1

主要内容 :

1.微分的概念 .

2. 微分的几何意义 .

3. 微分的运算

4. 微分在近似计算中的应用

2.5 微分

2

一、微分的定义

A=x02

x0

x0

x

xx0x

x0x

(x)2

引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 ,其边长 x 由 ,00 xxx 变到 问此金属薄片的面积 A 改变了多少？

因为 ,2xA 所以金属薄片的面积改变量为

20

20 xxxA

.2 20 xxx

时，当 0x ;2 xx

xxx 是02

A 的主要部分，可以近似的代替 .A

的线性函数 , 是

3

（ A 为不依赖于△ x 的常数）

)( xoxA

则称函数 y = f(x) 在点 可微，而 xA

称为 f(x) 0x 的微分，记作 dy 或 df，xAdy

在点

求函数 2xy （１）当由１变到 1.01 时的微分（２）在时 x=3 的微分 .

（１） 01.0101.1,22

xxxy

02.001.012)1( xfdy

（２） xxxfdy 632)3(

解

若函数 在点 0x 的增量可表示为定义

例１

即

4

函数 在点 0x 可微的充要条件是

y=f(x) 在点 0x 处可导，且 ),(xfA

即 xxfdy )( 0

“ 必要性”

已知 y=f(x) 在点 0x 可微，则 xxAxfxxfy 00

A

x

xA

x

yxx

00

limlim

故 y=f(x) 在点 0x 可导， Axf

0

定理

证

且

5

函数 在点 0x 可微的充要条件是y=f(x) 在点 0x 处可导，且 ),(xfA

即 xxfdy )( 0

证：“充分性”

已知 y=f(x) 在点 0x 可导，则 0

0lim xf

x

yx

0lim0

0

xxf

x

y

故 xxxfxxxfy 00 线性主部

00 xf

即 xxfdy 0

定理

6

自变量的微分：

因为当 y=x 时，

xxxdxdy

所以通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分，

记作 dx , 即 xdx

因此，函数 y=f(x) 的微分又记作

dxxfdy )(

7

增量与微分的关系 :

时，有当 0)( xf

1lim1

limlim0

0000

dy

y

xfxf

y

dy

yxxx

根据等价无穷小的性质 , dydyy

从而 0lim0

dy

dyyx

结论 :

dyy

近似代替的条件下，以微分在 xxfdyxf Δ0 )()( 当时趋时，相对误差增量 0ΔΔΔ 00 xxfxxfy )()(

的近似等式很小时，有精确度较好于零，因此，在 xΔ

8

二 、微分的几何意义

xxfdy )( 0 )(xfy

0xxx 0

x

y

o

y

ydx tan

很小时 , dyy

时，当 xy

则有 xdxfdy )(

从而 )(xfxd

yd 导数也叫作微商

切线纵坐标的增量

自变量的微分 ,为称 x

记作 dx，

xy dx记

x当

9(e x)e x

(x )x 1

(sin x)cos x

(cos x)sin x

(tan x)sec 2 x

(cot x)csc 2x

(sec x)sec x tan x

(csc x)csc x cot x

(a x )a x ln a

d(x )x 1dx

d(sin x)cos xdx

d(cos x)sin xdx

d(tan x)sec 2xdx

d(cot x)csc 2xdx

d(sec x)sec x tan xdx

d(csc x)csc x cot xdx

d(ax)ax ln adx

d(ex)exdx

1 ．基本初等函数的微分公式三、微分公式与微分运算法则

10

dxax

xdax

x aa ln)(log

ln)(log

11

dxx

xdx

x11

)(ln)(ln

dxx

xdx

x22 1

1

1

1

)(arcsin)(arcsin

dxx

xdx

x22 1

1

1

1

)(arccos)(arccos

dxx

xdx

x 22 1

1

1

1

)(arctan)(arctan

dxx

xarcdx

xarc 22 1

1

1

1

)cot()cot(

11

2. 函数和、差、积、商的微分法则

dvduvudvuvu

求导法则 :

微分法则 :

