Das N-Atom im Pyridin -Ring ist vierbindig und daher positiv geladen .
3. Das Atom Radioaktive Quelle ungeladen 1 negativ geladen 2 positiv geladen 1827Brown: Existenz von...
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Transcript of 3. Das Atom Radioaktive Quelle ungeladen 1 negativ geladen 2 positiv geladen 1827Brown: Existenz von...
3. Das Atom
Radioaktive Quelle
⊗⊗
⊗
⊗⊗
⊗
⊗⊗
⊗
⊗
⊗B
ungeladen
1 negativ geladen
2 positiv geladen βm108αm 4
1827 Brown: Existenz von Atomen/Molekülen Molekularbewegung
1911 Wilson: Erfindung der Nebelkammer Existenz von Atomen, Ionen, Elektronen
1937 Ernst Müller:Erfindung des FeldemissionsmikroskopsDirekte Beobachtung von Atomen
1932 Ruska: Erfindung des Elektronenmikroskops
1984 Binning, Rohrer: Erfindung des Rastertunnelmikroskops
1912 von Laue: Röntgenbeugung an Kristallen (Nobelpreis 1914)
Messung von Atomgrößen (O(1 Å)) und Bindungsabständen
1896... Becquerel: Radioaktive Zerfälle (-, -, -Strahlung) M. u. P. Curie Beobachtung von Atomkern-Zerfällen
(Nobelpreis 1927)
(Nobelpreis 1986)
(Nobelpreis 1903)
Das Feldemissionsmikroskop: Oberflächenstruktur der Wolfram-Spitze
Bild von Bariumatomen auf der Wolframspitze
3.1. Die klassische Struktur der Atome
3.1.1. Das Thomsonsche Atommodell
Hypothese (Thomson): Ein Atom ist eine homogen geladene Kugel gleich vieler positiver (Protonen) und negativer (Elektronen) Elementarladungen.
Streu-Target(10 m dünne Goldfolie)
Experimenteller Test: Streuexperiment nach Rutherford
Radioaktive -Quelle
E O(10 MeV)
Detektor
(drehbar)
Atom (ortsfest)Z Protonen
Streuebene
seZQ
T (transversal)
R
Abschätzung der Streuwinkelverteilung:me ≪ mp, m Streuung an Elektronen kann vernachlässigt werden.Atomradius 0,1 nm, Foliendicke 10 m n 5103
Atomlagen.
Streuung nur in durchkreuzten Atomen; die anderen sind zu weit weg und insgesamt neutral.
Die Streuwinkel pro durchkreuztem Atom sind extrem klein.
b
Stoßparameter
eze2q
vmE 221
α
eze2q
vmE 221
α
αinα
outα EEE α
inα
outα EEE
≪ 1
Sicht gegen die s-Achse
y
x
b
by
bx
x
y
r
F
E
1
R6
1
επ4
eZz
6
RΚσ
α0
22
E
1
R6
1
επ4
eZz
6
RΚσ
α0
22
Breite der Streuwinkelverteilung:
Atom (ortsfest)Z Protonen
Streuebene
seZQ
T (transversal)
R
b
Stoßparameter
eze2q
vmE 221
α
eze2q
vmE 221
α
αinα
outα EEE α
inα
outα EEE
≪ 1
Sicht gegen die s-Achse
y
x
b
by
bx
x
y
r
F
sinbb
cosbb
y
x
sin
cos
y
x
Ablenkung:
E
1
R
1
επ4
ZzeΚ
bRbΚ
α3
0
2
22
E
1
R
1
επ4
ZzeΚ
bRbΚ
α3
0
2
22
Tafelrechnung
Beispiel: MeV5E79Z2znm1,0R α
Goldα
46,001,0rad109,1σ 4
Gesamtablenkung: 2y
2x
n
1iyy
n
1ixx θθθθθ
ii
Fehlerfortpflanzung: typisch O (1) σnσσΔ yx θθ
