24.4.1 弧长和扇形面积
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24.4.1 弧长和扇形面积
制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度” ( 图中虚线的长度 ) ,再下料,这就涉及到计算弧长的问题
复习
2 、已知⊙ O 半径为 R ,⊙ O 的面积 S 是多少?S=πR2
C = 2πR
1 、已知⊙ O 半径为 R ,⊙ O 的周长 C 是多少?
问题:已知⊙ O 半径为 R ,求 n° 圆心角所对弧长.( 1 )半径为 R 的圆 , 周长是多少?C=2πR ( 2 ) 1° 圆心角所对弧长是多少?
1803602 RR
LA B
O
n°
( 3 ) n° 圆心角所对的弧长是1° 圆心角所对的弧长的多少倍?
n 倍( 4 ) n° 圆心角所对弧长是多少?
180Rn
弧长公式 若设⊙ O 半径为 R , n° 的圆心角所对的弧长为 L ,则
L 180
Rn
LA B
O
n°
(1) 已知圆的半径为 10cm, 半圆的弧长为 ( ) (2) 已知圆的半径为 9cm , 60° 圆心角所对的弧长为 ( ) (3) 已知半径为 3 ,则弧长为 π 的弧所对的圆心角为 _______ (4) 已知圆心角为 150° ,所对的弧长为 20π ,则圆的半径为 _______ 。
10πcm
600
24
180Rn
l
3πcm
合作交流例 1 、制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度 L( 单位: mm ,精确到 1mm)
解:由弧长公式,可得弧 AB 的长L ( mm ) 1570500
180900100
因此所要求的展直长度 L ( mm ) 297015707002
答:管道的展直长度为 2970mm .
2 、有一段弯道是圆弧形的 , 道长是 12m, 弧所对的圆心角是81o, 求这段圆弧的半径 R( 精确到 0.1m)
独立思考
如下图,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。半径
半径O
B
A
圆心角 弧O
B
A
扇形
扇形的定义 :
已知⊙ O 半径为 R ,如何求圆心角 n° 的扇形的面积 ? 研究问题的步骤 :( 1 )半径为 R 的圆 , 面积是多少 ? S=πR2
( 2 )圆心角为 1° 的扇形的面积是多少 ? 360
R 2
( 3 )圆心角为 n° 的扇形的面积是圆心角为 1° 的扇形的面积的多少倍? n 倍
( 4 )圆心角为 n° 的扇形的面积是多少 ? 360
Rn 2
扇形面积公式 若设⊙ O 半径为 R ,圆心角为 n° 的扇形的面积 S 扇形,则 S 扇形 = 360
Rn 2
问题:扇形的面积公式与弧长公式有联系吗?
想一想:扇形面积这个公式与什么公式类似?
如果扇形的半径为 R 的圆中,圆心角为 no ,那么扇形面积的计算公式为:360
2RnS 扇形
扇形面积用弧长与半径还可表示为 :
lRS21
扇形
RRn
18021
例 2 、如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m ,其中水面高 0.3m. 求截面上有水部分的面积(精确到 0.01m2 )
解:如图,连接 OA 、 OB ,作弦 AB 的垂线,垂足为 D ,交弧 AB 于点 C. 则 AD=DB
∵OC=0.6 , DC=0.3 OD=OC—DC=0.3∴
在 Rt OAD△ 中, OA=0.6 ,利用勾股定理可得: AD=0.3√3
在 Rt OAD△ 中,∵ OD=1/2OA
∴∠ OAD=30° A OD=60°∴∠ , ∠ AOB=120°
有水部分的面积
1 、已知扇形的圆心角为 120° ,半径为 2 ,则这个扇形的面积,S 扇 =____ . 2 、已知半径为 2 的扇形,面积为 ,则它的圆心角的度数为 ___ .
34
34
120°
3 、已知半径为 2 的扇形,面积为 ,则这个扇形的弧长 =____ .34
34
4 、已知正三角形 ABC 的边长为 a ,分别以 A 、 B 、 C 为圆心,以 a/2为半径的圆相切于点 D 、 E 、 F ,求图中阴影部分的面积 S.
B C
A
1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交 , 且半径都是1cm, 则图中的三个扇形的面积之和为多少 ?弧长的和为多少 ? ( 07年北京)
B C
A D
2:⊙A, ⊙B, ⊙C, ⊙D两两不相交 , 且半径都是 1cm, 则图中的四个扇形的面积之和为多少 ? 弧长的和为多少 ? ( 07年山东)
小结 :弧长公式 :
180RnL
360
2RnS 扇形的面积公
式 :
作业• P125 5 . 7