CduCuduCCu

udvvduvudvuvuvu

00 22

uu

vduudv

u

vdu

u

vduudv

u

v

12

3. 微分形式的不变性

dxxufdxydy x )()(

由于 ,)( dudxx 所以 , 复合函数 )(xfy

的微分公式也可以写成.)( duydyduufdy u

或

由此可见 , 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 duufdy )( 保持不变．

这一性质称为微分形式的不变性．

的微分为 y f ( x )

y f ( u )设 及 都可导，则复合函数u ( x )

13

例２

dyey x 求 , 221

（方法一）dxedxxedxedy xxx 222 212121 4)4()(

（方法二）dxxedxxexdedy xxx 222 2121221 4)4()21(

dyxy 求 , )12sin(

把 2x+1 看成中间变量 u ，则)12()12cos(cos)(sin xdxuduuddy

dxxdxx )12cos(22)12cos(

在求复合函数导数时，可以不写出中间变量．

例３

解

解

14

对所给方程两边分别求导，得

)()( yxedxyd

)( yxdexdyydx yx

)( dydxexdyydx yx

dxyedyex yxyx )()(

)1(

)1(

yx

xy

ex

ye

dx

dyyx

yx

即

例４

解

求由方程 yxexy 所确定的隐函数.

dx

dyy 的导数

15

在下列不等式左端的括号中填上适当的函数，使等式成立．

tdxdxd sin)2()1(

（１）因为 ,2)( 2 xdxxd 所以

.2

1,

2

1

2

1 222 xdxxdxdxdxdx

即

一般地，有 为任意常数CxdxCxd )2

1( 2

（２）因为 ,cos)(sin tdttd 所以

)sin1

()(sin1

cos tdtdtdt

)(cos)sin1

( 为任意常数CtdtCtd

因此

例５

解

16

如果函数 y=f(x) 在点 0x 处的导数 xxf 且0)( 0

很小时，我们有 xxfdyy 0

xxfdyxfxxf )()()( 000

xxfxfxxf )()()( 000

00 , xxxxxx 即若令 那么又有xxfxfxf )()()( 00

xffxfx )0()0()(00 时，有特别当

四、微分在近似计算中的应用

17

１．利用公式 xxfy )( 0 求函数增量的近似值

半径为 10 厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了 0.05 厘米 , 问面积增大了多

少 ?设圆面积为 A, 半径为 r, 则 .2rA

现在已知 r=10 厘米， 05.0r

由公式 xxfy )( 0

得 平方厘米14.305.01014.322 0 rrdAA

即面积增大 3.14 平方厘米 .

例６

解

厘米，

18

2. 利用公式 xxfxfxxf )()()( 000 求函数在 0x

附近的值利用微分计算 0330sin 的近似值。

解360

,6

,3606

0330 0

xx

xxxxx 000 cossin)sin(0330sin

3606cos

6sin

5076.03602

3

2

1

5076.00330sin 即

例 7

19

3. 利用公式 xffxf )0()0()( 求函数在 x=0 附近的值 .

常用的近似公式（假定 x 是较小的数值） :

xn

xn 111)1(

xx sin)4(

xx tan)5(

xe x 1)3(

xx )1ln()2(

xx arcsin)6(

(1)设 ))1((

1)(1)(

1n n

n

xnxfxxf

，则

于是 .1

)0(,101)0(n

ff n

代入公式 xffxf )0()0()( 得

xn

xf1

1)( 即 xn

xn 111

证明

20

计算下列各式的近似值 .002.03 )3(5.998)2(02.1)1( e

(1) 应用近似公式 (1), 因为 n=2, 所以

,2

111 x

于是 01.12

02.0102.0102.1

(2) 仍用近似公式 (1), 因为 n=3, 所以 3

113 xx

这时必须先将 3 5.998 变形，使它满足 3 1 x

的形式（注意 x 要比较小），因为3333 0015.0110)

1000

5.11(10005.110005.998

所以 995.9)3

0015.01(105.9983

(3) 应用近似公式 (3)得

98.002.0102.0 e

例 8

解

21

五、内容小结

1. 微分概念微分的定义及几何意义

可导 可微2. 微分运算法则

微分形式不变性 : duufudf )()(

(u 是自变量或中间变量 )

3. 微分的应用 近似计算

22

1(1)(2)(3) 2(1)(2)

六 、 作业