28 CST-45 15-17 simulation of the temperature...ใน 1...

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 28

15-17 ตลาคม 2557 จงหวดขอนแกน

741

CST-45

การศกษาการกระจายตวของอณหภมในชวงการแขงตวของนาแขงหลอด

ใน 1 มตโดยวธการพลศาสตรของไหลเชงคานวณ

A Simulation of the temperature distribution during the solidification

of Tubular Ice in 1-D By Computational Fluid

ณฐดนย พรรณเจรญวงษ1*, รพพฒน ลาดศรทา

2, เอกวฒ แสนคาวงษ

3 กมปนาท ไชยเพชร

1

ฉตรชย เบญจปยะพร1 และ จฬาภรณ เบญจปยะพร

1

1 ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 40002

2 ภาควชาวศวกรรมเครองจกรกลเกษตร คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน วทยาเขตขอนแกน 40000 3 ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลอสาน วทยาเขตขอนแกน 40000

*ตดตอ: [email protected]

บทคดยอ

บทความนมวตถประสงคเพอนาเสนอการจาลองการกระจายตวอณหภมของการแขงตวของนาแขงหลอด

ใน 1 มต โดยวธพลศาสตรของไหลเชงคานวณ เพอศกษาการกระจายตวของอณหภม โดยจะพจารณาเวลาในการ

แขงตว 10, 20 และ 31 นาท อณหภมของสารทาความเยนมคาคงท เทากบ -7.5°C และอณหภมนาขาเขามคา

เทากบ 35°C, 30°C และ 25°C ซงผลการคานวณพบวาคาความหนาทไดจากวธพลศาสตรของไหลเชงคานวณ

(CFD) กบผลเฉลยแมนตรง (Exact Solution) มความสอดคลองกน โดยทความคลาดเคลอนจะมคาอยท 3.9%,

2.6% และ 1.3% ตามลาดบ โดยทระยะเวลาในชวงแรกนนการกระจายตวของอณหภมจะมคาสงกวาระยะเวลาชวง

ทายเนองจากบรเวณทเปนของแขงเพมมากขนทาใหเกดความตานทานความรอนทตองระบายออกจากบรเวณ

ของเหลวลดลง ทาใหอตราความหนาทเพมขนมคาลดลง ซงจะเหนไดวาอณหภมมแนวโนมลดลงเมอความหนาของ

นาแขงหลอดเพมมากขนโดยอณหภมจะแปรผกผนกบเวลาและความหนาซงจะสอดคลองกบผลเฉลยแมนตรง

คาหลก: พลศาสตรของไหลเชงคานวณ, การแขงตว, การเปลยนแปลงเฟส, ผลเฉลยแมนตรง, นาแขงหลอด

Abstract

This article aims to present a simulation of the temperature distribution of solidification of tubular

ice in 1-D by Computational Fluid Dynamics to study the temperature distribution. After the clotting time of

10, 20 and 31 minutes, refrigerant temperature is constant and equal to -7.5 °C inlet water temperature is

equal to 35 °C, 30 °C and 25 °C which the calculations found that the thickness of the computational

Fluid Dynamics with the exact solution is consistent. The error would be 3.9% , 2.6 % and 1.3 %

respectively at the beginning , then the distribution of the temperature is higher than at the end , because

the solid increasing the thermal resistance of the liquid to drain down. Hence, the increased thickness

decreased. It can be seen that the temperature tends to decrease when increasing the thickness of the

ice is inversely proportional to the temperature and thickness, which is consistent with the exact solution.

Keywords: Computational Fluid Dynamic, Solidification, Phase Change, Exact Solution, Tubular Ice



