2.3 Métodos para detección y corrección de errores

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Tema 4:Tema 4:DetecciDeteccióón y Correccin y Correccióón de Erroresn de Errores

Escuela Politécnica SuperiorIngeniería Informática

Universidad Autónoma de Madrid

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OBJETIVOS

Conocer cómo pueden detectarse y prevenirse errores que puedan aparecer en los distintos intercambios de información que realiza el ordenador.

Aplicar distintos métodos de detección y corrección de errores.

TEMA 4: DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES

4.1 Control de errores usando paridad

4.2 Códigos de autochequeoy autocorrectores

DetecciDeteccióón y Correccin y Correccióón de Erroresn de Errores

Bibliografía Tema 4:- Introduction to Computer Hardware and Data Communications.

P.-A. GOUPILLE. (Prentice Hall, 1993). Cap. 5.

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Conceptos previosConceptos previos

• Concepto de Código:

- De un conjunto de palabras (por ejemplo: Posibles palabras binarias de una longitud determinada), código es un subconjunto

- Ejemplo: • Código: Palabras de tres bits con sólo un dígito a 1• En las palabras binarias de longitud 3:

{000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

Escuela Politécnica Superior

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Necesidad del tratamiento de erroresNecesidad del tratamiento de errores• Posibilidad de errores

- En informática (entre varios ordenadores o en el interior de ellos) la información circula entre diferentes dispositivos y reposa en ciertos dispositivos

- Posibles errores: • Ruidos en las comunicaciones• Defectos en las superficies de los discos, etc.

- Los errores consisten en la modificación de la información desde que se emite (o almacena) hasta que se recibe (o se recupera)

• Cambio de valor de algunos bits (0 ⇔ 1)


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Necesidad del tratamiento de erroresNecesidad del tratamiento de errores• Tipos de errores

- Aislados: Bit afectado rodeado de bits correctos• Simples: 1 bit afectado • Múltiples: Más de 1 bit afectado

- Ráfagas de errores: Secuencia de bits contiguos con errores


1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

Información de partida:

Error aislado simple:

Errores aislados triples:

Ráfaga de error:

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Tipos de cTipos de cóódigosdigosde tratamientos de erroresde tratamientos de errores

• En lugar de manipular la información, se definen códigos en los que se incluye la información que permite detectar y/o corregir errores

• Códigos correctores de errores- Uso:

• Se recibe la información, si se detecta el error se corrige

- Situaciones:• Cuando no es conveniente retransmitir la información


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Tipos de cTipos de cóódigosdigosde tratamientos de erroresde tratamientos de errores

• Códigos detectores de errores- Uso:

• Se recibe la información, si se detecta el error se solicita la retransmisión

- Situaciones: • Suele ser más costoso corregir que detectar• Cuando es posible la retransmisión, se solicita


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Conceptos asociados a erroresConceptos asociados a errores


• Distancia de Hamming entre dos palabras- Nº de bits que difieren dos palabras

- Ejemplo:

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1 Distancia Hamming = 4

Se necesitan 4 errores para transformar una palabra en la otra

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• Distancia de Hamming de un código- Distancia mínima entre las palabras que componen el código

- Ejemplo: {100, 111, 011}

mín{d(100, 111), d(100, 011), d(111, 011)} = mín{2, 3, 1} = 1

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• Propiedades para la detección de errores- Para detectar d errores de un bit entre dos

palabras, es necesario un código con una distancia de

Hamming de al menos d+1

- De otra forma: Con una distancia de Hamming de d se

pueden detectar d-1 errores

- Ejemplo: C = {001, 010, 100}, d. Hamming = 2

• Un error aislado siempre se detecta - Un error en 001 ⇒ 101, 011, 000, ∉ C

• Dos errores aislados no se detectan- Dos errores en 001 ⇒ 111, 010, 100. Dos pertenecen a C

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• Propiedades para la corrección de errores- Para corregir d errores de un bit entre dos

palabras es necesario un código con una distancia de

Hamming de al menos 2d+1

- De otra forma: Con una distancia de Hamming de d se

pueden corregir (d-1)/2 errores

- Ejemplo: C = {0000000000, 0000011111, 1111100000,

1111111111}, d. Hamming = 5

Se pueden detectar d-1 = 5-1 = 4 errores Se pueden corregir (d-1)/2 = 4/2 = 2 errores