Zentraler Grenzwertsatz
Δ2
θexp
Δπ2
AN
Δ2
θ
Δ2
θexp
Δπ2
AN
θdθd
Nd
2
2
20
2
2y
2
2x
20
n
yx
2
Δ2
θexp
Δπ2
AN
Δ2
θ
Δ2
θexp
Δπ2
AN
θdθd
Nd
2
2
20
2
2y
2
2x
20
n
yx
2
# -Teilchen pro Targetfläche A
E
1
R6
1
επ4
eZz
6
RΚσ
α0
22
E
1
R6
1
επ4
eZz
6
RΚσ
α0
22
Breite der Streuwinkelverteilung: Ablenkung:
E
1
R
1
επ4
ZzeΚ
bRbΚ
α3
0
2
22
E
1
R
1
επ4
ZzeΚ
bRbΚ
α3
0
2
22
Das Thomson-Modell ist unhaltbar
Ωd
Nd
dθdθ
Nd
θdθd
Nd
2
yx
2
sinθθ
cosθθ
y
x dθdθsinΩd
E
1
E
1
R
1
6
n
επ4
eZzΔ
Δ2
θexp
Δπ2
AN
Ωd
Nd
αα0
2
2
2
20
E
1
E
1
R
1
6
n
επ4
eZzΔ
Δ2
θexp
Δπ2
AN
Ωd
Nd
αα0
2
2
2
20
αE1Δ
Ωd
Ndθπ2
θd
Nd
O ( 1 )
2
2
Δ2θexpθ
Theorie
Δ2
θexp
Δπ2
AN
Δ2
θ
Δ2
θexp
Δπ2
AN
θdθd
Nd
2
2
20
2
2y
2
2x
20
n
yx
2
Δ2
θexp
Δπ2
AN
Δ2
θ
Δ2
θexp
Δπ2
AN
θdθd
Nd
2
2
20
2
2y
2
2x
20
n
yx
2
2θsin1
E1
42α
Experiment (Geiger, Marsden)
E MeV10 20 30
Ωd
Nd
60 fest
EKnick cot
F
yF
3.1.2. Das Rutherfordsche AtommodellHypothese (Rutherford): Ein Atom besteht aus einem praktisch punkt-förmigen Kern der Ladung Ze, der praktisch die gesamte Atommasse trägt. Der Kern ist umgeben von einer ausgedehnten Hülle von Z Elektronen ( Atomgröße), die die Kernladung perfekt abschirmt.
Streuung von -Teilchen: Streuung nur in unmittelbarer Kernnähe Mehrfachstreuungen sehr selten betrachte nur Einfachstreuungen!
x
y
b
Stoßparameter
KernQ Z e
Streuebene
Q z e
m
Hyperbel
E , v
v
r
Streuwinkel: bEbvmcot αeZz
επ82ααeZz
επ42θ
20
20 bEbvmcot αeZz
επ82ααeZz
επ42θ
20
20
Tafelrechnung
gerechnet für einen Einzelkern als Streutarget
Wirkungsquerschnitt der -Kern Streuung (Einheit m2)
differentieller Wirkungsquerschnitt der -Kern StreuungΩdσd
Bezeichnung: Ωd
σd
Ωd
Nd
N
1
0
Ωd
σd
Ωd
Nd
N
1
0
Einzelkern
x
y
b
Stoßparameter
KernQ Z e
Streuebene
Q z e
m
Hyperbel
E , v
v
r
Winkelverteilung: ( Tafelrechnung)
sin
1
E
1
επ4
eZz
16
1
Ωd
Nd
N
1
2θ42
2
0
2
0
sin
1
E
1
επ4
eZz
16
1
Ωd
Nd
N
1
2θ42
2
0
2
0
sin
1
E
1
επ4
eZz
16
1
Ωd
Nd
N
1
2θ42
2
0
2
0
sin
1
E
1
επ4
eZz
16
1
Ωd
Nd
N
1
2θ42
2
0
2
0
Ωd
Ndlg
2θ4sin
0 50 100
E = 10 MeV
Theorie
Experiment
Theorie experimentell bestätigt, solange nicht zu groß,bzw. minimaler Kernabstand nicht zu klein
2θ2
α sinE
Folgerung: Abschätzung von Kerngrößen aus Abweichungen von Rutherfordscher Streuwinkelverteilung
fm3,1m103,1r
Arr 15
0
310K
fm3,1m103,1r
Arr 15
0
310K
A # Protonen # Neutronen
KernmassenzahlKerne sind um 5 Größenordnungen kleiner als Atome!
Ungeklärte Probleme des Rutherfordschen Atommodells:
Beschleunigte Ladungen strahlen e.m. Energie ab. Warum stürzen die um den Kern kreisenden Hüllenelektronen nicht ins Zentrum des Atoms? Wieso sind Atome also stabil?
