Cecilia Larraín Modelos de probabilidad continuos Página 1

ALGUNOS MODELOS CONTINUOS DE DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD

Vamos a estudiar con más detalles algunos modelos de probabilidad de

variables aleatorias continuas que serán de gran utilidad en la práctica.

Debemos seleccionar un modelo o función de probabilidad ya existente en la

literatura estadística para describir el comportamiento de una variable aleatoria

real, ya que es muy difícil elaborar un modelo en forma exacta de un problema

concreto.

Con métodos estadísticos se puede validar si el modelo utilizado es adecuado

para describir nuestros datos.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

La función de densidad uniforme se define como:

X ~ U[a , b]

1; a x b

f(x)= b - a

0 ; en o.c.

Donde a y b son constante reales con a < b.

Media y varianza de la distribución Uniforme

b

x=a

1 a + bE(X) = x dx=

b - a 2

Lo que es obvio por simetría

2b 22

x=a

1 a + b (b - a)V(X) = x dx - =

b - a 2 12

Función de distribución: F(X) = P(X < x)

P(X x)

0 ; x<a

x - aF(X) = ; a x < b

b - a

1 ; x b

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Ejemplo: Las utilidades (Mill $) de una empresa se comportan según la siguiente función: Y = 0,2X – 500. La variable aleatoria X expresa la cantidad de unidades vendidas del producto que fabrica la empresa. Esta variable se distribuye según una U[2000 , 7000] (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la utilidad sea por lo menos $100.000.000?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de tener pérdidas?

(c) Determine la utilidad esperada.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La función de densidad uniforme se define como:

X ~ Exp(α)

-αxαe ; x > 0

f(x)= 0 ; en o.c.

α > 0

Media y varianza de la distribución Exponencial

-αx

x=0

1E(X) = x αe dx=

α

2¥

2 -αx

2

x=0

1 1V(X) = x αe dx - =

α α

Función de distribución: F(X) = P(X < x)

-αxF(x) = 1- e , x > 0

Obs.: Se dice que la distribución exponencial no tiene memoria P(X < t + h / X > h) = P(X < t)

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Ejemplo: La vida en miles de horas de un instrumento electrónico se distribuye exponencialmente con media 1. a. Determine P(X < 0,7) b. El costo de fabricación estos instrumentos es de $4000 y se venden en

$9000. Calcule la utilidad esperada, si en la venta se garantiza la devolución del dinero si la duración es menor a 500 horas.

La distribución Normal

Muchas variables como el peso, estatura, edad, presión arterial, puntaje de un

test psicológico, mediciones de calidad en muchos procesos industriales, … , se

distribuyen Normal. Este modelo se caracteriza por tener un recorrido teórico que

es el eje de todos los números reales y una función de densidad que tiene un

gráfico acampanado y que se individualiza mediante dos parámetros:

µ representa a la media y σ2 que corresponde a la varianza de la variable

aleatoria

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Algunas características de la distribución N(µ,σ2) (E(X) = μ, V(X) = σ2)

- La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal: P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5

- Media, mediana y moda coinciden - Entre la media y una desviación estándar hay aproximadamente un 68,2% de

probabilidad. P( |X – μ| < σ) = 0,682 ≡ P(µ- σ < X < µ +σ) = 0,682 - Entre la media y dos desviaciones estándar hay aproximadamente un 95,4% de

probabilidad P( |X – μ| < 2σ) = 0,954 - Entre la media y tres desviaciones estándar hay aproximadamente un 99,7% de

probabilidad P( |X – μ| < 3σ) = 0,997 - Entre todos los modelos normales existentes destaca aquel que tiene media µ = 0 y

varianza σ2 = 1 conocido como distribución normal estándar (o normal típica) para la cual existen tablas (de probabilidades) muy completas.

Si la v.a. tiene distribución N(µ,σ2)

entonces la v.a. X - μ

Z = σ

tiene distribución nomal estandar.

Esta propiedad facilita el cálculo de probabilidades

Ejemplo: El CI en seres humanos está distribuido normal con media 100 y desviación estándar

10. Si una persona es elegida al azar:

a. ¿cuál es la probabilidad de que su CI sea inferior a 115?

