2.1 ТЕРМОДИНАМІЧНА...

2 ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНОЇ ТА СТАТИСТИЧНОЇ ФІЗИКИ


2.1 ТЕРМОДИНАМІЧНА РІВНОВАГА. МАКРОСКОПІЧНА НЕОБОРОТНІСТЬ

Усі термодинамічні системи підкоряються загально-

му закону макроскопічної необоротності, який полягає в наступному: якщо система замкнута, то, з якого б стану вона не виходила, внаслідок внутрішніх процесів чеpез пе-вний час система обов’язково досягне стану макроскопіч-ного спокою, або термодинамічної рівноваги. У стані тер-модинамічної рівноваги будь-які макроскопічні процеси (механічний рух, теплопередача, хімічні реакції і т. ін..) припиняються. Однак при цьому не припиняються мікро-скопічні процеси (атоми рухаються, взаємодіють і т. ін..). У системі встановлюється макроскопічна, а не мікроскопі-чна рівновага. мікроскопічні процеси відбуваються, але у протилежних напрямках.

Якщо система прийшла у стан термодинамічної рів-новаги, то вона сама собою не вийде з нього, тобто процес переходу системи у стан рівноваги є необоротним.

Закон макроскопічної необоротності не має виклю-чень. Він стосується всіх без винятку термодинамічних си-стем, а ці системи є надзвичайно різноманітними. Тому поняття термодинамічної рівноваги в термодинаміці за-ймає центральне місце. Воно є простим за змістом але єм-ним за обсягом, оскільки містить у собі безліч окремих ви-падків рівноваги. Зупинимося на деяких з них.

Термодинамічна рівновага спостерігається у механі-чних системах. Наприклад, якщо рідину в посудині змуси-ли рухатися, то через певний час внаслідок в’язкості вона набуде стану механічного спокою за умови припинення зовнішньої дії.

19


У випадку контакту холодного та гарячого тіл їх тем-ператури через певний проміжок часу стануть однаковими – настане теплова рівновага.

Якщо в замкнутій посудині перебуває рідина, яка ви-паровується, то настане момент, коли випаровування при-пиниться. У посудині встановиться фазова рівновага між рідиною та її паpою.

Якщо в суміші речовин протікають хімічні реакції, то через певний час за незмінних зовнішніх умов (сталі тем-пература та тиск) установиться хімічна рівновага, при якій кількості хімічних реагентів не будуть змінюватися.

Якщо стінки замкнутої порожнини випромінюють світло (всередину порожнини), то у порожнині встановлю-ється світлова рівновага, при якій стінки порожнини ви-промінюють за однакові проміжки часу стільки ж світла, скільки його і поглинають.

Як випливає з наведених прикладів, поняття термо-динамічної рівноваги містить у собі значну кількість окре-мих видів рівноваги.

Процес переходу системи з нерівноважного стану в рівноважний називають процесом релаксації, а час пере-ходу - час релаксації.

2.2 ІДЕАЛЬНИЙ ГАЗ І ЙОГО РІВНЯННЯ СТАНУ

Ідеальним називається газ, молекули якого є матері-альними точками і потенціальна енергія взаємодії яких до-рівнює нулю. Таким чином, молекули ідеального газу не мають об'єму і між ними немає притягання і відштовху-вання, тобто вони не взаємодіють між собою.

Стан системи визначається сукупністю її певних вла-стивостей. Стан ідеального газу, коли немає зовнішніх по-лів, визначається для даної маси термодинамічними пара-метрами: об’ємом V , тиском p та температурою T . Рів-няння, що пов’язує ці параметри газу при фіксованій масі,

20


називають рівнянням стану ідеального газу. Рівняння стану встановлюють дослідним шляхом або на основі мо-лекулярно–кінетичних уявлень. Прикладом такого рівнян-ня є рівняння Менделєєва-Клапейрона:

RTM

mpV , (2.1)

де - маса газу, m M - молярна маса, - універсаль-

на газова стала. R

Помножимо і розділимо праву частину рівняння на сталу Авогадро

NkTTN

RN

M

mpV

AA

Розділимо обидві частини отриманого рівняння на

об’єм газу V

nkTkTV

Np .

nkTp . (2.2)

Ці рівняння є різними формами запису рівняння ста-ну ідеального газу.

