EjerciciosEnlosejercicios 1a 4 se muestra la gráfica dejo Establecer 10sJsignosde!, yf" sobre el intervalo (O,2).

1. y

2

3. y

-+----1f--+--+- X

2

2. y

-+--+---+--+x2

SECCIÓN 3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 195

4. y

-+--+---+--+x2

33. f(x) = sec(x -~), (0,47T)

34. f(x) = sen x + cos x, [0,27T]35. f(x) = 2 sen x + sen 2x, [0,27T]36. f(x) = x + 2 cos x, [0,27T]

En losejercicios 37 a 52, encontrar todos los extremos relativos.Uti-lizar el criterio de la segunda derivada donde sea conveniente.

37. f(x) = (x - 5)2

39. f(x) = 6x - x2

41. f(x) = x3 - 3x2 + 3

43. f(x) = x4 - 4x3 + 2

45. g(x) = x2(6 - x)347. f(x) = X2!3 - 3

449. f(x) = x + -x

38. f(x) = - (x - 5)2

40. f(x) = x2 + 3x - 8

42. f(x) = x3 - 5x2 + 7x44. f(x) = - x4 + 4x3 + 8x2

46. g(x) = -hx + 2)2(x - 4)248. f(x) = -U+150. f(x) = _x_

x - 1

51. f(x) = cos x - x, [0,47T]52. f(x) = 2 sen x + cos 2x, [0,27T]

Enlosejercicios 5 a 18, determinar los intervalos abiertos en los tm En los ejercicios 53 a 56, recurrir a un sistema algebraico porcualesla gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. computadora para analizar la función sobre el intervalo que

se indica. a) Encontrar la primera y la segunda derivadas de lafunción. b) Determinar cualesquiera extremos relativos y puntosde inflexión. e) Representar gráficamente I,f' y f" en el mismoconjunto de ejes de coordenadas y establecer la relación entre elcomportamiento defy los signos def' y f".

5. Y = x2 - X - 2

7. g(x) = 3x2 - x3

9. f(x) = - x3 + 6x2 - 9x - 1

lO. f(x) = .x5 + 5x4 - 40x2

2411.f(x) = -2--2

x + 1

x2 + 113. f(x) = -2-X - 1

x2 + 415. g(x) = 4 _ x2

17. Y = 2x - tan x, (-~,~)

6. Y = - x3 + 3x2 - 2

8. h(x) = x5 - 5x + 2

x212. f(x) = -2-

X + 1

- 3x5 + 40x3 + 135x14. y = 270

x2 - 116. h(x) = 2x - 1

218. Y = x + -, (- 7T, 7T)sen x

Enlosejercicios 19 a 36, encontrar los puntos de inflexión y ana-lizarla concavidad de la gráfica de la función.

19. f(x) = ~x4 + 2X3

20. f(x) = - x4 + 24x2

21. f(x) = x3 - 6x2 + 12x

22. f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 5

23. f(x) = iX4 - 2X225. f(x) = x(x - 4)3

27. f(x) = xFx+"34

29. f(x) = -2-1x +

31. f(x) = sen~, [0,47T]

24. f(x) = 2X4 - 8x + 326. f(x) = (x - 2)3(x - 1)28.f(x) =x~

x + 130. f(x) = Jx

3x32. f(x) = 2 ese 2' (0,27T)

53. f(x) = 0.2x2(x - 3)3, [- 1, 4]54. f(x) = x2.J6 - X2, [- --.16, --.16]55. f(x) = sen x - ~ sen 3x + k sen 5x,56. f(x) = ffx senx, [0,27T]

[O, 7T]

Desarrollo de conceptos

57. Considerar a una función f tal que f' es creciente. Dibujargráficas de f para a) f' < O Yb) f' > O.

58. Considerar a una función f tal que f' es decreciente. Dibujargráficas de f para a) f' < O Yb) f' > O.

59. Dibujar la gráfica de una función f tal que no tenga un puntode inflexión en (e, f(e» aun cuando f"(e) = O.

60. S representa las ventas semanales de un producto. ¿Qué puededecirse de S' y S" en relación con cada uno de los siguientesenunciados?a) El ritmo de cambio de las ventas está creciendo.b) Las ventas están creciendo a un ritmo más lento.e) El ritmo de cambio de las ventas es constante.d) Las ventas están estables.e) Las ventas están declinando, pero a una velocidad

menor.f) Las ventas se han desplomado y han empezado a

crecer.