X = CI de un sujeto

P(X < 115) = 115 10010

X - μ

σP = P(Z < 1,5) = 0,93319

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b. ¿Cuál es la probabilidad de que su CI supere 118 puntos

c. Determine la probabilidad de que su CI se encuentre entre 95 y 110 puntos.

d. Si se sabe que el sujeto seleccionado supera los 105 puntos de CI, determine la probabilidad de que su CI sea inferior a 120

Aplicaciones de modelos continuos a ingeniería

Modelo Parámetros Función de densidad

f(x) Media Varianza

Uniforme a , b

b > a

1; a x b

f(x)= b - a

0 ; en o.c.

a + b

2

2(b - a)

12

Exponencial α > 0

-αxαe , x > 0f(x)=

o , en o.c

1

α

2

1

α

Normal

μ , σ

σ > 0

μ

21

21f(x) =

2

x

e

- < x <

μ σ2

Ejercicios (varios)

Ejercicio 1 En cierta industria textil, las ventas diarias se distribuyen normal con una media de 1,5 millones de pesos y una desviación estándar de 0,3 millones de pesos. La industria decide realizar una campaña de promoción de sus productos, estimando que sus ventas aumentan en un 10%. ¿Cuál es la probabilidad que las ventas en un día cualesquiera, después de la campaña, supere los 2 millones de pesos?

Ejercicio 2 El tiempo de duración de los chips producidos por un fabricante de semiconductores es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con media 5·106 horas y desviación estándar 5·105 horas.

a. Un fabricante de computadores está dispuesto a comprar una gran cantidad de chips siempre que al menos el 95% del lote tenga un tiempo de vida superior a 4·106. ¿Qué decisión debería tomar en vista de la información disponible?

b. Determine entre que valores (duraciones) se encuentra el 50% central de la variable.

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Ejercicio 3 La resistencia a la tracción de un papel esta modelada por una distribución Normal con media 35 libras por pulgada cuadrada y desviación estándar de 2 libras por pulgada cuadrada.

a. Las especificaciones requieren que la resistencia se encuentre en un intervalo centrado en la media y de amplitud dos desviaciones estándar. ¿Qué porcentaje de las hojas de papel serán rechazadas por no cumplir las especificaciones?

b. ¿Cuál es la resistencia mínima del 60% de los papeles que tienen mayor resistencia a la tracción?

Ejercicio 4 La duración ininterrumpida de un equipo electrónico tipo A es una variable aleatoria distribuida normalmente con media 1400 horas y varianza 800 horas2, y la duración ininterrumpida de un equipo tipo B se distribuye exponencialmente con media 1500 horas. ¿Qué tipo de equipo es más conveniente elegir si se necesita realizar un proceso que dure al menos 1340 horas, sin interrupción?

Ejercicio 5 (modelo exponencial) Una empresa suministra una serie de componentes con una vida media de 3000 horas. El riesgo de rotura de los mismos crece a lo largo del tiempo según una función exponencial (α = 1/3000)

a. Determine la probabilidad de que un componente se rompa antes de llevar 1000 horas de funcionamiento. (resp.: 0,2835)

b. Si los componentes tienen una garantía de un mes, calcule la probabilidad de

que un componente se rompa estando en garantía. (resp.: 0,.2133) c. En un lote de 50 componentes, ¿cuántas se esperan que se devuelvan estando en garantía (un mes la garatía? (resp.: ≈11)

d. Suponga que la empresa desea garantizar solamente un 5% de los componentes ¿Cuántas horas de uso estaría garantizado? (Resp: hasta 153, 88 h)

Ejercicio 6 En una distribución normal el 31% de los elementos están bajo de 45 y el 8%

sobre 64. Determine , y P65.

Ejercicio 7 En cierta comuna el 12,10% de las familias tienen un consumo de energía eléctrica superior a 260 kwh y el 2,28% de las familias gastan a lo más 4089 um mensuales en electricidad. Si el consumo mensual de energía eléctrica, por familia es una v.a. con distribución normal y la compañía eléctrica cobra 16,4 um por kwh más un costo adicional fijo de 317 um , ¿qué porcentaje de las familias de la comuna gasta más de 4100 um mensuales en energía eléctrica?

