24777218 Mate Capitolul III

5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 1/85

88

Capitolul 3

Curbe remarcabile

Capitolul include construcţii şi proprietăţi ale unor curbe remarcabile:

strofoida, cisoida, foliul, versiera, concoida, cardioida, cubele lui Cassini, lemniscata,

spirala, cicloida, tractricea, lănţişorul.

3.1. Strofoide

1.a. Strofoida drea ptă (cubica lui Descartes)

Definiţie şi construcţie

Metoda I. Considerăm două drepte perpendiculare notate cu d şi respectiv 'd .

Fie O punctul de intersecţie al celor două drepte şi fie A un punct arbitrar pe dreapta

d (Fig.1a)). Ducem prin A o dreaptă arbitrară AL care intersectează 'd în punctul

P .

Fig. 1a

A

M1 P

M2

O

N

d

d’

L

V

U



89

Cu ajutorul compasului construim pe dreapta AL , de o parte şi de alta a punctului P

două puncte 1 M şi respectiv 2 M astfel încât POPM PM == 21. Locul geometric al

punctelor1

M şi 2

M când P se deplasează pe dreapta 'd este o strofoidă dreaptă

F

.

Metoda II . Fie un punct fix şi d o dreaptă dată. Construim cercurile 1C şi

2C tangente exterior într-un punct O , unde O este un punct arbitrar pe dreapta d .

Ducem din F tangentele comune la cele două cercuri şi notăm cu M , N , P , Q

punctele de tangenţă. Locul geometric al punctelor de tangenţă ale tangentelor duse din

F la două cercuri tangente exterior este o strofoidă dreaptă

(Fig. 1a’).

Fig 1a’

Demonstraţie. Fie A punctul de intersecţie dintre tangenta comună interioară

d şi tangenta comună exterioare 'd . Atunci are loc relaţia AN APOA == . Cum

cercurile1C şi

2C sunt arbitrare, punctul A variază pe dreapta d deci locul geometric

al punctelor P şi N este o strofoidă dreaptă.

C1

C2 O

M

N

P

Q

F

A

d

d’

d”

O1 O2



90

Reciproc. Ducem prin F o dreaptă 'd care intersectează pe d într-un punct A .

Fie P şi N două puncte pe dreapta 'd şi O un punct pe d astfel încât are loc relaţia

AN APOA == . Fie1O punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi N pe

dreptele d şi respectiv 'd . Fie 2O punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O

şi P pe dreptele d şi respectiv 'd . Triunghiurile dreptunghice1 AOO şi 1 ANO sunt

congruente conform cazului IC ceea ce implică N OOO11

≡ şi deci1

OO şi N O1

sunt

raze în cercul 1C de centru1O . Analog se demonstrează că 2OO şi PO2 sunt raze în

cercul 2C de centru 2O . Deci punctele P şi N ale strofoidei drepte se află pe

tangenta comună exterioară a cercurilor 1

C şi2

C .

Ecuaţiile strofoidei drepte

a) Ecuaţia strofoidei drepte în coordonate carteziene este:

xa

xa x y

−

+±= (1)

Pentru a găsi ecuaţia strofoidei drepte în coordonate carteziene luăm ca axă Ox

dreapta d şi ca axă Oy dreapta 'd . Fie A un punct fix pe axa Ox astfel încât a AO =

şi fie 1 M şi 2 M două puncte pe dreapta arbitrară AL astfel încât21

PM PM OP == .

Dacă λ este lungimea segmentului OP atunci ecuaţia dreptei AL este

01 =−+−λ

y

a

x şi obţinem relaţia

xa

ay

+=λ . Ţinând seama de faptul că

1 M ,

2 M şi O

sunt puncte pe cercul ( )λ ,PC rezultă că pentru ( )λ ,PC avem ecuaţia

( ) 222 λ λ =−+ y x . Eliminând pe λ în ecuaţia cercului obţinem relaţia

xa xa x y −+= 22 . Ecuaţia

xa xa x y

−+±= , ne dă o reprezentare în coordonate carteziene

a strofoidei drepte în funcţie de parametrul a .

b) Ecuaţia strofoidei drepte în coordonate polare ( O pol, d axa polară) se scrie

ϕ

ϕ ρ

cos

2cosa−= (2)

Pentru a găsi ecuaţia strofoidei drepte în coordonate polare considerăm

sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate polare:



91

=

=

ϕ ρ

ϕ ρ

sin

cos

y

x(3)

de unde obţinem

22

cos

sin

=

ϕ

ϕ

x

y. (4)

Având în vedere relaţiile (1) şi (3) rezultăϕ ρ

ϕ ρ

cos

cos22

−

+=

−

+=

a

a

xa

xa

x

y. (5)

Din egalitatea relaţiilor (4) şi (5) obţinemϕ ρ ϕ

ϕ ϕ

cos

2

cos

cossin2

22

−=

+

a

adar

1cossin 22 =+ ϕ ϕ deci,

ϕ ρ ϕ cos

2

cos

12 −

=a

a.

Mai precis, are loc relaţia: ( )ϕ ϕ ρ 2cos21cos −= a .

De unde obţinem reprezentarea în coordonate polare a strofoidei drepte

ϕ

ϕ ρ

cos

2cosa−= .

c) Ecuaţiile parametrice ale strofoidei drepte sunt următoarele:

=

+

−=

+

−=

ϕ tgu

u

uau y

u

ua x

1

1

1

1

2

2

2

2

(6)

Având în vedere relaţia (3) rezultă ϕ ρ 222 sin= y şi ϕ ρ 222 cos= x (7). Dar din (1)

avem xa

xa x y

−

+= 22 (8). Inlocuind relaţiile (8) în (7) obţinem

ϕ ρ

ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ

cos

coscossin

2222

−

+=

a

a, de unde rezultă

ϕ ϕ

ϕ ρ

cos

1

1

12

2

⋅+

−⋅=tg

tga (9).

Inlocuind relaţia (9) în (3) obţinem ecuaţiile parametrice ale strofoidei drepte.



92

Lungimi, arii şi volume

a) Lungimea curbei OOAM 1 este dată de formula:

aal OOAM 49,2cos

2sin12

4

0

2

2

1 ≈+

= ∫

π

ϕ ϕ .

b) Aria mărginită de curba OOAM 1 este dată de formula :

22 2

12 aaS π −= .

Demonstraţie. ( )∫∫ −=

+

−=

+

−=

−

1

0

2

2

2

2

2

2

22

22

42

1

1

1

2

1π adu

u

uadt

t a

t aS

a

a

, unde am

făcut schimbarea de variabilăa

t u = .

c) Analog se determină formula 22 2

12 aaS π += pentru aria cuprinsă între

ramurile 'OU , 'OV şi asimptota UV . Această arie tinde către infinit dar are o

magnitudine finită.

Demonstraţie. Pentru a determina formula căutată pornim de la formula ariei

unei figuri plane în care înlocuim ( ) x f cu expresia xa

xa x

−

+ şi considerăm limitele

integralei 01 = x şi a x =2, deci dx

xa

xa xS

a

∫ −

+=

0

2 . Făcând schimbarea de variabilă

xa

xa

t −

+

= calculul ariei revine la calculul integralei ( ) dt t

at

t t

t

aS 221

2

2

1

4

1

1

2 +⋅⋅+

−

= ∫

∞

,

mai precis

( ) ( )

+−

+= ∫ ∫

∞ ∞

1 1

32

2

32

42

1

4

1

42 dt

t

t dt

t

t aS .

Notăm( )∫

∞

+=

1

32

4

1

1

4dt

t

t I şi

( )∫∞

+=

1

32

2

2

1

4dt

t

t I de unde rezultă ( )21

22 I I aS −⋅= (1).



93

Integrând prin părţi în 1 I avem:

( )dt

t t I ∫

∞

+⋅−=

1

'

22

3

1

1

1=

( ) ( )∫∞

∞

++

+−

1

22

2

1

22

3

13

1dt

t

t

t

t = ∫

∞

+⋅−

1

2 1

1

2

3

4

1dt

t t =

∫∞∞

++

+⋅−

1

2

1

2 1

1

2

3

12

3

4

1dt

t t

t =

∞⋅+

12

31 t arctg . De unde rezultă 1 I =

8

31

π + (2).

Integrând prin părţi în2 I avem:

( )∫∞

+⋅−=

1

'

222

1

1dt

t t I =

( ) ( )∫∞

∞

++

+−

1

22

1

221

1

1dt

t t

t =

∞

++−

1

1

2

1

4

1

t arctgt =

−+− 142

141 π . De unde rezultă 2 I =

843 π +− (3).

Având în vedere relaţiile (1), (2) şi (3) obţinem formula căutată

+= 1

42

2 π aS .

d) Volumul corpului generat de curba OOAM 1 în urma rotirii în jurul axei Ox

este dat de formula:

23166.0

3

42ln2 aaV ≈

−= π .

Demonstraţie

∫

∫∫∫∫∫

−

−−−−−−

−

=−

+=

−

+−=

−

+==

+

+

0 3

030 30

2

0

2

0

2

0

2

2

3

22

a

aaaaaa

dx xa

x

xdx

xa

xdx xdx

xa

x xa xdx

xa

xa xdx yV

π

π π π π π π

∫∫−− −

+−

−+=

0

3

0 333

223

aaxa

dxadx

xa

a xaV π π

π =

= ( ) ( )0

3

0

22

3

ln223 a

a

xaadx xaxaa

−−

−−++− ∫ π π π

. Prin urmare,

−=

3

42ln23

aV π .

e) Analog se demonstrează că volumul corpului generat de curba VU OV U '' în

urma rotirii complete în jurul axei Ox este de magnitudine infinită .



94

1.b. Strofoida oblică (generalizată)

Definiţie şi construcţie. Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar

în acest caz d şi `d nu sunt perpendiculare, formează un unghi α diferit de

90 (Fig.1b)).

Ecuaţiile strofoidei oblice (generalizate)

a) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare este următoarea:

( )( )θ α

θ α ρ

−

−−=

sin

2sina .

Demonstraţi e. Pentru a găsi ecuaţia strofoidei oblice considerăm O originea

sistemului de axe format din dreptele d şi 'd , α unghiul format de cele două drepte

d şi 'd şi β unghiul format de dreapta AL cu dreapta d . Aplicând teorema sinusului

în triunghiul OAP obţinem:

( ) AOOP AP

β α β α +==

sinsinsin(1)

Fig 1b

d’

A

M1

M2 P

S

d

O

L



95

Cum P M AM AP11 += şi cum POP M =1 rezultă PO AP AM −=1 . Din relaţia (1)

obţinem

( ) β α

α

+−=

sin

sin a AP şi

( ) β α

β

+−=

sin

sin aOP .

Având în vedere că triunghiurile '

11 M AM şi APO sunt asemenea obţinem

relaţia

AO

AM

AP

AM

OP

M M '

11

'

11 == (2)

unde y M M =

'

11 şi xa AM −−=

'

1 . Inlocuind aceste expresii în relaţia (2) obţinem

relaţiile:

( ) β α

β α

α

β

+

−⋅−=

sin

sinsin

sin

sina y (3)

α

β

sin

sina x −= . (4)

Având în vedere sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate

polare în cazul în care

90≠α avem:

( )

=

−=

α

θ ρ

α

θ α ρ

sin

sin

sin

sin

y

x

(5)

şi înlocuind (4) în (5) obţinem relaţia ( )α θ α ρ

α β

sinsin

sinsin

−=− a , de unde rezultă ecuaţia

( )θ α

β ρ

−−=

sin

sina . (6)

Determinăm β în funcţie de α şi θ . Având în vedere relaţiile (3), (4) şi (5) obţinem

( ) ( ) β α

β α

θ α

θ

+

−=

−=

sin

sinsin

sin

sin

x

y.



96

De unde rezultă θ α β 2−= (7). Inlocuind relaţia (7) în (6) obţienem ecuaţia strofoidei

oblice în coordonate polare( )( )θ α

θ α ρ

−

−−=

sin

2sina .

b) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate carteziene este următoarea:

( ) ( ) 0cos2 222 =++−− xa x y xa x y α

Demonstraţie. Pentru a determina ecuaţia strofoidei oblice în coordonate

carteziene înlocuim relaţia (4) în (3):

( ) ( ) ( )( ) β α

α

β α

α α

β α

β α

+⋅

⋅+=+

+

=+

−= sin

sin

sin

sinsin

sin

sinsin

a

xa xa

x

x x y . Efectuând calculele şi ţinând

cont de faptul că α β sinsina

x−= obţinem ecuaţia căutată.

1.c. Strofoida unui cerc (nefroida lui Freeth)

Definiţie şi construcţie. Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar

în acest caz polul curbei este centrul cercului şi punctul fix se află pe circumferinţă

(Fig. 1c)).

Fig 1c



97

Fie dat cercul ( )a AC , şi fie O un punct pe circumferinţa acestuia. Ducem prin

O o dreaptă arbitrară care întâlneşte cercul a doua oară într -un punct P . Determinăm

punctele M şi ' M astfel încât POPM PM == ' . Locul geometric al punctelor M şi

' M când P se deplasează pe circumferinţa cercului este nefroida lui Freeth.

Ecuaţiile strofoidei unui cerc

a) Ecuaţia strofoidei unui cerc în coordonate polare este de forma:

( )( )2sin21 ϕ ρ += a

b) Ecuaţiile parametrice ale strofoidei unui cerc sunt următoarele:

( )( )

( )( )

⋅+=

⋅+=

t t a y

t t a x

sin2sin21

cos2sin21

Ob servaţie. Dreapta prin P paralelă cu axa Oy intersectează curba în Q

(Fig.2) atunci,7

3π ϕ = şi în acest caz strofoida poate fi folosită la construirea

heptagonului regulat.

Fig. 2

PO

Q



98

Cazuri particulare ale nefroidei lui Freeth (a=1).

b=0 b=1/4 b=2/3

b=1 b=3/2

b=2 b=3

Caracteristici ale strofoidelor

• Punctele O (Fig 1a) şi 1b)) şi respectiv A sunt numite noduri.

• Tangentele în O la cele două ramuri sunt perpendiculare.

• In cazul strofoidei oblice dreapta UV este asimptotă numai pentru una dintre

ramuri în timp ce pentru cealaltă ramură este tangentă în punctul S , care este

echidistant faţă de A şi B (Fig. 1b)).