742

CST-45 1. บทนา

ปญหาแบบดงเดมของแบบจาลองทาง

คณตศาสตรของสเตฟานนน เปนปญหาอน

เนองมาจากการเปลยนแปลงสถานะ หรอ การ

เปลยนแปลงการยายขอบเขตทเกยวของกบการ

ถายเทความรอนและการถายเทมวลถายโอนวสด

ในชวงของการเปลยนสถานะระหวางกระบวนการทาง

ความรอนทเกดขน ยกตวอยางกระบวนการดงกลาว

อาทเชน การแขงตวของโลหะบรสทธ การหลอม

ละลายหรอการละลายของนาแขง การแขงตวของนา

การทาใหอาหารมความแขงตว และกระบวนการอน ๆ

ทเกยวของกบการแขงตวและการหลอมละลาย เปน

ตน โดยจะสมมตวาอยภายใตเงอนไขของการเปลยน

สถานะอยางตอเนอง ซงในขณะทมการเปลยนสถานะ

ของเหลว – ของแขงนนจะมอณหภมเทากน การ

เปลยนสถานะนนจะสามารถดแนวทางไดจากวธการ

ของ Carslaw and Jaeger ในป 1959 เนองจาก

รปแบบสมการไมเชงเสนของสมการสมดลพลงงานท

ไมทราบเวลาในการเปลยนสถานะทไมมการเปลยน

อณหภมทอนเตอรเฟส จะเกยวของกบการดดซมหรอ

การปลอยความรอนแฝงและการเปลยนคณสมบต

อยางฉบพลน การวเคราะหถงวธการแกปญหาเปน

การยากทจะไดรบตวเลขทมขอบเขตในหวขอทเปน

กรณพเศษ ดงนนวธการวเคราะหขอมลดวยการ

ประมาณคาจงถกนามาใชการวเคราะหปญหาการ

เปลยนสถานะ ซงวธการของ The Picard’s iterative

method (Witula et al., 2011), The Lie-Group

shooting method (Chein-Shan Liu, 2011), The

heat balance integral method (HBIM), (Myers,

2007) จงถกนามาใชดวย , The asymptotic solution

สาหรบปญหาประเภท zero-phase (Naaktgeboren,

2007) , ในทางกลบกน numerical methods เปนการ

ใชโดยทวไป, วธการทชดเจนอยาง Finite Deference

Method จงถกนามาใช (Savovic and Caldwell,

2003), The Faedo-Galerkin Finite Element

Method พรอมดวย Crank-Nicolson time scheme

จงถกนามาใช (Rincon and Scardua, 2008), การ

จาลองเชงตวเลขของนาแขงในหนงมตและสองมตนน

นนจะถกวเคราะหอยบนฐานของการเขามาของแหลง

ความรอนแฝงโดยจะใชวธ cell-centered Finite

Volume Method (Prapainop and Maneeratana,

2004), ทฤษฎการเปลยนแปลง enthalpy ดวย finite

volume เปนวธการทจะวเคราะหเชงตวเลขของ

กระบวนการละลายดวยการพาความรอนวธทาง

ธรรมชาตทสภาวะคงทในสองมตของนาแขงถก

นามาใชดวย (Al-Zubaidy, 2006), เทคนคการสราง

แบบจาลองทมคณภาพมากมายถกนามาประมาณคา

วธการวเคราะหและวธเชงตวเลข ซงจะใช; Enthalpy

Method, Boundary Immobilization Method (BIM),

Perturbation Method, Nodal Integral Method and

the (HBIM) สาหรบอธบายและเปรยบเทยบปญหาใน

หนงมตของ Stefan problem (Caldwell and Kwan,

2004), นอกจากนจงตองใชอปกรณตางๆมาชวยใน

การแกปญหาการเปลยนสถานะดวย , การละลายของ

หมะ /นาแขงและผลทเกดจากการใสเกลอในหมะ /

นาแขง นนจะถกสรางแบบจาลองโดยใช MATLAB

(Patrick et al., 2008), การละลายของนาแขงในสาม

มตรอบๆทอทบรรจของเหลวอยภายใน จะวเคราะห

ดวยวธการเชงตวเลขโดยใช PHOENICS Code

(Sugawara et al., 2011), โดยทวไปแลว Stefan

problem จะมแนวทางอย 2 เรองหลกๆ คอ (1.) front-

tracking เมอขอบเขตของการเปลยนสถานะเปนการ

เปลยนอยางตอเนองอยางตรวจสอบไดในทกๆ คาบ

ของการเปลยนสถานะ Sadoun et al. (2012), มการ

ใช the Goodman (HBIM) เปนการเคลอนไหวท

ชดเจนของผวของแขง – ของเหลว ดวย finite

difference method ประกอบกบตาแหนงทมนไม

สามารถเคลอนทไดบนพนฐานของ front-tracking

และเรยกมนวา variable space grid method

(VSGM), เพราะฉะนนวธการนจงไมตองการการ

ประมาณคาทไมตอเนองสาหรบหวขอทมอณหภมไม

เปลยนแปลงซงยากทจะแกปญหาดวยการใชงาน

อลกอรทมทมคาใชจายดานเครองมอราคาสง

Zhaochun et al. (2011) ไดนาเสนอวธการเคลอนท



743

CST-45 ของพนผวซงไดตาแหนงทมความแมนยาและความ

นาเชอถอโดยวธ Grid point ทาใหสามารถแกปญหาน

ลงได แนวทางการแกปญหาโดยใชวธ fixed-grid

method ดวยวธนทาใหแบบจาลองทางคณตศาสตร

ของการเคลอนตวของผวทมความชดเจนและวธนยงม

