen wird"
"Lehre vom Zusammenspielvon Kräften und Bewegungen"
"Lehre vom Zusammenspielvon Kräften und Bewegungen"
Kinetik
Bild 3.1 Übliche Unterteilung der Dynamik
Ende?
3 DynamikSeite: 13
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Mit den folgenden Namen sind wichtige Beiträge zur Entwicklung der Dynamik verbunden:1
GALILEO GALILEI (1564 - 1642) Fall- und Wurfgesetze
JOHANNES KEPLER (1571 - 1630) KEPLERsche Gesetze (Planetenbewegung)
ISAAC NEWTON (1643 - 1727) NEWTONsche Grundgesetze (Bewegungsgesetze)
JEAN D‘ ALEMBERT (1717 - 1783) D‘ ALEMBERTsches Prinzip
JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736 - 1813) LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen
WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805 - 1865) HAMILTONsches Prinzip
1 Weitere Informationen zur historischen Entwicklung der Mechanik findet man z. B. in [6]
Ende?
3 DynamikSeite: 14
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
a) Die Lage (der Ort, der Weg) des Punktes P auf der Bahnkurve ist durch den Ortsvektor bestimmt (Bild 3.2).
r(t)
3.1 Kinematik des Punktes
3.1.1 Definitionen
Bild 3.2 Lagebeschreibung eines Punktes auf einer Bahnkurve
x
y
z
PBahnkurve
r(t)
v(t)
Der Bewegungszustand eines Punktes P auf einer Bahnkurve wird in der Kinematik durch seine Lage (Ort, Weg) auf der Bahnkurve, seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung bezogen auf ein Koordi-natensystem in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben (Bild 3.2).
Diese Größen sind nicht unabhängig voneinander. Ihre allgemeinen Definitionen und die Zusammenhänge unterein-ander werden im Folgenden angegeben.
b) Die Geschwindigkeit des Punktes P ist definiert als rdtrd
v
r
dtrd
v
Einheit:
sm
(3.1)
vv
Betrag der Geschwindigkeit:
Richtung der Geschwindigkeit: tangential zur Bahnkurve
c) Die Beschleunigung des Punktes P ist definiert als
aa
Betrag der Beschleunigung:
Richtung der Beschleunigung: keine allgemeine Aussage möglich
2
2
dt
rdrv
dtvd
a
2
2
dt
rdrv
dtvd
a
(3.2)
Einheit:
2s
m
Ende?
3 DynamikSeite: 15
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beachte: Sowohl der Betrag der Geschwin-digkeit als auch der Tangenteneinheits-vektor sind zeitlich veränderlich!
x
y
z
P(x,y,z)
x(t)
y(t)
z(t)
Bahnkurve
Wir definieren (vgl. Bild 3.3):
zyx e,e,e
- Einheitsvektoren in Richtung x, y, z 1eee zyx
a) Lage von P
zyx ez(t)ey(t)ex(t)r
Ortsvektor:
3.1.2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten
Ein Bewegungsablauf kann völlig gleichwertig mit unterschiedlichen Koordinatensystemen darge-stellt werden. Die Wahl eines zweckmäßigen Koordinatensystems kann aber den Rechenweg deutlich vereinfachen und wesentliche Bewegungsvorgänge klarer erkennen lassen. Deshalb haben wir nachfolgend die gebräuchlichsten Koordinatendarstellungen aufgeführt.
r(t)
v(t)
ex
ey
ez
et(t)
Bild 3.3 Lagebeschreibung eines Punktes in kartesischen Koordinaten
(t)et
- Tangenteneinheitsvektor (zeitabhängige Richtung!) 1et
Parameterdarstellung mit der Zeit t als Parameter
z(t)
y(t)
x(t)
b) Geschwindigkeit zyx e(t)ze(t)ye(t)xrv
(t)z
(t)y
(t)x
(t)v
(t)v
(t)v
z
y
x
tetvtv t
oder:
2z
2y
2x
222 vvvzyxv(t)v 2z
2y
2x
222 vvvzyxv(t)v Betrag der Geschwindigkeit: (3.3)
Ende?
3 DynamikSeite: 16
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
c) Beschleunigung zyx e(t)ze(t)ye(t)xrva
(t)z
(t)y
(t)x
(t)a
(t)a
(t)a
z
y
x
2z
2y
2x
222 aaazyxa(t)a 2z
2y
2x
222 aaazyxa(t)a Betrag der Beschleunigung: (3.4)
Ende?
3 DynamikSeite: 17
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.1.3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten
Bild 3.4 Lagebeschreibung eines Punktes in Bahnkoordinaten
Hinweis: Das ist der Beweis, dass der Geschwindigkeitsvektor in Richtung der Bahntangente weist!
x y
z
P
en
M
et
s(t)
Bahnkurve
s(t) - Bahnkoordinate
M - Hauptkrümmungsmittelpunkt
- Hauptkrümmungsradius
- Normaleneinheitsvektor (zeitabhängig!)en(t)
a) Lage von P
s(t)rr
s(t)rr
Ortsvektor:
b) Geschwindigkeit dt
s(t)rdrv
dtds
dsrd
Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.5)? ds
rd
Damit folgt aus (3.5) bis (3.7) die Geschwindigkeit von P zu
tt esevvds
rdrv
tt esevvds
rdrv
(t)sv(t)v (t)sv(t)v Betrag der Geschwindigkeit:
dserrdr t
Aus Bild 3.5 folgt
vds
rd
(3.5)
sdt
dsv s
dt
dsv
mit der Bahngeschwindigkeit
(3.6)
x
z
P
r
et·ds
s
r + dr
ds
y
Bild 3.5 Differentielle Änderung des Ortsvektors
dserd t
teds
rd
(3.7)
r(t)
Ende?
3 DynamikSeite: 18
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
P
en
M
et
s(t)
ds
d
et+det
a)
Bild 3.6 Differentielle Änderung des Tangenteneinheitsvektors
c) Beschleunigung
dtevd
va t
Weiter folgt für differentiell kleine Größen (vgl. Bild 3.6 b):
dc
tsee tt
Wegen dds (vgl. Bild 3.6 a)mit
1
n
1
t eced
und nnt edeced
Einsetzen von (3.10) in (3.9) liefert nt ev
e
Damit ergibt sich für die Beschleunigung in Bahnkoordinaten aus (3.8)
nnttn
2
t eaeaev
eva
dt
tsede t
t
wird
en
M
et
et+det
det=c·en
db)
tt evev (3.8)
dtds
dsd
d
ed t
(3.9)v1
d
ed t
nt e
d
ed
(3.10)
2
nv
a Normalbeschleunigung (3.10)
vat Tangentialbeschleunigungmit (3.12)
2t
2n aaa(t)a
Betrag: (3.11)
Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.8)?
te
Ende?
3 DynamikSeite: 19
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.1.4 Polarkoordinaten
Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.14)? re
Analog zur Herleitung von (3.10) erhält man
eded r
Aus Bild 3.8 liest man ab, dass in die Richtung von weist!
der
e
22r
22 vvrrv(t)v 22r
22 vvrrv(t)v Betrag:
und aus (3.15) folgt . eer
1eer (t)e,(t)er
- Einheitsvektoren in Richtung r und „“ (zeitabhängig!)
Wir definieren (vgl. Bild 3.7):
P
x
y
r(t)
(t)d
e
er
d
Bild 3.7 Lagebeschreibung eines Punktes in Polarkoordinaten
e
er
der
de
e
de
er+
der
d
Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren
a) Lage von P
tetrr r
tetrr r
Ortsvektor:
b) Geschwindigkeit
dt
tetrd
dt
trdv r
rr etretr (3.14)
ded
dtd
ded
dted
e rrrr
(3.15)
Die Geschwindigkeit in ebenen Polarkoordinaten wird
ererv r
ererv r
(3.16)
Für beliebige Bewegungen in der Ebene sind häufig Polarkoordinaten (r,) zweckmäßig!
Ende?
3 DynamikSeite: 20
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
c) BeschleunigungDie Zeitableitung der Geschwindigkeit liefert: ererv r
Frage: Was bedeutet in Gleichung (3.17)?
e
Aus Bild 3.8 folgt, dass entgegen weist! de
er
Analog zur Herleitung der Gleichung (3.10) erhält man
red
ed
und aus (3.18) folgt .ree
Damit erhält man für die Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten nach (3.17)
rr ererererera
22r
222 aar2rr-ra(t)a 22r
222 aar2rr-ra(t)a Betrag:
e
er
der
de
e
de
er+
der
d
Bild 3.8 Differentielle Änderung der Einheitsvektoren
erererererva rr
(3.17)
d
ed
d
ed
dt
ede
dtd (3.18)
oder nach Zusammenfassen
.r
2 er2rerra
.r
2 er2rerra
(3.19)
Mit
dt
d
dt
d Winkelgeschwindigkeit [s-1] (3.20)
wird er2rer-ra r2
er2rer-ra r2
(3.21)
Ende?
3 DynamikSeite: 21
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Bild 3.9 Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn
b)
R
WinkelbeschleunigungEinheit: [s-2]
und (3.26)
3.1.5 Bewegung auf einer Kreisbahn
Die Bewegung auf einer Kreisbahn ist der Sonderfall der Bewegung in Bahnkoordinaten(= R = konst.) bzw. in Polarkoordinaten (r(t)= R = konst.)!
a) Lage von P: Kreisbahn mit Radius R
RRv(t)v RRv(t)v
Betrag:
Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung ergeben sich aus (3.16) und (3.21), wenn man r(t) = R = konstant setzt.
b) Geschwindigkeit: eReRv
eReRv
(3.22)
P
R
Bahnkurve
s
en =
-er
et
e
a)
2t
2n aaa(t)a
2t
2n aaa(t)a
Betrag:
c) Beschleunigung:
ttnnrrr2 eaeaeaeaeReRa
ttnnrrr
2 eaeaeaeaeReRa
(3.23)
222
rn RRR
vaa 22
2
rn RRR
vaa Normalbeschleunigung mit (3.24)
RRRvaat RRRvaat Tangentialbeschleunigung (3.25)
v = R at = R.
an = R
Ende?
3 DynamikSeite: 22
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Ist die Winkelgeschwindigkeit = konstant, dann gilt:
Zeit für einen Umlauf:
2
T
2
T [s]
Anzahl der Umläufe in einer Sekunde (Frequenz f):
2T
1f
2T
1f [s–1 bzw. Hertz]
Anzahl der Umläufe pro Zeiteinheit (Drehzahl n):
2f
T
1n
2f
T
1n
tZeiteinhei
Umläufe
Hinweis: Für technische Anwendungen wird die Drehzahl meistens in Anzahl der Umläufe pro Minute angegeben:
30
f60n mit in s–1
Ende?
3 DynamikSeite: 23
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Gegeben Anleitung zur Ermittlung der übrigen Funktionen
3.1.6 Grundaufgaben der Kinematik
Wenn die Bewegung auf einer bekannten Bahn erfolgt, lassen sich bei Kenntnis nur einer Bewegungsgleichung die jeweils fehlenden Gleichungen durch Differentiation oder Integration ermitteln. Tabelle 3.1 enthält dafür einige typische Beispiele.
Tabelle 3.1 Grundaufgaben der Kinematik für die Anfangsbedingungen (AB):
s(t = t0) = s0 und
v(t = t0) = v0
saa s
s
20
2
0
sdsa2vsv s
s0
0)sv(
sdtst
svv ds
sdvsvsa
s
s0
0)sv(
sdtst
s(t)s dt
dstv
dt
dvta
tvv tdtvstst
t0
0
dt
dvta
taa t
t0
0
tdtavtv t
t0
0
tdtvsts
vaa v
v0
0)va(
vdtvt vd
)va(
vsvs
v
v0
0
Ende?
3 DynamikSeite: 24
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Bild 3.10 Freier Fall einer Masse
gh
m
Bahn der Masse
v = 0,
Beispiel 3.1 Freier Fall (ohne Luftwiderstand)
y (Bewegungs- koordinate)
t = 0
t = T
Gesucht: Auftreffgeschwindigkeit vA und Zeit T bis zum Auftreffen auf den Boden.
Was ist von der Bewegung bekannt?Bekannt ist die auf m wirkende Beschleunigung in y-Richtung (Bewegungskoordinate):
gtyay
Die Integration liefert: 1ctgy (1)
212 ctcgt
2
1y (2)
c1 und c2 sind noch unbekannte Integrationskonstanten. Sie lassen sich aus bekannten Bedin-gungen für bestimmte Bewegungsgrößen am Anfang der Bewegung (Anfangsbedingungen, oder kurz AB) ermitteln.
Anfangsbedingungen (AB): 00ty0tv1. y
h0ty2.
0c1 mit (1) folgt:
hc2 mit (2) folgt:
hgt21
ty 2 Weg-Zeit-Gesetz dieser Bewegung
Mit diesen Integrationskonstanten erhalten wir aus (1) und (2) die Bewegungsgesetze
tgtyvy Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz dieser Bewegung
Ende?
3 DynamikSeite: 25
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Mit diesen beiden Gleichungen ergeben sich die gesuchten Größen aus den Endbedingungen der Bewegung.
Ay vTtyTtv4.
Endbedingungen: 0Tty3.
Aus 3. folgt mit dem Weg-Zeit-Gesetz:
0hgT21 2
g2h
T Fallzeit
Aus 4. folgt mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
AvTg
g
2hgTgvA 2hgvA Auftreffgeschwindigkeit
Beachte: Die Fallzeit T und die Auftreffgeschwindigkeit vA sind unabhängig von der Größe der Masse m und bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes (wie hier vorausgesetzt) auch unabhängig von der geometrischen Gestalt der Masse m!
Ende?
3 DynamikSeite: 26
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
v0
xw
m
Bild 3.11 Flug einer Kanonenkugel
Beispiel 3.2 Flug einer Kanonenkugel (ohne Luftwiderstand)
v0
v0·cosv0·sin
x
y
t = 0 t = TFlugbahn
Gegeben: m, v0, , gGesucht: Flugweite xw, Flugdauer T,
Winkel max für maximale FlugweiteWas ist über die Bewegung der Kugel bekannt? Bekannt sind die während der Flugphase auf die Masse m wirkenden Beschleunigungen in x- und y-Richtung:
21 ctcx
1cx Die Integration der beiden Gleichungen liefert
0x gy und
3cgty (1)
432 ctcgt
2
1y (2)
Die Konstanten c1 bis c4 lassen sich aus vier bekannten Anfangsbedingungen berechnen: 00tx1. 00ty2. cosv0tx3. 0
sinv0ty4. 0
c2 = 0
c4 = 0
c1 = v0·cos c3 = v0·sin
costvx oWeg-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung sintvgt
2
1y o
2
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze in x- und y-Richtung
sinvgty o cosvx oDamit aus (1) und (2):
Ende?
3 DynamikSeite: 27
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die Flugweite und die Flugdauer folgen aus den Endbedingungen der Bewegung:
0Tty5.
wxTtx6.
sing
2vT 0 Flugdauer
w0
o xcossing
2vv sin2
g
vx
20
w Flugweite
Der Winkel für die maximale Flugweite ergibt sich aus der Extremwertaufgabe:
0d
dxw
0cos2 02cos2g
v
d
dx 2ow
22
4max
Winkel für maximale Flugweite:
wo xcosTv
Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die x-Richtung folgt aus der Endbedingung 6.:
0TsinvgT2
1o
2
Mit dem Weg-Zeit-Gesetz für die y-Richtung folgt aus der Endbedingung 5.:
g
vx)(x
20
maxwmaxw Maximale Flugweite:
Ende?
3 DynamikSeite: 28
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x
y
A
P
starrer KörperBild 3.12 Lagebeschreibung eines starren Körpers in der Ebene
Starrer Körper im Raum (3D-Fall): Ein starrer Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade (z. B. 3 Translationen in Richtung der drei Raumachsen x,y,z und 3 Rotationen um diese Achsen).
3.2.1 Grundlagen
3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starren Körpers
Bisher haben wir nur die Bewegung von Massenpunkten behandelt!
Im Folgenden wollen wir die allgemeine Bewegung von starren Körpern betrachten.
Starrer Körper in der Ebene (2D-Fall):Die Lage, die Lageänderungen und die Bewe-gungen eines starren Körpers in der Ebene kön-nen durch 3 geeignete Koordinaten eindeutig beschrieben werden (Bild 3.12).
Ein starrer Körper in der Ebene hat daher 3 Freiheitsgrade:
• zwei Translationen (xA, yA) eines beliebigen Punktes A in x- und y-Richtung
• eine Rotation (um diesen Punkt A
Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus der Translation eines körperfesten Punktes (im Allgemeinen wählt man zweckmäßig den Schwerpunkt) und einer Rotation um diesen Punkt zusammensetzen (die Reihenfolge ist beliebig)!
Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus der Translation eines körperfesten Punktes (im Allgemeinen wählt man zweckmäßig den Schwerpunkt) und einer Rotation um diesen Punkt zusammensetzen (die Reihenfolge ist beliebig)!
P
yA
xA
AA
P
yA
xA
P
AxA
Ende?
3 DynamikSeite: 29
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x
y
A
xA
yA
rA
Bild 3.13 Berechnung des Momentanpols P
3.2.2 Der Momentanpol
Satz: Bei der Bewegung eines starren Körpers gibt es stets einen Punkt, der sich für einen Moment in Ruhe (v = 0) befindet. Das ist der Momentanpol P der Geschwindigkeit.Satz: Bei der Bewegung eines starren Körpers gibt es stets einen Punkt, der sich für einen Moment in Ruhe (v = 0) befindet. Das ist der Momentanpol P der Geschwindigkeit.
Frage: Wo liegt bei einer allgemeinen Bewegung der Momentanpol P. Wir betrachten den 2D-Fall in Bild 3.13. P
xP
yPrP
Wenn P der Momentanpol sein soll, muss gelten und man erhält aus (3.27) ein System mit zwei Gleichungen für r und :
0yx pp
Wir differenzieren und erhalten die Geschwindigkeiten des Punktes P
sinrxx Ap cosryy Ap (3.27)
r
xxcos Ap
und
Einsetzen in (3.28) liefert:
0yyx ApA 0xxy ApA
Aus dem Bild folgt mit r = konst.: rAAp errrrr
A
Apx
yy
A
Apx
yy
r·si
n
r·cos
AA y,x - Translationsgeschw. von A
r
er
= r er
,.
Ay
Ax
- Winkelgeschwindigkeit um A.
rsinyy Ap rcosxx Apund
0sinrxA 0cosryA (3.28)
r
yysin Ap
Aus dem Bild 3.13 liest man ab:
A
Apy
xx
A
Apy
xx Koordinaten des Momentanpols (3.29)
Ende?
3 DynamikSeite: 30
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Ist die Lage des Momentanpols P bekannt, so kann die allgemeine Bewegung eines starren Körpers im Moment als reine Rotation um diesen Momentanpol P (Bild 3.14) angesehen werden und es gelten die Gesetze der Kreisbewegung (siehe Kapitel 3.1.5).
Ist die Lage des Momentanpols P bekannt, so kann die allgemeine Bewegung eines starren Körpers im Moment als reine Rotation um diesen Momentanpol P (Bild 3.14) angesehen werden und es gelten die Gesetze der Kreisbewegung (siehe Kapitel 3.1.5).
Hinweis: Die Geschwindigkeit v des Momentanpols ist im betrachteten Moment Null, aber seine Beschleunigung ist im Allgemeinen ungleich Null! Das bedeutet, dass sich die Lage des Momentanpols in der Zeit ändern kann!
Hinweis: Die Geschwindigkeit v des Momentanpols ist im betrachteten Moment Null, aber seine Beschleunigung ist im Allgemeinen ungleich Null! Das bedeutet, dass sich die Lage des Momentanpols in der Zeit ändern kann!
Bedeutung des Momentanpols
AAAtA rrra
Beschleunigung: 2A
2A
A
2A
nA rrrv
a
Geschwindigkeit: AAA rrv Punkt A:
Punkt Q: QQQ rrv Geschwindigkeit:
QQQtQ rrra
2Q
2Q
Q
2Q
nQ rrr
va Beschleunigung:
Nach Kapitel 3.1.5 ergeben sich bei Betrachtung der allgemeinen Bewegung des starren Körpers in Bild 3.14 als reine Rotation um den Momentanpol P für die Punkte A und Q die folgenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (siehe Gleichungen (3.22), (3.24) und (3.25)).
Bild 3.14 Rotation um den Momentanpol
P (Momentanpol)
= .
starrer Körper
rA
A
atA
anA
rQ
Q
vA
.
.
vQ
atQ
anQ
Ende?