Atome strahlen elektromagnetische Strahlung u. a. in Form von Linienspektren ab. Was ist deren Ursprung?
Wie kommt es zu chemischen Bindungen zwischen Atomen und was ist deren Natur?
Antwort: Die klassische Physik ist auf atomaren Skalen nicht mehr anwendbar. Wir benötigen ein quantenmechanisches Atommodell!
3.2. Die Quantenstruktur der Atome3.2.1. Empirisches Wasserstoff-LinienspektrumWasserstoff: Kern 1Proton ; Hülle 1 Elektron ; einfachstes Atom
Beobachtung (Jakob Balmer, 1885): Ex. Serie von Emissionslinien im sichtbaren Bereich (VIS) mit einfacher geometrischen Systematik:
,5,4,3n,n
1
2
1Ry
λ
1
22n
1cm109678Ry
Rydbergkonstante des Wasserstoffs
… Entdeckung weiterer Serien (Lyman, Paschen, Bracket, Pfund, …)
,2n,1nn
,3,2,1n,
n
1
n
1Ry
λ
1
112
122
21nn 21
,2n,1nn,3,2,1n
,n
1
n
1Ry
λ
1
112
122
21nn 21
Interpretation: Dem Hüllenelektron stehen im Potentialtopf des Kern-Coulombfeldes unendlich viele Energieeigenzustände zur Verfügung. Übergänge zwischen Zuständen mit Energiedifferenz E können durch Emission / Absorption von Photonen mit vermittelt werden.Eω
,2n,1nn
,3,2,1n,
n
1
n
1Ry
λ
1
112
122
21nn 21
,2n,1nn,3,2,1n
,n
1
n
1Ry
λ
1
112
122
21nn 21
n 1
n 2
n 3
n 4
n 5
n 6
n 7
E eV
0
0,9
1,5
3,49
13,6Lyman-Serie (UV)
Balmer-Serie (UV, VIS)
Paschen-Serie (IR)
Bracket-Serie (IR)Pfund-Serie (IR)
Ionisierungsgrenze
eV13,6RychRy eV13,6RychRy
Energiekontinuum
3.2.2. Das Bohrsche Atommodell (1913, Nobelpreis 1922)
Betrachte wasserstoffartiges Atom: Kern der Ladung Z e mit Masse mK m≫ e, ,,umgeben” von einem einzelnen Hüllenelektron
Postulat (1): Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Kern (genauer: um den gemeinsamen Schwerpunkt).
Kern
v
er
() r 20
2
vμ1
επ4eZ r 2
0
2
vμ1
επ4eZ
reduzierte Masse: mμ emmmm
Ke
Ke mμ emm
mm
Ke
Ke
Kräftegleichgewicht: () 2
2
0
2
r
eZεπ4
1rvμ
Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung).
mathematisch: ,2,1n,nλnrπ2nvμ
hn
20n n
Z
ar
Quantisierte Bahnradien:
Bohrscher Radius
m103,5eμπ
hεa 11
2
20
0
für feste Quantenzahl n sind rn und vn festgelegt.
n vnr1
μn n v
nr1
μn
2nn
μμ1
επ4eZ
vμ1
επ4eZ
n
)(
rr 22
2
0
2
2n0
2
()Kern
v
er
Postulat (3): Die Bahn jeder Quantenzahl n gehört zu einem Energie-Eigenzustand:
n,potn,kinn EEE
n,pot21
2n
2
0
n)(
n
2nn2
n21
n,kin Er
eZ
επ4
1
2
r
r
vμ
2
rvμE
2n
2
2
2
212
n21
n,kinn,potn,kinn r
n
μμvμEEEE
2420
2422
2
2
n2
22020
n nhε
Zeμπ
μπ8
hE
Zeμπ
nhεn
Z
ar
n
ZRy
nh8ε
ZeμE
2
2
2220
24
n
n
ZRy
nh8ε
ZeμE
2
2
2220
24
n
1nn λchE
220
4
h8ε
eμRychRy
Rydbergkonstante
Ry hängt über von Kernmasse mK ab:
em
μK RymRy cm31534,109737Ry 1
chε8
em32
0
4e
En
rn
Bemerkung: Bedeutung des Postulats (3)
klassisch
E
r
reZ
επ41
pot
2
0E
pot21
kin EE
pot21 EE
Es gibt keinen Zustand minimaler Energie. Das Elektron stürzt in
den Kern.
