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(224~253)271교과4-1 2014.7.18 4:4 PM 페이지224 m2 ApogeeX

적분법

1.`여

러가지

적분법

2.`정

적분의

활용

자연스러운움직임을표현하는동영상은수많은사진으로이루어진다.

다음부정적분을구하여라.

⑴ : (3x¤ +8x)dx x‹ +4x¤ +C ⑵ : (x-2)(x+1)dx ;3!;x¤ -;2!;x¤ -2x+C

부정적분 1

|준 |비 |학 |습 |

미적분Ⅰ

곡선 y=(x+1)(3-x)와 x축으로둘러싸인도형의넓이를구하여라. :£3™:정적분의활용 3미적분Ⅰ

다음정적분을구하여라.

⑴ :!2 (2x‹ -3x¤ +2x-4)dx -;2!; ⑵ :!3 (x-1)(x+2)dx :™3§:

정적분 2미적분Ⅰ


226 각론

1. 여러가지적분법

①곡선으로둘러싸인도형의넓이를구할수있게한다.

②입체도형의부피를구할수있게한다.2. 정적분의활용

①치환적분법을이해하고, 이를활용할수있게한다.

②부분적분법을이해하고, 이를활용할수있게한다.

③여러가지함수의부정적분과정적분을구할수있게한다.

단원의지도목표

①적분에필요한공식은미분법의공식에서유도하도록한다.

②정적분의다양한활용을통해적분개념이실생활에유용함을인식하게한다.

교수·학습상의유의점

교수·학습의계열

본단원 후속학습

[기하와벡터]

평면곡선의접선


여러가지함수의부정적

분

치환적분법

부분적분법

여러가지함수의정적분

2. 정적분의활용

넓이

부피

선수학습

[미적분Ⅰ]

수열의극한

함수의극한과연속성

다항함수의미분법

다항함수의적분법

[미적분Ⅱ]

지수함수와로그함수의

뜻과그래프

지수함수와로그함수의

미분

삼각함수의뜻과그래프

삼각함수의미분

여러가지미분법

도함수의활용


Ⅳ. 적분법 227

단원의차시별지도계획

소단원 차시중단원 교과서(쪽) 지도내용 용어와기호


2. 정적분의활용

중단원도입 152 •소유즈호의중력장탈출에너지

•함수 y=x« (n은실수)의부정적분

•삼각함수의부정적분

•지수함수의부정적분

•치환적분법

• 의부정적분

•유리함수의부정적분

•부분적분법

•y=x« (n은실수), 삼각함수, 지수함

수의정적분

•정적분의치환적분법

•정적분의부분적분법

•중단원확인학습문제

•적분은넓이를구하는것에서출발하

여부피를구하는것으로발전하였다.

•곡선과 x축사이의넓이

•두곡선사이의넓이

•입체도형의부피

•삼각함수의정적분을구하여보자.

•중단원확인학습문제

•수행과제

•대단원학습내용정리

•대단원평가문제

•수학플러스

f '(x)111f(x)

150~151

1~2

•단원의개관

•준비학습단원의개관

01 여러 가지 함수

의부정적분153~156

02 치환적분법 157~1613~5 치환적분법

03 부분적분법 162~1636

7~10

부분적분법

04 여러가지함수

의정적분164~170

수준별학습 171~17311

01 넓이 175~180

02 부피 181~183

컴퓨터활용 184

수준별학습 185~187

16~17

18

중단원도입 174

12~15

단원마무리 188~19319~20


228 각론

단원의이론적배경

1.이론적배경고등학교에서배우는적분은코시적분이다. 이적분

은 연속함수와 (불연속점이 유한 개인) 구분적 연속함

수를다루기에적절하다.

그런데리만(Riemann, G. F. B. ; 1826~1866)은

좀더일반적인함수, 이를테면임의의유한구간에불

연속점이 무수히 많은 함수의 적분에 대한 논문을

1852년경에 썼다. 그러나 이 논문은 그가 죽은 뒤인

1867년에발표되었다. 이 논문의‘삼각급수에의한함

수의표현에대하여’에서는각소구간에서임의로선택

한점 g *̊<[x˚–¡, x˚]에대하여다음값을생각하였다.

S= ;Kn+! f(g *̊)Dx˚

그리고 Dx˚의 최댓값이 0에 수렴할 때 S가 일정한

값 V에 수렴하면, 즉 임의의 양수 e에 대하여 적당한

양수 d가 존재하여 Dx˚의 최댓값이 d보다 작은 모든

분할에대하여 |S-V|<e이면, 함수 f는구간 [a, b]

에서 (리만)적분가능하다라하고, 이를기호

V=:Ab f(x)dx

로나타내었다.

리만의정의는코시의정의와매우유사하다. 그러나

코시가연속함수에서출발한반면에리만은유계인함

수에서출발했고, 소구간의한쪽끝점을선택한코시와

달리리만은소구간의임의의점을선택했다.

이렇게리만적분은융통성이커졌으며, 특히이것은

적분의 존재에 대한 필요충분조건을 확립할 수 있게

했다.

적분법의 개념은 미분법의 개념과는 독립적으로 발

달하였다. 그기원은곡선으로둘러싸

인 도형의 넓이를 구하는 방법을 처

음으로 논의한 그리스 시대로 거슬

러올라간다.

아르키메데스(Archimedes ;

?B.C. 287~B.C. 212)는포물선과직선으로둘러싸인

도형의넓이를다음과같이구하였다.

오른쪽 그림과 같이 선분

AB, CA, CB의 중점을 지

나고 포물선의 축에 평행한

선분 LC, MD, NE를 그어

포물선과만나는점을 C, D,

E라하면포물선의기하학적

성질로부터다음이성립함을밝혔다.

△CDA+△CEB=;4!;△ABC

아르키메데스는 이러한 생각을 반복하여 포물선과

직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 다음과 같이 구하

였다.

△ABC+ + + +y

=△ABC{1+ + + +y}

=;3$;△ABC

갈릴레이는‘0…x…a, 0…y…f(x)’와‘0…x…a,

0…y…g(x)’의넓이의비는 n을충분히크게했을때

의 f̀{:nÅ:}와 g̀{:nÅ:}의 비와 같음을 믿고 있었

다. 카발리에리(Cavalieri, F. B. ; 1598~1647)는

이생각을‘극한’의개념으로발전시켜, ‘모든세로좌

n-1;k=0

n-1;k=0

1154‹

1154¤

114

△ABC11124‹

△ABC11124¤

△ABC11124

B

L

E

A

N

MD

C

3.카발리에리의불가분량의방법

아르키메데스

2.적분법개념의발달


Ⅳ. 적분법 229

표의합’이라는용어를사용하여엄밀

한 뜻에서 양자의 비가 같음을 밝히

고 있다. 주어진 평면도형의 불가분

량은 그 도형의 현을 의미하고 그 평

면도형은 그와 같이 평행하게 무한히

많은불가분량의집합으로이루어진것으로간주할수

있다. 만약어떤평면도형의평행한불가분량들각각을

자체의축을따라불가분량의끝점들은연속적인경계

를유지하며밀어움직이면그리고원래의도형과새로

만들어진 도형이 같은 불가분량으로 이루어진다면 서

로같다고카발리에리는주장했다. 이러한주장은입체

도형에대해서도마찬가지이다.

만약 두 개의 평면도형이 한 쌍의 평행선 사이에 끼

어있고, 만약그평행선과평행한임의의선으로그두

평면도형을 잘랐을 때 생기는 두 선분의 길이가 항상

일정한비를가지면, 두평면도형의넓이도또한그비

를갖는다.

만약 두 개의 입체도형이 한 쌍의 평행면 사이에 끼

어있고, 그평행면들과평행인임의의면으로그두입

체도형을 잘랐을 때 생기는 두 단면의 넓이가 항상 일

정한비를가지면, 두입체도형의부피도또한그비를

갖는다.

반구와원뿔을제거한직원기둥은같은평면위에놓

여 있다. 이 두 입체도형을 밑면에서 h의 높이에 있는

밑면과평행인평면으로자른단면은각각원판과원환

이된다. 초등기하학에의해서이두단면의넓이는

h r

rh

h

p(r¤ -h¤ )으로서로같다.

카발리에리의 둘째원리에 의해서두 입체도형의부

피는같아야한다. 따라서구의부피 V에대한공식은

다음과같다.

V=2{(직원기둥의부피)-(원뿔의부피)}

V=2{pr‹ -;3!;pr‹ }=;3$;pr‹

이카발리에리의‘불가분의기하학’은매우획기적인

것이었지만, 그불가분법의약점을발견하고그개념을

근본적으로 개조한 학자는 토리첼리(Torricelli, E. ;

1608~1647)와 파스칼(Pascal, B. ; 1623~1662)이

며, 이 두 학자에 의하여 구분적분법의 단서가 열렸다

고도생각할수있다. 그어느쪽도적분은직접구적과

관련된뜻을가지는것이었으나, 현대적표현으로

: (f+g)dx=: fdx+: gdx,

: cfdx=c: fdx

등의 일반 법칙에 생각이 미치는 등 점차 문제의 추상

화가진행되었다.

그후뉴턴, 라이프니츠에이르기까지구체적인문제

의 연구를 통하여 점차 적분의 내용도 풍부해지고, 무

한급수를사용하는방법, 치환적분법, 부분적분법등이

사용되기에이르렀다.

4.카발리에리의원리의활용

5.적분법의탄생

카발리에리


230 각론

교수·학습활동 교수·학습상의유의점

차시별교수·학습과정안(예시)

대단원

소단원

학습목표

Ⅳ.적분법

1. 여러가지적분법 01 여러가지함수의부정적분 1/20

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

준비학습을이용하여이번단원의학습에필요한기초개념을간단히확인, 점검한

다.

중단원 도입 글을 읽고, 단원 과제를 발문하여 이번 단원을 학습하면서 이 과제를

해결할수있음을암시한다.

이번차시의학습목표를제시한다.

•함수 y=x« (n은실수)의부정적분을구할수있다.

전개

탐구활동

개념학습

탐구활동을해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 보충 설명을한다.

학습내용설명

함수 y=x« (n은실수)의부정적분

⑴ n+1일때, : x« dx= x« ±⁄ +C

⑵ n=-1일때, : ;[!;dx=ln|x|+C

문제 1번을풀게한다.

•정답을확인하고, 보충설명을한다.

1112n+1

정리

학습내용정리

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

다음차시를예고한다.

•여러가지함수의부정적분에대하여알아본다.

함수 y=x« (n은실수)의부정적분을구할수있다.

쪽수

차시

교과서 150~154쪽


Ⅳ. 적분법 231

교수·학습활동 교수·학습상의유의점

차시별교수·학습과정안(예시)

대단원

소단원

학습목표

Ⅳ.적분법

1. 여러가지적분법 01 여러가지함수의부정적분 2/20

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

이전차시에학습한내용을간단히확인, 점검한다.

학습동기유발을위한발문을한다.

이번차시의학습목표를제시한다.

•여러가지함수의부정적분을구할수있다.

전개

개념학습

문제해결

학습내용설명

삼각함수의부정적분

⑴ : sinxdx=-cosx+C

⑵ : cosxdx=sinx+C

⑶ : sec¤ xdx=tanx+C

⑷ : c̀sc¤ xdx=-cotx+C

지수함수의부정적분

⑴ : e≈ dx=e≈ +C

⑵ : a≈ dx= +C (단, a>0, a+1)

문제2, 3, 4번을풀게한다.

정답을확인하고, 보충설명을한다.

a≈113ln a

정리

학습내용정리

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

다음차시를예고한다.

•치환적분법에대하여알아본다.

여러가지함수의부정적분을구할수있다.

실수배, 합, 차로 표현된

함수의 부정적분의 성질

을상기시킨다.

쪽수

차시

교과서 154~156쪽


교과서 152 쪽

1

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 170`쪽

소유즈호가국제우주정거장으로진입하기위해필요한에너지는얼마나될까?

소유즈 호의 중력장 탈출 에너지

2008년 4월 8일이소연씨는카자흐스탄바이코누르우주기지에서소유즈TMA-12호를타고

국제우주정거장(ISS)과의도킹에성공함으로써대한민국최초의우주인이되었다. 이소연씨는

국제우주정거장에서9박10일간머물면서18가지우주과학실험등의우주임무를수행하고무사

히귀환하였다.

소유즈호가국제우주정거장으로진입하는데필요한에너지는얼마나될까?

소유즈호와같이질량을가지는지구상의물체는지구중력장의영향을받는다. 따라서소유즈

호가받는지구중력장의세기에해당하는에너지가있어야지구중력장을벗어나국제우주정거장

에진입할수있다.

소유즈호가받는지구중력장의세기는지구중심으로부터의거리에따라변하는데, 지상에서국

제우주정거장까지의중력장의세기를적분하면소유즈호가국제우주정거장으로진입하기위해

필요한에너지의양을알수있다.

여러가지적분법

232 각론

1 여러가지적분법

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 치환적분법을 이해하고 이를 활용할 수 있게

한다.

② 부분적분법을 이해하고 이를 활용할 수 있게

한다.

③ 여러 가지 함수의 부정적분과 정적분을 구할

수 있게 한다.

중단원을 시작하며

중단원의 구성

소단원명 지도 내용


의 부정적분

02 치환적분법

03 부분적분법


의 정적분

수준별 학습

y=x« (n은 실수)의 부정적분

삼각함수의 부정적분

지수함수의 부정적분

치환적분법

의 부정적분

유리함수의 부정적분

부분적분법

y=x« (n은 실수), 삼각함수,

지수함수의 정적분

정적분의 치환적분법

정적분의 부분적분법

중단원 확인 학습 문제

f '(x)1123f(x)

다양한 함수들에 대한 부정적분을 구할 수 있

어야 여러 영역에서 필요한 정적분을 계산할

수 있다. 이 단원에서는 y=x« (n은 실수), 삼

각함수, 지수함수의 부정적분에 대하여 학습하고, 치환

적분법과 부분적분법을 학습함으로써 여러 가지 함수의

정적분을자유롭게사용하고활용할수있게한다.

들어가면서

3-1. 함수 y=x« `

(n은 실수)의 부

정적분과 정적분

을구할수있다.

상

함수 y=x« (n은실수)와함수의실수배,

합, 차의 부정적분과 정적분의 성질을

이용하여 함수의 부정적분과 정적분을

구할수있다.

y=x« (n은실수) 꼴의함수의부정적분

과정적분을구할수있다.

y=x« (n+-1인실수) 꼴의함수의부

정적분과정적분을구할수있다.

중

하

성취 기준과 성취 수준

1. 치환적분법을

이해하고, 이를

활용할수있다.

상

중

성취 수준

치환적분법을 이용하여 함수의 부정적

분과정적분을구할수있다.

치환적분법을이용하여 f(x)=(ax+b)«

꼴의정적분을구할수있다.

성취 기준

하

성취 수준

치환적분법을이용하여 f(x)=(ax+b)«

꼴의부정적분을구할수있다.

성취 기준

2. 미분가능성과

연속성의 관계를

이해한다.

상

부분적분법을 이용하여 로그함수나

x(ax+b)« 꼴의 간단한 함수의 정적분

을구할수있다.

부분적분법을 이용하여 간단한 함수의

부정적분을구할수있다.

부분적분법은 곱의 미분법을 이용한 적

분법임을말할수있다.

중

하


Ⅳ. 적분법 233

교과서 153 쪽

: dx는 : 로나타내

기도한다.

dx12x

11x

n이 0 또는양의정수일때, 함수 y=x« 의부정적분은

: x« dx= x« ±⁄ +C

이다. 이제n을실수까지확장하여함수 y=x« 의부정적분을구하여보자.

n+-1일때, 함수 y=x« (n은실수)의미분법에서

{ x« ±⁄ }'=x«이므로　: x« dx= x« ±⁄ +C

이다.

한편n=-1일때, 로그함수의미분법에서

(ln|x|)'= 이므로　: dx=ln|x|+C

이다.

11x11x

1112n+11112n+1

1112n+1

01●여러가지함수의부정적분을구할수있다.

여러가지함수의부정적분

다항함수가 아닌 함수의 부정적분은 어떻게 구하는가?

미분가능한함수 F(x)의도함수가 f(x)일때, 즉 F'(x)=f(x)일때

::`f(x)dx=F(x)+C (단, C는적분상수)

이다. 다음물음에답하여보자.

1. 함수 을미분하여보자.

2. 1의결과를이용하여부정적분 : dx를구하여보자.113x¤

11x

탐구 활동그렇지.

x¤ 의부정적분은

;3!;x‹ +C잖아.미분해서x—¤ 이되는

함수를찾으면되잖아.

그럼x—¤ 의

부정적분은뭘까?

1. x«의부정적분에서 n이자연수, 정수는물

론 유리수일 때도 성립함을 다양한 예를

통해이해하게한다.

2. 미분의 성질을 이용하여 부정적분의 성질

이 성립함을 보이고 이를 활용하여 부정

적분을구할수있도록지도한다.

3. : x« dx= x« ±⁄ +C에서 n+-1임에

주의하도록한다.

4. 삼각함수의 부정적분은 삼각함수의 미분

법의 공식을 이끌어내고 이를 이용하여

다양한 문제를 풀어봄으로써 완전히 익힐

수있도록지도한다.

5. 지수함수의 부정적분은 지수함수의 미분

법의 공식을 이끌어내고 이를 이용하여

구하도록한다.

1112n+1

② 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

③ 지수함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

교수·학습상의 유의점

❶ : x« dx= x« ±⁄ +C (단, C는적분상수)

에서 n=-1일때는공식이성립하지않으므로

: ;[!; dx=ln|x|+C를사용한다.

: ;[!; dx=ln|x|+C에서 ;[!;의부정적분은

ln x+C가아니라 ln|x|+C임을주의한다.

1112n+1

본문 해설

활동 목표•함수 F(x)의 도함수 f(x)와의 관계를 이해하

고 이를 이용하여 함수 y=x« (n은 실수)의 부정적분을 확

인하기 위한 활동이다.

탐구 활동의 이해

01 여러가지함수의부정적분

① y=x« (n은 실수)의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

소단원 지도 목표

❶

성취 수준성취 기준

3-2. 삼각함수의

부정적분과 정적

분을 구할 수 있

다.

상삼각함수의 부정적분과 정적분을 구할

수있다.

y=sinx, y=cosx, y=tanx의 정적

분을구할수있다.

y=sinx, y=cosx, y=tanx의 부정

적분을구할수있다.

중

하

3-3. 지수함수의

부정적분과 정적

분을 구할 수 있

다.

상지수함수의 부정적분과 정적분을 구할

수있다.

y=e≈ , y=a≈ 꼴의 함수의 정적분을 구

할수있다.

y=e≈ , y=a≈ 꼴의 함수의 부정적분을

구할수있다.

중

하

1. { }'=-

2. : dx=- +C (̀단, C는적분상수)111x

114x¤

11144x¤

11x


교과서 154 쪽

이상을정리하면다음과같다.

실수배, 합, 차로표현된함수의부정적분은다음성질을이용하여구한다.

[1] : kf(x)dx=k: f(x)dx (단, k는상수)

[2] : { f(x)+g(x)}dx=: f(x)dx+: g(x)dx

[3] : { f(x)-g(x)}dx=: f(x)dx-: g(x)dx

: dx=: dx+2: dx=- x—¤ -2x—⁄ +C=- - +C21x

11332x¤

112

113x¤

113x‹

1+2x1123x‹보기

⑴ : dx=: x—‹ dx= x—‹ ±⁄ +C=- x—¤ +C=- +C

⑵ : 'xdx=: x;2!;dx= x;2!;+1+C= x;2#;+C= x'x+C213

213

11124;2!;+1

11332x¤

112

11113-3+1

114x‹보기

함수 y=x« (n은실수)의부정적분

⑴ n+-1일때, : x« dx= x« ±⁄ +C

⑵ n=-1일때, : dx=ln|x|+C11x

1113n+1


⑴ : dx ⑵ : dx

⑶ : ‹"çx¤ dx ⑷ : x'xdx

112'x

113xfi

1문제


⑴ : dx ⑵ : dx('x+1)¤11112x

3x¤ -11311x

2문제

234 각론

목표| 부정적분의 기본 성질을 이용하여 부정적분을 구할 수

있게 한다.

