3-2. SAK - Analiza Seizmickog Dejstva - LA

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE

DEPARTMAN ZA GRAEVINARSTVO I GEODEZIJU

FAKULTET TEHNIKIH NAUKA

UNIVERZITET U NOVOM SADU

SEIZMIKA ANALIZA KONSTRUKCIJA

VEBE

DODATAK

SADRAJ

1. Matematiko modeliranje .............................................................................................................................. 3

2. Kondenzacija stepena slobode ....................................................................................................................... 4

2.1. Teorija II reda priblino reenje geometrijska matrica krutosti Metoda konanih elemenata ...... 5

2.2. Primer 1. .................................................................................................................................................. 7

2.3. Primer 2. ................................................................................................................................................ 10

3. Okvir sa krutim tavanicama .......................................................................................................................... 15

3.1. Primer 1. ................................................................................................................................................ 17

4. Dinamika analiza linearno elastinih sistema ............................................................................................. 18

4.1. Jednaine kretanja ................................................................................................................................. 18

4.2. Modalna analiza .................................................................................................................................... 18

4.3. Modalna ekspanzija vektora pobude .................................................................................................... 19

4.4. Seizmika analiza ................................................................................................................................... 21

4.5. Primer 1. ................................................................................................................................................ 25

4.6. Primer 2. ................................................................................................................................................ 27

4.7. Primer 3. ................................................................................................................................................ 31

5. Numerika integracija korak po korak MDOF (direktna integracija) ......................................................... 37

5.1. Newmark-ovo postupak sa konstantnim (prosenim) ubrzanjem ........................................................ 37

5.2. Program za numeriku integraciju MDOF akcelerogram (Matlab skript datoteka): .................... 37

5.1. Primer 1. ................................................................................................................................................ 40

6. Poloaj centra mase i krutosti i raspodela seizmikih sila u osnovi zgrade .................................................. 43

7. Literatura ...................................................................................................................................................... 44

Katedra za konstrukcije Departman za graevinarstvo i geodeziju FTN Novi Sad

Strana 3 od 44

1. Matematiko modeliranje

Izbor matematikog modela je najznaajnija faza kod reavanja dinamikih problema. Matematiki model mora da obuhvati bitne karakteristike konstrukcije, tako da se dovoljno tano simulira stvarno ponaanje. Tanost rezultata analize bitno zavisi od tanosti najmanje tane faze.

Razlozi zbog kojih moemo koristi jednostavnije modele kod dinamike analize konstrukcija nego kod statike analize su:

1) najei sluaj je mala tanost pri odreivanju zemljotresnog optereenja,

2) najee na odgovor konstrukcije bitno utie samo nekoliko osnovnih tonova vibracija na koje bitan uticaj ima manji broj stepeni slobode,

3) inercijalne karakteristike se mogu opisati jednostavnijim modelom od onog koji koristimo za opisivanje krutosti,

4) odreivanje unutranjih sila i napona zahteva taniji model nego odreivanje pomeranja (unutranje sile su funkcije izvoda pomeranja).

Na osnovu prethodnog se moe zakljuiti da je optimalno je koristiti dva modela. Matrica krutosti se odreuje na tanijem modelu, nakon ega se prelazi na jednostavniji model za dinamiku analizu kojom se odreuju pomeranja. Zatim, na osnovu tako odreenih pomeranja se odreuju unutranje sile i naponi na tanijem modelu.


Strana 4 od 44

2. Kondenzacija stepena slobode

Modeliranje objekata visokogradnje za statiku i dinamiku analizu je prikazano na Slici 2-1 u odnosu na broj stepeni slobode pomeranja.

a) (36 SS) b) (16 SS, = 0) c) (4 SS, = 0)

Slika 2-1. Stepeni slobode.