แนวทางการใชทหลากหลายสาหรบปญหาทมหลาย

มต (2.) the temperature-based หรอ the enthalpy-

based method , The temperature-based เปน

แนวทางการวเคราะหอณหภมสาหรบตวแปรตามใน

สมการกากบการไหล (governing equation) เพอทจะ

หลกเลยงปญหาความไมตอเนองของอณหภม จะตอง

ใชการประมาณคาตวเลขทมความเสถยรและการ

integration ขนสงในการคานวณความรอนแฝง ในทาง

กลบกน The enthalpy-based method แบงไดเปน

พนฐาน enthalpy , ปรมาณความจความรอนและ

แหลงความรอนแฝง ในหวขอเรองพนฐาน enthalpy

นน enthalpy จะใชเปนตวแปรหลกและอณหภมจะใช

คานวณเพอหาความสมพนธระหวาง enthalpy และ

อณหภม วธการนจะใหผลลพธทถกตองเหมาะสม

สาหรบชวงทไมเกนการแขงตว แตมนเปนเรองท

ซบซอนและมราคาแพงสาหรบการคานวณดวย

คอมพวเตอร ในวธการทเหนความจความรอนไดชด

ความรอนแฝงจะถกคานวณจากการ intregration

ความจความรอนดวยอณหภมทเชอถอได

ความสมพนธระหวางความจความรอนและอณหภม

ในกระบวนการเปลยนแปลงทอณหภมคงท ชวงความ

กวางของระยะการเปลยนสถานะจะตองประมาณคา

ในชวงทใกลเคยงกบอณหภมของการเปลยนสถานะ

ดงนน ขนาดของชวงเวลาจะตองเลกพอสาหรบการ

คานวณชวงอณหภมทตองการ ในวธแหลงความรอน

แฝง ความรอนแฝงจะอยในรปแบบของสมการท

แตกตางกน โดยขนอยกบการอธบายความสมพนธ

ของ enthalpy และอณหภมของความรอนแฝง

ดงนนงานวจยนจะทาการศกษาการกระจายตว

ของอณหภมในชวงการแขงตวของนาแขงหลอด

ใน 1 มตโดยวธการพลศาสตรของไหลเชงคานวณ

ดวยการใช Finite Volume Method บนพนฐานของ

fixed grid และความจความรอนแฝง ชวงเวลาท

เหมาะสมนนถกเลอกนามาใชโดยการวเคราะหอยางถ

ถวนแลว คาการนาความรอนของนาแขงถกประมาณ

คาในตาแหนงอนเตอรเฟสทแนบชดตดกนระหวาง

ของแขง-ของเหลวทควบคมปรมาตร ในการตรวจสอบ

ผลทประมาณคาไวจะตองเปรยบเทยบกบคาตอบทได

จากผลเฉลยแมนตรง (exact analytical solution)

2. แบบจาลองและการวเคราะห

รปท 1 การจาลองการแขงตวของนาแขง

พจารณาวตถกงอนนตโดยมเงอนไข (0≤X≤∞)

ทอณหภมกระจายตวสมาเสมอเรมตน คอ TI , เมอ

วตถอยภายใตเงอนไขทตาแหนง X = 0 โดยทมคา

อณหภมคงท คอ T0 และ (T0 > Tm > Ti) แสดง

ดงรปท 1 ซงสงทจาเปนตองทราบ : การกระจายตว

ของอณหภมทเปนสถานะของแขง (นาแขง), Ts และ

สถานะของเหลว (นา), TL , เศษสวนการละลาย คอ

Mr , ตาแหนงอนเตอรเฟส , xm (t), และความเรว

อนเตอรเฟส V𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ,(Mishaal Abdulameer

Abdulkareem ค.ศ.2013)

กาหนดขอบเขตและสมมตฐาน ดงน

1. คณสมบตทางความรอนของของแขงนนมคา

ไมเทากบของเหลว ทเปนวตถชนดเดยวกน

2. ไมคดการขยายตวของปรมาตรของทงสอง

สถานะ โดยกาหนดใหปรมาตรและความหนาแนนของ

วตถมคาคงท

3. คณสมบตทางความรอนของสถานะใดสถานะ

หนง ไมเปลยนแปลงตามอณหภม



744

CST-45 4. อณหภมเรมแรกมคาคงท คอ Ti

5. อนเตอรเฟสเปนการเปลยนสถานะ จะม

อณหภมการเปลยนสถานะคงท (Tm )

6. คาความรอนแฝงของการหลอมละลาย (hSL )

มคาคงท

7. ไมคดผลกระทบทเกดจากความตงผวและ

ความโคงทผวของวตถ

8. ไมมการพาความรอนและการแผรงสความ

รอน โดยพจารณาการนาความรอนเพยงอยางเดยว

และไมคดผลกระทบทเกดจากแรงโนมถวงของโลก

9. ไมมการเกดความรอนจากภายในของวตถ

3. ผลเฉลยรปแบบปดในหนงมต

สมการหลก (Governing equation) มเงอนไข

เรมตนและขอบเขต คอ : ∂TL∂t

=αL∂2TL∂x2 for (0≤x≤xm(t)) (1)

∂Ts∂t

=αs∂2Ts∂x2 for (xm(t)≤x≤∞) (2)

T(x,0)=Ti (3)

T(0,t)=T0 (4)

T(∞,t)=Ti (5)

T(xm(t),t)=Tm (6)

ผลการสมดลพลงงานทตาแหนงอนเตอรเฟส ;

�ks∂Ts∂x

�xm(t)

- �kL∂TL∂x

�xm(t)

=ρhSLdxm(t)

dt (7)

กาหนดให : δ= xm(t)2√αLt

และ : α= αSαL

= kSρCLkLρCS

สมการทวไปของการกระจายอณหภมของสถานะ

ของเหลวและของแขงนนถกกลาวไวตามตวอยางของ

Carslaw และ Jaeger ในป ค.ศ.1959 :

TL(xL,t)-TmT0-Tm

= �1-erf∙� xL

2�αLt�

erf∙(δ)� (8)

Ts(xL,t)-TiTm-Ti

= �erfc∙� xs

2�αst�

erfc∙� δ√α

�� (9)