풀이| ⑴ : dx=: 3xdx-: ;[!;dx

=;2#;x¤ -ln|x|+C

⑵ : dx

=: dx

=: 1 dx+2: dx+: ;[!;dx

=x+4'x+ln|x|+C

112'x

x+2'x+1111113x

('x+1)¤11112x

3x¤ -1111x

2

목표| x« 의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ : dx=: x—fi dx

= x—fi ±⁄ +C

=-;4!;x—› +C

=- +C

⑵ : dx=: x-;2!;dx= x-;2!;+1

+C

=2x;2!;+C=2'x+C

⑶ : ‹"çx¤ dx=: x;3@;dx= x;3@;+1

+C

=;5#;x;3%;+C=;5#;x‹"çx¤ +C

⑷ : x'xdx=: x;2#;dx= x;2#;+1

+C

=;5@;x;2%;+C=;5@;x¤ 'ßx+C

11123;2#;+1

11123;3@;+1

111135-;2!;+1

112'x

11122444x›

11114-5+1

114xfi

1

실수배, 합, 차의 부정적분에서 : f(x)dx, : g(x)dx 등의 식

자체에 적분상수 C가 포함되어 있으므로 별도로 적분상수를

붙일 필요없이 부정적분을 구할 때 마지막에 붙여주면 된다.

그리고 실수배, 합, 차로 표현된 함수의 부정적분은 다음 미

분법의 공식과 연관지어 기억하도록 하자.

미분 가능한 두 함수 f(x), g(x)에 대해

⑴ y=kf(x)이면 y'=kf'(x) (단, k는 상수)

⑵ y=f(x)+g(x)이면　y'=f'(x)+g'(x)

⑶ y=f(x)-g(x)이면　y'=f'(x)-g'(x)

⑷ y=f(x)g(x)이면　y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

지/도/자/료　미분법의 공식과 적분


Ⅳ. 적분법 235

교과서 155 쪽

삼각함수의부정적분에대하여알아보자.

삼각함수의미분법에서

(sinx)'=cosx이므로 : cosxdx=sinx+C

(cosx)'=-sinx이므로 : sinxdx=-cosx+C

(tanx)'=sec¤ x이므로 : sec¤ xdx=tanx+C

(cotx)'=-csc¤ x이므로 : csc¤ xdx=-cotx+C

이다.


예제 01

⑴ : (2cosx-sinx)dx=2: cosxdx-: sinxdx

=2 sinx+cosx+C

⑵ : dx=: (cosx-2 sec¤ x)dx=: cosxdx-2: sec¤ xdx

=sinx-2 tanx+C

답 ⑴ 2 sinx+cosx+C ⑵ sinx-2 tanx+C

cos‹ x-211112cos¤ x


⑴ : (2cosx-sinx)dx ⑵ : dxcos‹ x-211112cos¤ x

풀이

삼각함수의부정적분

⑴ : sinxdx=-cosx+C ⑵ : cosxdx=sinx+C

⑶ : sec¤ xdx=tanx+C ⑷ : csc¤ xdx=-cotx+C


⑴ : (cosx+2csc¤ x)dx ⑵ : dx

⑶ : 2 tan¤ xdx ⑷ : dxcos¤ x11111+sinx

sin‹ x+211112sin¤ x

3문제

tan¤ x+1=sec¤ x

❶ (cosx)'=-sinx에서-(cosx)'=sinx이므로

: sinxdx=-cosx+C

(cotx)'=-csc¤ x에서-(cotx)'=csc¤ x이므로

: csc¤ xdx=-cotx+C

본문 해설

목표| 삼각함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ : (cosx+2csc¤ x)dx

풀이| ⑴=: cosxdx+2: csc¤ xdx

풀이| ⑴=sinx-2 cotx+C

3

⑵ : dx

=: (sinx+2csc¤ x)dx

=: sinxdx+2: csc¤ xdx

=-cosx-2cotx+C

⑶ : 2 tan¤ xdx

=2: (sec¤ x-1)dx

=2 tanx-2x+C

⑷ : dx

=: dx

=: dx

=: (1-sin x)dx

=x+cos x+C

(1+sinx)(1-sinx)11111111121+sinx

1-sin¤ x111151+sinx

cos¤ x11111+sinx

sin‹ x+211114sin¤ x

1. sinx=;cB; jK cscx=;bC;=

cosx=;cA; jK secx=;aC;=

tanx=;aB; jK cotx=;bA;=

2. (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx

(tanx)'=sec¤ x, (cotx)'=-csc¤ x

에서 삼각함수의 부정적분을 이해하게 한다.

1112tanx

1112cosx

1112sinx

지/도/자/료　삼각함수

❶


교과서 156 쪽

지수함수의부정적분에대하여알아보자.

지수함수의미분법에서

(e≈ )'=e≈ 이므로　: e≈ dx=e≈ +C

(a≈ )'=a≈ lna (a>0, a+1)이므로　: a≈ dx= +C

이다.


a≈11ln a


⑴ : (e≈ —⁄ +3≈ ±¤ )dx ⑵ : (2≈ +1)¤ dx

⑶ : dx ⑷ : dx9≈ -111243≈ +1

e¤ ≈ -x¤111e≈ -x

4문제

지수함수의부정적분

⑴ : e≈ dx=e≈ +C

⑵ : a≈ dx= +C (단, a>0, a+1)a≈11lna

예제 02

⑴ : e≈ —¤ dx=e—¤ : e≈ dx

=e—¤ e≈ +C=e≈ —¤ +C

⑵ : 2≈ —⁄ dx= : 2≈ dx

= +C= +C

답 ⑴ e≈ —¤ +C ⑵ +C2≈ —⁄11ln 2

2≈ —⁄11ln 2

2≈11232 ln2

112


⑴ : e≈ —¤ dx ⑵ : 2≈ —⁄ dx

풀이

236 각론

목표| 공식을 이용하여 지수함수의 부정적분을

구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ : (e≈ —⁄ +3≈ ±¤ )dx

풀이| ⑴=;e!;: e≈ dx+3¤ : 3≈ dx

풀이| ⑴=e≈ —⁄ +3¤ +C

풀이| ⑴=e≈ —⁄ + +C

⑵ : (2≈ +1)¤ dx

=: (4≈ +2≈ ±⁄ +1)dx

=: 4≈ dx+2: 2≈ dx+: 1dx

= + +x+C

⑶ : dx

=: dx

=: (e≈ +x)dx=e≈ +;2!;x¤ +C

⑷ : dx

=: dx

=: (3≈ -1)dx= -x+C3≈11ln 3

(3≈ -1)(3≈ +1)11111113≈ +1

9≈ -11123≈ +1

(e≈ +x)(e≈ -x)1111111e≈ -x

e¤ ≈ -x¤111e≈ -x

2≈ ±⁄1111ln 24≈1111ln 4

3≈ ±¤1111ln 3

3≈11ln 3

4

런던에서 태어난 배로(Barrow, I.`;`1630~1677)는 케임브리지

대학교에서 교육을 마쳤으며 파리, 이탈리아, 콘스탄티노플에서

고전을 연구하였다. 1659년에 귀국하여 사제가 되었으며, 1660

년 케임브리지 대학교의 그리스 어 교수로 임명되었다. 그는 수

학, 물리, 천문학, 신학에 걸쳐 두루 인정을 받은 학구적인 사람

이다. 1663년 수학의 루커스 교수직이 신설되자 초대 교수가 되

었으며 여기서 광학과 기하학의 강의로 뉴턴(Newton,

I.`;`1642~1727)에게 영향을 주었고, 1669년 제자 뉴턴에게 교

수직을 물려주었다.

배로의 가장 중요한 수학적 업적은 그의 저서‘기하학 강의’인데,

이 책에서 현대 미분 과정과 매우 비슷한 접근 방법이 나온다.

특히 페르마(Fermat, P.`;`1601~1665)의 접선법을 발전시키고

미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있다는 것을 증명하여 미적분

학의 기초를 닦은 것으로 유명하다. 배로는 일반적으로 미분법과

적분법이 역연산 관계라는 사실을 최초로 깨달은 사람이라고 일

컬어진다.

읽/기/자/료　수학자 배로

1. 기본적인 지수함수의 부정적분을 구할 수 있도록 한다.

지수함수의 미분법의 공식을 확실히 이해하도록 하고 미분

법의 공식을 이용하여 부정적분의 공식을 구해 보고 이를

이용하여 여러 가지 함수의 부정적분을 구해 보게 한다.

2. 지수함수의 부정적분을 구할 때에는 먼저 지수법칙을 이

용하여 주어진 지수함수를 적분하기 쉬운 형태로 변형한

다음 적분한다.

지/도/자/료　


활동 목표•함수 F(x)와 그 도함수 f(x)와

의 관계를 이해하고 이를 이용하여 치환적분법

의 원리를 발견하기 위한 활동이다.


1. {sin(3x+2)}'

={cos (3x+2)}(3x+2)'

=3 cos (3x+2)

2. : 3cos (3x+2)dx

=sin(3x+2)+C' (C'은적분상수)

이므로

: cos (3x+2)dx

=;3!; sin (3x+2)+C

{C= 은적분상수}C'123

Ⅳ. 적분법 237

교과서 157 쪽

함수 f(x)의부정적분 : f(x)dx를구하고자할때, F'(x)=f(x)인함수F(x)

를쉽게구할수없는경우가많다. 예를들어위의부정적분

: cos (3x+2)dx

의경우지금까지배운공식만으로는

F'(x)=cos (3x+2)

인함수F(x)를쉽게구할수없다.

: cos (3x+2)dx와같이F'(x)=f(x)인함수F(x)를쉽게구할수없는경우

에는변수x를바꾸어계산하면편리하다.

일반적으로부정적분

F(x)=: f(x)dx

에서 x를 다른 변수 t의 미분가능한 함수 x=g(t)로 놓으면 F(x)=F(g(t))가

된다.

02●치환적분법을이해하고, 이를활용할수있다.

치환적분법

치환적분법이란 무엇인가?

탐구 활동 다음물음에답하여보자.

1. 함수 sin (3x+2)를미분하여보자.

2. 1의결과를이용하여부정적분 : cos (3x+2)dx를구하여보자.

생각 열기: cos(3x+2)dx를

어떻게구하지?

도함수가

cos(3x+2)인

함수를찾으면되지~.

sinx를미분하면

cosx가되니깐…….

음~

sin(3x+2)를

미분해볼까?

잘안되는데…….

어떤방법으로

찾을수있을까?

02 치환적분법

① 치환적분을 이용하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

② 의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

③ 분수함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

f '(x)1124f(x)


1. 치환적분법은적분에서대단히유용한도구이지만실

제로 어떤 식을 어떻게 치환해야 하는가는 많은 연습

을통하여지도해야한다.

2. x=g(t)로치환하여적분한결과를반드시본래의변

수 x로치환하도록지도한다.

3. 간단한함수의치환을연습하여치환적분법을이해하

게한다.


•치환적분법(置換積分法, integration by

substitution)

새로 나온 용어와 기호

다음과 같이 간단한 함수의 치환을 연습하여 치환적분법을

익히도록 한다.

① : (ax+b)« dx에서 ax+b=t로 치환하여 부정적분을 구

할 수 있게 지도한다.

② : sin(ax+b)dx 또는 : cos(ax+b)dx에서 ax+b=t로

치환하여 부정적분을 구할 수 있게 지도한다.

③ : eå ≈ ±∫ dx에서 ax+b=t로 치환하여 부정적분을 구할 수

있게 지도한다.

①~③을 기본으로 하여 여러 가지 함수에 대해 치환적분법

을 사용하여 적분을 할 수 있도록 다양한 문제를 연습시킨다.

지/도/자/료　미분법의 공식과 적분


한편 x의 여러 가지 값에 대하여 전체 생산비용 f(x)와 한 대당

생산가 ;[!; f(x)를 알아보면 다음 표와 같다.

교과서 158 쪽

F(x)를 t에대하여미분하면합성함수의미분법에의하여

F(x)= F(x)¥

=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)

이므로양변을 t에대하여적분하면

F(x)=: f(g(t))g'(t)dt

이다. 따라서다음이성립한다.

: f(x)dx=: f(g(t))g'(t)dt

이와같이 x=g(t)로놓아변수 x를다른변수 t의함수로치환하여적분하는방

법을치환적분법이라고한다.


dx12dtd12dx

d13dt

미분가능한함수

y=f(u), u=g(x)

에대하여

= ¥

=f'(u)g'(x)

=f'(g(x))g'(x)

du12dx

dy12du

dy12dx

치환적분법

미분가능한함수 g(t)에대하여 x=g(t)로놓으면

: f(x)dx=: f(g(t))g'(t)dt

예제 01

⑴ 4x+3=t로놓으면 x= 에서 = 이므로

: (4x+3)‹ dx=: t‹ ¥ dt= : t‹ dt

= t› +C= (4x+3)› +C

⑵ 2x-1=t로놓으면 x= 에서 = 이므로

: dx=: ¥ dt= : dt

=- +C=- +C

답 ⑴ (4x+3)› +C ⑵- +C1113112(2x-1)

11316

1113112(2x-1)

1132t

11t¤

112

112

11t¤

111311(2x-1)¤

112

dx123dt

t+11132

11316

11316

114

114

114

dx123dt

t-31134


⑴ : (4x+3)‹ dx ⑵ : dx111112(2x-1)¤

풀이

238 각론

x(대)

f(x)(천원)

;[!; f(x)(천원)

1 10 100 1000

4100.001 5000.1 14010 105000

4100.001 500.01 140.1 105

❶

❷

❶치환적분법은합성함수의미분법, 즉

미분가능한함수 y=f(u), u=g(x)에

대하여 = ¥

=f'(u)g'(x)

=f'(g(x))g'(x)

의 역연산이므로 위의 식의 양변을 적분

하여

y=: f '(g(x))g'(x)dx

와 같은 식을 얻을 수 있음을 설명한 것

이다.

❷다항함수, 사인함수, 지수함수등여러가

지 함수에 대해 치환적분법을 이용할 수

있는데

t=(x에대한식), x=(t에대한식)에서

x를 t에대해미분한

= (t에대한식)

을 정리한 후 주어진 x에 대한 부정적분

을 t에 대한 부정적분으로 바꾸어 문제를

푸는것이일반적이다.

d12dt

dx125dt

du125dx

dy125du

dy125dx

본문 해설

기/초/력 향상 문제


1 : (2x+1)‹ dx

2 : dx111115(2x-3)¤

1 ;8!;(2x+1)› +C 2 - +C111112

2(2x-3)답

부정적분을 활용하면 실생활의 여러 가지 문제를 쉽게 해결할 수

있다.

이를테면 다음과 같이 기타의 생산가를 구할 수 있다.

어떤 악기 회사에서 전문가용 기타를 한 달 동안 x대 생산할 때,

고정비용이 4000(천 원)이고, 한계비용 f̀ '(x)가 다음과 같다고

한다.

f '(x)=0.002x+100(천 원)

그러므로 이 회사에서 한 달 동안 x대의 기타를 생산할 때, 전체

생산비용 f(x)는 다음과 같다.

f(x)=: (0.002x+100)dx

f(x)=0.001x¤ +100x+C(천 원)

그런데 고정비용이 4000(천 원), 즉

f(0)=4000(천 원)이므로 C=4000이다.

따라서 전체 생산비용 f(x)는 다음과 같다.

f(x)=0.001x¤ +100x+4000(천 원)

읽/기/자/료　악기(기타)의 생산가 구하기


Ⅳ. 적분법 239

교과서 159 쪽

t=g(x)로놓으면

: f(g(x))g'(x)dx

=: f(t)dt


⑴ : (3x-5)› dx ⑵ : sin(3x-2)dx

1문제


⑴ : sin‹ xdx ⑵ : (2x-1)'ƒ2x+1dx

3문제

예제 02

⑴ x¤ -1=t로놓으면 =2x이므로

: x(x¤ -1)› dx= : (x¤ -1)› 2xdx

= : (x¤ -1)› (x¤ -1)'dx

= : t› dt= tfi +C

= (x¤ -1)fi +C

⑵ cosx=t로놓으면 =-sinx이므로

: cos‹ x sinxdx=: cos‹ x(-cosx)'dx

=-: t‹ dt=- t› +C

=- cos› x+C

답 ⑴ (x¤ -1)fi +C ⑵- cos› x+C114

11310

114

114

dt12dx

11310

11310

112

112

112

dt12dx


⑴ : x(x¤ -1)› dx ⑵ : cos‹ x sinxdx

풀이


⑴ : dx ⑵ : xex¤ dxx1113"√x¤ +1

2문제

발전

목표| 일차식을 치환하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 3x-5=t로놓으면 x= 에서 =;3!;이

므로

: (3x-5)› dx=: t› ¥;3!;dt=;3!;: t› dt=;1¡5;tfi +C

: (3x-5)› dx=;1¡5;(3x-5)fi +C

⑵ 3x-2=t로놓으면 x= 에서 =;3!;이므로

: sin(3x-2)dx=: sin t¥;3!;dt

=;3!;: sin tdt

=-;3!; cos t+C

=-;3!; cos(3x-2)+C

dx125dt

t+21153

dx125dt

t+51153

1

목표| 치환하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x¤ +1=t로놓으면

2x= 이므로

: dx=;2!;: dx

=;2!;: dx

=;2!;: dt

=;2!;: t-;2!;dt

=t;2!;+C

="√x¤ +1+C

⑵ x¤ =t로놓으면 2x= 이므로

: xex¤ dx=;2!;: ex¤ 2x dx=;2!;: e† dt

=;2!;e† +C=;2!;ex¤+C

dt12dx

112't

(x¤ +1)'1111"√x¤ +1

2x1115"√x¤ +1

x1112"√x¤ +1

dt12dx

2

목표| 치환하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ cosx=t로놓으면　-sinx=

: sin‹ xdx=: sin¤ x sinxdx

=-: (1-cos¤ x)(-sinx)dx

=-: (1-t¤ )dt= -t+C

=;3!; cos‹ x-cosx+C

⑵ 'ƒ2x+å1=t로놓으면 x= 이므로　 =t

: (2x-1)'ƒ2x+1 dx

=: (t¤ -2)¥t¥tdt

=: (t› -2t¤ )dt

=;5!;tfi -;3@;t‹ +C

=;1¡5;t‹ (3t¤ -10)+C

=;1¡5;(12x¤ -8x-7)'ƒ2x+1+C

dx12dt

t¤ -11122

t‹153

dt12dx

3


교과서 160 쪽

치환적분법을이용하여부정적분: dx를구하는방법을알아보자.

f(x)=t로놓으면 =f'(x)이므로

: dx=: ¥f '(x)dx=: dt

=ln|t|+C=ln|f(x)|+C

이다.


11t1121f(x)f'(x)1123f(x)

dt12dx

f'(x)1123f(x)

의부정적분

: dx=ln|f(x)|+Cf'(x)111f(x)

f '(x)111111f(x)

예제 03

⑴ (x¤ -1)'=2x이므로

: dx=: dx=ln|x¤ -1|+C

⑵ (e≈ +e—≈ )'=e≈ -e—≈ 이므로

: dx=: dx=ln(e≈ +e—≈ )+C

답 ⑴ ln|x¤ -1|+C ⑵ ln(e≈ +e—≈ )+C

(e≈ +e—≈ )'13132313e≈ +e—≈

e≈ -e—≈131323e≈ +e—≈

(x¤ -1)'131312x¤ -1

2x1313x¤ -1


⑴ : dx ⑵ : dxe≈ -e—≈1112e≈ +e—≈

2x112x¤ -1

풀이


⑴ : dx ⑵ : dx11123x lnx

3x¤ -2111312x‹ -2x+3

4문제


⑴ : tanxdx ⑵ : cotxdx

5문제

tanx= sinx121cosx

240 각론

목표| 치환적분법을 활용하여 부정적분을 구할

수 있게 한다.

풀이| ⑴ (x‹ -2x+3)'=3x¤ -2이므로

: dx

=: dx

=ln|x‹ -2x+3|+C

⑵ (lnx)'=;[!;이므로

: dx

=: dx

=ln|lnx|+C

(ln x)'11155lnx

1111x lnx

(x‹ -2x+3)'11111245x‹ -2x+3

3x¤ -2111125x‹ -2x+3

4

목표| 치환적분법을 활용하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ : tanxdx=: dx

(cosx)'=-sinx이므로

: dx=-: dx

=-: dx

=-ln|cosx|+C

⑵ : cotxdx=: dx

(sinx)'=cosx이므로

: dx=: dx

=ln|sinx|+C

(sinx)'1112sin x

cos x1125sin x

cos x1125sin x

(cos x)'1111cos x

-sin x1112cos x

sin x112cos x

sin x112cos x

5❶ 분수함수 를적절히변형하면부정적분을 쉽

게구할수있다.

⑴ f '(x)=g(x)일때

: dx=ln|f(x)|+C를 이용하여 부정적분

을구한다. 예를들어

: dx=;2!; ln|x¤ +2x+2|+C

⑵ f '(x)+g(x)일때

주어진 분수함수를 몫과 나머지의 꼴로 나타내거

나 꼴의 합으로 변형하여 부정적분을 구

한다. 예를들어 : dx를구하여보자.

