A hasonlóság fogalma, no meg az egybevágóságé

Akkor beszéljünk1 sic. , ha két vagy több alakzat tök ugyanúgy néz ki. Pl. egyik a másik

kicsinyített mása. Ha még méretben is azonosak, akkor van szó, mely a

hasonlóság egy nagyon speciális esetének tekinthető. Síkháromszögekre,2 ha hasonlóság áll fenn, az

könnyen látható pl. arról, hogy a háromszögek megfelelő szögei megegyeznek. Sőt az is elég, ha csak

két-két megfelelő szög egyezését vizsgáljuk meg az egyik és a másik háromszögben, hiszen ekkor már

a harmadik is automatikusan megegyezik. Mivel a háromszög belső szögeinek összege mindig ,

síkháromszög esetén.

Általánosan elmondható, hogy két alakzat hasonló, ha az összes megfelelő szakaszaik hossza közt az

arány állandó. Pl. az egyik magassága úgy aránylik a másik magasságához, mint az egyik bizonyos

oldala a másik ugyaneme oldalnak megfelelő oldalához. S ez az összes megfelelő szakaszpárra fenn

áll. Ez bonyolultabb alakzatok esetén hosszadalmas vizsgálat lehet. Egyszerűbb megállapítani a

hasonlóság meglétét, ha találunk olyan ,3 melyről tudjuk, hogy hasonlósági

transzformáció, és az egyik alakzatot éppen a másikká képezi át. Ezek során a szögek megmaradnak,

miként az illeszkedés is. Ezért beszélünk szögtartó, ill. illeszkedéstartó transzformációról.

Egybevágósági transzformációk pl. az eltolás, az elforgatás, tükrözés. Nem egybevágósági, de

hasonlósági transzformációk pl. a nyújtás, kicsinyítés. Ez utóbbiak olyanok, mintha egy pontból

vetítenénk az objektumot, és a vetítősugarak mentén kapnánk az új alakzatot. Ha a vetítési ponthoz

közelebb kerül a kép, mint az eredeti objektum volt, akkor kicsinyítés, ha messzebb kerül, akkor

nyújtásról van szó.

Sőt a hasonlósági transzformációkból egymásután többet is végezhetek, és ezek eredménye is

hasonlósági transzformáció lesz.

Ezekről most nem mondok többet. Mi lenne, ha ezt igyekeznél a suliban megtanulni. Mindig körzővel

és vonalzóval végezzük a konkrét hasonlósági transzformációkat. Megszerkesztjük azokat. Az meg

már csak elég érdekes, hogy odafigyelj órán, sőt te magad is kipróbálhatod otthon. Gyakorolni sosem

árt! Néhány szerkesztés kivitelezését lásd a c. fejezetben! Abból

összerakhatod mindazt, amit egy adott transzformáció során el kell végezned.

Szerencsére van néhány alakzat, melyek mindig hasonlóak egymáshoz. Pl. két szabályos háromszög

egymáshoz, két négyzet egymáshoz, két kör egymáshoz, két szabályos tetraéder egymáshoz, két

kocka egymáshoz, vagy két gömb egymáshoz, stb. Hiszen az ilyen alakzatok megadhatóak egyetlen

paraméterrel, oldalhosszal, élhosszal, ill. sugárral. Így ezek hasonlóságát nem kell vizsgálnunk. Mert

1 Egyes nyelvjárásokban ezt az alakot mondják a helyesebb alak helyett is. Lehet, hogy te is ezt a nyelvjárást beszéled? Szevasz, Földi! 2 A nem azt jelenti, hogy ő sík hülye, hanem azt, hogy nem gömb, vagy egyéb görbe felületre rajzolták, hanem egy síkra. 3 Átalakítást jelent. A geometriában arra értjük, hogy egy objektumból valamilyen jól meghatározott eljárással

egy másikat hozunk létre.

az mindig igaz lesz, tekintve, hogy egy szakasz mindig valahányszorosa egy másiknak. És ugye, nem

csak egész számok vannak ám? A gyakorlatban, ha hasonlóságot vizsgálunk, akkor igyekszünk ilyen

alakzatokat keresni az ábrán. Ha ilyet nem találunk, vagy nem elegendőt ezekből, akkor hasonló

háromszögeket igyekszünk keresni. Hiszen a háromszögek hasonlóságát a legegyszerűbb észrevenni.