เมอ (δ) เปนรากของสมการ transcendental

equation ดงตอไปน :-

1

erf∙(δ)eδ2 - βθ

erfc� δ√α

�e�δ2

α �= δ√π

St (10)

(Stefan Number) St= Sensible heatLatene heat

= CL(T0-Tm)hSL

β=�kSρCSkLρCL

และ θ= Tm-TmT0-Tm

และความเรวของอนเตอรเฟส (Vint 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ) เปน

ดงตอไปน ;

Vinterface= dxm(t)dt

=δ�αLt (11)

และเศษสวนการละลาย (Mr) เปนดงตอไปน;

Mr= xm(t)L

= 2δ√tαLL

(12)

เมอ L คอ ความยาวทจากดในการตรวจสอบผล

การคานวณของแบบจาลองหนงมต

4. แบบจาลองปรมาตรจากด

4.1. รปแบบกรด

รปท 2 การควบคมขอบเขต

(Mishaal Abdulameer Abdulkareem, 2013)

ดวยวธ Finite Volume Method, ขนตอนแรก

เปนการแบงขอบเขตของตวเลขใหมความตอเนอง

โดย ; (Nx) สาหรบขอบเขตในหนงมต โดยทวไปจะ



745

CST-45 สามารถหาจดสาคญ P. ในขอบเขตหนงมต, Node

ในดานตะวนออกและตะวนตกของ P เปนการระบดวย

W และ E ตามลาดบ, ขอบเขตดานทศตะวนตกจะถก

เรยกวา ‘w’ และดานทศตะวนออกทถกควบคม

ปรมาตรจะถกเรยกวา ‘e’, ดงแสดงในรปท 2 การ

แบงตวเลขตามขอบเขตของเวลา ∆t , ตวแปรทแสดง

ลาดบเวลากอนหนาจะถกเขยนตอดวย (o, Old),

ในทางกลบกน ตวแปรในชวงเวลาทใหมกวาจะไมม

การเขยนกากบ, ซง Versteeg และ Malalasekera ได

กลาวไวในป ค.ศ.1995

4.2. แบบจาลอง Discretization ในหนงมต

รปท 3 แบบจาลอง Discretization ในหนงมต

ทตาแหนง 0.1-ม. มอณหภมเรมตน คอ

Ti = −5 C°, ดวยเงอนไขของตาแหนงเรมตนและ

ตาแหนงสดทายมอณหภมคงท คอ T0 = 20 C° ในขณะทปลายอกขางหนงใหมอณหภมเทากบ

จดเรมตน คอ Ti = −5 C° ดงแสดงในรปท 3 , การ

ควบคมขนาดและปรมาตรอยางตอเนองโดยการใช

∆x, ดงนนสมการกากบพลงงานในหนงมต คอ :

ρC ∂T∂t

= ∂∂x

�k ∂T∂x

� (13)

4.2.1. สมการกากบหนงสถานะ(𝐓𝐓 < 𝐓𝐓𝐦𝐦)

∂H∂t

= ∂∂t

�∫ ρCsdTTTi

� (14)

นาสมการท (14) มาแทนในสมการท (13) จะได

วา;

∂∂t

�∫ ρCsdTTTi

� = ∂∂x

�k ∂T∂x

� (15)

คณสมการท (15) ดวย (dV. dt), (dV =dx. (1). (1)) แลวทาการ integrate ตามขอบเขตท

ไดควบคมปรมาตร จะไดวา;

∫ ∫ ρCS∂T∂t

dx.dt= ∫ ∫ ∂∂x

�k ∂T∂x

� dx.dtew

t+∆tt

ew

t+∆tt (16)

โดยจะไดสมการทมรปแบบสมบรณ คอ;

ρCS�TP-TP0�∆x=

∫ ��k ∂T∂x

�e

- �k ∂T∂x

�w

� dtt+∆tt (17)

4.2.2. สมการกากบสองสถานะ (𝐓𝐓 ≥ 𝐓𝐓𝐦𝐦): ดวยวธการ enthalpy method นน สามารถ

ทานายวธการทเกดจากปญหาทม 2 สถานะได ดงวธ

ตอไปน :

∂H∂t

= ∂∂t

�∫ ρCsdTTmTi

� - ∂∂t

(ρhSL)+

∂∂t

�∫ ρCLdTTTm

� (18)

แทนสมการ (18) ลงในสมการท (13), จะไดวา;

∂∂t

�∫ ρCsdTTmTi

� - ∂∂t

(ρhSL)+ ∂∂t

�∫ ρCsdTTTm

� - ∂∂t

�k ∂T∂x

� (19)

คณสมการท (19) ดวย (dV. dt), (dV =dx. (1). (1)) แลวทาการ integrate ตามขอบเขตท

ไดควบคมปรมาตร, จะไดวา;

∫ ∫ ρCS∂T∂t

dx.dt- ∫ ∫ ∂∂x

(ρhSL)dx.dtew

t+∆tt

ew

t+∆tt +

∫ ∫ ρCL∂T∂t

dx.dt- ∫ ∫ ∂∂x

�k ∂T∂x

� dx.dtew

t+∆tt

ew

t+∆tt (20)

ไดรปแบบทสมบรณ;