99

• In cazul strofoidei drepte, punctul de tangenţă S este la infinit astfel încât

dreapta UV este asimptotă pentru ambele ramuri (Fig. 1a)).

• Segmentul ON este de lungime 2a (Fig 1a)).

3.2. Cisoida lui Diocles

Definiţie şi construcţie. Considerăm cercul C de diametru aOA 2= (Fig 3).

Ducem tangenta în A la cercul C şi notăm cu UV dreapta suport a acestei tangente.

Ducem prin O o dreaptă arbitrară ce intersectează tangenta UV în F şi cercul C în E .

Fie M un punct pe dreapta OF , între O şi F , astfel încât OE MF = . Curba descrisă

de punctul M când drepta OF se roteşte în jurul punctului O este cunoscută sub

numele de cisoida lui Diocles.

Construcţia propusă de Diocles. Se consideră un sistem de axe ortogonale

XOY şi cercul ( )CAC C , (Fig.3). Se construiesc diametrul BD perpendicular pe

diametrul OA şi o coardă arbitrară prin O care intersectează a doua oară cercul în

punctul E . Notăm cu G simetricul punctului E pe ( )CAC C , faţă de B . Paralela 'GG

prin G la diametrul BD intersectează coarda OE într-un punct M . In acest caz

cisoida este compusă din arcele OB şi OD şi este înscrisă în cercul C .

Fig. 3

O

Y

C XQ A

F

E

T

U

VK

N

M

P

G B

DG’



100

Altă construcţie. Fie d şi 'd două drepte paralele şi fie O un punct fix pe

dreapta 'd (Fig.4). Fie P un punct variabil pe drepata d . Notăm cu Q proiecţia

punctului P pe dreapta 'd . Fie M proiecţia punctului Q pe segmentulOP . Punctul

M astfel construit este un punct al cisoidei.

Fig. 4

Construcţia tangentei . Fie M un punct arbitrar al cisoidei (Fig.3). Construim

dreapta ce trece prin punctele O şi M . Construim perpendiculara în M pe OM şi

notăm cu P şi Q punctele de intersecţie ale acesteia cu axele OY şi respectiv OX .

Fie K simetricul lui Q faţă de P . Construim prin O paralela la QK şi prin K

paralela la OM . Notăm cu N punctul lor de intersecţie. Dreapta NM este normală la

cisoidă. Tangenta căutată este perpendiculara pe NM în M .

Ecuaţiile cisoidei

a) Ecuaţia cisoidei în coordonate polare ( O pol, OX axă polară) este

următoarea:

ϕ

ϕ ρ

cos

sin22

a= (1)

Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cisoidei considerăm ca axă Ox diametrul

OA al cercului şi ca axă Oy tangenta în O la cerc (Fig.3). Fie ρ şi ϕ coordonatele

polare ale lui M faţă de polul O şi axa Ox . Deoarece triunghiul AEO este înscris

într-un semicerc rezultă AE este perpendiculară pe dreapta OE . Avem atunci

d’ d

O

Q



101

ϕ sin AF EF = . Cum ϕ OAtg AF = şi aOA 2= obţinem relaţiaϕ

ϕ ρ

cos

sin2

2

a= , care ne

dă reprezentarea în coordonate polare a cisoidei .

b) Ecuaţia cisoidei în coordonate carteziene este de forma:

xa

x y

−=

2

32 (2)

Demonstraţie. Având în vedere relaţia (1) şi sistemul de coordonate polare

=

=

ϕ ρ

ϕ ρ

sin

cos

y

x obţinem relaţia:

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ρ

cos

sin2

sincos

2

a y x

=== . (3)

Din egalitateaϕ

ϕ

ϕ cos

sin2

cos

2

a x

= obţinema

x

2sin =ϕ şi

a

x

21cos −=ϕ (4).

Substituind (4) în prima egalitate din (3) şi ridicând la pătrat obţinem relaţia

xa

x y

−=

2

32 , care ne dă reprezentarea în coordonate carteziene a cisoidei.

c) Ecuaţiile parametrice ale cisoidei

=

=

+=

ϕ tgu

ux y

u

au x

2

2

1

2

Observaţie. Cisoida este o curbă raţională.

Demonstraţie. Având în vedere relaţia (3) obţinem ϕ 2sin2a x = sau altfel

scris ϕ ϕ

ϕ 2

2

2

coscos

sin2 ⋅= a x . Fie utg =ϕ , cum

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

2

22

2

2

cos

cossin

cos

sin

2+

= a x obţinem

expresia2

2

12

u

ua x

+= . Având în vedere notaţia făcută precum şi relaţia (3) rezultă

ux y = .



102

Relaţia dintre cisoidă şi parabola de ecuaţie px y 22 =

Propoziţie. Locul geometric al piciorelor perpendicularelor duse din vârful

parabolei la tangente este cisoida de ecuaţie

x p x y

+−=

2

32

Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cisoidei considerăm parabola de ecuaţie

px y 22 = . Fie

α

β

α ,

2

M un punct al parabolei. Ecuaţia tangentei în M la parabola

dată are ecuaţia 02

2

=

+− p

x p y α α . De unde rezultă

+= p

x p y2

2

α α

. (1)

Perpendiculara dusă din vârful parabolei pe tangenta în M la parabolă are

ecuaţia x p

yα

−= sau x

y

p−=

α . (2)

Inlocuind relaţia (2) în (1) obţinem

+−= p

x

y p

x y

x y

2

2

22

. De unde rezultă x

py x y

2

222 −=+ . Prin aducere la acelaşi

numitor, în urma grupării termenilor, obţinem ecuaţia

x p

x y

+

−=

2

32 .

Caracteristici ale curbei:

• Originea O a sistemului de axe ortogonale este punct al curbei;

• AO este axă de simetrie.

• Cisoida are două ramuri care trec prin extremităţile B şi respectiv D ale

diametrului cercului C , perpendicular pe AO .

• Axa OX este tangentă înO la cele două ramuri ale cisoidei.

• Atunci când valorile lui x cresc de la 0 la a2 valorile pozitive ale lui y cresc

de la 0 la ∞ .

•

Dreapta UV de ecuaţie a x 2= este o asimptotă a cisoidei.• O este punct de întoarcere al cisoidei.



103

• Dreapta care trece prin origine întâlneşte curba în trei puncte din care două

sunt totdeauna originea, mai precis O este punct dublu.

Observaţie. Cisoida are puncte reale numai între dreptele 0=

x , a x 2=

, adică între axa OY şi tangenta în A la cercul de definiţie.

Arii şi volume

a) Aria benzii dintre cisoidă şi asimptotă este finită şi este de trei ori aria

cercului C . Prin urmare are loc formula:

23 aS π =

Demonstraţie. Având în vedere formula de calcul a ariei unei figuri plane, aria

benzii dintre cisoidă şi asimptotă este dată de expresia

∫ −=

a

dx xa

x xS

2

02

2 (1)

Făcând schimbarea de variabilă xa

xt

−=

2 obţinem expresiile

1

22

2

+=

t

at x şi

( )dt

t

at dx22 1

4

+= (2). Inlocuind (2) în (1) obţinem relaţia

( )dt

t

at t t

at S ∫∞

+⋅⋅

+=

0

222

2

1

4

1

22 =

=( )∫

∞

+0

32

42

116 dt

t

t a (3). Integrănd prin părţi în relaţia (3) rezultă

( ) ( )

+−

+−= ∫

∞∞

dt t

t

t

t aS

0

22

2

0

22

32

13

14 =

( )∫∞

+0

22

2

2

112 dt

t

t a =

+−

+− ∫

∞∞

0

2

0

2

2

1

1

16 dt

t t

t a =

∫∞

+0

2

2

16

t

dt a . Deoarece ∫

∞

+0

21t

dt =

∞

0arctgt rezultă 2

3 aS π = .

b) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a benzii dintre cisoidă ş i

asimptota UV în jurul asimptotei este egal cu volumul corpului obţinut în urma rotirii

complete a cercului C în jurul aceleeaşi asimptote UV :

32

2 aV π =



104

In cazul în care banda definită mai sus este rotită în jurul axei de simetrie se

obţine un corp al cărui volum este infinit.

Observaţie. Centrul de gravitate H al benzii dintre cisoidă şi asimptota UV

împarte diametrul OA în raportul 1:5: = HAOH ( Huyghens).

3.3. Foliul


Definiţie. Se numeşte foliu

( ) ( )( ) 2222 4axyb x x y y x =+++

curba care în coordonate carteziene are ecuaţia

.

Ecuaţia foliului în coordonate polare este de forma:

θ θ θ ρ 2sincos4cos ab +−= .

In funcţie de relaţia dintre cei doi parametri a şi b distingem trei tipuri de

curbe prezentate mai jos:

3.a) foliu simplu (ovoid) în cazul în care ab 4≥ (Fig.5a)

Fig 5a

Ecua ţiile foliului simplu

a) Ecuaţia foliului simplu în coordonate polare este următoarea:

θ ρ 3cosa= .



105

b) Ecuaţia foliului simplu în coordonate carteziene este de forma:

( ) 3222ax y x =+ .

c) Ecuaţiile parametrice ale foliului simplu sunt următoarele:

( )

=

+=

tx y

t

a x

221

Arii. Aria mărginită de foliul simplu este dată de formula:

2

32

5aS π =

Demonstraţie. Având în vedere formula de calcul a ariei unei figuri

plane în coordonate polare obţinem:

∫=2

0

62 cos2

12

π

ϕ ϕ d aS = [ ]∫2

0

322 cos2

1

π

ϕ ϕ d a = ∫

+2

0

3

2

2

2cos1

2

1

π

ϕ ϕ

d a =

+∫ ∫2

0

2

0

22cos3

16

1

π π

ϕ ϕ ϕ d d a +

+ ∫∫ ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

d d 2cos2cos3

2

0

3

2

0

2 =

++ ∫2

0

32 2cos4

3

216

1

π

ϕ ϕ π π

d a =

+

++ ∫2

0

2 2cos

2

4cos1

4

3

216

1

π

ϕ ϕ ϕ

π π

d a =

=

+ ∫2

0

2 4cos2cos4

5

16

1

π

ϕ ϕ ϕ π d a = 2

64

5aπ . De unde rezultă formula căutată.



106

3.b) foliu dublu regulat în cazul în care 0=b (Fig.5b)

Fig 5b

Construcţie. Fie C un cerc dat şi fie O un punct pe circumferinţa acestuia.

Pentru fiecare punct Q de pe circumferinţa cercului determinăm punctele P şi

'P astfel încât QOQPQP == ' . Locul geometric al punctelor P şi 'P este foliul dublu

regulat.

Altă metodă. Fie xOy un reper ortogonal şi fie A un punct pe axa Ox astfel

încât aOA = (Fig.5c). Considerăm cercul ( )2,a H C şi ducem prin H o dreaptă ( )∆

paralelă cu axa Oy . Dreapta ( )∆ intersectează ( )2,a H C într-un punct P . Cercul

( )OPPC , intersectează dreapta ( )∆ în punctele M şi ' M . Locul geometric al

punctelor M şi ' M când punctul P descrie cercul ( )2,a H C este foliul dublu regulat.

Pentru a determina ecuaţiile curbei considerăm punctul M de coordonate ( ) y x,

şi ( ) ϕ = AOPm ˆ . Aplicând teorema catetei în triunghiul ' MOM dreptunghic în O

obţinem relaţia:

'2 MM MH OM ⋅= = OP y 2⋅ . (1)

O

Q

P

P’



107

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OHM obţinem:

222 MH OH OM += (2)

Fig. 5c

Aplicând teorema înălţimii în triunghiul dreptunghic ' MOM obţinem relaţia de

mai jos:

'2

HM HM OH ⋅= (3)

Dar PH OP HM += şi PH OP HM −=' (4). Inlocuind relaţia (4) în (3) obţinem

222PH OPOH −= . (5)

Inlocuind relaţia (5) în (2) obţinem relaţia

( )2222PH OPPH OPOM ++−= = PH OPOP ⋅+ 22

2 . (6)

In triunghiul dreptunghiuric OHP avem relaţia ϕ sin⋅= OPPH (7). Inlocuind

relaţia (7) în (6) obţinem ( )ϕ sin12 22 += OPOM .



108

Deoarece în triunghiul dreptunghic OPA avem ϕ cos⋅= aOP relaţia (8) devine

( )ϕ ϕ sin1cos2 222 +⋅= aOM . (9)

Din relaţiile (1) şi (9) rezultă

( )ϕ ϕ ϕ sin1cos2cos2 22 +⋅=⋅⋅ a ya deci

( )ϕ ϕ sin1cos +⋅= a y .

Cum u+= ϕ θ rezultă u−= θ ϕ ,2

2π

ϕ =+u .

Ecuaţiile foliului dublu regulat

a) Ecuaţia foliului dublu în coordonate polare este de forma:

θ θ ρ 2sincos4a= .

b) Ecuaţia foliului dublu în coordonate carteziene este următoarea:

( ) 2222 4axy y x =+ .

Generalizare. Ecuaţia în coordonate polare a foliul dublu generalizat (Fig. 5d)

este:

ϕ ϕ ρ cossin ba= .

Fig. 5d



109

3.c) foliu triplu în cazul în care ab 40 << (Fig.5e)

Fig. 5e

Foliul triplu este un caz particular de rodonee (Fig 5f).

Definiţie. Se numeşte rodonee

ϕ ρ nacos=

curba care în coordonate polare are ecuaţia:

sau ϕ ρ nasin= .

Observaţie. Numărul petelelor curbei este egal cu numitorul expresiei:n2

1

2

1− .

Pentru n iraţional curba nu se închide, numărul petalelor fiind egal cu ∞ . Pentru n

întreg numărul petalelor este:

par n pentrun

impar n pentrun

2

.



110

Fig. 5f

Ecuaţiile trifoliul ui ( )ab =

a) Ecuaţia trifoliului în coordonate polare este următoarea:

1sin4cos 2 −= ϕ ϕ ρ a .

b) Ecuaţia trifoliului în coordonate carteziene este de forma:

( ) ( )( ) 2222 4axya x x y y x =+++ .