3 DynamikSeite: 31
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
RxNach Bild 3.15 b) folgt als Rollbedingung
Q
S
R
Pb)
S
x
Q
Beispiel 3.3 Rollendes Rad
Gegeben: vs, R, a, Gesucht: Geschwindigkeit vK eines beliebigen Punktes K
Ein Rad rollt ohne zu gleiten. Der Mittelpunkt S bewegt sich dabei mit der Geschwindigkeit vs und das Rad dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit (Bild 3.15 a.
Der abrollende Bogen PQ und der vom Schwerpunktes S zurückgelegte Weg x (bzw. die Strecke PQ) müssen gleich groß sein, wenn kein Gleiten zwischen dem Rad und der Unterlage eintritt!
Rollbedingung (ohne zu gleiten):
Bild 3.15Rollendes Rad
S
vS
R
a)
RxRvS
(3.30)
a
K
1. Lösungsvariante
Lösungsstrategie: Die Lösung erfolgt durch Überlagerung der Translation des Schwerpunktes S mit der Rotation um den Schwerpunkt S.
Der Punkt K hat die gleiche Translationsgeschwindigkeit vS wie der Schwerpunkt S. Zu dieser Geschwindigkeit addiert sich vektoriell die Rotationsgeschwindigkeit a des Punktes K infolge der Drehung um den Schwerpunkt S (Bild 3.16, folgende Seite).
Ende?
3 DynamikSeite: 32
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die Rotationsgeschwindigkeit steht senkrecht zum Radiusstrahl von S nach K (Bild 3.16).
S vSR
Ka
Bild 3.16 Überlagerung: Translation und Rotation
Nach dem Kosinussatz (vgl. markiertes Dreieck in Bild 3.16) folgt:
180cosa2vavv s22
S2K
cosa2vavv s22
SK
cos2RaaRv 22K
Mit der Rollbedingung vS = R ergibt sich die Geschwindigkeit vK des Punktes K zu
a vK
180- vS
Zunächst wird die Lage des Momentanpols P ermittelt. Dazu definieren wir ein Bezugssystem (x,y) im Auflagepunkt der Rolle (Bild 3.17).
2. Lösungsvariante
Lösungsstrategie: Reine Rotation um den Momentanpol P.
S vSR
Ka
Bild 3.17
xy
Rvx,0x SSS Mit 0y,Ry ss und
(Beachte positive Definition von und ; vgl. auch Bild 3.13)
Wenn in Gleichung (3.29) der Punkt A der Schwerpunkt S ist, ergibt sich
S
Spx
yy
SSp
yxx und (1)
folgt die Lage des Momentanpols P aus (1) zu: 0
0
0xp
0
R
Ryp
Momentanpol P ist der aktuelle Auflagepunkt!Momentanpol P ist der aktuelle Auflagepunkt!
Momentanpol P
Ende?
3 DynamikSeite: 33
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
vS
S
Bild 3.17
Für eine reine Rotation um den jetzt bekannten Momentanpol P wird die Geschwindigkeit des Punktes K (vgl. Bild 3.18)
Der Abstand rK vom Momentanpol P zum Punkt K folgt aus dem Kosinussatz im markierten Dreieck des Bildes 3.18 zu
180cos2RaaRr 222K
cos2RaaRr 22K
cos2RaaRv 22K
Damit erhält man aus (2) für die Geschwindigkeit des Punktes K erwartungsgemäß das gleiche Ergebnis wie nach der Variante 1.
vK = rK· (2)
rK
vK
•K
a
P (Momentanpol)
R
Ende?
3 DynamikSeite: 34
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
starrer Körper
a)
Bild 3.20 Lage des Momentanpols bei Kenntnis der Geschwindigkeiten zweier Punkte
A
B
Weitere Hinweise zur Bestimmung des Momentanpols:
• Bei einem rollenden Rad (reines Rollen ohne Gleiten voraus-gesetzt) auf einer ruhenden Unterlage ist der Momentanpol P immer der Berührungspunkt (Bild 3.19 a).
• Eine lose Rolle mit einem festen Seilende kann als ein an dem festen Seilende abrollendes Rad angesehen werden (z. B. ein Jo-Jo). Der Momentanpol P liegt somit immer dort, wo das feste Seilende die Rolle verlässt (Bild 3.19 b). Bild 3.19 Lage des Momentanpols P
beim rollenden Rad und bei einer losen Rolle mit festem Seilende
P
a)
P
vb)
• Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B eines starren Körpers bekannt und nicht parallel, so kann der Momentanpol P als Schnittpunkt der Senkrechten auf die Geschwindigkeitsrichtungen in diesen zwei Punkten bestimmt werden (Bild 3.20 a).
• Sind die Bewegungsrichtungen zweier Punkte A und B parallel, so liegt der Momentanpol P auf der Verbindungslinie dieser zwei Punkte (Bild 3.20 b). Die Lage des Momentanpols auf dieser Linie kann bei bekannten Geschwindigkeiten aus der folgenden Grundbeziehung berechnet werden:
B
B
A
A
r
v
r
v mit r2rr BA
•
•
Zum Beispiel:Lose Rolle mit zwei bewegten Seilenden
b)
Sr
P
Sonderfall: Bei parallelen, gleich gerichteten und gleich großen Geschwindigkeiten zweier Punkte (vA= -vB, das be-deutet Translation) liegt der Momentanpol im Unendlichen!
Sonderfall: Bei parallelen, gleich gerichteten und gleich großen Geschwindigkeiten zweier Punkte (vA= -vB, das be-deutet Translation) liegt der Momentanpol im Unendlichen!
BA
AA vv
vr2r
BA
AA vv
vr2r
BA
BB vv
vr2r
BA
BB vv
vr2r
bzw.
vS
A B
vB
vA
rA
rB
P
Ende?
3 DynamikSeite: 35
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starren Körpern
Wir hatten bereits erkannt (vgl. Kapitel 3.2.1), dass die Lage eines starren Körpers in der Ebene durch drei Koordinaten eindeutig beschrieben ist.
Im Folgenden wollen wir die Betrachtungen nur in der Ebene vornehmen.
x, y - Koordinaten eines Punktes(zweckmäßig der
Schwerpunkt S)Bild 3.21 Lagebeschreibung eines Körpers
x
yBeispiel (Bild 3.21): Die drei Koordinaten, welche die Lage des starren Körpers eindeutig beschreiben sind
- Winkelkoordinate xS
yS S
Bei einem System aus Punktmassen und/oder starren Körpern können auch mehr Koordi-naten zur Lagebeschreibung zweckmäßig sein. Das hängt von der Anzahl der Punktmassen und starren Körper und der Art ihrer Kopplungen ab.
Satz: Die Anzahl der zur eindeutigen Beschreibung der Lage eines Systems aus Punktmassen und starren Körpern notwendigen Koordinaten nennt man die Anzahl der Freiheitsgrade f.
Das Bild 3.22 (siehe nächste Seite) zeigt einige Beispiele für Systeme aus Massen bzw. starren Körpern. Für jedes System sind die zur eindeutigen Lagebeschreibung notwendigen Koordina-ten (eine von mehreren Möglichkeiten) und der Freiheitsgrad f angegeben.
Ende?
3 DynamikSeite: 36
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x
starrx2
x1
Feder
f = 1f = 1 f = 2f = 22
1
f = 2f = 2f = 1f = 1
x
reines Rollen
Seile dehnstarr,kein Schlupf
Bild 3.22 Freiheitsgrade von Systemen
Häufig ist es zweckmäßig, mehr Koordinaten einzuführen, als das System Freiheitsgrade f hat.
Dann bestehen zwischen den Koordinaten (bzw. zwischen den Ableitungen der Koordinatennach der Zeit, den Geschwindigkeiten) bekannte Abhängigkeiten, die so genannten Zwangsbedingungen (ZB),
mit n – Anzahl der eingeführten Koordinatenz – Anzahl der Zwangsbedingungen
f = n - z f = n - z (3.31)
und es muss folgende Bedingung erfüllt sein:
Ende?
3 DynamikSeite: 37
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.4 Rollendes Rad (Koordinaten, Freiheitsgrad, Zwangsbedingungen)
SR
x
PBild 3.23 Rollendes Rad
Die Bewegung eines rollenden Rades (ohne gleiten) wird zunächst durch zwei Bewegungskoordinaten x und beschrieben (Bild 3.23).
Reines Rollen eines Rades: f = 1
Aus (3.31) folgt: z = n - f = 2 - 1 = 1,
Die Zwangsbedingung kann aus der Rotation des Rades um den Momentanpol P, die mit der Winkelgeschwindigkeit erfolgt, gefunden werden (vgl. Kapitel 3.2.2).
d. h. es muss eine Zwangsbedingung (ZB) geben.
n = 2Anzahl der eingeführten Koordinaten:
Damit gilt:
Für die Geschwindigkeit vS des Schwerpunktes S gilt
RxvS ZB für die Geschwindigkeiten
Daraus folgt durch Integration
cRx allgemeine ZB für die Koordinaten
Die Integrationskonstante c folgt aus einer Anfangsbedingung (AB). Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 sowohl die Koordinate x als auch der Winkel Null sind. Die AB lauten dafür
und damit Rx ZB zwischen den Koordinaten für die angenommenen AB
0c
00t
00tx
Ende?
3 DynamikSeite: 38
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x1
x
1
Beispiel 3.5 System starrer Körper
Für das System nach Bild 3.24 mit den einge-tragenen Bewegungskoordinaten (x1, 1, 2, x2) werden die ZB zwischen den Koordinaten ge-sucht. Reines Rollen und ein dehnstarres Seil ohne Schlupf werden vorausgesetzt.
Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1
(Rollbedingung; vgl. Beispiel 3.3 und Beispiel 3.4)111 Rx
Bild 3.24 System aus starren Körpern
SR1
r1 r2
P1
P2
n = 4Anzahl der eingeführten Koordinaten:
Es gilt:
Aus (3.31) folgt: z = n - f = 4 - 1 = 3,d. h. es muss drei Zwangsbedingungen (ZB) geben.
Für die Ermittlung der ZB betrachten wir die Rotation des rollenden Rades mit der Winkelge-schwindigkeit um den Momentanpol P1 (vgl. Bild 3.25, bzw. auch Beispiel 3.4) und die Rota-tion der Umlenkrolle mit der Winkelgeschwindig-keit um den Momentanpol P2.
1
2
Es folgt:
111 rRx (Seilgeschwindigkeit am rollenden Rad)
2x xxx2
( = Seilgeschwindigkeit, = Tangentialgeschwindigkeit der Umlenkrolle; da kein Schlupf und ein dehnstarres Seil angenommen wird, gilt )
222 rxx
2
x2
1
x1
2
Bild 3.25 Geschwindigkeiten am rollenden Rad und an der Umlenkrolle
R1+r1 S
R1
P1
r2P2
x
x2
Ende?
3 DynamikSeite: 39
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die Integration dieser ZB für die Geschwindigkeiten liefert die allgemeinen ZB für die Bewegungs-koordinaten, die noch unbekannte Integrationskonstanten enthalten.
1111 cRx
2111 crRx
3222 crxx
x1(t=0)=0, 1(t=0)=0, 2(t=0)=0, x2(t=0)=0
Mit den Anfangsbedingungen
x1 = R1·1
x2 = (R1+r1)·1
x2 = r2·2
werden die Integrationskonstanten c1 bis c3 in den Zwangsbedingungen Null (vgl. Beispiel 3.4) und wir erhalten:
Ende?
3 DynamikSeite: 40
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.3 Kinetik der ebenen Bewegung von Punktmassen und starren Körpern
Im Allgemeinen reicht eine kinematische Betrachtungsweise nicht aus, um die Bewegungen von Körpern zu beschreiben, da im Allgemeinen auch Kräfte auf die Körper einwirken. Im Allgemeinen reicht eine kinematische Betrachtungsweise nicht aus, um die Bewegungen von Körpern zu beschreiben, da im Allgemeinen auch Kräfte auf die Körper einwirken.
Im Teilgebiet Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) und den während der Bewegung auftretenden Kräften untersucht.
Im Teilgebiet Kinetik werden die Zusammenhänge zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung) und den während der Bewegung auftretenden Kräften untersucht.
3.3.1 D’ALEMBERTsches Prinzip für Punktmassen
Die bisher in der Statik angenommenen Axiome werden um ein weiteres Axiom, das so genannte NEWTONsche Grundgesetz der Dynamik (1687), ergänzt:
td
vmdF
td
vmdF
amtd
vdmF
amtd
vdmF
und für m = konst.(3.32)
Das NEWTONsche Grundgesetz in seiner ursprünglichen Form gilt nur für freie Punktmassen (keine Bindungen z. B. durch eine Führung der Massen) und setzt Folgendes voraus:
• Die Masse m ist zeitlich unveränderlich.• Die Geschwindigkeit v ist sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit.• Das Bezugssystem wird als beschleunigungsfrei angenommen (Inertialsystem).
Ende?
3 DynamikSeite: 41
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Häufig sind die Systeme durch Lager und Führungen (oft mit Reibung) mit der Umgebung ver-bunden. Zur Behandlung solcher gebundener Systeme dient das D’ALEMBERTsche Prinzip, das wir nachfolgend einführen wollen.
• Trägheitskräfte (Massenträgheitskräfte) am
Die auf eine Masse wirkenden Kräfte lassen sich wie folgt einteilen:
eF
• Äußere eingeprägte Kräfte
RF
• Reaktionskräfte
Bei gebundenen (z. B. gelagerten) Systemen gehen durch die Bindungen Kräfte verloren, die somit nicht für die Beschleunigung des Systems zur Verfügung stehen. Es gibt also noch die so genannten
• „verlorenen Kräfte“ VF
Für eine freie Masse sind die Kräfte im NEWTONschen Grundgesetz (3.32) gleich den ein-geprägten Kräften . Bei gebundenen Systemen vermindern sich die für die Beschleunigung wirksamen Kräfte um die verlorenen Kräfte.
F
eF
Für gilt dannF
Ve FFF
Die „verlorenen Kräfte“ stehen mit den Reaktionskräften (z. B. Lagerkräften) im Gleichgewicht, d. h. es gilt
RF
VF
0FF VR
Setzt man diese Kräfte in (3.32) ein, so folgen daraus die „verlorenen Kräfte“
amFF eV
„verlorenen Kräfte“ (1)
mit (1) 0amFF eR
und mit eR FFF
folgt
0amF
0amF
(3.33)
Ende?
3 DynamikSeite: 42
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
0amF
0amF
(3.33)
Die Gleichung (3.33) ist das NEWTONsche Grundgesetz in der D’ALEMBERTschen Form. Damit wird folgende prinzipielle Aussage beschrieben:
Das kinetische Problem wird formal auf ein statisches Problem zurückgeführt, indem zu den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften die Massenträgheitskräfte (auch D´ALEMBERTsche Kräfte genannt) hinzugefügt werden!
Das kinetische Problem wird formal auf ein statisches Problem zurückgeführt, indem zu den eingeprägten Kräften und den Reaktionskräften die Massenträgheitskräfte (auch D´ALEMBERTsche Kräfte genannt) hinzugefügt werden!
am
Vorgehensweise bei der Anwendung des D’ALEMBERTsche Prinzips:
• Einführung von Bewegungskoordinaten (gegebenenfalls Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten ermitteln)
• Freischneiden der bewegten Massenpunkte in einer allgemeinen Lage• Antragen aller eingeprägten Kräfte und aller Reaktionskräfte
Beachte: Die Massenträgheitskräfte (D´ALEMBERTsche Kräfte) sind wegen des negativen Vorzeichens in der Gleichung (3.33) immer entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen ( positive Beschleunigungsrichtungen) anzutragen!
Beachte: Die Massenträgheitskräfte (D´ALEMBERTsche Kräfte) sind wegen des negativen Vorzeichens in der Gleichung (3.33) immer entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen ( positive Beschleunigungsrichtungen) anzutragen!
• Aufschreiben der Gleichgewichtsbedingungen wie in der Statik• Berechnung der gesuchten Größen (Beschleunigungen, Bewegungsgesetze, Kräfte usw.) aus
den Gleichgewichtsbedingungen und Zwangsbedingungen
am
• Antragen aller Massenträgheitskräfte (D´ALEMBERTsche Kräfte)
Ende?
3 DynamikSeite: 43
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
v = 0, t = 0
lmS
Bild 3.26 Masse auf schiefer Ebene
a)
S
xb)
Beispiel 3.6 Masse auf schiefer Ebene
Gesucht: Wie lange braucht die Masse, um aus der Ruhelage den Weg l zurückzulegen?
Gegeben: m = 20 kg, l = 0,6 m, = 45°Haftreibzahl 0 = 0,15, Reibzahl = 0,1
x
mx..
FR
FN
mg
Beachte: Der Richtungs-sinn von FR gilt nur für die Abwärtsbewegung!
mg·sin
mg·cos
a) Definition der Bewegungskoordinate x (Bild 3.26 a),
und Antragen aller Kräfte (eingeprägte Kräfte, Reaktionskräfte und D’ALEMBERTsche Kräfte)
Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.26 b)
cosmgFN
b) Kräftegleichgewicht
0cosmgFN :
0xmFsinmg R : (1)
Mit der Normalkraft FN und dem COULOMBschen Gleitreibungsgesetz (vgl. Kapitel 1.11.2, S 154)
cosmgFF NR
folgt aus (1)0xmcosmgsinmg
acossingx (2) Die Gleichung (2) ist die Beschleunigung der Masse für die Abwärtsbewegung (oder was gleichbedeutend ist für ).0x
Ende?
3 DynamikSeite: 44
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
c) Damit eine Abwärtsbewegung der Masse aus der Ruhe heraus überhaupt eintreten kann, muss am Beginn der Bewegung die Bedingung erfüllt sein.0x
tan00cossin 0 Aus (2) folgt damit (Beachte: Für ist 0 einzusetzen, da die Masse noch ruht!)
und mit den gegebenen Werten: 0,15 < tan 45° = 1 Bedingung erfüllt!
Da < 0 gilt, ist eine Abwärtsbewegung mit positiver Beschleunigung gesichert und damit garantiert, dass die Masse nicht vor dem Zurücklegen des Weges l zur Ruhe kommt.
d) Berechnung der Zeit t = T für den Weg lAus der Beschleunigung (2) erhalten wir durch Integration die Geschwindigkeit und den Weg in Abhängigkeit von der Zeit:
ax 1catx 212 ctcat
2
1x
Die noch unbekannten Integrationskonstanten c1 und c2 sowie die Zeit T erhalten wir aus den Anfangsbedingungen und der Endbedingung der Bewegung.Anfangsbedingungen: 00)x(t1. 0c2
00)(tx2. 0c1
Endbedingung: lT)x(t l 2aT2
1
a
2T
l
Mit der Beschleunigung a nach (2) folgt für die gesuchte Zeit T
)cosg(sin
2T
lzahlenmäßig: s0,438
54cos0,154sinsm9,81
m0,62T
2-
Ende?
3 DynamikSeite: 45
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
R
A
Bild 3.28 Freigeschnittenes System
x1
x2
R
m1
m2
masselos, dehnstarr
Rolle masselos, kein Seil-schlupf!
S1
S2
Bild 3.27
FS1
FS2
FAV
FAH
Beispiel 3.7 Zwei-Massen-System mit Umlenkrolle
Gesucht: Beschleunigung der Masse m1
Gegeben: M, m1=2M, m2=M, R
x2x1
A
FS2
m2g
m2x2
..
a) Definition der Bewegungs-koordinate (Bild 3.27),
und alle Kräfte antragen (einge-prägte Kräfte, Reaktionskräfte und D’ALEMBERTsche Kräfte)
Freischneiden in einer allgemeinen Lage (Bild 3.28),
FS1
m1g
m1x1
..
b) Gleichgewichtsbedingungen:
Rolle: 0RFRF:A S2S1
0gmxmF: 222S2 Masse m2:
0xmgmF: 111S1 Masse m1:
S2S1 FF (1)
222S2 xmgmF (3)
111S1 xmgmF (2)
c) Zwangsbedingungen
Aus f = n -z folgt z = 2, d. h. es gibt noch zwei Zwangsbedingungen.
Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1
n = 3Anzahl der eingeführten Koordinaten:
Ende?
3 DynamikSeite: 46
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
In den Gleichungen (1) bis (5) sind genau fünf Unbekannte (FS1, FS2, , , ) enthalten. Damit kann durch entsprechendes Auflösen jede Unbekannte berechnet werden. Wir suchen hier nur die Beschleunigung der Masse m1.
1x 2x
1x
Da das Seil als dehnstarr angenommen werden kann und kein Seilschlupf auftreten soll, er-geben sich zunächst zwei ZB für die Geschwindigkeiten, aus denen die ZB für die Beschleu-nigungen durch Differentiation und für die Koordinaten durch Integration ermittelt werden können (zum Zeitpunkt t = 0 sollen alle Koordinaten Null sein alle Integrationskonstanten werden Null).
