2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1)...
Transcript of 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1)...
![Page 1: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/1.jpg)
2D: Elementy trójkątne
algorytmy triangulacyjne (nie tylko do MES, również do geometrii i grafiki komp)
http://www.cs.berkeley.edu/~jrs/mesh/
![Page 2: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/2.jpg)
Elementy trójkątne: współrzędne polowe
elementy czworokątne: funkcje kształtu – bezpośrednie uogólnienie 1D. współrzędne 1 i 2
- również bezpośrednie uogólnienie 1D
elementy trójkątne: - współrzędne polowedo generacji funkcji kształtu
1(x1,y1)
2(x2,y2)
3(x3,y3)
P(x,y)
powierzchnia trójkąta (1,2,3)
u=2-1, w=3-1
albo
(bez ½ - równoległobok)
stosunek powierzchni P23 / 123
1) wartość liniowa w x i w y2) L1=1, gdy P=13) L1=0 gdy P=3, P=2, lub gdy P na linii łączącej
2 i 3 (liniowa zależność wierszy macierzy)
u
w
![Page 3: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/3.jpg)
2(x2,y2)
3(x3,y3)
P(x,y)
Elementy trójkątne: współrzędne polowe (powierzchniowe area)
1(x1,y1)
L1+L2+L3=1 - para współrzędnych
L1 = jeden w (x,y)=1, zero w pozostałych punktach: warunki stawiane funkcjom kształtu Lagrange’a najniższego rzędu
0 1 2 3 4 5 6 70
0 . 5
1
1 . 5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 70
0 . 5
1
1 . 5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
2
L1,L2
![Page 4: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/4.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 70
0 . 5
1
1 . 5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
Współrzędna polowa L1 (równoległa do bo 2-3)
1
2
3
Współrzędna polowa L2
0 1 2 3 4 5 6 70
0 . 5
1
1 . 5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
2
![Page 5: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/5.jpg)
Elementy trójkątne: kwadratowe funkcje kształtu
2(x2,y2)
3(x3,y3)
1(x1,y1) 6
5 4
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
L1,L2,L3 środki boków trójkąta: dla współrzędnych polowych 0.5
sprawdzić łatwo, że
1) dodawanie wierszy nie zmienia wartości wyznacznika2) mnożenie wiersza przez skalar = mnożenie wyznacznika
![Page 6: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/6.jpg)
Elementy trójkątne: kwadratowe funkcje kształtu
2(x2,y2)
3(x3,y3)
1(x1,y1) 6
5 4
funkcje kształtu dla węzłów narożnych:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
L1,L2,L3 środki boków trójkąta: dla współrzędnych polowych 0.5
sprawdzić łatwo, że
1) dodawanie wierszy nie zmienia wartości wyznacznika2) mnożenie wiersza przez skalar = mnożenie wyznacznika
![Page 7: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/7.jpg)
Elementy trójkątne: kwadratowe funkcje kształtu
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
![Page 8: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/8.jpg)
2(x2,y2)
3(x3,y3)
1(x1,y1) 6
5 4
Elementy trójkątne: kwadratowe funkcje kształtu cd.
Węzły na środkach ścian:
4=4L2L3
5=4L1L3
6=4L1L2
0 1 2 3 4 5 6 70
0 . 5
1
1 . 5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 70
0 . 5
1
1 . 5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
2
L1,L2
L1 wyklucza krawędź 2-3
L2 wyklucza krawędź 1-3iloczyn L1,L2 =1/4 w 6
![Page 9: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/9.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
6=4L1L2
Elementy trójkątne: kwadratowe funkcje kształtu cd.
![Page 10: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/10.jpg)
Elementy trójkątne: kubiczne funkcje kształtu
2(x2,y2)
3(x3,y3)
1(x1,y1)
6
54
1/3 długości boku7
8
9
10
węzły narożne:
10 – środek ciężkości[(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
![Page 11: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/11.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
2
Elementy trójkątne: kubiczne funkcje kształtu
węzły narożne:
![Page 12: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/12.jpg)
2(x2,y2)
3(x3,y3)
6
54
1/3 długości boku7
8
9
10
Elementy trójkątne: kubiczne funkcje kształtu
węzły na bokach
4=L1L2(3L1-1) * 9/2
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
2 itd
![Page 13: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/13.jpg)
Elementy trójkątne: kubiczne funkcje kształtu
węzeł środkowy (bąbelkowa funkcja kształtu)
2(x2,y2)
3(x3,y3)
6
5
1/3 długości boku7
8
9
10
10=L1L2L3 * 27
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0 . 5
1
1 . 5
![Page 14: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/14.jpg)
trójkątny element odniesienia
1
2
v3,(-1,1)
v1,(-1,-1) v2,(1,-1)
(0,0)
funkcje do mapowania f1,f2,f3
Mapowanie:
odwracalne, o ile wierzchołkiniezależne liniowo (nie leżąna jednej linii)
Mapowanie jest ściśle liniowenie biliniowe jak dla kwadratowegoelementu odniesienia.