= + 이므로31112

(x-3)¤1115

x-3x1112

(x-3)¤

x1112(x-3)¤

1111ax+b

x+1111125x¤ +2x+2

f'(x)1125f(x)

g(x)112f(x)

본문 해설


Ⅳ. 적분법 241

교과서 161 쪽

의꼴이아닌유리함수의부정적분을구할때에는먼저주어진유리함수

를간단한유리함수의합또는차의꼴로변형한다음적분한다.

f '(x)111f(x)

예제 04= + 이라고하면

=

계수를비교하면m+n=1, m-2n=-1이므로　m= , n=

따라서 = ¥ + ¥ 이므로

: dx=: { ¥ + ¥ }dx

= ln|x-2|+ ln|x+1|+C

답 ln|x-2|+ ln|x+1|+C213

113

213

113

11313x+1

213

11313x-2

113

x-1131312x¤ -x-2

11313x+1

213

11313x-2

113

x-1131312x¤ -x-2

213

113

(m+n)x+(m-2n)131312111112x¤ -x-2

x-1131312x¤ -x-2

n1313x+1

m1313x-2

x-1131312x¤ -x-2

부정적분 : dx를구하여라.x-111113

x¤ -x-2

풀이

= { - }

(단, AB+0, A+B)

11B

11A

11142B-A

1123AB

= - 이므로

: dx=: { - }dx=ln|x|-ln|x+1|+C=ln| |+Cx114

x+11114

x+111x

111213x(x+1)

1114x+1

11x

111213x(x+1)보기


⑴ : dx ⑵ : dx2112x¤ -1

311132x(x+3)

6문제


⑴ : dx ⑵ : dx5x-7112113x¤ -3x+2

x+2111321123(x+3)(x-1)

7문제

⑵ = - 이므로

: dx

=: dx

=: { - }dx

=ln|x-1|-ln|x+1|+C

=ln| |+Cx-1111155x+1

1115x+1

1115x-1

21111112(x-1)(x+1)

21125x¤ -1

1115x+1

1115x-1

21152x¤ -1

: dx

=: dx+: dx

=ln|x-3|+3¥ +C

=ln|x-3|- +C3113x-3

(x-3)—¤ ±⁄111125-2+1

31112(x-3)¤

1115x-3

x1112(x-3)¤

목표| 분수함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ = +

으로 놓고 양변에 |(x+3)(x-1)|을 곱하

여정리하면

x+2=(m+n)x+(-m+3n)

m+n=1, -m+3n=2를연립하여풀면

m=;4!;, n=;4#;

따라서 =;4!; { + }이므로

: dx

=;4!;: { + }dx

=;4!; ln|x+3|+;4#; ln|x-1|+C

⑵ = + 이라고하면

=

m+n=5, -2m-n=-7을연립하여풀면

m=2, n=3

따라서 = + 이므로

: =: { + }dx

=2 ln|x-1|+3 ln|x-2|+C

=ln|(x-1)¤ (x-2)‹ |+C

31155x-2

21155x-1

5x-7111125x¤ -3x+2

31155x-2

21155x-1

5x-7111125x¤ -3x+2

(m+n)x-2m-n111111112x¤ -3x+2

5x-7111125x¤ -3x+2

n1155x-2

m1155x-1

5x-7111125x¤ -3x+2

31155x-1

11155x+3

x+21111112(x+3)(x-1)

31155x-1

11155x+3

x+21111112(x+3)(x-1)

n1155x-1

m1155x+3

x+21111112(x+3)(x-1)

7

❶


풀이| ⑴ =;[!;- 이므로

: dx=: {;[!;- }dx

=ln|x|-ln|x+3|+C

=ln| |+Cx111155

x+3

1115x+3

111123x(x+3)

1115x+3

311123x(x+3)

6


교과서 162 쪽

03●부분적분법을이해하고, 이를활용할수있다.

부분적분법

부분적분법이란 무엇인가?

등식 (x sinx)'=(x)'sinx+x(sinx)'을이용하여다음물음에답하여보자.

1. 안에알맞은식을써넣어보자.

x(sinx)'= -(x)'sinx

2. 1을이용하여 안에알맞은식을써넣어보자.

: x(sinx)'dx= -: (x)'sinxdx

3. f(x)=x, g(x)=sinx라고 할 때, 2의 등식을 f(x), g(x), f '(x), g'(x)를 사용하여 나

타내어보자.

탐구 활동

함수의곱의미분법을이용하면함수의곱의부정적분을구할수있다.

두함수 f(x), g(x)의곱 f(x)g(x)를미분하면

{ f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)

이므로이식의양변을적분하면

f(x)g(x)=: { f '(x)g(x)+f(x)g'(x)}dx

f(x)g(x)=: f '(x)g(x)dx+: f(x)g'(x)dx

이다. 따라서다음이성립한다.

: f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-: f '(x)g(x)dx

이와같이적분하는방법을부분적분법이라고한다.


부분적분법

두함수 f(x), g(x)가미분가능할때,

: f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-: f '(x)g(x)dx

242 각론

활동 목표•곱의 미분법을 이용해서 두 함수의 곱의 부정

적분을 구하는 과정을 통해 부분적분의 필요성을 알게 하는

활동이다.


1. x(sinx)'= -(x)' sin x

2. : x(sinx)'dx= -: (x') sin x dx

3. : f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-:: f '(x)g(x)dx

x sinx

(x sinx)'

03 부분적분법

① 부분적분법을 이해하게 한다.

② 부분적분법을 이용하여 여러 가지 함수의 부

정적분을 구할 수 있게 한다.


1. 부분적분법은 적분에서 대단히 유용한 도

구이므로많은연습을통해숙달하도록해

야한다.

2. 두함수의곱에서만부분적분의공식이적

용되는것이아니라 : lnx dx와같이단항

식에서도 적용할 수 있음을 주지시킨다.

이경우 lnx=1_lnx로본다는점도알게

한다.

3. 부분적분법을이용할때미분한결과가간

단히 되는 것을 f(x)로 적분하기 쉬운 것

을 g'(x)로택하면효과적임을주지시킨다.


•부분적분법(部分積分法, integration by parts)

새로 나온 용어와 기호: f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-: f '(x)g(x)dx

를 적용하기 위해서는 피적분함수에서 무엇을 f(x), g'(x)로

놓느냐를 판단하는 일이 중요하다. 이것에 따라 우변의 풀이

가 간단해지기도 하고 복잡해지기도 하기 때문이다.

⑴ 다항함수와 삼각함수의 곱일 때, 다항함수를 f(x), 삼각함

수를 g'(x)로 놓고 부분적분법을 적용한다.

⑵ 다항함수와 지수함수의 곱일 때, 다항함수를 f(x), 지수함


⑶ 다항함수와 로그함수의 곱일 때, 로그함수를 f(x), 다항함


⑷ 삼각함수와 지수함수의 곱일 때, 삼각함수를 f(x), 지수함


f(x) ¤11111111111⁄ g'(x)

지/도/자/료　부분적분법의 적용

로그함수 지수함수삼각함수다항함수


Ⅳ. 적분법 243

교과서 163 쪽

예제 01f(x)=x, g'(x)=e≈ 으로놓으면 f '(x)=1, g(x)=e≈ 이므로

: xe≈ dx=xe≈ -: 1¥e≈ dx

=xe≈ -e≈ +C

답 xe≈ -e≈ +C

부정적분 : xe≈ dx를구하여라.

풀이

예제 02f(x)=lnx, g'(x)=1로놓으면 f '(x)= , g(x)=x이므로

: lnxdx=x lnx-: ¥xdx

: lnxdx=x lnx-: dx=x lnx-x+C

답 x lnx-x+C

11x

11x

부정적분 : lnxdx를구하여라.

풀이


⑴ : xcosxdx ⑵ : xe‹ ≈ dx

1문제


⑴ : ln 3xdx ⑵ : x lnxdx

2문제

부정적분 : e≈ sinxdx를구하는방법에대하여토의하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

적분을몇번씩해도

계속똑같은

식이반복되네.

목표| 부분적분법을 이용하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ f(x)=x, g'(x)=cosx로놓으면 f '(x)=1,

g(x)=sinx이므로

: xcosxdx=x sinx-: 1¥sinxdx

: xcosxdx=x sinx+cosx+C

⑵ f(x)=x, g'(x)=e‹ ≈ 으로놓으면

f '(x)=1, g(x)= 이므로

: xe‹ ≈ dx=x¥ -: 1¥ dx

: xe‹ ≈ dx=;3!;xe‹ ≈ -;3!;¥ e‹ ≈ +C

: xe‹ ≈ dx=;3!;xe‹ ≈ -;9!;e‹ ≈ +C

11125(3x)'

e‹ ≈123

e‹ ≈123

e‹ ≈123

1

목표| 부분적분법을 이용하여 부정적분을 구할

수 있게 한다.

풀이| ⑴ f(x)=ln3x, g'(x)=1로놓으면

f̀ '(x)=;[!;, g(x)=x이므로

: ln3xdx

=x ln3x-: ;[!;¥xdx

=x ln3x-: dx

=x ln3x-x+C

⑵ f̀(x)=lnx, g'(x)=x로놓으면

f̀ '(x)=;[!;, g(x)=;2!;x¤

: x lnxdx

=;2!;x¤ lnx-: ;2!;xdx

=;2!;x¤ lnx-;4!;x¤ +C

2

출제 의도| 부분적분법을 두 번 적용하여 부정적분을 구할

수 있게 한다.

사고력 기르기　의사소통

풀이| 부분적분법을적용하여

f(x)=sinx, g'(x)=e≈ 으로놓으면

f '(x)=cosx, g(x)=e≈

: e≈ sinxdx=e≈ sinx-: e≈ cosxdx yy`①

부분적분법을한번더적용하여

u(x)=cosx, v'(x)=e≈ 으로놓으면

u'(x)=-sinx, v(x)=e≈

: e≈ cosxdx=e≈ cosx+: e≈ sinxdx yy`②

②를①에대입하면

: e≈ sinxdx=e≈ sinx-e≈ cosx-: e≈ sinxdx

따라서 : e≈ sinxdx=;2!;e≈ (sinx-cosx)+C


교과서 164 쪽

04●여러가지함수의정적분을구할수있다.

여러가지함수의정적분

정적분과미분의관계를이용하면미적분의기본정리가성립함을알수있다.

즉, 함수 f(x)가구간 [a, b]에서연속이고, f(x)의한부정적분을F(x)라고하면

:Ab f(x)dx=[F(x)]bA=F(b)-F(a)

이다. 또한

이다. 또한 a=b일때　:Aa f(x)dx=0

이다. 또한 a>b일때 :Ab f(x)dx=-:Ba f(x)dx

로정의한다.


⑴ :!2 dx ⑵ :)1 'xdx

⑶ :)1 3≈ dx ⑷ :;3“;» sinxdx

11x

1문제

여러 가지 함수의 정적분은 어떻게 구하는가?

탐구 활동 임의의 실수 x에 대하여 함수 f(t)가 ::!!// f(t)dt=x¤ -3x+a를 만족시킬 때, 다음 물

음에답하여보자.

1. 함수 f(x)와상수 a의값을각각구하여보자.

2. 1의결과를구하기위하여사용한성질을말하여보자.

생각 열기

⑴ :)1 e≈ dx=[e≈ ]1)=e⁄ -e‚ =e-1 ⑵ :)

;2“;

cosxdx=[sinx];2“;

)=sin -sin 0=1p12보기

주어진구간에서

정적분을구할때

매번정의를이용하기는

번거로워.

적분과미분의

관계를이용하면

정적분을간편하게

계산할수있지.

244 각론

목표| 여러 가지 함수의 정적분을 구할 수 있다.

풀이| ⑴ :!2 ;[!;dx=[ln|x|]2!=ln2-0=ln 2

⑵ :)1 'xdx=;3@;[x;2#;]1)=;3@;(1-0)=;3@;

⑶ :)1 3≈ dx=[ ]1)= =

⑷ :;3“;» sinxdx=[-cos x]»

;3“;=;2#;

21111ln 33-1114ln3

3≈11ln3

1

활동 목표•정적분과 미분의 관계를 이용하여 미적분의

기본 정리가 성립함을 이해하기 위한 활동이다.


1. f(x)= :!/ f̀(t)dt=2x-3d123dx

:!/ f(t)dt=x¤ -3x+a의 x에 1을대입하면

0=1-3+a, a=2

2. 미적분의기본정리, 즉 :Ab f̀(x)dx=F(b)-F(a),

:Aa f̀(x)dx=F(a)-F(a)=0

04 여러가지함수의정적분

① 정적분의 계산 성질을 알고 이를 이용하여 여

러 가지 함수의 정적분을 구할 수 있게 한다.

② 급수의 합을 정적분을 이용하여 구할 수 있게

한다.

③ 정적분에서의 치환적분법의 뜻을 이해하고 이

를 이용하여 정적분을 계산할 수 있게 한다.

④ 그래프가 y축 또는 원점에 대하여 대칭인 함

수의 정적분을 구할 수 있게 한다.

⑤ 정적분에서의 부분적분법의 뜻을 이해하고 이

를 이용하여 정적분을 계산할 수 있게 한다.


1. 정적분과 미분의 관계를 이용하여 미적분

의기본정리가성립함을다시상기시킨다.

2. 적분의성질을이해하게하여정적분을계

산하는능력을갖게하도록한다. 이때, 부

정적분의 계산의 성질로부터 정적분의 계

산 성질을 유도할 수 있는 방법을 생각해

보도록지도한다.

3. 절댓값을포함하는함수의정적분의계산은그래프를

그려서 각 구간별로 피적분 함수를 구하여 적분하게

한다.

4. 급수의합을구할때모든급수의합을정적분을이용

하여구할수있는것이아님을알도록한다.

5. 정적분의 치환적분법에서는 정적분의 위끝과 아래끝

을함께바꾸어야함을강조한다.

6. 부분적분법은 두 함수의 곱의 정적분을 구할 때 이용

됨을 이해하게 하고 두 함수 중 f(x)와 g'(x)를 정할

때유의하게한다.



Ⅳ. 적분법 245

교과서 165 쪽

미적분Ⅰ에서와 같이 부정적분의 성질과 미적분의 기본 정리를 이용하면 함수의

실수배, 합, 차의정적분을구할수있다.

즉, 두함수 f(x), g(x)가구간 [a, b]에서연속일때

[1] :Ab kf(x)dx=k:Ab f(x)dx (단, k는상수)

[2] :Ab { f(x)+g(x)}dx=:Ab f(x)dx+:Ab g(x)dx

[3] :Ab { f(x)-g(x)}dx=:Ab f(x)dx-:Ab g(x)dx

가성립한다.

한편함수 f(x)가임의의실수 a, b, c를포함하는구간에서연속일때, 분할된구

간에서의정적분은다음과같이구할수있다.

[4] :Ac f(x)dx+:Cb f(x)dx=:Ab f(x)dx

이를이용하여여러가지함수의정적분을구하여보자.

예제 01

⑴ :)1 dx+:)1 dx

=:)1 dx=:)1 dx

=:)1 {(e¤ )≈ -e≈ +1}dx=[ -e≈ +x]1)= e¤ -e+

⑵ :_0̆ sinxdx-: 0̆ sinxdx

=:_0̆ sinxdx+:)» sinxdx=:_»̆ sinxdx=[-cosx]»_˘=0

답 ⑴ e¤ -e+ ⑵ 0312

112

312

112

e¤ ≈131ln e¤

(e≈ +1)(e¤ ≈ -e≈ +1)13133111111e≈ +1

e‹ ≈ +113133e≈ +1

11313e≈ +1

e‹ ≈1313e≈ +1


⑴ :)1 dx+:)1 dx ⑵ :_0̆ sinxdx-: 0̆ sinxdx1112e≈ +1

e‹ ≈112e≈ +1

풀이


⑴ : 0̆ dx+:)» dx

⑵ :)4 (2x+e≈ )dx-:@4 (2y+e¥ )dy+:@5 (2z+eΩ )dz

cos¤ x1113211sinx+cosx

sin¤ x1113211sinx+cosx

2문제

❶함수 f(x)와 g(x)의한부정적분을각각 F(x)와

G(x)라고하면

[2] : { f(x)+g(x)}dx=F(x)+G(x)+C

:Ab { f(x)+g(x)}dx

=[F(x)+G(x)]bA

={F(b)+G(b)}-{F(a)+G(a)}

={F(b)-F(a)}+{G(b)-G(a)}

=[F(x)]bA+[G(x)]bA

=:Ab f(x)dx+:Ab g(x)dx

[3] : { f(x)-g(x)}dx

=F(x)-G(x)+C

:Ab { f(x)-g(x)}dx

=[F(x)-G(x)]bA

={F(b)-G(b)}-{F(a)-G(a)}

={F(b)-F(a)}-{G(b)-G(a)}

=[F(x)]bA-[G(x)]bA

=:Ab f(x)dx-:Ab g(x)dx

본문 해설

목표| 분할된 구간 위에서 정적분의 값을 구할

수 있게 한다.

풀이| ⑴ : 0̆ dx

+:)» dx

=:)» dx

+:)» dx

=:)» dx

=:)» dx

=:)» (cosx-sinx)dx

=[sinx+cosx]»)=-1-1=-2

⑵ :)4 `(2x+e≈ )dx-:@4 `(2y+e¥ )dy+:@5 (2z+eΩ )dz

=:)4 `(2x+e≈ )dx-:@4 (2x+e≈ )dx+:@5 (2x+e≈ )dx

=:)4 `(2x+e≈ )dx+[:@5`̀(2x+e≈ )dx

-:@4 (2x+e≈ )dx]

=:)4 `(2x+e≈ )dx+:$5 `(2x+e≈ )dx

=:)5 (2x+e≈ )dx

=[x¤ +e≈ ]5)=(25+efi )-1=24+efi

-(sinx+cosx)(sinx-cosx)11111111111111sinx+cosx

-(sin¤ x-cos¤ x)11111111sinx+cosx


-sin¤ x111112sinx+cosx


sin¤ x111112sinx+cosx

2

❶


교과서 166 쪽

정적분을이용하여다음극한값을구하여라.

⑴ e;nK; ⑵ sinkp12n

p1n

n¡k=1

limn⁄¶

11n

n¡k=1

limn⁄¶

4문제

예제 020…x… 일때, |cosx|=cosx이고

…x…p일때, |cosx|=-cosx이므로

:)» |cosx|dx=:)

;2“;

cosxdx-:;2“;» cosxdx

=[sinx]);2“;

-[sinx];2“;»

=1+1=2

답 2

p12

p12

정적분 :)» |cosx|dx를구하여라.

풀이

O x

y

1

-1

2π π

예제 03= æ ¥

이때 f(x)='x, a=0, b=1로놓으면

Dx= = , x˚=a+kDx=

따라서정적분의정의에의하여

=:)1 'xdx=

답213

213

'1+'2+'3+y+'n11111112311n'n

limn⁄¶

k1n

11n

b-a112n

11n

k1n

n

¡k=1

limn⁄¶

'1+'2+y+'n111111123n'n

limn⁄¶

정적분을이용하여 을구하여라.'1+'2+'3+y+'n11111111123

n'nlimn⁄¶

풀이


⑴ :-;2“;

;2“;

|sinx|dx ⑵ :_1! |e≈ -1|dx

3문제

246 각론

목표| 절댓값이 포함된 함수의 정적분의 값을


풀이| ⑴ :

;2“;

-;2“;|sinx|dx

풀이| ⑴=: 0-;2“;

(-sinx)dx+:)

;2“;

sinxdx

풀이| ⑴=[cosx]0-;2“;

+[-cosx];2“;

)

풀이| ⑴=(1-0)+{0-(-1)}=2

⑵ :_1!|e≈ -1|dx

=:_0!(1-e≈ )dx+:)1 (e≈ -1)dx

=[x-e≈ ]0_!+[e≈ -x]1)

={-1-(-1-e—⁄ )}+{(e-1)-1}

=e+;e!;-2

3

1. 정적분과 미분의 관계

⑴ :A/ f(t)dt=f(x)

⑵ :?

x+a

f(t)dt=f(x+a)-f(x)d12dx

d12dx

⑶ :h(x)

g(x)

f(t)dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x)

2. 정적분과 극한의 관계

⑴ :A/ f(t)dt=f(a)

⑵ :A

x+a

f(t)dt=f(a)

3. 정적분과 급수

⑴ f{ }¥ =:)1 f(x)dx

⑵ f{ k}¥ =:)a f(x)dx

⑶ f{a+ k}¥

=:A

a+b

f(x)dx

=:)b f(a+x)dx

⑷ f{a+ k}¥ =:Ab f(x)dxb-a112n

b-a112n

n;k=1

limn ⁄¶

b15n

b15n

n;k=1

limn ⁄¶

a15n

a15n

n;k=1

limn ⁄¶

115n

k15n

n;k=1

limn ⁄¶

1115x-a

limx ⁄a

1115x-a

limx ⁄a

d12dx

지/도/자/료

목표| 급수의 합을 정적분을 이용하여 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ f̀(x)=e≈ , a=0, b=1이라고하면

Dx= =;n!;,

x˚=a+kDx=0+k¥;n!;=

이므로

;n!;e;nK;=:)1 e≈ dx=[e≈ ]1)=e-1

⑵ f̀(x)=sinx, a=0, b=p라고하면

Dx= , x˚=a+kDx=0+k¥ =

이므로

sin =:)» sinxdx

=[-cosx]»)=-(-1)-(-1)=2

kp12n

p15n

n;k=1

limn ⁄¶

kp12n

p1n

0-p1125n

n;k=1

limn ⁄¶

k15n

1-01222n

4


Ⅳ. 적분법 247

교과서 167 쪽

정적분에서 치환적분법을 어떻게 이용하는가?