1xR 1xR 1xR bzw. (4)
2xR 2xR 2xR bzw. (5)
Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert:
222111 xmgmxmgm
d) Berechnung der Beschleunigung der Masse m1
Aus den Zwangsbedingungen (4) und (5) folgt
12 xx
und es kann damit eliminiert werden. Es folgt2x
gmgmxmm 21121
21
211 mm
gmmx
Für die gegebenen Werte m1 = 2M; m2 = M ergibt sich g3
1x1
Ende?
3 DynamikSeite: 47
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x
y
Masse m
S
b)
x
y
Masse m
S
Bild 3.29 Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt
a)
3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern
Zur Beschreibung der ebenen Bewegung eines starren Körpers führen wir ein körperfestes Koordinatensystem ein, dessen Ursprung stets im Schwerpunkt S des Körpers liegen soll.
Wir wollen jetzt die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte, die auf ein differentielles Massenelement dm wirken, zu äquivalenten Größen zusammenfassen und auf den Schwer-punkt S der Masse m reduzieren (Bild 3.29).
Wir wollen jetzt die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte, die auf ein differentielles Massenelement dm wirken, zu äquivalenten Größen zusammenfassen und auf den Schwer-punkt S der Masse m reduzieren (Bild 3.29).
dm·yS
..
dm·xS
..
x = r·cosy = r·sin
ry
x
dm
dm·r·..
dm·r·2.
FDy FDx
MDS
Wir fassen die Bewegung als Überlagerung von Translation des Schwerpunktes und Rota-tion um den Schwerpunkt S auf.
Die Massenbeschleunigungs-kräfte des Massenelements dm in Bild 3.29 müssen nach dem D’ALEMBERTschen Prinzip wie folgt angetragen werden:
• für die Translation in y-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung Sy• für die Translation in x-Richtung: entgegen der positiven Beschleunigung Sx
• für die Rotation um S: entgegen der positiven Normalbeschleunigung bzw. der positiven Tangentialbeschleunigung (vgl. Kapitel 3.1.5, Bild 3.9 b)r
2r
Mit den nachfolgenden Äquivalenzbedingungen reduzieren wir alle Massenbeschleunigungen auf den Schwerpunkt S (Bild 3.29 b).
Ende?
3 DynamikSeite: 48
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Äquivalenzbedingungen zwischen den auf den Schwerpunkt S bezogenen Größen (Bild 3.29 b) und den auf das Massenelement dm wirkenden und über die gesamte Masse m integrierten Massenkräfte (Bild 3.29 a) liefern:
m
2
mmSDx dmcosrdmsinrdmxF:
m
2
mmSDy dmsinrdmcosrdmyF:
mm
Sm
SDS dmrrdmyxdmxyM:S
m
2
mmSDx dmxdmydmxF (3.34)
m
2
mS
mSDS dmrdmyxdmxyM (3.36)
(3.35)
m
2
mmSDy dmydmxdmyF
x
y
Masse m
S
b)
x
y
Masse m
S
Bild 3.29 Reduktion der Massenkräfte auf den Schwerpunkt
a) dm·yS
..
dm·xS
..
x=r·cosy=r·sin
ry
x
dm
dm·r·..
dm·r·2.
FDy FDx
MDS
Ende?
3 DynamikSeite: 49
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Mit der Abkürzung (3.39) und Sx = Sy = 0 für Schwerpunktachsen folgt aus (3.34) bis (3.36)
SDx xmF
SDy ymF
SDS JM
(3.40)
Für die Integrale in (3.34) bis (3.36) führen wir folgende Abkürzungen ein:
(m)
dmm Masse (3.37)
(m)x
(m)y
dmyS
dmxS
Statische Momente (3.38)
Beachte: Statische Momente für Achsen durch den Schwer-punkt sind stets Null (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129).
Beachte: Statische Momente für Achsen durch den Schwer-punkt sind stets Null (vgl. Kapitel 1.9.3, S 129).
(m)
2S dmrJ
(m)
2S dmrJ Massenträgheitsmoment (3.39)
JS ist auf die senkrecht zur Zeichenebene liegende Rotations-achse durch den Schwerpunkt S bezogen. Deshalb wird es mitunter auch axiales Massenträgheitsmoment bezeichnet.
JS ist auf die senkrecht zur Zeichenebene liegende Rotations-achse durch den Schwerpunkt S bezogen. Deshalb wird es mitunter auch axiales Massenträgheitsmoment bezeichnet.
Ende?
3 DynamikSeite: 50
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
• Die Gesamtheit der Massenbeschleunigungskräfte der ebenen Bewegung eines starren Körpers kann durch drei auf den Schwerpunkt S bezogenen Trägheitsgrößen , und ersetzt werden.
Sxm Sym SJ
• Diese Trägheitsgrößen sind bei positiven Beschleunigungen entgegengesetzt zu den positiven Koordinaten x, y und gerichtet (vgl. Bild 3.29 b).
• Mit diesen Trägheitsgrößen kann das D’ALEMBERTsche Prinzip für Punktmassen (Kapitel 3.3.1) auf starre Körper erweitert werden, indem als dritte Trägheitsgröße hinzugefügt wird.SJ
D’ALEMBERTsches Prinzip für die ebene Bewegung starre Körper
entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. was gleichbedeutend ist, entgegengesetzt zu den positiven Koordinatenrichtungen) hinzugefügt!
Schnittprinzip und Gleichgewichtsbedingungen können wie in der Statik benutzt werden, wenn man im Schwerpunkt S des starren Körpers
SJ SJsowie das Moment D´ALEMBERTsches Moment
S
S
ym
xm
S
S
ym
xm
D´ALEMBERTsche Kräftedie Kräfte
Die Gleichungen (3.40)
lassen sich wie folgt interpretieren:
SDx xmF SDy ymF SDS JM (3.40)
Ende?
3 DynamikSeite: 51
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.8 Dünner homogener Stab (Querschnittsabmessungen << Stablänge)
S
l/2l/2
m, A
Bild 3.31 Dünner homogener Stab
Hinweis zur Ermittlung des Massenträgheitsmomentes JS:
m
2S dmrJ
m
2S dmrJ
r
m, V,
dmS
Bild 3.30 Berechnung von JS
JS ist das (axiale) Massenträgheitsmoment für eine Bezugsachse senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt S. Es gilt allgemein (vgl. Gleichung (3.39) und Bild 3.30)
v
2S dVrJ
v
2S dVrJund mit dm = dV folgt (3.41)
Falls = konst. ist, wird v
2S dVrJ
v
2S dVrJ (3.42)
r dr dV=A·dr
V
2S dVrJ
Damit folgt aus Gleichung (3.42)
- Dichtem - Gesamtmassel - GesamtlängeA - Querschnittsfläche
Es sei (vgl. Bild 3.31):
2lm121
JS 2lm
121
JS (3.43)
2
2
3r3
1A
l
l
3A12
1l
33
22A
3
1 ll 2
m
A12
1ll
2
2
Adrr2
l
l
Ende?
3 DynamikSeite: 52
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.9 Homogene Kreisscheibe (bzw. Vollzylinder)
- Dichtem - Gesamtmasseh - ScheibendickeR - Scheibenradius
Es sei:
S
R
, m, h
Bild 3.32 Homogene Kreisscheibe
d
r dr
dV=rddrh
2
m
24S RhR
2
1Rh
2
1J
drdrhdVrJ
R
0
2
0
3
V
2S
Mit Bild 3.32 folgt aus Gleichung (3.42)
R
0
4S r
4
12hJ
2S mR
2
1J
2S mR
2
1J (3.44)
Ende?
3 DynamikSeite: 53
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
m
Bild 3.33 Definition der Bezugssysteme für den STEINERschen Satz
S
A
y
x
Der STEINERsche Satz für Massenträgheitsmomente
Ziel: Berechnung eines Zusammenhangs zwischen den Massenträgheitsmomenten für parallele Achsen (senkrecht zur Zeichenebene) durch A und den Schwerpunkt S (Bild 3.33).
Ziel: Berechnung eines Zusammenhangs zwischen den Massenträgheitsmomenten für parallele Achsen (senkrecht zur Zeichenebene) durch A und den Schwerpunkt S (Bild 3.33).
x
y
xS
yS
rS
r
r
y
dm
x
x
y
Voraussetzung:• x und y sind Achsen durch den Schwerpunkt S
• x und y sind parallele Achsen zu x und y durch A
Für das Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achse durch A folgt nach Gleichung (3.39) und Bild 3.33:
m
2s
2S
m
2A dmyyxxdmrJ
m
2S
2S
2S
2SA dmyyy2yxxx2xJ
0
mS
0
mS
m
22
m
2S
2SA dmyy2dmxx2dmyxdmyxJ
Mit (siehe Bild 3.33) 2S
2S
2S yxr 222 yxr und wird das Massenträgheitsmoment JA
m
2
m
2SA dmrdmrJ mrJJ 2
SsA mrJJ 2SsA STEINERsche Satz (3.45)
Hinweis: Die beiden letzten Integrale werden Null, da es sich um statische Momente bezogen auf Schwerpunkt-achsen handelt (siehe Kapitel1.9.3, S 129).
Ende?
3 DynamikSeite: 54
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Für die Berechnung von Massenträgheitsmomenten zusammengesetzter Körper gilt der folgen-de Satz (vgl. Kapitel 1.10.5, S 146):
Die große Ähnlichkeit der Definitionsformel (3.39) für das Massenträgheitsmoment JS mit denen der Flächenträgheitsmomenten Ixx, Iyy und der für sie geltenden STEINERschen Sätze erlaubt die analoge Übertragung der allgemeinen Aussagen zu den Flächenträgheitsmomenten (vgl. Kapitel 1.10, S 134) auf die Massenträgheitsmomente.
mrJJ 2SsA mrJJ 2
SsA STEINERsche Satz (3.45)
Beachte: S muss der Schwerpunkt des Körpers sein! A ist ein beliebiger Punkt. Die beiden Achsen durch S und A, auf die sich JS und JA beziehen, müssen parallel zueinander sein und haben den Abstand rS.
Beachte: S muss der Schwerpunkt des Körpers sein! A ist ein beliebiger Punkt. Die beiden Achsen durch S und A, auf die sich JS und JA beziehen, müssen parallel zueinander sein und haben den Abstand rS.
Satz: Massenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen, aber ansonsten parallele Achsen, bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINERschen Satzes (3.45) auf eine der parallelen Achsen umrechnen.
Satz: Massenträgheitsmomente können addiert werden, wenn sie auf gleiche Achsen bezogen sind. Sind sie nicht auf gleiche Achsen, aber ansonsten parallele Achsen, bezogen, so lassen sie sich mit Hilfe des STEINERschen Satzes (3.45) auf eine der parallelen Achsen umrechnen.
Ende?
3 DynamikSeite: 55
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.10 Dünner homogener Stab (vgl. Beispiel 3.8)
Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Achse durch A
Mit dem STEINERschen Satz
mrJJ 2SSA
A
l/2l/2
m (Gesamtmasse)S
Bild 3.34 Dünner homogener Stab; Massenträgheitsmoment für parallele Achsen
und2
rSl
(vgl. Bild 3.34)
2S m
12
1J l (siehe Beispiel 3.8, Gleichung (3.43))
m2
m12
1J
22
A
ll
folgt
2A m
3
1J l
2A m
3
1J l (3.46)
Ende?
3 DynamikSeite: 56
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
(3.47) 22222122
21
S rherrhRRhJ1
Beispiel 3.11 Homogene Kreisscheibe mit exzentrischem Kreisloch
S1
R
, Dicke h
r
A
e
22 eRa
a
Bild 3.35 Kreisscheibe mit Kreisloch
S2
Gesucht: Massenträgheitsmoment bezogen auf die Achsendurch S1 und durch A
Geometrische Voraussetzung: e R und r R - e
Lösungshinweis: Die Massenträgheitsmomente werden durch Subtraktion des Massenträgheitsmomentes des „Lochs“ von dem der Vollscheibe berechnet, wobei beide auf die Achse durch S1 bzw. A bezogen sein müssen!
Lösungshinweis: Die Massenträgheitsmomente werden durch Subtraktion des Massenträgheitsmomentes des „Lochs“ von dem der Vollscheibe berechnet, wobei beide auf die Achse durch S1 bzw. A bezogen sein müssen!
Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch S1:Mit dem Massenträgheitsmoment für eine Vollscheibe (3.44) und dem STEINERSchen Satz (3.45) folgt
Loch,SollV,SS 111JJJ Loch
22Loch2
12Voll2
1 mermRm
224421 r2erRh
Massenträgheitsmoment bezogen auf Achse durch A:
LochA,A,VollA JJJ
2222212222
21
A rharrhRhRRRhJ
Loch22
Loch21
Voll22
Voll21 marmmRRm
(3.48)222 eRa mit 224421
A ra2rR3hJ 224421
A ra2rR3hJ
Ende?
3 DynamikSeite: 57
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Aus den Ergebnissen für die Kreisscheibe mit Loch folgen weitere Sonderfälle:
Homogene Kreisringscheibe (Hohlzylinder)
, Dicke h
r
S
R
A
Bild 3.36 Kreisringscheibe
4421
S rRhJ
Für eine homogene Kreisringscheibe (Bild 3.36) folgt aus (3.47) mit e = 0 und
22 rRhm (Masse der Kreisringscheibe)
2221
S rRmJ 2221
S rRmJ (3.49)
Aus (3.48) folgt mit e = 0, a = R
224421
A rR2rR3hJ
22222221
A rRrrRR3hJ
2221
A rR3mJ 2221
A rR3mJ (3.50)
Hinweis: Das Massenträgheitsmoment JA kann für die Kreisringscheibe (e = 0, a = R) auch aus JS mit dem STEINERschen Satz berechnet werden:
2221222
212
SA r3RmmRrRmmRJJ
222221 rRrRh
2222222221 rRrR3rrRR3h
Ende?
3 DynamikSeite: 58
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Homogene Kreisscheibe (Vollzylinder):
Die Ergebnisse für die Kreisringscheibe enthalten für r = 0 den Sonderfall der homogenen Kreisscheibe (bzw. für den Vollzylinder). Das Massenträgheitsmoment JS für die Schwerpunktachse wurde bereit im Beispiel 3.9 berechnet. Aus Gleichung (3.49) erhalten wir natürlich das gleiche Ergebnis: m, Dicke h
S
R
A
Bild 3.37 Homogene Kreisscheibe2
21
S mRJ
Die Gleichung (3.50) liefert das auf A bezogene Massenträgheitsmoment (Bild 3.37):
223
A mRJ 2
23
A mRJ (3.51)
Ende?
3 DynamikSeite: 59
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Berechnungsablauf:
3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen
1. Definition von n Bewegungskoordinaten für eine allgemeine ausgelenkte Lage des Systems. Es können mehr Koordinaten eingeführt werden, als das System Freiheitsgrade hat.
2. Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade f.3. Gegebenenfalls Ermittlung der Zwangsbedingungen zwischen den Koordinaten, wobei sich
die erforderliche Anzahl der Zwangsbedingungen z aus z = n - f ergibt.
5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen.6. Einarbeiten der Zwangsbedingungen.7. Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen nach den unbekannten Beschleunigungen,
Kräften und Momenten.8. Integration der Bewegungsgleichungen (wenn erforderlich).
4. Freischneiden der Massenpunkte und der Körper in einer ausgelenkten Lage und Antragen der eingeprägte Kräfte und Momente sowie der Reaktionskräfte, der Reibungskräfte und -momente entgegen der wirklichen Bewegungsrichtung, der D´ALEMBERTschen Kräfte und Momente entgegengesetzt zu den positiven Beschleunigungsrichtungen (bzw. Koordinatenrichtungen).
am
J
Eine Grundaufgabe der Kinetik ist das Aufstellen von Bewegungsgleichungen. In den Beispielen 3.6 und 3.7 hatten wir bereits mit Hilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips Bewegungsgleichungen für Punktmassen aufgestellt. Hier soll der typische Ablauf bei der Anwendung des D’ALEMBERTschen Prinzips für Systeme aus Punktmassen und starren Körpern gezeigt werden.
Hinweis: Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsgleichungen eines Systems stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein. Hinweis: Die Anzahl der unabhängigen Bewegungsgleichungen eines Systems stimmt mit der Anzahl der Freiheitsgrade des Systems überein.
Ende?
3 DynamikSeite: 60
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
SR
m
0
x
P
Bild 3.38 Rollen einer Kreisscheibe
Beispiel 3.12 Reines Rollen einer homogenen Kreisscheibe
Gegeben: m, R, , g, 0, JS = ½ mR2
Gesucht: a) Bewegungsgleichung für reines Rollenb) Bedingung für reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle P)
1. Bewegungskoordinaten:
a) Bewegungsgleichung (Berechnungsablauf vgl. oben)
n = 2
3. Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 2 - 1 = 1
2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1
x = R·
Zwangsbedingung für eine rollende Kreisscheibe (vgl. dazu Beispiel 3.4):
x - beschreibt Lage des Schwerpunktes S
- beschreibt Drehwinkel der Scheibe
4. Freischneiden, Kräfte und Momente antragen (siehe Bild 3.39 nächste Seite)
Ende?
3 DynamikSeite: 61
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
SR
x
P
FH
(Haftkraft)FH
FN
FN
mx..
JS..
mg
5. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
mg·sin
mg·cos
0mgcosF: N
Bild 3.39 Freigeschnittene Kreisscheibe(allgemeine Lage) mit eingeprägter Kraft (mg), Reaktionskräften (FN , FH ) undD’ALEMBERTschen Trägheitsgrößen
(1) 0RmgsinRxmJ:P s
Es folgt aus (1) mit JS = ½ mR2 :
0RmgsinRxmR
xmR
2
1 2
(2)0sing3
2x
sing32
x sing32
x
7. Auflösen von (2) nach x liefert die Bewegungsgleichung für die Beschleunigung des Schwerpunktes der Kreisscheibe:
..
Bewegungsgleichung
mgcosFN
R
x
6. Einarbeiten der Zwangsbedingungen
Wir wollen die Bewegungsgleichung für die Koordinate x aufstellen. Deshalb eliminieren wir die Koordinate und deren Ableitungen mit Hilfe der Zwangsbedingung
x = R·
aus den GleichgewichtsbedingungenR
x bzw.
xmmgsinFH 0mgsinxmF: H
Ende?
3 DynamikSeite: 62
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Damit reines Rollen (kein Gleiten an der Kontaktstelle) stattfindet, muss die während der Bewegung auftretende Haftkraft FH stets kleiner oder gleich der maximal möglichen Haftkraft sein.
b) Bedingung für reines Rollen
Hinweis: Durch Integration kann man aus der Beschleunigung x die Geschwindigkeit x(t) und den Weg x(t) gewinnen. Mit der Zwangsbedingung lässt sich damit auch die Winkelbeschleunigung , die Winkelgeschwindigkeit (t) und der Winkel (t) berechnen.
.
.. .
..
Das bedeutet
N0maxHH FFF
Mit FH und FN sowie der Beschleunigung x (siehe vorherige Seite) folgt daraus (die Betrag-striche dürfen wir weglassen, da FH und FN in unserem Fall größer Null sind):
..
cosmgxmsinmg 0
cosmgsing3
2msinmg 0
tan3
10
tan3
10 Bedingung für reines Rollen
cosmgsinmg3
10
Ende?
3 DynamikSeite: 63
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x2
x1
Beispiel 3.13 System aus drei Massen
S
R2
R1
JS, m
m1
m2
x1
x2
Bild 3.40 System aus drei Massen
Gegeben: m1 = 1000 kg, m2 = 40 kg
R1 = 0,2 m, R2 = 0,4 m
Js = 1 kg m2, = 0,2
Gesucht: Bewegungsgleichung von m1
(Abwärtsbewegung) und von m2
1. Bewegungskoordinaten: x1, x2, n = 3
2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1
3. Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 3 - 1 = 2
Die zwei benötigten Zwangsbedingungen lassen sich zweckmäßig an der Umlenkrolle ableiten (vgl. Bild 3.41 und Kapitel 3.2.3, Beispiel 3.4 und Beispiel 3.5).
x1 = R1·
x2 = R2·
1
1
Rx
(1)
11
22 x
RR
x (2)
Bild 3.41 Zwangsbedingungen an der Umlenkrolle
S
R1
R2 x1
Ende?
3 DynamikSeite: 64
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x2
x1
S
R2
R1
4. (bis 7.) Freischneiden (Bild 3.42) / Gleichgewichtsbedingungen / Einarbeiten der Zwangs-bedingungen / Auflösen nach x1:
..
FS2
m2x2
..
FR FN
m2g
0xmFF: 22S2R
FN = m2g
m1g
m1x1
..
