TIRA-DÚVIDA

Como calcular a integral ∫∫ −=− dxxdxx )1()1( 22/12 ?

Essa integral é resolvida usando-se métodos da Unidade 3, nas seções 1 e 2.

Inicialmente vamos usar uma substituição trigonométrica colocada lá no Cálculo II como do

terceiro caso, ou seja, integrais que envolvem expressões do tipo 22 ax − . Neste caso usamos a substituição:

θ

θθθθ

tgaax

dtgadxax

.

:queobter vamoscálculos os Fazendosec.

sec.

22 =−

==

Para o exemplo sugerido temos que:

θ

θθθθ

tgax

dtgdxx

=−

==

22

:queobter vamoscálculos os Fazendosec

sec

Substituindo na integral vamos encontrar:

∫∫∫ ==− θθθθθθθ dtgdtgtgdxx secsec.)1( 22

Essa integral agora deve usar o método de substituição proposto na seção 1 indicada. Temos então:

∫∫ ∫∫ −=−= θθθθθθθθθθ ddddtg secsecsec).1(secsec 322

A primeira integral pode ser usada pela fórmula de recorrência e a segunda diretamente da tabela de integrais imediatas.

.|sec|ln21.sec

21

sec21.sec

21

secsec21.sec

21secsec3

θθθθ

θθθθ

θθθθθθθθθθ

tgtg

dtg

ddtgdd

+−=

−=

−+=−

∫

∫∫∫∫

Retomando a substituição inicial (veja mais detalhes no Cálculo II) temos que:

θ

θ

tgx

x

=−

=

1

sec2

Cxxxx

Ctgtg

dtg

ddtgdd

+−+−−=

++−=

−=

−+=−

∫

∫∫∫∫

|1|ln211.

21

|sec|ln21.sec

21

sec21.sec

21

secsec21.sec

21secsec

22

3

θθθθ

θθθθ

θθθθθθθθθθ