n
2
0 reZ
επ41
potE
2n
22
r1
μ2n2
n2μ
kin vE
Es gibt einen Zustand minimaler Energie. Die Elektronenbahn ist
stabil.
quantenmechanisch
E
rn
n festn fest
E
nur hier ist Ekin ½ Epot
Bemerkung: Bedeutung von...
nvμ
hn nλnrπ2 n v
nr1
μn n v
nr1
μn
Folgerung: nrvμL nn
nrvμL nn
Der ( Bahn- ) Drehimpuls des Elektrons ( relativ zum Kern ) ist in Einheiten von quantisiert.
Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung).
3.2.3. Der Franck-Hertz-Versuch (1913, Nobelpreis 1925)
Bekannt: Niveauübergänge Absorption / Emission von Photonen
Frage: Niveauübergänge Energieübertrag durch Atomstöße ?
Experiment: Quecksilberdampf (102 mbar)
Glühkathode
e
I
RöhreAnode
Gitter
U U
Kathode Gitter: Ee e U EStöße
Gitter Anode: Ee e U
Elektronen erreichen Anode ( I ) wenn EeGitter
e U
4.9 V
Dioden-Charakteristik
Anodenstrom als Funktion der Beschleunigungsspannung (U fest):
I A
U V 0 5 10 15
1 Stoßanregung
2 Stoßanregungen
3 Stoßanregungen
4.9 V
4.9 V
HgeHge eV9,4EE
HgeHge eV9,4EE
γHgHg eV4,9
γHgHg eV4,9
Spektrograph
3.2.4. Wellenfunktion des WasserstoffatomsStatinonäre Schrödingergleichung in Relativkoordinaten:
rψErψrVrψΔ μ2
2 rψErψrVrψΔ μ2
2
Relativkoordinate Kern Elektronr
r
eZ
επ4
1rV
2
0
r
eZ
επ4
1rV
2
0
Coulomb-Zentralpotential:
Faktorisierung ( Theorie-VL): Lösungen für beliebige Zentral-Potentiale V(r) in Kugelkoordinaten (r,,)
,YrR,r,ψrψ mnmnmn
,YrR,r,ψrψ mnmnmn
Rn l(r) Radialfunktion, spezifisch für die Form der Potentialfunktion
Yl m(,) Kugelflächenfunktion, universell für jedes Zentralpotential
a) Die Kugelflächenfunktionen
cosP,Y mm
m cosP,Y mm
m
Legendre-PolynomeGrad: ℓ m e mi
Yℓ m Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators rp̂rL̂ i
rp̂rL̂ i
In Kugelkoordinaten: L̂ iz L̂ iz sinsinL̂ 2
2
2
2
sin
2
Eigenwertgleichungen:
,Ym,YL̂
,Y1,YL̂
mmz
m2
m2
,Ym,YL̂
,Y1,YL̂
mmz
m2
m2
ℓ Drehimpulsquantenzahl m magnetische Quantenzahl ℓ 0, 1, 2, m ℓ, ℓ, , ℓ , ℓ
unabhängig von Rotationssymmetrie um z-Achse (Quantisierungsachse)
2
mY
b) Das Vektormodell des Drehimpulsoperators
z
x
y
Kugelradius 1
0m 1m
2m 3m
3m
2m
1m
Beispiel: ℓ 3
,Ym,YL̂
,Y1,YL̂
mmz
m2
m2
,Ym,YL̂
,Y1,YL̂
mmz
m2
m2
mL̂
1L̂L̂
z
2
mL̂
1L̂L̂
z
2
L
Lx, Ly nicht messbar, Drehimpulsvektor quantenmechanisch über Kegel verschmiert! Klassisches Analogon: Präzession um z-Achse
c) Die Radialfunktion Rn ℓ(r)
effektives Potential
(radialer Impuls)2
2
2
eff r
LrVrV
2
2
eff r
1rVrV
rd
dr
rd
d
rΔ 2
2
2
r2 2
rp
klassische Radialgleichung( Physik 1 )
Quantenmechanisches Analogon
rRErRrVrd
Rdr
rd
d
r
1
μ2 nnneff
n22
2
rRErRrV
rd
Rdr
rd
d
r
1
μ2 nnneff
