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Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO

3.1 Introduzione

Il problema della trave su suolo elastico è un esempio di problema diffusivo che si incontra

nella progettazione di elementi strutturali in grado di diffondere carichi concentrati di

grossa entità su superfici molto maggiori dell’impronta dei carichi stessi.

Il modello della trave su suolo elastico può essere utilizzato per lo studio di diversi problemi

strutturali, tra i quali le travi poggianti sul terreno od il problema delle connessioni a piolo

nei solai collaboranti acciaio-calcestruzzo e legno-calcestruzzo.

Questo modello può essere, inoltre, utilizzato per lo studio di strutture particolari come, ad

esempio, quelle poggianti su vincoli elastici isolati: questo è il caso delle rotaie poggianti su

cuscinetti di neoprene, del graticcio di travi e dei ponti strallati.

La distanza tra gli appoggi discreti deve essere significativamente inferiore alla lunghezza

dell’elemento, o, più propriamente, come spiegato nel seguito, alla zona di diffusione dei

carichi.

3.2 La trave su suolo elastico o alla Winkler

Si definisce trave su suolo elastico, o alla Winkler, la trave prismatica vincolata bilateralmente

per tutta la sua lunghezza ad un mezzo elastico capace di reagire punto per punto con una

reazione r proporzionale alla componente di spostamento ortogonale all’asse della trave, y,

che è l’incognita del problema.

Figura 3.1: Trave su suolo elastico alla Winkler.

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

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3.2.1 Caratterizzazione meccanica del terreno

È bene sottolineare come il terreno non possa rigorosamente essere definito come un mezzo

elastico, visto che non resiste a trazione. Tuttavia la schematizzazione elastica, se

opportunamente discussa, può essere considerata valida, come meglio spiegato nel seguito.

Una prima classificazione, per la caratterizzazione meccanica del terreno che costituisce il

supporto della trave, può essere effettuata distinguendo due tipologie di terreno: il terreno

coerente ed il terreno incoerente.

Il terreno può essere definito coerente se la deformazione del terreno dovuta all’applicazione

del carico interessa porzioni di terreno esterne all’impronta di carico, cioè se il terreno ha la

capacità di trasferire sforzi di taglio. Questo caso rappresenta, in generale, il comportamento

di terreni argillosi o rocciosi.

Figura 3.2: terreno di tipo coerente.

Il terreno può essere definito incoerente se la deformazione del terreno dovuta

all’applicazione del carico avviene senza perturbare le zone esterne all’impronta di carico. Il

terreno incoerente può subire dilatazioni e contrazioni, ma non scorrimenti angolari: il

terreno incoerente non può trasferire sforzi di taglio.

Figura 3.3: Terreno di tipo incoerente.

Il comportamento di un terreno incoerente, in virtù dell’incapacità di trasferire sforzi di

taglio, si presta maggiormente ad essere schematizzato attraverso un letto di molle che si

deformano in modo indipendente le une dalle altre con una rigidezza kT data dalla seguente

relazione:

(3.1)

dove:

kT è la costante di Winkler (indicata anche con ) [kg/m3];

σT(x) è lo sforzo agente su una molla nella direzione perpendicolare all’asse della trave;

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

53

y(x) è lo spostamento su una molla nella direzione perpendicolare all’asse della trave,

incognita del porblema

.

Figura 3.4: Trave su suolo elastico soggetta ad un carico distribuito.

La rigidezza del terreno viene espressa dalla costante di Winkler, che rappresenta la forza da

esercitare su una superficie unitaria per ottenere un abbassamento unitario del terreno. I

valori tipici della costante di Winkler, in funzione della tipologia di terreno, sono riportati

nella seguente tabella:

Tipologia di terreno Costante di Winkler – kT

[N/cm3] [kg/cm3]

Terreno con sabbia 10-40 1-4

Terreno con argilla 80-120 8-12

Terreno con ghiaia 100-300 10-30

Terreno roccioso >1000 >100

Tabella 3.1: Valori della costante di Winkler.

3.3 Trattazione analitica del problema

La trave prismatica, vincolata bilateralmente per tutta la sua lunghezza ad un supporto

elastico, risulta essere una struttura infinitamente iperstatica.