![Page 15: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/15.jpg)
Mapowanie: z elementu odniesienia do elementu fizycznego
1 2
3
12
31
, 2) (x,y)
mapowanie liniowe: zachowana równoległość ścianw mapowaniu biliniowym tak nie było
![Page 16: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/16.jpg)
funkcje mapujące f1, f2, f3 to funkcje kształtu najniższegorzędu L1, L2, L3 dla trójkąta odniesienia
1
2
v3,(-1,1)
v1,(-1,-1) v2,(1,-1)
(0,0)
itd.
![Page 17: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/17.jpg)
odwracalne, o ile wierzchołki niezależne liniowo (nie leżą na jednej linii)dodajmy: łatwo odwracalne
Po co odwracać? Mamy siatkę trójkątną. Chcemy wyprowadzić wartość rozwiązaniaw przestrzeni fizycznej.
Najszybciej zaprogramować:pętle po elementach m pętle po współrzędnych odniesienia potem
m
m
wypisać x/y: wada jest taka, że wydruki x/y będą nierówno rozłożone w przestrzeni fizycznej, problem dla narzędzigraficznych
Znacznie lepiej sprawę odwrócić: 1) przeglądać punkty w przestrzeni fizycznej2) identyfikować element 3) wyliczyć które odpowiadają x/y, 4) wyliczyć u
![Page 18: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/18.jpg)
1) ustalić x,y2) zidentyfikować element
skąd wiadomo w którym elemencie?
![Page 19: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/19.jpg)
skąd wiadomo w którym elemencie?
tylko we właściwym elemencie nie będzie kąta >
1) ustalić x,y2) zidentyfikować element
![Page 20: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/20.jpg)
3) w elemencie mwyliczyć
układ równań liniowych na
co pozwala wyliczyć u (
dla biliniowej transformacji (czworokątne elementy)
URNL – łatwiej już transformować bazę do p. fizycznej i tam liczyć
dla x,y
![Page 21: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/21.jpg)
Całkowanie po trójkątnym elemencie odniesienia,pomysł nr jeden: złożenie 1D kwadratur Gaussa
1
2
v3,(-1,1)
v1,(-1,-1) v2,(1,-1)
(0,0)
można dwukrotnie zastosować jednowymiarowe całkowanie Gaussa:
![Page 22: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/22.jpg)
przekształcić na całkę od –1 do 1 (w tym przedzialeokreślone punkty Gaussa oraz wagi)
nowa zmienna całkowania
stara współrzędna w nowych
punkty Gaussa
modyfikacja wagi
złożenie 1D kwadratur Gaussa
![Page 23: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/23.jpg)
- 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0- 1 . 0
- 0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0 punkty w którychwyliczana funkcja g
funkcje kształtu nie faworyzujątego narożnika, więcej punktów a waga mniejsza
całkowanie po elemencie odniesienia: złożenie 1D kwadratur Gaussa
![Page 24: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/24.jpg)
g(i,j)= im j
n
testy:
(analitycznie można scałkować)
użyto 2-punktowych kwadratur Gaussa 1Dw 1D dokładna dla wielomianów stopnia <= 3
- 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0- 1 . 0
- 0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0
m n numer. dokładny0 0 2.00000 2.000000 1 -0.66667 -0.666671 0 -0.66667 -0.666670 2 0.66667 0.666672 0 0.66667 0.666671 1 0.00000 0.000000 3 -0.44444 -0.400003 0 -0.22222 -0.400001 2 -0.07407 -0.133332 1 -0.22222 -0.13333
jednomiany stopnia m+n<=3:
procedura szwankuje.numeryczniezłamana symetria 1/2
całkowanie po elemencie odniesienia: złożenie 1D kwadratur Gaussa
dlaczego nie działadokładnie dla wielomianów 03/30 ?bo waga: (1-xj)/2jest wielomianemstopnia 1
![Page 25: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/25.jpg)
Ekonomiczne kwadratury Gaussa dla trójkąta odniesienia
10 niezależnych wielomianów 2D stopnia <=31 punkt w całkowaniu Gaussa = 3 stopnie swobody (2-położenie, 1-waga)Dla dokładnego scałkowania wielomianów stopnia 3: 4 punkty powinny wystarczyć
itd. - 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0- 1 . 0
- 0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0
za Pawłem SolinemPDE and FEMWiley-Interscience 2006
całka z jedynki
całka z 1
![Page 26: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/26.jpg)
Ekonomiczne kwadratury Gaussa dla trójkąta odniesienia
wielomiany stopnia 1 [1,x,y]
jedna waga
-1/3
-1/3
skąd się bierze: (wzory skopiowane z poprzedniej strony)1
1
1
![Page 27: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/27.jpg)
wielomiany stopnia 2 [1,x,y,x2,y2,xy]
- 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0- 1 . 0