746

CST-45 ρCS�TP-TP

0�∆x-ρhSL∆x+ρCL�TP-TP0�∆x =

∫ ��k ∂T∂x

�e

- �k ∂T∂x

�w

� dtt+∆tt (21)

แตละขอบเขตเงอนไงนนถกแทนทในสมการท (17)

สาหรบ discretizing แบบจาลองหนงสถานะในหนงมต

และแทนทในสมการท (21) สาหรบแบบจาลองสอง

สถานะในหนงมต แลวแบงผลการทดลองทเกดขนโดย

ใชความตางของเวลา ∆t เพอจดรปแบบของคาตอบท

ได

5. แบบจาลองและการวเคราะห

5.1 สมการการถายเทความรอน

การสรางสมการทางคณตศาสตรจะพจารณาจาก

สมการควบคมและสมการเฉพาะซงจะไดสมการทาง

คณตศาสตรสาหรบการวเคราะหการขนรปของนาแขง

หลอดในแนวพกด (x,t) ในรปอตราการเปลยนแปลง

ของเอนธาลป สมการการถายเทความรอนสาหรบการ

วเคราะหแบบ 1 มต แสดงดงสมการท 22

∂H∂t

= ∂∂𝑥𝑥

�k∂T

∂x� (22)

คาสมประสทธการนาความรอน k จะขนอยกบ

อณหภม โดยการแกปญหาการเปลยนสถานะของนา

เอนทาลป (H) จะถกกาหนดโดยผลรวมของ Sensible

Enthalpy (h) กบ คาความรอนแฝง ΔH ซงจะได

สมการดงน

H = href + ∫ cpdTT

Tref + ∆H (23)

โดยท href = เอนทาลปอางอง Tref= อณหภม

อางอง และ CP = ความจความรอนทความดนคงทซง

คาความรอนแฝงสามารถคานวณไดจาก

∆H = βL (24)

โดยอตราสวนของเหลว (Liquid fraction), β คอ

β= T - TsolidusTliquid-Tsolidus

( 25)