부정적분의치환적분법을이용하여정적분을구하는방법을알아보자.

함수 f(x)의한부정적분을F(x)라고하면

:Ab f(x)dx=F(b)-F(a) yy`①

여기서 x를다른변수 t의미분가능한함수 x=g(t)로놓으면치환적분법에의하

여다음이성립한다.

F(x)=F(g(t))=: f(g(t))g'(t)dt

이때x=g(t)에서 a=g(a), b=g(b)라고하면다음을얻는다.

:Ú’ f(g(t))g'(t)dt=[F(g(t))]’Ú

=F(g(b))-F(g(a))=F(b)-F(a) yy`②

①, ②로부터다음이성립함을알수있다.

:Ab f(x)dx=:Ú’ f(g(t))g'(t)dt


정적분의치환적분법

구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)의 도함수 g'(t)가

구간 [a, b]에서연속이고 a=g(a), b=g(b)이면


⑴ :)1 2x(x¤ +1)‹ dx에서 x¤ +1=t로 놓으면 =2x이고, x=0일 때 t=1, x=1일

때 t=2이므로　:)1 2x(x¤ +1)‹ dx=:!2 t‹ dt=[ t› ]2!=

⑵ :)1 'ƒx+1dx에서 x+1=t로놓으면 =1이고, x=0일때 t=1, x=1일때 t=2

이므로　:)1 'ƒx+1dx=:!2 'tdt=[ t ;2#;]2!= (2'2-1)213

213

dt12dx

15144

114

dt12dx

보기


⑴ :)1 (3x-2)fi dx ⑵ :)1 x"√x¤ +3dx

⑶ :)2 dx ⑷ :_1@ dx111242'ƒ2-x

2x1124x¤ +1

5문제

t

x

a⁄ b

a⁄ b

x=Ì{t}

∫å

a

b

O t

x

목표| 치환적분법을 이용하여 정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 3x-2=t로놓으면

=3이고

x=0일때 t=-2, x=1일때 t=1이므로

:)1 `(3x-2)fi dx=:_1@ tfi ¥;3!;dt=:_1@ ;3!;tfi dt

=;1¡8;[tfl ]1_@=-;2&;

⑵ x¤ +3=t로놓으면　 =2x

x=0일때 t=3, x=1일때 t=4이므로

:)1 x"√x¤ +3dx

=;2!;:)1 "√x¤ +3¥2x dx=;2!;:#4 't dt

=;2!; [;3@;t;2#;]4#=;3*;/-'3

dt12dx

dt12dx

⑶ x¤ +1=t로놓으면 =2x


:)2 dx=:!5 ;̀t!;dt

=[ln|t|]5!=ln 5

⑷ 2-x=t로놓으면

=-1

x=-2일때　t=4

x=1일때　t=1

이므로

:_1@ dx

=:$1 ¥(-1)dt

=:!4 t-;2!;dt

=[2t;2!;]4!

=4-2=2

112't

11115'ƒ2-x

dt12dx

O 1-2

21

4

t=2-x

x

t

2x112x¤ +1

dt12dx

51. 복잡한 함수의 적분은 치환을 이용하면 편리하다는 것을

구체적인 예를 들어 이해시킨다. 이때 함수식을 치환하는

경우 적분 구간이 바뀌게 됨을 이해하게 한다.

2. 정적분의 치환적분법을 설명하는 데 부정적분을 이용하도

록 한다. 이때, t에 대한 식을 x에 대한 식으로 고쳐서 부

정적분을 x에 대한 식으로 나타내어야 하므로 x=g(t)는

역함수가 존재해야 한다는 것을 알게 한다.

따라서 구간 [a, b] 또는 [b, a]에서 g(t)가 항상 증가하거

나 항상 감소한다는 가정이 필요한 것이다. x=g(t)는 증

가함수 또는 감소함수이고 연속인 도함수 g'(t)를 가지며

f(g(t))도 [a, b]에서 연속이라는 조건이 필요하다.

그러나 고등학교 과정에서는 이와 같은 조건을 생각할 필

요없이 처음부터 위의 조건을 만족하는 범위 안에서 치환

적분을 다룬다.

지/도/자/료　


교과서 168 쪽

예제 04

⑴ 4x-1=t로놓으면 x= 에서 = 이고

x=0일때 t=-1, x=1일때 t=3이므로

:)1 4e› ≈ —⁄ dx=:_3!e† dt=[e† ]3_!=e‹ -

⑵ lnx=t로놓으면 = 이고

x=1일때 t=0, x=e일때 t=1이므로

:!e dx=:)1 tdt=[ t¤ ]1)= 답 ⑴ e‹ - ⑵112

11e

112

112

lnx11x

11x

dt12dx

11e

114

dx12dt

t+11134


⑴ :)1 4e› ≈ —⁄ dx ⑵ :!e dxlnx11x

풀이


⑴ :)1 dx ⑵ :E

e¤

dx(lnx)¤11242-2x

e≈11241+e≈

6문제

예제 05

⑴ cosx=t로놓으면 =-sinx이고

x=0일때 t=1, x= 일때 t=0이므로

:0

;2“;

3cos¤ x sinxdx=:!0 (-3t¤ )dt=[-t‹ ]0!=1

⑵ sinx=t로놓으면 =cosx이고

x= 일때 t= , x= 일때 t=1이므로

:;4“;

;2“;

2cotxdx=2:;4“;

;2“;

dx=2: 1 dt=2[ln t]1 =ln 2

답 ⑴ 1 ⑵ ln 2

'2122

11t'212

2

cosx121sinx

p12

'2122

p14

dt12dx

p12

dt12dx


⑴ :0

;2“;

3cos¤ x sinxdx ⑵ :;4“;

;2“;

2cotxdx

풀이


⑴ :0

;2“;

sin‹ xdx ⑵ :0

;4“;

tanxdx

7문제

248 각론

목표| 치환적분법을 이용하여 정적분을 구할 수

있게 한다.

풀이| ⑴ 1+e≈ =t로놓으면　 =e≈

x=0일 때 t=2, x=1일 때 t=1+e이므

로

:)1 dx=:@

1+edt

=[ln|t|]@1+e

=ln(1+e)-ln2

=ln

⑵ lnx=t로놓으면　 =;[!;

x=e일때 t=1, x=e¤ 일때 t=2이므로

:E

e¤dx=-;2!;:E

e¤(ln x)¤ ¥;[!;dx

=-;2!;:!2 t¤ dt

=-;2!;[;3!;t‹ ]2!

=-;6!;(8-1)

=-;6&;

(lnx)¤1115-2x

dt12dx

1+e1111552

11t

e≈11251+e≈

dt12dx

6


풀이| ⑴ :)

;2“;

sin‹ x dx

=:)

;2“;

sinx(1-cos¤ x)dx

=:)

;2“;

sinxdx-:)

;2“;

cos¤ x sinxdx

⁄ :)

;2“;

sinxdx=[-cosx]);2“;

=1

¤ :)

;2“;

cos¤ x sinxdx에서 cosx=t로놓으면

¤ =-sinx

¤ x=0일때 t=1,

¤ x=;2“;일때 t=0이므로

¤ :)

;2“;

cos¤ x sinxdx

¤ =:!0 t¤ ¥(-1)dt=:)1 t¤ dt=[;3!;t‹ ]1)=;3!;

O

1

-1

x

t

t=cos`x

2π

π

dt125dx

⁄, ¤에의하여

:)

;2“;

sin‹ xdx=1-;3!;=;3@;

⑵ tanx= 이므로 cosx=t로놓으면

=-sinx

x=0일때 t=1,

x=;4“;일때 t= 이므로

:)

;4“;

tanxdx=:)

;4“;

dx

=:! ¥(-1)dt

=-:! dt=-[ln|t|]!

=-{ln -0}=;2!; ln 21125'2

'2125211t

'21252

11t

'21252

sinx112cosx

'21252

O

1

-1

- x

t

t=cos`x

π-2π-4

Â2-2π-2

dt125dx

sinx1125cosx

7


Ⅳ. 적분법 249

교과서 169 쪽

예제 06정적분의성질에의하여　:_aA f(x)dx=:_0A f(x)dx+:)a f(x)dx

:_0A f(x)dx에서 x=-t로놓으면 =-1이므로

:_0A f(x)dx=:A0 f(-t)¥(-1)dt=:)a f(-t)dt=:)a f(x)dx

따라서 :_aA f(x)dx=:_0A f(x)dx+:)a f(x)dx=2:)a f(x)dx가성립한다.

dx12dt

연속함수 f(x)에대하여다음이성립함을보여라.

f(-x)=f(x)이면 :_aA f(x)dx=2:)a f(x)dx

풀이

연속함수 f(x)에대하여 f(-x)=-f(x)이면 :_aA f(x)dx=0이성립함을보여라.8문제


⑴ :_1! (xfi +x› +y+1)dx ⑵ : (cosx-xcosx)dx

9문제

정적분에서 부분적분법을 어떻게 이용하는가?

부정적분의부분적분법을이용하여정적분을구하는방법을알아보자.

미분가능한두함수의곱의미분법에서

{ f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

이므로 f(x)g(x)는 f '(x)g(x)+f(x)g'(x)의한부정적분이다.

따라서

[f(x)g(x)]bA=:Ab { f '(x)g(x)+f(x)g'(x)}dx

[f(x)g(x)]bA=:Ab f '(x)g(x)dx+:Ab f(x)g'(x)dx

이므로다음이성립한다.

:Ab f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]bA-:Ab f '(x)g(x)dx

-;2…;;

;2…;;

❶ f(-x)=f(x)를 만족시키는

함수를우함수라하고

y=f(x)의 그래프는 y축에

대하여대칭이다.

따라서 함수 f(x)가 우함수

일때, 우함수는 y축에대하여대칭이므로

:_aA f(x)dx=2 :)a f(x)dx

❷ g(-x)=-g(x)를 만족시키

는함수를기함수라하고

y=g(x)의 그래프는 원점에

대하여대칭이다.

따라서 함수 g(x)가 기함수

일때, 기함수는원점에대하여대칭이므로　

:_aaA g(x)dx=0

O x

y

y=Ì{x}

-aa

O x

yy=f{x}

-a a

본문 해설

목표| 구간 [-a, a]에서 그래프가 y축과 원점에

대칭인 함수의 정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ :_1! (xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1)dx

=2:)1 (x› +x¤ +1)dx

=2[;5!;xfi +;3!;x‹ +x]1)=;1$5^;

⑵ :

-;2“;

;2“;

(cosx-xcosx)dx

=:

-;2“;

;2“;

cosxdx-:

-;2“;

;2“;

xcosxdx

이때 f(x)=x, g'(x)=cosx라고하면

f '(x)=1, g(x)=sinx

:

-;2“;

;2“;

x cosxdx

=[x sinx];2“;

-;2“;

-:

-;2“;

;2“;

sinxdx

=[x sinx];2“;

-;2“;

+[cosx];2“;

-;2“;

={;2“;-;2“;}-0=0

:

-;2“;

;2“;

(cosx-x cosx)dx

=:

-;2“;

;2“;

cosxdx

=2:);2“;

cosxdx=2[sinx]);2“;

=2

9

목표| 구간 [-a, a]에서 그래프가 원점에 대칭

인 함수의 정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| 정적분의성질에의하여

:_aA f(x)dx=:_0A f(x)dx+:)a f(x)dx

:_0A f(x)dx에서 x=-t로놓으면

=-1이므로

:_0A f(x)dx=:A0 f(-t)¥(-1)dt=-:)a f(x)dx

따라서 :_aA f(x)dx

따라서=-:)a f(x)dx+:)a f(x)dx=0

dx125dt

8

❷

❶


교과서 170 쪽

예제 07⑴ f(x)=x, g'(x)=e≈ 으로놓으면 f '(x)=1, g(x)=e≈ 이므로

:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-:)1 e≈ dx=e-[e≈ ]1)=1

⑵ f(x)=lnx, g '(x)=x로놓으면 f '(x)= , g(x)= 이므로

:!e x lnxdx=[ lnx]e!-:!e ¥ dx= - [ ]e!= +

답 ⑴ 1 ⑵ +114

e¤134

114

e¤134

x¤132

112

e¤132

x¤132

11x

x¤132

x¤132

11x


⑴ :)1 xe≈ dx ⑵ :!e x lnxdx

풀이


⑴ :0

;2“;

x sinxdx ⑵ :!e lnxdx

10문제

정적분 :0

;2“;

e≈ sinxdx를구하여라.11문제

발전

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

지구 중심으로부터의 거리가 rm이고, 질량이 m kg인 물체가 받는 지구 중력장의 세

기 F(r)N은다음과같다.

F(r)=G

(M=5.975_10¤ ›은지구의질량, G=6.6720_10—⁄ ⁄은만유인력상수)

질량이 5000 kg인소유즈호가지구표면으로부터 350 km 떨어진국제우주정거장으

로진입하기위해필요한에너지를구하여라. (단, 지구반지름의길이는 6400 km이다.)

Mm113r¤

정적분의부분적분법

두함수 f(x), g(x)가미분가능하고 f '(x), g'(x)가연속일때,

:Ab f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]bA-:Ab f '(x)g(x)dx


250 각론

목표| 부분적분법을 이용하여 정적분을 구할 수

있게 한다.

풀이| ⑴ f(x)=x, g'(x)=sinx로놓으면

f '(x)=1, g(x)=-cosx이므로

:)

;2“;

x sinxdx

=[-xcosx]);2“;

-:)

;2“;

(-cosx)dx

=0+[sinx]);2“;

=1

⑵ f(x)=lnx, g'(x)=1로놓으면

f '(x)=;[!;, g(x)=x이므로

:!e lnxdx=[x lnx]e!-:!e ;[!;¥xdx

=e-[x]e!=e-(e-1)=1

10

목표| 부분적분법을 두 번 활용하여 정적분을 구

할 수 있게 한다.

풀이| f(x)=e≈̀ , g'(x)=sinx로놓으면

f '(x)=e≈ ,̀ g(x)=-cosx이므로

: e≈`̀ sinxdx=-e≈ cosx+: e≈ cosxdx

이때, u(x)=e≈ , v'(x)=cosx로놓으면

u'(x)=e≈ , v(x)=sinx

: e≈`̀ cosxdx=e≈ sinx-: e≈ sinxdx

따라서 : e≈̀ `sinxdx

=-e≈`̀ cosx+[e≈`̀ sinx-: e≈`̀ sinxdx]

에서　2: e≈`̀ sinxdx=e≈̀ `(sinx-cosx)+C

:)

;2“;

e≈̀ `sinxdx=[;2!;e≈̀ `(sinx-cosx)]);2“;

=;2!;(e;2“;+1)

11

단원 과제

목표| 정적분을 활용한 계산을 해 봄으로써 적분의 유용성을

알게 한다.

풀이| 지구의반지름이 6400000 m이고, 국제우주정거

장은 지구 표면으로부터 350000 m 떨어져 있으므로 소

유즈호가필요한에너지는

: 6̂$7)5)0)0)0)0 dr=[- ]6̂ 7$5)0)0)0)0)=

(단, M=5.975_10¤ › , G=6.6720_10—⁄ ⁄̀ `)

7MG111122111728005000MG11113

r5000MG11113

r¤

목표| 여러 가지 함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴-;[@;+C ⑵ 2'ßx+ln x+C

⑶-cosx+2sinx+C ⑷ secx-cosx+C

⑸ 2e≈ + +C ⑹ e≈ ±‹ +C3≈1111ln 3

1중/단/원 기초

목표| 치환적분법을 이용할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 2x-3=t로놓으면　 =2

: (2x-3)fi dx=: tfi ¥;2!;dt=;1¡2;(2x-3)fl +C

dt125dx

2


Ⅳ. 적분법 251

교과서 171 쪽

1 다음부정적분을구하여라.

⑴ : dx ⑵ : dx

⑶ : (sinx+2cosx)dx ⑷ : (secx+cosx)tanxdx

⑸ : (2e≈ +3≈ )dx ⑹ : e≈ ±‹ dx

'x+113124x

213x¤


⑴ : (2x-3)fi dx ⑵ : 'ƒ2-xdx

⑶ : cos(3x-2)dx ⑷ : e—› ≈ ±‹ dx

⑸ : dx ⑹ : dx11313x¤ -4

2x-113111x¤ -x+3


⑴ : xe—≈ dx ⑵ : x sin 4xdx

5 다음정적분을구하여라.

⑴ :!e 3 lnxdx ⑵ :)3 2xe≈ dx

4 다음정적분을구하여라.

⑴ :)1 (2x-1)› dx ⑵ :)1 dx

⑶ :0

;2“;

sinfi xcosxdx ⑷ :0

;2“;

dx

⑸ :)4 xex¤ dx ⑹ :E

e¤

dxlnx132x

sinx131121+cosx

x13113x¤ +2

중단원 기초 수준별학습

02 치환적분법

03 부분적분법






[̀해답 p.̀216]

⑵ 2-x=t로놓으면　 =-1

: 'ƒ2-xdx=: 't¥(-1)dt=-;3@;(2-x)'ƒ2-x+C

⑶ 3x-2=t로놓으면　 =3

: cos(3x-2)dx=: cos t¥;3!;dt

=;3!; sin t+C=;3!; sin (3x-2)+C

⑷-4x+3=t로놓으면　 =-4

: e—› ≈ ±‹ dx=: e† ¥{-;4!;}dt=-;4!;e—› ≈ ±‹ +C

⑸ : dx=ln|x¤ -x+3|+C

⑹ : dx=;4!;: { - }dx

=;4!;(ln|x-2|-ln|x+2|)+C

=;4!; ln| |+Cx-2111122x+2

1112x+2

1112x-2

1112x¤ -4

2x-111114x¤ -x+3

dt12dx

dt12dx

dt12dx

목표| 부분적분법을 이용할 수 있게 한다.

풀이| ⑴`: xe—≈ dx=x(-e—≈ )-: (-e—≈ )dx

=(-x-1)e—≈ +C

⑵ : x sin4xdx

=x{- }-: {- }dx

=-;4!; x cos4x+;1¡6; sin4x+C

cos4x1114

cos 4x1114

3

목표| 치환적분법을 이용할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 2x-1=t로놓으면　 =2

:)1 (2x-1)› dx=:_1! ;2!; t› dt=;5!;

⑵ 3x¤ +2=t로놓으면　 =6x

:)1 dx=;6!;:@5 dt=;6!; ln ;2%;

⑶ sinx=t로놓으면　 =cosx

:)

;2“;

`sinfi xcosxdx=:)1 tfi dt=;6!;

⑷ 1+cosx=t로놓으면　 =-sinx

:)

;2“;

` dx=:@1 (-1) dt=:!2 dt=ln 2

⑸ x¤ =t로놓으면　 =2x

:)4 xex¤ dx=;2!;:)1 6 e† dt=;2!;(e⁄ fl -1)

⑹ lnx=t로놓으면　 =;[!;

:E

e¤dx=:!2 tdt=;2#;

lnx11x

dt12dx

dt12dx

11t

11t

sinx11111+cosx

dt12dx

dt12dx

11t

x1113x¤ +2

dt12dx

dt12dx

4

목표| 부분적분법을 이용할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ `:!e `3 lnxdx=[3x lnx]e!-3:!e `dx=3

⑵ :)3 2xe≈ dx=[2xe≈ ]3)-2:)3 e≈ dx=4e‹ +2

5


교과서 172 쪽

1 함수 f(x)=: dx에대하여 f(0)=2일때, f(p)의값을구하여라.sin¤ x1111

1-cosx

2 x에대한이차방정식 x¤ +ax+b=0의서로다른두실근이 2, 3일때, 부

정적분 : dx를구하여라.2x+3111122

x¤ +ax+b

4 0…x…6에서 정의된 함수 f(x)의 그래프가

오른쪽 그림과 같을 때, :!2 f(3x-2)dx의 값

을구하여라.