- 0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0
Ekonomiczne kwadratury Gaussa dla trójkąta odniesienia
![Page 28: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/28.jpg)
wielomiany stopnia 4
- 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0- 1 . 0
- 0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0
Ekonomiczne kwadratury Gaussa dla trójkąta odniesienia
![Page 29: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/29.jpg)
wielomiany stopnia 5
- 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0- 1 . 0
- 0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0
Ekonomiczne kwadratury Gaussa dla trójkąta odniesienia
![Page 30: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/30.jpg)
elementy trójkątne: różniczkowanie w przestrzeni odniesienia
Mapowanie:
![Page 31: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/31.jpg)
elementy trójkątne: Jakobian mapowania elementu odniesienia do elementu w przestrzeni fizycznej
Jakobian:
NIGDY nie zależy od położeniajak w przypadku nieprostokątnych elementów czworokątnych
widzimy, że
2
mapowanie odwracalne o ile3 wierzchołki nie są współliniowe
J = + pole - pole
![Page 32: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/32.jpg)
całkowanie macierzy sztywności:
Przykłady:… dalej prezentacja w Beamerze
![Page 33: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/33.jpg)
Advancing front method a triangulacja Delaunay’a w generacji MES
1) W advancing front: zakładamy siatkę tła:rozmiary i kierunki rozciągnięcia elementówi dla nich szukamy położeń węzłów
2) W triangulacji D.: zakładamy gdzie są węzły i przestrzeń dzielimy na nieprzekrywające się trójkąty o możliwie regularnych kształtach.
Triangulacja Delaunaya (najłatwiej się uogólnia do 3D):
„mądrzej”: konstruujemy diagram Woronojaa następnie szukamy dla niego odpowiedniego diagramu dualnego, który podzieli
obszar całkowania na trójkąty.
triangulacja Delauneya: istota : każdy z utworzonych trójkątnych elementów będzieopisany na kole, które w swym wnętrzu nie zawierać będzie żadnego węzła
![Page 34: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/34.jpg)
Ilustracje:1) własne2) Zienkiewicz3) Allen Miu
punkty tworzące (wierzchołki w MES)
krawędzieWoronoja
wierzchołkiWoronoja
podział miasta między np. urzędy pocztowe
komórkaWoronoja
w advancing front:węzły lokowane takaby elementy miały żądany kształt
w TD: wybieranepołożenia węzłówna podstawie naszej wiedzyelementy generowanetak aby miały maksymalnieregularne kształty
diagram (graf) Woronoja
![Page 35: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/35.jpg)
przykłady:
Zbiór N punktów p1, p2,...,pN na płaszczyźnie euklidesowej(tzw. punkty tworzące)
dla każdego z punktów pi definiujemy komórkę Woronoja: W(pi)jako zbiór punktów, które są bliżej (nie dalej) punktu pi niż pozostałych punktów
![Page 36: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/36.jpg)
komórka Wignera-Seitza
Obszar Woronoja a krystalografia
http://reference.iucr.org/dictionary/Image:W-S-1.gif
kryształ:układ atomów o symetriitranslacyjnej
komórka elementarnapowtórzona w nieskończoność
każdy obszar zawierającyjeden węzeł sieci nadajesię na komórkę elementarną
komórka WS jest specjalna,bo jest obszarem Woronojazwiązanym z danym węzłem
strefa Brillouina
![Page 37: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/37.jpg)
Przykłady:
1 punkt tworzący
pusty diagram Woronoja
diagram W.: linia prosta, brak wierzchołków
wspóliniowe punkty tworzące, brak w.
3 pkty niewspółiniowe: środek okręgu węzeł Woronoja
![Page 38: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/38.jpg)
Diagram Woronoja, przykłady cd.
aby komórka W. była zamknięta = potrzebne 4 niewspółliniowe punkty
Allen Miu
krawędzie Woronoja:części wspólne komórek Woronoja
część wspólna krawędzi Woronoja:węzły Woronoja
![Page 39: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/39.jpg)
potrzebne, ale sama współliniowość 4 punktów nie wystarcza:
tzw. przypadek zdegenerowany
![Page 40: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/40.jpg)
Własności:
punkt leży na krawędzi W. komórek k oraz ljeśli jest środkiem pustego okręgu dotykającegopunkty tworzące pk oraz pl
pusty znaczy nie zawierający wierzchołków w swoim wnętrzu
![Page 41: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/41.jpg)
Własności cd.
