抛物线的生活实例抛物线的生活实例

喷 泉

灯

卫星接收天线

平面内与一个定点平面内与一个定点 FF 和一条定直线和一条定直线 ll

的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线 ..

定点定点 F F 叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点 ,,

定直线定直线 ll 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线 ..

1. 抛物线的定义

F

Ml

N ··

几何关系式 代数关系式解析法解析法

的轨迹是抛物线。则点若 MMN

MF,1即即 :: ︳︳ ︳︳

︳︳︳︳

求曲线方程的基本步骤是怎样的？

2. 探究抛物线的标准方程

l

F

MN ·

·

建系

列式

化简

检验

设点

解法一：以 l为y 轴，过点 F 垂直于 l 的直线为 X 轴建立直角坐标系（如下图所示） ,记 |FK|＝p, 则定点 F(p,0), 设动点M(x,y) ，由抛物线定义得：

化简得：2 2( )x p y x

2 22 ( 0)px py p

xo

y

l

F

M(X,y)

K

解法二 : 以定点 F 为原点 , 过点 F 垂直于 l 的直线为 X 轴建立直角坐标系 ( 如下图所示 ),记 |FK|=P, 则定点F(0,0),l 的方程为 X=-P

设动点 ，由抛物线定义得 ：( , )M x y

22 yx x p

化简得： 2 2

2 ( 0)px py p

K F

M(x,y)

x

y

解法三：以过 F 且垂直于 l 的直线为 x轴 , 垂足为 K.以

F,K 的中点 O 为坐标原点建立直角坐标系 xoy.

设 ( , )M x y , FK p ,

则焦点 ( ,0)2

pF ,准线 :

2

pl x

依题意得 2 2( ) | |2 2

p px y x

两边平方 , 整理得2 2 ( 0)y px p

K F

M(x,y)y

o x

F

M(x,y)●

K xo

y

2 22pxy p

K F

M(x,y)

x

y

2 22pxy p

K F

M(x,y)y

o x

2 2y px

比较探究结果：

方程最简洁抛物线的标准方程

方程 y2 = 2px（ p＞ 0 ）表示抛物线，其焦点 F 位于 x 轴的正半轴上，其准线交于 x 轴的负半轴

P 的几何意义是 : 焦点到准线的距离( 焦准距 ) ，故此 p p 为正常数

y

xo

.Fp即焦点 F ( ,0 ) P

2

P

2准线 l： x =

3. 抛物线的标准方程

抛物线的标准方程还有哪些

形式 ?

其它形式的抛物线的焦点与准线

呢？

4. 探究抛物线的标准方程的其它成员

x

y

l

o

F

x

y

o

l

F

x

y

l

o

F

x

y l

oF

方案三

方案二

方案一

方案四

y

xo .F

y

xo .F

y

xo .F

y

xo.F

2 2y px ( ,0)2

PF

2

Px

类比分析

（ -x） 2

2py

＝ Ｆ (0, )2

P y=-P

2

yy22=-2px=-2px(p>0)(p>0)

xx22=2py=2py(p>0)(p>0)

准线方程焦点坐标标准方程图 形

xFO

yl

xF O

y l

xFO

y

l

xF

O

yl

yy22=2px=2px(p>0)(p>0)

)0,2

p(

2

px

)0,2

p(

2

px

)2

p0( ，

2

py

xx22=-2py=-2py(p>0)(p>0)

)2

p0( ，

2

py

P 的意义 : 抛物线的焦点到准线的距离

方程的特点 :

(1) 左边是二次式 ,

(2) 右边是一次式 ; 决定了焦点的位置 .

5. 四种抛物线的特征

例例 1.1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y(1)y2 2 =4x =4x

(2)y=(2)y=－－ 2x2x22

(3)2y(3)2y2 2 +5x=0 +5x=0

(4)x(4)x22 －－ y=0 y=0

(5)y=4ax2

6. 例题讲解

Ex:P67 练习1， 2， 3.

例 2. 根据下列条件求抛物线的标准方程： (1) 已知抛物线的焦点坐标是 F(2,0); (2) 已知抛物线的准线方程是 y=3; (3) 已知抛物线过点 A （ -3， 2 ）

Ex:P67 练习 1(4) 焦点在直线 3x-4y-12=0上 .

练习 3

例 3. 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为 4.8m ，深度为 0.5m 。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

分析 :

B

A

0.5 4.8m

解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面 内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。

设抛物线的标准方程是 y2=2px (p>0) ， 由已知条件可得，点 A 的坐标是(0.5,2.4) ，代入方程，得 2.42=2p×0.5,

p=5.76∴

∴ 所求抛物线的标准方程是 y2=11.56 x ，

焦点的坐标是 (2.88,0)

F.

B

A

4.8m

(0.5,2.4)

0.5

y

xo

Ex.P73 7

例 4.已知点 P是抛物线 y2＝2x上的一个动点，则点 P到

点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值

为( )

A.172 B．3

C. 5 D.92

Ex. 已知点 P 是抛物线 y2 ＝ 4x 上的一个动点， F 是抛物线的 焦点，定点 A(3,2) ，求 |PA| ＋ |PF| 的最小值．

作业：