5 함수 f(x)=‡ 에대하여정적분 :)2 e≈ f(x)dx의값을구하

여라.

x+1 (0…x…1)

3-x (1…x…2)

중단원 기본 수준별학습

O x

y

1

12

34

2 3 4 5 6

y=f{x}

유리함수의 부정적분

02 치환적분법






3 정적분 :)» |sinxcosx|dx를구하여라. 04 여러가지함수의정적분

[̀해답 p.̀217]

252 각론

목표| 함수의 부정적분을 구하고 이를 활용할 수 있게 한다.

풀이| f '(x)=lnx+x¥;[!;-1=lnx이므로　g(x)=e≈

: g(x-1)dx=: e≈ —⁄ dx=e≈ —⁄ +C이고

h(1)=1이므로　h(x)=e≈ —⁄ , h(2)=e

1중/단/원 실력

목표| 함수의 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| = =1+cosx

이므로

f(x)=: (1+cosx)dx=x+sinx+C

이때, ̀f(0)=2이므로　C=2

따라서 f̀(x)=x+sinx+2이므로

f(p)=p+2

1-cos¤ x111141-cosx

sin¤ x11111-cosx

1


풀이| x¤ +ax+b=(x-2)(x-3)이므로

=

= -

: dx=: { - }dx

=9 ln|x-3|-7 ln|x-2|+C

=ln| |+C(x-3)·11111111(x-2)‡

7113x-2

9113x-3

2x+3111125x¤ +ax+b

7111x-2

9111x-3

2x+31111112(x-2)(x-3)

2x+3111125x¤ +ax+b

2

중/단/원 기본

목표| 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| 0…x…;2“;에서 sinxcosxæ0, ;2“;…x…p에서

sinxcosx…0이므로

:)» |sinxcosx|dx

=:)

;2“;

sinxcosxdx-: »;2“; sinxcosxdx

cosx=t로놓고치환적분법을이용하면

:)» |sinxcosx|dx=:!0 (-t)dt-:)- 1 (-t)dt=1

3


풀이| 3x-2=t로놓으면 =3이므로

:!2 f(3x-2)dx=;3!;:!4 f(t)dt=;3!; {;2#;+2+;2%;}=2

dt12dx

4

목표| 부분적분법을 이용하여 정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| :)2 e≈ f(x)dx=:)1 e≈ (x+1)dx+:!2 e≈ (3-x)dx

=[(x+1)e≈ ]1)-:)1 e≈ dx

=+[(3-x)e≈ ]2!+:!2 e≈ dx

=e+(2e¤ -3e)=2e¤ -2e

5


Ⅳ. 적분법 253

교과서 173 쪽

1 함수 f(x)=x lnx-x의 도함수를 f '(x)라 하고, 함수 f '(x)의 역함수를

g(x)라고하자.

: g(x-1)dx=h(x)+C가성립하고 h(1)=1일때, h(2)의값을구하여

라. (단, C는적분상수이다.)

2 어느제조업체가새로운기술로제품을생산한지 x개월후의이익을P(x)

천만원이라고하면P'(x)는

P'(x)=3x¤ e-x‹

이라고한다. 새로운기술로제품을생산한지 1개월후의이익이 3천만원

일때, P(x)를구하여라.

3 0<x<p에서 정의된 함수 f(x)의 도함수가 f '(x)=xcosx이고, f(x)의

최댓값이 일때, f{ }의값을구하여라.p14

p12

4 연속함수 f(x)에대하여

f(x)+f(-x)=cos

일때, :_»̆ f(x)dx의값을구하여라.

x12

중단원 실력 수준별학습

5 함수 f(x)가 f(x)=xcosx+:0

;2“;

f(t)dt를만족시킬때, f(0)의값을구하

여라.

02 치환적분법

03 부분적분법






[̀해답 p.̀217]

0<x<p일때 f'(x)=xcosx=0에서　x=;2“;

이므로 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나

타내면다음과같다.

f{;2“;}=;2“;+C=;2“;에서　C=0

f(x)=x sinx+cosx에서

f{;4“;}= {;4“;+1}'211222

목표| 부분적분법을 활용할 수 있게 한다.

풀이| f(x)=: f '(x)dx=: xcosxdx

풀이| f(x)=x sinx+cosx+C

3

목표| 치환적분법을 활용할 수 있게 한다.

풀이| :_»̆ f(x)dx=:_0̆ f(x)dx+:)» f(x)dx

:_0̆ f(x)dx에서-x=t로놓으면 =-1

:_0̆ f(x)dx=: 0̆ f(-t)¥(-1)dt

=:)» f(-t)dt

:_»̆ f(x)dx=:_0̆ f(x)dx+:)» f(x)dx

=:)» f(-t)dt+:)» f(x)dx

=:)» { f(-x)+f(x)}dx=:)» cos ;2{;dx=2

dt12dx

4

x

f'(x)

f(x)

0 y ;2“; y p

+ 0 -

↗ (최대) ↘

목표| 부분적분법을 활용할 수 있게 한다.

풀이| :)

;2“;

f(t)dt=k (k는상수)라고하면

f(x)=xcosx+k

:)

;2“;

f(t)dt=:)

;2“;

(tcos t+k)dt

:)

;2“;

f(t)dt=[kt]);2“;

+{[t sin t]);2“;

-:)

;2“;

sin tdt}

:)

;2“;

f(t)dt=;2“;k+;2“;-1=k

이때 k=-1이고 f(x)=xcosx-1, f(0)=-1

5

목표| 치환적분법을 활용할 수 있게 한다.

풀이| P'(x)=3x2e-x‹에서-x‹=t로놓으면　 =-3x¤

P(x)=: 3x2e-x‹ dx=: (-et)dt=-e-x‹+C

새로운기술로제품을생산한지 1개월후의이익이 3천

만원이므로

P(1)=-e-1+C=-;e!;+C=3, C=3+;e!;

P(x)=-e-x‹+;e!;+3

dt12dx

2


교과서 174 쪽

2

이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 183`쪽

포도주통의부피를구할수있을까?

정적분의활용

적분은넓이를구하는것에서출발하여

부피를구하는것으로발전하였다.

케플러(Kepler, J. ; 1571~1630)가살던때

포도주의가격은포도주통안에막대를넣어

포도주가채워져있는높이를재서결정하였다.

케플러는당시이방법이매우불합리하다고

생각하였다. 포도주를담는통이배가볼록한모

양으로실제담겨져있는포도주의양이높이와

비례하지않았기때문이다.

예를들어막대로잰높이가통의 이라면가격은

가득찬경우의 이지만통은아래로 갈수록좁아져실제

포도주의양은통의 보다는적다.

이에케플러는정확한포도주통의부피를구하기위하여다음그림과같이포도주통을무수히

많은얇은원기둥으로자르고그부피를더하는방법을연구하였다.

114

114

114

254 각론

2 정적분의활용

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있

게 한다.

② 입체도형의 부피를 구할 수 있게 한다.

중단원을 시작하며

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

01 넓이

02 부피

수준별 학습

곡선과 x축 사이의 넓이

두 곡선 사이의 도형의 넓이

입체도형의 부피

중단원 확인 학습 문제

오랫동안 구분구적법이 발달하였으나 처음으

로극한의개념을도입하여넓이를구한사람

은 케플러(Kepler. J. ; 1571~1630)이다.

케플러는 원의 넓이를 구하기 위하여 원을 작은 삼각형

으로 분할하여 삼각형의 넓이의 합의 극한으로 원의 넓

이를계산하였다. 또한그는비록간단한도형이지만부

피를 구하기 어려운 포도주통의 부피를 계산하기 위하

여 평면을 정해진 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체

의부피를구하는문제를연구하였다.

이 단원에서는 앞 단원에서 배운 정적분을 이용하여 곡

선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 입체도형의 부피를 구

할수있게한다.

들어가면서

성취 기준과 성취 수준

1. 곡선으로 둘

러싸인 도형의

넓이를 구할 수

있다.

2. 입체도형의

부피를 구할 수

있다.

성취 기준

상

중

성취 수준

정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인

도형의넓이를구할수있다.

정적분을 이용하여 곡선과 직선으로 둘

러싸인도형의넓이를구할수있다.

정적분을 이용하여 간단한 곡선과 x축

으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수

있다.

정적분을 이용하여 입체도형의 부피를

구할수있다.

단면의 넓이가 주어진 입체도형의 부피

를정적분을이용하여구할수있다.

단면의 넓이가 주어진 입체도형의 부피

를정적분을이용하여표현할수있다.

하

상

중

하


Ⅳ. 적분법 255

교과서 175 쪽

01●곡선으로둘러싸인도형의넓이를구할수있다.

넓이

곡선과 좌표축 사이의 넓이는 어떻게 구하는가?

오른쪽 그림과 같이 직선 y=-x+3과 x축 및 y축으로 둘러

싸인 부분의 넓이를 S¡, 직선 y=-x+3과 x축 및 직선

x=5로 둘러싸인 부분의 넓이를 S™라고 할 때, 다음 물음에

답하여보자.

1. S¡, S™를각각정적분으로나타내어보자.

2. 1의정적분의값을각각구하여보자.

탐구 활동

O x

y

53

3

-2

y=-x+3

S¡

S™

함수 y=f(x)가구간 [a, b]에서연속일때, 곡선 y=f(x)와x축및두직선

x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이S를구하여보자.

⁄ 구간 [a, b]에서 f(x)æ0일때

넓이S는정적분의정의에의하여

S=:Ab f(x)dx

¤ 구간 [a, b]에서 f(x)…0일때

넓이 S는 곡선 y=f(x)를 x축에 대칭이동시킨 곡선

y=-f(x)와 x축및두직선 x=a, x=b로둘러싸인

도형의넓이S'과같으므로

S=:Ab {-f(x)}dx=:Ab |f(x)|dx

‹ 구간 [a, c]에서 f(x)æ0이고, 구간 [c, b]에서

f(x)…0일때

S=:Ac f(x)dx+:Cb {-f(x)}dx

S=:Ac |f(x)|dx+:Cb |f(x)|dx

S=:Ab |f(x)|dx

aS

b

y=f{x}

O x

y

y=-f{x}

y=f{x}

a S

S'

bO x

y

y=f{x}

a cb

S

O x

y

① 주어진 구간에서 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있게

한다.

② 주어진 구간에서 곡선과 y축 사이의 넓이를 구할 수 있게

한다.

③ 주어진 구간에서 두 곡선 사이의 도형의 넓이를 구할 수

있게 한다.


1. 정적분을 이용하여 넓이를 구할 때에는 곡선의 그래

프를 그려서 곡선과 좌표축과의 위치 관계 등을 조사

하고계산하는것이편리하다.

2. 도형의 넓이를 구할 때 x에 대하여 적분하느냐, y에

대하여 적분하느냐에 따라서 계산 과정에 차이가 있

음을알게한다.


활동 목표•f(x)æ0인 구간에서는 정적분의

값이 도형의 넓이임을 알게 하고 f(x)…0인

구간에서는 정적분이 음의 부호를 가진 넓이임

을 알게 하여 정적분을 이용하여 넓이를 구하

는 방법을 생각해 보게 하는 활동이다.


1. S¡=:)3 (-x+3)dx,

S™=-:#5 (-x+3)dx

2. S¡=:)3 (-x+3)dx=[- +3x]3)=;2(;

S™=-:#5 (-x+3)dx=-[- +3x]5#

S™=-{;2%;-;2(;}=2

x¤132

x¤132❶

❶곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a,

x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 구하

여보자.

⁄구간 [a, b]에서 f̀(x)æ0인경우

⁄넓이를 구하려는 도형은 길이가 f̀(x)인 선분 AB

를 x=a에서 x=b까지움직여서만들어진부분이

므로

⁄ S=:Ab f(x)dx=:Ab |f(x)|dx

¤구간 [a, b]에서 f(x)…0인경우

⁄선분 AB의길이가-f(x)이므로

⁄ S=:Ab {-f(x)}dx=:Ab |f(x)|dx

⁄, ¤에의하여구간 [a, b]에서 f(x)의부호에관계

없이 AB”=|f(x)|이고, 구하는도형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)|dx

O

A

B x

y y=f{x} {f{x}˘0}

y=f{x} {f{x}¯0}

a b

본문 해설

01 넓이


교과서 176 쪽


곡선과 x축사이의넓이

함수 y=f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b

로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)|dx

예제 01주어진 곡선은 오른쪽 그림과 같이 구간 [0, 1]에서

y…0이고, 구간 [1, 2]에서 yæ0이므로넓이 S는

S=:)2 |'x-1|dx

S=:)1 (-'x+1)dx+:!2 ('x-1)dx

S=[- x;2#;+x]1)+[ x;2#;-x]2!

S= ('2-1)

답 ('2-1)413

413

213

213

곡선 y='x-1과 x축및두직선 x=0, x=2로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

풀이곡선과 x축으로 둘러싸인

도형을 그래프로 그려 보고,

yæ0인 구간과 y…0인 구간으

로나누어계산한다.O x

y

1 2

-1

y=Âx°-1

다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y= , x축, x=-e, x=-1

⑵ y='ƒx-1, x축, x=3

11x

1문제


⑴ y=sinx(0…x…p), x축

⑵ y=e≈ , x축, x=0, x=2

⑶ y=ln x, x축, x= , x=e11e

2문제

256 각론

❶구간 [a, b]에서

f(x)æ0일때곡선 y=f(x)와 x축으로

둘러싸인부분의넓이는 :Ab f(x)dx이고

f(x)…0일때의넓이는-:Ab f(x)dx이다.

따라서 [a, b]에서 곡선 y=f(x)와 x축으

로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 때에는

곡선의 그래프를 그리고 f(x)의 값이 양

수인 구간과 음수인 구간으로 나누어 구

한다.

본문 해설

목표| 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를


풀이| ⑴구하는도형의넓이를 S라하자.

S=:_-E1 {-;[!;}dx

S=[-ln|x|]-_1E

S=-ln 1-(-ln e)=1

⑵구하는도형의넓이를 S라하자.

S=:!3 'ƒx-1 dx

S=;3@;[(x-1);2#;]3!= 4'2113 O x

x=3

y= x-1

y

1

O x

y-1-e

y=1-x

1

목표| 곡선과 x축, 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할

수 있게 한다.

풀이| ⑴구하는도형의넓이를 S라하자.

S=:)» sin xdx

S=[-cos x]»)

S=-cos p+cos 0=2 O x

y=sin`xy

π


S=:)2 e≈ dx

S=[e≈ ]2)=e¤ -1

⑶구하는도형의넓이를S라하자.

:;e!;e ln x dx

=-:;e!;1 ln x+:!e ln x dx

=-[[x ln x]1;e!;-:

;e!;1 dx]

=+[[x ln x]e!-:!e dx]

=-[;e!;-{1-;e!;}]+{e-(e-1)}

=1-;e@;+1

=2-;e@;

O

1

-11 x

y

1-e

y=ln`x

e

O x

y y=ex

2

2

❶


Ⅳ. 적분법 257

교과서 177 쪽

이제곡선과 y축사이의넓이를구하여보자.

함수x=g(y)가구간 [c, d]에서연속일때, 곡선x=g(y)

와 y축및두직선 y=c, y=d로둘러싸인도형의넓이S는

구간 [c, d]에서 g(y)æ0이면

S=:Cd g(y)dy

이고, g(y)…0이면

S=:Cd {-g(y)}dy

와같다.

따라서오른쪽그림과같이구간 [c, e]에서 g(y)æ0이고,

구간 [e, d]에서 g(y)…0이면넓이S는다음과같다.

S=:Cd |g(y)|dy


⑴ y='2åx, y축, y=2

⑵ y=ln(x-1), y축, y=-1, y=1

3문제

곡선 y=e≈ -1과 y축및직선 y=1로둘러싸인도형의넓이를구하여라.4문제

예제 02y=lnx를 x에관하여풀면　x=e¥

주어진 곡선은 오른쪽 그림과 같이 구간 [-1, 1]에서

e¥ æ0이므로넓이 S는

S=:_1!e¥ dy=[e¥ ]1_!=e-;e!;

답 e-;e!;

곡선 y=lnx와 y축및두직선 y=-1, y=1로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

풀이

O x

y

1

-1

1 e

x=ey

c

d

S

x=Ì{y}

O x

y

S

c

e

d

x=Ì{y}

O x

y

❶도형의 모양에 따라 y에 대하여 적분하는 것이 계산

이 편리한 경우가 있다. 이 경우 도형의 넓이는 축이

바뀌었을 뿐 x축으로 둘러싸인 도형의 경우와 마찬

가지로계산한다.

이때에도 g(y)의 값이 양수인 y의 구간과 음수인 y

의구간으로나누어서구하면된다.

본문 해설

목표| 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴구하는도형의넓이를S라고하자.

y='2ßx를 x에관하여정리하면　x= y¤122

S=:)2 dy=;6!;[y‹ ]2)=;3$;

⑵구하는도형의넓이를S라하자.

y=ln(x-1)을 x에관하여정리하면

x=e¥ +1

S=:_1!(e¥ +1)dy

S=[e¥ +y]1_!=e-;e!;+2

O

1

-12 x

y

e+1

x=ey+1x=1

y¤122

O

2

2 x

yy@-2x=

3

목표| 곡선과 y축, 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할

수 있게 한다.

풀이| 구하는도형의넓이를 S라고하자.

y=e≈ -1을 x에관하여정리하면

x=ln(y+1)

y+1=t라하면　 =1

y=0일때 t=1, y=1일때 t=2이므로

S=:)1 ln(y+1)dy

S=:!2 ln t dt

S=[t ln t]2!-:!2 dt

S=2 ln 2-(2-1)

S=2 ln 2-1

O x

y x=ln`{y+1}

y=1

-1

ln`2

dt12dy

4

❶


교과서 178 쪽

이제두곡선으로둘러싸인도형의넓이를구하는방법을알아보자.

두함수 y=f(x)와 y=g(x)가구간 [a, b]에서연속일때, 두곡선 y=f(x)와

y=g(x) 및두직선x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이S를구하여보자.

⁄ 구간 [a, b]에서 f(x)æg(x)æ0일때넓이 S

는 도형 PABQ의 넓이에서 도형 P'ABQ'의

넓이를뺀것과같으므로

S=:Ab f(x)dx-:Ab g(x)dx

S=:Ab { f(x)-g(x)}dx

¤ 이다.

¤ 구간 [a, b]에서 f(x)æg(x)이고 f(x) 또는

g(x)의값이음수일때오른쪽그림과같이두

곡선을 y축의방향으로 k만큼평행이동하여

f(x)+kæg(x)+kæ0

¤ 이되게할수있다.

¤ 따라서넓이 S는곡선 y=f(x)와 y=g(x)를

y축의 방향으로 k만큼 평행이동시킨 곡선

y=f(x)+k와 y=g(x)+k 및두직선 x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이 S'

과같으므로

S=:Ab [{ f(x)+k}-{g(x)+k}]dx


¤ 이다.

‹ 구간 [a, c]에서 f(x)æg(x)이고 구간 [c, b]에서

f(x)…g(x)일때넓이 S는구간을 [a, c]와 [c, b]

로나누어구하면

S=:Ac { f(x)-g(x)}dx+:Cb {g(x)-f(x)}dx

S=:Ac | f(x)-g(x)|dx+:Cb | f(x)-g(x)|dx

S=:Ab | f(x)-g(x)|dx

¤ 이다.

y=f{x}

y=Ì{x}

S

a bO x

y

A B

Q'P'

PQ

y=f{x}+k

y=Ì{x}+k

y=f{x}

y=Ì{x}

ab

S'

S

kO

x

y

y=f{x}

y=Ì{x}

a bc x

y

O

258 각론

❶두 곡선 y=f(x), y=g(x) 및 두 직선

x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S를

구하여보자.

구간 [a, b]에서 f(x)æg(x)이면 넓이를

구하려는 도형은 길이가 f(x)-g(x)인

선분 AB를 x=a에서 x=b까지 움직여

서만들어진부분이므로


한편 구간 [a, b]에서 f(x)…g(x)이면 선

분 AB의길이가 g(x)-f(x)이므로 f(x)

와 g(x)의 크기에 관계없이 선분 AB의

길이는 |f(x)-g(x)|이다.

S=:Ab |f(x)-g(x)|dx

❷두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인

도형의넓이 S를구하여보자.

방정식 f(x)=g(x)를 풀어 교점의 x좌표를 찾아서

적분구간을정한다.