21


2.3 ТИСК ГАЗУ НА СТІНКУ ПОСУДИНИ. ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ МКТ

Виведення основного рівняння МКТ ґрунтується на моделі ідеального газу, а також на наступних уявленнях

1 тиск газу на стінку не залежить від форми посудини. Тому для спрощення виведення припусти-мо, що посудина має форму кубу із сторонами l .

2 зіткнення молекул між собою та зі стінками посудини є абсолютно пружними і симетричними, причому, інтервали часу між зіткненнями значно бі-льші за час самих зіткнень.

3 якщо газ знаходиться у рівновазі, то всі на-прямки руху молекул є рівноймовірними і за відсут-ності зовнішніх сил молекули газу розподілені рів-номірно по всьому об’єму. Розглянемо тиск газу у стані рівноваги. Тиск визна-

чається силою, з якою газ тисне на одиницю площі стінки посудини

Fp

S .

У свою чергу сила є імпульсом, який передається від

одного тіла до іншого за одиницю часу

vd mF

dt .

Тиск газу на стінки посудини є наслідком ударів

молекул газу при численних зіткненнях їх зі стінками посудини. При кожному ударі молекула газу діє на стінку з певною силою. Тиск ідеального газу можна розглядати як середню силу, що діє на одиницю поверхні посудини в ре-зультаті ударів молекул. Нехай молекул газу знахо-диться в кубічній посудині зі стороною . Імпульс, отри-

N

22


маний стінкою посудини при одному пружному ударі мо-лекули, дорівнює 2 vxdp m . Імпульс, отриманий стінкою

за одиницю часу: 1

2 vx x

dpF m

dt

2

z , де z – число зіткнень

молекули з даною стінкою за 1 секунду. Шлях від однієї

стінки до іншої і назад дорівнює , отже v

2xz

, тоді

12 v

2vxx xF m z

m

.

Сила, що діє на дві стінки об'єму уздовж осі x:

12 2

2vxx xF F

m

.

Рисунок 2.1 - До виведення основного рівняння МКТ

z

l

ll

y

x

N молекул

vxv

v

стінка

vx

v 2vx x

Рисунок 2.2 - Пружне зіткнення молекули зі стінкою

23


Можна зробити висновок, що величина повної сили, яка діє на всі шість стінок об'єму внаслідок зіткнення всіх молекул

2 2 2

()

2 2 2

2(v v v )

2v v v

x y zза всiмамолекулами

x y z

mF

Nm.

22v

NmF

, (2.3)

де - середня квадратична швидкість молекул. 2v З іншого боку, величину цієї повної сили знайдемо з

визначення тиску: SpFS

Fp . Площа грані куба дорі-

внює , тоді площа всіх стінок куба - , отже 21 S 26S

. (2.4) 26pF

Порівнюючи (1) і (2), одержимо

2 22v 6

Nmp

,

звідки знаходимо, що

2

3

1 v

3

Nmp

. (2.5)

24


Врахуємо, що середня кінетична енергія поступаль-

ного руху однієї молекули дорівнює

2v

2пост

m , і , 3V

Одержимо

постV

Np

3

2.

Використовуючи поняття концентрації молекул

V

Nn , як кількості молекул в одиниці об'єму, отримаємо

основне рівняння МКТ:

постnp 3

2. (2.6)

Тиск газу дорівнює 3

2 середньої кінетичної енер-

гії поступального руху всіх молекул, які містяться в одиниці об’єму газу.

25


2.4 ГАЗОВИЙ ТЕРМОМЕТР

Середня кінетична енергія молекули при рівновазі ідеального газу має одну важливу особливість: у суміші різних ідеальних газів середня кінетична енергія молекули для різних компонентів суміші – однакова. наприклад, по-вітря є сумішшю газів. середня енергія молекули повітря для всіх його компонентів за нормальних умов, коли пові-тря ще можна вважати ідеальним газом, однакова. Цю вла-стивість ідеальних газів можна довести з загальних статис-тичних міркувань. З вищевикладеного випливає важливий наслідок: якщо два різних гази (у різних посудинах) знахо-дяться у тепловій рівновазі один з одним, то середні кіне-тичні енергії їх молекул – однакові. Цей висновок можна використати для визначення універсальної газової темпе-ратури. візьмемо газовий термометр з ідеальним газом. він являє собою посудину з газом, до якої підключено мано-метр.