Prelazak sa komplikovanijeg modela za statiku analizu na jednostavniji model za dinamiku analizu moemo izvriti postupkom kondenzacije. Na taj nain eliminiemo nebitne stepene slobode, a to su oni koji su vezani za male inercijalne sile (mala masa i/ili malo ubrzanje) i gde nema spoljanjeg optereenja. U optem sluaju koristimo model prikazan na Slici 2-1 a) sa 36 stepeni slobode (24 translacije i 12 rotacija). Za okvir prikazan na Slici 2-1 b) zanemarenjem aksijalnih deformacija ne inimo veliku greku. Na taj nain dobijamo model sa 16 stepeni slobode (4 translacije i 12 rotacija). Prethodna dva modela se koriste pri statikim analizama. Dinamiki model je prikazan na Slici 2-1 c) sa 4 stepena slobode (4 horizontalna pomeranja u nivou greda tj. bitan uticaj na ponaanje imaju inercijalne sile u horizontalnom pravcu). Prelazak sa modela prikazanog na Slici 2-1 b) na model prikazan na Slici 2-1 c) se ne sme uiniti jednostavnim brisanjem rotacija jer one bitno utiu na horizontalna pomeranja. Rotacije se eliminiu tako da njihovu uticaj ostane indirektano ukljuen, a postupak se naziva kondenzacija stepena slobode. Pri analizi se zanemaruje priguenje.

Jednaina kretanja ima sledei oblik:

FKUUM (2.1)

Jednainu 2.1 napiemo tako da uzmemo u obzir podelu na bitne i nebitne stepene slobode uz pretpostavku da inercijalne sile uz nebitne stepene slobode nemaju nikakav uticaj na odgovor sistema. Index b predstavlja bitne, a index n nebitne stepene slobode.

bb

n

bbbn

nbnn

b

n

bb FU

U

KK

KK

U

U

M

0

0

00

(2.2)


Strana 5 od 44

Prva jednaina iz matrine jednaine 2.2 glasi:

0 bnbnnn UKUK (2.3)

Iz prethodne jednaine dobijamo vezu izmeu nebitnih i bitnih pomeranja:

bnbnnn UKKU1 (2.4)

Druga jednaina iz matrine jednaine 2.2 glasi:

bbbbnbnbbb FUKUKUM (2.5)

Uvrstimo u prethodnu jednainu izraz 2.4:

bbnbnnbnbbbbb FUKKKKUM 1 (2.6) Kondezovana matrica masa:

bbc MM (2.7)

Kondezovana matrica krutosti:

nbnnbnbbc KKKKK1 (2.8)

Kondezovani vektor spoljanjeg optereenja:

bc FF (2.9)

Veza izmeu bitnih i nebitnih pomeranja je statika pa se ovaj postupak zove i statika kondenzacija.

Za odreivanje matrice krutosti statikog modela kod ortogonalnih okvira koji su potpuno ukljeteni u tlo pri zanemarenju aksijalnih deformacija ( = 0) i uticaja smiuih napona na deformaciju ( = 0) koriste se izrazi za sile na krajevima tapa tipa k usled jedininih pomeranja i obrtanja koji su prikazani na Slici 2-2.

Slika 2-2. Reakcija tapa tipa k usled jedininih pomeranja i obrtanja krajeva.

2.1. Teorija II reda priblino reenje geometrijska matrica krutosti

Metoda konanih elemenata

Sistem diferencijalnih jednaina kretanja kod modela sa vie stepeni slobode u matrinom obliku:

FUKKUM go )( (2.10)


Strana 6 od 44

Matrica krutosti go KKK se formira kao zbir matrice krutosti po teoriji prvog reda oK i

geometrijske matrice krutosti gK . Jednaina 2.10 se reava kao jednaina 2.1.

Za ortogonalne okvire pri zanemarenju aksijalnih deformacija ( = 0) i uticaja smiuih napona na deformaciju ( = 0):

Slika 2-3. Savijanje u ravni tapa tipa k.

Matrica krutosti po teoriji prvog reda tapa tipa k:

22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIKo (2.11)

Geometrijska matrica krutosti tapa tipa k (zatezanje +S, pritisak S):

22

22

433

336336

343

336336

30

LLLL

LL

LLLL

LL

L

SKg (2.12)


Strana 7 od 44

2.2. Primer 1.

Teorija prvog reda


Strana 8 od 44

SAP2000 ( = = 0): T1 = 0,53441 s

Slika 2-4. Oblik vibracija.