โดยถา β = 0 ; T<Tsolidus

และถา β = 1 ; T>Tsolidus

5.2 การจาลองการแขงตวของนาแขงหลอด

รปท 4 ทตาแหนง t = 0

รปท 5 ทตาแหนง t > 0

ปญหาการแขงตวเนองจากการเปลยนแปลง

ของอณหภมทปลายดานหนงของสารบรสทธทม

ลกษณะลอมรอบแบบปด(enclosure) ดงรปท 4 และ 5

ซงไดมการศกษาการแขงตวแบบ 1 มต โดยท

ตาแหนง x = 0 (cold wall) และ x = L (hot wall) ม

อณหภมคงทซงขณะทผนงอก 2 ดานไมมการรบหรอ

เสยความรอนใหกบสงแวดลอม (adiabatic wall) ใน

สภาวะเรมตนทตาแหนง t = 0 ดงรปท 4 บรเวณ

พนผว ABCD จะมของเหลว (liquid) ซงมอณหภม

คงท (Ti > Tm) และในสภาวะทตาแหนง t > 0 ดงรปท

5 อณหภมจะลดลงตากวาอณหภมหลอมเหลวทผนง

ดานขวาและหลงจากนนกจะเกดการแขงตวขนและ

ความหนาของสารบรสทธกจะเพมขนตามเวลาท

เปลยนแปลงไปขนและความหนาของสารบรสทธกจะ

เพมขนตามเวลาทเปลยนแปลงไป



747

CST-45

รปท 6 แผนภาพระบบทพจารณา

รปท 7 ภาพตดตามยาวระบบทพจารณา

ปญหาทพจารณาในบทความนเปนปญหา

การแขงตวของนาแขงหลอดใน 1 มต ซงใน

กระบวนการแขงตวนนนาแขงจะเรมกอตวจากขอบ

ผนงดานในของทอจนกระทงมขนาดทเหมาะสมและม

แอมโมเนยเปนสารทาความเยนอยโดยรอบนอกทอ

ดงรปท 6 และ 7 ซงในการแกปญหาครงนจะพจารณา

เฉพาะการแขงตวของนาไปเปนนาแขงเทานน

ซงจะมสมมตฐานพนฐานหลกๆดงตอไปน

1. พจารณาปญหาเปนการเปลยนสถานะใน

1 มตในแนวแกนแบบเปลยนแปลงตามเวลาของ

นาแขงหลอด

2.อณหภมตามเสนรอบวงใด ๆ จะมคาไม

เปลยนแปลง หรออาจกลาวไดวา อณหภมไม

เปลยนแปลงไปทรศมเดยวกน

3.พจารณาในกรณทไมมแหลงพลงงานความ

รอนในผนง

4.พจารณาปญหาการแขงตวเปนแบบแยก

สถานะกนชดเจนระหวางสถานะของแขงและของเหลว

(sharp interface) และ อณหภม ณ รอยแบงระหวาง

ทงสองสถานะมคาคงทเทากบอณหภมเยอกแขง

5.พจารณาปญหาเปนการถายเทความรอน

แบบการนาความรอน (heat conduction) ในบรเวณ

ของผนงทอ และนาแขง

5.3 การกระจายตวของอณหภม

การกระจายตวของอณหภม (temperature

distribution) ทเกดขนในวตถนน สามารถทราบไดจาก

การแกสมการนาความรอนและสมการเงอนไขขอบเขต

ทสอดคลองกบปญหานนๆ โดยธรรมชาตแลวอณหภม

จะแปรไปตามทงตาแหนงและเวลา ดงนน ในระบบ

พกดฉาก อณหภมจะอยในรปของ T=T(x,t) ดงนน ใน

การแกสมการดงกลาว จงจาเปนตองแกชดของสมการ

ทประกอบไปดวยสมการการนาความรอนกบอกสอง

สมการทสอดคลองกบเงอนไขของปญหา ณ เวลา

เรมตนของการพจารณาพรอมๆกน ทงนสมการแรก

เรยกวา สมการเงอนไขขอบเขต (boundary

condition) สวนอกสมการเรยกวา สมการเงอนไข

สภาวะเรมตน (initial condition) สมการเงอนไข

ขอบเขตพจารณา ดงน

1.เงอนไขขอบเขตทมอณหภมคงท

เปนเปนเงอนไขขอบเขตทพบไดในกรณทมการให

ความรอนทขอบวตถโดยมอณหภมคงทตลอดเวลาท

พจารณาหากกาหนดใหเกดการนาความรอนในแผน

วตถ(flat plate) ทมความหนา L โดยใหความรอนไหล

ไปในทศทาง x และ ณ ขอบวตถทตาแหนง x = 0

และ x = L วตถมอณหภมคงทเทากบ T1 = T2

ตามลาดบดงรปท 8



748

CST-45

รปท 8 เงอนไขขอบเขตทอณหภมคงท

แลวสามารถเขยนสมการกาหนดเงอนไข

ขอบเขตได ดงน

ท x = 0 ; T = T1 หรออาจเขยนอยในรป �T|x=0 = T1 (26a)

และท x = L ; T = T2 หรออาจเขยนอยในรป �T|x=L = T2 (26b)

2. เงอนไขขอบเขตทมการใหความรอนทขอบ

เงอนไขขอบเขตนเกดจากการใหความรอนท

ขอบของวตถซงหากพจารณาการนาความรอนหนงมต

ในแผนวตถ (flat plate) หนา L ทมการใหความรอน

ตอพนท (heat flux) ทขอบวตถ โดยทความรอนตอ

หนวยพนทท x = 0 และ x = L มคาเปน q0 และ qL

ตามลาดบดงรปท 9 สมการเงอนไขขอบเขตของ

ปญหา สามารถหาไดจากการดลความรอนทไหลผาน

ขอบเขตนน ดงน

รปท 9 เงอนไขขอบเขตทมการใหความรอนทขอบใน

กรณของวตถแผน

ณ ตาแหนงท x= 0; q0 = -k ∂T∂x

หรอ

q0 = -k �∂T∂x

�x=0

( 27a)

และตาแหนง x= L; qL = − k ∂T∂x

หรอ

qL = - �-k �∂T∂x

�x=L

� (27b)

สาหรบคาของคณสมบตตาง ๆ ของนาและนาแขงทใช

ในการพจารณาเปนดงตารางท 1

ตารางท 1 คณสมบตของนาและนาแขง

คณสมบต คาทใช

ρนาแขง (kg/m3) 920

Kนาแขง (W/m-K) 1.88

Cนาแขง (J/kg-K) 2,040

ρนา (kg/m3) 1,000

Kนา (W/m-K) 0.569

Cนา (J/kg-K) 4,217

L (kJ/kg) 333.7

บทความนเปน การศกษาการกระจายตวของ

อณหภมในชวงการแขงตวของนาแขงหลอดในหนงมต

โดยวธการทางพลศาสตรของไหลเชงคานวณ เพอ

ศกษาการกระจายตวของอณหภมในชวงการ แขงตว

ของนาแขงหลอด ซงรปทรงของนาแขงหลอดนจะถก

สรางดวยโปรแกรมการวาดรปและนามาสราง

แบบจาลองตาขายขอมล (meshing) แลวนาขอมลเขา

สโปรแกรมเพอใชระเบยบวธเชงตวเลขในการ

แกปญหา ซงจากการวจยพบวาการตงคาตวแปรและ

คาพารามเตอรในการคานวณทเหมาะสมจะสามารถ

ทาใหผลการวเคราะห (simulation) ใกลเคยงกบผล

เฉลยแมนตรง (exact solution) ผลเฉลยทไดจากการ

นาไปเปรยบเทยบกบงานวจย ทเกยวของ และผลการ

ทดลองจรง ดงแสดงไวในตารางท 1 และ2 ซงจะถก

นามาใชในการวเคราะหในบทความน

จากความสมพนธทงหมดทกลาวมา สามารถ

จาลองแผนภาพทใชในการนามาวเคราะหไดดงรปท



749

CST-45 10 ซงสาหรบคาของอณหภมเรมตนของนา ( Ti) และ

อณหภมเงอนไขขอบเขตทตาแหนง x = 0 (cold wall)