La soluzione del problema può essere determinata in forma analitica assumendo le seguenti

ipotesi semplificative:

- Il suolo elastico sia costituito da un terreno di tipo incoerente;

- Il terreno incoerente sia schematizzato attraverso un letto di molle di rigidezza kT che

realizzino un vincolo di tipo bilatero con la trave: le molle sono pertanto resistenti a

trazione, anche se il terreno non lo è. Di fatto, le trazioni presenti, nella maggio parte dei

casi, sono molto basse e assorbite dalle compressioni locali dovute al peso proprio della

trave stessa; le molle inoltre siano indipendenti, continue e lineari;

- La rigidezza flessionale EJ della trave prismatica sia considerata costante;

- La deformazione a taglio della trave sia trascurata: si consideri solo il contributo

flessionale;

- Le pressioni del terreno σT siano considerate uniformi lungo la larghezza b della trave.

Si consideri la trave di fondazione illustrata in figura soggetta all’azione di un carico

concentrato Q e di un carico distribuito p(x):

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

54

Figura 3.5: Trave su suolo elastico soggetta ad un carico distribuito p(x) ed un carico concentrato Q.

La reazione del terreno risulta proporzionale alla rigidezza del terreno kT, all’abbassamento

del terreno y(x) ed alla larghezza della trave b, secondo la seguente relazione:

(3.2)

Si consideri il concio di trave di lunghezza dx, illustrato in figura:

Figura 3.6: Convenzioni di segno sul concio di trave su suolo elastico.

L’equazione della linea elastica alle derivate quarte per la struttura in esame risulta:

(3.3)

Combinando la (3.2) con la (3.3) si ottiene:

(3.4)

L’equazione differenziale (3.4) può essere così riscritta:

(3.5)

La soluzione dell’equazione differenziale di ordine IV a coefficienti costanti (3.5) costituisce

la soluzione del problema della trave su suolo elastico.

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

55

La soluzione dell’equazione differenziale sarà la somma di un integrale particolare yP(x) e

dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata y0(x), secondo la seguente

relazione:

(3.6)

3.3.1.1 Integrale particolare

Si consideri come integrale particolare la seguente espressione:

(3.7)

L’integrale particolare rappresenta l’abbassamento della struttura dovuto alla presenza di un

carico distribuito p(x) di tipo lineare, parabolico o cubico, tale che:

(3.8)

In generale gli effetti del carico distribuito p(x) sono trascurabili rispetto a quelli dovuti ai

carichi concentrati. Ad esempio, in un edificio con struttura in calcestruzzo armato, i carichi

distribuiti agenti sulle travi di fondazione, dovuti agli elementi gravanti direttamente su di

esse (peso proprio più eventuale solaio), risultano ampiamente inferiori ai carichi concentrati

trasmessi dai pilastri.

3.3.1.2 Integrale generale

Trascurando gli effetti del carico distribuito, si consideri l’equazione omogenea associata

all’equazione differenziale (3.5):

(3.9)

Ponendo:

(3.10)

Si può scrivere la (3.9) nella forma:

(3.11)

dove:

è il rapporto fra la rigidezza del supporto elastico (terreno nel caso più

frequente) e la rigidezza della trave7fondazione.

L’integrale generale è dato dalla seguente relazione:

(3.12)

Il problema è risolvibile imponendo quattro condizioni al contorno, sia di tipo

cinematico (spostamenti e rotazioni) sia statico (taglio e momento).

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

56

3.4 Trave illimitata soggetta a carico concentrato

Per semplicità si consideri la trave su suolo elastico di lunghezza illimitata e soggetta ad

carico concentrato Q, indicata nella seguente figura.

Figura 3.7: Trave su suolo elastico di lunghezza illimitata seggetta ad un carico distribuito p(x) ed un

carico concentrato Q.

Posto come asse x l’asse geometrico della trave e come asse y l’asse di applicazione del

carico, allora l’asse y costituisce l’asse di simmetria della deformata della trave.

La soluzione del problema è data dalla somma di un integrale particolare, dovuto alla

presenza di carichi distribuiti, ed un integrale generale. Tuttavia, trascurando la presenza di

carichi distribuiti, la soluzione si riduce all’intergale generale dato dalla (3.12).

La soluzione del problema risulta nota a meno di quattro costanti di integrazione che

possono essere facilmente determinate imponendo la congruenza con le condizioni al

contorno che sono sia di tipo statico, legate alle azioni interne, sia di tipo cinematico, legate

alle deformazioni ed alle rotazioni della trave.