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

n=1/2n=3/2 n=5/2

n=7/2n=9/2

n=1/4 n=3/4 n=5/4 n=7/4 n=9/4



111

Lungimi şi arii

ad al 7,6sin9

816

2

0

2 ≈−= ∫

π

ϕ ϕ ,

2

4aS

π = .

3.4. Foliul lui Descartes (Frunza lui Descartes)

Definiţie şi construcţie. Fie cercul ( ) AO AC , astfel încât [ ] l AO = . Construim

dreapta GH paralelă cu raza AO a cercului ( ) AO AC , (Fig. 6). Prin punctele A şi O

ducem două drepte paralele perpendiculare pe AO care intersectează dreapta GH în

punctele ' A şi E . Pe dreapta AO se ia un punct F , opus lui O faţă de A astfel încât

[ ] [ ]OAOF 3= şi ducem dreapta ce uneşte punctul E cu F . Ducem prin O o dreaptă

arbitrară ce intersectează a doua oară cercul într -un punct N şi construim paralela prin

N la dreapta ' AA . Fie Q punctul de intersecţie al acesteia cu OF şi K punctul de

intersecţie al dreptelor 'QA şi FE . Notăm cu 'Q punctul de intersecţie dintre AK şi

GH . Fie P un punct pe AO , între A şi O astfel încât QA AP = . Paralela prin P la

' AA intersectează NO într-un punct 1 M . Fie 2 M simetricul lui 1 M faţă de P . Când

N parcurge cercul în sens opus acelor de ceasornic1

M descrie curba LOCABOI

(Fig.7).

Caracteristici ale curbei (Fig.6). Punctul O se numeşte nodul curbei.

Tangentele prin A coincid cu axele. Dreapta AO este axă de simetrie. Punctul

2

3,

2

3 aa A situat la cea mai mare distanţă faţă de O se numeşte vârful curbei. Dreapta

UV de ecuaţie 0=++ a y x este asimptotă pentru cele două ramuri care se prelungesc

la infinit.



112

Fig. 6

Ecuaţiile foliului lui Descartes

a) Ecuaţia în coordonate carteziene este de forma:

axy y x 333 =+ ,

unde a3 reprezintă diagonala unui pătrat de latură

2

3aOA = .

b) Ecuaţia în coordonate polare (O pol, OX axă polară) este următoarea:

ϕ ϕ

ϕ ϕ ρ

33 sincos

sincos3

+=

a.

M2

F Q A

N

G Q' A' E H

I

L

O

K

X

U

V

M1



113

Fig. 7

c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt de forma:

=+

=

+=

ϕ tgu

u

au y

u

au x

3

2

3

1

3

1

3

.

Dacă axa de simetrie OA coincide cu axa Ox a sistemului de axe ortogonale şi

dacă considerăm O originea axei Ox pe care o orientăm în direcţia asimptotei UV

atunci, curba lui Descartes este descrisă de ecuaţiile de mai jos.

a) Ecuaţia în coordonate carteziene este următoarea:

xl

xl x y

3−

+±=

unde, OA

a

l == 2

3

.

U

V

O

L

I

AB

C

X

Y



114

b) Ecuaţia în coordonate polare este de forma:

( )ϕ ϕ

ϕ ϕ ρ

33

22

cossin3

cossin

+

−=

l.

Arii. Aria mărginită de curba OCABO este egală cu aria benzii dintre

ramurile curbei şi asimptotă :

2

2

32

3

==l

aS .

Demonstraţie. Având în vedere ecuaţiile parametrice ale foliului lui Decartes,

aria mărginită de curba OCABO se exprimă prin integrala

dt t

at

t

at dt

t

at

t

at S

'

3

0

3

2'

3

0

3

2

1

3

1

3

1

3

1

3

+⋅

+−=

+⋅

+= ∫∫

∞

∞

, de unde, derivând sub semnul integralei

obţinem ( ) ( )

+−

+−= ∫∫

∞∞

0

33

5

0

33

22

12

19 dt

t

t dt

t

t aS .

Notăm( )

dt t

t a I ∫

∞

+=

0

32

22

1

19 şi

( )∫∞

+=

0

33

5

2

2

118 dt

t

t a I deci, aria căutată este dată de

relaţia 12 I I S −= (1). Integrând prin părţi ambele integrale obţinem relaţiile:

( ) 2

3

1

1

2

32

'

0

23

2

1

adt

t

a I =

+−= ∫

∞

, (2)

( )dt

t t a I

'

0

23

32

2

1

13 ∫

∞

+⋅−= = dt

t a ∫

∞

+−

0

'

3

2

1

13 = 2

3a . (3)

Inlocuind în relaţia (1) expresiile integralelor1 I şi 2 I obţinute în relaţiile (2) şi (3)

rezultă2

32a

S = .

Observaţie. Diametrul ll

BC 448.03323

2≈−= al curbeiOCABO are

lungime maximă. Distanţa acestuia faţă de nod este ll

DO 577.033

≈= .



115

3.5. Versiera

Definiţie şi construcţie. Fie cercul C de centru K şi diametru aOA = şi fie

CM prelungirea unei semicoarde BC astfel încâtOB

OA

BC

BM = (Fig. 8). Când punctul

C parcurge cercul

2,OA

K C punctul M descrie curba numită versieră sau bucla lui

Agnesi

A

.

Construcţie (Agnesi). Construim tangentele prin şi O la cercul C . Notăm

cu UV şi respectiv ' XX dreptele suport ale acestor tangente. Fie L punctul de

intersecţie al dreptelor OC şi UV . Construim paralele prin L la OA şi prin C la AL .

Fie M punctul de intersecţie al acestor drepte. M este un punct al versierei.

Fig. 8

Ecuaţiile versierei

a) Ecuaţia versierei în coordonate carteziene este următoarea:

22

3

xa

a y

+= ,

unde O este originea sistemului de axe iar OAa = este diametrul cercului C .

Demonstraţie. Cum triunghiurile dreptunghice BOC şi MLC sunt asemenea

rezultă CM

BC

LM

BO= , relaţie echivalenată cu următoarea:

CM BC

BC

LM BO

BO

+

=

+

⇔

CM BC

BC

AB BO

BO

+

=

+

⇔

BM

BC

AO

BO= .

U VLF

OXX’

Y

B C

M

AM2 M1

C1 C2 K



116

Pentru a găsi ecuaţia versierei considerăm ca axă OX tangenta în O la cercul

2,a

K C . Fie B un punct pe diametrul OA al cercului. Coarda prin B paralelă la axa

OX intersectează cercul de ecuaţie42

22

2 aa y x =

−+ în punctul C şi are

ecuaţia b y = . Rezultă C este de coordonate ( bbab ,2− şi deci 22bab BC −= . Cum

a

OB

BM

BC = obţinem

( )b

baa

OB

BC a BM

−==

2

2

22

2. De unde, obţinem ecuaţia

( ) y

yaa x

−=

22 . Prin urmare

22

3

a x

a y

+= .

Caracteristici ale curbei. Diametrul OA este dreapta de simetrie a versierei.

Dreapta ' XX este asimptota curbei. Versiera are două puncte de inflexiune 1 M şi2 M

care sunt atinse când C ajunge în poziţiile1

C şi respectiv2

C . In vecinătatea punctului

A versiera coincide cu cercul iar8

332,1

=α .

Construcţia tangentei . Punctul F este situat pe prelungirea diametrului OA

astfel încât8

a AF = . Dreptele FX şi 'FX pentru care 1α şi 2α au valorile

8

33sunt

tangentele căutate.

Arii şi volume

a) Aria benzii infinite dintre versieră şi asimptota corespunzătoare este de 4 ori

aria cercului C 2

4 aS π = .

b) Volumul V al corpului obţinut prin rotirea completă a versierei în jurul

asimptotei este de 2 ori volumul corpului obţinut prin rotirea completă a cercului de

definiţie în jurul aceleiaşi axe

422

32

1

aV V

π == ;

4

32

1

aV

π = .



117

Demonstraţie. Având în vedere formula pentru determinarea volumului unui

corp obţinut în urma rotirii unei curbe în jurul axei Ox obţinem

dx xa

aV

2

22

3

∫∞

∞−

+= π =

( )∫∞

+0

222

62 xa

dxaπ . (1)

Pentru calculul integralei vom f olosi formula de recurenţă:

( ) ( )∫ ∫ ++

+=

+2222222

2

2

1

2 xa

dx

xa

x

xa

dxa . (2)

Din relaţiile (1) şi (2) obţinem

∞

⋅⋅=0

2

6 1

2

12

a

xarctg

aaaV π . Deci volumul corpului

obţinut prin rotirea completă a versierei în jurul asimptotei este2

32a

V π

= .

c) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a versierei în jurul axei de

simetrie este infinit.

3.6. Concoida lui Nicomede

Definiţie şi construcţie. Fie date o dreaptă UV , O un punct exterior ei şi un

segment de lungime l (Fig.9). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează

dreapta UV în N . Pe această dreaptă luăm de o parte şi de alta a lui N punctele 1 M

şi2 M astfel încât l NM NM == 21

. Locul geometric al punctelor 1 M şi 2 M când

dreapta ON se roteşte în jurul punctului O se numeşte concoida lui Nicomede. Curba

descrisă de punctul 1 M se numeşte ramura exterioară a concoidei. Curba descrisă de

punctul2

M se numeşte ramura interioară a concoidei.



118

Fig. 9

Observaţie. Incepând cu Nicomede şi până în sec. al 17lea concoidă era numită

ramura exterioară a curbei. Ramura internă era privită ca o curbă specială şi era numită

concoida a doua, a treia sau a patra în funcţie de caracteristicile curbei.

Caracteristicile curbei. Punctele A şi C sunt numite vârfurile concoidei.

OB este dreaptă de simetrie şi intersectează concoida în O şi în cele două vârfuri. O

este punct dublu pentru curbă. UV este asimptotă atât pentru ramura interioară cât şi

pentru ramura exterioară a concoidei. Forma ramurei interioare a concoidei depinde de

relaţia dintre segmentele aOB = şi l BA = .

Cazul 1. 1: >al ramura interioară este curba ( )2OCM (Fig. 9). O este numit

nod.

Panta tangentelor în O la curbă este dată de formula:

a

altg

22 −±=α .

Y

X

U

V

D

E

P

Q

F

N

B

A

K

G

HM2

M1

O S

C



119

Construcţia tangentelor în O . Luăm în deschiderea compasului un segment de

lungime l . Fixăm piciorul compasului în O şi trasăm două arce de cerc care

intersectează dreapta UV în D şi respectiv E . Dreptele ' DD şi ' EE ce trec prin O

sunt tangentele căutate. Cazul 2. 1: =al curba care formează ramura interioară se reduce la polul O

care devine punct de întoarcere pentru curbă - are o formă analoagă cu cea a cisoidei

(Fig. 10a)).

Construcţia tangentei în O . Tangenta în acest punct coincide cu OX .

Cazul 3. 1: <al curba care formează ramura interioară nu trece prin polul O

(Fig. 10b)). O este în acest caz un punct dublu izolat al curbei.

a) b)

Fig. 10

Y

OX

P

Q

U

V

FB R A

Y

O

U

V

XC

P

Q

P’

Q’

Z B S A



120

Ecuaţiile concoidei lui Nicomede

a) Ecuaţia concoidei lui Nicomede în coordonate carteziene este de forma:

( ) ( ) 22222 xl y xa x =+− ,

unde OBa = este distanţa de la pol la dreapta de bază.

Ecuaţia reprezintă o figură formată din două ramuri ale concoidei şi polul O

care poate să nu aparţină locului geometric definit (Fig. 10b).

Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AOM 1

obţinem ( ) 222

1 hqaOM ++= . Dar lON OM +=1 deci

( ) ( ) 222hqalON ++=+ . (1)

Din ecuaţia dreptei1

OM avem xqa

h y

+= . De unde rezultă relaţia:

( )2

22

2

x

qa yh

+= . (2)

Inlocuind (2) în (1) obţinem:

( ) ( ) ( )22222 y xqalON x ++=+ . (3)

Cuml

ON

q

a= rezultă:

q

alON = . (4)

Inlocuind (4) în (3) obţinem ecuaţia ( )( ) 22222l xa x y x =−+ .

b) Ecuaţia în coordonate polare este de forma:

la

+=ϕ

ρ cos

.

Având în vedere ecuaţia concoidei lui Nicomede în coordonate carteziene precum şi

sistemul de ecuaţii de trecere de la coordonatele carteziene la coordonatele polare

obţinem relaţia ( ) ϕ ρ ρ ϕ ρ 22222coscos la =− care ne conduce la ecuaţia căutată.

Observaţie. Punctul ( )ϕ ρ , M descrie ambele ramuri ale concoidei.



121

c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt următoarele:

+=

+=

ϕ ϕ

ϕ

sin

cos

latg y

la x.

Construcţia normalei . Fie M un punct al concoidei (Fig.11). OM intersectează

dreapta UV în N . Perpendiculara în O pe OM intersectează perpendiculara în N pe

UV într-un punct ' N . M N ' este dreapta căutată.

Fig. 11

Construcţia tangentei . Dreapta perpendiculară în M pe M N ' este dreapta

căutată.

Arii şi volume

a) Aria dintre asimptotă şi una din ramurile concoidei, internă sau externă,

este infinit.

Y

X

U

N

B AO

C

N’

M

T

V



122

b) Aria buclei este

l

al

a

allalalaS arccosln2 2

2222 +

−+−−= .

++

=

+== ∫ ∫∫∫∫

l

a

l

a

l

a

l

a

l

a

d ld al

d a

d la

d S

arccos

0

arccos

0

2

arccos

0

2arccos

0

2arccos

0

2

1cos

2

cos2

1

cos2

1

2

1ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ρ

(1).

Fie ∫∫ ==l

a

l

a

d ad

a I

arccos

0

2

2

arccos

0

2

2

1coscos ϕ

ϕ ϕ

ϕ = l

a

tgaarccos

0

2 ϕ =

l

atga arccos

2 =a

ala

22

2 −

Deci 22

1 ala I −= (2).