.196 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada

En los ejercicios 61 a 64, se muestra la gráfica dej. Representar grá-ficamente j, f' y f' en el mismo conjunto de ejes de coordenadas.

61. y

63. y

4

62. y

-+--~-4--4--4--x

64. y

4

f3

234

Para pensar En los ejercicios 65 a 68, dibujar la gráfica de unafunción j que tenga las características indicadas.

65. f(2) = f(4) = Of'(x)<Osix<31'(3) no existe.

f'(x) > O si x > 3

f"(x) < O, x 3

67. f(2) = f(4) = O

f'(x) > O si x < 3

1'(3) no existe.

f'(x) < O si x > 3

f"(x) > O,x 3

69.

66. feO) = f(2) = Ol' (x) > O si x < l1'(1) = Of'(x) < O si x > 1f"(x) < O

68. feO) = f(2) = O

f'(x) < O si x < l1'(1) = O

f'(x) > O si x >

r(x) > O

Para pensar La figura muestra la gráfica de f". Dibujar unagráfica de f. (La respuesta no es única.)

y

-1 J 2 3 4 5

Figura para 69

td

1Figura para 70

Para discusión

70. Para pensar Se vierte agua en el florero que se muestraen la figura a una velocidad constante.

a) Representar gráficamente la profundidad d del aguaen el florero como una función del tiempo.

b) ¿La función tiene algún extremo? Explicar.e) Interpretar los puntos de inflexión de la gráfica de d.

71. Conjetura Considerar la función f(x) = (x - 2)".

a) Emplear una herramienta de graficación para representarf con respecto a n = 1, 2, 3 Y 4. Utilizar las gráficas pararealizar una conjetura acerca de la relación entre n y cua-lesquiera de los puntos de inflexión de la gráfica de f.

b) Verificar la conjetura del apartado a).72. a) Representar gráficamente f(x) = ~ e identificar el punto

de inflexión.b) ¿Existe f"(x) en el punto de inflexión? Explicar.

En los ejercicios 73 y 74, determinar a, b, e y d tales que la funcióncúbica j(x) = ax' + bx' + ex + d satisfaga las condiciones quese indican.73. Máximo relativo: (3,3) 74. Máximo relativo: (2,4)

Mínimo relativo: (5, 1) Mínimo relativo: (4,2Punto de inflexión: (4,2) Punto de inflexión: (3, )

75. Trayectoria de planeo de un avión Un pequeño avión empiezasu descenso desde una altura de 1 milla, 4 millas al oeste delapista de aterrizaje (ver la figura).

-4 -3 -1-2

a) Encontrar la función cúbica f(x) = ax3 + bx2 + ex + denel intervalo [-4, O)que describe una trayectoria de planeouniforme para el aterrizaje.

b) La función del apartado a) modela la trayectoria de planeodel avión. ¿Cuándo descendería el avión a la velocidad másrápida?

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para mayor información acercadeeste tipo de modelación, ver el artículo "How Not to Land at l.ake'Iahoe!'de Richard Barshinger en The American Mathematieal Monthly.76. Diseño de autopistas Una sección de autopista que conecta

dos laderas con inclinación de 6 y 4% se va a construir entredos puntos que están separados por una distancia horizontal de2000 pies (ver la figura). En el punto en que se juntan las dosladeras, hay una diferencia de altura de 50 pies.

y

No está dibujado a escala

a) Diseñar una sección de la autopista que conecte las ladeoras modeladas por la función f(x) = ax' + bx' + ex + d(-1000 :s; x :s; 1000). En los puntos A y B, la pendientedel modelo debe igualar la inclinación de la ladera.

b) Utilizar una herramienta de graficación para representar elmodelo.

e) Emplear una herramienta de graficación para representarla derivada del modelo.

d) Determinar la parte más inclinada de la sección de transi-ción de la autopista.

77. Deflexión de viga La deflexión D de una viga de longitud LesD = 2x" - SU + 3Ux2, donde x es la distancia a un extremode la viga. Determinar el valor de x que produce la máximadeflexión.

78. Gravedad específica Un modelo para el peso específico delagua S es

donde T es la temperatura del agua en grados Celsius.

CD a) Utilizar un sistema algebraico por computadora para de-I terminar las coordenadas del valor máximo de la función.

b) Dibujar una gráfica de la función sobre el dominio especi-ficado. (Utilizar un ajuste en el cual 0.996::;; S::;; 1.001.)

e) Estimar el peso específico del agua cuando T = 20°.