Температурною ознакою у такому термометрі є тиск, який показує манометр. Правда, під газовою температурою розуміють не тиск, а величину йому пропорційну, а саме

p n ( n - концентрація молекул у газовому термометрі – стала). ця величина має розмірність енергії. що ж визна-чного є у газовій температурі? по-перше, вона є універса-льною температурою, оскільки не залежить від виду газу, який заповнює термометр. По-друге, газова температура має просту фізичну інтерпретацію – вона пропорційна се-редній кінетичній енергії молекули ідеального газу. По-третє, ця температура має природній нуль. газова темпера-тура дорівнює нулю, коли молекули ідеального газу мають мінімальну енергію, тобто не рухаються. Правда, цей стан ідеального газу є практично недосяжним, оскільки за низь-ких температур жоден газ не можна вважати ідеальним. Але важливим є хоча б теоретичне існування абсолютного

26


нуля. нарешті, виявляється, що газова температура співпа-дає з абсолютною температурною шкалою Кельвіна, яку можна увести, виходячи з загальних термодинамічних мір-кувань.

Таким чином, для ідеального газу має місце співвід-ношення

p n . (2.7)

Температура вимірюється у джоулях. На практиці аб-

солютна температура вимірюється у кельвінах K . Кіль-

кість джоулів, яке відповідає одному кельвіну є перехід-ним множником називається сталою Больцмана

231,38 10k Дж K .

Таким чином,

kT . (2.8) Тоді

p kTn . (2.9) А також, згідно з (2.6)

22 v

3 2

mp n (2.10)

Звідси

2v 3

2 2

mkT . (2.11)

27


Рівняння (2.10) є рівнянням стану ідеального газу.

Йому можна надати форму відомого рівняння Менделєє-ва - Клапейрона

2

3p nkT ,

Nn

V AN N

Тоді

AN kT RTp

V V

,

де AR N k - молярна газова стала,

8,31R Дж К моль .

2.5 ЗАКОН ДАЛЬТОНА

Коли газ є сумішшю газів, рівняння Менделєєва – Клапейрона набуває вигляду

ii

RTp

V , (2.12)

де i - кількість молів -ої компоненти суміші. Тиск,

який створився б у посудині за умови, коли залишити -у компоненту суміші, а всі інші - видалити, називають пар-ціальним тиском

i

i

ip

i i

RTp

V . (2.13)

28


Після додавання тисків різних компонентів суміші отримаємо закон Дальтона: тиск суміші ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків її окремих компонентів

ii

p p . (2.14)

2.6 БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА

Під час попереднього розгляду ми вважали, що на молекули газу не діють зовнішні сили. Тому вважалося, що молекули газу рівномірно розподілені по об’єму судини. Але це припущення помилкове. Молекули будь-якого газу знаходяться у полі тяжіння Землі. Якби не було теплового руху молекул, то всі вони внаслідок гравітаційного притя-

гання впали б на Землю. А якби не було земного тяжіння, то всі молекули повітря розвіялися б по Всесвіту. Спільні дії поля тяжіння і теплового руху призводять до такого ста-ну атмосфери, при якому концентрація і тиск газу зменшуються із збіль-шенням висоти над Зем-лею.

Знайдемо закон змі-ни тиску ідеального газу з висотою в однорідному

полі тяжіння. Будемо вважати, що газ знаходиться в стані термодинамічної рівноваги, так що його температура всю-ди однакова. Виділимо на висоті стовп газу висо-тою і площею основи, яка дорівнює одиниці. Різниця тисків

h abcddh

p dppi на нижню і верхню основи виділеного

p dpс

а

d

b

p

dh

h

Рисунок 2.3 - До виведення барометричної формули

29


стовпа , тобто на висотах і abcd h dhh , дорівнює гідро-статичному тиску gdh стовпа abcd

gdhdp . (2.15)

Замінимо в цьому рівнянні густину із рівняння Мен-

делєєва – Клапейрона:

RT

pMRT

VM

mRT p RT

MM

mpV

.

dhRT

gMgdh

RT

pMdp ,

p

dp . (2.16)

Інтегруємо цей вираз за висотою від 0 до h і по тиску

від до 0p p :

RT

gMh

RT

gMhp

0

ln,p

pp 0ln ln ,

тоді

g

0

Mh

RTp p e

, (2.17)

0p - тиск газу на висоті . 0hде

Таким чином, ми отримали барометричну формулу: тиск в ізотермічній атмосфері падає з висотою за експоне-нтою.