และทตาแหนง x = L (hot wall) แสดงในตารางท 2

สวนขอบเขตของผนง BC และ AD เปนอะเดยเบตก

รปท 10 แผนภาพจาลองความสมพนธทใชในการ

วเคราะห

5.4 เงอนไขเรมตนและเงอนไขขอบเขต

ตารางท 2 Formulation of Case Study

case initial state Tinitial Th Tc

1 นา 35 35 -8

2 นา 30 30 -8

3 นา 25 25 -8

กอนทจะเรมการจาลองดวยระเบยบวธการ

ทางพลศาสตรของไหลเชงคานวณนน ตองทาการ

กาหนดคาเรมตนกอนโดยทจะกาหนดใหเวลาทใชใน

การเรมคานวณมคาเทากบ 0 วนาทซงเงอนไขเหลาน

จะระบไวในทกกรดสาหรบทกตวแปรดงแสดงใน

ตารางท 2 และการแกปญหานจะขนอยกบเงอนไข

เรมตนเหลาน และแบบจาลองทแสดง (42 x42) mm

ดงแสดงในรปท 10

6. ผลการทดลองและอภปรายผล

จดมงหมายของ บทความ ฉบบน คอ

การ ศกษาการกระจายตวของอณหภมในชวงการ

แขงตวของนาแขงหลอดใน หนง มตโดยวธการทาง

พลศาสตรของไหลเชงคานวณ เพอศกษาการกระจาย

ตวของอณหภมในชวงการ แขงตวของนาแขงหลอด

ซงจะวเคราะหผลการทดลองดงตอไปน

6.1 การกระจายตวของอณหภม

ผลการเปรยบเทยบคาการกระจายตวของ

อณหภมทวเคราะหโดย วธการทางพลศาสตรของไหล

เชงคานวณ ในการแกปญหา ผลเฉลยแมนตรง และ

ผลเฉลยทไดจากการนาไปเปรยบเทยบกบงานวจย

ของ [จตตน แตงเทยง] ดงแสดงในรปท 11

รปท 11 การกระจายตวของอณหภมทเวลา 10, 20

และ 31 นาท

รปท 12 การกระจายตวของอณหภม Case 1 ท

อณหภม Th = 35 องศาเซลเซยส และ Tc = -8

องศาเซลเซยส

Distance from outer surface in dimensionless.

Tem

pera

ture

indi

men

sion

less

.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Exact solution

Present solution

Numerical(Chittin Tangtieng)

10 mins

20 mins

31 mins


Tem

pera

ture

indi

men

sion

less

.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Exact solutionPresent solution

t = 10 mins

t = 20 mins

t = 31 mins



750

CST-45







ผลของการคานวณในรปของการกระจายตวของ

อณหภม จากรปท 11 เปนการเปรยบเทยบคาการ

กระจายตวของอณหภมทวเคราะหโดย วธการทาง

พลศาสตรของไหลเชงคานวณ ในการแกปญหา ผล

เฉลยแมนตรง และผลเฉลยทไดจากการนาไป

เปรยบเทยบกบงานวจยของ [จตตน แตงเทยง] โดยจะ

พจารณาชวงของเวลาทใชในการกระจายตวของ

อณหภมทเวลา 10, 20 และ 31 นาท ตามลาดบ ซง

เปนเวลาทใชในกระบวนการผลตจรง โดยทคาความ

คลาดเคลอนของการกระจายตวของอณหภมท

วเคราะหโดยวธการทางพลศาสตรของไหลเชงคานวณ

ในการแกปญหากบผลเฉลยแมนตรง จะมคาอยท

3.9%, 2.6% และ 1.3% ตามลาดบ ซงเปนทสงเกตได

วาการกระจายตวของอณหภมทระยะเวลาใน

ชวงแรกๆการกระจายตวของอณหภมมคาสงกวา

ระยะเวลาชวงทาย เนองมาจากบรเวณทเปนของแขง

เพมมากขนทาใหเกดความตานทานความรอนทตอง

ระบายออกจากบรเวณของเหลวมคาลดลง ทาใหอตรา

ความหนาทเพมขนมคาลดลง ซงจะเหนไดวาอณหภม

มแนวโนมลดลงเมอความหนาของนาแขงหลอดเพม

มากขนโดยอณหภมจะแปรผกผนกบเวลาและความ

หนาซงจะสอดคลองกบผลเฉลยแมนตรงและผลทได

จากวธการทางพลศาสตรของไหลเชงคานวณ และจาก

รปท 12, 13, 14 เปนการกระจายตวของอณหภมแต

ละ case ทเวลา 10, 20 และ 31 นาท ซงจะเหนไดวา

ทง 3 case ใหผลการกระจายตวของอณหภม

โดยประมาณมความใกลเคยงกบผลเฉลยแมนตรงมาก

7. กตตกรรมประกาศ

ขอขอบคณโรงงานขอนแกนมตรภาพทใหทา

การทดลองและเกบขอมล สถานจดการและอนรกษ

พลงงาน คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

และ ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะศวกรรมศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกนทไดทาการสนบสนนงานวจยใน

ครงน

8. เอกสารอางอง

8.1 บทความจากวารสาร (Journal)

[1] Salcudean, M. and Abdullah, Z., 1988. “On the

Numerical Modeling of Heat Transfer During

Solidification Processes”, International Journal for

Numerical Methods in Engineering,Vol. 25, pp.