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CCóódigos para tratamiento de erroresdigos para tratamiento de errores


• Comprobación de paridad

• Paridad vertical, longitudinal y cruzada

• Código i en n

• Códigos de redundancia cíclica (CRC) (Cyclic Redundancy Codes)

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• Comprobación de paridad- VRC (Vertical Redundancy Checking)- La información se coloca en bloques de longitud fija

- A los bloques se les añade un bit llamado de paridad

y que, normalmente, precede a la información

- Criterios para la paridad• Bit de paridad par:

- Nº total de “1” par: Bit de paridad = 0- Nº total de “1” impar: Bit de paridad = 1

• Bit de paridad impar:- Nº total de “1” par: Bit de paridad = 1- Nº total de “1” impar: Bit de paridad = 0

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• Comprobación de paridad- Ejemplo:

Información Criterio Código0 1 1 1 0 0 1

0 1 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 1

1 0 1 1 1 0 0 1

Paridad par

Paridad impar

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• Comprobación de paridad- Ejercicio: Completar el bit de paridad con criterio

impar (1) y par (2)

Información1 21 0 0 0 0 0 10 1 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 01 1 1 0 1 1 11 0 1 0 0 0 10 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 0 10 0 0 1 1 0 1

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- La información se coloca en grupos de (m) bloques de longitud fija (k) como matriz kxm o mxk

1 2 k

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m

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Cada bloque:

• 1 bit para VRC • 1 bit para la paridad

perpendicular o LRC(Longitudinal RedundancyChecking)

• 1 bit de paridad cruzadaque comprueba paridades

1 2 k

12

m

Bits de VRC

Bit de paridadcruzada

Bits de LRC

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Ejemplo: Se quiere enviar la información “PAG” en

ASCII (7 bits):

50 41 4716

(101 0000 100 0001 100 0111) (k = 7, m = 3, matriz 7x3)

• Se añade:

- Bit para VRC criterio par (verde, primera fila)

- Bit para LRC criterio par (azul, última columna)

- Bit de paridad cruzada criterio par (rosa)

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Ejemplo 1:

0 0 0 01 1 1 10 0 0 01 0 0 10 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

Paridad cruzada

LRC

VRC

En hexadecimal se envía (columnas):

50 41 47 5616

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Evaluación del código

• Distancia Hamming del código: 4 - Las dos palabras del código más cercanas difieren en un bit de

datos - Un cambio en un bit de datos implica (para que la palabra sea

correcta):» Cambio en un bit de VRC» Cambio en un bit de LRC» Cambio en el bit de paridad cruzada

- ⇒ Un cambio mínimo implica 4 bits• Capacidad de detección y corrección:

- Detecta todos los errores simples, dobles y triples- Corrige todos los errores simples

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Evaluación del código

• Uso: - Emisión:

» Disposición de datos como matrices» Se añaden las paridades VRC, LRC y cruzada

- Recepción:» Comprobación de paridad cruzada (requisito)» Comprobación de VRC y LRC: Las posiciones de error

en VRC y LRC marcan filas y columnas en cuyas intersecciones puede haber error. Dependiendo del tipo de errores se pueden o no detectar y corregir.

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Ejemplo 2: Detección y no corrección de errores triples

• Error triple en el caso anterior (rojo) (se supone que no afectaa las paridades)

0 0 0 01 1 1 10 1 0 00 0 0 10 0 0 00 0 1 10 0 1 10 0 1 0

Errores

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• Detección mediante errores en bits de paridad

0 0 0 01 1 1 10 1 0 00 0 0 10 0 0 00 0 1 10 0 1 10 0 1 0

VRC errónea

Cruzada correcta

LRC errónea

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• Imposibilidad de corrección: Error en las posiciones sospechosas

0 0 0 01 1 1 10 1 0 00 0 0 10 0 0 00 0 1 10 0 1 10 0 1 0

Bitssospechosos

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Ejemplo 3: Detección y no corrección de errores dobles

• Error doble en el caso anterior (rojo) (se supone que no afecta a las paridades)