n22
2
radiale Schrödingergleichung
rRErRrVrd
Rdr
rd
d
r
1
μ2 nnneff
n22
2
rRErRrV
rd
Rdr
rd
d
r
1
μ2 nnneff
n22
2
r
1
r
1
επ4
eZrV
2
2
0
2
eff
r
1
r
1
επ4
eZrV
2
2
0
2
eff
r
Veff 2r
1
r
1
Potentialtopf
radiale Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit
Lösung:
xLexrR 121n
xn
xLexrR 12
1nx
n
x
0anrZ x0anrZ
Laguerre-Polynom (Grad n ℓ 1)
Bohr-Radius
RyEE 2
2
nZ
nn RyEE 2
2
nZ
nn
Folge für die möglichen Werte für die Quantenzahlen (QZ):
Drehimpuls-QZ: ℓ 0, 1, , n 1 n DrehimpulszuständeMagnetische QZ: m ℓ, ℓ 1, , ℓ 2 ℓ 1 Drehimpulsrichtungen
Haupt-QZ: n 1, 2, 3, diskretes Energiespektrum
radiale Quantenzahl nr n ℓ 1 0, 1, ↳ Zahl der Knoten
d) Die Energieentartung:
RyE 2
2
nZ
n RyE 2
2
nZ
n
• unabhängig von m Rotationssymmetrie
• unabhängig von ℓ r 1-Potential
Entartungsgrad bei festem n, ℓ( Zustände mit Energie En
und Drehimpuls ):
121m
1
Entartungsgrad zur Haupt-QZ n ( Zustände mit Energie En):
221n
0
1n
0
1n
0
nnnnn2
1nn21212
Drehimpuls-QZ: ℓ 0, 1, , n 1 n DrehimpulszuständeMagnetische QZ: m ℓ, ℓ 1, , ℓ 2 ℓ 1 Drehimpulsrichtungen
Haupt-QZ: n 1, 2, 3, diskretes Energiespektrum
e) Die spektroskopische Nomenklatur:
ℓ Zustand
0 s
1 p
2 d
3 f
4 g
m Zustand
0 1
2 3 4
Beispiel: n 4 , ℓ 3 , m 2 4 f - Zustand
Bemerkung: ℓ 0 m 0. Es gilt: Y00 const.
Folgerung: s-Zustände sind kugelsymmetrisch.
Beispiel: Der Grundzustand 1s
arρ
1
0
f) Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte :
Aufenthaltswarscheinlichkeit in Kugelschale (Dicke dr) beim Radius r :
1
1
22mn
π2
0rOb
2mn rdr|ψ|cosddrd|ψ|Addrrρ
1
1
2n
22m
π2
0
rd|rR|r|,Y|cosdd
1
rd|rR|r 2n
2
ar 023 ar 023
Beim Bohrschen Radius ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit maximal. Im Mittel befindet sich das Elektron aber im Abstand 1,5 a0 zum Kern.
Regeln: Knoten nr
Bäuche nr 1 n ℓ
• n ↗ r ↗ , r n2
• ℓ ↗ r ↗ , Bäuche ↘ klassisch: mit ℓ zunehmend exzentrische Ellipsenbahnen
(Ausschmierung)
• n fest ist kugelsymmetrisch
Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der ersten drei Energieniveaus:
n 3, ℓ 0nr 2
n 3, ℓ 1nr 1
n 3, ℓ 2nr 0
arρ
1
0 n 1, ℓ 0
nr 0n 2, ℓ
0nr 1
n 2, ℓ
1nr 0
1n
0 m
2mn |ψ|
g) Die Parität der Wellenfunktion (WF):
π,πrr
coscos ecosP,YrR,r,ψrψ mim
mnmnmn
eecosPπ,πr,ψrψ πmimimmnmn
cosP1 mm
m1Die Parität der WF eines Teilchens im Zentralpotential ist (1)ℓ.
Die Parität ist damit durch den Bahndrehimpuls festgelegt.
Definition: Die Wellenfunktion besitzt eine Parität, wenn sie gerade oder ungerade ist. Bezeichnung:
gerade: Parität bzw. 1 bzw. gerade
ungerade: Parität bzw. 1 bzw. ungerade rψrψ
rψrψ
rψ
rψrψ
rψrψ