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ESERCITAZIONE 3 : PERCENTUALI

Giacomo Tommei

e-mail: [email protected]

web: www.dm.unipi.it/∼tommei

Ricevimento: Martedi 16 - 18Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126

23 Ottobre 2012

Esercizio 1

Nel 2006, un campo di 200 m2 viene coltivato per il 25% a ortaggi, per il40% a barbabietole e per il resto a soia. Un m2 di terreno produce in unanno 5 kg di ortaggi, 8 kg di bietole, e 10 kg di soia.

a) Quanti kg di soia vengono prodotti nel 2006?

b) Nel 2007, meta del campo viene coltivata a barbabietole, il 20% aortaggi e il resto a soia. Di quanto e aumentata in percentuale laproduzione di barbabietole rispetto al 2006?

c) Se la percentuale di terreno dedicata agli ortaggi nel 2007 e nota conun errore assoluto dell’1%, fra quali valori puo variare la produzionetotale di ortaggi nel 2007?

d) Nel 2008 il proprietario del campo decide di acquistare un campovicino, cosı da aumentare la superficie coltivabile del 20%. Qualepercentuale di questa nuova superficie deve destinare alla coltivazionedi soia, se vuole aumentare la produzione di soia del 2% rispetto al2007?

Giacomo Tommei Percentuali

Esercizio 1 - Soluzione

a) La porzione di campo destinata alla soia e

(100− 25− 40)% = 35%

quindi 200× 35/100 = 70 m2. La produzione di soia nel 2006 epertanto 70× 10 = 700 kg.

b) La produzione, rispetto al 2006, di barbabietole ha subito unincremento del

50− 40

40% = 25%

c) Poiche nel 2007 la produzione di ortaggi e del 20% ed e nota con unerrore assoluto dell’1%, significa che puo variare dal 19% al 21%, diconseguenza la quantita di ortaggi puo variare da 19× 2× 5 = 190 kga 21× 2× 5 = 210 kg.

d) Il nuovo campo ha una superficie di (20/100)× 200 = 40 m2. Nel 2007era stato destinato alla coltivazione della soia il 30% del vecchiocampo, quindi (30/100)× 200 = 60 m2. Per aumentare la produzionedel 2007 del 2% si deve aumentare la superficie coltivata a soia del2%, quindi (2/100)× 60 = 1.2 m2 che corrispondono a1.2× 100/40 = 3% del nuovo campo.


Esercizio 2

Se la popolazione di uno Stato e diminuita del 15% nel 2011, in qualepercentuale dovrebbe aumentare nel 2012 per tornare alla numerosita dipartenza?

Soluzione Se non si fosse compreso a pieno cosa significa calcolare unapercentuale la risposta (sbagliata!) potrebbe essere 15%; naturalmente none cosı, proviamo a spiegare il perche. Supponiamo che la popolazione delloStato in esame, all’inizio del 2011, fosse composta da N individui. Se nel2011 ce stata una diminuzione del 10% significa che all’inizio del 2012 ilnumero di individui e

N − 15

100N =

85

100N

Per tornare ad essere N , la popolazione nel 2012 deve aumentare di(15/100)N (su un totale di (85/100)N) per cui l’aumento percentuale deveessere

(15/100)N

(85/100)N=

15

85=

3

17' 17.6%


Esercizio 3

Un allevatore di pastori tedeschi sta studiando la crescita di uno dei cucciolidell’ultima cucciolata: per far questo registra il peso del cucciolomensilmente. All’inizio del suo studio il cucciolo pesa 10 kg, dopo il primomese il peso e aumentato del 20% e tale incremento si registra anche nelsecondo mese. Quanto vale l’incremento totale del peso del cucciolo nei duemesi?

SoluzioneSe il peso iniziale e 10 kg, con un aumento del 20% il cucciolo andra apesare 12 kg dopo il primo mese; nel secondo mese il cucciolo aumenteraancora il suo peso del 20% del peso iniziale del mese, ovvero di 12 kg,arrivando a pesare 14.4 kg (il 20% di 12 e 2.4). In conclusione, dopo duemesi il peso del cucciolo e aumentato di 4.4 Kg sui 10 di partenza, ovveroc’e stato un incremento del 44%.