⑴ f(x)=g(x)의 근이 x=a 또는 x=b이고 구간

[a, b]에서 f(x)æg(x)인경우

S=:Ú’ { f(x)-g(x)}dx

=:Ú’ |f(x)-g(x)|dx

⑵ f(x)=g(x)의 근이 x=a 또는 x=b 또는 x=c이고구간 [a, c]에서 f(x)æg(x),

구간 [c, b]에서 f(x)…g(x)인경우

xå∫

S

y=Ì{x}

y=f{x}f{x}-Ì{x}

A

B

x=a x=b

y=f{x}

|f{x}-Ì{x}|

y=Ì{x}

S=:Ú

c{ f(x)-g(x)}dx+:

c’ {g(x)-f(x)}dx

S=:Ú

c|f(x)-g(x)|dx+:

c’ |f(x)-g(x)|dx

S=:Ú’ |f(x)-g(x)|dx

xå ç ∫

y=f{x}y=Ì{x}

f{x}-Ì{x}

Ì{x}-f{x}

본문 해설 ❶

❷


Ⅳ. 적분법 259

교과서 179 쪽


두곡선사이의넓이

두 함수 y=f(x)와 y=g(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)

및두직선 x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)-g(x)|dx

예제 03주어진두곡선의교점의 x좌표를구하면

sinx=cosx(0…x…p)에서　x=

이때구간 [0, ]에서 sinx…cosx이고,

구간 [ , p]에서 sinxæcosx이므로

구하는넓이 S는

S=:)» |sinx-cosx|dx

S=:)

;4“;

(cosx-sinx)dx+: »;4“;(sinx-cosx)dx

S=[sinx+cosx]);4“;

+[-cosx-sinx]»»;4“;=2'2

답 2'2

p14

p14

p14

두곡선 y=sinx, y=cosx 및두직선x=0,x=p로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

풀이적분 구간을 찾기 위하여

두 곡선의 교점의 x좌표를 구

한다.

x

y

O

-1

1

4π

2π

23 π

π

`y=sin``x

`y=cos``x

다음곡선또는직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y='x, y=x

⑵ y=e≈ , y=e—≈ , x=-1, x=2

⑶ y=sinx, y=cosx-1, x=0, x=p

⑷ y=ln(x+1), y=-sinx, x=p

5문제

목표| 정적분을 이용하여 곡선과 곡선, 곡선과 직선으로 둘

러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.

풀이| ⑴ :)1 ('x-x)dx

=[;3@;x;2#;-;2!;x¤ ]1)

=;3@;-;2!;=;6!;

⑵

e≈ =e—≈ 에서 x=0

x

yy=ex

-1 2O

1

y=e-x

O x

y

1

1 y=Âx°

y=x

:_0!(e—≈ -e≈ )dx+:)2 (e≈≈ -e—≈≈ )dx

=[-e—≈≈ -e≈≈ ]0_!+[e≈≈ +e—≈≈ ]2)

=e¤ +e+;e!;+ -4

⑶

sin x=cos x-1, sin x-cos x=-1,

'2 sin{x- }=-1에서 x=0, x=;2#;p

:)» {(sin x)-(cos x-1)}dx

=[-cos x-sin x+x]»)=p+2

⑷

:)» {ln(x+1)-(-sin x)}dx

=:)» ln(x+1)dx+:)» sin x dx

이때 :)» ln(x+1)dx

=x ln(x+1)-: dx

=x ln(x+1)-: {1- }dx

=x ln(x+1)-: dx+: dx

=x ln(x+1)-x+ln(x+1)+C

이므로

:)» {ln(x+1)-(-sin x)}dx

=[x ln(x+1)-x+ln(x+1)]»)+[-cos x]»)

=(p+1)ln(p+1)-p+2

1113x+1

1113x+1

x113x+1

O

y=ln{x+1}ln{π+1}

y=-sin`x

x

y

π-2π

-1

p14

O y=cos`x-1y=sin`x

x

y

π-2 π3-2π

1

-1

-2

11133e¤

5


교과서 180 쪽

두곡선사이의넓이를구할때, 도형의모양에따라 y에대하여적분하는것이편

리한경우도있다.

오른쪽그림과같이두함수 x=f(y)와 x=g(y)가구

간 [c, d]에서연속이고, 두 곡선 x=f(y)와 x=g(y) 및

두직선 y=c, y=d로둘러싸인도형의넓이 S는다음과

같다.

S=:Cd |f(y)-g(y)|dy

c

d

x=Ì{y} x=f{y}

S

O x

y

예제 04주어진곡선과직선의교점의 y좌표는

y¤ =y+2에서　y¤ -y-2=0

y=-1 또는 y=2

주어진곡선은오른쪽그림과같이구간 [-1, 2]

에서 y¤ …y+2이므로넓이 S는

S=:_2!{(y+2)-y¤ }dy=:_2!(-y¤ +y+2)dy

S=[- y‹ + y¤ +2y]2_!= 답912

912

112

113

곡선 y¤ =x와직선 y=x-2로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

풀이

O x

y

4

2

-1-2

1

x=y@

x=y+2

다음곡선또는직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ x=y¤ , x=y¤ (y-1) ⑵ y=lnx, x축, y축, y=1

6문제

곡선 y=lnx와 이 곡선 위의 점 (e, 1)에서의 접선 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를

구하여라.

7문제

곡선 y=e≈과 y축 및 직선 y=e로 둘러싸인 도형의 넓

이를 구하려고 한다. 적분 변수를 x로 놓는 방법과 적

분변수를 y로놓는방법으로각각해결하고, 그 과정을

설명하여보자.

사고력기르기▶추론

▶의사소통

▶문제 해결

O x

y

1

e

y=ex

260 각론

목표| 정적분을 이용하여 곡선과 직선으로 둘러

싸인 도형의 넓이를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴구하는도형의넓이를 S라고하자.

⑴ y¤ =y¤ (y-1)에서　y=0, y=2

⑴ S=:)2 {y¤ -y¤ (y-1)}dy

⑴ S=:)2 (-y‹ +2y¤ )dy

⑴ S=[-;4!;y› +;3@;y‹ ]2)=;3$;


⑴ y=ln x에서　x=e¥

⑴ S=:)1 e¥ dy=[e¥ ]1)=e-1

1

1

x=ey

O xe

y

O

2

4

x=y@{y-1}

x=y@

x

y

6

목표| 정적분을 이용하여 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의

넓이를 구할 수 있게 한다.

풀이| y'=;[!;이므로 x=e에서의접선의기울기는 ;e!;

따라서곡선위의점 (e, 1)에서의접선의방정식은

y-1=;e!;(x-e)

따라서접선의방정식은　y=;e!;x, 즉 x=ey

y=ln x에서 x=e¥

구하는 도형의 넓이 S는 곡선

x=e¥ 과 x축 및 직선 x=ey로

둘러싸인도형의넓이이므로

S=:)1 (e¥ -ey)dy

S=[e¥ -;2E;y¤ ]1)=;2E;-1

1

1

x=eyx=ey

O xe

y

7

풀이| 구하는도형의넓이를 S라고하자.

적분변수를 x로놓으면

S=:)1 (e-e≈ )dx=[ex-e≈ ]1)=1

적분변수를 y로놓으면

S=:!e lnydy=[y lny]e!-:!e dy

S=e-[y]e!=1

출제 의도| 정적분을 이용하여 적분변수를 x로 놓는 방법과

적분변수를 y로 놓는 방법으로 곡선과 직선으로 둘러싸인 도

형의 넓이를 구할 수 있게 한다.

사고력 기르기　추론


Ⅳ. 적분법 261

교과서 181 쪽

오른쪽그림과같이어떤입체도형이주어졌을때, 한

직선을x축으로정하고, x좌표가 a, b인두점을지나x

축에수직인두평면사이에있는부분의부피 V를구

하여보자.

x좌표가 t인 점에서 x축과 수직인 평면으로 입체도

형를자를때생기는단면의넓이를S(t)라고하자.

02●입체도형의부피를구할수있다.

부피

입체도형의 부피는 어떻게 구하는가?

피라미드

현재이집트전지역에서발견된피라미드는 94개이다. 그중가장대표적인것이기

자(Giza) 지역의기원전 2580~2560년에만들어진쿠푸왕의피라미드로세계 7대

불가사의가운데가장오래된건축물이며, 지금까지유일하게남아있는건축물이다.

탐구 활동 오른쪽그림과같이밑면은한변의길이가 20 cm

인 정사각형이고, 높이가 10 cm인 정사각뿔이 있

다. 입체도형의 꼭짓점 O로부터 거리가 x인 점 P

에서 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가

S(x)일때, 다음물음에답하여보자.

1. 단면의넓이 S(x)를구하여보자.

2. :)1 0 S(x)dx의값과이입체도형의부피를비교하여보자.

생각 열기

20`cm10`cm

10`cm

xS{x}

O

H

P

a t

S{t}

b x

02 부피

① 단면의 넓이와 입체의 부피 사이의 관계를 알고 정적분을

이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있게 한다.


1. 입체도형의 부피를 구하기 위해서는 기준이 되는 축

에 수직인 평면으로 자른 입체도형의 단면의 넓이를

알아야구할수있음을알게한다.

2. 구분구적법에서 원뿔을 n개의 원기둥으로 세분하여

이들의 부피의 합을 구하고 그 극한값으로 원뿔의 부

피를구할수있음을알게하였다.

여기서는 이를 일반적인 입체로 확장하여

구분구적법을적용시켜부피를구할때그

식이 정적분으로 나타내어짐을 이해시켜

야 한다. 일단 입체의 부피가 정적분으로

표현이되면미적분의기본정리를이용하

여계산할수있음을알게한다.


이집트의 피라미드는 예전의 파라오와 왕비,

왕족의 사후에 영원한 생명을 보장받기 위해

세운 것으로서 기자지구의 쿠푸왕의 피라미

드, 카프레왕의피라미드, 멘카우레왕의피

라미드 등 3개의 큰 피라미드가 있다. 이는

파라오를 비롯한 왕족들의 영원의 안식처 역

할을 한다. 이 중 세계7대 불가사의인 쿠푸

왕의 피라미드의 크기는 높이 146.5 m(현재

137 m), 저변 230 m, 사면각도 51˘ 52'이다.

생각 열기 참/고/자/료

활동 목표•뿔의 꼭짓점에서 절단면까지의 거리 x에 대하

여 단면의 넓이가 x에 대한 함수 S(x)로 나타내어지고 주

어진 구간에서 S(x)는 연속함수임을 알게 하였다.

이때, 단면의 넓이 S(x)를 입체도형의 높이에 대하여 적분

하여 구한 값과 실제로 구한 입체도형의 부피를 비교하여

보는 활동이다.


1. 단면은 정사각형이고 한 변의 길이가 2x이므로 넓이

는 4x¤ 이다.

2. :!1 0 4x¤ dx=[;3$;x‹ ]1)0 =:¢:º3º:º:,

입체도형의부피는　;3!;_20¤ _10=:¢:º3º:º:

서로같다.


교과서 182 쪽

또 x축위의구간 [a, b]를 n등분하여양끝점을포

함한각분점의x좌표를차례로

a=xº, x¡, x™, y, x«–¡, x«=b

라하고, 각소구간의길이를Dx라고하자. 이때 x좌표

가 x˚인점을지나고 x축에수직인평면으로입체도형

을자른단면의넓이를 S(x˚)라고하면밑면의넓이가

S(x˚)이고높이가Dx인기둥의부피는 S(x˚)Dx이므

로이들기둥n개의부피의합V«은

V«= S(x˚)Dx

이다. 따라서구분구적법과정적분의정의에의하여구하는입체도형의부피V는다

음과같다.

V= V«= S(x˚)Dx=:Ab S(x)dx


n¡k=1

limn⁄¶

limn ⁄¶

n¡k=1

a= =xk

xk+ûx

S{xk}

b

xº xn

x

입체도형의부피

구간 [a, b]의임의의점 x에서 x축에수직인평면으로자른단면의넓이가 S(x)인입체도

형의부피 V는

V=:Ab S(x)dx (단, S(x)는구간 [a, b]에서연속)

예제 01단면의넓이 S(x)라고하면

S(x)=2'x

구하는부피V는

V=:)6 2'xdx=[ x;2#;]6)=8'6(cm‹ ) 답 8'6 cm‹

413

어떤 물잔에 물을 부으면 물의 깊이가 x cm일 때 수면의 넓이는 2'x cm¤라고 한다.

물의깊이가 6 cm일때물잔에담긴물의부피를구하여라.

풀이

어떤 그릇에 물을 부으면 깊이가 x cm일 때 수면은 한 변의 길이가 'ƒ20-2x cm인 정사

각형이라고한다. 그릇의높이가 8 cm일때그릇에가득담긴물의부피를구하여라.

1문제

262 각론

목표| 수면의 넓이가 단면의 넓이임을 알고 정적분을 이용하

여 부피를 구할 수 있게 한다.

풀이| S(x)=20-2x이고 그릇의 높이가 8 cm이므로

구하는부피 V는

V=:)8 (20-2x)dx

V=[20x-x¤ ]8)=96(cm‹ )

이때, V(a)=0이므로구하는입체도형의부피 V는

V=V(b)=:Ab S(x)dx

1

❶입체도형의 부피 V는 n개의 기둥들의 부

피의 합 V«의 극한으로 구할 수 있으며

이들사이의관계는

V= V«=:Ab S(x)dx

단, S(x)는 x축에 수직인 평면으로 잘랐

을때그잘린부분의넓이이다. 이식에서

S(x)는 n개의 기둥의 밑넓이에 해당하며

dx는 각각 기둥의 높이에 해당하므로 정

적분을활용하여부피를구할수있다.

단면의 넓이 S(x)가 연속함수이면 입체

도형의부피 V는

V=:Ab S(x)dx

임을알아보자.

오른쪽 그림에서 구간

[a, b] 사이의 임의의

점 x에 대하여 a에서

x까지 그 사이에 있는

부분의 부피를 V(x)

라고 하면, x의 증분

Dx에대한부피 V(x)의증분 DV(x)는

DV(x)=V(x+Dx)-V(x)

이다.

구간 [x, x+Dx]에서 단면의 넓이의 최댓값과 최솟

값을각각MÆ, mÆ라고하면

mÆ¥Dx…V(x+Dx)-V(x)…MÆ¥Dx

즉mÆ… …MÆ

여기서단면의넓이 S(x)가연속함수이므로

Dx⁄ 0이면mÆ⁄ S(x), MÆ⁄ S(x)이다.

그러므로

V'(x)= =S(x)

V'(x)=S(x)이므로 V(x)는 S(x)의 한 부정적분

이다.

따라서

:Ab S(x)dx=[V(x)]bA=V(b)-V(a)

V(x+Dx)-V(x)112111111DxlimDx ⁄0

V(x+Dx)-V(x)112111111Dx

limn ⁄¶

본문 해설

xk+ûx

S{x}

ba x x

❶


Ⅳ. 적분법 263

교과서 183 쪽

예제 02PQ”=-x¤ +2x이므로 PQ”를 한 변으로 하

는정삼각형 PQR의넓이 S(x)는

S(x)= PQ” ¤ = (-x¤ +2x)¤

S(x)= (x› -4x‹ +4x¤ )

따라서구하는부피V는

V=:)2 (x› -4x‹ +4x¤ )dx

V= [ xfi -x› + x‹ ]2)= 답4'312215

4'312215

413

115

'3124

'3124

'3124

'3124

'3124

좌표평면 위의 두 점 P(x, 0), Q(x, -x¤ +2x)를 이은 선분을 한 변으로 하고, 이

평면에수직으로세운정삼각형 PQR를만든다. 점 P가원점에서점 C(2, 0)까지 x축

위를움직일때, △PQR가그리는입체도형의부피를구하여라.

풀이

O

x

y

P

C

R

Q

y=-x@+2x

2

S{x}

곡선 y='ƒsinx (0…x…p)와 x축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다.

이입체도형을 x축에수직인평면으로자른단면이다음과같은입체도형의부피를구하여라.

⑴정사각형 ⑵정삼각형

2문제

y=Âsin ·̀ x·

π x

y

Oπ

y=Âsin ·̀ x·

x

y

O

앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.

오른쪽 그림과 같이 포도주 통의 두 밑면의 중심을 x축

위에 두었을 때, x축과 수직인 평면으로 자른 단면은 반

지름의 길이가 æ≠4- x¤인 원이라고 한다. 다음 물음에

답하여라. (단, 포도주통의두께는무시한다.)

⑴포도주통의부피를구하여라.

⑵세워져있는포도주통깊이의 만큼포도주가들어

⑵있을때, 포도주의부피를구하여라.

114

113

-2

-2

2

2

y= 34- x@1

O x

y

목표| 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있게

한다.

풀이| ⑴ S=('ƒsinx)¤ =sinx이므로부피 V는

V=:)» sin xdx=[-cos x]»)=2

⑵ S= ('ƒsinx)¤ = sinx이므로부피 V는

V=:)» sin x dx= [-cos x]»)= '3122'3124

'3124

'3124

'3124

2

❶입체도형의부피를정적분으로구할때그단면의넓

이는적분변수의축에반드시수직이되어야한다.

본문 해설

천문학자이자 수학자인 케플러(Kepler, J.; 1571~1630)는 포도

주 통과 같은 용기의 부피를 측정하는 방법이 담긴“포도주 통의

신계량법(Nova stereometria doliorum vinariorum)”이라

는 책을 통하여 적분 개념을 이용한 부피 계산법을 발표하였다.

케플러는 통의 표면이 직선이 아니기 때문에 얇은 원판을 무한히

겹쳐 놓아 부피를 측정하였고, 모든 물체의 부피를 계산하는 데

이 방법과 유사한 것을 사용할 수 있다는 것을 깨달았다.

또한 케플러는 원뿔 곡선이 만들어 내는 원, 타원, 포물선 등의

도형에 이를 일반화시키려고 하였다. 케플러는 원뿔 곡선이 만들

어 내는 원, 타원, 포물선 등의 도형에 이를 일반화시키려고 하였

다. 케플러의 이론은 정밀성은 다소 떨어졌지만, 이 책은 17세기

적분학의 기초가 되었다.

읽/기/자/료 포도주의 신계량법

단원 과제

목표| 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구

할 수 있게 한다.

풀이| ⑴포도주통을 x축과수직인평면으

로자른단면의넓이를 S(x)라고하면

S(x)=p{4-;3!;x¤ }

따라서포도주통의부피 V는

V=:_2@p{4-;3!;x¤ }dx

V=2p:)2 {4-;3!;x¤ }dx

V=2p[4x- ]2)= p

⑵세워져있는포도주통에깊이의 ;4!;만큼

포도주가 들어 있을 때, 포도주의 부피 V

는

V=:_-@1 p{4-;3!;x¤ }dx

V=p[4x- ]-_1@= p2911229

x‹139

1281122339

x‹139

❶


264 각론

교과서 184 쪽

삼각함수의 정적분을 구하여 보자.

컴퓨터의 활용

기하작도용소프트웨어를이용하면부정적분및정적분을쉽게구할수있다.

1\ 함수 f(x)=cosx의부정적분을구하여보자.

1. 화면의아래쪽에있는입력창에‘f(x)=cos (x)’를입력하고Enter키

를누르면다음그림과같이함수 f(x)=cosx의그래프가그려진다.

2. 입력창에‘적분[ f(x)]’를입력하고Enter키를누르면함수 f(x)의부

정적분중에서원점O를지나는함수 g(x)=sinx의그래프가그려진다.

2\ 이제 두 함수 f(x)=cosx, g(x)=sinx의 그래프와 y축으로 둘러싸인

부분의넓이를구하여보자.

1. 도구상자에서‘두대상의교점’을선택하고두함수 f(x), g(x)의그래

프를각각클릭하여교점 (0.79, 0.71)을구한다.

2. 입력창에‘적분[ f(x), g(x), 0, 0.79 ]’를입력하면두함수

f(x)=cosx, g(x)=sinx의그래프와 y축으로둘러싸인부분의넓이

를구할수있다.


Ⅳ. 적분법 265

교과서 185 쪽

1 다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y=cosx (0…x…p), x축

⑵ y='x, x축, x=1, x=2

⑶ y=e≈ -1, x축, x=-1, x=1

2 다음곡선과직선또는곡선과곡선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y= , y=-x+3

⑵ y=cosx, y=sinx (0…x…2p)

21x

3 다음곡선과직선으로둘러싸인도형의넓이를구하여라.

⑴ y='ƒx+1-1, y축, y=-1, y=1

⑵ y=lnx, y=x, y=1, y=3

4 높이가 10 cm인 어떤 그릇에 물을 부으면 물의 깊이가 x cm일 때 수면은

한 변의 길이가 (x+2) cm인 정사각형 모양이라고 한다. 이 그릇에 물을

가득담을때, 담긴물의부피를구하여라. (단, 그릇의두께는무시한다.)