∫=l

a

d al I

arccos

0

2cos

2ϕ

ϕ =

l

a

tgal

arccos

042

ln2

+

π ϕ =

l

a

al

arccos

02sin

2cos

2cos

2sin

ln2ϕ ϕ

ϕ ϕ

−

+=

l

a

al

arccos

02

cos1

2

cos1

2

cos1

2

cos1

ln2ϕ ϕ

ϕ ϕ

−−

+

+

+

−

=

l

al

l

al

l

al

l

al

al

22

22ln2

−−

+

+

+

−

=alal

alalal

−−+++−ln2 =

a

allal

22

ln2−+

(3),l

al I arccos2

3 = (4)

Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) rezultă:

+−+

−−⋅== l

al

a

allalalaSS arccosln2

2

122 2

22

221 .

In cazul particular al 2= aria buclei este dată de formula:

( ) 22 65,03

432ln43 aaS ≈

++−= π .

Generalizare. Dacă în locul dreptei UV considerăm o curbă L şi păstrăm

condiţiile din definiţia concoidei lui Nicomede obţinem o nouă curbă numită concoida

curbei L în raport cu polul O .



123

3.7. Melcul

Definiţie şi construcţie. Fie date cercul

=

22,

aOBK C şi un segment de

lungime l (Fig.12). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează a doua oară

cercul în P . Cu ajutorul compasului construim pe deapta OP punctele1

M şi2

M de o

parte şi de alta a lui P astfel încât lPM PM == 21 . Locul geometric al punctelor 1 M

şi 2 M când dreapta OP variază este melcul lui Pascal.

Observaţie. Melcul lui Pascal este o concoidă generalizată.

Fig. 12

C4 C3 A4 A3 A2 A1 C1

R

Q

O

M1 M2 P

B

D

E

H

H'

N

N'

N''

L

L'

L''

G

X

Y

4

3

2

1

1

S



124

Cazul 1. 1: <al (curba 1: 31=al ) melcul se intersectează cu el însuşi în

nodul O formând două bucle - o buclă exterioară ( )GOOHA1

şi o buclă interioară

( )OGC OH '' 1 .

Construcţia tangentelor . Construim în cercul K corzile OD şi OE de

lungime l .

Cazul 2. 1=al (curba 2) curba interioară se restrânge la polul O care devine

punct de întoarcere. Curba se numeşte în acest caz cardioidă.

Cazul 3. 21 << al (curba 3: 34=al ) Melcul lui Pascal este o curbă închisă

care nu se autointersectează. Polul este situat în interiorul curbei la distanţă de aceasta.

Curba nu are puncte de întoarcere dar are două puncte de inflexiune: R şi Q . Atunci

când al : creşte de la 1 la 2 , creşte şi unghiul QO R ˆ de la 0 la3

22arccos2

( '4039≈ ). Peste această valoare, pentru al : tinzând la 2, măsura unghiului QO R ˆ

tinde la 0.

Cazul 4. 2=al punctele de inflexiune se anulează confundându-se cu vârful

C. Melcul ia o formă ovală şi păstrează această formă pentru orice valoare a raportului

2: >al (curba 4: l/a=7/3). Punctele " L şi " N care sunt situate cel mai departe de axă

sunt asociate valoriia

lal

4

8cos

22 −+=ϕ .

Caracteristici ale curbei. Puctul O se numeşte pol. Cercul se numeşte cerc de

bază. OB este axă de simetrie. Axa melcului intersectează melcul în punctul O dacă

acesta aparţine melcului şi în două puncte A şi C numite vârfuri. Forma curbei

depinde de relaţia dintre segmentele aOB = şi l BC AB == .

Ecuaţiile curbei

a) Ecuaţia melcului lui Pascal în coordonate carteziene este următoarea:

( ) ( )222222 y xlax y x +=−+ . (1)

Ecuaţia reprezintă figura formată din melcul lui Pascal şi polul O , ce poate să

nu aparţină locului geometric definit mai sus (cazul curbelor 3 şi 4).



125

Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia melcului lui Pascal considerăm ecuaţia

cercului

=

22,

aOBK C :

42

22

2 a y

a x =+

− (2)

Punctele1

M şi2

M verifică ecuaţia polară la += ϕ ρ cos astfel încât avem

formulele:

ϕ ϕ cos2cos22

laa

x ++= (3)

ϕ ϕ sin2sin2

la y += (4)

Din (3) rezultă ϕ ϕ cos2cos22

laa

x +=− (5). Inlocuind (4) şi (5) în (2) obţinem:

( ) ρ ϕ llalax y x =+=−+ cos22 . Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia melcului lui

Pascal ( ) ( )222222 y xlax y x +=−+ .

b) Ecuaţia în coordonate polare este următoarea:

la += ϕ ρ cos .

Observaţie. Ecuaţia reprezintă figura ce conţine numai punctele ce satisfac

definiţia melcului lui Pascal.

Având în vedere sistemul de ecuaţii de schimbare a coordonatelor carteziene în

coordonate polare şi ecuaţia (1) obţinem:

( ) ( )ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ 2222222222 sincoscossincos +=−+ la ⇔ ( ) 22cos la =− ϕ ρ ,

relaţie care ne conduce la ecuaţia curbei în coordonate polare.

c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt:

+=

+=

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

sincossin

coscos2

a y

la x



126

sau echivalent:

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

=

−+++

=

−+++

−=

2

1

2

1

1

2

22

2

22

2

ϕ tgu

alualu

u y

alualu

u x

.

Observaţie. Melcul lui Pascal este o curbă raţională.

Construcţia tangentei ( Metoda I ). Pentru a construi tangenta la cardioidă

într-un punct M este suficient să unim acest punct cu punctul diametral opus

punctului de tangenţă al cercului fix cu cercul care se rostogoleşte. Normala va fi

dreapta1

MQ .

Fig. 13

Fie M un punct al cardioidei şi fie Q punctul de tangenţă al cercului fix cu

cercul care se rostogoleşte şi trece prin M . M Q1 este nrmala căutată.

Observaţie. Regula pentru construirea tangentei este valabilă pentru orice curbă

descrisă de punctele unui cerc care se rostogoleşte fără să alunece.

Y

X

M

Q

Q1



127

Construcţia tangentei ( Metoda II ). Construim perpendiculara TM în M pe

normala NM . TM este tangenta căutată (Fig.14).

Construcţia normalei . Fie M un punct al curbei. Dreapta MO intersecteazăcercul a doua oară într -un punct P (Fig.14). Fie N punctul diametral opus lui P.

Dreapta NM este normala căutată.

Fig. 14

Relaţia cu cercul . Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse

dintr-un punct O la tangentele unui cerc ( )r BC , este melcul lui Pascal. Dacă O este

situat în planul cercului atunci O este polul curbei, cercul de bază are ca diametru

segmentul aOB = iar segmentul de lungime l este egal cu raza r a cercului. Dacă

punctul O aparţine cercului, melcul lui Pascal devine cardioidă

∫−

+=π

π

ϕ ρ ρ d s22'

.

Lungimi şi arii

a) Lungimea cardioidei este de 8 ori mai mare ca lungimea diametrului

cercului de bază:

= ( )∫−

++π

π

ϕ ϕ ϕ d aa sin4cos142222 = ( )∫

−

+π

π

ϕ ϕ d a cos122

= ϕ ϕ

π

π d a 2cos4 ∫− = a16 .

Y

X

M

T

O

N

P

K A



128

b) Aria descrisă de raza melcul ui într-o mişcare de rotaţie completă este

următoarea: π

+= 22

2

1laS .

Având în vedere simetria curbei faţă de axa Ox este suficient să calculăm

jumătate din aria căutată. Astfel avem:

( )∫ ∫ +==π π

ϕ ϕ ϕ ρ 0 0

22

1 cos2

1

2

1d lad S = ( )∫ ++

π

ϕ ϕ ϕ 0

222cos2cos

2

1d lala =

∫π

ϕ ϕ 0

22cos

2

1d a ∫+

π

ϕ ϕ 0

cos2 d al +

∫π

ϕ 0

2d l . Deci aria descrisă de raza melcului într -o

mişcare de rotaţie completă este:

12S =π π

π π

ϕ ϕ ϕ

0

2

000

2 sin24

2sin

2lala ++

− =

2

2π a+ π 2

l .

In absenţa buclei ( )al ≥ , S reprezintă aria mărginită de melc. In cazul

existenţei buclei are loc ecuaţia 21 SSS += unde 1S şi 2S sunt date de expresiile:

22

1

22

12

3

2

1lallaS −+

+= ϕ ,

unde

−=a

larccos1

ϕ ;

22

2

22

22

3

2

1lallaS −−

+= ϕ .

undea

larccos

2

=ϕ .

( )∫

−

+=a

l

d laS

arccos

0

2'

1 cos2

1ϕ ϕ = ( )∫

−

++a

larr

d lala

cos

0

222 cos2cos2

1ϕ ϕ ϕ = ∫

−

a

larr

d a

cos

0

22 cos2

1ϕ ϕ +

∫

−

a

larr

d al

cos

0

cos22

1ϕ ϕ + ∫

−

a

larr

d l

cos

0

2

2

1ϕ .



129

De unde obţinem :

'

12S =

−

−

−

−

++

− a

l

a

la

l

a

l

lalaarccos

0

2arccos

0

arccos

0

arccos

0

2 sin24

2sin

2ϕ

ϕ ϕ =

2

1

2ϕ a-

4

arccos2sin2

−

a

l

a +

−

a

lal arccossin2 + 1

2ϕ l =22

1 22

1

22 lalla

−+

+ ϕ + 222 lal −

Deci aria căutată este:

22

1

22'

112

3

2

12 lallaSS −+

+== ϕ .

Analog se determină2

S .

Analog se demonstrează faptul că aria cardioidei este 2

2

3aS π = şi este de 6 ori

mai mare decât aria cercului de bază.

3.8. Curbele lui Cassini (ovalele lui Cassini)


Definiţie. Locul geometric al punctelor M pentru care produsul distanţelor de

la M la două puncte fixe1

F şi2

F , numite focare, este egal cu pătratul lungimii unui

segment dat, se numeşte curbă cassiniană 2

21 a MF MF =⋅: unde, cF F 221 = şi a este

lungimea unui segment dat. Dreapta21F F se numeşte axa curbei lui Cassini iar

mijlocul O al segmentului21F F se numeşte centrul curbei.

Construcţie. Considerăm cercul C de centru O şi diametru cF F 221 =

(Fig.15). Construim tangenta în1F la cerc şi luăm un punct K astfel încât aK F =1 .

Construim pe semidreptele opuse 1[OF şi2[OF două puncte

1 A şi respectiv 2 A astfel

încât 22

21 acOK OAOA +=== .1

A şi2

A aparţin curbei lui Cassini şi sunt

punctele cele mai îndepărtate de centrul O al curbei.



130

Fig. 15

Cazul 1. Dacă ca < (Fig.15) atunci construim în plus un cerc cu centrul în O

şi de rază a . Construim tangenta din1 A la acest cerc şi notăm cu T punctul de

tangenţă. Tangenta T A1

intersectează cercul de bază în punctele 0P şi0Q . Construim

pe diametrul21

F F punctele1

B şi2

B astfel încât0111

P A BF = şi0121

Q A BF = .

Punctele1

B şi2

B astfel determinate aparţin curbei lui Cassini şi sunt punctele situate

la distanţa cea mai mică de O ; 22

21 acOBOB −== .

Cazul 2. Dacă ca ≥ (Fig.16) atunci punctele cele mai apropiate ale curbei sunt

situate pe mediatoarea segmentului21

F F şi au proprietatea aC F C F ==2211

. Deci

22

21 acOC OC −== .

Perechile de puncte1

A ,2

A ;1

B ,2

B (sau1

C ,2

C ) se numesc vârfurile curbei lui

Cassini. Prin1 A sau 2 A ducem o secantă arbitrară care intersectează cercul de bază în

X

Y

H

M4 M2

A1 F1 B1 OB2 F2 A2

M3 F

Q

Q0

N M1 P

P0

KT



131

punctele P şi Q (Fig.15). In cazul în care ca < ne limităm numai la secantele care

intersectează şi cercul suplimentar de rază a . Cu piciorul compasului în1F construim

cercul de rază P Ar 1

= şi cu piciorul compasului în2

F construim cercul de rază

Q Ar 1'= . Notăm cu 1 M şi respectiv 2 M punctele de intersecţie ale acestor cer curi.

1 M şi2 M aparţin curbei lui Cassini. Schimbând rolurile între 1F şi 2F obţinem

perechea de puncte3

M ,4

M . Locul geometric al punctelor 1 M ,2

M , 3 M , 4 M este

curba căutată.

Fig. 16

Caracteristicile curbei

• Ovalele lui Cassini sunt curbe analagmatice, adică sunt invariante la inversiune.

Observaţie. Fie cercul ( )k OC , . Două puncte P şi Q sunt inverse în raport cu

C dacă 2k OQOP =⋅ . Dacă P descrie o curbă

1C atunci Q descrie o curbă

2C numită inversa lui 1C în raport cu cercul C .

• Dreptele OX şi OY sunt axe de simetrie pentru curba lui Cassini; O este punct

de simetrie pentru curba cassiană.

In cazul ca < curba lui Cassini este formată dintr -o pereche de ovale.

In cazul ca > curba lui Cassini este o curbă închisă.

G1

G2

E1

E2

C1

C2

O

K1

K2 K4

K3

K0

F1 F2 B1 B2

D1

D2 D3

D4

N1

A1

A2

N2



132

In cazul ca = curba lui Cassini este curbă numită lemniscată.

Pentru a tinzând la c , vârfurile 1 A , 2 A tind către vârfurile lemniscatei (1 N ,

2 N ) iar vârfurile1

B , 2 B tind către nodul O . Ovalul drept al curbei lui Cassini devine

bucla dreaptă a lemniscatei în timp ce ovalul stâng al curbei lui Cassini devine bucla

stângă a lemniscatei.

In cazul 2cac << curba lui Cassini are patru puncte de inflexiune 1 D ,2

D ,

3 D , 4 D , iar curba nu mai este un oval.

In cazul în care 2ca ≥ curba lui Cassini este un oval.