Барометр спеціально градуйований для вимірювання висоти над рівнем моря, називається альтиметром. Він використовується в авіації, під час підйомів на гори і т.ін.

30


2.7 ЗАКОН БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РОЗПОДІЛУ ЧАСТИНОК У ЗОВНІШНЬОМУ

ПОТЕНЦІАЛЬНОМУ ПОЛІ Барометрична формула дозволяє отримати співвід-

ношення між концентраціями газу на різній висоті. Візь-мемо рівняння стану ідеального газу у вигляді

nkTp ,

тоді

0

gMh

RTn n e

, (2.18)

враховуючи, що

0m

k

M

R ,

отримаємо

0

0

m gh

kTn n e

, (2.19)

де - маса молекули. 0m

Якщо врахувати, що 0 Пm gh W - потенціальна енер-

гія молекули в однорідному полі тяжіння поблизу поверхні Землі, тоді

0

ПW

kTn n e

. (2.20)

Ця формула є математичним виразом дуже важливо-

го загального закону, який є основою усієї теорії ідеально-

31


го газу - закону Больцмана. Він дозволяє вирішити усі питання, що мають відношення до рівноваги газу. напри-клад, від дозволяє визначити енергію газу, її залежність від різних параметрів: як вона залежить від температури газу та від об’єму, який внесок в енергію дає той чи інший па-раметр, який описує стан молекули.

Закон Больцмана є справедливим для будь-якого по-тенціального поля незалежно від його фізичної природи.

2.8 СЕРЕДНЯ ЕНЕРГІЯ МОЛЕКУЛ Якщо ми порівняємо вирази nkTp і

постnp 3

2, то отримаємо

kTпост 2

3 . (2.21)

Таким чином, термодинамічна температура є мі-

рою середньої енергії поступального руху молекул. Істот-ним є факт, що середня енергія молекул залежить тільки від температури і не залежить від маси молекули. Порівня-ємо отриману формулу з виразом

2v

2пост

m .

Звідси випливає, що

32


2 3v

kT

m .

Тоді середня квадратична швидкість молекул:

3vкв

kT

m . (2.22)

Лише одноатомні молекули рухаються тільки посту-

пально. Двох і трьохатомні молекули можуть виконувати обертальні і коливальні рухи. Ці види руху пов’язані з пев-ним запасом енергії, визначити який дозволяє статистич-ний закон рівномірного розподілу енергії за ступенями ві-льності молекули.

Числом ступенів вільності ( i ) механічної системи називають кількість незалежних величин (координат), за допомогою яких можна однозначно визначити положення системи у просторі.

Наприклад, точка у просторі має три поступальні ступені вільності, які відповідають трьом незалежним ви-дам руху по осям координат x, y, z. Абсолютно тверде тіло має шість ступенів вільності: потрібно задати шість коор-динат, щоб визначити положення тіла у просторі. Цим ше-

1O2O 2O

1O

1O

2O

1O 2O

OO

Рисунок 2.4 - Кількість ступенів вільності двохатомної (праворуч) та трьохатомної молекул (ліворуч)

33


сти координатам відповідає шість незалежних видів руху тіла: три поступальних і три обертальних (враховуючи три виміри простору).

У випадку, коли тіло не є абсолютно твердим і його частини можуть зміщуватись одна відносно одної, то таке тіло буде мати ще додаткові коливальні ступені вільності.

Молекулу одноатомного ідеального газу можна роз-глядати, як матеріальну точку. Тоді така молекула має три поступальні ступені вільності.

Двох і трьохатомні молекули не можна розглядати як матеріальні точки. Двохатомна молекула ідеального газу нагадує гантель: крім поступального руху, вона може обе-ртатися навколо однієї з осей, зображених на рисунку. Та-ким чином, двохатомна молекула має три поступальні ступеня вільності і два обертальні, тобто всього п’ять. Аналогічно, трьохатомна (і більш складна) молекула має три поступальні ступеня вільності і три обертальні – всього шість. Ідеальні гази при температурах менших 2000К мають жорсткий зв’язок і тому коливальних ступе-нів вільності не мають.

34


2.9 РОЗПОДІЛ ЕНЕРГІЇ ЗА СТУПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Співвідношення (2.11) між температурою та серед-

ньою кінетичною енергією молекули є підґрунтям для ме-ханічної інтерпретації температури. внаслідок ізотропності швидкостей природно вважати, що

2 2 2v v vx y z ,

звідки випливає, що

22 2yx z

vv v, ,

2 2x y z

mm m

2

,

тоді

33

2x y z x kT

і 1

2x y z kT .