Strana 9 od 44

Teorija drugog reda (stub i greda su modelirani sa jednim konanim elementom)

SAP2000 ( = = 0): T1 = 0,54183 s


Strana 10 od 44

2.3. Primer 2.


Strana 11 od 44


Strana 12 od 44


Strana 13 od 44


Strana 14 od 44

1 2

Slika 2-5. Oblici vibracija.


Strana 15 od 44

3. Okvir sa krutim tavanicama

Na Slici 5-1 je prikazan ortogonolani viespratni okvir sa krutim tavanicama. Pri analizi su zanemarene aksijalne deformacije ( = 0) i uticaj smiuih napona na deformaciju ( = 0). Pri analizi se zanemaruje priguenje.

Slika 3-1. Viespratni okvir sa krutim tavanicama.

Dalamberov princip ( nuuu 21 ):

0)()()()()()(0ainercijaln111

tFtftutuKtutuKH iiiiiiii

)()()( 111 tFtuKtuKKum iiiiiiii

Matrica krutosti:

nn

nnnn

i

iiii

kk

kkkk

k

kkkk

k

kkkk

kkk

K

)(

*

*

)(

*

)(

)(

11

1

11

3

3322

221

)(tui)(tFi)(ainercijaln tf i )()(11 tutuK iii

)(tui

)()( 1 tutuK iii


Strana 16 od 44

Matrica masa: Vektor pomeranja: Vektor spoljanjih sila:

n

i

m

m

m

m

M

*

*

2

1

n

i

u

u

u

u

tU

*

*)(

2

1

n

i

F

F

F

F

tF

*

*)(

2

1

Matrina jednaina dinamike ravnotee:

)()()( tFtKUtUM


Strana 17 od 44

3.1. Primer 1.

1 2

Slika 3-2. Oblici vibracija


Strana 18 od 44

4. Dinamika analiza linearno elastinih sistema

4.1. Jednaine kretanja

Jednaine kretanja (vibracija) se mogu prikazati u obliku sistema nehomogenih linearnih diferencijalnih jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena):

)()()()( tPtkutuctum rra (4.1)

gde su:

m matrica masa,

c matrica priguenja,

k matrica krutost i

)(tP vektor poremeajnih sila.

Kod zemljotresa se optereenje javlja u obliku prinudnog pomeranja osnove (izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena), pa jednaine kretanja 4.1 postaju:

)()()()( tumtkutuctum trrr (4.2)

ili

)()()()()( tkutuctkutuctum ttaaa (4.3)

Jednaina 4.2 se u praksi najee koristi jer se zemljotresno optereenje najee uvodi u analizu

preko akcelerograma )(tut . Vektor apsolutnih pomeranje se moe prikazati jednainom:

tra suuu (4.4)

gde su:

au vektor apsolutnih pomeranja,

ru vektor relativnih pomeranja i

tsu vektor pomeranja tla.

Matrica uticajnih koeficijenata s predstavlja pomeranja krute konstrukcije, potpuno ukljetene u tlo, kod jedininih pomeranja tla u pojedinim pravcima. Kod konstrukcija u ravni koje su pobuivane samo u jednom pravcu i gde su uzeti u obzir samo stepeni slobode u pravcu pobuivanja vai da matrica s postaje jedinini vektor s = 1.

4.2. Modalna analiza

Modalne jednaine (izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena):

)(tPqKqCqM nnnnnnn (4.5)

gde su:

nTnn mM generalisana masa,


Strana 19 od 44

nTnn cC generalisano priguenje,

nTnn kK generalisana krutost i

)()( tptP Tnn generalisana sila.