Ecuaţiile curbei lui Cassini

a) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate carteziene este următoarea:

( ) ( ) 44222222 2 ca y xc y x −=−−+

Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia curbei în coordonate carteziene luăm ca

origine punctul O şi notăm cu ( ) y x, coordonatele punctului1

M . Notăm cu1' M

piciorul perpendicularei din 1 M pe axa OX . Aplicând teorema lui Pitagora în

triunghiurile dreptunghice 111 ' F M M şi211

' F M M obţinem

relaţiile ( )222

11xc yF M −+= şi ( )222

21xc yF M ++= . Ţinând seama de faptul că

2

21 a MF MF =⋅ rezultă ( ) ( ) 42222a xc y xc y =++⋅−+ , de unde obţinem ecuaţia

căutată.

b) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate polare pentru cazul în care O este

pol şi Ox este axa polară

02cos2 44224 =−+− acc ϕ ρ ρ

sau

ϕ ϕ ρ 2sin2cos 24422cac −±= .



133

Demonstraţie. Aplicând în triunghiurile 11F OK şi21F OK teorema generalizată

a lui Pitagora obţinem:

ϕ ρ ρ cos2222

1 cc M F ++=

ϕ ρ ρ cos2222

2 cc M F −+= .

Inlocuind aceste relaţii în ecuaţia ovalelor 2

21 a MF MF =⋅ obţinem expresia:

422222

2

2

1 cos2cos2 acccc MF MF =−+⋅++=⋅ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ,

de unde rezultă ecuaţia 02cos244224 =−+− acc ϕ ρ ρ .

Construcţia tangentei . Fie N un punct al curbei lui Cassini (Fig.15).

Prelungim segmentul N F 1 cu un segment NF congruent cu el. Construim

perpendicularele în F şi2

F pe F F 1

şi respectiv N F 2

. Notăm cu H punctul de

intersecţie al acestor perpendiculare. Dreapta NH este tangenta căutată.

In cazul în care H este inaccesibil, segmentele NF şi2

NF pot descreşte

proporţional pentru a permite construcţia.

3.9. Lemniscata lui Bernoulli


Definiţie. Locul geometric al punctelor pentru care produsul distanţelor la

capetele unui segment dat cF F 221 = este 2c se numeşte lemniscată1F . Punctele şi

2F sunt focalele curbei iar dreapta21F F este axa lemniscatei.

Observaţie. Lemniscata este un caz particular al ovalelelor lui Cassini

( 22 ca = ).

Construcţie ( Metoda lui Maclaurin). Fie dat segmentul21F F de lungime c2 şi

fie O mijlocul acestuia (Fig.17). Construim cercul de centru 1F (sau 2F ) şi rază2

c.

Secanta din O la cerc intersectează cercul în P şi Q . Pe această secantă construim

punctele M şi 1 M de o parte şi de alta a lui O cu proprietatea PQOM OM == 1 . M

descrie o buclă a lemniscatei în timp ce1

M descrie cealaltă buclă.



134

Caracteristici ale curbei. Lemniscata are două axe de simetrie: dreapta suport a

segmentului21F F şi mediatoarea segmentului

21F F (Fig.17). O este numit nodul

curbei şi este punct de inflexiune pentru ambele ramuri. Tangentele în O la curbă

formează unghiuri de

45 cu axa 21F F . ( ) ( ) 2,, 21 c AOd AOd == iar 1 A şi 2 A se

numesc vârfuri.

Fig. 17

Ecuaţiile lemniscatei lui Bernoulli a) Ecuaţia curbei în coordonate carteziene (O origine) este următoarea:

( ) ( )222222 2 y xc y x −=+ .

Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia lemniscatei considerăm ca origine punctul

O şi fie ( ) y x, coordonatele punctului M . Construim ' MM perpendiculara prin M la

axa OX . Considerăm triunghiurile dreptunghice 1' F MM şi 2' F MM . Aplicând

teorema lui Pitagora în cele două triungiuri obţinem relaţiile ( )2

22

1 c x y MF −+= şi

( )222

2 c x y MF ++= . Ţinând seama de relaţia 2

21c MF MF =⋅ rezultă

( ) ( ) 42222 cc x yc x y =++⋅−+ , de unde obţinem ecuaţia ( ) ( )222222 2 y xc y x −=+

care ne dă reprezentarea în coordonate carteziene a lemniscatei.

b) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate polare este de forma:

ϕ ρ 2cos222

c= ,

B

C

Y

X

O

P

M

N

Q

N'

A1 A2

M1

F2 F1

K



135

unde ρ ia valori reale în cazul în care unghiul ϕ ia valori în intervalele

4 ,0π

,

4

5,

4

3 π π ,

π

π 2,

4

7 şi se anulează în cazul în care ϕ ia valorile

4

π ,

4

3π ,

4

5π ,

4

7π .

Trecând de la coordonatele polare la cele ortogonale: ϕ ρ cos= x , ϕ ρ sin= y

şi ţinând cont de relaţia 222 y x += ρ obţinem după transformări elementare

( )ϕ ϕ ρ ρ 22224 sincos2 −= c , de unde obţinem ecuaţia lemniscatei în coordonate

polare ϕ ρ 2cos2 22c= .

c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt următoarele:

−=

+

−=

+

+=

ϕ π

4

12

12

2

4

3

4

3

tgu

u

uuc y

u

uuc x

, unde +∞<<∞− u .

Observaţie. Lemniscata lui Bernoulli este o curbă raţională.

Construcţia normalei . Fie M un punct al lemniscatei (Fig.17). Construim în

M un unghi N M O ˆ astfel încât ( ) ( )1ˆ2ˆ F O M m N M Om = . Dreapta NM este normala

căutată. ( ) ( )11ˆ3ˆ F O M mF N M m = .

Construcţia tangentei . Perpendiculara în M la normala NM este tangenta

căutată (Fig. 17).

Observaţie. Diametrul cF F BC ==212

1

are lungimea cea mai mare şi este

latura triunghiului echilateral cu vârful în O .

Arii

a) Aria sectorului polar OM A1

este dată de formula:

( ) K F OK c

S 1

2

2sin2

⋅== ϕ ϕ ,

unde K este proiecţia punctului focal 1F pe raza OM .



136

b) Aria fiecărei bucle a lemniscatei este 2c .

Demonstraţie. Având în vedere simetria curbei calculăm jumătate din aria unei

bucle a lemiscatei ∫=4

0

2 2cos22

1

2

1

π

ϕ ϕ d cS =22

2sin 24

0

2 cc =

π

ϕ . Prin urmare 2

cS = .

Legătura cu hiperbola. Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse

din centrul O al unei hiperbole echilaterale cu vârfurile 1 A şi 2 A la tangentele sale

este o lemniscată cu vârfurile1

A ,2

A .

3.10. Spirale


Definiţie. Curba care în coordonate polare poate fi reprezentată prin ecuaţia

( )θ f r = , unde r este o funcţie crescătoare sau descrescătoare se numeşte

nar

1

θ =

spirală.

Tipuri de spirale

a) Spirale a căror ecuaţie este

- Pentru 1=n curba este cunoscută sub numele de spirala lui Arhimede

θ ar =

şi

are ecuaţia (Fig.18).

Fig. 18



137

- Pentru 1−=n curba este cunoscută sub numele de spirală hiperbolică

θ

ar =

şi

are ecuaţia (Fig.19).

Fig. 19

- Pentru 2=n curba este cunoscută sub numele de spirală parabolică

θ 22ar =

(spirala lui Fermat) şi are ecuaţia (Fig.20).

Fig. 20



138

- Pentru 2−=n curba este cunoscută sub numele lituus

θ / 22ar =

şi are ecuaţia

(Fig.21)

Fig. 21

b) Spirala logaritmică are ecuaţia ( ) ctgbar / ln θ = . Deoarece tangenta în orice

punct al curbei formează cu raza vectoare un unghi b spirala logaritmică se mai

numeşte şi spirală echiunghiulară.

10.a. Spirala lui Arhimede


Definiţi e. Fie dreapta ' XX şi O un punct fix pe ' XX . Fie UV o dreaptă

arbitrară prin O şi fie M un punct pe UV . Deplasăm punctul M pe dreapta UV în

timp ce rotim UV uniform în jurul punctului O . Curba descrisă de M în urma acestei

mişcări se numeşte spirala lui Arhimede (Fig.22 ).

Ob servaţie. Distanţa OM este proporţională cu unghiul de rotaţie al dreptei

UV . O mişcare de revoluţie completă este asociată cu aceeaşi deplasare a MM =1 .

Dreapta UV are două sensuri de rotaţie, fiecărui sens îi corespunde o spirală; rotaţiei

în sensul acelor de ceasornic îi corespunde spirala stângă, rotaţiei în sens opus acelor

de ceasornic îi corespunde spirala dreaptă. Pentru un a dat cele două spirale sunt în

oglindă.



139

Construcţie. Fie O un punct arbitrar şi k un parametru dat (Fig.22).

Construim cercul de centru O şi rază ON k = . Impărţim cercul într -un număr n

arbitrar de arce egale. Notăm cu ,....., 10 bb punctele astfel obţinute. Fără a restrânge

generalitatea presupunem 12=n . Prelungim raza 0Ob în direcţia lui 0b cu un segment

k OA π 21

= . Impărţim1

OA în acelaşi număr de părţi egale. Pe razele

,.....,21

ObOb construim segmentele11

1OAn

OD = ,12

2OAn

OD = ,….. Obţinem punctele

....,, 321 D D D ale primei mişcări de revoluţie a spiralei. Pe1

OD , 2OD , 3OD , luăm

punctele ....,, 321 E E E astfel încât12211

..OA E D E D == . Procedeul continuă atât timp

cât este necesar.

Caracteristici ale curbei. Orice rază vectoare OQ a spiralei cu originea în

polul O întâlneşte curba într -un număr infinit de puncte ,.....,21

QQ ce aparţin spiralei

şi au proprietatea că distanţa dintre două puncte succesive de intersecţie 1, +ii QQ este

constantă şi egală cu π k a 2= . Acest lucru rezultă din faptul că la direcţia razei

vectoare care corespunde unei valori date a lui θ adunăm ,...4,2 π π iar lungimea r

definită de ecuaţia θ ar = va căpăta creşterile ,......4,2 π π aa . Tangenta în O la spirală

coincide cu axaOX .

Construcţia normalei . Fie M un punct al spiralei lui Arhimede cu distanţa

dintre spirale egală cu a (Fig. 22). Perpendiculara în O pe OM intersectează prima

dată spirala în N astfel încât k a

ON ==π 2

. NM este normala căutată.

Construcţia tangentei . Perpendiculara în M pe normala NM este tangenta

căutată (Fig.22).



140

Fig. 22

Lungimi şi arii

a) Lungimea arcului OM este ( )[ ]1ln12

22 ++++= ϕ ϕ ϕ ϕ k

l ,

Demonstraţie. ∫ +=ϕ

ρ ρ 0

22 ' dt s = ∫ +ϕ

0

222dt k t k = ∫ +

ϕ

0

21dt t k .

∫ +ϕ

0

2 1 dt t = ∫ +

ϕ

0

2 1' dt t t = ( )dt t t t t

'

0

2

0

211 ∫ +−+

ϕ ϕ

= ∫+

−+π π

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

2

02

22

0

2

11 d =

= ∫+

−+−+

π π

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

2

02

22

0

2

1

111 d = ∫∫

+++−+

π π π

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

2

02

2

0

22

0

2

111

d d ⇒

11ln211

211 2

2

0

2

2

0

2++++=+∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π π

d

O b0

b1

b3

D1

E1

F1 E2

F2

D2

D3

E3

F3

A1 A2 X

U

V

H

M’

Q

Q2

Q1

M

N

M1

T



141

b) Aria sectorului ' MOM pentru cazul în care unghiurile din M şi ' M diferă

cel mult cu π 2 este

( )22''

6

1 ρ ρρ ρ ω ++=S , (1)

unde OM = ρ , '' OM = ρ , ' ̂M O M =ω .

Din punct de vedere geometric, aria sectorului unei spirale arhimedice este

egală cu media aritmetică a ariilor a trei sectoare circulare pentru care unghiul este egal

cu cel din sectorul ' MOM şi lungimile celor trei raze sunt egale cu lungimile OM ,

'OM şi respectiv 'OM OM ⋅ .

c) Aria figurii O AQ DOD 1132 mărginită de primul circuit al spiralei şi de

segmentul 1OA este3

2

1

aS

π = .

Demonstraţie. Rezultatul poate fi obţinut dacă în formula (1) efectuăm

următoarele substituţii 0= ρ , a=' ρ , π ω 2= sau direct aplicând formula de calcul

ariei unei figuri plane.

Astfel, ∫=

π

ϕ ρ

2

0

21

21 d S = ∫

π

ϕ ϕ π

2

0

22

2

421 d a =

π

ϕ π

2

0

2

2

2

38a =

3

2

π a şi reprezintă o treime din

aria cercului de rază 1OA .

d) Aria figurii 1231 A HA E A mărginită de al doilea circuit al spiralei şi de

segmentul 12 A A este3

7 2

2

aS

π = .

Demonstraţie. Rezultatul poate fi obţinut dacă în formula (1) efectuăm

următoarele substituţii 0= ρ , a2'= ρ , π ω 2= sau direct aplicând formula de calcul

ariei unei figuri plane. Astfel , ∫=π

π

ϕ ρ

4

2

2

22

1d S = ∫

π

π

ϕ ϕ π

4

2

2

2

2

42

1d

a=

π

π

ϕ

π

4

2

2

2

2

38

a=

3

7 2π a.



142

In general se poate demonstra prin inducţie faptul că arianS a figurii formate

de circuitul n al spiralei şi de segmentulnOA este dată de formula de recurenţă

( ) 2

33

3

1a

nnS

n

π −−

= .

10.b. Desfăşurătoarea unui cerc


Definiţie. Fie L un punct. Pornind dintr-o poziţie iniţială 0 D , L descrie în

mod continuu un cerc de rază k . Pe tangenta în L la cerc, în direcţia opusă rotirii

construim segmentul

=∩

L Dl LM 0 . Curba descrisă de punctul M se numeşte

desfăşurătoarea cercului (Fig.23).

Fig. 23

Observaţie. Acelaşi cerc are un număr infinit de astfel de curbe. In funcţie de

sensul de rotaţie al pnctului L avem o desfăşurătoare la dreapta MP D0 şi o

desfăşurătoare la stânga Q D0 . De obicei, sunt privite ca două ramuri ale unei aceleiaşi

curbe.