445-473.

[2] Mishaal Abdulameer Abdulkareem, 2013.

“Numerical Simulation of Ice Melting Using the

Finite Volume Method”, Journal of Engineering,

vol. 19, June 2013, pp.717-733.

[3] Caldwell J. and Kwan Y.Y., 2004. "Numerical

methods for one-dimensional Stefan problem",


Tem

pera

ture

indi

men

sion

less

.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


t = 31 mins

t = 10 mins

t = 20 mins


Tem

pera

ture

indi

men

sion

less

.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


t = 10 mins

t = 20 mins

t = 31 mins



751

CST-45 Communications in Numerical Methods in

Engineering, Vol. 20, pp. 535-545.

[4] Chein-Shan Liu, 2011. "Solving two typical

inverse Stefan problems by using the Lie-Group

shooting method", International Journal of Heat

and Mass Transfer, Vol. 54, pp. 1941-1949.

[5] Myers T.G., Mitchell S.L., Muchatibaya G. and

Myers M.Y., 2007. "A Cubic heat balance integral

method for one-dimensional melting of a finite

thickness layer", International journal of Heat and

Mass Transfer, Vol. 50, pp.5305-5317.

[6] Naaktgeboren C., 2007. "The zero-phase

Stefan problem", International journal of Heat and

Mass Transfer, Vol. 50, pp.4614-4622.

[7] Prapainop R. and Maneeratana K., 2004.

"Simulation of ice formation by the finite volume

method", Songklanakarin J. Sci. Technol., Vol. 26,

No. 1, Jan.-Feb.

[8] Rincon M.A. and Scardua A., 2008. "The

Stefan problem with moving boundary", Bol. Soc.

Paran. Mat., (3s) V.26, 1-2.

[9] Sadoun N., Si-Ahmed E.K. and Legrand J.,

2012. "On Heat conduction with phase change:

accurate explicit numerical method", Journal of

Applied Fluid Mechanics, Vol. 5, No. 1, pp.105-

112.

[10] Savovic S. and Caldwell J., 2003. "Finite

difference solution of one-dimensional Stefan

problem with periodic boundary conditions",

International journal of Heat and Mass Transfer,

Vol. 46, pp. 2911-2916.

[11] Sugawara M., Komatsu Y. and Beer H.,

2011. "Three-Dimensional melting of ice around a

liquid-carrying tube", Heat Mass Transfer, Vol. 47,

pp. 139-145.

[12] Witula R., Hetmaniok E., Slota, D. and

Zielonka A., 2011. "Solution of the two-phase

Stefan problem by using the Picards iterative

method", Journal of Thermal Science, Vol. 15,

Suppl. 1, pp. S21-S26.

[13] Zhaochun WU, Jianping LUO and Jingmei

FENG, 2011. "A Noval algorithm for solving the

classical Stafan problem", Journal of Thermal

Science, Vol. 15, Suppl. 1, pp. S39-S44.

8.2 บทความจากเอกสารประกอบการประชม

(Proceedings)

[1] จตตน แตงเทยง.การศกษาภาระความเยนและ

อตราการผลตนาแขงจากการเพมประสทธภาพของ

กระบวนการผลตนาแขงหลอดดวยวธการพนแตงผว

ดวยลกปราย.การประชมเชงวชาการเครอขายพลงงาน

แหงประเทศไทยครงท 1; วนท 11-13 พฤษภาคม

2548 ; โรงแรมแอมบาสซาเดอร ซต จอมเทยน

จงหวด ชลบร.

[2] Patrick K. et al., 2008. "Modeling and

simulation of ice/snow melting", the 22nd ECMI

Modeling Week Conference, Eindhoven, the

Netherlands.

8.3 รายงาน

[1] Al-Zubaidy E.M., 2006. "A Computational and

instructional study of the effect of natural

convection on ice melting", M.Sc. Thesis,

Department of Technical Education, University of

Technology, Iraq.

8.4 หนงสอ

[1] Özisik, M. N., 1993. “Heat Conduction”. John-

Wiley & Sons,New York, USA, pp. 392-398.

[2] Crank, J., 1984. “Free and Moving Boundary

Problem”, Clarendon Press, Oxford.

[3] Frank P. Incropera and Dewitt, David P, 2002.

“Fundamentals of Heat and Mass Transfer”, John-



752

CST-45 Wiley & Sons, New York, USA, 2002, pp. 905-

916.

[4] Alexiades V. and Solomon A.D., 1993.

“Mathematical Modeling of Melting and Freezing

Processes”, Hemisphere Publishing Corporation,

Washington.

[5] Carslaw H.S. and Jaeger J.C., 1992.

“Conduction of Heat in Solids”, Oxford University

Press, London, UK.

[6] Holman J.P., 1992. “Heat Transfer”, 7th edition

in SI Units, McGraw-Hill , UK.

[7] Versteeg H.K. and Malalasekera W., 1995.

“An Introduction to Computational Fluid

Dynamics: The Finite Volume Method”, Longman

Scientific & Technical, England.

28 CST-45 15-17 simulation of the temperature...ใน 1...

Documents

Transcript of 28 CST-45 15-17 simulation of the temperature...ใน 1...