3.4.1.1 Condizioni al contorno 1 e 2 (condizioni cinematiche)

A distanza infinita dal punto di applicazione del carico il fenomeno diffusivo potrà

considerarsi, a buon ragione, esaurito e gli spostamenti verticali y(x) della trave potranno

considerarsi nulli. Infatti si ha:

Condizione al contorno 1 (3.13)

e per simmetria rispetto all’origine:

Condizione al contorno 2 (3.14)

Queste condizioni al contorno possono essere verificate solo con l’annullarsi dei termini che

moltiplicano l’esponenziale positivo della (3.12) e quindi si ha:

(3.15)

La soluzione dell’omogenea associata può essere così riscritta:

(3.16)

Derivando la (3.16) rispetto a x si ottiene:

(3.17)

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

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3.4.1.2 Condizione al contorno 3 (condizione cinematica)

Nel punto di applicazione del carico, per la simmetria della deformata rispetto all’origine,

potrà considerasi nulla la rotazione y’(x) (del resto la funzione y(x) ha un massimo). Pertanto

si ha:

Condizione al contorno 3 (3.18)

Questa condizione al contorno si verifica solo con l’annullarsi del termine che moltiplica il

coseno della (3.17) e pertanto:

(3.19)

La soluzione dell’omogenea associata può essere nuovamente riscritta:

(3.20)

Derivando la (3.20) rispetto a x si ottengono le seguenti espressioni:

(3.21)

(3.22)

(3.23)

3.4.1.3 Condizione al contorno 4 (condizione statica)

Si consideri il concio di trave di lunghezza infinitesima nell’intorno dell’origine soggetto

all’azione del carico Q e soggetto a due forze di taglio V sulle estremità del concio.

Figura 3.8: Equilibrio alla traslazione verticale del concio di trave all’origine.

Per equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione le forze di taglio assumono verso

concorde e modulo pari a:

Condizione al contorno 4 per x 0+ (3.24)

L’equazione della linea elastica alle derivate quarte, stabilendo un legame fra gli spostamenti y

della linea elastica ed i carichi applicati alla trave, ci consente di esprimere l’azione di taglio

come:

(3.25)

Sostituendo l’espressione si ottiene:

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

58

(3.26)

e quindi:

(3.27)

dove

(3.28)

3.4.1.4 Soluzione del problema

La deformata della struttura risulta infine:

(3.29)

Derivando la (3.29) rispetto a x si ottengono le seguenti espressioni:

(3.30)

(3.31)

(3.32)

Le espressioni del momento flettente M(x) ed del taglio V(x) risultano pertanto:

(3.33)

(3.34)

3.4.1.5 Tracciamento della deformata e delle azioni interne

La deformata e le azioni interne assumono il valore massimo in corrispondenza del punto di

applicazione del carico, per x = 0, ed un andamento periodico smorzato dovuto al prodotto

tra le funzioni periodiche e l’esponenziale negativo.

I valori massimi della deformata e delle azioni interne sono dati dalle seguenti espressioni:

(3.35)

(3.36)

(3.37)

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

59

Inoltre se definiamo lunghezza d’onda λ la distanza fra due punti di massimo o di minimo di

una funzione periodica di argomento αx, si ottiene la seguente relazione:

(3.38)

La lunghezza d’onda λ può essere espressa come:

(3.39)

Ad una distanza λ dal punto di applicazione del carico lo smorzamento assume un valore

pari al 2 ‰, infatti:

(3.40)

Inoltre ad una distanza λ/2 dal punto di applicazione del carico lo smorzamento assume un

valore pari al 4 %, infatti:

(3.41)

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

60

La seguente figura mostra l’andamento qualitativo della deformata strutturale e delle azioni

interne sul semiasse positivo della trave ma, grazie alla simmetria del problema, i risultati

ottenuti possono essere estesi al semiasse negativo.

Figura 3.9

3.4.1.6 Esempio

Si consideri una trave di fondazione in calcestruzzo armato, di sezione rettangolare con

altezza h e base b. Si considerino le seguenti caratteristiche della trave e del terreno di

fondazione:

(3.42)

(3.43)

(3.44)

Il momento d’inerzia J baricentrico per una sezione rettangolare risulta:

(3.45)

La lunghezza d’onda λ risulta pertanto:

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

61

(3.46)

Osservazione

Dalla relazione (3.39) si può osservare che la lunghezza d’onda λ e, quindi, la capacità di

diffusione del carico sia direttamente proporzionale alla rigidezza flessionale della trave EJ

ed inversamente proporzionale alla rigidezza del terreno kT. Ad esempio travi rigide su

terreni cedevoli hanno una notevole capacità di diffondere i carichi.