Оскільки кожна з трьох осей відповідає одному сту-

пеню вільності, то можна зробити висновок, що на кожну ступінь вільності (поступальну, обертальну, коливальну) припадає в середньому однакова кінетична енергія, яка до-

рівнює kT2

1.

Цей результат є правильним не тільки для газів. Бо-льцман показав, що він є загальним і застосовним до біль-шості систем, які знаходяться у рівновазі. Звідси можна сформулювати закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності:

35


На кожну ступінь вільності системи, що знахо-диться у тепловій рівновазі, припадає в середньому од-

накова кінетична енергія, яка дорівнює kT2

1.

Цей закон діє для звичайних та більш високих темпе-ратур, для низьких температур він не підтверджується екс-периментально. Змінений згідно до квантовій теорії закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності виявився застосовним і для низьких температур.

Із закону рівномірного розподілу енергії за ступе-нями вільності випливає, що середня кінетична енергія молекули визначається формулою

kTi

2 , (2.23)

де - сума чисел поступальних та обертальних ступенів вільності молекули.

i

Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності у вигляді (2.23) діє для звичайних та більш висо-ких температур, для низьких температур він не підтвер-джується експериментально. Змінений згідно до квантовій теорії закон рівномірного розподілу енергії за ступеня-ми вільності виявився застосовним і для низьких темпера-тур.

Із закону рівномірного розподілу енергії за ступе-нями вільності випливає, що середня кінетична енергія молекули визначається формулою

kTi

2 , (2.24)

36


де - сума числа поступальних і обертальних ступе-нів вільності молекули.

i

Модель молекули у вигляді жорстко зв’язаних атомів є дуже спрощеним. В багатьох випадках потрібно врахову-вати можливість відносних зміщень атомів у молекулі, тобто враховувати коливальні ступені вільності. Напри-клад, нежорстка двохатомна молекула (див. рис. 2.4) має одну коливальну ступінь вільності, а нежорстка трьохато-мна молекула – три коливальні ступені вільності. При ко-ливальному русі молекула має, як кінетичну KW , так і по-

тенціальну енергії . За умови, що коливання – гармоні-

чні, ці енергії є однаковими. ПW

Таким чином, відповідно до закону рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності, середня повна енергія , яка припадає на одну коливальну ступінь

вільності молекули дорівнює колW

2 kT

. (2.25) кол K П KW W W W Вона вдвічі більша за середню енергію, яка припадає

на одну ступінь вільності поступального чи обертального руху молекули.

Внутрішня енергія ідеального газу є кінетичною ене-ргією його молекул. Тоді для одного моля

2 2M A A

i iW N kTN RT . (2.26)

З виразу (2.26) випливає, що внутрішня енергія ідеа-

льного газу прямо пропорційна як термодинамічній темпе-ратурі, так і числу ступенів вільності його молекул.

В реальних газах внутрішня енергія крім кінетичної містить потенціальну енергію молекул, обумовлену між-

37


молекулярною взаємодією між ними. Потенціальна енергія залежить від середньої відстані між молекулами, тобто від густини газу, і від характеру сил міжмолекулярної взаємо-дії. Тому внутрішню енергію реального газу не можна ви-значити на основі тільки одного закону рівномірного роз-поділу енергії за ступенями вільності молекул.

2.10 КІНЕТИЧНА ТЕОРІЯ ГАЗІВ

Теорія, яка ґрунтується на статистичному методі до-

слідження називається кінетичною теорією. Кінетична теорія ґрунтується на наступних загальних

положеннях класичної статистичної фізики: а) В системі частинок виконуються закони збе-

реження імпульсу, моменту імпульсу, енергії, елект-ричного заряду (для систем заряджених частинок) і числа частинок; б) Всі частинки системи вважаються міченими,

тобто передбачається можливість відрізняти одну від одної тотожні частинки; в) Всі фізичні процеси в системі плинуть у прос-

торі і часі неперервно; г) Кожна частинка системи може мати довільні

значення координат (в межах об’єму системи) та компонент швидкості незалежно від того, які зна-чення цих характеристик є у інших частинок систе-ми.