punkt jest wierzchołkiem Woronoja, jeśli środkiempustego okręgu, który dotyka 3 lub więcej punktów tworzących
![Page 42: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/42.jpg)
triangulacja Delauneya: graf dualny do Woronoja
łączymy krawędziami punkty tworzące sąsiednich obszarów Woronoja, które mają wspólną krawędź. Krawędź diagramu D symetralna krawędzi W.
wierzchołki Woronoja:środki pustego okręgu opisanegona węzłach jednego elementu
Ziekniewicz
![Page 43: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/43.jpg)
Własności:
1) triangulacja Delaunaya produkuje trójkątyjeśli w P nie ma 4 punktów
współśrodkowych[nie ma wierzchołków z 4-ma krawędziamiWoronoja]
2) Każdy trójkąt Delaunaya odpowiada jednemu wierzchołkowi Woronoja, który jestśrodkiem okręgu opisanego na trójkącie
3) Wnętrze każdego z tych okręgównie zawiera żadnego punktu tworzącego
własność 1: używana przy wyborze punktów tworzących, 2- w strukturze danych3-kryterium Delaunaya (kryterium pustego koła) – sprawdzany czy naruszany przez nowe pty,również w prostym algorytmie generacji siatki
![Page 44: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/44.jpg)
brzeg: [-1,1] na [-1,1]węzły rozkładam ściśle równomiernie,
wewnątrz obszarucałkowaniadaje na siatce niecoodkształconej (aby uniknąć więcej niż 3 punktów na jednym okręgu)
[uwaga: gęstszy rozkładwęzłów tam gdzie trzebałatwo uzyskać np.stosującgenerator liczb losowycho zadanym rozkładzie pstwa]
- 1 . 0 0 - 0 . 5 0 0 . 0 0 0 . 5 0 1 . 0 0
- 1 . 0 0
- 0 . 5 0
0 . 0 0
0 . 5 0
1 . 0 0
prosty algorytm triangulacji Delauneya z ominięciem generacji diagramu Woronojamało szybki, ale najprostszy do napisania = ten na laboratorium
![Page 45: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/45.jpg)
- 1 . 0 0 - 0 . 5 0 0 . 0 0 0 . 5 0 1 . 0 0
- 1 . 0 0
- 0 . 5 0
0 . 0 0
0 . 5 0
1 . 0 0
1) buduję elementy których wierzchołkiemjest punkt niebieski2) przeglądam okolicetego punktu (niebieski kwadrat)
3) dla każdej uporządkowanej trójki punktów z których jedenniebieski konstruuje trójkąti okrąg na nim opisany
4) jeśli okrąg jest pusty (wewnątrz nie ma innego węzła)trójkąt staje się nowym elementem
5) Gdy topologia jest ustalona,można przywrócić siatkęrównomierną
![Page 46: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/46.jpg)
okrąg opisany na trójkącie:potrzebny środek: xa,ya, oraz promień R
x1,y1x2,y2
x3,y3
jak sprawdzić, że niewspóliniowe:iloczyn wektorowy r1-r2
z r1-r3 zero jeśli współliniowe
w
(1-3)(1-2)
3
![Page 47: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/47.jpg)
drugie równanie, jak pierwsze z 3 zamiast 2
(1)*(x3-x1)-(2)*(x2-x1) [wyeliminować xa]
![Page 48: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/48.jpg)
Wynik:obszar całkowaniapodzielonyna trójkątne elementy
random.exe
![Page 49: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/49.jpg)
symulacja adaptacji siatki: funkcja „ważności” liczona w środku ciężkości elementu
razy jego pole ma nie przekraczać 1/80
Laboratorium: początkowe położenie węzłówczarne punkty – lekko przesuniemy o losowy wektor
![Page 50: 2D: Elementy trójkątnegalaxy.uci.agh.edu.pl/~bszafran/mofit/mes_trian_schroe.pdfv1,(-1,-1) v2,(1,-1) (0,0) funkcje do mapowania f1,f2,f3 Mapowanie: odwracalne, o ile wierzchołki](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042419/5f367698fc79790467718513/html5/thumbnails/50.jpg)
Warunki brzegowe
- 2 0 2
- 2
0
2
chcemy, żeby funkcje własne znikały na brzegu(nieskończona studnia potencjału)jak?wyrzucić wszystkie funkcje kształtu z bazyz brzegu [pozostałe funkcje kształtu = 0 na węzłachbrzegowych]albo(wersja dla leniwych)
SHk-ty wiersz/kolumna
zerujemy,potemHkk=-1410Skk=1
Zerowanie: odsprzęgnie węzły brzegowe od całejreszty.
dostaniemy wartość własną –1410zdegenerowaną tylu krotnie ilejest węzłów brzegowych
również: można po prostu skreślićte kolumny/wiersze z macierzy