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Ejercicio 8 En una industria que fabrica cierto tipo de estructuras metálicas modulares para la minería y construcción, se define la resistencia (X) a la tensión como una

variable normal con media = 960 kg. Se sabe que el 97,5% de las estructuras metálicas resisten más de 803,2 kg.

a. Se eligen al azar y en forma independiente una muestra de 10 estructuras metálicas. ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos tres estructuras soporten más de 900 kg.?

b. El 10% de las estructuras con menos resistencia se clasifican como tipo B y el 10% con más resistencia tipo A. Determine los puntos de corte para realizar la clasificación?

c. Para asumir un cargo en el área de gestión de fabricación en la industria, el Gerente de Personal entrevista a diez ingenieros, elegidos al azar, de entre veinte postulantes. Determine la probabilidad de entrevistar a más de un postulante con experiencia previa en gestión de fabricación, si solo cuatro de los postulantes cumplen con este requisito

Ejercicio 9 La duración X en minutos de las conexiones a un servidor web sigue una distribución Normal de la que se sabe:

P(X < 9) = 0,879 P(X < 2,32) = 0,015 a. Determinar la probabilidad de que una conexión dure más de 4 minutos b. Qué valor (minutos) supera el 30% de las conexiones ? c. Determinar la probabilidad de que en 10 conexiones elegidas aleatoriamente,

al menos dos duren menos 5 minutos

Ejercicio 10 Cierto tipo de transistor deberá utilizarse en cierta aplicación por lo menos durante 50 horas. Se dispone de dos marcas de transistores. La duración de un transistor marca I tiene una distribución normal con media 46 hr. y desviación estándar de 6 hr, en cambio la duración de los transistores marca II tienen un comportamiento normal con media 40 hr. y desviación estándar de 14 horas. a. ¿Qué marca de transistor recomendaría Ud.? Justifique su respuesta. b. Se seleccionan al azar y en forma independiente cinco transistores de la

marca II. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno dure más de 50 horas?

c. Si un transistor de la marca I lleva funcionando más de 50 h, ¿cuál es la probabilidad de que dures menos de 65 horas?

Ejercicio 11 La resistencia de un cable eléctrico de alta tensión se considera una variable aleatoria con distribución normal con una media de 36 (ohmios) y una varianza de 0,64 (ohmios)2. Un cable se considera defectuoso si su resistencia es inferior

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a 35 (ohmios). a. De los cables que tienen una resistencia superior a 34 (ohmios) ¿Qué

proporción de cables se consideran defectuosos?

Sol: X = resistencia de un cable eléctrico de alta tensión X ~ N(μ = 36 , σ2 = 0,64)

P(X < 35 / X > 34) = P(34 < X < 35)

P(X > 34) = Z Z

Z

F (-1,25) - F (-2,5)

1 - F (-2,5) =

0,1057 0,0062

1 0,0062

= 0,1001

b. Se eligen al azar y en forma independiente 10 cables, ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 cables resulten defectuosos?

Sol: Y = n° de cables defectuosos en la muestra Y ~ B(n = 10 , p = 0,1057) p = P(X < 35) = 0,1057 q = 0,8943

1010

( ) (0,1057) (0,8943) ; y = 0,1,2, ...,10y yp yy

P(Y > 2) = 1 – P(Y < 2)

= 1 – [P( Y = 0) + (P = 1) + P(Y = 2)]

= 1 – (0,3272 + 0,3867 + 0,2057)

= 1 – 0,9186

= 0,0814

Problema 12 La velocidad de los microprocesadores de una determinada marca fabricados en una planta es una variable aleatoria que se distribuye según una normal de media 3 GHz, además el 97,725% de los microprocesadores tienen velocidad inferior a 3,03 GHz . Para poder proceder a su venta, se consideran aceptables los microprocesadores que tienen una velocidad mayor que 2,98 GHz y menor que 3,05 GHz

a. Determine la probabilidad de que un microprocesador elegido al azar sea aceptable.

X = velocidad de un microprocesador GHz X ~ N(μ = 3 , σ2 = ?) Calculo de σ: P(X < 3,03) = 0,97725

3,03 - 3

Pσ

= 0,97725 3,03 - 3

= 2 σ = 0,015σ

P(aceptable) = P(2,98 < X < 3,05) = P(-1,33 < Z < 3,33)

= FZ(3,33) – FZ(-1,33)

= 0,99957 – 0,09176

= 0,90781

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b. Si se toma una muestra aleatoria al azar de cuatro microprocesadores, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno no sea aceptable?