Construcţie. Impărţim cercul dat în n arce de lungimi egale

012110 ... Dbbbb D n−=== (Fig.24). Pe tangenta în 0 D la cerc construim segmentul

k E D π 200

= . Impărţim00

E D în acelaşi număr de părţi egale:

012110 .... E aaaa D n−=== .



143

Pe tangentele în ,......,21

bb luăm punctele ,.....,21

D D astfel încât 1011 a D Db = ,

2022 a D Db = ,….. Punctele ,....., 21D D astfel determinate aparţin primului circuit

00 PE D al desfăşurătorii. Punctele ,.....,21

E E ale celui de-al doilea circuit le obţinem

prin prelungirea segmentelor ,....., 2211 Db Db cu segmentele ,....., 2211 E D E D de lungimi

egale cu lungimea segmentului 00 E D . Procedeul continuă atât cât este nevoie.

Fig. 24

Caracteristici ale curbei. Desfăşurătoarea unui cerc intersectează toate

tangentele la cerc sub un unghi drept. In particular desfăşurătoarea unui cerc formează

în punctul iniţial 0 D un unghi drept cu tangenta00

F D . Normala la desfăşurătoare este

tangentă la cerc. Prin construcţie desfăşurătoarea nu pătrunde în interiorul cercului iar

0 D este punct de întoarcere pentru desfăşurătoare.

F0

E0

E2

F2

E3 F3

D2 D3 b3

b2 O D0

M

L

Q

P

H

N



144

Ecuaţiile desfăşurătoarei cercului

a) Ecuaţia desfăşurătoarei cercului în coordonate polare pentru cazul în care

polul O este centrul unui cerc dat şi axa polară Ox este orientată în lungul razei iniţiale

0OD este:

ρ

ρ ϕ

k

k

k arccos

22

−−

=

unde, k este raza cercului.

b) Ecuaţiile parametrice ale desfăşurătoarei cercului sunt prezentate mai jos.

Luând drept parametru unghiulα format de direcţia pozitivă a axei Ox cu raza

dusă din punctul L şi ţinând seama de egalitatea α k LD LM == 0 obţinem ecuaţia

desfăşurătoarei cercului sub formă parametrică:

−=+==

+=+==

α α α

α α α

cossin

sincos

k k LM pr OL pr OM pr y

k k LM pr OL pr OM pr x

OyOyOy

OxOxOx.

Deci ecuaţiile parametrice ale curbei sunt date de sistemul:

( )

( )

=−=

+=

LO D

k y

k x

ˆ

cossin

sincos

0α

α α α

α α α

.

Având în vedere că derivata de ordinul întâi a lui y în raport cu x este dată de

formuladx

dy y =' putem determina coeficientul unghiular al tangentei:

α α α α α

α α α α tg

k k k

k k k y =

++−

+−=

cossinsin

sincoscos' .

Deoarece coeficientul unghiular al normalei la desfăşurătoarea cercului este dat

de expresia

−=−

2

π α α tgctg rezultă că dreapta LM este normala la

desfăşurătoarea cercului.



145

Lungimi

Cum ∫=α

0

22dt t k s =

α

0

2

2

t k =

2

2α k rezultă faptul că lungimea arcului M D0

esteOL

MLk s22

2

1

2

1 == α .

Legătura cu spirala lui Arhimede. Piciorul perpendicularei duse din centrul O

la tangenta MT a desfăşurătoarei descrie spirala lui Arhimede.

10.c. Spirala logaritmică (spirala de creştere)


Definiţie. Fie UV o dreaptă care se roteşte uniform în jurul unui punct O

numit pol şi fie M un punct pe dreapta UV care se îndepărtează de O proporţional cu

distanţa OM . Curba descrisă de M se numeşte spirală logaritmică (Fig.25).

Construcţie. Fie C un cerc de centru O . Impărţim cercul în k n 2= părţi egale

şi notăm punctele astfel obţinute cu ,.....,,, 3210 B B B B în sens invers acelor de ceasornic

(Fig.25). Fără a restrânge generalitatea presupunem 1624==n . Pe raza 0OB

considerăm un punct 0 A şi construim un segment01

qOAOA = . Construim cercul de

centru 'O şi diametru 1OA . Perpendiculara în 0 A pe diametrul 1OA intersectează

cercul de centru 'O într-un punct K . Cercul de rază OK intersectează raza 8OB într-un

punct 8 D ce aparţine spiralei. Acelaşi cerc intersectează raza 1OA într-un punct L .

Ducem în L perpendiculara pe 1OA care intersectează cercul de centru 'O într-un

punct 'K . Cercul de rază 'OK intersectează raza 12OB într-un punct 12 D ce aparţine

spiralei şi intersectează raza1

OA într-un punct ' L . Procedeul continuă. Alte puncte

situate pe dreptele ,....., 9180 B B B B pot fi construite în felul următor: In punctul 14 D

construim unghiul QOD14

egal cu unghiul 1415 DOD .



146

Fig. 25

La intersecţia cu raza 13OB obţinem punctul 13 D care aparţine spiralei. In punctul1

A

construim unghiul '1QOA egal cu unghiul 115 AOD , la intersecţia cu raza

1OB obţinem

punctul1

E , etc.

B1

B2

B0

B3 B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

B11 B12 B13

B14

B15

D1

D8 D3 D4 D5

D6

D7

D8

D9

D10

D11

D12 D13

D14

D15

A1

E1

Q’E2

U

K K’

K”

A0

M

A-1

M0 M1 N0

N1

F1

F2

Q

L L’

V

O’



147

Ecuaţia spiralei logaritmice în coordonate polare

In condiţiile în care axa polară trece printr -un punct arbitrar 0 M al spiralei iar

polul coincide cu polul spiralei ecuaţia curbei în coordonate polare este de forma:

π

ϕ

ρ ρ 20q= , (1)

unde 00 OM = ρ este raza vectoare a punctului0 M şi q este coeficientul de creştere.

Ecuaţia (1) este cunoscută şi sub forma:

ϕ ρ ρ k e

0= , (2)

unde k este un parametru care depinde de coeficientul de creştere q .

Din relaţiile (1) şi (2) obţinem egalitatea ϕ π

ϕ

k eq =2 (3) sau echivalent π k eq 2

= .

Logaritmând în (3) obţinem k q ϕ π

ϕ =ln

2 de unde rezultă

π 2

lnqk = .

Semnificaţia geometrică a parmatrului k . Fie M un punct al spiralei

logaritmice şi fie α unghiul dintre dreapta OM şi tangenta MT (Fig.26). Atunci are

loc relaţia α ctgk = .

Fig. 26

O

M

H

T

K

P

U

V



148

Caracteristici ale curbei

Unghiul α are aceeaşi măsură în toate punctele spiralei (Fig.26).

Pentru un număr foarte mare de rotaţii ale dreptei UV în jurul polului O ,

punctul M care descrie spirala fie se depărtează de pol tinzând către∞

, fie se apropiede pol dar niciodată nu coincide cu acesta. In ambele situaţii M descrie în jurul polului

un număr infinit de circuite iar dacă notăm cu 0 A poziţia iniţială, arcul descris

de M este de lungime finită .

Lungimea segmentului MT este egală cu lungimea arcului MO :

α

ρ

cos)( === MT MOls ,

unde ρ este raza vectoare OM .

Aproximări. Spirala lui Théodore din Cyrène

Definiţie. Spirala lui Théodore din Cyrène este o aproximare prin segmente a

spiralei logaritmice (Fig.27).

Fig. 27

d

d

d

O P

P

d

d



149

Construcţie. Fie iOd un şir de segmente convergente în O cu pantaπ

α

2

i, fie

1P un punct dat pe segmentul 1Od şi fie β un unghi dat (Fig.27). Construim pe

segmentul 2Od un punct 2P astfel încât măsura unghiului dintre 21PP şi 1OP să fieegală cu măsura unghiului β . Punctele iP aproximează o spirală logaritmică cu

β ctga = . In cazul particular în care2

π β = spirala astfel construită este cunoscută sub

numele de spirala lui Théodore din Cyrène.

Observaţie. Curba se regăseşte la organismele pentru care creşterea este

proporţională cu mărimea lor, motiv pentru care spirala logaritmică este cunoscută şi

sub numele de spirală de creştere.

http://www.2dcurves.com/spiral/spirallo.html



150

3.11. Cicloida


Definiţie. Fie dat cercul ( )r C C ,0 care se rostogoleşte fără alunecare pe o

dreaptă fixă KL şi fie M un punct fixat în planul cercului (Fig.28). Locul geometric

descris în această mişcare de punctul M se numeşte cicloidă. Dreapta fixă KL se

numeşte baza cicloidei (dreaptă directoare).

Dacă punctul ( )r C C Int M ,0∈ adică, dacă ( ) r C M d <0, atunci curba se

numeşte cicloidă prescurtată (Fig 28a)).

Dacă punctul ( )r C C Ext M ,0

∈ adică, dacă ( ) r C M d >0, atunci curba se

numeşte cicloidă prelungită (Fig 28b)). Observaţie. Cele două curbe se numesc şi trohoide.

Dacă punctul ( )r C C M ,0∈ adică, dacă ( ) r C M d =0, atunci curba se numeşte

cicloidă (Fig 28c)).

Notăm cu A punctul de pornire al cicloidei. A aparţine dreptei OC 0

, ce uneşte

centrul cercului ( )r C C ,0 cu O punctul de tangenţă al cercului cu baza.

Punctele iniţiale ale cicloidei sunt situate pe dreapta directoare şi coincid cu

punctele de sprijin ale cercului de definiţie (Fig.28c)).

Vârful D al cicloidei se află situat pe prelungirea razei ''C O a cercului

generator.

Segmentul [ ] AB care uneşte două puncte de pornire adiacente se numeşte

dreapta de bază a cicloidei.

Perpendiculara DF dusă din vârful D al cicloidei pe dreapta de bază se

numeşte înălţimea cicloidei. Arcul descris de M între două puncte de pornire adiacente

se numeşte arc cicloidal.

Dreapta UV descrisă de centrul cercului în urma rostogolirii fără alunecare a

acestuia se numeşte linia centrelor cicloidei.

Caracteristici ale curbei. Cicloida se întinde în lungul dreptei KL către ±

infinit. Este situată în interiorul unei benzi mărginite de dreptele de ecuaţii d r y += şi

respectiv d r y −= . Prima dreaptă este tangentă la cicloidă în vârful acesteia în timp

ce a doua dreaptă trece prin toate punctele de pornire ale cicloidei. In cazul în care

cicloida este scurtată sau alungită dreapta d r y −= este tangentă la curbă. Dreapta



151

0 AC (Fig. 28a)) este axă de simetrie, dreapta DF dusă prin orice vârf al curbei

perpendicular pe dreapta directoare este axa de simetrie pentru cicloidă.

Fig. 28

A, O F, O' B, O1

H

U C'

D

E'

T

C0 V

EC

A

O E'

N

T

F

D

C'

O'

U VCM E

A1

A2, C0

B

O1

B2

B1

2d

2d

O O' O1

VU

BF

C'

D

C

E'

MEC0

N

T

A

a)

b)

c)



152

Construcţie. Se cunosc raza r a cercului generator şi distanţa ( )C M d ,

(Fig.29). Construim mai întâi linia centrelor UV şi fixăm pe aceasta un punct 0C . Cu

vârful compasului în 0C construim cercul ( )d C C ,0

. Construim diametrul

perpendicular pe UV şi notăm cu0

M unul din capete. 0 M este vârful curbei căutate.

Impărţim cercul într -un număr par de arce egale astfel încât 0 M să fie unul din

punctele diviziunii. Notăm punctele diviziunii astfel: n±±± ,...,2,1,0 . Punctele n− şi

n+ coincid. Considerăm pe linia centrelor de o parte şi de alta a punctului 0C ,

punctele ' A şi ' B astfel încât :

r BC AC '' 00 π == .

Impărţim segmentele astfel construite în n părţi egale şi notăm punctele diviziunii cu

nC C C ±±± ,...,, 21 unde nC şinC − coincid cu ' A şi respectiv ' B . Prin punctele

.......4,3,2,1 ducem paralele la linia centrelor care intersectează a doua oară cercul în

,.....3,2,1 −−− . Cu vârful compasului în punctele nC C C ±±± ,...,, 21 construim semicercuri

de rază d , concave faţă de0C ,cu diametrele perpendiculare pe linia centrelor UV .

Notăm cu ,.........21 , ±± M M punctele în care dreptelele paralele la linia centrelor

intersectează semicercurile construite; punctele n M , n M − coincid cu punctele de

pornire A , respectiv B . Astfel am construit un arc al cicloidei. Pentru a construi arce

adiacente trebuie să continuăm seria punctelor iC ± .

Fig. 29

M0 M-1

M-2

M-3

M-4

M-5

M-6

M-7

B, M-8

M1

M2

M-3

M4

M5

M6

M7

A, M8

C0

-1

-2

-3

-4

-5

-6-7

8±

12

3

4

5

76

0

U V



153

Proprietăţi ale normalei şi tangentei . Normala MN (Fig.28(a-c)) a oricărei

cicloide trece prin punctul suport ' E al cercului de bază. In cazul cicloidei normale

(Fig.28c)) tangenta MT trece prin punctul diametral opus punctului suport al cercului

de bază. Această proprietate stă la baza construcţiei tangentei. Pentru a construitangenta la cicloidă într -un punct M al ei unim acest punct cu punctul H diametral

opus punctului de tangenţă cu axa Ox a cercului care se rostogoleşte.

Dreapta MN care uneşte punctul M cu punctul de tangenţă al cercului cu axa

Ox este perpendiculară pe dreapta MH deoarece unghiul NMH este înscris într-un

semicerc. Putem deci să afirmăm că dreapta MN este normală la cicloidă şi că

lungimea ei este2

sin2ϕ

a .

Ecuaţia cicloidei

Fie P un punct pe cercul de rază r . In acest caz ecuaţiile parametrice ale

cicloidei normale ( r d = ) sunt date de relaţiile

( )

( )

−=

−=

θ

θ θ

cos1

sin

r y

r x,

unde cercul efectuează o mişcare de rotaţie în lungul axei Ox pornind din punctul P şi

θ este unghiul sub care se roteşte punctul P .