2.10.1 ЗАКОН РОЗПОДІЛУ МОЛЕКУЛ ЗА ШВИДКОСТЯМИ І ЕНЕРГІЯМИ

Закон розподілу за швидкостями теплового руху мо-

лекул газу у стані термодинамічної рівноваги був знайде-ний Максвелом у 1859 р.

38


Хід розрахунків Максвела є досить складним. Зупи-нимося тільки на тлумаченні отриманих результатів.

Швидкості молекул зручно зображувати у вигляді полярних векторів у трьохвимірному просторі швидкостей, в якому по взаємно ортогональним осям координат відкла-дені компоненти швидкостей молекул zyx UUU ,,

Нехай - кількість молекул в одиниці об’єму газу, модулі швидкостей яких знаходяться в межах від U до U

dn

dU . Очевид-но, що кінці векторів швидкостей цих молекул мають лежати у просторі швидкостей всередині ко-лового шару. Об’єм цього шару . Під час теплового руху з причини його хаотичності всі на-прямки швидкостей моле-кул є рівновірогідними. Тому має бути пропор-ційним як кількості мо-

лекул в одиниці об’єму, так і об’єму

du u 24d

dn

0n

d колового шару. Крім того, має залежати від модуля швидкості U . Та-ким чином,

dn

duuFnduuufndn 0

20 4 , (2.27)

де 24 uufuF - функція розподілу. Функція розподілу

zU

xU

dU

U

yU

Рисунок 2.5 – До пояснення закону розподілу за швид-костями теплового рухумолекул газу

39


dun

dnuF

0

(2.28)

це частка молекул, модулі швидкостей яких знахо-

дяться в коловому шарі одиничної товщини. Добуток

0n

dnduuF

визначає вірогідність того, що модуль швидкості мо-

лекули знаходиться в інтервалі від до u duu . Функція називається функцією розподілу молекул за моду-

лями швидкостей. З фізичного змісту функції розподілу випливає, що

F u

0

1duuF . (2.29)

Функція uf має такий самий зміст, як і uF , але є

функцією розподілу відносно одиничного інтервалу об’ємів . duu 24d

Розрахунки дають

kTum

ekT

muf 2

23

0

20

2

. (2.30)

Тоді

2

03

22 20 4

2

m ukTm

F u e ukT

. (2.31)

40


На рисунку 2.6 наведено графік функції uF . З фізи-

чного змісту інтегралу випливає, що вся площа, обмежена

кривою і віссю абсцис дорівнює одиниці.

uF

Bu u

Рисунок 2.6 - Закон розподілу молекул за швидкостями

Об’єднуючи (2.27) і (2.30) отримаємо закон розподі-лу молекул за швидкостями (закон Максвела)

duuekT

mndn kT

um22

23

00 4

2

20

. (2.32)

З закону (2.31) можна визначити найбільш вірогідну

швидкість , яка відповідає максимуму функції розподілу (рис. 2.6). Запишемо умову максимума функції

Bu

022

20

Buu

kTum

uedu

d.

Розв’язання цього рівняння дає

41


0

2 2v

3B кв

kT RTu

m M

2, (2.33) , (2.33)

де де 0

3vкв

kT

m - середня квадратична швидкість.

Обидві швидкості залежать тільки від температури газу та його молярної маси.

Функції розподілу для різних температур мають ви-гляд, зображений на рисунку 2.7. Із збільшенням темпера-

тури газу максимум кривої зміщується в бік більших швид-костей, а його абсолютна величина зменшується. Таким чином, при нагрівання газу частка молекул, які мають не-великі швидкості, зменшується, а частка молекул з біль-шими швидкостями збільшується. З рисунку 2.7, можна зробити висновок, що зі збільшенням температури крива "розпливається": її ширина збільшується, тобто розподіл стає більш рівномірним.

uF

Закон розподілу молекул за швидкостями дозволяє визначити середню арифметичну швидкість u посту-

пального руху молекул ідеального газу. Для цього необ-

1T2T

3T

uРисунок 2.7 – Розподіл Максвела за швидкостями молекул газу залежно від температури T T 3 2 T 1

42


хідно частку молекул 0n

dnduuF , які мають певну швид-

кість , помножити на цю швидкість і додати за всіма швидкостями. Оскільки швидкість змінюється безперерв-но, то додавання можна замінити інтегруванням. Внаслі-док отримаємо

u

0

0 0

n

n

dnuu , (2.34)

або

0

0

n

duuuFu . (2.35)

Цей результат має загальне значення. Середнє зна-

чення будь-якої фізичної величини x з урахуванням за-кону розподілу молекул за швидкостями в класичній ста-тистичній фізиці визначається за формулою

0

0

n

x xF x dx . (2.36)

Підставимо в формулу (2.34) вираз для uF із спів-

відношення 2.31. Тоді

0

2232

3

00

20

24 duueu

kT

mnu kT

um

.

