2PRACTICA CALIFICADA FINITOS

8/11/2019 2PRACTICA CALIFICADA FINITOS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

2 PRACTICA CALIFICADA

CURSO:

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

TEMA:Traccin Con Deformacin Trmica

ALUMNO:

Anampa Vargas Anthony Vicente 20091101D

SECCION:

MC 1516 - D

PROFESOR:

Ing. Ronald Cueva Pacheco

Lima, 03 de Octubre del 2012


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PROBLEMA N1

Considere la placa delgada (acero) de la figura .La placa tiene un espesor uniforme t =150mm,mdulo de Young E =3.0x105 N/mm2y peso especfico= 8.0gr-f/cm3. Ademsde su propio peso, la placa est sometida a una carga concentrada PA= 50000Nen

el punto indicado.Se produce un aumento de temperatura T=180C. El coeficiente de dilatacin para elmaterial es de =11 x.

Modele la placa con tres elementos finitos.

Escriba expresiones para las matrices de rigidez del elemento y vectores fuerza de

cuerpo del elemento.

Ensamble la matriz de rigidez estructural K y el vector de carga global.

Evale los esfuerzos en cada elemento. Determine la fuerza de reaccin en el soporte.


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SOLUCIN:

Datos:

E =3.0x105 N/mm2 t = 150mm PA= 50000N = 8.0gr-f/cm3 T=200C =11 x

1.- MODELADO DEL CUERPO REAL

Se va a considerar cinco elementos finitos. Para facilitar los clculos los dos primeros sernde longitud de 250mm y los dems de 166.67mm.

El ancho de cada elemento se calcula tomando el punto medio de cada elemento finito.


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Hallando las bases medias por proporcionalidad:

Las reas se calculan de la siguiente relacin:

Luego se obtiene el Cuadro de conectividad:

e NODOS GDL () ()(1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 250 1575002 2 3 2 3 250 1125003 3 4 3 4 166.67 750004 4 5 4 5 166.67 450005 5 6 5 6 166.67 15000

2.-GRADOS DE LIBERTAS NODALES (Vector Desplazamiento)

A travs del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:


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Luego el vector de desplazamiento ser:

[

]

Donde = 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas quetendrn que ser calculadas.

3.- VECTOR CARGA:

Debido a que la densidad es: = 8.0gr-f/cm3= 8.0x10^-3gr-f/mm3

Se hallara el peso con este valor asumiendo que este se distribuye de manera simtrica en

cada nodo.


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Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces el vector carga se expresara de la siguiente manera:

[

]

[

]


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4.- MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por lasiguiente ecuacin:

( )

( )

( )

( )

( )[

]

Reemplazando los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad tenemos:

[

]

[

]

Finalmente:

[

]


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5.- ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICION DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez es la siguiente:

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

[

]

[

]

[

]

Para poder resolver este sistema de ecuaciones tomamos la siguiente submatriz:

[

]

[

]

[

]

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:


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Para obtener la reaccin en el empotramiento tomamos la siguiente sub-matriz:

Reemplazando los valores de Q obtenemos:

6.-ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

( )

Donde:

Y obtenemos lo siguiente:


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7.- RESULTADOS

Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

Magnitud Valor Unidad DescripcinR1

N

MPa Compresin MPa Compresin MPa Compresin MPa Compresin MPa Compresin8.- DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOS

CONSTANTES : E, f, t, T,n,m

VECTORES : L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F= ;

n

n

nn

nn

mm

mm

mm

mm

TEAAL

TEATEAALAL

TEATEAALAL

PTEATEAALAL

TEATEAALAL

RTEAAL

)(2

)()(22

.. .

)()(22

)()(22

.. .

)()(22

1)(2

1

1

21

12

1

1

21

12

1

1


11/16

K=

.. .

.. ... .....

0

...

0

...0

...0

....00

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

n

n

nn

nn

mm

mm

mm

mm

TEAAL

TEATEAALAL

TEATEAALAL

PTEATEAALAL

TEATEAALAL

TEAAL

)(2

)()(22

.. .

)()(22

)()(22

.. .

)()(22

)(2

1

1

21

12

1

1

21

12

1

1

=

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

00

0

00

001

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

nQ

Q

Q

R

.. .

1

3

2

IMPRESIN DE RESULTADOS

54321654321 ,,,,,,,,,, EEEEEQQQQQR

FIN


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9. FUNCIN EN MATLAB:

clc%constantesformat long;