Demonstra ţie. Pentru a găsi ecuaţia cicloidei considerăm ca axă Ox dreapta

fixă iar ca origine punctul de pe bază care coincide cu punctul M când acesta este

punct de contact al cercului cu baza (Fig.28c)). Cum distanţa ON este egală cu

lungimea arcului NM = θ r deoarece cercul se rostogoleşte fără să alunece şi cum

proiecţia razei CM pe axa Ox este θ sinr − iar proiecţia pe axa Oy este θ cosr −

obţinem pentru coordonatele punctului M următoarele relaţii:

( )( )

−=

−=

θ

θ θ

cos1

sin

r y

r x.

Aceste relaţii ne dau o reprezentare parametrică a cicloidei în funcţie de par ametrul θ .

Eliminând parametrul θ obţinem ecuaţia cicloidei sub forma:

22arccos yryr

yr r x −−

−= ,

care ne arată că cicloida este o curbă transcendentă.



154

In cazul general ecuaţiile parametrice sunt date de sistemul următor:

−=

−=

θ

θ θ

cos

sin

d r y

d r x.

Observaţie. Este suficient să studiem variaţia lui θ în intervalul ( )π 2,0 care

corespunde unei rotaţii complete a cercului, deoarece după această rotaţie completă

punctul M coincide din nou cu punctul de tangenţă al cercului cu axa OX care este

deplasat acum cu segmentul aOO π 21 = .

Lungimi, arii şi volume

a) Lungimea arcului unei cicloide între punctele 0=ϕ şi 1ϕ ϕ = este :

ϕ

ϕ

d y xs ∫ +=1

0

22 '' = ( ) ( )∫ +−1

0

22sincos

ϕ

ϕ ϕ ϕ d d d r = ∫ +−1

0

22 cos2

ϕ

ϕ ϕ d d rd r (1)

Lungimea arcului unei cicloide între punctele 0=ϕ şi 1ϕ ϕ = ( π ϕ 21 ≤ ) este

egală cu lungimea arcului unei elipse între aceleaşi puncte, a cărei sistem de ecuaţii

parametrice este următorul:

( )

( )

−=

+=

2sin2

2cos2

ϕ

ϕ

r d y

r d x

. (2)

In cazul general integrala (1) nu poate fi exprimată prin funcţii elementare dar , pentru

cazul în care r d = avem relaţia de mai jos:

ϕ ϕ

ϕ

d r s ∫ −=1

0

cos22 = ∫1

02

sin2

ϕ

ϕ ϕ

d r =1

0

2cos22

ϕ ϕ

−r =

−

2cos14 1ϕ

r =4

sin812 ϕ

r .

In cazul particular al lungimii unei arcade, π ϕ 21 = ceea ce implică r s 8= , adică

lungimea arcului unei arcade de cicloidă este egală cu de 4 ori diametrul cercului care

se rostogoleşte.

b) Aria S mărginită de arcada dintre punctele 0=ϕ şi1

ϕ ϕ = şi axa Ox este

S = 112 sin2 ϕ ϕ rd r − + 1

2

2ϕ d + 1

2

2sin4

ϕ d .



155

Demonstraţie

S = ( )∫ −1

0

2cos

ϕ

ϕ ϕ d d r = ( ) ∫∫∫ +−111

0

22

00

2cos'sin2

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d d d rd d r = 11

2sin2 ϕ ϕ rd r − +

1

2

2ϕ d + 1

2

2sin4

ϕ d .

In cazul particular π ϕ 21= avem π π 22

2 d r S += .

In cazul particular al cicloidei normale ( r d = ) aria este 2 3 r S π = , adică aria

mărginită de o arcadă de cicloidă şi de dreapta fixă pe care se rostogoleşte cercul este

egală cu de 3 ori aria cercului care se rostogoleşte.

Observaţie. In cazul cicloidelor normale şi prescurtate, S reprezintă aria figurii

1OADBO (Fig. 28a), 28c)). In cazul cicloidei prelungite S verifică relaţia:

S = aria figurii ( B DB AA 11) - aria dreptunghiului (

1OABO ).

c) Aria suprafeţei obţinută în urma rotirii complete a unei cicloide normale în

jurul dreptei fixe AB este2

3

64aπ sau

9

64din aria mărginită de o arcadă de cicloidă

şi de dreapta fixă pe care se rostogoleşte cercul.

Demonstraţie. ( ) ϕ ϕ

ϕ π

π

d r r S2

sin2cos12

2

0

∫ ⋅−= = ∫π

ϕ ϕ

π

2

0

32

2sin8 d r =

−−=

+− ∫∫

π π π π

ϕ ϕ ϕ ϕ

π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

π

2

0

'

3

2

0

22

2

0

2

2

0

22

2cos

3

4

2cos

2sin28

2cos

2sin2

2cos

2sin28 d r d r

=

π

ϕ π

2

0

32

2cos

332 r − = 2

364 r π .

d) Aria suprafeţei figurii obţinută în urma rotirii complete a unei arcade de

cicloidă normală în jurul axei de simetrie este

2

3

48 r S

−= π π .



156

Demonstraţie. ( )∫ −=r

dydx

ds xr S

2

0

2 π π =

( ) ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ π π π

d d

dy

d

dxr r r

∫

+

+−

0

22

sin2 = ( ) ϕ ϕ

ϕ ϕ π π

π

d r r r r

∫+−

0 2

sin2sin2 =

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

π π

π

d r ∫

+−

0

2

2sinsin

2sin

2sin4 =

+−+−

π π π π ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

π π 0

3

000

2

2sin

3

4

2sin4

2cos2

2cos24 r = 2

3

48 r

−π π .

e) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a arcadei unei cicloide

normale în jurul dreptei fixe AB este32

5 r V π = şi este egal cu8

5din volumul

cilindrului circumscris .

Demonstraţie. ∫=r

dx yV

π

π

2

0

2= ( )∫ −

π

ϕ ϕ π

2

0

33cos1 d r =

=

++−

π π π π ϕ ϕ

π ϕ π ϕ π

2

0

2

0

32

0

32

0

3

4

2sin

2

3sin3 r r r - ---

-

−

π π ϕ ϕ π

2

0

32

0

3sin

3

1sinr = 325 r π = 32

88

5r π .

f) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a arcadei unei cicloide

normale în jurul axei Oy este33

6 r V π = .

Demonstraţie.

∫=

r

xydxV

π

π

2

0

2 = ( )( )

∫−−

π

ϕ ϕ ϕ ϕ π

2

0

23cos1sin2 d r = 33

6 r π

g) Analog se demonstrază că volumul corpului obţinut în urma rotirii complete

a arcadei unei cicloide normale în jurul axei de simetrie este

−=

3

8

2

3 23 π π r V

adică [ ⋅

4

3(volumul cilindrului circumscris) - ⋅2 (volumul sferei înscrise)] .



157

3.12. Epicicloida. Hipocicloida


Definiţie. Dacă cercul de circumferinţa căruia este legat punctul M se rostogoleşte

nu pe o dreaptă ci pe un cerc fix se obţin două clase de curbe:

- Epicicloide – dacă cercul care se rostogoleşte se află în exteriorul cercului fix

(Fig. 30 (b))

- Hipocicloide – dacă cercul care se rostogoleşte se află în interiorul cercului fix

(Fig .30 (a), 31)

Fie O un cerc fix de rază R şi fie C un cerc de rază r care se rostogoleşte fără

alunecare pe cercul O . Notăm cu L curba descrisă de un punct M fixat în planul

cerculuiC în urma rostogolirii în jurul cercului O . Cercul C se numeşte cerc

generator iar cercul O se numeşte cerc director.

Curba L se numeşte epicicloidă normală (respectiv hipocicloidă normală )

dacă este descrisă de mişcarea unui punct M situat pe circumferinţa cercului generator,

adică r d CM == .

Curba L se numeşte epicicloidă prescurtată (respectiv hipocicloidă

prescurtată ) dacă punctul M este situat în interiorul cercului generator, adică dacă

r d CM <= .

Curba L se numeşte epicicloidă prelungită (respectiv hipocicloidă prelungită )

dacă punctul M este situat în exteriorul cercului generator, adică dacă r d CM >= .

Punctul de pornire A este situat pe dreapta 11 E C ce uneşte centrul 1C al

cercului generator cu punctul de suport1

E şi de aceeaşi parte cu 1 E faţă de 1C .

Punctele ' A , B , ' B sunt la rândul lor puncte de pornire.

In cazul epicicloidei normale (respectiv hipocicloidei normale) punctele de

pornire A , B , K sunt situate pe cercul director şi coincid cu punctele suport

corespunzătoare de pe cercul generator.

Vârful epicicloidei (respectiv hipocicloidei) este punctul situat pe dreapta

22 E C .

Cercul descris în urma mişcării centrului cercului generator se numeşte cercul

centrelor epicicloidei (respectiv hipocicloidei). Raza OC a cercului centrelor este dată

de:



158

r R EC OE OC +=+= în cazul epicicloidei

r R EC OE OC −=−= în cazul hipocicloidei

Fig. 30

Fig. 30

H

K

L

B

D

A

C

M

O

a)

B

K

L A

C

M

H

D

O

b)



159

Fig. 31

Construcţi e. Fie O cercul director de rază R , C cercul generator de rază r ,

M un punct fixat în planul cercului C şi fie CM d = (Fig. 23). Construim cercul

generator 0C de rază r , tangent exterior la cercul director O în cazul în care se

doreşte obţinerea unei epicicloide şi tangent interior la cercul director O în cazul în

care se doreşte obţinerea unei hipocicloide. Notăm cu V punctul de tangenţă.

Construim cercul de centru 0C şi rază d şi notăm cu0 M punctul în care dreapta OV

îl intersectează a doua oară. Punctul0 M astfel determinat este unul din vârfurile curbei

căutate.

Partiţionăm cercul 0C de rază d într-un număr par n2 de arce egale astfel

încât0 M să fie unul din punctele diviziunii. Fără a restrânge generalitatea presupunem

162 =n . Notăm cu n±±± ,.....,2,1,0 punctele diviziunii astfel încât 00 = M şi punctele

n− şi n+ coincid.

Construim cercul de centru O şi rază 0OC (cercul centrelor) şi din 0C

considerăm în sensul arcelor de ceasor nic în cazul epicicloidei (în sens contrar acelor

de ceasornic în cazul hipocicloidei) arculn

C C 0

astfel încât ( ) Rr C C mn

:180:0

= .

B

B'

AA' O

D'

L D

L'

C1 E1

E

E2

M

C

C2



160

Construim arcul simetric nC C −0 . Partiţionăm fiecare din cele două arce în n

părţi egale. Incepând din0

C notăm cunC C C ±±± ,....,, 21 punctele acestei partiţii.

Construim cercurile concentrice de centru O ce trec prin punctele

n±±± ,.....,2,1,0 . Pe primul din aceste cercuri se vor afla vârfurile curbei căutate iar pe

ultimul punctele de pornire.

Din punctele nC C C ,.....,, 21 ca centre construim semicercurile de rază d astfel

încât extremităţile lor să fie situate pe primul şi pe ultimul din cercurile concentrice.

Analog din punctele nC C C −−− ,.....,, 21 ca centre construim semicercurile de rază d

astfel încât extremităţile lor să fie situate pe primul şi pe ultimul din cercurile

concentrice şi rotite în jurul punctului O descriu cercurile notate cu n−−−− ,....,3,2,1 .

Fig. 32

O

AB

C0

M0

1

23

4

5

6

7

8±

-1-2

-3-4

-5

-6

-7

0

C2 C-2

M1 M-1

M5 M-5



161

Notăm cu 11 , − M M punctele în care semicercurile ( )d C 1 , ( )d C 1− intersectează cercul

concentric ce trece prin punctele 1± . Notăm cu22

, − M M punctele în care

semicercurile ( )d C 2 , ( )d C 2− intersectează cercul concentric ce trece prin punctele 2± .

Analog se obţin punctele n M M M ±±± ,....,, 43 . Toate aceste puncte sunt situate pe curba

căutată. Punctelen M ± coincid cu punctele de pornire B A, şi pot fi obţinute unind O cu

punctelenC ± .

In acest mod, prin construcţia prin puncte se obţine una din ramurile

epicicloidei sau hipocicloidei. Procedeul continuă până la completarea curbelor

căutate.

Ecuaţiile curbei

a) Ecuaţiile parametrice

In cazul epicicloidei acestea sunt:

( )

( )

+−+=

+−+=

ϕ ϕ

ϕ ϕ

r

r Rd r R y

r

r Rd r R x

sinsin

coscos

In cazul hipocicloidei acestea sunt:

( )

( )

−−−=

−+−=

ϕ ϕ

ϕ ϕ

r

r Rd r R y

r

r Rd r R x

sinsin

coscos

unde ϕ , în ambele cazuri, este unghiul de rotaţie al razei OC .

Demonstraţie. Pentru a determina ecuaţia epicicloidei considerăm:

( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=⋅−⋅=+== t r r RSMC CM KOC OC LQOLOQ x ϕ ϕ coscoscoscos

= ( ) ϕ ϕ r

r Rr r R

+−+ coscos .

( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=⋅−⋅=−== t r r RSMC CM KOC OC RC LC QM y ϕ ϕ sinsinsinsin

= ( ) ϕ ϕ r

r Rr r R

+−+ sinsin .



162

Observaţie. Ecuaţiile parametrice ale hipocicloidei se obţin din ecuaţiile

parametrice ale epicicloidei prin înlocuirea lui r cu r − şi d cu d − .

Caracteristici ale curbei. Orice epicicloidă este situată într -o coroană circularămărginită de două cercuri de raze d r R ++ şi respectiv d r R −+ . Pe primul din

aceste cercuri sunt situate vârfurile în timp ce pe cel de-al doilea sunt situate punctele

de pornire. Vârfurile epicicloidei sunt întotdeauna situate la o distanţă mai mare de

centrul O decât punctele de pornire.

Orice hipocicloidă este situată într -o coroană circulară mărginită de două

cercuri de raze d r R −− şi respectiv d r R +− . Pe primul din aceste cercuri sunt

situate vârfurile în timp ce pe cel de-al doilea sunt situate punctele de pornire. In cazul

în care r R > vârfurile hipocicloidei sunt siuate la o distanţă mai mică de centrul O

decât punctele de pornire. In cazul în care r R < vârfurile hipocicloidei sunt siuate la o

distanţă mai mare de centrul O decât punctele de pornire. In acest caz hipocicloidele

se numesc pericicloide.