Esercizio 3 - Generalizzazione

Se indichiamo il peso con la lettera p e la percentuale di incremento con iotteniamo che l’incremento e dato da

i

100· p

mentre il peso aumentato e dato da

p +i

100· p = p

(1 +

i

100

)Per ottenere il peso dopo il primo mese dobbiamo moltiplicare quindi ilpeso iniziale per il fattore (1 + i/100); per il secondo aumento dobbiamoancora moltiplicare per lo stesso fattore:[

p

(1 +

i

100

)] (1 +

i

100

)= p

(1 +

i

100

)2

Lo stesso procedimento si puo applicare ripetutamente: ad esempio dopo nmesi si ottiene

p

(1 +

i

100

)n

L’espressione ottenuta non e altro che una legge esponenziale.


Esercizio 4

Una soluzione e un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di unasostanza solida, liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido(solvente). La concentrazione di una soluzione, espressa solitamente inpercentuale, e il rapporto tra la massa del soluto e quella della soluzione.

a) 30 g di sale vengono disciolti in 90 g di acqua; quanto vale laconcentrazione della soluzione?

b) Aggiungendo 100 g di solvente ad una soluzione al 10% si ottiene unasoluzione finale al 6%; calcola la massa iniziale della soluzione.

c) Abbiamo 10 kg di una soluzione al 10% e 20 kg della medesimasoluzione al 20%, cosa succede alla concentrazione se si mescolano ledue quantita di soluzioni?



Indichiamo con s la massa del soluto e con S la massa del solvente.

a)

c =s

S + s=

30

120=

1

4= 25%

b) x = S + s, ricaviamo la massa del soluto in funzione di x:

s

x=

10

100⇔ s =

x

10

Dopo l’aggiunta dei 100 g di solvente la massa totale diventa x+ 100 ge la concentrazione diventa il 6%, ma la quantita di soluto restainvariata; come prima possiamo ricavare la massa del soluto infunzione di x:

s

x + 100=

6

100⇔ s =

3 (x + 100)

50

Uguagliando le due espressioni per il soluto in funzione della massainiziale si ottiene

x

10=

3 (x + 100)

50da cui

5x = 3x + 300 ⇔ x = 150 g .



c) Indichiamo con s1 la massa del soluto della prima soluzione e con s2 lamassa del soluto della seconda soluzione:

s110

=10

100

da cuis1 = 1 ,

mentres220

=20

100

da cuis2 = 4 .

Quindi la nuova soluzione, avente massa totale 10 + 20 = 30 kg, haconcentrazione

c =s1 + s2

30=

5

30=

1

6' 16.7%


Esercizi vari

5. Un albero da frutto, in un anno, incrementa del 40% la propriaproduzione, mentre l’anno successivo la diminuisce del 40%. Cosa esuccesso alla produzione dell’albero nell’arco dei due anni?

6. Serena va a fare la spesa e al momento di pagare esibisce un tagliando

che le da diritto al 20% di sconto. La cassiera ritira il tagliando e

calcola il nuovo importo della spesa. Una volta ricalcolato l’importo

Serena si accorge di avere un altro tagliando con il 40% di sconto: lo

fa vedere alla cassiera la quale applica lo sconto al nuovo importo e

presenta il conto.

a) Qual e lo sconto totale di cui ha beneficiato Serena?b) Se Serena avesse esibito prima il tagliando del 40% e

successivamente quello del 20% avrebbe beneficiato di unosconto diverso?

7. Trova la concentrazione percentuale delle seguenti soluzioni:

a) 200 g di soluzione, contenenti una tavoletta di 0.5 g didiclorato mercurico;

b) 50 g di soluzione, contenenti 0.8 g di sale.


Esercizi vari

8. Trova il numero, quando si sa che

a) il suo 5% e 32;b) il suo 8% e 8.4;c) il suo 210% e 54.6;d) il suo 0.5% e 2.3 .

9. Un certo tipo di detersivo in polvere viene confezionato e posto invendita in due diversi formati. In entrambi i casi l’involucro ecostituito da una scatola di cartone; le misure (lunghezza, larghezza,altezza) del secondo tipo di confezione superano le corrispondentimisure del primo tipo del 10%. La prima confezione costa 1.20 euro,mentre la seconda costa 1.50 euro. Quale delle due e piu conveniente?

10. Una colonia e costituita per il 25% da topi bianchi e per il 75% datopi neri. Tra i topi bianchi, il 50% ha gli occhi azzurri mentre tra itopi neri solo il 20% ha gli occhi azzurri. Sapendo che 99 topi hannogli occhi azzurri, di quanti topi e composta la colonia?


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