5 오른쪽그림과같이밑면의넓이가 S이고높이가 h인

사각뿔이있다. 이사각뿔의꼭짓점 O를원점, 꼭짓점

에서밑면에내린수선을 x축으로할때, 다음을구하

여라.

⑴ x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로

자른단면의넓이 S(x)

⑵정적분을이용한사각뿔의부피V

중단원 기초 수준별학습


01 넓이

01 넓이

01 넓이

02 부피

02 부피

x

h

x

O

S{x}

S

[̀해답 p.̀218]


게 한다.

풀이| ⑴ S=:)

;2“;

cos x dx+:;2“;» (-cos x)dx

S=[sin x]);2“;

+[-sin x];2“;» =2

⑵ S=:!2 'x dx=;3@;[x;2#;]2!=;3@;(2'2-1)

⑶ S=:_0!(-e≈ +1)dx+:)1 (e≈ -1)dx=e+;e!;-2

1중/단/원 기초

S=:!2 {3-x-;[@;}dx=;2#;-2 ln 2

⑵ cos x=sin x에서

x=;4“; 또는 x= (0…x…2p)

S=:)2 » |cos x-sin x|dx

=:)

;4“;

(cos x-sin x)dx

+:;4“;

:∞4…:

(-cos x+sin x)dx

+::∞4…:2 » (cos x-sin x)dx

=('2-1)+2'2+(1+'2)=4'2

5p134



풀이| ⑴ y='ƒx+1-1에서

x=y¤+2y

S=:_1!|y¤+2y|dy

=:_0!(-y¤-2y)dy

=+:)1 (y¤+2y)dy

=;3@;+;3$;=2

⑵곡선 y=ln x에서　x=e¥

S=:!3 {e¥ -y}dy

S=[e¥ -;2!;y¤ ]3!=e‹ -e-4

O

x=yx=ey

x

y

1

1

3

3O-1

1

-1 x

y

x=y@+2y

3


게 한다.

풀이| ⑴ 곡선 xy=2와 직선 x+y=3의 교점의 x좌표

는　x=1 또는 x=2

2

목표| 입체도형의 부피를 구할 수 있게 한다.

풀이| S(x)=(x+2)¤

V=:)1 0 (x+2)¤ dx=:)1 0 (x¤ +4x+4)dx

V=[;3!;x‹ +2x¤ +4x]1)0 =:¡:¶3™:º:(cm‹ )

4


풀이| ⑴ x¤ `: h¤ =S(x) : S에서　S(x)= S

⑵ V=:)h S`dx= [;3!;x‹ ]h)=;3!;ShS13h¤

x¤13h¤

x¤1133h¤

5


교과서 186 쪽

1 곡선 y=x‹ (xæ0)과이곡선위의점 (1, 1)에서

의접선및 x축으로둘러싸인도형의넓이를구하

여라.

2 곡선 y='x와 x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 y='aåx

(a>0)에의하여이등분될때, a의값을구하여라.

3 두곡선 y=lnx, y=-lnx와두직선 y=-1, y=1로둘러싸인도형의넓

이를구하여라.

4 원 x¤ +y¤ =1로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입

체도형이있다. 이 입체도형을 y축에수직인평면으

로자른단면이직각이등변삼각형일때, 입체도형의

부피를구하여라.

5 정적분을이용하여다음의부피를구하는방법을설명하여라.

⑴밑면의반지름의길이가 r이고, 높이가 h인원뿔

⑵반지름의길이가 r인구

중단원 기본 수준별학습

x@+y@=11-1

O

y

x

O x

y y=x#

{1,`1}


01 넓이

01 넓이

두 곡선 사이의 넓이

01 넓이

02 부피

02 부피

[̀해답 p.̀219]

266 각론

풀이| :)1 'x dx

=2:)1 'aßx dx이고

:)1 'x dx=[;3@;x;2#;]1)

=;3@;

2:)1 'aßx dx에서 ax=t라고하면　 =a

2:)1 'aßx dx=2:)a 't ¥;a!;dt=;3$;'a

즉 ;3@;=;3$;'a, a=;4!;

dt13dx

O x

y

1

1

y=Âx°

y=Âax·

목표| 주어진 도형의 넓이에 대한 식을 이용하

게 한다.

2

목표| 도형의 넓이를 구할 수 있게 한다.

3

목표| 접선의 방정식을 구하고 도형의 넓이를


풀이| S=:)1 [ -‹'y]dy

S=[;6!;y¤ +;3@;y-;4#;y;3$;]1)=;1¡2;

y+2133233

1중/단/원 기본


풀이| 직각이등변삼각형의 밑변의 길

이를 l이라고하면 x¤ +y¤ =1에서

l=2x=2"√1-y¤

S(y)= =2(1-y¤ )

V=:_1!2(1-y¤ )dy=;3*;

l¤132

x@+y@=11-1

O

y

x

yx

S{y}

4

풀이| ⑴ pr¤ : S(x)=h¤ : x¤

이므로　S(x)= x¤

V=:)h x¤ dx

V= [;3!;x‹ ]h)=;3!;pr¤ h

⑵ S(x)=p{"√r¤ -(r-x)¤ }¤

=p(2rx-x¤ )

이므로반구의부피는

:)r p(2rx-x¤ )dx=;3@;pr‹

V=;3@;pr‹ _2=;3$;pr‹

O x

y

x r

S{x}

pr¤133h¤

pr¤133h¤

pr¤133h¤

O x

y

x h

r

S{x}

풀이| S=:_1!|e¥ -e—¥ |dy

S=2:)1 (e¥ -e—¥ )dy

S=2e+;e@;-4O x

y

1

-1

1

x=ey

x=e-y


5


Ⅳ. 적분법 267

교과서 187 쪽

1 곡선 y=(x-1)(x+1)(x+a)와 x축으로둘러싸인도형의넓이를최소로

하는실수 a의값을구하여라. (단, -1<a<1)

2 곡선 y=cosx {0…x… }와 x축및 y축으로둘러싸인도형의넓이를곡

선 y=a sinx가이등분할때, 양수 a의값을구하여라.

p12

3 오른쪽그림과같이정사각형모양의타일이

좌표평면위의 x축, y축과일치되게놓여있

다. 이 타일에 곡선 y=f(x)와 y=g(x)를

경계로하여노란색과파란색이칠해지는부

분의넓이의비가 2 : 3일때, :)1 5 g(x)dx의

값을 구하여라. (단, 함수 y=g(x)는 함수

y=f(x)의역함수이다.)

4 밑면의반지름의길이가 1이고, 높이가 2인원기둥이

있다. 이 밑면의 지름을 포함하고 밑면과 60˘를 이루

는평면으로원기둥을 자를때생기는입체도형중에

서작은쪽의부피를구하여라.

중단원 실력 수준별학습

O

y

15

15

y=f{x}

y=Ì{x}

x

2

1

60æ

02 부피


01 넓이

01 넓이

01 넓이

[̀해답 p.̀219]


게 한다.

풀이| S(a)

=:_-!a (x‹ +ax¤ -x-a)dx

-:_1A(x‹ +ax¤ -x-a)dx

=-;6!;a› +a¤ +;2!;

S'(a)=2a{-;3!;a¤ +1}=0에서 a=0, -'3, '3

따라서 a=0일때 S(a)는극소이면서최소가된다.

x-1-a 1

1중/단/원 실력

풀이| :)

;2“;

cosxdx=[sinx]);2“;

=1

y=cosx와 y=a sinx의교점의 x좌표를

k{0…k… ;2“;}라고하면

cosk=a sink yy`①

:)k a sinxdx

=+:K

;2“;

cosxdx

=;2!;

에서　acosk+sink=a+;2!; yy`②

①에서 =;a!;이므로

sink= ,

cosk=

를②에대입하면

a_ + =a+;2!;, a=;4#;113123"√a¤ +1

a13123"√a¤ +1

a13123"√a¤ +1

113123"√a¤ +1

a

1Âa@·+·1·

k

sink1312cosk


게 한다.

2

풀이| 노란색이칠해진부분

의넓이는　;5@;_15¤ =90

곡선 y=g(x)와

y=f(x)는 직선 y=x에 대

하여대칭이므로

:)1 5 g(x)dx=;2!;_90+;2!;_15¤ =:£;2!;∞:



3

15

15

y=f{x}

y=x

y=Ì{x}

O

y

x

O x

y

k2π

y=cos`xy=a`sin`x

풀이| S(y)= x¤

S= (1-y¤ )

V=:_1! S(y)dy

V=:_1! (1-y¤ )dy

V= [y-;3!;y‹ ]1_!= 2'313333'31332

'31332

'31332

O

y

xx@+y@=1 -1

-1

1

1

Â3xS{y}

xy

'31332


4


268 각론

교과서 188 쪽

카발리에리원리

이탈리아의수학자카발리에리(Cavalieri,

F. B. ; 1598~1647)는“불가분량의기하

학”에서평면의넓이와부피를구하는카발

리에리원리를확립하였다.

입체도형에관한카발리에리원리는다음과

같다.

다음［그림 1］은반지름의길이가 r인반구이고, ［그림 2］는밑면의반지름의길이가 r

이고높이가 r인원기둥에서밑면의반지름의길이가 r이고높이가 r인원뿔을잘라

낸것이다.

[그림 1]과 [그림 2]에서 색칠된 부분은 밑면으로부터 높이가 h인 지점을 밑면과 평행인 평면으로

자른단면이다. 이때 두 단면의넓이를각각구하여보자.

| 과 제 | 1

| 과 제 | 2 카발리에리원리를이용하여 [그림 1]과 [그림 2]의 입체도형의부피를구하여보자.

| 과 제 | 3 카발리에리원리가성립함을정적분을이용하여증명하여보자.

h r

r

r

h

[그림 1] [그림 2]

수행 과제

두입체도형을하나의정해진평면과평행한평면으로자른단면의넓이의비가m : n

이면두입체도형의부피의비도m : n이다.

교과서 189 쪽

대단원 학습 내용 정리

여러 가지 함수의 부정적분

x« (n은 실수)의 부정적분

⑴ n+-1일때, : x« dx= x« ±⁄ +C

⑵ n=-1일때, : x—⁄ dx=: dx=ln|x|+C

삼각함수의 부정적분

⑴ : sinxdx=-cosx+C

⑵ : cosxdx=sinx+C

⑶ : sec¤ xdx=tanx+C

⑷ : csc¤ xdx=-cotx+C

지수함수의 부정적분

⑴ : e≈ dx=e≈ +C

⑵ : a≈ dx= +C (단, a>0, a+1)a≈11lna

11x

1112n+1

1

치환적분법

치환적분법

미분가능한함수 g(t)에대하여 x=g(t)로놓으면

: f(x)dx=: f(g(t))g '(t)dt

의 부정적분

: dx=ln|f(x)|+Cf'(x)111f(x)

f '(x)11111133f(x)

2

부분적분법

두함수 f(x), g(x)가미분가능할때

: f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-: f '(x)g(x)dx

3부피

구간 [a, b]의 임의의 점 x에서 x축에 수직인 평면으로 자른

단면의넓이가 S(x)인입체의부피V는

V=:Ab S(x)dx (단, S(x)는구간 [a, b]에서연속)

6

여러 가지 함수의 정적분


구간 [a, b]에서연속인함수 f(x)에대하여미분가능한함수

x=g(t)의도함수 g'(t)가구간 [a, b]에서연속이고 a=g(a),b=g(b)이면



두함수 f(x), g(x)가미분가능하고, f'(x), g'(x)가구간 [a, b]

에서연속일때

:Ab f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]bA-:Ab f'(x)g(x)dx

4

넓이


함수 y=f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)와

x축및두직선 x=a, x=b로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)|dx

곡선과 y축 사이의 넓이

함수 x=g(y)가구간 [c, d]에서연속일때, 곡선 x=g(y)와

y축및두직선 y=c, y=d로둘러싸인도형의넓이 S는

S=:Cd |g(y)|dy

두 곡선 사이의 넓이

두 함수 y=f(x), y=g(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 두

곡선 y=f(x), y=g(x)와두직선 x=a, x=b로둘러싸인도

형의넓이 S는

S=:Ab |f(x)-g(x)|dx

5

용어와 기호 치환적분법, 부분적분법

과제 2 _풀이

[그림 1]의 입체도형의부피는구의부피의 ;2!;이므로

;2!;{;3$;pr‹ }=;3@;pr‹

[그림 2]의 입체도형의부피는

(직원기둥의부피)-(원뿔의부피)이므로

pr‹ -;3!;pr‹ =;3@;pr‹

두 입체도형을 밑면과 평행하게 자르면 단면의 넓이가

서로 같으므로 카발리에리의 원리에 의해 두 공간도형

의부피는같다.

과제 3 _풀이

[그림 1]과 [그림 2]의 부피를 V라하면

V=:)r p(r¤ -h¤ )dh

=p[r¤ h-;3!;h‹ ]r)=;3@;pr‹

수행 과제 의도

카발리에리 원리를 이해하고 이것이 정적분으로 설명됨을 알

기 위한 것이다.

수행 과제

과제 1 _풀이

[그림 1]은 반지름의 길이가 r인 반구, [그림 2]는 반지

름의 길이가 r이고 높이가 r인 직원기둥을 나타내는데,

밑면이 직원기둥의 밑면이고, 꼭짓점이 이 직원기둥의

밑면의 중심에 있는 원뿔을 이 직원기둥에서 제거한 상

태를나타내고있다. 두 입체를밑면에서높이 h에위치

한 밑면과 평행인 평면으로 자른다. 이때, 단면은 각각

원판과원환이되고, 카발리에리원리에의해단면의넓

이는 p(r¤ -h¤ )으로동일하다.


Ⅳ. 적분법 269

교과서 190 쪽

대 /단 /원 평가 문제

함수 f(x)= 의역함수를 g(x)라고할때,

부정적분 : g(x)dx를구하면?

① ln(x-1)+C ② ln|x-1|+C

③ ln(x+1)+C ④ ln|x+1|+C

⑤ x+ln|x|+C

x+1112x1

함수 f(x)가모든실수 x에대하여

f(x)=:)/ t sin(x-t)dt

일때, f '{ }의값은?

①- ② 0 ③

④ 1 ⑤312

112

112

p13

6

- <x< 일때, 함수

f(x)=-1+sinx-sin¤ x+sin‹ x-y의부정적분F(x)를구하면?

① tanx+secx+C

② secx-tanx+C

③ cotx+secx+C

④ secx-cotx+C

⑤ cotx+cscx+C

p12

p124

함수 f(x)=: (1-cosx)¤ sinxdx에 대하여

f{ }=0일때, f(p)의값은?

① ② ③ 3

④ ⑤11133

10133

813

713

p12

3

미분가능한두함수 f(x), g(x)가다음조건을

만족시킬때,:)2 f(x)g(x)dx의값은?

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

8

곡선 y=f(x) 위의점 (x, y)에서접선의기울

기가 cosx-sinx라고한다. 이 곡선이원점을

지날때, f(p)의값은?

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

2

0…x…4에서 정의된 함

수 y=f(x)의 그래프가

오른쪽그림과같을때,

정적분 :)1 f(2x+1)dx의

값은?

① ② ③

④ ⑤912

712

512

312

112

7

Ⅳ. 적분법

선 택 형 정적분 :)1 |e≈ -eå |dx의값을 f(a)라고할때,

f(a)가최소가되게하는 a의값은?

(단, 0…a…1)

① ② ③

④ ⑤112

113

114

115

116

5

O x

y

1

1

3

2 3 4

y=f{x}

f '(x)=g(x)

f(0)=3, f(2)=5

대 /단 /원 평가 문제


풀이| y= 이라하고 x에대하여정리하면

x= 따라서　g(x)=

:`g(x)dx=: dx=ln|x-1|+C 답⃞②1131

x-1

1131x-1

1131y-1

x+1131x

풀이| f '(x)=cos x-sin x이므로

f(x)=: f̀ '(x)dx=sin x+cosx+C

f(x)가원점을지나므로　f(0)=1+C=0, C=-1

f(x)=sin x+cos x-1이므로　f(p)=-2 답⃞①

1

목표| 여러 가지 함수의 정적분을 구할 수 있게 한다.

풀이| f(a)=:)1 |e≈ -eå |dx

f(a)=:)a (-e≈ +eå )dx+:A1 (e≈ -eå )dx

f(a)=[-e≈ +eå x]a)+[e≈ -eå x]1A

f(a)=(2a-3)eå +e+1

f'(a)=2eå +(2a-3)eå =(2a-1)eå

f '(a)=0에서 a=;2!; 답⃞⑤

5


2

목표| 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구할

수 있게 한다.

3

목표| 여러 가지 함수의 부정적분을 구할 수 있

게 한다.

풀이| f(x)= =

f(x)= =

f(x)= sec x-sec¤ `x=tan x sec x-sec¤ `x

F(x)=: f(x)dx=: (tan x sec x-sec¤ `x)dx

F(x)=sec x-tan x+C 답⃞②

sin x1312cos x

sin x-1131122cos¤ x

-1(1-sin x)131111211123(1+sin x)(1-sin x)

-1131121+sin x

-113111121-(-sin x)

4

풀이| 1-cos`x=t로놓으면　sin`x=

f(x)=: (1-cos x)¤ sin`x`dx

f(x)=: t¤ dt=;3!;t‹ +C

f(x)=;3!;(1-cos x)‹ +C

이때, f{;2“;}=;3!;{1-cos ;2“;}‹ +C=0에서　

C=-;3!;

따라서 f(x)=;3!;(1-cos x)‹ -;3!;이므로

f(p)=;3!;¥2‹ -;3!;=;3&; 답⃞①

dt133dx


교과서 191 쪽

곡선 y='x와 이 곡선 위의 점 (1, 1)에서 그

은접선및 x축으로둘러싸인도형의넓이는?

① ② ③ 1

④ ⑤513

413

213

113

9

오른쪽그림은함수

f(x)=xe≈ (0…x…1)

의 그래프이다. 함수 f(x)의

역함수를 g(x)라고할때,

:)e g(x)dx의값은?

① e-1 ② e-2

③ 2e-1 ④ 2e-2

⑤ 2e-3

10

:!4 dx=ln a를 만족시키는 상수 a의

값을구하여라.

21113x¤ +2x13

지름의 길이가 4인 반원을 밑면으로 하는 입체

도형이있다. 이입체도형을지름AB에수직인

평면으로 잘라 생기는 단면이 정사각형일 때,

입체도형의부피를구하는풀이과정과답을서

술하여라.

16

어떤 용기에 물을 넣으면 깊이가 x(0…x…p)일때, 수면은반지름의길이가 'ƒx sinx인원이

라고한다. 물의깊이가 p일때용기에담긴물

의부피는?

① p ② 2p ③ p ¤

④ p¤ ⑤ p ¤ +1

112

11

서 답 형

|서|술|형 |̀

O x

yy=f{x}

1

e

함수 f(t)=:)

t-1(x-t)e≈ dx의 최댓값을 구하

여라.

14

곡선 y=e≈ 과 x축, y축및직선 x=ln3으로둘

러싸인 도형의 넓이를 직선 x=k가 이등분할

때, 상수 k의값을구하는풀이과정과답을서

술하여라.

15

밑면의반지름의길이가 a, 높이가 2a인원기둥

이있다. 밑면의중심을지나고밑면과 45˘인각

을 이루는 평면으로 이 직원기둥을 자를 때 생

기는두입체도형중에서작은것의부피는?

① a‹ ② a‹ ③ a‹

④ a‹ ⑤ a‹213

'3123

'2123

113

12

|서|술|형 |̀

[̀해답 p.̀220]

270 각론

풀이| f(t)=t, g'(t)=sin(x-t)라하면

f '(t)=1, g(t)=cos(x-t)

f(x)=:)/ t`sin(x-t)dt

f(x)=[t`cos(x-t)]/)-:)/ cos(x-t)dt

f(x)=x+[sin(x-t)]/)=x-sin x

이때 f '(x)=1-cos x이므로 f '{;3“;}=;2!;

답⃞③

목표| 여러 가지 함수의 정적분을 구할 수 있게

한다.

6

풀이| :)2 f(x)g(x)dx=;2!;:)2 2f(x)f'(x)dx

=;2!;[{f(x)}¤ ]2)=;2!;[{f(2)}¤ -{f(0)}‚ ]

=;2!;(5¤ -3¤ )=8 답⃞④

y=;2!;x+;2!;

따라서도형의넓이 S는

S=:_1!{;2!;x+;2!;}dx-:)1 'x dx

S=[;4!;x¤ +;2!;x]1_!-[;3@;x;2#;]1)

S=;3!; 답⃞①

1-21-2

O x

y

-1 1

1

y=` `x+

y=Âx

목표| 부분적분법을 이용하여 정적분을 구할 수 있게 한다.