Ako prethodnu jednainu podelimo sa Mn dobija se:

n

nnnnnnn

M

tPqqq

)(2 2 (4.6)

Odgovor odreujemo kao:

N

nnnn

N

nnn

N

nnn

tqmtqktkutf

tqtu

1

2

1

1

)()()()(

)()(

(4.7)

Kod zemljotresa se optereenje javlja u obliku prinudnog pomeranja osnove (izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena), pa jednaine kretanja 4.6 postaju:

n

tTn

nnnnnnM

umsqqq

22 (4.8)

4.3. Modalna ekspanzija vektora pobude

Poremeajne sile se mogu prikazati na sledei nain (sve poremeajne sile imaju istu promenu tokom vremena):

)()( tpstp (4.9)

gde su: )(tp vektor poremeajnih sila, s prostorna raspodela sila i )(tp vremenska promena optereenja.

Ekspanzija vektora s :

N

rrr

N

rr mss

11

][ (4.10)

Obe strane prethodne jednaine su pomnoene sa Tn i uzimajui u obzir svojstvo ortogonalnosti

dobija se:

n

T

nn

M

s

(4.11)

gde je n modalni faktor participacije koji zavisi od normalizacije tonova pa ne predstavlja

dobru meru za procenu doprinosa pojedinog tona u odgovoru.

Doprinos n-tog tona prostornoj raspodeli sila s :

nnn ms ][ (4.12)


Strana 20 od 44

Inercijalne sile n-tog tona:

)(][)(][)( tqmtumf nnnnI (4.13)

gde je njihova prostorna raspodela definisana vektorom nm koji je isti kao vektor ns .

Ekspanzija vektora prikazana jednainom 4.10 ima osobinu da vektor sila )(tpsn pravi odgovor

samo u n-tom tonu. Ova osobina moe da se prikae na vektoru generalisanih sila za r-ti ton:

)()()()()( tpmtpstptP nTrnn

T

r

T

rr (4.14)

Iz prethodne jednaine se dobija (uzimajui u obzir uslov ortogonalnosti):

nrzatpMtP

nrzatP

nnn

r

)()(

0)( (4.15)

Takoe, vana osobina ekspanzije vektora pobude je da odgovor u n-tom tonu zavisi samo od

vektora sila )(tpsn . Veza izmeu generalisanih sila u n-tom tonu sa ukupnim vektorom

poremeajnih sila:

)()()( tpstptP nT

n

T

nn (4.16)

Kombinujui jednaine 4.10 i 4.16 dobija se:

N

rr

Tnrn tpmtP

1

)()()( (4.17)

Uzimajui u obzir uslov ortogonalnosti dobija se:

)()( tpMtP nnn (4.18)

Jednaina 4.6 se moe napisati (modalna analiza):

)()(

2 2 tpM

tpMqqq n

n

nnnnnnnn (4.19)

Ako prethodnu jednainu napiemo u duhu sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja dobija se:

)()(

)(2 2

tDtq

tpDDD

nnn

nnnnnn

(4.20)

Prethodna jednaina predstavlja jednainu za sistem sa jednim stepenom slobode za svaki ton n koji ima jedininu masu. Doprinos n-tog tona na ukupni odgovor:

)]([)(

)()(2 tDstf

tDtu

nnnn

nnnn

(4.21)

gde su:

ns modalni statiki deo odgovora i

)]([ 2 tDnn dinamiki (vremenski) deo odgovora.


Strana 21 od 44

Ukupni odgovor odreujemo kao:

N

nn

N

nn

tftf

tutu

1

1

)()(

)()(

(4.22)

Uticaj n-tog tona )(trn na odgovor sistema )(tr se odreuje statikom analizom usled sila )(tfn .

Ako stnr oznaava modalni statiki odgovor usled sila ns moe se napisati:

)]([)( 2 tDrtr nnstnn (4.23)

Ukupni odgovor:

N

nnn

stn

N

nn tDrtrtr

1

2

1

)]([)()( (4.24)

Uticaj n-tog tona na odgovor sistema r se moe napisati kao:

)]([)( 2 tDrrtr nnnst

n (4.25)

gde je str statiki deo usled sila s odgovora r .

Faktor doprinosa n-tog tona:

st

stn

n

r

rr (4.26)

Karakteristike faktora doprinosa n-tog tona nr su:

1) bezdimenzionalan,

2) ne zavisi od normalizacije tonova i

3) 11

N

n

nr .