79. Costo promedio Un fabricante ha determinado que el costototal C de operación de una fábrica es C = 0.5x2 + 15x + 5000,donde x es el número de unidades producidas. ¿En qué nivel deproducción se minimizará el costo promedio por unidad? (Elcosto promedio por unidad es C/x.)

80. Costo de inventario El costo total C para pedir y almacenarx unidades es C = 2x + (300000/x). ¿Qué tamaño de pedidoproducirá un costo mínimo?

81. Crecimiento de ventas Las ventas anuales S de un nuevo

, 5000(2producto estan dadas por S = -8--2' O s ( ::;;3, donde t es

1 . - + ( .e tiempo en anos.

a) Completar la tabla. Después utilizarla para estimar cuándolas ventas anuales se incrementan a ritmo más alto.

t 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S

b) Utilizar una herramienta de graficación para represen-tar la función S. Después emplear la gráfica para estimarcuándo las ventas anuales están creciendo más rápida-mente.

e) Encontrar el tiempo exacto en el que las ventas anualescrecen al ritrno más alto.

82. Modelado matemático La tabla muestra la velocidad mediaS (palabras por minuto) a la que teclea un estudiante de meca-nografía después de ( semanas de asistir a clase.

t 5 10 l5 20 25 30

S 38 56 79 90 93 94

lOO(2Un modelo para los datos es S = 65 + (2' I > O.

a) Utilizar una herramienta de graficación para representarlos datos y el modelo.

b) Utilizar la segunda derivada para determinar la concavidadde S. Comparar el resultado con la gráfica del apartado a).

c) ¿Cuál es el signo de la primera derivada para t » O? Com-binando esta información con la concavidad del modelo,¿qué se puede inferir sobre la velocidad cuando (crece?

SECCIÓN 3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 197

Aproximaciones lineal y cuadrática En los ejercicios 83 a 86,utilizar una herramienta de graficación para representar lafunción. Representar después las aproximaciones lineal ycuadrática

P,(x) = f(a) + f'(a)(x - al

y

P2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + !f"(a)(x - a)2

en la misma ventana de observación. Comparar los valores det,P, y P2 Y sus primeras derivadas en x = a. ¿Cómo cambia laaproximación cuando se aleja de x = a?

Función Valor de a

83. f(x) = 2(sen x + cos x) 7Ta=-

484. ¡(xl = 2(sen x + cos x) a = O85. ¡(xl = ~ a=O

86. ¡(x) = ,fX a = 2x-l

87. Utilizar una herramienta de graficación para representar y = xsen( l/x). Demostrar que la gráfica es cóncava hacia abajo haciala derecha de x = 1/ 7T.

88. Mostrar que el punto de inflexión de f(x) = x(x - 6)2 se en-cuentra a medio camino entre los extremos relativos de f.

89. Comprobar que toda función cúbica con tres distintos ceros realestiene un punto de inflexión cuya coordenada x es el promediode los tres ceros.

90. Mostrar que el polinornio cúbico p(x) = ax' + bx' + ex + dtiene exactamente un punto de inflexión (xo' Yo)' donde

-b 2b3 beXo = J; y Yo = 27a2 - 3a + d.

Utilizar esta fórmula para determinar el punto de inflexión dep(x) = x3 - 3x2 + 2.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 91 a 94, determinar si elenunciado es verdadero o falso. Si es falso, explicar la razón oproporcionar un contraejemplo.

91. La gráfica de todo polinornio cúbico tiene precisamente un puntode inflexión.

92. La gráfica de f(x) = l/x es cóncava hacia abajo para x < O Ycóncava hacia arriba para x > O, Y por ello tiene un punto deinflexión en x = O.

93. Si f(c) > O, entonces f es cóncava hacia arriba en x = c.

94. Si f"(2) = O, entonces la gráfica de f debe tener un punto deinflexión en x = 2.

En los ejercicios 95 y 96, considerar quefy g representan funcionesderivables tales quef' *' OYg" *' O.

95. Demostrar que si f y g son cóncavas hacia arriba en el intervalo(a, b), entonces f + g es también cóncava hacia arriba en (a, b).

96. Demostrar que si f y g son positivas, crecientes y cóncavas haciaarriba en el intervalo (a, b), entonces fg es también cóncavahacia arriba en (a, b).