In urma unei rotaţii în jurul punctului O sub un unghi multiplu de R

r π 2, o

epicicloidă (sau o hipocicloidă) ajunge să coincidă cu ea însăsi.Punctele de pornire ale unei epicicloide normale (sau hipocicloide normale)

sunt puncte de întoarcere.

In cazul în care raportul r R : este un întreg m , epicicloida este o curbă

algebrică închisă de ordin ( )12 +m iar hipocicloida este o curbă algebrică închisă de

ordin ( )12 −m .

In cazul în care raportul r R : este un număr fracţionar adică este de forma

q

p,

1≠q , epicicloida este o curbă algebrică de ordin q p +2 şi conţine p ramuri

congruente. In acest caz hipocicloida este o curbă algebrică de ordin q p −2 şi conţine

p ramuri congruente.

In cazul în care raportul r R : este un număr iraţional epicicloida (sau

hipocicloida) nu este închisă şi are un număr infinit de ramuri care se intersectează.

In cazul particular 2:3: =r R curba este de ordinul 10 şi conţine trei ramuri

congruente (Fig.33).



163

Fig. 33

Cazuri particulare.

Cazul 1. Pentru 1:2: =r R atât hipocicloida alungită cât şi cea scurtată sunt

elipse cu centrul în O . Semiaxele elipsei sunt date de d r a += şi d r b −= .

Extemităţile axei principale sunt punctele de pornire, extremităţile axei secundare sunt

vârfurile.

Dacă pentru 1:2: =r R diferenţa d r − tinde la 0 atunci axa secundară a

elipsei descreşte nedefinit şi axa principală tinde să coincidă cu diametrul cercului

director.

Hipocicloida normală obţinută în cazul ( )r d = este un segment de dreaptă - şi anume

diametrul cercului director ce uneşte punctele de pornire. Intr -o mişcare completă de

rotaţie a cercului generator acest diametru este trasat într-o direcţie pentru ca la

următoarea mişcare de rotaţie să fie trasat în direcţia opusă. In acest caz punctele de

pornire ale hipocicloidei normale sunt puncte de întoarcere.

Cazul 2. Pentru r R = epicicloida coicide cu un melc, iar în cazul particular în

care epicicloida este normală aceasta coincide cu cardioida.

Cazul 3. Pentru 1:4: =r R hipocicloida normală coicide cu astroida

(hipocicloida cu patru puncte de întoarcere) (Fig.34). Caracteristic acestei curbe este

XO

Y

MC



164

segmentul EF al tangentei, situat între două drepte perpendiculare ce trec prin două

perechi de puncte de pornire, a cărui lungime este R .

Ecuaţiile astroidei

a) Ecuaţia astroidei exprimată în coordonate carteziene este de forma:

32

32

32

R y x =+ .

b) Ecuaţiile parametrice ale astroidei sunt următoarele:

=

=

u R y

u R x

3

3

sin

cos.

Fig. 34

Cazuri limită.

Cazul 1. In cazul în care cercul director este de rază infinit şi cercul generator

are raza dată, epicicloida (sau hipocicloida) revine la o cicloidă cu raza egală cu cea a

cercului generator.

Cazul 2. Dacă raza cercului generator este infinită acesta se reduce la o dreaptăKL ce se rostogoleşte fără alunecare în jurul cercului director O (Fig.35). In acest caz

X

Y

B

D

C AO

F

E

F1

E1



165

epicicloida (sau hipocicloida) revine la o curbă descrisă de punctul M fix faţă de

dreapta KL . In cazul particular în care P M = este situat pe dreapta KL atunci curba

descrisă de M este desfăşurătoarea cercului director.

Fig. 35

Proprietăţi ale normalei şi tangentei. Normala dusă în punctul M al oricărei

epicicloide (sau hipocicloide) trece prin punctul de tangenţă E dintre cercurile

generator şi director. Tangenta la epicicloida (sau hipocicloida) normală trece prin

punctul ' E al cercului generator, diametral opus punctului E .

Lungimi şi arii

Lungimea unui arc al epicicloidei între două puncte 0=ϕ şi1

ϕ ϕ = este :

ϕ ϕ

ϕ

d r

Rrd d r

r

r Rs ∫ −+

+=

1

0

22

2cos2 .

Lungimea acestui arc este egală cu lungimea arcului corepunzător al unei elipse

definite de sistemul de ecuaţii parametrice:

BD

K

LO A

MM0

T

L0

K0

P



166

( )

( )

+−=

++=

r

R

R

r Rr d y

r

R

R

r Rr d x

2sin2

2cos2

ϕ

ϕ

.

Aria sectorului descris de raza OM care îşi începe mişcarea de rotaţie din

punctul de pornire al epicicloidei este dată de formula:

( )

+

−

++

+=

r

R

R

r Rd

r

d r R

r RS

ϕ ϕ sin

2

2

2

.

In cazul epicicloidei normale formula devine:

( )( )

−

++

= r

R

R

r r Rr R

S

ϕ

ϕ sin2

2

(Newton).

In cazul hipocicloidei se înlocuieşte în formulele de mai sus r cu r − .

In formulele de mai sus s-a presupus că şirurile valorilor parametrului ϕ pentru

care raza se roteşte în sens negativ mătură o arie negativă.

Aria sectorului descris de raza OM a unei epicicloide (sau hipocicloide)

normale când punctul M parcurge una din ramuri este dată de formula

( )( ) R

r Rr Rr S 21

±±= π ,

unde semnul "+" este considerat pentru epicicloidă iar "-" pentru hipocicloidă.

Aria corespunzătoare sectorului cercului director este dată de formula

Rr S π =2

.

Aria figurii mărginite de una din ramurile epicicloidei (sau hipocicloidei) şi

arcul corespunzător din cercul director este dată de formula:

R

r r SSS 23

2

21 ±=−= π .



167

3.13. Tractrice


Definiţie. Se numeşte tractrice locul geometric al punctelor care au proprietatea

că lungimea segmentului MP , ce uneşte punctul de tangenţă M cu punctul P de

intersecţie al acestei tangente cu o dreaptă dată X X ' , este o constantă dată a . X X '

se numeşte dreaptă directoare, punctul A al tractricei situat la distanţa cea mai mare de

dreapta directoare se numeşte vârf, perpendiculara OA dusă din vârf la dreapta

directoare se numeşte înălţimea tractricei (Fig.36).

Fig. 36

Construcţi e. Fie un segment de lungime dată a . Construim tractricea de

înălţime a . Fie X X ' o dreaptă dată. Aceasta va fi dreapta directoare. Fie O un punct

arbitrar pe dreapta X X ' . Construim cercul ( )aOC , . Construim dreapta X X OY '⊥ . Fie

A un punct pe OY astfel încât aOA = . Punctul A astfel determinat este vârfultractricei. Notăm cu B unul din punctele în care dreapta X X ' intresectează cercul

Y

N

L

C

P

A

U V

O

M

XI

D

-I

0’

4’



168

( )aOC , . Ducem prin A şi B tangentele la cercul ( )aOC , care se intersectează într -un

punct D . Pe segmentul a BD = construim o partiţie a cărei puncte le notăm cu

,....'3,'2,'1 astfel încât segmentele '......3,'2,'1, B B B BD să constituie o progresie

geometrică arbitrară. Altfel scris, q B B B B B BD ==== ...'3:'2'2:'1'1: .

Impărţim segmentul BD în două părţi egale. Notăm cu '4 punctul obţinut în urma

acestei partiţii. Impărţim segmentul '4 B în două părţi egale şi notăm cu '8 punctul

obţinut în urma acestei partiţii. Continuând procedeul obţinem un şir de segmente

,.....'16,'8,'4,'0 B B B B ce formează o progresie geometrică de raţie 21 . Construim

acum între '0 şi '4 punctele intermediare '3,'2,'1 . Determinăm mai întâi punctul '2

astfel încât '2 B este medie proporţională între '0 B şi '4 B . Impărţim '2 B astfel

construit în două părţi egale şi notăm cu '6 punctul obţinut în urma acestei partiţii.

Impărţim '6 B în două părţi egale şi notăm cu '10 punctul obţinut în urma acestei

partiţii. Am obţinut astfel un şir de segmente ,....'10,'8,'6,'4,'2,'0 B B B B B B ce

formează o progresie geometrică de raţie 21

2:1 . Construim acum punctul '1 astfel

încât segmentul '1 B este medie proporţională între '0 B şi '2 B . Notăm cu '5 mijlocul

segmentului '1 B şi cu '9 mijlocul segmentului '5 B . Construim punctul '3 astfel încât

segmentul '3 B este medie proporţională între '2 B şi '4 B . Notăm cu '7 mijlocul

segmentului '3 B şi cu '11 mijlocul segmetului '7 B . Procedeul continuă şi obţinem

astfel un şir de segmente:

'....11,'10,'9,'8,'7,'6,'5,'4,'3,'2,'1,'0 B B B B B B B B B B B B , ce formează o progresie

geometrică de raţie 41

2:1 .

Procedând analog putem obţine o serie geometrică de raţie 81

2:1 , 161

2:1 , etc.

Construim pe dreapta X X ' de o parte şi de alta a punctului O un şir de segmente de

lungimi egale d III II II I OI ==== ....))(()( , unde d se obţine din relaţia:

( )'1:ln: Baad = . In cazul în care valoarea raportului '1: Ba este aproape de 1 putem

considera din motive practice '1'0=d .

Unim punctele ,....'3,'2,'1 cu centrul O şi notăm punctele de intersecţie ale

dreptelor ,.....'3,'2,'1,'0 OOOO cu cercul ( )aOC , cu ,...3,2,1,0

Pe arcul BA construim punctele ,....3,2,1 astfel încât arcul 121 B B = , arcul

222 B B =

, etc. Prin punctele ,....3,2,1

astfel construite ducem paralele la dreapta



169

directoare X X ' . Construim semicercurile de centre ,....,, III II I +++ şi rază a orientate

în sens crescător şi semicercurile de centre ,....,, III II I −−− şi rază a orientate în sens

descrescător. Acestea sunt simertrice faţă de OA .

Perechile de puncte obţinute în urma intersecţiei acestor semicercuri cu

dreptele ce trec prin punctele ,....3,2,1 sunt puncte pe curba căutată.

Construcţia tangentei . Fie M un punct oarecate pe tractrice, A vârful acesteia

şi X X ' dreapta directoare. Cu piciorul compasului în M construim arcul de rază

aOA = . Acesta intersectează X X ' într-un punct P . PM este tangenta căutată.

Ecuaţiile tractricei

Ecuaţiile parametrice ale tractricei sunt următoarele:

ϕ

ϕ ϕ

sin

2lncos

a y

tgaa x

=

+=

unde, M P X ˆ=ϕ este unghiul pe care raza PM îl formează cu axa pozitivă a

coordonatelor ( )π ϕ <<0 .

Caracteristici ale curbei. Inălţimea OA (a cărei lungime este egală cu un

segment dat de lungime a ) este axă de simetrie. Dreapta OA este tangentă la tractrice

în punctul A care este punct de întoarcere. Tractricea este situată de o singură parte a

dreptei directoare iar ramurile sale tind către infinit. Dreapta directoare este asimptotă

pentru tractice.

Arii şi volume

Aria benzii infinite cuprinsă între tractrice şi asimptota sa X X ' este egală cu

jumătate din aria cercului de rază egală cu înălţimea tractricei:2

2

1aS π = .

Corpul obţinut în urma unei rotiri complete a tractricei în jurul asimptotei are

o suprafaţă finită de arie 2

1 4 aS π = a cărui volum este 3

3

2aV π = .



170

3.14. Lănţişorul


Definiţie. Se numeşte lanţ o coardă omogenă inextensibilă care atârnă între

două puncte de suspensie fixate. Punctul A se numeşte vârful lanţului (Fig.37).

Fig. 37

Construcţ ie. Considerăm pe tractricea de înălţime a un număr de puncte. Fie

' M unul dintre aceste puncte. Unim ' M cu P , centrul semicercului corespunzător

(Fig.37). Dreapta P M ' este tangenta în ' M la tractrice. Construim normala în ' M la

tractrice. Construim perpendiculara în P pe X X ' . Notăm cu M punctul de intersecţie

dintre cele două drepte astfel construite. Punctul M aparţine curbei căutate.

Observaţie. Normala ' MM a tractricei este tangenta la lanţul LAN . Lanţul

LAN de parametru a este desfăşurătoarea tractricei UAV de înălţime a . Lungimea

segmentului ' MM este egală cu lungimea arcului MA al lanţului. Proiecţia

segmentului PM pe normala la lanţ în M este a MH = . Din faptul că PH MM ' este

dreptunghi rezultă relaţia aP M MH == ' şi cum din construcţia tractricei aP M ='

rezultă a MH = .

X'XD P O

VU

H

M'

A

M

T

L

B

KK'

N



171

Ecuaţia lănţişorului

Considerăm X X ' axa coordonatelor situată la distanţa a sub vârful A şi fie

O originea sistemului de axe astfel încât X X OA '⊥ şi aOA = , unde a este un

parametru dat. In acest caz ecuaţia curbei este dată de ecuaţia:

+= −a

x

a

x

eea y2

.

Axa X X ' este paralelă cu tangenta în A la curbă şi este dreapta directoare a

lanţului.

Exemplu

The Golden Gate Bridge, San Francisco



172

Bibliografie

Daintith J., Nelson R. D. - Dictionary of Mathematics, The Penguin, 1989

Iline V., Pozniak E. - Géométrie Analytique, Mir, Moscou, 1985

Rouché E., de Comberousse Ch. - Traité de Géométrie, Gauthier-Villars, Paris, 1900

Tresse A., Thybaut A. - Cours de Géométrie Analytique, Librairie Armand

Colin, Paris, 1904

Vygodsky M. - Mathemathical Handbook , Mir Publishers, Moscow,

1987

*** - Les courbes de Chronomath :

serge.mehl.free.fr/base/index_cbe.html

*** - Visual Dictionary of Special Plane Curves:

xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCur

ves.html

http://serge.mehl.free.fr/base/index_cbe.html

http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html





http://serge.mehl.free.fr/base/index_cbe.html

24777218 Mate Capitolul III

Documents

Transcript of 24777218 Mate Capitolul III