4.4. Seizmika analiza

Jednaine kretanja usled prinudnog pomeranja osnove (izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena):

)()(1][)(][)(][)(][ tptumtuktuctum effgrrr (4.27)

pri ekspanziji vektora pobude na sledei nain:

nnng

g

g

ms

tutp

ms

tustpstp

tumtp

][

)()(

1][

))(()()(

)(1][)(

(4.28)


Strana 22 od 44

Modalne jednaine:

)(2 2 tuqqq gnnnnnnn (4.29)

Ako prethodnu jednainu napiemo u duhu sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja tj.

kada se prethodna jednaina podeli sa n dobija se:

)()(

)(2 2

tDtq

tuDDD

nnn

gnnnnnn

(4.30)

Modalni odgovor, tj. doprinos n-tog tona na ukupno pomeranje:

)()()()(2

tA

tDtqtu nnn

nnnnnnn

(4.31)

Raspodela sila n-tog tona:

)]([)(

)()]([)(2

2

tDtA

tAstDstf

nnn

nnnnnn

(4.32)

gde je )(tAn pseudoubrzanje odreeno kao odgovor sistema sa jednim stepenom slobode (koji

odgovara n-tom tonu) usled )(tug primenom numerikih metoda.

Odgovor se odreuje kao:

N

nn

nstnn

N

nn

nnn

trtr

tArtr

tftf

tAstf

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

(4.33)

Pri modalnoj analizi sa spektrima odgovora maksimalna vednost odgovora u n-tom tonu se dobija:

astnno Srr (4.34)

Ukupni odgovor se dobija kombinovanjem odgovora za pojedine tonove primenom pravila: SRSS ili CQC i sl.


Strana 23 od 44

Konceptualno objanjenje modalne analize (Slika je iz [1]):


Strana 24 od 44

Modalni statiki odgovori (Slika je iz [1]):


Strana 25 od 44

4.5. Primer 1.


Strana 26 od 44


Strana 27 od 44

4.6. Primer 2.


Strana 28 od 44


Strana 29 od 44

umax = 6,239 cm (SAP2000 (==0): 6,234 cm numerika integracija MDOF modela)


Strana 30 od 44

umax = 9,317 cm (SAP2000 (==0): 9,313 cm numerika integracija MDOF modela)


Strana 31 od 44

4.7. Primer 3.


Strana 32 od 44


Strana 33 od 44


Strana 34 od 44

Prva modalna jednaina (SAP2000):

Druga modalna jednaina (SAP2000):


Strana 35 od 44

Analiza MDOF modela (SAP2000 (==0)):

Relativno horizontalno pomeranje prve etae:

Relativno horizontalno pomeranje druge etae:


Strana 36 od 44

Dijagram M


Strana 37 od 44

5. Numerika integracija korak po korak MDOF (direktna

integracija)

5.1. Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosenim) ubrzanjem

U ovom poglavlju je prikazan postupak prorauna (izvoenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena).

Postupak prorauna (indeksi: p poetak intervala i k kraj intervala):

1. Samo jednom na poetku prorauna:

1.1. Formiranje matrice krutosti K, matrice masa M, matrice priguenja C, i vektora

optereenja F(t) (kod zemljotresnog optereenja: sMuPtF geff ][)( ) dinamikog modela.

1.2. Usvajanje koraka integracije t i vektora poetnih kinematikih veliina ( 0U , 0U i 00010 ][][][ UKUCFMU ).

1.3. Odreivanje zamenjujue matrice krutosti: ][2

][4

][][2

Ct

Mt

KK

.

2. Za svaki korak numerike integracije:

2.1. Odreivanje vektora zamenjujueg optereenja:

ppppk UCUUt

MFFF ][224

][

2.2. Reavanje sistema algebarskih jednaina: FUK ][ (dekompozicija zamenjujue matrice krutosti jednom na poetku prorauna).