H1=input('Ingrese la primera altura de la placa (mm)= ');H2=input('Ingrese la segunda altura de la placa (mm)= ');B=input('ingrese la base de la placa(mm)= ');

pa=input('Ingrese la carga PA(N) y con sentido= ');t=input('Ingrese el espesor de la placa (mm)= ');d=input('Ingrese la densidad del material (gr-f/cm3)= ');E=input('Ingrese el modulo de elasticidad (N/mm2)= ');dt=input('Ingrese el cambio de temperatura = ');x=input('Ingrese el coeficiente de dilatacin = ');d1=d*9.81*(10^-6);%condicion de contorno

contorno=[1];n=input ('Ingrese el N de elementos finitos de la primera parte (n) :');m=input ('Ingrese el N de elementos finitos de la segunda parte (m) :');%calculo de numero de nodosnnodos=[1:n+m+1];%calculo del vector LL=[(H1/n).*ones(1,n),(H2/m).*ones(1,m)]%calculo del vector HHN1=[B-B/(4*n):-B/(2*n):B/2+B/(4*n)];B1=B*H2/(H1+H2)HN2=[B1-B1/(2*m):-B1/m:0+B1/(2*m)];

h=[HN1,HN2]%calculo del vector PP=zeros(1,n+m+1);P(n+1)=pa%calculo del vector hA=t.*h;%Calculo del vector fuerza msica

pesoe=d1*0.5.*A.*L;pesoglobal=[pesoe,0]+[0,pesoe]%calculo del vector fuerza por deformacin trmicadtele=(x*dt*E).*A;

fori=1:n+mifi==1

dtglobal(i)=dtele(i)else

dtglobal(i)=dtele(i-1)-dtele(i)end

end%calculo de vector fuerza totalfori=1:n+m

ifi==1F(i)=-pesoglobal(i)+P(i)-dtglobal(i)

elseF(i)=-pesoglobal(i)+P(i)+dtglobal(i)


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endendF(n+m+1)=-pesoe(n+m)+P(n+m)+dtele(n+m)%Calculo de la matriz de rigidezkele=E.*A./L;

kglobal=diag([kele,0]+[0,kele])-diag(kele,1)-diag(kele,-1)%resolucion de la ecuacion matricial [F]=[K].[Q]%introduccion de las condiciones de contornoncon=setdiff(nnodos,contorno);KM=kglobal(ncon,ncon);FM=F(ncon);QM=inv(KM)*(FM)';%calculo de los dezplazamientosQ=zeros(size(nnodos,2),1);Q(ncon)=QM%calculo de esfuerzos

esf=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dtR=kglobal*Q-F'

10.RESULTADOS DEL PROGAMA

Ingrese la primera altura de la placa (mm)= 250

Ingrese la segunda altura de la placa (mm)= 250

ingrese la base de la placa(mm)= 1200

Ingrese la carga PA(N) y con sentido= -50000

Ingrese el espesor de la placa (mm)= 150

Ingrese la densidad del material (gr-f/cm3)= 8

Ingrese el modulo de elasticidad (N/mm2)= 300000

Ingrese el cambio de temperatura = 200

Ingrese el coeficiente de dilatacin = 0.000011

Ingrese el N de elementos finitos de la primera parte (n) :2Ingrese el N de elementos finitos de la segunda parte (m) :3

L =

1.0e+02 *

Columns 1 through 4

1.250000000000000 1.250000000000000 0.833333333333333 0.833333333333333

Column 5

0.833333333333333


14/16

B1 =

600

h =

1050 750 500 300 100P =

0 0 -50000 0 0 0

pesoglobal =

1.0e+03 *

Columns 1 through 4

0.772537500000000 1.324350000000000 0.797062500000000 0.392400000000000

Columns 5 through 6

0.196200000000000 0.049050000000000

dtglobal =

103950000

dtglobal =

103950000 29700000

dtglobal =

103950000 29700000 24750000

dtglobal =

103950000 29700000 24750000 19800000

dtglobal =

103950000 29700000 24750000 19800000 19800000

F =

-1.039507725375000e+08

F =

1.0e+08 *

-1.039507725375000 0.296986756500000

F =

1.0e+08 *

-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000


15/16

F =

1.0e+08 *

-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000 0.197996076000000

F =1.0e+08 *

Columns 1 through 4

-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000 0.197996076000000

Column 5

0.197998038000000

F =

1.0e+08 *

Columns 1 through 4

-1.039507725375000 0.296986756500000 0.246992029375000 0.197996076000000

Columns 5 through 6

0.197998038000000 0.098999509500000

kglobal =

378000000 -378000000 0 0 0 0

-378000000 648000000 -270000000 0 0 0

0 -270000000 540000000 -270000000 0 0

0 0 -270000000 432000000 -162000000 0

0 0 0 -162000000 216000000 -54000000

0 0 0 0 -54000000 54000000

Q =

0

0.274860425760582

0.549669926825397

0.733000898492063

0.916332717936508

1.099665142936508


16/16

esf =

-0.334978174603179

-0.457197444444660

-0.008502000000021-0.005449999999996

-0.003269999999816

R =

1.0e+04 *

5.353159999999404

0.000000000000745

0

-0.000000000003725

-0.000000000000373

0.000000000000373

11.CONCLUSIONES

El hecho de que la densidad del material sea constante facilita mucho los clculos

ya que nos permite dividir la masa de cada elemento finito en dos partes iguales y

distribuirlas de manera simtrica en ambos nodos, si la densidad del material

seria variable sera un gran problema para los clculos.

La variacin de la temperatura no produce ningn esfuerzo debido a que la

expansin es libre; es decir; no hay nadie que se oponga a la dilatacin de la

placa, por lo que no se generara esfuerzos internos. En los resultados de MATLAB se puede observar una pequea diferencia ya que

en nuestros clculos manuales incurrimos en el error por redondeo.

A medida que se toma mayor nmero de elementos finitos ms exacto sern los

resultados encontrados.

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