Keressünk hasonló háromszögeket az ábrán! És írjunk fel néhány hasonlósági viszonyt a megfelelő

oldalak között! (Vedd észre, hogy az háromszög pontból való vetítésével, nyújtásával kapható

a másik kettő háromszög!)

Ezen az ábrán csak hasonló háromszögek vannak. Mert mind a három darab háromszög,

, ugyanakkora szögekkel rendelkezik. Hiszen az csúcsnál lévő szögük közös, és az

ezzel szemben lévő oldalaik, párhuzamosak egymással. Ilyenkor igazak a háromszögek

oldalhosszaira tett következő állítások:

Ezek azt fejezik ki, hogy egy adott háromszög két oldalhosszának az aránya ugyanaz, mint a hozzá

hasonló háromszögek megfelelő oldalinak az aránya. Pl. a legkisebb háromszög oldalának a

középnagyságú háromszög oldala felel meg. És a legkisebb háromszög oldalának a középes

nagyságú háromszög oldala felel meg. Stb. Persze, nem kell mindig minden arányt felhasználni.

Párosával is igazak az egyenlőségek. Pl.:

Sőt ilyenkor, mint a rendes kétoldalú egyenletek esetén az már szokva vagyon, át is rendezhetjük

eme állításokat:

Vagy vehetjük reciprokát is mindkét oldalnak. De bármi mást is tehetünk, amit rendes hányadosok

esetén is tennénk.

Lássuk be, hogy a következő ábrán a szög azonos nagyságú az szöggel! (Az

egyenlő szárú háromszög. Az és oldalak a szárai. A kör pedig a háromszög beírt köre.)

Jó esetben ismerjük a jelölést, miszerint a nem mást, mint a háromszög csúcsánál

levő szöget jelenti. Vagyis mindig a betűhármas középső tagjánál lévőt. Ha nem tudjuk ezt, az kár,

mert akkor nem tudunk semmit. Így tehát a másik szög is így értendő: az háromszög

csúcsánál levő szög.

Csak azt kell be látnunk, hogy ez a két említett háromszög hasonló. Pl. beláthatjuk azzal, hogy van két

szögpár, melyek megegyeznek a két háromszögben. Ekkor már a harmadik szög is meg kell, hogy

egyezzen. Ez viszont könnyen belátható. Közös csúcsuknál, a -nél, közös szögük is van. Ez így nyilván

megegyezik. Mindkét háromszögben van derékszög is. A nagyobbik háromszögben ez az csúcsnál, a

kisebbikben a csúcsnál van, mert a beírt körre a háromszög oldalai éppen érintőként üzemelnek.

Így a kör sugarai az érintési pontokban derékszöget zárnak be az oldalakkal. Az egyik ilyen sugár a

és ez éppen a kisebb háromszög egyik oldala is egyben, mely az említett módon derékszöget zár be a

kisháromszög oldalával. A másik ilyen sugár a . Ez viszont éppen a nagyobbik háromszög egyik

oldalának egy szakasza. Így mivel ez derékszöget zár be az alappal, így az háromszög

oldala is derékszöget zár be, az oldallal. Így, mivel a két háromszögben találtunk két-két azonos

nagyságú szöget, az eddig nem említett szögpárjuk is azonos nagyságú:

∎

Hasonló alakzatok területeinek aránya Sajnálatos módon sok emberben él az a tévképzet, hogy ha két síkidom hasonló, pl. egyiknek

az oldalhossza a másiknak kétszerese, akkor a területeikre is igaz, hogy egyik a másiknak a kétszeres

területével rendelkezik. Ám ez nem igaz! Ezt roppant egyszerű belátni.

A hasonló síkbeli alakzatok területeinek aránya, a megfelelő szakaszaik arányának négyzetével

egyenlő.

Bármiféle alakzatokról is van szó, a területeik, mindig két alkalmas hosszúság szorzatához kötődnek.