2.3. Odreivanje veliina na kraju intervala:

UUU pk

pk UUt

U

2

kkkk UKUCFMU ][][][ 1

5.2. Program za numeriku integraciju MDOF akcelerogram (Matlab

skript datoteka):

%Numericka integracija - MDOF sistem - akcelerogram %Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosecnim) ubrzanjem %Literatura: Dinamika diskretnih sistema - Odabrana poglavlja %Autor: Stanko Brcic %Literatura: Dinamika gradbenih konstrukcij %Autor: Peter Fajfar %Ciscenje radnog prostora clear; clc; %Ucitavanje akcelerograma


Strana 38 od 44

dt=0.02; fid = fopen('Akcelerogram.txt', 'r'); [ubzanjeTla, brojPodataka] = fscanf(fid, '%f'); fclose(fid); %Matrica krutosti K=[2*9114.58333333 -9114.58333333; -9114.58333333 9114.58333333]; %Matrica masa M=[50 0; 0 30]; MInv=inv(M); %Matrica prigusenja T1=0.6383; ceta1=0.05; T2=0.2628; ceta2=0.05; a0=4*pi*(T1*ceta1-T2*ceta2)/(T1^2-T2^2); a1=(1/pi)*T1*T2*(T1*ceta1-T2*ceta2)/(T1^2-T2^2); C=a0*M+a1*K; %Broj stepeni slobode brojStepeniSlobode=size(K,1); %Vektor uticajnih koeficijenata for k = 1:1:brojStepeniSlobode s(k,1)=1; end %Vektor efektivnih sila for k = 1:1:brojPodataka Peff(:,k)=-ubzanjeTla(k)*M*s; end %Pocetni uslovi for k = 1:1:brojStepeniSlobode %Pocetno pomeranje Ur(k,1)=0; %Pocetna brzina Vr(k,1)=0; end %Pocetno ubrzanje Ar(:,1)=MInv*(Peff(:,1)-C*Vr(:,1)-K*Ur(:,1)); %Zamenjujuca matrica krutosti Kzam=K+(4/dt^2)*M+(2/dt)*C; KzamInv=inv(Kzam); %Proracun u vremenskim intervalima vektorVrstaVremenskihTrenutaka(1)=0; for k = 1:1:(brojPodataka-1) %Dinamika diskretnih sistema - Odabrana poglavlja - Stanko Brcic %vektorZamenjujucegOpterecenja(:,k+1)=Peff(:,k+1)+ ... %M*((4/dt^2)*Ur(:,k)+(4/dt)*Vr(:,k)+Ar(:,k))+ ... %C*((2/dt)*Ur(:,k)+Vr(:,k)); %Ur(:,k+1)=KzamInv*vektorZamenjujucegOpterecenja(:,k+1); %Vr(:,k+1)=(2/dt)*Ur(:,k+1)-(2/dt)*Ur(:,k)-Vr(:,k); %Ar(:,k+1)=(4/dt^2)*Ur(:,k+1)-(4/dt^2)*Ur(:,k)-(4/dt)*Vr(:,k)-Ar(:,k); %Dinamika gradbenih konstrukcij - Peter Fajfar vektorZamenjujucegOpterecenja=Peff(:,k+1)-Peff(:,k) + ... M*((4/dt)*Vr(:,k)+2*Ar(:,k))+2*C*Vr(:,k); deltaUr=KzamInv*vektorZamenjujucegOpterecenja; Ur(:,k+1)=Ur(:,k)+deltaUr; Vr(:,k+1)=(2/dt)*deltaUr-Vr(:,k); Ar(:,k+1)=MInv*(Peff(:,k+1)-C*Vr(:,k+1)-K*Ur(:,k+1));