Dalla relazione (3.40) si può osservare che ad una distanza λ dal punto di applicazione del

carico lo smorzamento assume un valore pari al 2 ‰ e che, quindi, travi di lunghezza

superiore a 2λ possono considerarsi come travi infinitamente lunghe.

La lunghezza d’onda λ risulta, quindi, essere il parametro fondamentale per controllare la

capacità di diffusione dei carichi del sistema costituito da trave e terreno.

Osservazione

Osservando la figura si può notare che a distanza x compresa fra e la deformata

strutturale presenti valori positivi e che, quindi, la struttura tenda a sollevarsi verso l’alto.

Per l’ipotesi di vincolo bilatero il terreno genera un sistema di forze di richiamo elastico

dirette verso il basso e proporzionali alle deformazioni della trave. Tuttavia questa

situazione non corrisponde a nessun caso reale poiché il terreno, in generale, ha resistenza

nulla a trazione. Il modello della trave su suolo elastico può essere ancora ritenuto

accettabile se si considera la modesta entità di tali forze.

Inoltre se si considera la presenza di più carichi concentrati, ad esempio i carichi trasmessi

dai pilastri ad una trave di fondazione, si verifica la sovrapposizione di sollecitazioni di

trazione, con sollecitazioni di compressione del terreno. Si realizza, quindi, un’azione di

livellamento delle sollecitazioni sul terreno che ha come effetto la riduzione delle zone di

terreno sottoposto sollecitazioni di trazione.

Osservazione

Il modello della trave su suolo elastico può essere perciò adottato per risolvere il problema

di diffusione di carichi concentrati, come ad esempio quelli trasmessi dai pilastri alle

fondazioni, laddove la soluzione del plinto genera uno stato di sollecitazione troppo gravoso

per il terreno.

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

62

3.5 Il graticcio di travi

Il graticcio di travi è un modello strutturale bidimensionale che può essere adottato nel

dimensionamento dei solai con lo scopo di ripartire le sollecitazioni su travi e travetti in

ragione della loro rigidezza flessionale.

Nello schema di solaio classico la trave di spina costituisce un appoggio rigido per il travetto

mentre nello schema di graticcio di travi si considera la deformabilità della trave di spina.

L’utilizzo del modello a graticcio di travi può essere utile quando le travi di spina hanno luci

elevate: considerando il mutuo effetto della trave e dei travetti si può ottenere una

vantaggiosa riduzione delle sollecitazioni sulla trave di spina e, per contro, l’aumento delle

sollecitazioni sui travetti.

Tale modellazione è maggiormente sensata in presenza di rigidezze flessionali simili tra

trave principale e secondaria, il che non avviene, di regola, nei solai in latero-cemento.

Si consideri il solaio schematizzato nella seguente figura:

Figura 3.10: Solaio con schema a graticcio di travi.

La trave costituisce un appoggio cedevole per i travetti mentre, a sua volta, risulta essere

incastrata agli estremi e appoggiata su una serie di appoggi di continuità cedevoli, costituiti

dai travetti. Se il rapporto d/L fra l’interasse dei travetti e la lunghezza della trave principale

è sufficientemente piccolo (o meglio, d/), gli appoggi isolati possono essere ricondotti ad un

suolo continuo alla Winkler.

Si assumono alcune ipotesi semplificative:

- I materiali abbiano un comportamento elastico lineare, omogeneo ed isotropo;

- La trave sia soggetta a spostamenti verticali che ricadono nel campo dei piccoli

spostamenti;

- La trave principale e le secondarie siano prismatiche di luce L e l;

- La rigidezza flessionale della trave (EJ)L e dei travetti (EJ)t siano considerati costanti;

- La trave principale sia vincolata nella mezzeria dei travetti;

- Si consideri la presenza di un vincolo sferico bilatero tra la trave principale e le travi

secondarie in modo che si possa trascurare la torsione dei travetti generata dalla flessione

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

63

della trave. Il vincolo pertanto trasmette unicamente forze, non momenti. In realtà, come

già osservato nella teoria delle piastre sottili, la flessione della trave principale torce i

travetti secondari e viceversa. Questo aspetto viene qui trascurato, assumendo che la

rigidezza torsionale sia trascurabile (lo è nelle strutture in calcestruzzo armato,

soprattutto dopo la fessurazione).