FS1
FS1
FSH
FSV
JS..FS2
mg
Bild 3.42 Freigeschnittenes Massensystem (allgemeine Lage) mit eingeprägten Kräften, Reaktionskräften und D’ALEMBERTschen Trägheitsgrößen
0gmF: 2N
Kräftegleichgewicht an der Masse m2:
22R2S xmFF
Mit dem COULOMBschen Reibgesetzund der Zwangsbedingung (2) wird die Seilkraft FS2
gmFF 2NR
gmxR
RmF 21
1
22S2 (3)
Das Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt S der Umlenkrolle liefert:
0RFJRF:S 2S2s1S1
Mit der Zwangsbedingung (1) und FS2 (3) folgt
121
SS2
1
2S1 x
R
JF
RR
F 121
S2
1
212
2
1
2S1 x
R
Jgμm
R
Rxm
R
RF
(4)
Kräftegleichgewicht an der Masse m1:
0xmgmF: 111S1 111S1 xmgmF (5)
Ende?
3 DynamikSeite: 65
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Aus (4) und (5) folgt schließlich die Bewegungsgleichung für die Masse m1
2111112
1
s2
1
212
2
1
2 RxmgmxR
Jgm
RR
xmRR
gmRRgmRxJmRmR 2211211s1
212
22
gJRmRm
RRmRmx
s222
211
212211
1
g
JRmRm
RRmRmx
s222
211
212211
1
(6)
21s
m8,14x 21
s
m8,14x
Mit den gegebenen Zahlenwerten wird die Beschleunigung der Masse m1
Die Beschleunigung der Masse m2 folgt mit (6) aus der Zwangsbedingung (2) zu
gJRmRm
RmRRmx
R
Rx
s222
211
222211
11
22
gJRmRm
RmRRmx
R
Rx
s222
211
222211
11
22
212s
m28,16x2x 212
s
m28,16x2x
und mit den gegebenen Zahlenwerten
Ende?
3 DynamikSeite: 66
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
m
x
y
Bild 3.43 Definition der Arbeit
dr
r
F
3.4 Energiebetrachtungen
Das D’ALEMBERTsche Prinzip zur Ermittlung von Bewegungsgleichungen ist in der Regel für alle praktischen Aufgaben der Technischen Mechanik anwendbar und liefert neben den Bewegungs-gesetzen auch die dabei auftretenden Kräfte und Momente. Bei bestimmten Problemstellungen kann aber die Anwendung von Energiemethoden zweckmäßiger sein und zu einer wesentlichen Verkürzung des Rechenganges führen. Deshalb sollen im Folgenden dafür die Grundlagen vermittelt werden.
Beachte: Die Arbeit ist eine skalare Größe!Beachte: Die Arbeit ist eine skalare Größe!
Wir betrachten zunächst einen Massenpunkt auf einer bekannten Bahnkurve (Bild 3.43).
cosrdFrdFdW
Die differentielle Arbeit dW, die von der Kraft auf dem Weg verrichtet wird, ist
rd
F
3.4.1 Arbeit, Energie, Leistung
3.4.1.1 Arbeit
Die zwischen den zwei Bahnpunkten (1) und (2) von der Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus der Integration über den Weg von (1) nach (2) und ist somit
F
r2
r1
(1)
(2)
2
1
r
r
rdFW
(3.52)
Ende?
3 DynamikSeite: 67
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Wir setzen jetzt in der Gleichung (3.52) für das NEWTONsche Grundgesetz (3.32) ein und erhalten
F
dtvmd
F
rd
dt
vmdW
2
1
r
r
21
22 mv
21
mv21
W
Für m = konstant und mit erhalten wirvdtrd
rddt
vdmW
2
1
r
r
Wir definieren die so genannte kinetische Energie als
2mv2
1T
2mv2
1T (3.53)
vdvm2
1
v
v
2
1
v
v
2v2
1m
und erhalten damit für die Arbeit der Kraft von (1) nach (2)F
12 TTW 12 TTW
Diese Gleichung ist der so genannte Arbeitssatz, der wie folgt interpretiert werden kann (siehe nächste Seite).
Ende?
3 DynamikSeite: 68
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Arbeitssatz: Die längs einer Bahn zwischen zwei Bahnpunkten (1) und (2) geleistete Arbeit der Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie zwischen den beiden Punkten:
Arbeitssatz: Die längs einer Bahn zwischen zwei Bahnpunkten (1) und (2) geleistete Arbeit der Kraft ist gleich der Änderung der kinetischen Energie zwischen den beiden Punkten:
F
Hinweis: Da die Zwangskräfte (Bindungs- und Führungskräfte) bei Systemen mit starren Bindungen keine Arbeit leisten, gilt der Arbeitssatz auch für Systeme aus Massenpunkten!
wobei Fx, Fy und Fz die Projektion von auf die Koordinatenachsen x, y und z sind. F
Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Arbeit W unabhängig vom Integrationsweg zwischen den Punkten (1) und (2) ist. Der Integrationsweg ist in diesem Fall beliebig und das Ergebnis nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Diesen wichtigen Sonderfall wollen wir nachfolgend näher betrachten.
Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Arbeit W unabhängig vom Integrationsweg zwischen den Punkten (1) und (2) ist. Der Integrationsweg ist in diesem Fall beliebig und das Ergebnis nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Diesen wichtigen Sonderfall wollen wir nachfolgend näher betrachten.
In kartesischen Koordinaten x, y und z kann man den Arbeitssatz auch wie folgt aufschreiben:
21
2212
2
1zyx
2
1
mv2
1mv
2
1TTdzFdyFdxFrdFW
(3.55)
Einheit der Arbeit: N m, J (Joule) [1 J = 1 N m]
21
2212
r
r
mv21
mv21
TTrdFW2
2
(3.54)
Ende?
3 DynamikSeite: 69
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.4.1.2 Potentielle Energie
Wir wollen dieses Differential mit -dU bezeichnen, wobei das Minuszeichen aus Zweckmäßigkeits-gründen eingeführt wurde.
ist nur dann wegunabhängig (vgl. Sonderfall oben), wenn der Integrand ein vollständiges Differential ist!
Das Integral in Gleichung (3.55)
2
1
2
1zyx dzFdyFdxFrdFW
(3.56)
Ein vollständiges Differential kann folgendermaßen geschrieben werden
dzzU
dyyU
dxxU
dU
(3.58)
Aus dem Vergleich von (3.57) mit (3.58) folgt
xU
Fx
y
UFy
z
UFz
(3.59)
Ob eine Kraft wirklich eine Potentialkraft ist, kann man durch Differentiation von (3.59) über-prüfen, was zu folgenden Bedingungsgleichungen führt:
x
F
y
F yx
y
F
z
F zy
zF
xF xz
(3.60)
Typische Potentialkräfte sind zum Beispiel: Schwerkräfte, Federkräfte, Magnetkräfte usw.Typische Potentialkräfte sind zum Beispiel: Schwerkräfte, Federkräfte, Magnetkräfte usw.
dzFdyFdxFdU zyx (3.57)
Dann gilt
Ende?
3 DynamikSeite: 70
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Setzen wir Gleichung (3.57) in (3.56) ein, so erhalten wir für Potentialkräfte
(3.61)
2
2
11 UUdUW
2
2
11 UUdUW
Die Funktion U bezeichnet man als Potential bzw. als potentielle Energie.Die Funktion U bezeichnet man als Potential bzw. als potentielle Energie.
Die Gleichung (3.61) drückt aus, dass bei Potentialkräften nur dann Arbeit frei wird, wenn eine Änderung des Potentials, d.h. eine Lageänderung stattfindet.Die Gleichung (3.61) drückt aus, dass bei Potentialkräften nur dann Arbeit frei wird, wenn eine Änderung des Potentials, d.h. eine Lageänderung stattfindet.
3.4.1.3 EnergieerhaltungssatzFür Potentialkräfte folgt aus den Gleichungen (3.55) und (3.61) :
U1 - U2 = T2 - T1
Energiesatz: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant!Energiesatz: Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant!
Achtung: Der Energiesatz in dieser Form gilt nur für konservative Systeme (d.h. Systeme, bei denen alle Kräfte Potentialkräfte sind!).Achtung: Der Energiesatz in dieser Form gilt nur für konservative Systeme (d.h. Systeme, bei denen alle Kräfte Potentialkräfte sind!).
Sind im System Kräfte zu berücksichtigen, die kein Potential haben (z. B. Reibkräfte, Antriebs-kräfte usw.), so muss der Energiesatz noch ergänzt werden (siehe hierzu Kapitel 3.4.2).
Mit Hilfe des Energiesatzes lassen sich häufig bei speziellen Aufgabenklassen und Frage-stellungen einfache Lösungen ermitteln (siehe die weiter unten aufgeführten Beispiele).
bzw.
U1 + T1 = U2 + T2 = konst.U1 + T1 = U2 + T2 = konst. (3.62)
Ende?
3 DynamikSeite: 71
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x
y
.z
m
Bild 3.44 Potential der Schwerkraft
dymgdU dymgdU
Beispiele für das Potential (potentielle Energie) von Potentialkräften
Beispiel 3.14 Potential der Schwerkraft
g F = mg
Die Schwerkraft einer Masse m kann in dem (x,y,z)-Bezugssystem wie folgt dargestellt werden (vgl. Bild 3.44)
0
mg
0
F
F
F
F
z
y
x durch Vergleich mit Gleichung (3.59)
mgy
UFy
0Fx 0Fz
Die y-Komponente von gestattet die Berechnung des Potentials U, indem über y integriert wird. Da die x- und die z-Komponenten der Schwerkraft bei dieser Wahl des Bezugssystems Null sind, wird U unabhängig von x und z und die partielle Differentiation geht in eine gewöhnliche über.
F
mgdy
dUEs gilt
CymgU CymgU und nach der Integration (3.63)
Die potentielle Energie ist also bis auf eine Konstante C bestimmbar. Durch Festlegung einer horizontalen Bezugslinie – dem Nullpotential – mit U(y = 0) = 0 ergibt sich C = 0, und das Potential der Schwerkraft wird (3.63)
Hinweis: Die Ergebnisse, die mit Hilfe des Potentials gewonnen wurden, sind natürlich von der willkürlichen Lage des Nullpotentials unabhängig!
Hinweis: Die Ergebnisse, die mit Hilfe des Potentials gewonnen wurden, sind natürlich von der willkürlichen Lage des Nullpotentials unabhängig!
(3.64)ymgU ymgU
U = 0
Ende?
3 DynamikSeite: 72
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.15 Potential einer Feder
= 0
c
= 0
xc
Bild 3.45 Definition der Federkraft
Annahme: Die Feder ist bei x = 0 entspannt!
xy
.z
F = cx
Die Federkraft wird für das so definierte Bezugssystem
0
0
cx
F
F
F
F
z
y
x durch Vergleich mit Gleichung (3.59)
0F0Fcxx
UF zyx
Daraus folgt analog zu dem vorhergehenden Beispiel 3.14
cxx
U
und nach der Integration ergibt sich Cxc2
1U 2
Wegen der Annahme, dass die Feder bei x = 0 entspannt ist, gilt U (x = 0) = 0 und C = 0. Das Potential der Feder wird damit
2xc21
U 2xc
21
U (3.65)
Hinweis: Die potentielle Energie der Feder ist mit der Formänderungsarbeit identisch!
dxxcdU dxxcdU
Ende?
3 DynamikSeite: 73
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiele für den Energieerhaltungssatz
Beispiel 3.16 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder
c
v = 0m 1Gegeben: m, h, c, g, ,= 0Anfangsgeschwindigkeit v = 0
v = 0f 3
hf
v = vA2
h
Energiesatz (3.62): U1 + T1 = U2 + T2 = U3 + T3
a) Geschwindigkeit vA
U1 = mgh , T1 = 0 (Masse ruht)
U2 = 0 , T2 = ½·mvA2
Aus U1 + T1 = U2 + T2 folgt
2Amv
2
100mgh
2ghvA 2ghvA
b) Maximale Zusammendrückung f der Feder
U3 = -mghf + ½·cf2 T3 = 0
Aus U1 + T1 = U3 + T32cf
2
1fsinαmgmgh
0c
mgh2fsinα
cmg
2f2
c
mgh2sinα
c
mgsinα
c
mgf1,2
2
2sinmg
2hc11sinα
c
mgf
2sinmg
2hc11sinα
c
mgf
= -mg·fsin + ½·cf2,
Hinweis:Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ).
Hinweis:Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ).
Wahl des Nullpotentials:
U = 0
yGesucht: a) Geschwindigkeit vA der
Masse beim Auftreffen auf die Federb) Maximale Zusammendrückung f der Feder
U = 0 in der Lage (2) Bild 3.46 Masse auf schiefer Ebene mit Pufferfeder
Mit (3.53), (3.64) und (3.65) folgt:
Ende?
3 DynamikSeite: 74
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.17 Fall einer Masse auf einen elastischen Balken
Gegeben: m, h, g, E, a, b, lm
h
l
b
a
Die Verschiebung eines Kragbalkens (Bild 3.48) mit einer Kraft F am freien Ende wird an der Lastangriff-stelle (vgl. Kapitel 2.3.3, Hinweis zum Beispiel 2.9, F 75)
folgt3ers
3EI
f
Fc
l
Der Energiesatz kann jetzt auf das Ersatzsystem nach Bild 3.49 angewandt werden (siehe nächste Seite).
fGesucht: a) Maximale Verschiebung f
b) Betrag der maximalen Normalspannung im Balken
a) Maximale Verschiebung des Balkens
Die Lösung kann analog zum Beispiel 3.16 erfolgen, wenn die Federsteifigkeit des Balkens bekannt ist!
Bild 3.47 Fall einer Masse auf einen Balken
Ermittlung der Federsteifigkeit des Balkens:
l
EI
f
F
Bild 3.48 Kragbalken
Aus
F = cers·f
3EI
Ff
3l
12
abI
3
mit
Hinweis: Beim Auftreffen soll die Masse auf dem Balken liegen bleiben, wobei kein Energie-verlust eintritt.
Ende?
3 DynamikSeite: 75
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
mh
f
cers
1
2
U=0y
Bild 3.49 Ersatzsystem für Kragbalken Bild 3.47
Energiesatz (vgl. Bild 3.49): 2211 TUTU
0fc2
1fmg0mgh 2
ers
0c
2mghf
c2mg
fersers
2
ers
2
ersers
22,1 c
mgh2
cmg
cmg
f
mg
2hc11
cmg
f ers
ers
mg
2hc11
cmg
f ers
ers
Mit T1 = 0 und T2 = 0 (die Masse befindet sich in der Ausgangslage (1) und im Moment der maximalen Auslenkung (2) in Ruhe) folgt
Hinweis: Das negative Vorzeichen ist mechanisch nicht sinnvoll (f negativ).
Spezialfall: h = 0
3EI
mg2
cmg
211cmg
0hf3
ersers
l
Schlussfolgerung: Eine aus der Höhe h = 0 plötzlich losgelassene Masse verursacht im Vergleich zu einer „unendlich langsam“ auf den Balken abgesetzten Masse eine doppelt so große Verformung.
Schlussfolgerung: Eine aus der Höhe h = 0 plötzlich losgelassene Masse verursacht im Vergleich zu einer „unendlich langsam“ auf den Balken abgesetzten Masse eine doppelt so große Verformung.
Mit der Verschiebung für eine „statische“ Belastung durch F = mg: wird3EI
mg
3EI
Ff
33
statischll
statischf20hf statischf20hf
Ende?
3 DynamikSeite: 76
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
b) Betrag der maximalen Normalspannung
Aus dem Federgesetz ergibt sich die am Balkenende wirkende maximale Kraft zu
fcF ersmax
Die maximalen Normalspannung tritt an der Stelle des maximalen Biegemomentes (Einspann-stelle des Balkens) auf. Mit dem Betrag des maximalen Biegemomentes Mbmax = Fmaxl wird der Betrag der maximalen Spannung an der Einspannstelle
b
max
b
maxmax W
F
W
M l
2max
maxab
6F l
2b ab
61
W mit (für den Rechteckquerschnitt)
2ers
maxab
f6c l 2
ersmax
ab
f6c l
Mit Fmax = cersf folgt daraus
In diese Gleichung kann für f sowohl das allgemeine Ergebnis, als auch das Ergebnis für den Spezialfall h = 0 eingesetzt werden.
statischmax 20h statischmax 20h
Es ist offensichtlich, dass für die maximale Normalspannung im Spezialfall h = 0 ein analoger Zusammenhang wie für die Verschiebung gilt:
Ende?
3 DynamikSeite: 77
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
• alle Geschwindigkeiten und Wege für zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung bekannt sind und eine Größe in den Energieausdrücken (z. B. Masse, Federzahl, Winkel usw.) gesucht wird.
Worin liegt der Vorteil bei der Anwendung des Energiesatzes?
Die Anwendung ist immer dann vorteilhaft, wenn
• eine Geschwindigkeit oder ein Weg für eine von zwei ausgezeichneten Lagen einer Bewegung gesucht wird und alle anderen Größen in diesen beiden Lagen bekannt sind oder wenn
Ende?
3 DynamikSeite: 78
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.4.1.4 Leistung
rdFdW
Mit (siehe Kapitel 3.4.1.1) folgt daraus
dt
rdFP
Die Einheit der Leistung ist das Watt:s
Nm1W1
Wir haben gesehen, dass der Arbeitsbegriff keine Angabe über die Zeit enthält, in der eine Arbeit verrichtet wird. Oft braucht man jedoch diese Angabe. Wir führen dazu die Leistung als die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit ein:
dtdW
P dt
dWP Leistung (3.66)
und mit vdtrd
kann die Leistung auch in folgender Form angegeben werden
vFP
vFP
Leistung (3.67)
Häufig findet man noch Leistungsangaben in PS. Diese Leistungsangabe ist veraltet und entspricht nicht den verbindlichen SI-Einheiten.
W735,5PS1 Für die Umrechnung gilt:
Ende?
3 DynamikSeite: 79
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.18 Berechnung des Fahrwiderstandes eines PKW’s
Ein PKW erreicht bei der Leistung von 150 PS eine maximale Geschwindigkeit von 200 km/h. Wie groß ist die am Auto angreifende Widerstandskraft FW?
Die in der Aufgabenstellung veraltete Angabe der Leistung rechnen wir zunächst in eine Leistung mit der verbindlichen SI-Einheit Watt um.
P = 150 PS = 150 . 735,5 W = 100,3 . 103 W = 100,3 kW
Für die Leistung gilt nach Gleichung (3.67)
P = FWvmax
und daraus folgt
s3600m1000
200
W10110,3v
PF
3
maxW
N1985FW N1985FW
Ende?
3 DynamikSeite: 80
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.19 Leistung eines Pumpspeicherwerkes
Welche Leistung hat ein Pumpspeicherwerk, wenn zwischen 19.00 Uhr und 22.30 Uhr ein Wasservolumen von VW = 250.000 m³ in den Rohren nach unten fließt und dabei einen Höhenunterschied von h =120 m überwindet? Der Wirkungsgrad der Anlage beträgt = 0,86.
mWgh + 0 = 0 + T2 T2 = mWgh
ges
ges
t
WP mit tges = 3,5 h
Die kinetische Energie T2 ist gleich der gesamten vom Wasser geleisteten Arbeit Wges
Wges = T2 = mWgh
Die Arbeit Wges ermitteln wir mit Hilfe des Energiesatzes. Im Ausgangszustand (1) befindet sich die gesamte Wassermasse mW
im Oberbecken mit der Geschwindigkeit Null. Über 3,5 h ergießt sich die Wassermasse in den Endzustand (2) ins Unterbecken, wobei insgesamt die kinetische Energie T2 zur Verfügung steht (vgl. Bild 3.50).
Die Leistung bei Berücksichtigung des Wirkungsgrades wird
ges
ww
ges
W
ges
ges
t
ghV
t
ghm
t
WP
MW20,1P MW20,1P
dtdW
P Die Gleichung (3.66) liefert:
Bild 3.50
mW
h
1
2 U = 0y
v1=0
U1 + T1 = U2 + T2
Nach dem Energiesatz gilt
s
Nm1020,1
sNm
36003,51209,81101102,50,86 6
35
Ende?
3 DynamikSeite: 81
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
x
y
Masse m
S
Bild 3.51 Ebene Bewegung eines Körpers
3.4.1.5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers
Wir betrachten (wie bereits im Kapitel 3.2) auf einem ebenen starren Körper einen fest mit dem Körper verbundenen differentiellen Massepunkt dm.
ry
x
dm
Die Geschwindigkeit von dm kann zusammengesetzt werden aus (vgl. Bild 3.51)yS
.
xS
.
r·sin.
r·cos.r·
.
Die resultierende Geschwindigkeit von dm folgt aus der Überlagerung der Geschwindigkeitskomponenten in x- und in y-Richtung und anschließender geometrischer Addition dieser Komponenten.
cosryy
sinrxx
S
S
m
2res
2res
dmv2
1T
dmv2
1dT
Die kinetische Energie des starren Körper erhalten wir aus der kinetischen Energie des Massen-punktes dm durch Integration über die gesamte Masse m.
m
22S
2S dmcosrysinrx
21
• den Translationsgeschwindigkeiten: xS, yS
(wie der Schwerpunkt S) und
. .