0 0 0 01 0 1 10 0 0 01 0 0 11 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

Errores

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0 0 0 01 0 1 10 0 0 01 0 0 11 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

VRCerrónea

Cruzada correcta

LRCerrónea

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• Imposibilidad de corrección: No todas las posiciones sospechosas son erróneas

0 0 0 01 0 1 10 0 0 01 0 0 11 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

Bitssospechosos

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• Paridad vertical, longitudinal y cruzada- Ejemplo 4: Detección y corrección de error simple

• Error simple en el caso anterior (rojo) (se supone que no afecta a las paridades)

0 0 0 01 1 1 10 0 0 01 0 0 11 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

Error

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0 0 0 01 1 1 10 0 0 01 0 0 11 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

VRCerrónea

Cruzada correcta

LRCerrónea

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• La identificación inequívoca del bit erróneo permite su corrección

0 0 0 01 1 1 10 0 0 01 0 0 11 0 0 00 0 1 10 0 1 10 1 1 0

Bitsospechosoy erróneo

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• Códigos i en n- O códigos de verificación de cuenta fija- El código i en n está formado por las palabras binarias de n bits que tienen i bits igual a 1

- Observaciones:• Número de palabras posibles de n bits: Variaciones con

repetición de 2 elementos tomados de n en n: 2n

• Número de palabras del código: Permutaciones de n elementos. 1 se repite i veces y 0 n-i veces

n!

i! (n - i)!

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• Códigos i en n- Ejemplo: Código 4 en 8

• 4 en 8 está formado por palabras binarias de 8 bits con 4 bits igual a 1

0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1 0 1

…

1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 0

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• Códigos i en n- Ejemplo: Código 4 en 8

• Sobre un total de 28 = 256, sólo permite 70: 8! = 70

4! 4!

- Evaluación del código• Su distancia de Hamming es 2: Un cambio mínimo de 1 bit

(0 ⇔ 1) obliga a cambiar otro para ajustar el número de bits igual a 1

• Sólo detecta errores simples que no es capaz de corregir

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- Conceptos previos

• Es natural contar de forma cíclica

- LOS GRADOS: Supongamos que contamos un número de grados entero.El orden es:

0, 1, 2, ..., 45, ..., 180, ..., 357, 358, 359, 360=0, 1, etc.

90º

180º

270º

0º=360º

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- LOS GRADOS:Es fácil operar

» El siguiente a 359 es 0

» El anterior a 0 es 359

» Tres más que 358 es 1

» Cinco menos que 2 es 357

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- LAS HORAS DEL DÍA

El orden es

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21, 22, 23, 0, 1, ...

6h

12h

18h

0h=24h

Y operar es como antes

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• El conjunto de los enteros módulo 2

- {0, 1}- Su orden cíclico

1 0

- Las operaciones pueden representarse con tablas

+ 0 10 0 11 1 0

- 0 10 0 11 1 0

* 0 10 0 01 0 1

1+1=00-1=1

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• Observaciones sobre los polinomios Q[x]- División de polinomios con coeficientes racionales (Q)

Ejemplo: D = 6x4 + 9x3 + 5x + 2 y d = 2x2 - 16x4 +9x3 +0x2 +5x +2 2x2 +0x -1

3x2 +(9/2)x +(3/2)6x4 +0x3 -3x2

0x4 +9x3 +3x2 +5x +9x3 +0x2 -(9/2)x

0x3 +3x2 +(19/2)x +2 +3x2 +0x -(3/2) 0x2 +(19/2)x +(7/2)

Se obtiene: q = 3x2 + (9/2)x + (3/2) y r = (19/2)x + (7/2)

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• Observaciones sobre los polinomios Q[x]Ejemplo: Se puede representar abreviadamente:

6 9 0 5 2 2 0 -1

3 9/2 3/26 0 -3 0 9 +3 5

9 0 -(9/2)

0 3 +(19/2) 2

3 0 -(3/2) 0 (19/2) +(7/2)

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• Polinomios con coeficientes enteros módulo 2- Se puede demostrar (no objeto de este curso) que esta división también es posible cuando los coeficientes son enteros módulo 2 siempre que las operaciones (resta, productos, etc.) sean definidas en ese conjunto- Ejemplo: D = x13 + x12 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 y d = x4 + x + 1