Strana 39 od 44

vektorVrstaVremenskihTrenutaka(k+1)=k*dt; end %Extremi U1max=max(Ur(1,:)); U1min=min(Ur(1,:)); U2max=max(Ur(2,:)); U2min=min(Ur(2,:)); %Grafici subplot(2,1,1); plot(vektorVrstaVremenskihTrenutaka,Ur(1,:)); grid; xlabel('t[s]'); ylabel('Ur,horizontalno[m]'); title(strcat('Prva etaza: Umax=',num2str(U1max),' Umin=',num2str(U1min))); subplot(2,1,2); plot(vektorVrstaVremenskihTrenutaka,Ur(2,:)); grid; xlabel('t[s]'); ylabel('Ur,horizontalno[m]'); title(strcat('Druga etaza: Umax=',num2str(U2max),' Umin=',num2str(U2min))); %Odredjivanje sila na krajevima "donjeg" levog stuba E=31500000; I=0.25^4/12; L=3; Kstapa=(E*I/L^3)*... [12 6*L -12 6*L;... 6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;... -12 -6*L 12 -6*L;... 6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2]; for k = 1:1:brojPodataka Rstapa(:,k)=Kstapa*[Ur(1,k); 0; 0; 0]; end disp(max(Rstapa(1,:))) disp(min(Rstapa(1,:))) disp(max(Rstapa(2,:))) disp(min(Rstapa(2,:))) disp(max(Rstapa(3,:))) disp(min(Rstapa(3,:))) disp(max(Rstapa(4,:))) disp(min(Rstapa(4,:)))


Strana 40 od 44

5.1. Primer 1.

Za dinamiki model iz 4.6. Primer 2 odrediti relativno horizontalno pomeranje u nivou etaa

direktnom integracijom (Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosenim) ubrzanjem) i

extremne vrednosti sila na krajevima levog donjeg stuba.

Reenje primenom prethodno prikazanog programa:


Strana 41 od 44

Analiza MDOF modela (direktna integracija SAP2000 (==0)):

Relativno horizontalno pomeranje prve etae:

Relativno horizontalno pomeranje druge etae:


Strana 42 od 44

Extremne vrednosti sila na krajevima levog donjeg stuba:

0

0

0

)(

4626

612612

2646

612612

)(][

1,

22

22

3

r

krajevastapa

tU

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EItUKR

426,1816

1878,044

269,4585

1211,284

426,1816

404,1878

284,1211

269,4585

extR

Analiza MDOF modela (direktna integracija SAP2000 (==0)):


Strana 43 od 44

6. Poloaj centra mase i krutosti i raspodela seizmikih sila u

osnovi zgrade

Pretpostavka analize je da su tavanice krute u svojoj ravni i da su zidovi za ukruenje rasporeeni paralelno sa x i y osom. Poloaj centra mase se odreuje u ravni tavanice kao teite krutog tela. Na Slici 5-1 je prikazana osnova zgrade.

Slika 5-1. Osnova zgrade

Poloaj centra krutosti:

n

iyi

n

iiyi

ck

K

xK

x

1

1

m

ixi

m

iixi

ck

K

yK

y

1

1

Ukupna inercijalna sila u horizontalnom pravcu (ukupna seizmika sila) deluje u centru mase. Redukcijom ukupne seizmike sile u centar krutosti javlja se moment torzije u osnovi zgrade.

Slika 5-2. Centar mase i krutosti

Raspodela ukupne seizmike sile na pojedine zidove:

sila u i-tom zidu usled translacije:

n

ixi

xixxi

K

KSS

1

m

iyi

yi

yyi

K

KSS

1

sila u i-tom zidu usled rotacije:

n

iii

iiti

rK

rKMS

1

2

eSM ukupnot


Strana 44 od 44

7. Literatura

1. Chopra A. K.: Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, New Jersey, 1995.

2. Clough R. W., Penzien J.: Dynamics of structures, Computers & Structures, Inc., Berkeley, California, 1995.

3. Petrovi B. i drugi: Zemljotresno inenjerstvo.

4. Rankovi S., ori B.: Dinamika konstrukcija.

5. Rusov L.: Mehanika III - Dinamika, 1975.

6. Sekulovi M.: Metod konanih elemenata.

7. Targ S. M.: Teorijska mehanika.

8. Vujanovi B.: Dinamika, 1976.

9. ori B., Salati R.: Dinamika graevinskih konstrukcija.

3-2. SAK - Analiza Seizmickog Dejstva - LA

Documents

Transcript of 3-2. SAK - Analiza Seizmickog Dejstva - LA