Mint ismeretes, ezért lesz a terület mértékegysége négyzetes. Márpedig ha a szorzatban szereplő

mindkét tag valahányszorosa egy másik alakzat megfelelő szakaszainak, akkor ez az arány

négyzetesen öröklődik a területre. Pl. legyen a két alakzat területét adó megfelelő szakaszai az egyik

alakzatban , a másik alakzatban . A hasonlóság miatt az -nek valahányszorosa az ,

és ugyanennyiszerese a -nek a is. Ezt az arányt általánosan a görög 4 jelöljük. Ez a

lambda tehát az a bizonyos „valahányszoros”:

Így ha az -es indexű alakzat területképletében szerepelt az és szorzata; márpedig szerepel, hisz

ezért választottuk pont őket; akkor a -es indexű alakzatban éppen az és szorzata szerepel,

hiszen ezek a megfelelő szakaszok. A konkrét területképletben még szerepelhet egy konstans szorzó,

mint pl. a háromszög esetében az

, vagy a kör esetében a , paralelogrammák esetén két oldal által

közrezárt szögének szinusza, stb. De mivel a két alakzatunk hasonló, így ezek a konstans

szorzótényezők azonosak lesznek. Hiszen hasonló alakzatok területképlete azonos. Az a konstans

tényező legyen jelölve mostan -vel. Így a két terület így adódik a két hasonló alakzatra. Eme

konstans tényező nem visel mértékegységet. Ne tessék hát azt hinni, hogy ettől köbös lesz a terület

mértékegysége! Tehát a területek:

De tudjuk, hogy a kettes indexű cuccok kifejezhetőek az egyes indexűekkel és lambdával. Így a így

írható:

A két terület aránya pedig ez lesz:

4 A görögök ezt használják az betű helyett, és így néz ki: .

A , az és az mind kiesik, és csak ennyi marad:

Ez meg mi más lenne, mint:

∎

Tehát a területek aránya ezért négyzete a hasonlóság arányának, -nak. Azaz ha az egyik alakazat

megfelelő szakaszai éppen kétszeres hosszúságúak a másik alakzathoz képest, akkor a nagyobbik

alakzat területe nem a kétszerese, hanem a négyszerese a kisebbikének. Ha a megfelelő szakaszok

aránya hasonló alakzatokban akkor a területek arányai így

sorban:

Azaz:

Éppen így, ehhez belátható az is, hogy ha térbeli testekről beszélünk mekyeknek van

térfogata is. Akkor a térben hasonló alakzatok térfogatainak aránya Azaz, ha két térbeli

alakzat között a megfelelő szakaszaikra a hasonlóság aránya , akkor a térfogataik aránya: .

----------------------------

Az előbbi állítás belátását rád bízom. Csak azt kell felhasználnod, hogy a térfogat mindig három

alkalmas hosszúság szorzata, és esetlegesen még valamely konstans tényezőé.

Lássuk be, hogy a következő ábrán látható és háromszögek egymáshoz hasonlóak! (Igen,

jól látod, hogy a és csúcsoknál derékszög van.)

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi ábrán négy egybevágó háromszög található, és ezekkel hasonló az őket

tartalmazó, azaz a legnagyobb. (Az az oldalfelező pontokat jelölik. és .)

Hányad része egy kis háromszög területe a nagy háromszög területének?

Miként lehet igazolni, hogy az ábrán látható mindhárom háromszög hasonló egymáshoz? ( A és

pontokban mint csúcsoknál derékszög van, a jelölt módon.)

Az egyik pizza átmérőjű, a másik átmérőjű. Mindkettő ugyanolyan vastag. Ha

feltételezzük, hogy mindkettőjük szabályos kör; egy kis ráhagyással ez feltehető; akkor igaz-e, hogy a

nagyobbik befalánkolása kétszer akkora helyet foglal el a gyomromban, mint a kisebbik becsókolása?

----------------

Már előre tudom, hogy a következő feladat Zolikának nem fog tetszeni, mondván, hogy nem is igazi

hóembereket rajzoltam. Még szép! Az igazi hóemberek elolvadnának ebben a kutya melegben.

Annyira azért még én sem vagyok szemétláda, hogy rákényszerítselek arra, hogy a mélyhűtőben

olvasd a könyvemet, pusztán csak a kép elmosódását meggátolandó elővigyázatosságból kifolyólag.

Építettünk két egymáshoz mindenben teljesen hasonló hóembert. Az egyik pont háromszor olyan

magas, mint a másik. Mennyivel több hó kellett a nagyobbik megépítéséhez, mint a kisebbikhez?

További gyakorláshoz olvasd el a c. fejezetet!

∎∎