1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0 1 01 0 0 1 10 1 0 0 1 1

1 0 0 1 10 0 0 0 0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0

1 0 0 1 10 0 1 1 1 0

Resultado: q = x9 + x8 + x3 + x y r = x3 + x2 + x

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- Presentación de la técnica • Se interpretan las cadenas de 1’s y 0’s como coeficientes

enteros módulo 2 de polinomios• Los k bits de cada mensaje se tratan como si fueran los

coeficientes de un polinomio M(x), de orden k-1, en el que las operaciones se hacen en módulo 2

• Si el mensaje fuese: 10010110el polinomio considerado sería:

M(x) = 1 • x7 + 0 • x6 + 0 • x5 + 1 • x4 + 0 • x3 + 1 • x2 + 1 • x1 + 0 • x0 == x7 + x4 + x2 + x

• Se utiliza un polinomio generador G(x) de grado r. Este polinomio está predeterminado, y es el mismo en el emisor y el receptor

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- Presentación de la técnica • Operaciones en módulo 2:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 0 (sin acarreo)

0 – 0 = 00 – 1 = 1 (sin acarreo)1 – 0 = 11 – 1 = 0

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica

- Presentación de la técnica • Objetivo del procedimiento: Añadir r bits al mensaje de k bits,

de forma tal que el polinomio resultante, T(x), correspondiente

a los k+r bits, sea divisible por G(x)

• El receptor verifica si T(x) es divisible por G(x), y si no lo es

hay un error en la transmisión

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- Uso de la técnica

• Emisor (algoritmo a seguir):- Añadir r bits 0 al extremo de menor orden del mensaje. El

polinomio correspondiente será xr • M(x)- Dividir (módulo 2) xr • M(x) entre G(x): xr • M(x) = C(x) + R(x)

G(x) G(x)

C(x) es el cociente y R(x) el resto

- Restar a xr • M(x) el valor del resto R(x) (esto es equivalente a añadir al mensaje original M(x) el resto R(x))

T(x) = xr • M(x) - R(x) - Se obtiene así T(x), cuyos coeficientes (unos o ceros)

sustituyen el mensaje a transmitir. T(x) es siempre divisible por G(x)

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- Uso de la técnica

• Receptor:- Recibe el mensaje T’(x) del emisor- Divide T’(x) entre G(x)- Si el resto es cero, el mensaje ha llegado correctamente

(T’(x) = T(x))- Si el resto no es cero, el mensaje ha llegado con error y hay

que pedir una retransmisión (T’(x) ≠ T(x))

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- Ejemplo: Se requiere transmitir 10011011. Polinomio generador G(x) = x3 + 1

• Mensaje: 10011011• Polinomio generador: 1001 (r=3)• Se añaden 3 bits 0 al final del mensaje: 10011011000• Se divide x3 • M(x) entre G(x):

1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 1 01 0 0 10 0 0 0 1 0 1 1

1 0 0 10 0 1 0 0 0

1 0 0 10 0 0 1 0

• Se transmite 10011011010 (4DA16)

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica- El polinomio generador

• La selección del polinomio generador es esencial si queremosdetectar la mayoría de los errores que ocurran

• Se puede demostrar (no objeto de este curso) que los polinomios generadores son más potentes con el primer y último bits a 1

• Ejemplos de polinomios generadores (estándares internacionales):

- CRC-12: x12 + x11 + x3 + x2 + x + 1- CRC-16: x16 + x15 + x2 + 1- CRC-CCITT: x16 + x12 + x5 + 1

» 100% errores simples» 100% errores dobles» 100% errores en un número impar de bits» 100% errores en ráfagas de igual a o menos de 16 bits» 99.997% errores de ráfagas de 17 bits» 99.998% de errores en ráfagas de 18 o más bits

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• Códigos polinómicos o de redundancia cíclica

- Ejercicio: Utilizando el polinomio generador G = x3 + 1, determinar los valores hexadecimales que se transmitirán para mandar el mensaje binario 10110110

(Solución: 5B216)

2.3 Métodos para detección y corrección de errores

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