• der Rotationssgeschwindigkeit: r(um den Schwerpunkt S)
.
2S2
S2res cosrysinrxv
222res yxv
Wir erhalten (vgl. Bild 3.51):
Ende?
3 DynamikSeite: 82
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Man bezeichnet die zwei Anteile auch als
2Str mv
21
T Translationsenergie
Rotationsenergie2
Srot J21
T
m
22S
2S dmcosrysinrx
21
T
m
222S
2S
222S
2S mdcosrcosry2ysinrsinrx2x
21
T
mdrcossin2
1mdrcosysinxmdyx
2
1T
m
2222
mSS
m
2S
2S
= 1= m [siehe (3.37)] = JS[siehe (3.39)]= 0
[siehe Kapitel 1.9.3, S 129]
2S
2S
2S J
2
1yxm
2
1T
wird die kinetische Energie eines starren Körpers
2S
2S J
21
mv21
T 2
S2S J
21
mv21
T (3.68)
2S
2S
2S yxv Mit vS - resultierenden Geschwindigkeit des Schwerpunktes S
Winkelgeschwindigkeit
Beachte: Die kinetische Energie eines starren Körpers, der eine allgemeine Bewegung in der Ebene ausführt, kann in dieser Form nur aufge-schrieben werden, wenn als Bezugspunkt für die Translation und die Rotation der Schwer-punkt S gewählt wird.
Beachte: Die kinetische Energie eines starren Körpers, der eine allgemeine Bewegung in der Ebene ausführt, kann in dieser Form nur aufge-schrieben werden, wenn als Bezugspunkt für die Translation und die Rotation der Schwer-punkt S gewählt wird.
Ende?
3 DynamikSeite: 83
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
S
v0
R
m
Bild 3.52 Rollendes Rad
Beispiel 3.20 Rollendes Rad
2o22
o R
vmR
2
1
2
1mv
2
1T
20mv
43
T 20mv
43
T
Gegeben: m, R, v0 (Annahme:Das Rad soll als eine homogene Scheibe angesehen werden)
P
= .
2s
2o J
21
mv21
T
Damit wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68)
R
v0 RRv0
Zwangsbedingung (siehe Beispiel 3.4):
Massenträgheitsmoment des Rades (siehe Beispiel 3.9):
2S mR
2
1J
Gesucht: Kinetische Energie des rollenden Rades bei der Geschwindigkeit v0 des Schwerpunktes
Ende?
3 DynamikSeite: 84
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
22222
m244
m121
21
2m
21
T
ll
l
22m6
1T l
22m6
1T l
2
vsl
• Translation des Schwerpunktes mit
Beispiel 3.21 Homogenes Stabpendel
Für die Lösung dieses Beispiels wollen wir zwei Lösungsmöglichkeiten betrachten.
1. Lösungsmöglichkeit:
Die Bewegung des Pendels wird als Überlagerung von
Gegeben: m, l, Gesucht: Kinetische Energie
• und Rotation um den Schwerpunktes mit
aufgefasst.
(dünner homogener Stab; siehe Beispiel 3.8) 2s m
12
1J l
Mit
2s
2s J
2
1mv
2
1T
wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68)
Bild 3.53 Stabpendel
= .
A
Sl
m
l2
vS
Ende?
3 DynamikSeite: 85
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
2. Lösungsmöglichkeit:
Die Bewegung des Pendels wird jetzt als reine Drehung eines starren Körpers um den Punkt A (der auch der Momentanpol ist) aufgefasst. Das Massenträgheitsmoment muss dann auf den Punkt A bezogen werden.
22m6
1T l
22m6
1T l
2AJ
21
T
wird die kinetische Energie nach Gleichung (3.68)
2222
SA m3
1m
4
1m
12
1m
2JJ lll
l
Mit dem STEINERschen Satz (Kapitel 3.3.2, Gleichung (3.45))
Beachte: Der Punkt A ist in Ruhe, so dass die Translationsenergie des Punktes A Null ist.Beachte: Der Punkt A ist in Ruhe, so dass die Translationsenergie des Punktes A Null ist.
Wie erwartet liefert die 2. Lösungsmöglichkeit das gleiche Ergebnis.
Hinweis: Diese 2. Lösungsmöglichkeit könnte auch auf das Beispiel 3.20 Rollendes Rad an-gewandt werden, indem die Bewegung als reine Rotation um den Momentanpol P ange-sehen wird. Für JA ist dann das Massenträgheitsmoment bezogen auf den Momentanpol (Gleichung (3.51)) einzusetzen.
Hinweis: Diese 2. Lösungsmöglichkeit könnte auch auf das Beispiel 3.20 Rollendes Rad an-gewandt werden, indem die Bewegung als reine Rotation um den Momentanpol P ange-sehen wird. Für JA ist dann das Massenträgheitsmoment bezogen auf den Momentanpol (Gleichung (3.51)) einzusetzen.
Bild 3.53 Stabpendel
= .
A
Sl
m
l2
Ende?
3 DynamikSeite: 86
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
21
2
1P UUrdF
Mit (aus Gleichung (3.56) und (3.61))
3.4.2 Verallgemeinerung des Energiesatzes
Es können natürlich in einem System auch Kräfte auftreten, die keine Potentialkräfte sind (z. B. Reibkräfte, Antriebskräfte usw.). Diese sollen mit bezeichnet werden.F
Der in Kapitel 3.4.1.3 angegebene Energieerhaltungssatz U1 + T1 = U2 + T2 = konst. gilt nur, wenn sich alle Kräfte aus einem Potential herleiten lassen.Die Potentialkräfte wollen wir mit bezeichnen.PF
Mit der verallgemeinerten Kraft FFF P
und dem Arbeitssatz (siehe (3.54))
12
2
1
TTrdFW
folgt für die verrichtete Arbeit der verallgemeinerten Kraft F
2
1P rdFFW
folgt aus (1)
1221 TTWUU bzw. etwas umgestellt (siehe nächste Seite)
(1)
12
2
1
2
1P TTrdFrdF
Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben!
2
1
rdFW
2
1
rdFW
(3.69)und
Ende?
3 DynamikSeite: 87
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Hinweis: Treten z. B. Antriebs- oder Reibmomenten auf, die ebenfalls kein Potential besitzen, so muss W* um die Arbeit dieser Momente ergänzt werden.Hinweis: Treten z. B. Antriebs- oder Reibmomenten auf, die ebenfalls kein Potential besitzen, so muss W* um die Arbeit dieser Momente ergänzt werden.
2211 TUWTU 2211 TUWTU (3.70)
Mit dieser Verallgemeinerung des Energiesatzes durch die Erweiterung mit der Arbeit der Kräfte, die kein Potential haben, sind wir in der Lage, Systeme zu berechnen, bei denen z. B. so typische Nichtpotentialkräfte wie Reibkräfte und Antriebskräfte auftreten.
2
1
dMW
Arbeit der Momente, die kein Potential haben!
Im Folgenden werden zwei Beispiele behandelt, bei denen Kräfte (Reibkraft bzw. Antriebskraft) auftreten, die kein Potential besitzen.
Ende?
3 DynamikSeite: 88
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.22 Gleitende Masse mit Reibung
2o2
11 mvT 0T2
1 2
U = 0
x
FR = mgFN = mg
mg
l
v0
m v = 0
Beachte: Von den während der Bewegung aufm wirkenden Kräften sind FN und FR keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft FN senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib-kraft FR fließt über W* in den Energiesatz ein!
Beachte: Von den während der Bewegung aufm wirkenden Kräften sind FN und FR keine Potentialkräfte. Da die Führungskraft FN senkrecht zur Bewegungsrichtung x steht, verrichtet sie keine Arbeit. Die Arbeit der Reib-kraft FR fließt über W* in den Energiesatz ein!
2
1
rdFW
Mit der Arbeit der Reibkraft FR nach Gleichung (3.69)
lx
0xR dxF
folgt aus dem Energiesatz (3.70) 2211 TUWTU
und 0U2 0U1
0mgmv2
1 2o l
g2
v2o
l
ll
mgdxmgx
0x
Gegeben: m, v0, g, m
Gesucht: Nach welcher Strecke l kommt die Masse zur Ruhe?
Bild 3.54 Gleitende Masse mit Reibung
Ende?
3 DynamikSeite: 89
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.23 Bewegung eines Handwagens aus der Ruhe heraus
2
22
R2
R2
w2R
vRm
41
vm21
vm21
T
Rw m
23
m
cosx2Fxv
Rw m23
m
cosx2Fxv
Es gilt der Energiesatz in der Form
U1 + T1 + W * = U2 + T2
2R
2R
2w2 J
2
1vm
2
1vm
2
1T
Rv
Rv sowie der Zwangsbedingung für reines Rollen und mit JR (siehe oben) wird
R
F
mW
mR
SRhW
SW
xcosF
Die Kraft F hat kein Potential. Ihre Arbeit (3.69) wird:
2
1
rdFW
xx
0x
xdFcos
21
U = 0
gRmghmUU RWW21
Durch Einsetzen in den Energiesatz folgt
2RwRWWRWW vm
23
m21
gRmghmxcosFgRmghm
Hinweis: Es wäre auch möglich gewesen, für jede Masse ein eigenes Nullpotential (z. B. durch SW und SR) zu definieren. Damit vereinfacht sich die Rechnung, da dann U1v= U2 = 0 gilt.
Hinweis: Es wäre auch möglich gewesen, für jede Masse ein eigenes Nullpotential (z. B. durch SW und SR) zu definieren. Damit vereinfacht sich die Rechnung, da dann U1v= U2 = 0 gilt.
Bild 3.55 Bewegung eines Handwagens
v = 0x
v(x) = v
0T1 Mit
2Rw vm
2
3m
2
1
2R2
1R RmJ Gegeben: mW, mR, F, R, hw, v(x=0) = 0, (das Rad sei eine homogene Scheibe)
Gesucht: v(x) = v
Ende?
3 DynamikSeite: 90
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
L = T - U LAGRANGEsche FunktionEs bedeuten:
3.4.3 LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art
• Für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen kann immer das D’ALEMBERTsche Prinzip benutzt werden. Dieses erfordert Schnittbetrachtungen, das Aufschreiben der Gleichge-wichtsbedingungen und die Elimination der Schnittreaktionen (diese sind oft für die Beurteilung nicht erforderlich), um die Bewegungsgleichungen zu erhalten.
• Bei der Anwendung des Energiesatzes kamen wir bereits ohne Schnittführungen aus. Für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden ist er jedoch nicht uneingeschränkt anwendbar.
• Für Systeme mit beliebig vielen Freiheitsgraden führt die Anwendung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art, ebenfalls ohne Schnittführung, nur unter Verwendung von Energieausdrücken T und U (die oft leicht anzugeben sind) und gegebenenfalls einer „generalisierten Kraft“, auf die Bewegungsgleichungen.
f Anzahl der Freiheitsgradeqk generalisierte (verallgemeinerte) Koordinaten, k = 1, 2,... f
(f voneinander unabhängige Längen- oder Winkelkoordinaten) generalisierte (verallgemeinerte) Kräfte aus eingeprägten, nichtkonservativen Kräften (Kräfte, die kein Potential haben)
kQ
Ohne Herleitung lauten die LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art:
kkk
QqL
qL
dtd
mit k = 1, 2,... f (3.71)
Feststellung:
Ende?
3 DynamikSeite: 91
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die generalisierte Kraft in Gleichung (3.71) ist eine neue Größe, deren Berechnung hier ohne Herleitung nur angegeben werden soll.
kQ
(j) k
jje,
i k
iie,
*k q
Mqr
FQ
(j) k
jje,
i k
iie,
*k q
Mqr
FQ
(3.72)
Ermittlung der generalisierten Kraft :kQ
Die Ermittlung von führt über die virtuellen Arbeit aller eingeprägten, nichtkonservativen
Kräfte und Momente auf die allgemeine Berechnungsvorschrift
kQ
i e,F
j e,M
Vorgehensweise bei der Anwendung der LAGRANGEschen BewegungsgleichungenVorgehensweise bei der Anwendung der LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen
1. Beschreibung einer allgemeinen ausgelenkten Lage des Systems durch die Definition von n Koordinaten (n f).
2. Ermittlung der Anzahl der Freiheitsgrade f des Systems; bei n > f müssen z = n - f Zwangsbedingungen aufgestellt werden.
3. Festlegung der generalisierten Koordinaten qk und Ersetzen aller anderen Koordinaten durch diese mit Hilfe der Zwangsbedingungen.
4. Aufschreiben von U und T und Elimination der überzähligen Koordinaten, so daß nur noch die generalisierten Koordinaten qk (mit k = 1, 2,... f) bzw. deren Ableitungen nach der Zeit in U und T verbleiben.
5. Aufschreiben der LAGRANGEschen Funktion L = T - U.
6. Sind nichtkonservative eingeprägte Kräfte vorhanden, so können aus (3.72) die generalisierten Kräfte bestimmt werden.
7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71) für k = 1, ... f.
Ende?
3 DynamikSeite: 92
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3. Festlegung der generalisierten Koordinaten qk:Wegen f = 1 gibt es nur eine generalisierte Koordinate! Von den drei eingeführten Koordinaten wählen wir als generalisierte Koordinate q1 x1
S
R2R1
JS, m
m1
m2
Gegeben: m1, m2, R1, R2, Js, m, Gesucht: Bewegungsgleichung für m1
(Abwärtsbewegung)
x1
1. Bewegungskoordinaten: x1, x2, n = 3
2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 1
Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 2
x1 = R1·
x2 = R2·
Zwangsbedingungen (vgl. Beispiel 3.13):
x2
11
22 x
RR
x
1
1
Rx
1
1
Rx (1)
11
22 x
RR
x (2)
4. Aufschreiben von U und T:
,xgmU 11 2s
222
211 J
21
xm21
xm21
T
212
1s
21
2
1
22
211
2,1mitx
R
1J
21
xRR
m21
xm21
T
Mit dem Nullpotential für U durch den Schwerpunkt der Massen, wenn die Koordinaten Null sind (vgl. Bild 3.56), folgt für die dargestellte allgemeine Lage:
U = 0
U = 0
U = 0
Beispiel 3.24 System aus drei Massen (vgl. Beispiel 3.13)
Bild 3.56 System aus drei Massen
Ende?
3 DynamikSeite: 93
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
(4)1
22 R
Rgm
,xmxL
11
11
1xmxm
dtd
xL
dtd
gm
RR
mmx 1
221
1
21
21s2
1
2
1
221 xm
2
1x
m
JR
1
R
Rmm
2
1T
Die kinetische Energie vereinfachen wir zu
Wir müssen nach (3.72) (wegen f = 1 ist k = 1) berechnen:*1
*k QQ
1121 xgmxm
2
1 (3)
1
1e,1
*1 q
rFQ
7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichung (3.71) für k = 1:
,gmxL
11
mit (vgl. (3))
111
QxL
xL
dtd
Aus
gJRmRm
RRμmRmx
s222
211
212211
1
gJRmRm
RRμmRmx
s222
211
212211
1
(vgl. Ergebnis Beispiel 3.13, Seite 355)
m siehe oben
5. Damit wird die LAGRANGEsche Funktion UTL
1
2R x
xF
1
11
2
R x
xR
R
F
Bild 3.57Kontaktkräfte an m2
FR=m2gFN
m2g
x2= x1
R2
R1
1
2211 R
Rgmgmxm
folgt mit aus (4)*1Q
6. Von den während der Bewegung auf die Masse m2 wirkenden nicht-konservativen Kontaktkräften FN und FR leistet nur FR eine Arbeit.
Ende?
3 DynamikSeite: 94
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.25 Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung)
c1 c3
Gegeben:m1, m2, c1, c2, c3
Gesucht: Bewegungsgleichungen c2
m2
= 0= 0
x2x1
3. Wegen f = 2 und z = 0 sind die generalisierten Koordinaten: q1 x1
q2 x2
1. Bewegungskoordinaten: x1, x2 n = 2
2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 0
U = 0
222
211 xm
2
1xm
2
1T
223
2122
211
222
211 xc
21
xxc21
xc21
xm21
xm21
5. Lagrangesche Funktion:
UTL
Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,... Qk* = 06. Generalisierte Kräfte:
m1
4. Aufschreiben von U und T:Annahme: Für x1 = x2 = 0 sind alle Federn entspannt.Das Nullpotential für U geht durch den Schwerpunkt der Massen (vgl. Bild 3.58).
,xc2
1xxc
2
1xc
2
1U 2
232
122211
Damit folgt für die dargestellte allgemeine Lage
2232212
2121
222
211 xcc
2
1xxcxcc
2
1xm
2
1xm
2
1L (1)
Ende?
Bild 3.58 Zwei-Massen-Schwinger (ohne Reibung)
3 DynamikSeite: 95
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71):
,xmx
L11
1
111
xmxL
dtd
,xcxcc
x
L22121
1
Für k = 1 und q1 x1:
mit (1) 2232212
2121
222
211 xcc
21
xxcxcc21
xm21
xm21
L 2232212
2121
222
211 xcc
21
xxcxcc21
xm21
xm21
L
Für k = 2 und q1 x1: ,xccxcx
L23212
2
,xm
x
L22
2
222
xmxL
dtd
Die Bewegungsgleichungen (3) und (4) bzw. ihre verkürzte Form sind ein homogenes System gewöhnlicher Differentialgleichungen, deren Lösung in der Schwingungslehre (Kapitel 3.5.5) behandelt wird.
0x
x
ccc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
322
221
2
1
2
1
0x
x
ccc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
322
221
2
1
2
1
Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich übersichtlich in Matrizenschreibweise angeben:
0 KxxM bzw. in verkürzter Form:
0q
L
q
L
dt
d
kk
für k = 1, 2 (2)
0xcxccxm 2212111 0xcxccxm 2212111 (3)Einsetzen in (2) liefert die erste Bewegungsgleichung
0xccxcxm 2321222 0xccxcxm 2321222 (4)Einsetzen in (2) liefert die zweite Bewegungsgleichung
M - MassenmatrixK - Steifigkeitsmatrixx - Vektor der
Bewegungskoordinatenx - Vektor der Beschleunigungen
..
Ende?
3 DynamikSeite: 96
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
cosgmcx21
cosx2m21
xmm21
2222
22
21 lll (1)
Beispiel 3.26 Elastisch gebundene Masse mit mathematischem Pendel
3. Wegen f = 2 und z = 0 gibt es zwei generalisierten Koordinaten: q1 x und q2
1. Bewegungskoordinaten: x, n = 2
2. Anzahl der Freiheitsgrade: f = 2 Anzahl der Zwangsbedingungen: z = n - f = 0
Gegeben:m1, m2, c, l
Gesucht: Bewegungsgleichungen m1c
= 0
m2
l
v1 = x.
4. Aufschreiben von U und T (siehe dazu auch Bild 3.59):
x
l·.
U = 0
Die potentielle Energie wird cosgmcx21
U 22 l
und der Geschwindigkeit der Masse m2: 222 sincosxv ll
222
221 cosx2m
21
xmm21
T ll
222
21 sincosxm
2
1xm
2
1 ll
v1 = x.
Die kinetische Energie wird
xv1 mit der Geschwindigkeit der Masse m1:
222
211 vm
21
vm21
T
Bild 3.59 Elastisch gebundene Masse mit Pendel
5. Lagrangesche Funktion:
UTL
l·cos.
l·sin.
Ende?
3 DynamikSeite: 97
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beachte: Keine Reibung, keine Antriebskräfte,... Qk* = 06. Generalisierte Kräfte:
,cxxL
cosmxmmxL
221
l
sinmcosmxmmxL
dtd 22
2221
l-l
2222 msinxmcosxm
L
dt
dlll
Hinweis: Die beiden Ergebnisse (3) und (4) sind gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Die Lösung kann auf numerischem Wege erfolgen (z. B. durch Integration mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren).
Hinweis: Die beiden Ergebnisse (3) und (4) sind gekoppelte nichtlineare Differentialgleichungen. Die Lösung kann auf numerischem Wege erfolgen (z. B. durch Integration mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren).
Für k = 1 und q1 x:
7. Aufschreiben der LAGRANGEschen Gleichungen (3.71):
(2)0q
L
q
L
dt
d
kk
für k = 1, 2
cosgmcx2
1cosx2m
2
1xmm
2
1L 2
2222
221 lll cosgmcx
2
1cosx2m
2
1xmm
2
1L 2
2222
221 lll mit (1)
(3) 0cxsinmcosmxmm 222221 ll 0cxsinmcosmxmm 222221 llEinsetzen in (2) liefert
,singmsinxmL
22
ll
2
22 mcosxmL
llFür k = 2 und q1 :
(4)0singmmcosxm 22
22 lll 0singmmcosxm 22
22 lll Einsetzen in (2) liefert
Ende?