Y = Número de microprocesadores no aceptable en la muestra

Y ~ B(n = 4 , p =0,09219) p = P(2,98 < X < 3,05)C = 1- 0,90781

= 0,09219 → q = 0,90781 P(pedida) = P(Y > 1) = 1 - P(Y = 0)

0 44

= 1- (0,09219) (0,90781) 0

= 1- 0,6791 = 0,32083

Ejercicio 13 En la red informática de una empresa hay 3 sistemas multiusuario, que se identificarán como S1, S2 y S3. Las peticiones de conexión que se realizan a estos equipos se reparten de forma que, el 60% se efectúan sobre S1, el 30% sobre S2 el 10% sobre S3.

Los tiempos de respuestas a estas peticiones son variables aleatorias, expresadas en segundos, tal que:

i) El tiempo (X1) de respuesta de S1, en segundos, se distribuye exponencialmente en media 5 seg.

ii) El tiempo (X2) de respuesta de S2, se segundos, tiene una distribución normal con media 6 seg y desviación estándar de 2 seg.

iii) El tiempo (X3) de respuesta de S3, en segundos, se distribuye uniforme entre 4 seg. y 8 seg.

Si el tiempo de respuesta de una petición de conexión supera los 7 segundos, se dice que la petición es fallida, y en otro caso se considera petición atendida.

a) Calcule la probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida. Resp.: 0,2655

b) En 10 peticiones de conexión al sistema S2, seleccionadas aleatoriamente y de forma independiente entre sí, determine la probabilidad de que resulten al menos una petición de las que se consideran atendidas. Resp.: 0,999

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PROPIEDAD REPRODUCTIVA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Sea X1, X2, …Xn n variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas f(x) con E(X) = μ y V(X) = σ2 Entonces X1 + X2 + … + Xn se aproxima a una distribución N(nμ , nσ2) cuando n →∞

f(x) puede ser modelo discreto o contínuo El valor de n para aproximaciones buenas depende de la distribución de partida

TALLER (modelos)

Problema 1

Ciertos tornillos son clasificado como defectuosos si su largo (X) o su radio (Y) están fuera de los límites de tolerancia especificado a continuación:

19,80 mm < largo < 20,20 mm y 4,78 mm < radio < 5,22 mm.

Basados en la historia se determinó que:

X ~ N( 2

X X(μ 20; σ = 0,02) , Y ~ N( 2

Y Y(μ 5 ; σ ) y el 97,725% de los tornillos

tienen radios inferior a 5,36 mm. Si se asume que X e Y son variables aleatoria estadísticamente independientes,

a. Calcule la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso

b. Determine la probabilidad de que en una muestra de 10 tornillos, elegidos de distintos lotes, resulten más de tres con los radios fuera del límite de tolerancia.

c. Determine e interprete el valor de x0 tal que la P( X < x0) = 0,975

Problema 2 La longitud de ciertas vigas de madera es una variable aleatoria distribuida normal con media 5 metros y desviación estándar de 0,2 metros.

a. ¿Qué longitud es excedida por el 92 % de las vigas

b. Se eligen al azar y en forma independiente una muestra de 5 vigas, ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres vigas, tengan longitud entre 4,63 y 5,15 m.

Problema 3 Un trasportista cuando llega a la fábrica tiene que descargar el material transportado. El tiempo de espera, en horas, hasta que es atendido (X) es una variable aleatoria distribuida uniforme en el intervalo (0 , 1). El tiempo que tarda en descargar el material, en horas (Y) se puede modelar en forma exponencial con parámetro 2. Los tiempos X e Y son independientes.

3.a. Sea T el tiempo total que emplea el transportista, es decir la suma de del tiempo de espera y del tiempo de descarga. Determine el tiempo total esperado y la variabilidad de ese tiempo.

3.b. ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo que demoren en descargar el material sea superior a 90 minutos?

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Problema 4

La duración en horas, de cierto tipo de componentes electrónicos, se considera una variable aleatoria distribuida exponencial con media 10 (miles de horas) 5.a. ¿Qué porcentaje de las piezas superan la duración esperada? 5.b. Suponga que el fabricante de los componentes va a garantizar el 7% de los

componentes con menor duración, ¿cuál es el tiempo máximo de duración de un componente para acceder a la garantía?

5.c. Se eligen al azar y en forma independiente una muestra de 8 componentes, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos duren más del valor esperado?