Staticamente, il problema può essere trattato schematizzando la trave principale su letto di

molle elastiche, costituito dalle travi secondarie.

Si assume inoltre convenzionalmente che tutto il carico sia attribuito alle travi secondarie.

Si consideri il travetto secondario del graticcio, a sua volta schematizzato come illustrato in

figura:

Figura 3.11: Schema strutturale del travetto secondario.

La trave principale viene schematizzata come una molla traslazionale posta nella mezzeria

del travetto. La reazione della molla può essere ottenuta grazie al principio di

sovrapposizione degli effetti:

(3.47)

dove R’ è la reazione del vincolo supposto infinitamente rigido (come nel caso del travetto in

latero-cemento) mentre R’’ rappresenta la reazione della molla elastica dovuta alla

deformabilità y, incognita del problema. R’’ è tanto maggiore quanto più il vincolo è

cedevole, determinando infatti una diminuzione della reazione totale R.

Inoltre,

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

64

è il carico totale;

γ è il coefficiente di influenza del carico (carico uniformemente distribuito

γ=5/4).

La rigidezza della molla può essere facilmente determinata attraverso il teorema e il corollario

di Mohr, come da figura seguente:

(3.48)

Figura 3.12: Determinazione dello spostamento verticale y attraverso i corollari di Mohr.

La rigidezza della molla risulta:

(3.49)

Osservazione

Dalla relazione (3.49) si può osservare che la rigidezza flessionale (EJ)L della trave non

influenza la rigidezza della molla k.

La rigidezza flessionale (EJ)L della trave influenza, invece, l’abbassamento y dei travetti che,

collocati in punti diversi della trave subiscono abbassamenti diversi. Per questa ragione la

reazione R della trave risulta diversa per ogni travetto.

Se l’interasse dei travetti d risulta molto piccolo rispetto alla luce della trave principale L

allora l’appoggio costituito dai travetti può essere schematizzato come un suolo elastico tipo

Winkler.

Si consideri ora la trave principale del graticcio, illustrata in figura:

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

65

Figura 3.13: Schema strutturale della trave principale.

Il carico p(x) agente sulla trave è proporzionale alla reazione R che la trave esercita sui

travetti ed inversamente proporzionale alla distanza d tra i travetti. Il carico p(x) è dato dalla

seguente relazione:

(3.50)

L’equazione della linea elastica alle derivate quarte per la struttura in esame risulta:

(3.51)

Sostituendo si ottiene:

(3.52)

Definendo le seguenti quantità:

(3.53)

si ottiene la seguente relazione:

(3.54)

La soluzione dell’equazione differenziale di ordine IV a coefficienti costanti (3.54) costituisce

la soluzione del problema del graticcio di travi.

Se tutti i travetti sono soggetti allo stesso carico Q (ipotesi aggiuntiva che viene introdotta

ora), allora la quantità q0 è una quantità costante e la (3.54) può essere riscritta nella forma:

(3.55)

dove:

(3.56)

è il rapporto fra la rigidezza del supporto elastico e la rigidezza della trave (come nel caso

della trave su suolo elastico: il suolo elastico è ora costituito dai travetti secondari).

La soluzione dell’equazione differenziale sarà la somma di un integrale particolare yP(x) e

dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata y0(x), secondo la seguente

relazione:

3. TRAVE SU SUOLO ELASTICO

66

(3.57)

dove:

(3.58)

(3.59)

La soluzione del problema risulta nota a meno di quattro costanti di integrazione che

possono essere determinate imponendo la congruenza con le condizioni al contorno di tipo

cinematico, rappresentate dalle seguenti relazioni:

Condizione al contorno 1 (3.60)

Condizione al contorno 2 (3.61)

Condizione al contorno 3 (3.62)

Condizione al contorno 4 (3.63)

Osservazione

L’interazione fra la trave e i travetti dipende principalmente dallo spostamento verticale y(x)

della trave: per i travetti prossimi agli incastri esso sarà ridotto e la trave costituirà un

appoggio più rigido, mentre in corrispondenza della mezzeria, dove la trave si deforma

maggiormente, i travetti trasmetteranno una reazione R minore e risulteranno, quindi, più

sollecitati.

Osservazione

Nel caso in cui la trave principale non abbia gli estremi incastrati ma semplicemente

appoggiati, la trave avrà una rigidezza k diversa e saranno necessarie nuove condizioni al

contorno [y(0) = y’’(0) = y(L) = y’’(L) = 0].