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2badt sv es_ud02_p_ppt_tang
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Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de circunferencias sin conocer el radio 2 p: p: pasa por punto pasa por punto r: r: tangente a recta tangente a recta c: c: tangente a tangente a circunferencia circunferencia
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Dibujo técnico. Trazado de tangenciasTrazado de circunferencias sin conocer el radio
2
p:p: pasa por puntopasa por puntor:r: tangente a rectatangente a rectac:c: tangente a circunferenciatangente a circunferencia
Dibujo técnico. Trazado de tangencias 1. Trazado de tangencias sin conocer el radioPropiedades de las tangencias
TO1 O2
r
O
T
O
B
A
r
s
O
A
T2
1T
Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O1O2
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la recta
Si una circunferencia pasa por dos puntos, el centro está en la mediatriz del segmento
Si una circunferencia es tangente a dos rectas, el centro está en la bisectriz
2
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Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencia que pasa por tres puntos (ppp)
P
M
N
O
1. Se halla la mediatriz del segmento MN
2. Se halla la mediatriz del segmento NP
3. El punto O de intersección de las dos mediatrices de MN y de NP es el centro de la circunferencia
Dados los puntos M, N y P:
2
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Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta (ppr)
2. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r
1. Se traza la circunferencia de diámetro AB
3. Se trazan las tangentes desde D obteniendo F y G
1. Por B se traza la perpendicular a la recta
2. Se traza la mediatriz del segmento AB
3. El punto O es el centro de la circunferencia solución
4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza una circunferencia obteniendo H y J, puntos de tangencia de las circunferencias solución
Los puntos A y B son exteriores a r El punto B pertenece a r
m
rJ
E
F
HG
C
D
B
1O
A
2Or
A
O
B
2
RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr)
m F
E
G
D
A
L
H
B
C
J
K
s
r
2O
1O
Punto A exterior a las rectas r y s
1. Se traza m, bisectriz de r y s
2. Hallamos B, simétrico de A respecto de la bisectriz m
4. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r
3. Se traza la circunferencia de diámetro AB
5. Se trazan las tangentes desde D a la circunferencia obteniendo F y G4. Con centro en D, y radio DF = DG se traza una circunferencia obteniendo H y J, puntos de tangencia de las circunferencias solución
2
RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas (prr)
t
B C
O2
s
r
A
1O
Punto A sobre la recta s1. Por A se traza la recta t perpendicular a la recta s2. Se trazan las bisectrices interior y exterior del ángulo que forman las rectas r y s3. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias solución4. Los puntos de tangencia B y C se hallan trazando por O1 y O2 las perpendiculares a la recta r
2
RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias tangentes a tres rectas (rrr)
1. Se trazan las bisectrices interiores y exteriores de los ángulos que forman las tres rectas 2. Las bisectrices interiores se cortan en el punto O1 3. Las bisectrices exteriores se cortan en los puntos O2, O3 y O4
t
r
s
C
B A
O2
O4
1O
3O
4. Los puntos de tangencia se hallan trazando desde O1, O2, O3 y O4 las perpendiculares a cada una de las tres rectas
Sean las rectas r, s y t
2
RECORDAMS LO APRENDIDO 10 min.
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia (ppc)
r
D
J
G
E2O
H
C
F
B
O
A
1O
m
O
A
B
1O
1. Se traza la recta m que une O y B
2. Se traza la mediatriz del segmento AB
3. El punto de intersección entre la recta m y la mediatriz, O1, es el centro de la circunferencia
2. Se halla la intersección de la recta AB con la recta DE obteniendo el punto F
1. Se traza la circunferencia de diámetro AB obteniendo D y E como intersección
3. Se trazan tangentes desde F a la circunferencia dato obteniendo H y J4. Los puntos O1 y O2 están sobre r, mediatriz de AB, y alineados con HO y con JO respectivamente
Los puntos A y B son exteriores Un punto esta situado en la circunferencia
2
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc)
El punto A es exterior
1. Se traza por O una perpendicular a la recta dada obteniendo los puntos B, C y D
2. Se traza la circunferencia de centro E que pasa por A, B y D
3. La recta AC corta a esta circunferencia en el punto F4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por dos puntos, A y F, y son tangentes a una recta r (caso ya resuelto)
E
C
G J
H
N
B
L
F
ID
K
M
A
O
r
2
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia (prc)
El punto A está en la circunferencia
1. Se une O con A y se traza la tangente s2. Se trazan las bisectrices del ángulo que forman r y s 3. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias
El punto A está en la recta
1. Se traza la perpendicular a r por A2. Sobre m se traslada el radio R3. Se trazan las mediatrices de OB y OC4. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias
m
s
1O
2O
r
O
A
R
R
m
DB
r
OR
A
E
C
O2
O1
2
C DB
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc)
O' O'O'
B C
N
H
L
F
J
P
D
K
E
M
G
OQ
O''
O21O
A
El punto A es exterior
1. Se traza recta O1O2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección2. Se trazan dos radios paralelos desde O1 y O2 obteniendo F y G. El punto H es la intersección de las rectas FG y O1O2
3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y D con la recta AH4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto)
2
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc)
J
OQ
MD
N
PC E
G
O'
F
BH 2OO1
A
O''
El punto A es exterior
1. Se traza la recta O1O2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección
2. Se trazan radios paralelos en sentido contrario desde O1O2 obteniendo F y G. El punto H es la intersección de las rectas FG y O1O2
3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y E con la recta AH
4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto)
2
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos circunferencias (pcc)
a
b
m
O
O'
M
C B
D
2O
A
1O
1. Se traza la recta m que une O’ y M
2. Sobre la recta m y desde M se traslada el radio de la otra circunferencia de centro O obteniendo los puntos A y B
3. Se trazan las mediatrices de OA y de OB
4. Los puntos O1 y O2 son los centros de las circunferencias
El punto M está sobre una circunferencia
R
2
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias tangentes a tres circunferencias: Problema de Apolonio (ccc)
Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’
1. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’-R y R’’-R
La solución se reduce a trazar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado que tiene cuatro soluciones)
La solución se reduce a hallar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado que tiene cuatro soluciones)
2. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’+R y R’’+R
R'-R
R''-R
O'
R
R'
O''
R''
O
R''+
R
R'+R
O'
O''
R
O
R'
R''
2
Dibujo técnico. Trazado de tangencias Trazado de tangencias sin conocer el radioCircunferencias tangentes a tres circunferencias: problema de Apolonio (ccc)
Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’
Hallamos dos de las soluciones
1. Se trazan con centro O’ y O’’ las circunferencias de radios R’ - R y R’’ - R2. Trazamos radios paralelos O’C y O’’D, y hallamos E, intersección de CD y O’O’’3. Se dibuja la circunferencia que pasa por A, B y O que corta a la recta OE en el punto F
6. Donde se cortan O’’J y O’’K con la mediatriz m de OF obtenemos los centros de la solución
4. Trazamos una circunferencia que pase por los puntos O y F y que corte a la de centro O’’ hallando los puntos B y G5. Las rectas FO y BG se cortan en H, desde donde se hallan las tangencias en K y J
m
F
N
JI
D
A
M
G
B
E
O'
O
O''
C
H
C'
K
L
2O
O1
2