3 DynamikSeite: 98
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
xm1
c
= 0
m2
l
Die Bewegung der elastisch gebundenen Masse mit mathematischem Pendel, die durch die beiden gekop-pelten nichtlinearen Differentialgleichungen (3) und (4) beschrieben ist, wird in der nachfolgenden Animation für folgende Zahlenwerte dargestellt:
m1 = m2 = 1 kg, c = 50 N/m, l = 1 m
Anfangsbedingungen: x1(t=0) = 0,
x1(t=0) = 0
(t=0) = 45,
(t=0) = 0
.
.
Zeitdarstellung: 0 t 30 s
Zur Ansicht der Animationen auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-1.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut.
Ende?
Animation:Animation:
3 DynamikSeite: 99
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.5 Schwingungen
3.5.1 Einführung
Vorgänge, bei denen eine Zustandsgröße (Weg, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, Druck, Lichtstärke usw.) zeitlichen Schwankungen unterliegt, nennt man Schwingungen.Vorgänge, bei denen eine Zustandsgröße (Weg, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, Druck, Lichtstärke usw.) zeitlichen Schwankungen unterliegt, nennt man Schwingungen.
Diese zeitlichen Schwankungen der Zustandsgröße (wir wollen sie allgemein durch eine Funktion q(t) beschreiben) können entsprechend ihrer charakteristischen Eigenschaften näher klassifiziert werden. Zwei typische Schwingungen werden nachfolgend angegeben.
T
1f – die Frequenz der Schwingung
Einheit: s-1 bzw. Hertz
Periodische Schwingung:Der Verlauf einer Größe q(t) wiederholt sich nach einer Zeit T (Bild 3.60)
T – die Zeit für eine Periode derSchwingung
Schwingungsdauer
Wir bezeichnen mit
q(t+T) = q(t)
q(t+2T) = q(t)
q(t+kT) = q(t) k = 1,2,...
, d.h. es gilt
q(t)
t
Bild 3.60 Periodische Schwingung
T
Ende?
3 DynamikSeite: 100
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Harmonische Schwingung:
Die harmonische Schwingung ist der Sonderfall einer periodischen Schwingung, bei der sich die Zustandsgrößen nach sin- und/oder cos-Funktionen ändern.
q(t) = C1·cos(t) + C2·sin(t) = A·sin(t+)q(t) = C1·cos(t) + C2·sin(t) = A·sin(t+)
Es gilt allgemein
(3.73)
mit den Zusammenhängen (siehe auch Kapitel 3.5.2)
2
1
2
1
22
21
2
C
Ctan
cosA·C
sinA·C
CCA
2
1
2
1
22
21
2
C
Ctan
cosA·C
sinA·C
CCA
(3.74)
A – die Amplitude der Schwingung
Beachte: Analogie zur Winkelge-schwindigkeit = 2n, wobei n die Drehzahl ist (vgl. Kapitel 3.1.5)
– den Nullphasenwinkel
– die Eigenreisfrequenz(Winkelgeschwindigkeit) f2
T2
Wir bezeichnen mit (vgl. Bild 3.61)
Bild 3.61 Harmonische Schwingung
q(t)
t
T
A
Ende?
3 DynamikSeite: 101
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Weitere Charakterisierungen von Schwingungen nach:
• der Art der Schwingung (ungedämpfte, gedämpfte oder angefachte)
• der Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger
• dem Typ der Schwinger (lineare oder nichtlineare)
• der Entstehung der Schwingung (freie oder erzwungene)
Im Folgenden sollen dazu einige typische Beispiele angegeben werden.
Ungedämpfte- , gedämpfte-, angefachte Schwingung
• ungedämpfte Schwingung, Bild 3.62 a)
• gedämpfte Schwingung, Bild 3.62 b)
• angefachte Schwingung, Bild 3.62 c)
Amplitude bleibt konstant(kein Energieverlust)
Amplitude verkleinert sich(Energieverlust)
Amplitude vergrößert sich(Energiezufuhr)
q(t)
ta)
q(t)
tb)
q(t)
tc)
Bild 3.62
Ende?
3 DynamikSeite: 102
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
• Schwinger mit 2, 3, ..., n - Freiheitsgraden
Anzahl der Freiheitsgrade der Schwinger
• Schwinger mit einem Freiheitsgradc
mx(t)
x3(t)
c3m3
x2(t)
c2m2
x1(t)
c1m1
3 Freiheitsgradec1
m1
x1(t)
m2
c2
x2(t)
2 Freiheitsgrade
c mx(t)
Bild 3.63 Schwinger mit einem Freiheitsgrad
Bild 3.64 Schwinger mit 3 Freiheitsgraden (oben) und mit 2 Freiheitsgraden (rechts)
• Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden
E, G, , A
xv(x,t)
Bild 3.65 Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden
Hinweis: Bei kontinuierlich angenommener Masseverteilung (Kontinua) gibt es unendlich viele differentielle Massenelemente, d.h. es gibt unendlich viele Schwingformen (Biege-, Torsions-, Längsschwingungen usw.).
Hinweis: Bei kontinuierlich angenommener Masseverteilung (Kontinua) gibt es unendlich viele differentielle Massenelemente, d.h. es gibt unendlich viele Schwingformen (Biege-, Torsions-, Längsschwingungen usw.).
Ende?
3 DynamikSeite: 103
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
c
mx(t)
a)
Lineare- / nichtlineare Schwinger
Die Differentialgleichung, die den Schwingungsvorgang beschreibt, kann linear oder nichtlinear sein!
• Nichtlinearer Schwinger für große Winkel
Entstehung der Schwingung
0sing
l
0sing
l
Differentialgleichung ist nichtlinear!
• Freie Schwingung (Eigenschwingung) Es wirken keine äußeren Erregerkräfte auf das System ein (Bild 3.67 a).
• Erzwungene SchwingungenDas System steht unter der Wirkung von äußeren zeitabhängigen Belastungen (Bild 3.67 b).
Wir wollen uns nachfolgend zunächst mit freien, ungedämpften Systemen mit einem Freiheits-grad befassen.
(t)
l
m
Bild 3.66 Pendel
Bild 3.67 Federschwingera) freie -, b) erzwungene Schwingung
• Linearer Schwinger für kleine Winkel (d.h. sin )
0g
l
0g
l
Differentialgleichung wird linear!
F(t)
c
mx(t)
b)
Ob sie linear oder nichtlinear wird, hängt häufig von der Größe der Bewegungskoor-dinaten (Bild 3.66) ab und/oder ob vorhandene elastische Elemente (Federn) des Schwingers für die Schwingungsausschläge lineares Verhalten zeigen oder nicht.
Ende?
3 DynamikSeite: 104
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
0cxxm:
0xm
cx
3.5.2 Freie ungedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
Wir wollen die Lösung an Hand von Beispielen kennen lernen.
Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Bewegungsgleichung x(t). Der Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) wenden wir uns zu, wenn die 2. Lösungsmöglichkeit besprochen wurde.
Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Bewegungsgleichung x(t). Der Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) wenden wir uns zu, wenn die 2. Lösungsmöglichkeit besprochen wurde.
Gegeben: m, c, x0, v0 (für x = 0 sei die Feder entspannt!)
Anfangsbedingungen: x(t=0) = x0, x(t=0) = v0
.
Gesucht: Bewegungsgleichung x(t) und x(t).
0xx 2 0xx 2 m
c
m
cmit der Abkürzung
x(t)x0 v0
t = 0
Beispiel 3.27 Feder-Masse-Schwinger (reibungsfrei auf horizontaler Unterlage)
cm
= 0Bild 3.68 Feder-Masse-Schwinger
x
cx
mg
mx..
FN
Bild 3.69 Freischnitt
Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung:
Das Aufstellen der Bewegungsgleichung soll nach zwei Möglichkeiten gezeigt werden.
1. Lösungsmöglichkeit: Prinzip von D’ALEMBERT
Kräftegleichgewicht an der freigeschnittenen Masse (Bild 3.69) liefert
Ende?
3 DynamikSeite: 105
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
2. Möglichkeit: LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen
0cxxmxL
xL
dtd
Aus (3.71)
kkk
QqL
qL
dtd
mit k = 1,2,..., f
22 cx2
1xm
2
1UTL
folgt mit f = 1, q1 = x, Qk* = 0, dem Nullpotential im Massenschwerpunkt und mit
0xmc
x
0xx 2 0xx 2 m
c
m
cmit
Das ist die gleiche Lösung für die Bewegungsdifferentialgleichung wie nach dem Prinzip von D’ALEMBERT (1. Lösungsmöglichkeit).
Ende?
3 DynamikSeite: 106
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Kontrolle für Richtigkeit der Lösung:
Kontrolle für Richtigkeit der Lösung:
Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung:
0t)·sin(C t)·cos(CtsinCtcosC 2122
22
1
Einsetzen in die DGL (3.75) liefert
00 Lösung (3.76) erfüllt die DGL (3.75)!
0xx 2 0xx 2 (3.75)
Die Differentialgleichung
hat die allgemeine Lösung Gleichung (3.73) (vgl. Herleitung der Lösung (3.90) für D = 0)
tsinCtcosCtx 21 tsinCtcosCtx 21 (3.76)
Die allgemeine Lösung (3.76) enthält noch die Integrationskonstanten C1 und C2. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingungen des konkreten Problems erfüllt werden.
tcosCtsinCx 21 tsinCtcosCx 22
21 Wir bilden von (3.76): und
Ende?
3 DynamikSeite: 107
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die Anfangsbedingungen lauten in unserem Beispiel:
tsinv
tcosxtx 00
tsin
vtcosxtx 0
0
m
c
m
cmit (3.77)
0x0tx1. Anfangsauslenkung
0v0tx.2 Anfangsgeschwindigkeit
021 x0sinC0cosC folgt aus der 1. Anfangsbedingung:
tcosCtsinCtx 21 und deren erster Ableitung nach der Zeit
01 xC
021 v0cosC0sinC und aus der 2. Anfangsbedingung:
02
vC
Einsetzen von C1 und C2 in (3.76) und in die erste Ableitung liefert die Bewegungsgleichungen
tcosvtsinxtx 00 tcosvtsinxtx 00 (3.78)
tsinCtcosCtx 21 Mit der allgemeinen Lösung der Differentialgleichung (3.76)
Wir nehmen jetzt für die gegebenen Größen folgende Werte an: m = 1 kg, c = 0,05 N/mmx0 = 1 mm, v0 = 10 mm/s
s889,0f
1T Schwingungsdauer (siehe Seite 389):
Hz125,1s13,12
f 1
Frequenz (siehe Seite 390):
12
3
s071,7smmkg
mm10kg05,0
mmkg1
N05,0
m
c
Winkelgeschwindigkeit (3.77):
Die typischen Systemparameter werden damit:
Ende?
3 DynamikSeite: 108
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70):
Hinweis: Wegen des allgemeinen Zusammenhangs, dass die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ist, gilt immer (vgl. die beiden Diagramme im Bild 3.70):
0 0.5 1 1.5 22
1
0
1
2
0 0.5 1 1.5 220
10
0
10
20
0 0.5 1 1.5 22
1
0
1
2
0 0.5 1 1.5 220
10
0
10
20
x0
t/s
x(t)
/ m
m
v0
t/s
T
x(t)
· s
/mm
· tcosvtsinxtx 00 tcosvtsinxtx 00 (3.78)
Der Verlauf der beiden Bewegungsgleichungen (3.77) und (3.78) ist für diese Werte im Bild 3.70 grafisch dargestellt.
tsinv
tcosxtx 00
tsin
vtcosxtx 0
0
(3.77)
mit x0 = 1 mm, v0 = 10 mm/s, = 0,7071 s-1, T = 0,889 s
Bild 3.70 Bewegungsgleichungen x(t) und (t)x
0 0.5 1 1.5 22
1
0
1
2
0 0.5 1 1.5 220
10
0
10
20
0 0.5 1 1.5 22
1
0
1
2
0 0.5 1 1.5 220
10
0
10
20
x0
t/s
x(t)
/ m
m
v0
t/s
T
x(t)
· s
/mm
·
• Nullstelle der Wegfunktion x(t) Extremwert in der Geschwindigkeitsfunktion tx
• Extremwert der Wegfunktion x(t) Nullstelle in der Geschwindigkeitsfunktion tx
Ende?
3 DynamikSeite: 109
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beweis der Gleichwertigkeit der beiden Lösungen
tsinCtcosCtsinA)t(x 21
0xx 2 Hinweis zur Lösung der Differentialgleichung
Umformung mit Hilfe des Additionstheorems für die sin-Funktion liefert:
sintcoscostsinAtsinA)t(x
mit den Konstanten A und die sich nach (3.80) wie folgt ergeben
= 7,071 s-1, C1 = x0 = 1 mmC2 = v0/= 1,414 mm
tcossinAtsincosA
12 CC
gleichwertig x(t) = C1·cos(t) +C2·sin(t)x(t) = C1·cos(t) +C2·sin(t) x(t) = A·sin(t+)x(t) = A·sin(t+) (3.79)
Folgende Lösungen der Bewegungsdifferentialgleichung (3.75) sind gleichwertig (vgl. auch Kapitel 3.5.1, Gleichungen (3.73) und (3.74)):
IntegrationskonstantenA – Amplitude der Schwingung – Nullphasenwinkel
C1
C2
mit
mit A·cos C, A·sin C 21
A = 1,732 mm= 0,615
x(t) = A·sin(t+)
Mit den Zahlenwerten für den Schwinger von Beispiel 3.27 folgt aus der Lösung (3.77) die gleichwertige Lösung
0.5 0 0.5 1 1.5 22
1
0
1
2
t/s
x(t)
/ m
m
A
=0,087
s
Bild 3.71 Funktion x(t) = A·sin(t+)
(3.80)bzw.
2
122
21 C
Carctan,C CA
Ende?
3 DynamikSeite: 110
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Wir lenken das System weiter aus und lassen es schwingen.
0mgcx: st
gcm
xst gcm
xst
Beispiel 3.28 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder)
0xmmgxxc: st
0xx 2 0xx 2 mitmc
mc
Durch die Gewichtskraft FG = mg erfährt die Feder eine
statische Auslenkung um xst. Danach befindet sich das
System in der statischen Ruhelage (Bild 3.72 b).
0mgcxcxxm
0
st
(siehe oben) Beachte: Der Feder-Masse-Schwinger mit hängender Masse hat die gleiche Eigen-kreisfrequenz wie der reibungsfreie Feder-Masse-Schwinger auf horizontaler Unterlage (siehe Beispiel 3.27)
Beachte: Der Feder-Masse-Schwinger mit hängender Masse hat die gleiche Eigen-kreisfrequenz wie der reibungsfreie Feder-Masse-Schwinger auf horizontaler Unterlage (siehe Beispiel 3.27)
0cxxm
Die Koordinate x legen wir mit ihrem Ursprung in die statische Ruhelage.
Federentspannt
c
m
xSt
b)
cxSt
FG=mgc)
mg
c(xSt+x)
mx..
d)
Die Größe der statischen Auslenkung folgt aus dem Kräftegleichgewicht an der in der statischen Ruhelage freigeschnit-tenen Masse (Bild 3.72 c):
x
Das D’ALEMBERTsche Prinzip liefert mit dem Kräftegleichgewicht an der in einer allgemeinen Lage freigeschnittenen Masse (Bild 3.72 d) die folgende Bewegungsdifferentialgleichung.
Bild 3.72 Feder-Masse-Schwinger (Masse hängt an der Feder)
a)
statischeRuhelage
Ende?
3 DynamikSeite: 111
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Das Gewicht bestimmt lediglich die statische Ruhelage, um die dann die Schwingung erfolgt. Diese Feststellung gilt auch für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Energiemethoden!
Das Gewicht bestimmt lediglich die statische Ruhelage, um die dann die Schwingung erfolgt. Diese Feststellung gilt auch für das Aufstellen der Bewegungsgleichungen mit Hilfe von Energiemethoden!
• Das gilt nur, wenn das System ein linearer Schwinger ist.• Das gilt nur, wenn das System ein linearer Schwinger ist.
• Das gilt nicht, wenn durch die Gewichtskraft in der Bewegungsdifferentialgleichung nicht-konstante Anteile entstehen (z. B. bei einer schrägen Lage des Schwingers im Bild 3.73).
• Das gilt nicht, wenn durch die Gewichtskraft in der Bewegungsdifferentialgleichung nicht-konstante Anteile entstehen (z. B. bei einer schrägen Lage des Schwingers im Bild 3.73).
• Das gilt nicht, wenn die Gewichtskraft die alleinige Rückstellkraft ist (z. B. Schwinger Bild 3.73 ohne Feder).
• Das gilt nicht, wenn die Gewichtskraft die alleinige Rückstellkraft ist (z. B. Schwinger Bild 3.73 ohne Feder).
Aus dem Beispiel 3.28 lässt sich die folgende Feststellung ableiten.
Feststellung:
Das Gewicht FG = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung cxst der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird!
Feststellung:
Das Gewicht FG = mg der Masse und die dadurch hervorgerufene statische Vorspannung cxst der Feder haben keinen Einfluss auf die Schwingung dieses Feder-Masse-Systems und brauchen daher bei solchen Systemen nicht berücksichtigt zu werden, wenn die Bewegungskoordinate von der statischen Ruhelage aus eingeführt wird!
m
cg
statischeRuhelage
Bild 3.73
Beachte:• Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder
des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73).
Beachte:• Das gilt nur, wenn in der statischen Ruhelage alle elastischen Glieder
des Schwingers bereits durch die Gewichtskräfte vorgespannt sind (Gegenbeispiel: Schwinger in Bild 3.73).
Ende?
3 DynamikSeite: 112
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
• Wie berücksichtigt man spezielle Anordnungen von Federn (Parallel- und Reihenschaltung von Federn)?
• Wie berücksichtigt man spezielle Anordnungen von Federn (Parallel- und Reihenschaltung von Federn)?
• Wie kann man die Masse der Feder berücksichtigen?• Wie kann man die Masse der Feder berücksichtigen?
In den beiden Beispielen 3.27 und 3.28 wurde jeweils eine Feder mit der Federmasse Null angenommen. Im Folgenden wollen wir noch die Fragen untersuchen:
• Hat die Federmasse einen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz des Schwingers?• Hat die Federmasse einen Einfluss auf die Eigenkreisfrequenz des Schwingers?
Hinweis: Wenn man für das obige Beispiel 3.28 die Eigenkreisfrequenz experimentell bestimmen möchte, folgt aus
dass man die Masse „m“ und die Federsteifigkeit „c“ messen müsste.mc
Die experimentelle Bestimmung von ist aber auch ohne die Ermittlung von c und m möglich.
g1
gc
mx
2st
Man muss lediglich die statische Auslenkung xst messen, und erhält aus
stx
g
stx
g
Ende?
3 DynamikSeite: 113
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse (für kleine Ausschläge):
.v(xF)= x
xF
l
v(l)=x.
dmF=·dxF
xF
=mF
lc, mF,
l
xm
Bild 3.74 Berücksichtigung der Federmasse
Durch die Federmasse wird die schwingende Masse größer. Es ist deshalb zu erwarten, dass die Eigenkreisfrequenz sinkt!
F0
F22 dmxv
2
1xm
2
1T
l F
0
2F
22 dxx
x21
xm21
l
l
Hinweis: Ermittelt man die Bewegungsgleichung mit den LAGRANGE-
schen Gleichungen und wählt x von der statischen Ruhelage aus, so können die Massenkräfte sowie die durch diese in der Feder gespei-cherte potentielle Energie weggelassen werden (siehe Beispiel 3.28).Die Federmasse mF geht nur noch in die kinetische Energie T ein!
gc
mmx F
st
und nehme an, dass sich die Geschwindigkeit längs der Feder linear verändert (Bild 3.74).
Wir betrachten Schwingungen um die neue statische Ruhe-lage (infolge der zusätzlichen Federmasse mF)
Die kinetische Energie wird
32
2
31x
21
xm21
ll
Fm
22 x61
xm21
T l 2F xm
3
1m
2
1
Die kinetische Energie des Feder-Masse-Schwingers mit Berücksichtigung der Federmasse erhalten wir also, indem zur Einzelmasse m noch 1/3 der Federmasse mF hinzugefügt wird.
Fm3
1mMmitxM
2
1T 2 Fm
3
1mMmitxM
2
1T 2
Mit dieser Ersatzmasse M (M > m) wird die Eigenkreisfrequenz, wie bereits vermutet, kleiner.Mit dieser Ersatzmasse M (M > m) wird die Eigenkreisfrequenz, wie bereits vermutet, kleiner. Fm
3
1mMmit
M
c Fm
3
1mMmit
M
c
Ende?