8

풀이| 함수 f(x)의역함수가

g(x)이고두함수 y=f(x),

y=g(x)의 그래프는 직선 y=x

에대하여서로대칭이므로

:)e g(x)dx=:)e f(y)dy

그런데 x축, y축및두직선

O x

yy=f{x}

1

y=x

1

e

e

y=Ì{x}


게 한다.

10

풀이| y'= 이므로곡선 y='x 위의점 (1, 1)에서

의접선의방정식은

113232'x

목표| 곡선과 직선 사이에 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수

있게 한다.

9

풀이| 2x+1=t로놓으면 x= 이므로

=;2!;


:)1 f(2x+1)dx=:!3 f(t)¥;2!;dt=;2!;:!3 f(t)dt

=;2!;[:!2 f(t)dt+:@3 f(t)dt°

=;2!;[{1_1+;2!;_1_2}+(1_3)]=;2%; 답⃞③

dx133dt

t-113232

목표| 치환적분법을 이용하여 정적분을 구할 수

있게 한다.

7


Ⅳ. 적분법 271

풀이| f(t)=:)t -- 1 (x-t)e≈ dx

=[(x-t)e≈ ]t)- 1 -:)t -- 1 e≈ dx=-2e† —⁄ +t+1

양변을 t에대하여미분하면　f '(t)=-2e† —⁄ +1

f'(t)=0에서 t=1-ln`2

t=1-ln`2에서 함수 f(t)의 값은 극대이면서 최대가 되

므로최댓값은

f(1-ln`2)=-2e-ln`2+1-ln`2+1=1-ln`2

답⃞ 1-ln 2

목표| 미분과 적분과의 관계를 이용하여 최댓값을 구할 수

있게 한다.

14

풀이| 곡선 y=e≈과 x축, y축및직선

x=ln3으로둘러싸인도형의넓이는

:)

ln 3e≈ dx=[e≈ ])

ln 3=3-1=2

직선 x=k가 도형의 넓이를 이등분

하므로　:)k e≈ dx=[e≈ ]k)=e̊ -1=1

따라서　k=ln 2

O x

y y=ex

ln`3

3

1

k


게 한다.

15

풀이| 단면의넓이를 S(x)라고하면

S(x)=p('ƒx`sin x)¤ =px sin x

구하는부피 V는　V=:)» px sin x

f(x)=x, g'(x)=sin x라고하면　

f '(x)=1, g(x)=-cos x

V=p:)» x sin x dx

V=p[[-x`cos x]»)-:)» (-cos x)dx]=p¤ 답⃞④

x=1, y=e로둘러싸인 직사각형의넓이는 e이므로

:)e f(y)dy=e-:)1 f(x)dx=e-{[xe≈ ]1)-:)1 e≈ dx}

:)e f(y)dy=e-{e-(e-1)}=e-1

따라서　:)e g(x)dx=e-1 답⃞①


11

풀이| 오른쪽그림과같이

OP”=x (0…x…a)라고하면

PQ”=QR”="√a¤ -x¤

따라서 주어진 입체를 점 P에

서 선분 AB에 수직하게 자른

단면의넓이 S(x)는

S(x)=;2!;(a¤ -x¤ )

∴ V=2:)a S(x)dx=2:)a ;2!;(a¤ -x¤ )dx=;3@;a‹ 답⃞④

R

Q

B

A

O

Px

S{x}

-a

a

a45æ


12

풀이| =;[!;- 이므로

:!4 dx=:!4 {;[!;- }dx

=[ln |x|-ln|x+2|]4!=ln2

따라서　a=2 답⃞ 2

113233x+2

2132322x¤ +2x

113233x+2

2132322x¤ +2x

목표| 분수함수의 정적분을 구할 수 있게 한다.

13풀이| 좌표평면의 x축 위에

지름 AB를 놓은 다음 x축

에 수직인 평면으로 이 입

체도형을 자른 단면의 넓이

를 S(x)라고하면　

S(x)=y¤ =4-x¤

V=:_2@S(x)dx=:_2@(4-x¤ )dx

V=2:)2 (4-x¤ )dx=2[4x-;3!;x‹ ]2)=:£3™:

O

y

x2

2

-2

yx

x@+y@=4{y 0}

A B

S{x}


16

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

도형의넓이구하기

이등분된도형의넓이를식으로나타내기

상수 k의값구하기

배점

40%

40%

20%

채점기준

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

단면의넓이 S(x) 구하기

(부피)=:_2@ S(x)로나타내기

부피구하기

배점

40%

30%

30%

채점기준


272 각론

교과서 192 쪽

기원전 200년대아르키메데스의등장으로부터 17세기에이르기까지여러학자들이곡선에둘러싸

인영역의넓이를구하는방법, 이른바적분법을연구하여왔다. 원이나포물선등특정한곡선에관해

서는넓이를구하는방법이발견되어있었지만, 어느곡선에서나적용할수있는일반적인방법은발

견되지않았다.

만약넓이를구하고싶다면, 넓이를구하고싶은영역을곡선의모양에맞추어가느다란도형으

로분할하고많은계산을해야만했다. 이방법은계산이매우번거롭고, 엄밀하게말하면정확하

지않았다.

넓이를구할때무한히작은부분으로나누고그것을더한

다는아르키메데스의적분에대한발상을천

문학에응용한사람이독일의천

문학자 케플러(Kepler,

J. ; 1571~1630)였다.

주로그는천문학에서

행성의 세 가지 운동

법칙의발견으로기억되고있지만, 수학에서도여러가

지업적을남겼다.

Science

수 학 과 학

케플러의적분

케플러

같은시간동안행성이태양주위를돌면서만드는

부채꼴 A, B, C의넓이는서로같다.

A

C

B


Ⅳ. 적분법 273

교과서 193 쪽

1604년무렵케플러는스승이었던천문학자티코(Tycho, B. ; 1546~1601)가남긴막대한화성관

측기록을바탕으로, 화성의궤도를정확하게계산할수있는방법을여러가지로찾고있었다.

그가시행착오끝에이른것이현재‘케플러의제2법칙’으로알려져있다. 그것은‘같은시간에행성

과태양을연결하는선분이만드는부채꼴의넓이는서로같다’는것이다.

케플러는시행착오와막대한계산을거쳐

이결론을얻었다. 현재와같은적분법이탄

생하기전에케플러는태양과화성을잇는

직선이지나면서만드는부채꼴의넓이를아

르키메데스처럼무한히작은삼각형으로나

누었다가더하는방법으로계산하였다.

그는오른쪽그림과같이원을여러개의부

채꼴로분할한다음이들을번갈아뒤집어붙여서평행사변형모양을만들어원의넓이를계

산하였다.

케플러의아이디어가바로적분이기는하지만곡선으로둘러싸인부분의넓이를구하

는적분법의일반적인계산방법을개발한것은아니었으므로이시점에서적분법이완

성되었다고는할수없다.

그러나케플러의이러한업적은뉴턴(Newton, I. ; 1642~1727)이나라이프

니츠(Leibniz, G. W. ; 1646~1716)의미분적분학이꽃을피우기전에카

발리에리와토리첼리(Torricelli, E. ; 1608~1647) 등에게영감을주었

고, 적분이발전해나아가는데중요한밑바탕이되었다.

12

3 4567

8910

1112

1 2 3 4 5 6

12 11 10 9 8 7➜

(밑변의 길이)_(높이)

=(원주의 반)_(반지름)

=pr_r=pr¤


274 삼각함수표

삼각함수표

0°

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

8°

9°

10°

11°

12°

13°

14°

15°

16°

17°

18°

19°

20°

21°

22°

23°

24°

25°

26°

27°

28°

29°

30°

31°

32°

33°

34°

35°

36°

37°

38°

39°

40°

41°

42°

43°

44°

45°

45°

46°

47°

48°

49°

50°

51°

52°

53°

54°

55°

56°

57°

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0.7854

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0.7071

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0.8660

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0.4040

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0.5317

0.5543

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0.6494

0.6745

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0.7265

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0.8391

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1.0000

1.0000

1.0355

1.0724

1.1106

1.1504

1.1918

1.2349

1.2799

1.3270

1.3764

1.4281

1.4826

1.5399

1.6003

1.6643

1.7321

1.8040

1.8807

1.9626

2.0503

2.1445

2.2460

2.3559

2.4751

2.6051

2.7475

2.9042

3.0777

3.2709

3.4874

3.7321

4.0108

4.3315

4.7046

5.1446

5.6713

6.3138

7.1154

8.1443

9.5144

11.4301

14.3007

19.0811

28.6363

57.2900

¶

각 각 라디안 sin cos tan라디안 sin cos tan


수학용어 275

수학 용어

용어 외국어 한자 용어 외국어 한자

가정 hypothesis 假定

감소 decreasing 減少

거듭제곱근 radical root

결론 conclusion 結論

(집합의)결합법칙 associative law 結合法則

계수 coefficient 係數

계승 factorial 階乘

곱의 법칙 multiplication principle

공간벡터 space vector

공간좌표 coordinates in space 空間座標

공비 common ratio 公比

공역 codomain 共域

공집합 empty set 空集合

공차 common difference 公差

교선 line of intersection 交線

교집합 intersection 交集合

(집합의)교환법칙 commutative law 交換法則

구간 interval 區問

구분구적법 quadrature by parts 區分求積法

귀납적 정의 inductive definition 歸納的定義

귀류법 reduction to absurdity 歸謬法

극값 extreme values

극대 local maximum 極大

극댓값 local maximum

극소 local minimum 極小

극솟값 local minimum

극한(값) limit (value) 極限

근 root 根

근의 공식 quadratic formula 根`— 公式

근호 radical sign 根號

급수 series 級數

급수의 합 sum of series 級數`— 合

기댓값 expected value

기울기 slope

나머지정리 remainder theorem

내분 internal division 內分

내적 inner product 內積

다항식 polynomial 多項式

다항함수 polynomial function 多項函數

단위벡터 unit vector

단항식 monomial 單項式

닫힌 구간 closed interval

대우 contraposition 對偶

대응 correspondence 對應

대입 substitution 代入

대칭이동 reflection 對稱移動

덧셈정리 addition theorem

도함수 derivatives 導函數

독립 independence 獨立

독립시행 independent trials 獨立試行

동경 radius 動徑

동류항 similar term 同類項

두 점 사이의 거리 distance between two points

드모르간의 법칙 De Morgan’s law

등비급수 geometric series 等比級數

등비수열 geometric sequence 等比數列

등비중항 geometric means 等比中項

등차수열 arithmetic sequence 等差數列

등차중항 arithmetic means 等差中項

라디안 radian

로그 logarithm

로그함수 logarithmic function

롤의 정리 Rolle’s theorem

매개변수 parameter 媒介變數

명제 proposition 命題

모분산 population variance 母分散

모비율 population ratio 母比率

모집단 population 母集團

모평균 population mean 母平均

모표준편차 population standard deviation 母標準偏差

무리수 irrational number 無理數

<ㄱ>

<ㄴ>

<ㄷ>

<ㄹ>

<ㅁ>


276 수학용어


무리식 irrational expression 無理式

무리함수 irrational function 無理函數

무한대 infinity 無限大

미분가능 differentiable 微分可能

미분계수 derivative 微分係數

미적분의 기본 정리 fundamental theorem of calculus 微積分`- 基本定理

미정계수법 method of undetermined coefficients 未定係數法

미지수 unknown 未知數

(로그의)`밑 base

반닫힌(반열린)`구간 half closed(open) interval

발산 divergence 發散

방향벡터 direction vector

배반사건 exclusive events 排反事件

법선벡터 normal vector

벡터 vector

벡터의 성분 component of vector

벡터의 크기 norm of vector

벤 다이어그램 Venn diagram

변곡점 point of inflection 變曲點

복소수 complex number 複素數

부등식 inequality 不等式

부분적분법 integration by parts 部分積分法

부분집합 subset 部分集合

부분합 partial sum 部分合

부정 negation 否定

부정적분 indefinite integral 不定積分

분모의 유리화 rationalization of denominator 分母`— 有理化

(집합의)`분배법칙 distributive law 分配法則

불연속 discontinuous 不連續

사이값 정리 intermediate value theorem

사인 sine

사인함수 sine function

삼각비 trigonometric ratio 三角比

삼각함수 trigonometric function 三角函數

삼수선의 정리 theorem of three perpendiculars 三垂線`— 定理

상수함수 constant function 常數函數

상수항 constant term 常數項

상용로그 common logarithm

(집합의)`서로소 disjoint

수렴 convergence 收斂

수열 sequence 數列

수학적 귀납법 mathematical induction 數學的歸納法

수학적 확률 mathematical probability 數學的確率

순간변화율 instantaneous rate of change 瞬間變化率

순서쌍 ordered pair 順序雙

순열 permutation 順列

시점 initial point 始點

시초선 ray 始初線

시행 trial 試行

식의 값 numerical value of expression

신뢰구간 confidence interval 信賴區間

신뢰도 confidence coefficient 信賴度

실근 real root 實根

실수 real number 實數

실수배 real number multiple 實數倍

실수부분 real part 實數部分

쌍곡선 hyperbola 雙曲線

쌍곡선의 꼭짓점 vertex of hyperbola

쌍곡선의 점근선 asymptotic line of hyperbola 雙曲線— 漸近線

쌍곡선의 주축 principal axis of hyperbola 雙曲線— 主軸

쌍곡선의 중심 center of hyperbola 雙曲線— 中心

쌍곡선의 초점 focus of hyperbola 雙曲線— 焦點

x절편 x-intercept

x좌표 x-coordinate

x축 x-axis

여사건 complementary event 餘事件

여집합 complement 餘集合

역 converse 逆

역함수 inverse function 逆函數

연립일차방정식 simultaneous linear equations 聯立一次方程式

연립일차부등식 simultaneous linear inequalities 聯立一次不等式

연속 continuous 連續

연속함수 continuous function 連續函數

<ㅂ>

<ㅅ>

<ㅇ>


수학용어 277


연속확률변수 continuous random variable 連續確率變數

열린 구간 open interval

영벡터 zero vector

y절편 y-intercept

y좌표 y-coordinate

y축 y-axis

완전제곱식 perfect square(expression)

외분 external division 外分

우극한 right-handed limit 右極限

원소 element 元素

원순열 circular permutation 圓順列

원점 origin 原點

위치벡터 position vector

유리식 rational expression 有理式

유리함수 rational function 有理函數

음함수 implicit function 陰函數

이계도함수 second order derivatives 二階導函數

이면각 dihedral angle 二面角

이면각의 면 faces of a dihedral angle 二面角`— 面

이면각의 변 edge of dihedral angle 二面角`— 邊

이면각의 크기 measure of a dihedral angle

이산확률변수 discrete random variable 離散確率變數

이차곡선 quadratic curve 二次曲線

이차방정식 quadratic equation 二次方程式

이차함수 quadratic function 二次函數

이항 transposition 移項

이항계수 binomial coefficient 二項係數

이항분포 binomial distribution 二項分布

이항정리 binomial theorem 二項定理

인수 factor 因數

인수분해 factorization 因數分解

인수정리 factor theorem 因數定理

일대일 대응 one to one correspondence 一對一對應

일대일함수 one to one function 一對一函數

일반각 general angle 一般角

일반항 general term 一般項

일차방정식 linear equation 一次方程式

일차부등식 linear inequality 一次不等式

일차함수 linear function 一次函數

임의추출 random sampling 任意抽出

자연로그 natural logarithm

자연수의 분할 partitions of natural number 自然數— 分割

적분상수 integral constant 積分常數

전개 expansion 展開

전개식 expansion 展開式

전수조사 total inspection 全數調査

전체집합 universal set 全體集合

절대부등식 absolute inequality 絶對不等式

정규분포 normal distribution 正規分布

정리 theorem 定理

정사영 orthogonal projection 正射影

정의 definition 定義

정의역 domain 定義域

정적분 definite integral 定積分

제곱근 square root

조건 condition 條件

조건부확률 conditional probability 條件附確率

조립제법 synthetic division 組立除法

조합 combination 組合

종속 dependence 從屬

종점 terminal point 終點

좌극한 left-handed limit 左極限

좌표 coordinate 座標

좌표공간 coordinate space 座標空間

좌표축 coordinate axis 座標軸

좌표평면 coordinate plane 座標平面

주기 period 週期

주기함수 periodic function 週期函數

중근 multiple root 重根

중복순열 repeated permutation 重複順列

중복조합 repeated combination 重複組合

중점 midpoint 中點

증가 increasing 增加

증명 proof 證明

증분 increment 增分

<ㅈ>


278 수학용어


지수함수 exponential function 指數函數

진리집합 truth set 眞理集合

진부분집합 proper subset 眞部分集合

진수 antilogarithm 眞數

집합 set 集合

집합의 분할 partition of a set 集合—分割

차수 degree 次數

차집합 difference set 差集合

최대ㆍ최소 정리 maximum-minimum theorem 最大最小定理

최댓값 absolute maximum 最大

최솟값 absolute minimum 最小

추정 estimation 推定

충분조건 sufficient condition 充分條件

치역 range 値域

치환적분법 integration by substitution 置換積分法

켤레복소수 complex conjugates

코사인 cosine

코사인함수 cosine function

큰 수의 법칙 law of large numbers

타원 ellipse 圓

타원의 꼭짓점 vertex of ellipse

타원의 단축 minor axis of ellipse 圓— 短軸

타원의 장축 major axis of ellipse 圓— 長軸

타원의 중심 center of ellipse 圓— 中心

타원의 초점 focal point of ellipse 圓— 焦點

탄젠트 tangent

탄젠트함수 tangent function

통계적 확률 statistical probability 統計的確率

파스칼의 삼각형 Pascal’s triangle

판별식 discriminant 判別式

평균값 정리 mean value theorem

평균변화율 mean rate of change 平均變化率

평면벡터 plane vector

평행이동 translation 平行移動

포물선 parabola 抛物線

포물선의 꼭짓점 vertex of parabola

포물선의 준선 directrix of parabola 抛物線— 準線

포물선의 초점 focal point of parabola 抛物線— 焦點

포물선의 축 axis of parabola 抛物線— 軸

표본 sample 標本

표본분산 sample variance 標本分散

표본비율 sample rate 標本比率

표본조사 sample survey 標本調査

표본평균 sample mean 標本平均

표본표준편차 sample standard deviation 標本標準偏差

표준정규분포 standard normal distribution 標準正規分布

표준화 standardization 標準化

피타고라스 정리 Pythagorean theorem

필요조건 necessary condition 必要條件

필요충분조건 necessary and sufficient condition 必要充分條件

함수의 그래프 graph of a function `

합성함수 composite function 合成函數

합의 법칙 addition principle

합집합 union 合集合

항 term 項

항등식 identity 恒等式

항등함수 identity function 恒等函數

해 root 解

허근 imaginary root 虛根

허수 imaginary number 虛數

허수단위 imaginary unit 虛數單位

허수부분 imaginary part 虛數部分

호도법 circular measure 弧度法

확률밀도함수 probability density function 確率密度函數

확률변수 random variable 確率變數

확률분포 probability distribution 確率分布

확률질량함수 probability mass function 確率質量函數

<ㅊ>

<ㅋ>

<ㅌ>

<ㅎ>

<ㅍ>


만든 사람들

개발책임 김경수

편집 윤준원, 최윤정

아트디렉터 허영인

표지디자인 김의수

본문디자인 유지인

컷 김상준, 이도훈

조제판 벽호미디어

고등학교 미적분Ⅱ 교사용지도서

2015. 3. 1. 초판발행 정가 원

지은이 신항균외11인

발행인 (주)지학사　서울시마포구신촌로6길5

인쇄인 (주)벽호 경기도파주시한빛로43

내용관련문의 (주)지학사 콘텐츠본부수학팀 전화02-330-5440 전송02-325-8009

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권협회(전화 02-2608-2800, 누리집주소http://www.korra.kr)에서저작재산권자에게지급합니다.

ISBN 978-89-05-04258-5 53410

신항균

현서울교육대학교총장

박세원

현신경대학교교수

이계세

현경기도학생교육원교육연구사

박문환

현인천인제고등학교교사

박상의

현장충고등학교교사

전제동

현창원중앙고등학교교사

이광연

현한서대학교교수

신범영

현청담중학교교감

김정화

현서울고등학교교사

윤정호

현대구과학고등학교교사

서원호

현청원고등학교교감

이동흔

현숭문고등학교교사

집필진 소개

미적2(271교과판권) 2014.12.29 1:50 PM 페이지1 mac02 T

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