Після інтегрування отримаємо

43


0

8 8 4v

3B кв

kT RTu u

m M

8

. (2.37)

Усі три швидкості відрізняються одна від одної чи-

сельними множниками, причому

vкв Bu u . (2.38)

За допомогою закону розподілу молекул за швидко-

стями можна знайти розподіл молекул ідеального газу за кінетичними енергіями їх теплового руху. Цей розподіл

встановлює долю 0n

dnKW , кінетичні енергії 2

021 umWK

яких знаходяться в інтервалі від до KW KK dWW . Щоб отримати такий розподіл, необхідно в законі (2.32) перейти від швидкості до енергії за формулами KW

0

2 KWu

m і

12

0

KK

dWdu W

m .

Внаслідок отримаємо

KKkT

W

W dWWekTndnK

K

2

3

0

2

. (2.38)

тут

KKW dWWFn

dnK

20 ,

44


де KkT

W

K WekTWFK

23

2

2

- функція розпо-

ділу молекул ідеального газу за кінетичними енергіями. Використовуючи цю функцію і формулу (2.36), знай-

демо середню кінетичну енергію KW молекули ідеально-

го газу:

2

0

K K K KW W F W dW

3

2 0

2 3

2

KWkT

K K KW e W dW kTkT

. (2.39)

Як і очікувалося, ми отримали формулу, яка співпа-

дає з формулою для середньої кінетичної енергії поступа-льного руху молекул.

45


2.10.2 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ

МОЛЕКУЛ ЗА ШВИДКОСТЯМИ

Експериментальна перевірка закону розподілу моле-кул за швидкостями була виконана через 60 років після встановлення цього закону Максвелом.

N М

В

Штерн використав метод молекулярних і атомних пучків(1920р.)для визначення середніх швидкостей атомів в таких пучках. Будову приладу Штерна схематично зо-бражено на рисунку 2.8. Прилад складається з двох конце-нтричних циліндрів А і С. Повітря з циліндрів відкачане. У циліндрі А є вузька щілина B. Вздовж осі натягнуто плати-нову дротину, вкриту шаром срібла, по якій пропускають електричний струм. Циліндр C можна швидко обертати навколо осі. При нагріванні дротини електричним струмом срібло випаровується і атоми срібла вилітають зі швидкіс-

Рисунок 2.8- Схема приладу Штерна для визначення швидкості молекул парів металу. Якщо прилад обер-тається за годинниковою стрілкою, то наліт срібла буде спостерігатися в точці N

СА

46


47

тю, що відповідає їх температурі. Щілина B виділяє спря-мований пучок молекул (пічка A і щілина B утворюють так звану “молекулярну рушницю”). Стінка циліндра спеціа-льно охолоджується, щоб молекули, які попадають на неї, “прилипали” до неї, утворюючи наліт срібла. Спершу при-лад не обертається і наліт срібла утворюється в точці M. Тепер припустимо, що вся система почала обертатися. То-ді, хоча приціл «молекулярної рушниці» AB спрямований у ту саму точку M, але ціль рухається і кулі (молекули) бу-дуть попадати не в точку M, а в точку N, що лежить за нею. Таким чином, при обертанні приладу Штерна зі сталою швидкістю наліт срібла буде утворюватися в точці N. Об-числимо довжину s дуги MN. Вона дорівнює шляху, який проходить точка циліндру за час t польоту молекули від B до циліндра, тобто uts , де - швидкість руху точок ци-ліндра. З іншого боку, якщо позначити швидкість молекул

через , а відстань BM через , то

u

lv vlt , так що

v

uls

або v ul

s. Виміряти експериментально s MN , швид-

кість обертання циліндра С і відстань є нескладно. За

формулою

u l

vul

s під час досліду було визначено, що шви-

дкість атомів срібла дорівнює см650 . У такий спосіб були також визначені швидкості молекул пари деяких інших металів.

2.1 ТЕРМОДИНАМІЧНА...

Documents

Transcript of 2.1 ТЕРМОДИНАМІЧНА...