3 DynamikSeite: 114
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
entspanntFeder
c
Bild 3.75 Federgesetz
Ermittlung von Ersatzfederzahlen für Parallel- und Reihenschaltung von Feder:
Federn können in vielfältiger Weise untereinander und mit einem Körper verbunden sein. Sie lassen sich unter der Voraussetzung eines linearen Federgesetzes (Fc = c·x, vgl. Bild 3.75) zu einer Ersatzfeder mit einer Ersatzfederzahl cers zusammenfassen.Die Ersatzfederzahl cers wird so bestimmt, dass bei gleichen Belastungen die Ersatzfeder den gleichen Federweg aufweist wie das Ausgangssystem.
entspanntFeder
c Fc = c·x
x
Parallelschaltung von Federn (Federwege aller Federn sind gleich groß)
cnc1. . .
c2
c3
FG
x
cers
FG
gleichwertig
cersx
FGFG
Fcn=cnxFc1
Fc2
Fc3. . .
Bild 3.76 Parallelschaltung von Federn (Ausgangssystem links
cn2c1cG F....FFF:
xc...xcxcF n21G
Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.76, links):
Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.76, rechts):
xc...ccF n21G (1)
xcF: ersG (2)
n
1iin21ers cc...ccc
n
1iin21ers cc...ccc
Gleichsetzen von (1) und (2) liefert
(3.81)
und Ersatzsystem rechts)
Ende?
3 DynamikSeite: 115
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Reihenschaltung von Federn (Federkräfte aller Federn sind gleich groß)
x
c2
cn
c1
FG
cers
FG
gleichwertig
cersx
FG
ci
FG
FG = cixi
li + xi
(li - Länge der unbelaste-ten Feder)
Bild 3.77 Reihenschaltung von Federn (Ausgangssystem links
i
Gi c
Fx
Für jede Feder ci des Ausgangssystems kann aus dem Kräftegleichgewicht (Bild 3.77, Schnittbild links) und dem Federgesetz die Federverlängerung x i der i-ten Feder berechnet werden.
n
1iin21 xx...xxx
Der Federweg am Ende der Federkette wird
xcF: ersG
Ausgangssystem mit n Federn (Bild 3.77, links):
iiGci ·xc F F:
n
1i in21
ers
c1
1
c1
...c1
c1
1c
n
1i in21
ers
c1
1
c1
...c1
c1
1c
Gleichsetzen von (1) und (2) liefert
(3.82)
Ersatzsystem mit einer Feder (Bild 3.77, rechts):
Gn21n
G
2
G
1
G Fc
1...
c
1
c
1
c
F...
c
F
c
Fx
(1)
ers
G
c
Fx (2)
und Ersatzsystem rechts)
Ende?
3 DynamikSeite: 116
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Hinweis:
Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden.
Hinweis:
Mit den Beziehungen für die Parallelschaltung Gleichung (3.81) und für die Reihenschaltung Gleichung (3.82) von Federn kann auch für kompliziertere Federsysteme, die Kombinationen beider Arten enthalten, durch schrittweise Bildung von Ersatzfedern eine einzige Ersatzfeder für das gesamte System ermittelt werden.
Ende?
3 DynamikSeite: 117
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
q(t)
t
ungedämpft
Bild 3.78 Freie gedämpfte Schwingung
3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
gedämpft
Aus der Erfahrung wissen wir, dass freie Schwingungen mit einer konstanten Amplitude (ungedämpfte Schwingungen) nicht auftreten. Die Amplituden werden mit zunehmender Zeit kleiner (gedämpft) und werden irgendwann Null (Bild 3.78).
Aus der Erfahrung wissen wir, dass freie Schwingungen mit einer konstanten Amplitude (ungedämpfte Schwingungen) nicht auftreten. Die Amplituden werden mit zunehmender Zeit kleiner (gedämpft) und werden irgendwann Null (Bild 3.78).
Ursache für die Dämpfung ist z. B. der durch Dissipation9 eintretende Energieverlust im schwingenden System infolge
• Umwandlung von Bewegungsenergie in Wärme (z. B. infolge Reibung)• Umwandlung von Bewegungsenergie in bleibende Verformung• Umwandlung von Bewegungsenergie in Luft- oder Flüssigkeitsbewegung• usw.
Hinweis: Ideale (ungedämpfte) Systeme – so genannte konservative Systeme – gibt es in der Realität nicht.Hinweis: Ideale (ungedämpfte) Systeme – so genannte konservative Systeme – gibt es in der Realität nicht.
Trotzdem lassen sich auch unter der Voraussetzung idealer (ungedämpfter) Systeme viele brauchbare Aussagen (oft sehr einfach) gewinnen. Dabei ist immer zu prüfen, ob die getroffenen Annahmen zulässig sind!
Um uns mit wichtigen Grundlagen vertraut zu machen, wollen wir als Modellbeispiel einen geschwindigkeitsproportional gedämpften Feder-Masse-Schwinger betrachten.
9 Dissipation (Energiedissipation), irreversibler physikalischer Prozessen beim Übergang einer Energieform in eine andere Energieform
Ende?
3 DynamikSeite: 118
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Bei Anwendung des D’ALEMBERTschen Prinzips für den Feder-Masse-Schwinger in Bild 3.79 erhält man aus demKräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige-schnittenen Masse m
0cxxbxm:
Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger
Maßeinheit der Dämpfungskonstanten b: [N·s·m-1 = kg·s-1]
c
m
=0
b
cx
mg
mx..
FN
x(t)
bx.
x(t)
Bild 3.79 Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Feder-Masse-Schwinger
Ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten b bewirkt eine der Geschwindig-keit v entgegengesetzt gerichtete Kraft der Größe
FW = b·v
Symbol für einen Dämpfer:b
Das Symbol ist einem Fahrzeugstoßdämpfer nachempfunden!
0xmc
xmb
x 0xmc
xmb
x (3.83)
Das ist die typische Bewegungsdifferentialgleichung eines proportional zur Geschwindigkeit gedämpften Systems. Häufig wird diese Form der Differentialgleichung noch mit den folgenden Abkürzungen umgeformt (siehe folgende Seite).
Ende?
3 DynamikSeite: 119
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
0xmc
xmb
x 0xmc
xmb
x (3.83)
Abkürzungen:
(384) 10 s
m
c Kennkreisfrequenz ( Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingers)
1sm2
b Abklingkonstante (385)
mc2
bD
0LEHRsches Dämpfungsmaß (oder Dämpfungsgrad) (386)
Einsetzen der Abkürzungen in die Differentialgleichung (3.83) liefert
0xx2x 20 0xx2x 2
0 bzw. 0xxD2x 200 0xxD2x 200 (3.87)
Das ist, wie auch die Differentialgleichung für den ungedämpften Schwinger (3.75), eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Die Lösung der beiden Differentialgleichungen (3.87) beschreibt in Abhängigkeit von den Systemparametern (speziell in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D) sehr unterschiedliche Bewegungen. Diese wollen wir im Folgenden untersuchen.
Ende?
3 DynamikSeite: 120
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
0eC~
2 t200
2
Einsetzen des Ansatzes (3.88) und dessen Ableitungen in Gleichung (3.87) liefert
0D2 200
2
Wegen muß zur Erfüllung dieser Gleichung der Klammerausdruck Null werden:0eC~ t
Das ist die so genannte charakteristische Gleichung. Die Lösung der charakteristischen Gleichung (quadratische Gleichung für ) wird:
20
2002,1 DD
In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad zeigt die Lösung unterschiedliches Verhalten!In Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad zeigt die Lösung unterschiedliches Verhalten!
Wir betrachten jetzt unterschiedliche Größenordnungen des Dämpfungsgrades D.
Zur Lösung der Differentialgleichung
0xxD2x 200 0xxD2x 200 (3.87)
t2t eC~
xeC~
x Differenzieren dieses Ansatzes liefert:
wird folgender Lösungsansatz gemacht: teC~
x teC
~x (3.88)
1DD 202,1 (3.89)
Ende?
3 DynamikSeite: 121
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Mit der EULERschen Formel folgt: sinicose i
Diese Lösung für ungedämpfte Systeme haben wir bereits im Kapitel 3.5.2 (Gleichung (3.76) bzw. (3.79)) ohne Herleitung kennen gelernt.
002,1 i1
D = 0: Ungedämpftes System
ti2
ti1
oo eC~
eC~
x
Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert
tsinitcosC~
tsinitcosC~
x 002001
tsin
C
iC~
C~
tcos
C
C~
C~
x 0
2
210
1
21
Aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung folgen für D = 0 die zwei Lösungen
1DD 202,1
tsinCtcosCx 0201 tsinCtcosCx 0201 tsinAx 0 tsinAx 0oder (3.90)
Der Verlauf der Schwingung nach Gleichung (3.90) für D = 0 (ungedämpft) ist in Bild 3.80 dargestellt.
x(t)
t
Bild 3.80 Ungedämpfte Schwingung (D = 0)
Ende?
3 DynamikSeite: 122
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
D < 1: Schwach gedämpftes System
In der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung wird für D < 1 der Wurzelradikand negativ. Deshalb formen wir sie wie folgt um:
1DD 202,1
ti2
ti1
t eC~
eC~
ex
2002,1 D1iD
i2,1
folgt für die umgeformte Lösungen der charakteristischen Gleichung
ti2
ti1 eC
~eC
~x
Einsetzen der beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert
Mit nach Gleichung (3.86) und einer neuen Abkürzung: 0
D
20 D1
20 D1 (3.91)
Auf den Klammerausdruck wenden wir nun wieder die EULERsche Formel an, und erhalten
sinicose i
tsinitcosC~
tsinitcosC~
ex 21t und daraus (vgl. vorherige Seite)
)( 2
02,1 D11D
Ende?
3 DynamikSeite: 123
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
• Die Abkürzung (Gleichung (3.91)) ist die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung.
• Die Amplitude A der Schwingung nimmt mit Zeit t um den Faktor ab.te
Aus den Lösungen (3.92) bzw. (3.93) kann man typische Eigenschaften für den schwach gedämpften Schwinger ableiten (siehe dazu auch Bild 3.81). Es gilt allgemein:
2
T• Die Schwingdauer T ist
2T
1f• Die Frequenz f wird
Beachte: 0 ist die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingers
• Die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung ist konstant. Sie ist kleiner als die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Schwingers.
Bild 3.81 Schwach gedämpfte Schwingung (D < 1)
t
Ae tA
Der typischen Verlauf dieser schwach gedämpften Schwingung (D < 1) nach Gleichung (3.92) bzw. (3.93) ist in Bild 3.81 dargestellt.
tsinCtcosCex 21t tsinCtcosCex 21t (3.92)
tsinAex t tsinAex t
oder mit Gleichung (3.79)
(3.93)
T =2
Ende?
m
cmit1D1 0
220
2
00
20
m
cmit1D1 0
220
2
00
20
(3.94)
3 DynamikSeite: 124
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die das Dämpfungsverhalten eines Schwingers bestimmenden Parameter sind nicht immer bekannt oder können nicht immer einfach experimentell ermittelt werden.Mit den Gleichungen (3.84) bis (3.86) ist man aber in der Lage, bei der Kenntnis eines typischen Dämpfungsparameters (b, oder D), die jeweils benötigten anderen Parameter zu berechnen. Für eine experimentelle Bestimmung von Dämpfungsparametern soll im Folgenden die recht einfache Bestimmung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D gezeigt werden.
Experimentelle Bestimmung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D
Wir betrachten zwei aufeinanderfolgende Ausschläge des Schwingers im Abstand einer Periode T (siehe Bild 3.81) und bilden das Verhältnis dieser Ausschläge
TTt
t
Tt
t
eee
e
TtsinAe
tsinAe
Ttx
tx
Hinweis: Wegen der Periodizität der sin-
Funktion gilt sin([t+T]+) = sin( t+).Hinweis: Wegen der Periodizität der sin-Funktion gilt sin([t+T]+) = sin( t+).
2
TTtx
txln
Logarithmieren beide Seiten liefert
= logarithmisches Dekrement = logarithmisches Dekrement
2D1
D2
Mit aus (3.86) und nach (3.94) ergibt sich2
0 D10D und nach D umgestellt
224D
mit
Ttx
txln (3.95)
Das LEHRsche Dämpfungsmaßes kann also aus zwei experimentell ermittelten aufeinander-folgenden Ausschlägen im Abstand T (zweckmäßig die maximalen Ausschläge, da sich diese am genauesten messen lassen) über das logarithmische Dekrement berechnet werden.
Ende?
3 DynamikSeite: 125
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
0994,0
1097,0
Beispiel 3.29 Ermittlung des LEHRschen Dämpfungsmaßes D
Um uns eine Vorstellung von der Größe des LEHRschen Dämpfungsmaßes machen zu können, betrachten wir nachfolgend eine Schwingung, bei der sich die Amplitude nach jeder Periode T um die Hälfte verringert.
Schlußfolgerung: Auch bei relativ stark gedämpften Systemen ist die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Systems eine gute Näherung für die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems.
Schlußfolgerung: Auch bei relativ stark gedämpften Systemen ist die Eigenkreisfrequenz 0 des ungedämpften Systems eine gute Näherung für die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems.
tx21
Ttx
2222 6932,04
6932,0
4D
Damit ergibt sich für das LEHRsche Dämpfungsmaß aus Gleichung (3.95)
Frage: Wie groß ist in diesem Fall der relativ großen Dämpfung mit D = 0,1097 die Eigenkreis-frequenz der gedämpften Schwingung?
6932,02
Ttx
tx
lnln
Das logarithmische Dekrement wird dafür nach Gleichung (3.95)
Dieses Dämpfungsmaß ist relativ groß, da bereits nach wenigen Schwingungsperioden die Schwingung als praktisch abgeklungen angesehen sein wird.
20
20 1097,01D1 Nach Gleichung (3.94) gilt:
Ende?
3 DynamikSeite: 126
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
D > 1: Stark gedämpftes System
Die Funktion (3.96) beschreibt keinen typischen Schwingungsvorgang mehr, sondern einen so genannten Kriechvorgang (vgl. Bild 3.82).
t1DD
2
t1DD
1t
2t
1
2o
2o
21 eCeCeCeCx
Für den Sonderfall D = 1 ergibt sich aus der Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung die Doppellösung 1,2 = -0 .
Hinweis: Stark gedämpfte Systeme und der aperiodische Grenzfall sind technisch nur für wenige spezielle Anwendungen (z. B. Dämpfung von Zeigerinstrumenten) von Bedeutung.Hinweis: Stark gedämpfte Systeme und der aperiodische Grenzfall sind technisch nur für wenige spezielle Anwendungen (z. B. Dämpfung von Zeigerinstrumenten) von Bedeutung.
Die Lösung (3.89) der charakteristischen Gleichung hat für D > 0 zwei reelle Wurzeln. Einsetzen dieser beiden Lösungen in den Lösungsansatz (3.88) liefert
1DD 202,1
1Dt
21Dt
1Dt 2
o2
oo eCeCex
1Dt
21Dt
1Dt 2
o2
oo eCeCex (3.96)
D = 1: Aperiodischer Grenzfall
Einsetzen dieser Doppellösung in den Lösungsansatz(3.88) liefert die Funktion (typischer Verlauf siehe Bild 3.82)
tCCeteCeCx 21tt
2t
1000 tCCeteCeCx 21tt
2t
1000 (3.97)
Bild 3.82 Kriechvorgang (D > 1)
t/s
x(t)
/ m
m
10
5
0
-5
-100 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Kriechvorgang(D = 1,2)
aperiodischerGrenzfall (D = 1)
und aperiodischer Grenzfall (D = 1)
Ende?
3 DynamikSeite: 127
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
m
=0
cF(t)
b
Bild 3.83 Krafterregter Schwinger
Unter erzwungenen Schwingungen versteht man Schwingungsvorgänge, bei denen dem Schwingungssystem durch zeitabhängige Kraft- oder Wegerregung Energie zugeführt wird.Unter erzwungenen Schwingungen versteht man Schwingungsvorgänge, bei denen dem Schwingungssystem durch zeitabhängige Kraft- oder Wegerregung Energie zugeführt wird.
3.5.4 Erzwungene Schwingungen mit einem Freiheitsgrad
x(t)
cx
mg
mx..
FN
x(t)
F(t)bx.
tsinF̂tF
Wir betrachten zunächst den praktisch wichtigen Fall, bei dem ein Schwingungssystem durch eine harmonische äußere Kraft
zu Schwingungen angeregt wird (Bild 3.83).
= Erregerkreisfrequenz)
0tFcxxbxm:
Nach dem D’ALEMBERTschen Prinzip erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung an der freige-schnittenen Masse m (Bild 3.83)
Im Unterschied zur Bewegungsgleichung des freien gedämpften Schwingers (3.87) haben wir es jetzt mit einer inhomogenen Differentialgleichung zu tun, deren Lösung als Summe aus der homogenen Lösung xh und einer partikulären Lösung xp aufgeschrieben werden kann:
Mit (3.84) bis (3.86) und mit folgt daraus tsinF̂tF
tsinm
F̂xx2x 2
0 (3.98)
ph xxx (3.99)Die homogene Lösung ist mit Gleichung (3.92) bzw. (3.93) bereits bekannt:
tsinCtcosCex 21t
h tsinAex thbzw. (3.100)
Ende?
3 DynamikSeite: 128
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Dieser Lösungsansatz muß die vollständige Differentialgleichung (3.98) erfüllen.
tsinmF̂
tcosK2tsinKK 20
2
folgt nach dem Einsetzen in die vollständige Differentialgleichung (3.98)
tsinKx 2pMit und tcosKxp
Mit den Additionstheoremen der Winkelfunktionen folgt daraus
0tsin
0
mF̂
sinK2cosKK
tcos
0
cosK2sinKK
20
2
20
2
Hinweis: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zeit t dann Null, wenn jeder Klammerausdruck für sich Null wird!
Hinweis: Diese Gleichung ist für jede beliebige Zeit t dann Null, wenn jeder Klammerausdruck für sich Null wird!
Für die partikuläre Lösung machen wir einen Lösungsansatz der Form tsinKxp (3.101)
Nullsetzen der ersten Klammer liefert
21
D2tan
21
D2tan
- Nacheilwinkel, Phasenverschiebung (3.102)
Abstimmungsverhältnis 0
0
(3.103)
mit
Ende?
3 DynamikSeite: 129
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Bild 3.84 Erzwungene Schwingung
tx(
t)
Nullsetzen der zweiten Klammer liefert mit der Lösung für tan (Umwandeln der sin- undcos-Funktion in die tan-Funktion) nach kurzer Rechnung die Konstante K
2222 D41
1cF̂
K
Die vollständige Lösung der Differentialgleichung (3.98) folgt aus Gleichung (3.99) durch Ein-setzen der Gleichungen (3.100) und (3.101) mit der jetzt bekannten Konstanten K zu
mittsinD41
1
c
F̂tsinAex
2222
t
20
20
00
1
D2tan,,D1,D,
m2
b,
m
c
(3.104)
Die Integrationskonstanten A und müssen aus den jeweils aktuellen Anfangsbedingungen des konkreten Problems bestimmt werden.
Hinweis: in Gleichung (3.104) ist die Auslenkung der Masse bei statischer (ruhender) Belastung des Feder-Masse-Systems mit der Kraft .
Hinweis: in Gleichung (3.104) ist die Auslenkung der Masse bei statischer (ruhender) Belastung des Feder-Masse-Systems mit der Kraft .
c/F̂
F̂
stationärerZustand
für > 1
Ein typischer Verlauf einer erregten Schwingung ist in Bild 3.84 dargestellt. Der zweite Term in (3.104) be-schreibt den so genannten stationären Zustand (siehe Bild 3.84 und folgende Seite).
Ende?
3 DynamikSeite: 130
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Wie bereits auf der vorherigen Seite kurz angedeutet, beschreibt in der allgemeinen Lösung (3.104) der partikuläre Lösungsanteil (zweiter Term) den so genannten stationären Zustand (stationäre Schwingung) xstationär, da der homogene Lösungsanteil (erster Term) infolge der immer vorhandenen Dämpfung mit der Zeit abklingt (vgl. Bild 3.84).
Für den stationären Zustand gilt:• der stationäre Zustand ist eine harmonische Schwingung mit einer Eigenkreisfrequenz, die
gleich der Erregerkreisfrequenz ist• die Amplitude K der stationären Schwingung ist konstant• die stationäre Schwingung hat gegenüber der Erregung eine Phasenver-
schiebung um den Winkel tsinF̂tF
Wir erkennen an Gleichung (3.105), dass die Amplitude der stationären Schwingung wesentlich vom Abstimmverhältnis bestimmt wird. Das Verhältnis der Amplitude K der stationären Lösung (3.105) zur statischen Auslenkung , die so genannte Vergrößerungsfunktion V1(), gestattet das typische Verhalten der Schwingungsamplitude zu diskutieren (siehe Bild 3.85).
c/F̂
Dabei ist besonders die nähere Umgebung von = 1 zu beachten, da dort bei geringen Dämpfungen recht große Amplituden auftreten können. Der Zustand = 1 ( = 0) wird als Resonanz bezeichnet.
V1()
(3.105)
tsinD41
1
c
F̂tsinKxx
2222pstationär
Ende?
3 DynamikSeite: 131
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6Vergrößerungsfunktion V1
0 1 2 30
1
2
3
4
5
6Vergrößerungsfunktion V1
0
D=0,1
D=0,25
D=0,5
D=0
D=2
V1
Max(V1)
D=0,707
Bild 3.85 Vergrößerungsfunktion V1
unterkritische Erregung ()
Resonanzfall ()
überkritische Erregung ()
Wir unterscheiden in Abhängigkeit von zwischen:
2222
1
D41
1
cF̂
KV
V1() folgt aus Gleichung (3.105) zu
V1() ist in Bild 3.85 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt.
der stationären Lösung nach Gleichung (3.102) gegenüber der Erregerfunktion F(t) ist in Bild 3.86 für unterschiedliche Dämpfungsmaße D dargestellt.
21
D2arctan
Die Phasenverschiebung
Bild 3.86 Phasenverschiebung
Phasenverschiebung
2
0
0 1 2 3
D=0D=0,1D=0,25
D=0,5 D=0,707
D=2
0
Ende?
3 DynamikSeite: 132
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diese erzwungene gedämpfte Schwingung mit Krafterregung an der Masse für die Gesamtlösung (3.104) und für folgende Größen dargestellt:
m = 5 kg, c = 50 N/m, b = 4 N s/m1s6,N 5 F̂mittsinF̂F(t)
Anfangsbedingungen: x (t=0) = 0,3 m; x (t=0) = 0.
Zeitdarstellung: 0 t 30 s
6,1691
D2arctan
899,1
s500,0f14,3D1
1265,0D
s4,0m2
b
s503,0f,s16,3m
c
2
0
120
0
1
10
10
m
= 0
cF(t)
bx(t)
Zur Ansicht der Animation auf das Bild klicken oder die Datei schwinger-2.avi mit geeignetem Media-Player öffnen. Ein weiterer Klick auf die Animation stoppt diese bzw. setzt die Wiedergabe fort oder beginnt sie erneut.
Ende?
(Der Dämpfer ist in der Animation nicht dargestellt)
Animation:Animation:
3 DynamikSeite: 133
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
• Unwuchterregung
m
= 0
c
b
x(t)
r
Bild 3.88 Erregung durch die horizontale Kraftkomponente F(t) = mur2sint der Fliehkraft mur2
Neben der hier behandelten Krafterregung F(t) treten häufig Stützenerregungen und Unwucht-erregungen auf. Die Behandlung dieser erregten Systeme erfolgt analog zur Krafterregung. Als Ergebnis lassen sich neben der vollständigen Lösung wieder für den stationären Schwingungs-zustand Vergrößerungsfunktion und Phasenverschiebung ermitteln.
• Stützenerregung (Erregung über Feder, über Dämpfer oder über Feder und Dämpfer)
mur2
t
mur2sint
Bild 3.87 Stützenerregung über Feder und Dämpfer
m
= 0
c
bx(t)xS(t) = x·sintˆ
t
mur2
mu (Unwuchtmasse)
Ende?
3 DynamikSeite: 134
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.5.5 Systeme mit mehreren (n) Freiheitsgraden
3.5.5.1 EinführungDas Aufstellen der Bewegungsgleichungen für ein Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden kann analog zum Schwinger mit einem Freiheitsgrad, z. B. mit dem D’ALEMBERTschen Prinzip (Kapitel 3.3.1 bis 3.3.3) bzw. den LAGRANGEschen Bewegungsgleichungen 2. Art (Kapitel 3.4.3), vorgenommen werden.
Neu ist jetzt:Neu ist jetzt: • Bei einem linearen Schwingungssystem mit n-Freiheitsgraden erhält man ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem aus n Gleichungen, d. h. die mathe-matische Behandlung wird aufwendiger.
• Ein lineares Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden besitzt n Eigenkreis-frequenzen i (i = 1, ..., n).
Viele Erkenntnisse vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad lassen sich übertragen, z. B.:Viele Erkenntnisse vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad lassen sich übertragen, z. B.:
• Die Eigenkreisfrequenzen eines schwach gedämpften Systems unterscheiden sich nur un-wesentlich von denen des ungedämpften Systems (vgl. Kapitel 3.5.3 Freie gedämpfte Schwingungen mit einem Freiheitsgrad). Deshalb reicht es häufig aus, ungedämpfte Systeme zu untersuchen.
• Bei erregten Systemen reicht im Allgemeinen die Untersuchung des stationären Schwin-gungszustandes aus. Nur für die Untersuchung des Verhaltens eines Systems in der Anlaufphase bzw. Auslaufphase ist die vollständige Lösung (mit Berücksichtigung der Dämpfung) erforderlich.
• Eine Erregung in der Nähe der Eigenkreisfrequenzen i führt ebenfalls zu großen Schwin-gungsausschlägen. Bei jeder Eigenkreisfrequenz liegt eine Resonanzstelle.
Ende?
3 DynamikSeite: 135
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
3.5.5.2 Aufstellen der BewegungsgleichungenAm Beispiel eines Zwei-Massen-Schwingers mit Dämpfung und Krafterregung (Bild 3.89) soll das Aufstellen der Bewegungsgleichungen exemplarisch gezeigt werden.
Im Beispiel 3.25 wurden Bewegungsgleichungen für einen Zwei-Massen-Schwinger (dort ohne Dämpfung und Krafterregung) mit den LAGRANGEschen Bewe-gungsgleichungen aufgestellt. Hier wollen wir mit Hilfe des D’ALEMBERTschen Prinzips die zweite typische Methode anwenden.
x1(t) x2(t)
FN2
m2g
m2x2
..
x2(t)x1(t)m1g
FN1
c1·x1
m1x1
..
c2·(x2-x1)
b1x1
.
b2(x2-x1). .
F1(t)
=0
c1
m1
b1
c2
m2
b2
=0
F1(t)
Bild 3.89 Zwei-Massen-Schwinger mit Dämpfung und Erregung
Gegeben: m1, m2, c1, c2, b1, b2,
Gesucht: Bewegungsgleichungen für m1 und m2
tsinF̂(t)F1
Das Kräftegleichgewicht an den beiden Massen liefert )t(Fxxcxcxxbxbxm: 1122111221111
0xxcxxbxm: 12212222
Nach Umsortierung folgt
0xcxcxbxbxm
)t(Fxcxccxbxbbxm
2212221222
1221212212111
0xcxcxbxbxm
)t(Fxcxccxbxbbxm
2212221222
1221212212111
(3.106)
bzw. in Matrizenschreibweise
0
)t(F
x
x
cc
ccc
x
x
bb
bbb
x
x
m0
0m 1
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
2
1
(3.107)FxKxDxM FxKxDxM oder kurz
Es bedeuten in (3.107):M - MassenmatrixD - DämpfungsmatrixK - Steifigkeitsmatrixx - KoordinatenvektorF - Lastvektor
Es bedeuten in (3.107):M - MassenmatrixD - DämpfungsmatrixK - Steifigkeitsmatrixx - KoordinatenvektorF - Lastvektor
Ende?
3 DynamikSeite: 136
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Einsetzen in Gleichung (3.107) und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem zur Berechnung von A und B.
Die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107) stellen ein gekoppeltes lineares Differential-gleichungssystem dar.
Aus den Bewegungsgleichungen (3.107) lassen sich schnell die folgenden Sonderfälle ableiten:
Die Lösung der Differentialgleichungssysteme (3.108) und (3.109) kann als Summe einer homogenen und einer partikulären Lösung aufgeschrieben werden (bei (3.110) und (3.111) entfällt die partikuläre Lösung)
x = xh + xp
Zur Bestimmung der homogenen Lösung macht man zweckmäßig den Ansatz (vgl. auch Kapitel 3.5.3, Gleichung (3.88))
xh = C·et
und zur Bestimmung der partikulären Lösung führt ein an F angepasster Störgliedansatz in der Regel zum Ziel. Für das obiges Beispiel mit Dämpfung und mit z. B.:tsinF̂F(t)
tosctsinp BAx
(3.109)System ohne Dämpfung und mit Erregung FxKxM FxKxM
(3.110)System mit Dämpfung und ohne Erregung 0xKxDxM 0xKxDxM
(3.111)System ohne Dämpfung und ohne Erregung(freie Schwingung)
0xKxM 0xKxM
(3.108)System mit Dämpfung und Erregung FxKxDxM FxKxDxM
Die Matrizenschreibweise (3.107) gilt in dieser allgemeinen Form auch für Schwinger mit mehr als zwei Freiheitsgraden, wobei die Matrizen und Vektoren in (3.107) dann ein Format annehmen, das der Freiheitsgradanzahl des Systems entspricht.
Ende?
3 DynamikSeite: 137
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Beispiel 3.30 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an einer Masse
=0
c1 m1c2 m2
=0
F1(t)
Bild 3.90 Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung
Gegeben: m1 = m2 = m, c1 =c2 = c,
Gesucht: Bewegungsgleichungen für m1 und m2
tsinF̂(t)F1 x1(t) x2(t)
Es gelten die Bewegungsgleichungen (3.106) bzw. (3.107), wenn in diesen die Dämpfung Null gesetzt wird (d. h. b1 = b2 = 0 bzw. D = 0)
FxKxM
0
tsinF̂
x
x
cc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
22
221
2
1
2
1(3.112)
oder kurz FxKxM (3.113)
Ermittlung der homogene Lösung:
Der Ansatzt
2
1
h2
h1e
C
C
x
x
oderxh = C·et
in (3.112) eingesetzt liefert das so genannte allgemeine Eigenwertproblem
02 CKM 02 CKM (3.114)
Das allgemeine Eigenwertproblem (3.114) stellt ein homogenes Gleichungssystem für die Ampli-tuden C des Ansatzes dar. Es hat nur dann nichttriviale Lösungen für C, wenn die Determinante der Matrix (2M + K) Null wird.
(3.115) 0det 2 KM 0det 2 KM
Ende?
3 DynamikSeite: 138
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
(3.115) 0det 2 KM 0det 2 KM
Die Gleichung (3.115) wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Für das konkrete Beispiel wird die charakteristische Gleichung mit (3.112)
0cmc
cccm
22
22
2212
1
0
mm
cc
m
c
m
cc
21
212
2
2
1
214
Die charakteristische Gleichung (biquadratische Gleichung für ) hat die Lösungen
21
212
2
2
1
21
2
2
1
2122,1 mm
cc
m
c
m
cc
4
1
m
c
m
cc
2
1
Hinweis: Die Lösungen für 2
1,2 sind kleiner Null. Deshalb führen wir die Substitution 2
1,2 = -21,2 durch.
Damit ist 21,2 reell und positiv.
Hinweis: Die Lösungen für 21,2 sind
kleiner Null. Deshalb führen wir die Substitution 2
1,2 = -21,2 durch.
Damit ist 21,2 reell und positiv. Mit
21
212
2
2
1
21
2
2
1
2122,1 mm
cc
m
c
m
cc
4
1
m
c
m
cc
2
1
(3.116)
erhält man die Lösungen der charakteristischen Gleichung in der Form 22,1
22,1
mit und aus Gleichung (3.116) für die gegebenen Wertem
c618,01
m
c618,12
bzw. daraus die vier Teillösungen
22222122
22
11211121
21
i,i
i,i
(3.117)
Ende?
3 DynamikSeite: 139
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
02 CKM
Mit 2 = -2 nach (3.117) folgt aus (3.114)
Einsetzen in den Lösungsansatz für xh und Überlagerung aller Teillösungen mit je zwei Integra-tionskonstanten liefert
ti
22ti
21ti
12ti
112h2
ti22
ti21
ti12
ti111h1
2211
2211
eAeAeAeACx
eAeAeAeACx
Mit der EULERschen Formel (vgl. auch Kapitel 3.5.3) folgt nach kurzer Umformung und Umbenennung der Konstanten
sinicose i
22221121h2
22121111h1
tsinCtsinCx
tsinCtsinCx
(3.118)
Aus dem homogenen Gleichungssystem (3.114) liest man ab, dass es zwischen den Konstanten von C einen Zusammengang geben muss.
0C
C
cmc
cccm
2
1
22
22
2212
1
und die erste Gleichung liefert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen C1 und C2
,Cc
mccC 1
2
2121
2
der für = 1 und für = 2 erfüllt sein muß.
Zwischen den Konstanten in (3.118) muss damit folgender Zusammenhang gelten
111112
21121
21 CCc
mccC
12212
2
22121
22 CCc
mccCund
mit den Auslenkungsverhältnissen 1 = +1,618 und 2 = -0,618 für die gegebenen Werte.
Ende?
3 DynamikSeite: 140
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Die homogene Lösung (3.118) geht damit in die folgende endgültige Form über
2212211111h2
22121111h1
tsinCtsinCx
tsinCtsinCx
2212211111h2
22121111h1
tsinCtsinCx
tsinCtsinCx
(3.119)
Hinweis: C11, C12,1 und 2 sind die vier Integrationskonstanten des homogenen Ausgang-systems (3.112).
Hinweis: C11, C12,1 und 2 sind die vier Integrationskonstanten des homogenen Ausgang-systems (3.112).
Diskussion der homogenen Lösung:
• Die Integrationskonstanten C11, C12,1 und 2 werden aus Anfangsbedingungen bestimmt. Beachte: Die Anfangsbedingungen müssen bei einem erregten System für die Gesamtlösung aus homogener und partikulärer Lösung aufgeschrieben werden!
• Die homogene Lösung ist im Allgemeinen Fall die Überlagerung zweier Schwingungen mit den Eigenkreisfrequenzen 1 und 2. Sie klingt infolge immer vorhandener Dämpfung (hier nicht berücksichtigt) mit der Zeit ab (vgl. Kapitel 3.5.3).
• Es gibt aber immer bestimmte Anfangsbedingungen, für die in (3.119) entweder C12 oder C11 Null wird. In diesen Fällen schwingen beide Massen mit der gleichen Eigenkreisfrequenz, entweder mit 1 (Bild 3.91, folgende Seite) oder mit 2 (Bild 3.92, folgende Seite). Die dazu gehörenden Schwingformen bezeichnen wir als Eigenschwingformen (vgl. Gegenüberstellung für dieses Beispiel auf der folgenden Seite).
• Das Auslenkungsverhältnis der Massen ist ein charakteristischer Wert, der die Schwingform qualitativ beschreibt.
Ende?
3 DynamikSeite: 141
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Bild 3.92 Gegensinnige Schwingung mit 2
Eigenschwingform für 2
(2. Eigenschwingform)
Bild 3.91 Gleichsinnige Schwingung mit 1
Eigenschwingform für 1
(1. Eigenschwingform)
11111h2
1111h1
tsinCx
tsinCx
11111h2
1111h1
tsinCx
tsinCx
22122h2
2212h1
tsinCx
tsinCx
22122h2
2212h1
tsinCx
tsinCx
m2
x1h
m1
-x2h
Schwingform: gegensinnigSchwingform: gleichsinnig
x2hx1h
m1 m2
618,02x
x2
h
h2 618,02x
x2
h
h2 618,1x
x1
h1
h2 618,1x
x1
h1
h2
Auslenkungsverhältnis Auslenkungsverhältnis
C12 = 0 C11 = 0
Ende?
3 DynamikSeite: 142
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Ermittlung der partikulären Lösung:
Für die partikuläre Lösung wird ein an die Erregerfunktion angepasster Ansatz gewählt:
tsinp Ax bzw. tsinA
A
x
x
2
1
p2
p1
Einsetzen des Ansatzes in die vollständige Gleichung von (3.112) liefert mit das Gleichungssystem
tsin2p Ax
tsin0
F̂tsin
A
A
cc
ccctsin
A
Am0
0m
2
1
22
221
22
12
2
1
0
F̂
A
A
cmc
cccm
2
1
22
22
2212
1
G
Das ist ein lineares inhomogenes Gleichungssystem für A1 und A2. Die Auflösung, z. B. mit der CRAMERschen Regel, liefert
)(det
mcF̂A
222
1 G
)(det
cF̂A 2
2 Gund
Die Determinante det(G) hat genau für = ±1 und = ±2 Nullstellen, da sie analog zur charakteristischen Gleichung (3.115) aufgebaut ist! Mit der Produktdarstellung des aus det(G) folgenden Polynoms 4. Grades mit Hilfe der bekannten Nullstellen können die Konstanten des Ansatzes dann wie folgt aufgeschrieben werden (siehe folgende Seite)
Ende?
3 DynamikSeite: 143
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
(3.120))()(mm
cF̂A
)()(mm
)mc(F̂A
22
221
221
222
222
12
21
222
1
Damit wird die partikuläre Lösung
tsin)()(mm
cF̂tsinAx
tsin)()(mm
)mc(F̂tsinAx
22
221
221
22p2
22
221
221
222
1p1
tsin)()(mm
cF̂tsinAx
tsin)()(mm
)mc(F̂tsinAx
22
221
221
22p2
22
221
221
222
1p1
(3.121)
Die Gesamtlösung x = xh + xp kann jetzt mit der homogenen Lösung (3.119) und der partikulären Lösung (3.121) aufgeschrieben werden. Wir wollen jedoch an dieser Stelle darauf verzichten und statt dessen, wie bei der homogenen Lösung, die partikuläre Lösung kurz diskutieren.
Diskussion der partikulären Lösung:
• Nachdem die homogene Lösung infolge der immer vorhandenen Dämpfung abgeklungen ist, schwingt das System mit der partikulären Lösung im so genannten stationären Zustand (vgl. auch Kapitel 3.5.4, Bild 3.84).
Ende?
3 DynamikSeite: 144
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
Bei der 1. Resonanzstellen ( = 1) schwingen die Massen gleichsinnig mit der 1. Eigen-schwingform und bei der 2. Resonanzstellen ( = 2) schwingen die Massen gegensinnig mit der 2. Eigenschwingform (vgl. Bild 3.91 und 3.92).
• Die Amplituden A1 und A2 der stationären Schwingung sind neben den Systemkenngrößen (Massen, Federzahlen, Eigenkreisfrequenzen 1 und 2) wesentlich von der Erregung und hier speziell von der Erregerkreisfrequenz abhängig (siehe Gleichung (3.120)). Die folgenden Darstellungen der Amplituden in Abhängigkeit von der Erregerkreisfrequenz für das hier behandelte Beispiel mit zwei Massen ohne Dämpfung verdeutlichen dies.
A1
1
2
2
2T m
c
A2
1 2
Bild 3.93 Amplituden der stationären Schwingung
Bei = 1 und bei = 2 werden die Amplituden A1 und A2 theoretisch unendlich groß (für Systeme ohne Dämpfung; aber bei der praktisch immer vorhandenen Dämpfung bleiben die Amplituden endlich). Diese Stellen bezeichnen wir als Resonanzstellen.
Bei = T ist A1 = 0, d. h. die Masse m1 bleibt in Ruhe, obwohl dort die Erregerkraft F(t) angreift! Diesen Effekt nennt man Schwingungstilgung (hier der Masse m1). Die Masse m2 schwingt dabei weiter. Schwingungstilgung wird in der Praxis bewusst zur Unterdrückung von Schwingungen einzelner Massen eingesetzt.
Ende?
3 DynamikSeite: 145
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
In der nachfolgenden realistischen Animation ist der Schwingungsvorgang für diesen Zwei-Massen-Schwinger mit Krafterregung an m1 für die Gesamtlösung x = xh + xp und für folgende Größen dargestellt:
= 0
c1 m1c2 m2
= 0
F1(t)
x1(t) x2(t)ungedämpft:
x1(t) x2(t)
= 0
c1
m1
b1
c2
m2
b2
= 0
F1(t)
gedämpft: (b1 = b2 = 4 N s/m) (Dämpfer in der Animation nicht dargestellt)
12
1
2
22
11
1
1
11
s814,0f,s117,5m
c618,1
s311,0f,s954,1m
c618,0
m1 = m2 = 5 kg, c1 = c2 = 50 N/m, 1
1 s6,N 5 F̂mittsinF̂(t)F Anfangsbedingungen: x1(t=0) = 0, x1(t=0) = 0
x2(t=0) = 0,3 m, x2(t=0) = 0
..
Zeitdarstellung: 0 t 30 s
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3 DynamikSeite: 146
Technische Mechanikfür Wirtschaftsingenieure
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Dynamik
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